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CEDEC2015 サブディビジョンサーフェスの すべてがわかる
- 1. サブディビジョンサーフェスの すべてがわかる グラフィックスエンジニア向け理論編 ※ テクニカルな内容中心です。 ※ スライドはセッション後にダウンロードできます（撮影不要） 手島 孝人（Pixar Animation Studios, takahito@pixar.com） 松岡 徹 （DeNA, toru.matsuoka@gmail.com）
- 2. ポリゴンメッシュの法線とは何だろう どう計算する？ ・面法線の平均 ・Newell’s method ・Max’s method 2 Filippo Tampieri, Newell's Method for Computing the Plane Equation of a Polygon, Graphics Gems III, Academic Press, 1992 Nelson Max, Weights for Computing Vertex Normals from Facet Normals, Journal of Graphics Tools, Volume 4, Issue 2, 1999
- 5. Demo 5
- 6. このセッションの内容 ● サブディビジョンサーフェスの理論 ○ リミット解析と特異頂点 ● ハードウェアテセレーション ○ Tノード処理、終端キャッピング ○ 動的特徴適応型サブディビジョン ○ セミシャープクリースの効率的描画法 ● C2 連続性の応用 ○ 解析的ディスプレースメントマッピング ○ リアルタイムコリジョン変形 ● レイトレーシング ○ ベジェクリッピングによる直接レイトレ ● 結論：曲面は素敵 6
- 7. Catmull−Clak サブディビジョンサーフェス とは？ ● 双３次一様Bスプラインサーフェスの拡張表現 ● あらゆるメッシュトポロジに対応* ● 割れ目がない （C0 ＝連続） ● 折れ目がない （C1 ＝接線が連続） ● 仕上げが美しい（C2 ＝曲率が連続） *基本的には2次元多様体 7
- 9. 双３次一様Bスプラインは便利 ● 自動的にC2 連続、制御点の数がベジェより少ない ● 凸包性・変動減少性があり、 結果が予測しやすく交差判定が単純 ● ローカルサポート（局所的に編集ができる） ● 直線が厳密に表現できる（曲線区間との接続もC2 連続） ● 計算がシンプルで座標のみ ノット・ウェイトなど追加データ不要 ● ３次ベジェとの変換も容易 9
- 10. 双３次一様Bスプラインで困ること ● トポロジに大きな制約がある グリッド、円柱、トーラス型しか作れない ● 二次曲面（円柱や球）が厳密に作れない ただしゲーム・映画ではあまり問題にならない 10 制御点の 形状 ４角形 6角形 8角形 12角形 真円との誤差 2.8% 0.4% 0.1% 0.02% むしろ割りすぎないように注意！サブディビジョンでは 周辺の特異頂点の価数が上がる＝シワになりやすい ほとんどの場合は６角形で十分、４角形でもいい
- 11. グリッドメッシュ以外も曲面で扱いたい = サブディビジョンサーフェスの出番 ※４角形スキームの場合（Catmull-Clark） 正則頂点＝エッジが４つ グリッドメッシュにはこれしかない 特異頂点＝エッジが４つ以外 自由なトポロジには必要 11 正則頂点 vs 特異頂点（extraordinary vertex)
- 12. C2 連続の必要性 ● C1 は反射に問題 ● 二次微分にはリアルタイム向けの広い用途がある ○ 解析ディスプレイスメント ○ 曲率ベースSSS、AO ○ スペキュラーエイリアスの低減 12 C1 パッチ C2 パッチ
- 15. リミット解析（正則部） 正則部はごく普通なBスプライン →収束計算なしにBスプライン基底のテンソル積で リミットサーフェス、接線、法線が厳密に求められる 15 P(u, v) V0 V1 V2 V3
- 18. ローカルサブディビジョン行列 S ３価の場合 18 P={ v, ei , fi } P’={ v’, ei ’, fi ’ } S3v e0 e1 e2 f0 f1 f2 v’ e0 ’ e1 ’ e2 ’ f0 ’ f1 ’ f2 ’ Catmull-Clark 規則を 表現する係数行列
- 20. リミット解析（特異頂点） ブロック巡回行列なので離散フーリエ変換(DFT) で対角化可能 ● Catmull-Clark ローカルサブディビジョン行列の固有値 （大きい方から３つが重要） ● λ1 の固有ベクトル 20 n = 頂点価数
