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Modèles bayésiens pour les montants agrégés
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Modèles bayésiens et Chain Ladder
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Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
Bayesian estimation for reserves
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Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
Bayesian estimation for reserves
2100 2200 2300...
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Bayesian estimation for reserves
0 2000 4000 60...
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  1. 1. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V Statistique de l'assurance, STT 6705 Statistique de l'assurance II Arthur Charpentier …niversité ‚ennes I 8 …niversité de wontré—l arthur.charpentier@univ-rennes1.fr ou ou charpentier@DMS.UMontreal.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ 10 novembre 2010 I
  2. 2. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V Notations dans les triangles de paiements 0 1 2 3 4 5 0 3209 4372 4411 4428 4435 4456 1 3367 4659 4696 4720 4730 2 3871 5345 5398 5420 3 4239 5917 6020 4 4929 6794 5 5217 xous —vions vu trois présent—tions des pro™essus de développementD λj = E(Ci,j+1) E(Ci,j) et γj = E(Ci,j+1) E(Ci,n) pour j = 0, · · · , n − 1F P
  3. 3. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V Notations dans les triangles de paiements ‚—ppelons que l9on peut relier ™es ™oe0™ients vi— λj = γj+1 γj et γj = n−1 k=j 1 λk . gomme —up—r—v—ntD on peut introduire les f—™teurs de développements empiriques λ,j = Ci,j+1 Ci,j et γi,j = Ci,j+1 Ci,n v— méthdode gh—in v—dder repose sur λCL j = n−j−1 i=0 Ci,j+1 n−j−1 i=0 Ci,j = n−j−1 i=0 Ci,j+1 n−j−1 i=0 Ci,j · λi,j. Q
  4. 4. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V yn en déduit —lors les t—ux de développement suiv—ntsD γCL j = n−1 k=j 1 λCL k . H I P Q R S λCL j IDQVHWQ IDHIIRQ IDHHRQR IDHHIVT IDHHRUR IDHHHH γCL j UHDVIW7 WUDUWT7 WVDWIR7 WWDQRR7 WWDSPW7 IHHDHHH7 Table I ! p—™teurs de développementD λ = (λi)D exprimés en ™—den™e de p—iements p—r r—pport à l— ™h—rge utlimeD en ™umulé @iFeF γAF R
  5. 5. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V La méthode de Bornhutter-Ferguson v— méthode de fornhutterEperguson vise à prédire dire™tement les réserves Ri = Ci,n − Ci, n − i de telle sorte que si l9on dipose de développement γ) = (γ0, · · · , γn−1)D E(Ri) = [1 − γn−i]E(Ci,n). h—ns l9—ppro™he origin—leD l9estim—teur de Ri ét—it —lors Ri = [1 − γCL n−i]πiLRi où γCL n−i est l9estim—teur proposé —up—r—v—ntD πi ™orrespond à un e'et ligneD que l9on pourr— —ssimiler à l— prime —™quiseD et LRi une prédi™tion du loss ratioD où LRi = E(Ci,n)/πiF v— ™h—rge ultime prédite est —lors Ci,n = Ci,n−i + [1 − γCL n−i]πiLRi. S
  6. 6. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V gette idée peut se génér—liserD en not—nt que Ci,n = Ci,n−i + [1 − γn−i]Ci,n, où l9on peut rempl—™er l9estim—teur gh—in v—dder du t—ux de ™—den™e p—r un —utreD γn−i et rempl—™er l— ™h—rge ultime ™i˜le πiLRi p—r un —utre estim—teur Ci,nF T
  7. 7. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V La méthode de Bornhutter-Ferguson généralisée ƒupposons que l9on dispose • d9estim—tions a priori des ™—den™es de p—iements γ) = (γ0, · · · , γn−1)D • d9estim—tions a priori des ™h—rges ultimes α) = (α0, · · · , αn)D @proven—nt d9—utres modèlesD d9inform—tions exogènesD et™AD —lors E(Ci,n) = Ci,n−i + [1 − γn−i]αi. Remarque si on tr—v—ill—it sur les in™réments φj on —ur—it ϕj = E(Yi,j+1) E(Ci,n) F gette méthode revient —lors à ™onsidérer un modèle intégr—nt des f—™teurs ligne αi et des f—™teurs ™olonnes ϕj pour modéliser les in™réments de p—iements Yi,j+1F U
  8. 8. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V La méthode dite Loss Development yn n9utilise i™i que des a priori sur les ™—den™esD et on réé™rit E(Ci,k) = γk Ci,n−i γn−i —ussi CLD i,n = γk Ci,n−i γn−i iFeF on ™onsidère i™i αLD i = Ci,n−i/γn−iF Remarque r—ppelons que CCL i,k = Ci,n−i k−1 j=n−i λCL j D ™9est à dire CCL i,k = γCL k Ci,n−i γCL n−i don™ si γLD k = γCL k D on retom˜e sur l9estim—teur proposé p—r l— méthode gh—in v—dderF V