- 22. 特異頂点での曲率は？ ● 純正 Catmull-Clark では無限になりうる ● ローカルサブディビジョン行列の固有値でわかる ● 規則を追加すれば対応可能だが、実用上は３価・５価は問題ない ○ 高価数頂点を避ける ○ 特異頂点部分はなるべく平らに（５角形・６角形を使用） 22 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ6 λ4 / (λ2 *λ3 ) ３価 1 0.41 0.41 0.17 0.15 0.15 0.99 < 1 : わずかに平坦 ４価 1 0.50 0.50 0.25 0.25 0.25 ... 1.00 : C2 連続 ５価 1 0.55 0.55 0.34 0.34 0.32 ... 1.12 > 1 : 発散 ６価 1 0.58 0.58 0.41 0.41 0.38 ... 1.22 > 1 : 発散
- 23. デモ 23
- 24. 基本理論おわり：ここまでのまとめ ● サブディビジョン規則を有限回適用だと ○ 何度やってもリミット面にならない ○ 法線計算は大量のポリゴン相手の古典的な近似手法になる ○ C2 連続にもならない ● リミット解析を使うと ○ 正則部は Bスプラインで一網打尽 分割は不要 ○ 特異頂点は DFT で直接計算 繰り返し演算は不要 ■ その周辺は Stam method も利用可能 ○ 法線（一次微分）も曲率（二次微分）も求まる 24
- 25. ハードウェアアクセラレーション ● もっと簡単にリミットサーフェスを描画できないか ● ハードウェアテセレータを使いたい グレゴリーパッチ近似 , ACC 特徴適応分割（OpenSubdiv） 手法 グレゴリーパッチで コントロールメッシュの面ごとに近似 Bスプラインパッチの階層集合に分解 利点 パッチ数が少ない Tノードが出来ない ほぼ C2 連続 終端キャップ（特異頂点周辺）以外は厳密解 クリースや階層エディットに対応 欠点 20点グレゴリーパッチは C1 連続 特異頂点を含むパッチは近似解 ３角形と４角形（＋５角形）に限られる クリース対応がきびしい ACCに比べパッチ数が多い Tノードのテセレーションに注意が必要 25
- 26. グレゴリーパッチ ● 千代倉先生が1983年に開発・CADで実用化 ● ２０制御点、隣接パッチとの C1 連続を自由に構成可能 ● u,v の有理形式のため四隅のゼロ除算、微分演算に注意 ● Bスプラインに比べるとパッチごとの制御点は増える ● 使い方によっては非常に便利 ● ACC（Approximate Catmull-Clark）のメイン手法 26
- 27. グレゴリーACC（近似Catmull-Clark） リミット評価の接線を元にグレゴリーパッチを構築する 27 Charles Loop et al., Approximating Subdivision Surfaces with Gregory Patches for Hardware Tessellation SIGGRAPH Asia Conference Proceedings 2009
- 28. Bスプラインだけで描画できないか →特徴適応分割 特異点周辺のみ必要なだけ分割する T ノードは別途対応する メリット： ● C2 が確保できる ● 制御点の数も比較的抑えられる ● クリース、階層エディットに対応できる 28 Matthias Niessner et al., Feature Adaptive GPU Rendering of Catmull-Clark Subdivision Surfaces ACM Transactions on Graphics, Vol. 31 No. 1 Article 6 January 2012
- 29. 特徴適応分割での T ノードの対処 OpenSubdiv 3.0 では tess coord のリマッピングで 接合を実現 → 1 DrawCall 描画が可能に 29
- 30. 終端キャップはどうする？ リミット評価で求めた座標と法線を使ってフタをする。 いくつか手法があるが、一長一短 30 ? 方法 利点 欠点 ４角形 高速、省メモリ 別 DrawCall パッチ内は線形 充分な分割が必要 グレゴリーパッチ パッチ内で近似テセレーション可能 特異点からの辺上で C1 別 DrawCall 負荷高い 制御点が増える Bスプラインパッチ パッチ内で近似テセレーション可能 単一DrawCall で全メッシュ描画できる 特異点からの辺上で C0 制御点が増える
- 31. DFAS（動的特徴適応分割） ● 終端キャップをテセレーションしたくない 近似になってしまうし、連続性が落ちる ● 常時レベル１０までのパッチを描画したくない LODで両立させる 31 Schäfer, H., et al. Dynamic feature-adaptive subdivision. Proceedings of the 19th Symposium on Interactive 3D Graphics and Games. ACM, 2015.
- 33. セミシャープクリース 「ゲーリー爺さんのチェス」にて純正 Catmull-Clark に追加 クリース＝境界規則の拡張 33 サブディビジョン過程でシャープ規則を s（シャープネス）回適用、 その後スムーズ規則を適用する
- 34. セミシャープクリース 34 シャープネス=2 レベル 0 レベル 1 シャープネス=1 シャープネス=0 レベル 2 通常はシャープネスレベルに到達するまで、 たとえ正則であってもサブディビジョンが必要 ただし、 Bスプラインパッチ中に同一シャープネスの クリースエッジが一つだけ直線的にある場合 クリースエッジ レベル 3 明示的にサブディビジョンせずに リミット評価する方法がある
- 35. バウンダリ条件（無限シャープネス） 35 P0 P1 P2 P3 もしP2 のシャープネスが無限大だったら P3 のかわりに P1 ’ を使って Bスプライン を構成すると、P2 で終わる補間になる P1 ’ P2 に対して 反転 (P3 は無視)
- 36. セミシャープクリースの多項式構造 36 P0 P1 P2 P3 t=0 t=1 シャープネス=2 の場合、t = ¾ が境界 P0 P1 P2 P3t=0 t=1 ２つのセグメントをつなぎ合わせる （非整数シャープネスの場合は３つ） シャープ区間はバウンダリ条件と同じ（赤） 遷移区間はシャープネス回乗算したサブディビジョン 行列を掛ける。 パラメータ範囲を合わせるために外挿部分が出来る （青）が、必要なパラメータ区間では正しい t= ¾ P1 ’
- 38. セミシャープクリースの効率的評価 ● パッチごとにシャープネスの値を追加 ● モデルによっては非常によく効き、パッチ数が激減 ● ２つまたは３つの単純ベジェパッチに分割することも可能 ● OpenSubdiv で対応済 ● Vertex シャープネス（コーナー）・階層エディットは 対応できないので、やはり必要なまで適応分割を行う 38 Matthias Niessner, et al. Efficient Evaluation of Semi-Smooth Creases in Catmull-Clark Subdivision Surfaces Eurographics Proceedings, Cagliari, 2012
- 39. C2 連続性、二次微分の活用 ● 解析的ディスプレイスメント ● 第一基本量、第二基本量、曲率 ● リアルタイムコリジョン変形 ● シェーディングへの応用など… 39 Matthias Niessner, Charles Loop, Analytic Displacement Mapping using Hardware Tessellation ACM Transactions on Graphics, Vol. 32 No. 3 Article 26 June 2013 Schäfer, Henry, et al. "Real-Time Deformation of Subdivision Surfaces from Object Collisions." Eurographics/ACM SIGGRAPH Symposium on High Performance Graphics. The Eurographics Association, 2014.
- 42. シェイプ作用素、曲率 A：シェイプ作用素 (Shape Operator) Aの固有値：主曲率 K：ガウス曲率 H：平均曲率 42 すべて容易に求まる ※ガウス曲率はE, F, G だけでも求まる
- 44. ディスプレイスメントの微分 ● パッチの(u, v)で少なくとも C1 な シグナルが必要 ● Ptex 構造で双二次Bスプラインの スカラーフィールドを作る ● ついでにミップマップもする 44 サンプル点の 3x3 近傍を取って ２次Bスプライン補間し、値と微分を得る ピンクの縁は隣接フェイスのテクセル のコピー サンプルは OpenSubdiv に一応ある （実装例：最適ではない）
- 45. ディスプレイスメントの微分 45 ようやくディスプレイスメントの接線が計算できた ｖも同様にし、外積で法線を得る シェーダで実装可能 ※そこまでしなくても・・・という方には スクリーンスペースのディスプレイスメント微分でも一応法線計算は可能 Morten S. Mikkelsen, Bump Mapping Unparametrized Surfaces on the GPU https://dl.dropboxusercontent.com/u/55891920/papers/mm_sfgrad_bump.pdf ディスプレイス法線
- 46. 46
- 48. 48
- 49. レイトレース法 49 ● 反射・屈折などの表現 ● GI（グローバルイルミネーション） Sports Car Model Created By “Yasutoshi "Mirage" Mori” https://github.com/MirageYM/3DModels
- 50. レイトレースによるサブディビジョンサー フェスのレンダリング ● 主流は事前テセレーション ● ラスタライズとの違い ○ ２次レイのためにテセレーション結果を残さなければなら ない ○ メモリ消費が問題 ● Embree では効率的なキャッシュを導入 ○ インタラクティブレイトレが実現 50 Carsten Benthin et al., Efficient Ray Tracing of Subdivision Surfaces using Tessellation Caching Proceedings of the 7th High-Performance Graphics Conference 2015
- 52. 事前テセレーションは必須なのか？ ● ２次レイに必要な分割精度は予測しにくい ○ 鏡に映った曲面 ● ポリゴンを保持するため大幅なメモリ消費 ● キャッシュ機構の導入による複雑化 ○ 複数精度のキャッシュ保持 ○ メモリ＜ー＞ファイルによるスループットの低下 52
- 53. 直接レンダリング ● サブディビジョンサーフェス（Catmull-Clark）はBスプライン パッチに変換可能 ● Bスプラインパッチの交差判定 ○ ニュートン法 ○ ベジェクリッピング法 ● 任意精度で交差点を評価 ○ レイディファレンシャルで精度取得 ● 特徴適応分割したBスプラインパッチ取得 53
- 54. ベジェクリッピング法 ● オリジナルは西田先生開発(1990年) ● 凸包性を使うため、４～５回のループでロバストに交点が求 まる ● メモリ消費を少なく抑え、リミットサーフェスを評価 ● クラックを避けるためには、IEEE754 浮動小数点演算の挙 動に注意が必要 （特徴適応分割での Watertight 評価と同等） 54 Takahito Tejima and Toru Matsuoka, Direct Ray Tracing of Full-Featured Subdivision Surfaces with Bezier Clipping. Journal of Computer Graphics Techniques (JCGT), vol. 4, no. 1, 69-83, 2015
- 55. ● 特徴適応分割に対応したBスプラインパッチ取得 ● セミクリースなどを少ないパッチで描画 ● 少ないメモリ消費 55 特徴適応分割した Bスプラインパッチ
- 56. デモ 56
- 57. サブディビジョンサーフェスまとめ ● Catmull-Clark サーフェスは３次Bスプラインの拡張 ● Bスプライン関連のテクニックがほとんど使える 多くの技術は日本のCAD業界で80～90年代に開発済 ● リミットサーフェスを描画したい。 ○ 有限回分割した４角形を描画するのでは不十分 ● 法線や二次微分は解析的に正しく求まる ● 微分幾何に親しもう ○ 物体の形状を決めているのは、曲率 57
- 58. サブディビジョンサーフェスの真価 ● 曲面を描画するための表現方法 ● ディスプレイスメントでディティールを作れる ● C2 連続な二次微分を解析的に求められ、 様々な応用が可能 ● 解像度フリー ○ ハイエンド・ローエンドで共通データ ○ レンダリングと３Dプリントで共通データ ● 事前テセレーションに比べメモリ効率がよく、 レイトレにも向いている ● さようならポリゴン、今までありがとう 58
- 59. 学習教材 Pixar in a box : カーン・アカデミー ピクサー映画を素材に、サブディビジョンをわかりやすく解 説してます。英語ですが英語の勉強にも！ https://www.khanacademy.org/partner- content/pixar/modeling-character/modeling- subdivision/a/start-here-character 59
- 60. ありがとうございました スライドはこちらから http://takahito-tejima.github.io WebGL 版、SVG版 OpenSubdiv ビューワ もあります （ちょっと重いけど） お試しください emscripten 利用、PC/Mac/mobile ご質問等は takahito@pixar.com まで ご感想、つぶやき、ひとりごとは @gishicho, @ototoi まで 60
- 61. 付録 Appendix 61
- 62. スプラインサーフェス スプライン＝区分多項式補間 サブディビジョンで使われる多項式基底 ● バーンスタインベジェ ● B-スプライン ● BOX-スプライン（Bスプラインの一般化） Catmull-Clark では双３次一様Bスプラインを多用 62
- 63. 様々なサブディビジョン手法（一部） 63 プライマル（面分割） デュアル（頂点分割） 正則部の基底 特異頂点以外の 連続性 補間系（制御点を通る） 近似系（制御点を通らない） Loop プライマル Boxスプライン C2 近似系 Catmull-Clark プライマル Bスプライン C2 近似系 Doo-Sabin デュアル Bスプライン C1 近似系 4-8 プライマル + デュアル Boxスプライン C4 近似系 Kobbelt プライマル 一般多項式 C1 補間系 Butterfly プライマル 一般多項式 C1 補間系 その他いろいろ 今でも学会では毎年のように新手法や改良型が提案されているが、実用されてるのは ほぼ Loop（三角形） と Catmull-Clark（四角形、一般） のみ （Softimage が Doo-Sabin 使っていたが・・・）
- 71. C2 グレゴリーパッチ 71