  9. 9. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V La méthode dite Cape Code yn dispose i™i d9estim—tions a priori des ™—den™es de p—iements γ) = (γ0, · · · , γn−1)D et on suppose que pour toutes les —nnées de surven—n™eD il existe un loss ratio ™i˜leD LR = E(Ci,n) πi pour tout i ƒoit LR CC un estim—teur de ™ette qu—ntitéD —lors CCC i,k = Ci,n−i + [γk − γn−i]πiLR CC . h—ns l— méthode origin—leD LR CC = n i=0 Ci,n−i n i=0 πiγn−i F W
  10. 10. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V Comment estimer a priori les γj ? xous —vons vu que l— méthode gh—in v—dder pouv—it permettre de ré™upérer des prédi™tions γCL j F €—rmi les —utres méthodes on peut utiliser le €—nning r—tioF €our ™el—D on ™her™he à modéliser les f—™teurs in™rément—ux βj = E(Yi,j)/E(Yi,0)F yn peut rep—sser —ux γj en not—nt que γk = k j=0 βj n j=0 βj €osons βi,j = Yi,j Yi,0 et ™onsidérons une moyenne pondérée βj = n−j i=1 ωi,jβi,j. IH
  11. 11. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V ve €—nning r—tio est o˜tenu en ™onsidér—nt les poids suiv—nts βPR j = n−j i=1 Y 2 i,0 n−i h=0 Y 2 h,0 βi,j. it on pose —lors γPR j = j k=0 βPR j n k=0 βPR j . sl est —ussi possi˜le d9utiliser les in™réments de loss r—tiosD Li,j = Yi,j πi et là —ussiD on pose Lj = n−j i=1 ωi,jLi,j. II
  12. 12. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V …n estim—teur usuel est donné p—r LAD j = n−j i=1 πi n−j k=0 πk Li,j. ™orrespond—nt à un modèle —dditifF it on pose —lors γAD j = j k=0 LPR j n k=0 LPR j . Modèles bayésiens et Chain Ladder he m—nière génér—leD un méthode ˜—yésienne repose sur deux hypothèses • une loi — priori pour les p—r—mètres du modèle @Xi,jD Ci,jD λi,jD LRi,j = Ci,j/PjD et™A • une te™hnique pour ™—l™uler les lois — posterioriD qui sont en génér—l —ssez ™omplexesF IP
  13. 13. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V Modèles bayésiens pour les nombres de sinistres ƒoit Ni,j l9in™rément du nom˜re de sinistresD iFeF le nom˜re de sinistres survenus l9—nnée iD dé™l—rés l9—nnée i + jF yn note Mi le nom˜re tot—l de sinistres p—r —nnée de surven—n™eD iFeF Mi = Ni,0 + Ni,1 + · · · F ƒupposons que Mi ∼ P(λi)D et que p = (p0, p1, · · · , pn) désigne les proprotions des p—iments p—r —nnée de dérouléF gonditionnellement à Mi = miD les —nnées de surven—n™e sont indépen—ntesD et le ve™teur du nom˜re de sinistres survenus —nnée l9—nnée i suit une loi multinomi—le M(mi, p)F v— vr—isem˜l—n™e est —lors L(M0, M1, · · · , Mn, p|Ni,j) = n i=0 Mi! (Mi − Nn−i)!Ni,0!Ni,1! · · · Ni,n−i! [1−pn−i]Mi−Nn−i p Ni, 0 où Nn−i = N0 + N1 + · · · + Nn−i et pn−i = p0 + p1 + · · · + pn−iF sl f—ut ensuite de donner une loi — priori pour les p—r—mètresF v— loi — posteriori ser— —lors proportionnelle produit entre l— vr—isem˜l—n™e et ™ette loi — prioriF IQ
  14. 14. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V Modèles bayésiens pour les montants agrégés yn pose Yi,j = log(Ci,j)D et on suppose que Yi,j = µ + αi + βj + εi,jD où εi,j ∼ N(0, σ2 )F eussiD Yi,j suit une loi norm—leD f(yi,j|µ, α, β, σ2 ) ∝ 1 σ exp − 1 2σ2 [yi,j − µ − αi − βj] 2 , et l— vr—isem˜l—n™e est —lors L(θ, σ|Y ) ∝ σ−m exp   i,j [yi,j − µ − αi − βj] 2   où m = (n(n + 1)/2 désigne le nom˜re d9o˜serv—tions p—sséesF v— di0™ulté est —lors de spé™i(er une loi — priori pour (θ, σ2 )D iFeF (µ, α, β, σ2 )F IR
  15. 15. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V Modèles bayésiens et Chain Ladder h—ns le ™—dre des modèles de provisionnementD on suppose λi,j|λj, σ2 j , Ci,j ∼ N λj, σ2 j Ci,j xotons γj = log(λj)F λ désigne l9ensem˜le des o˜serv—tionsD iFeF λi,jD et le p—r—mètre que l9on ™her™he à estimer est γF v— logEvr—isem˜l—n™e est —lors log L(λ|γ, C, σ2 ) = i,j log Ci,j σ2 j − Ci,j σ2 j [λi,j − exp(γj)] 2 in utilis—nt le théorème de f—yes log L(λ|γ, C, σ2 ) a posteriori = log π(γ) a priori + log L(γ|λ, C, σ2 ) log vraisemblance +™onst—nte ƒi on utilise une loi uniforme ™omme loi — prioriD on o˜tient log L(λ|γ, C, σ2 ) = log L(γ|λ, C, σ2 ) + ™onst—nte IS
  16. 16. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V ves ™—l™uls de lois ™onditionnelles peuvent être simples d—ns ™ert—ins ™—s @très limitésAF he m—nière gérér—leD on utilise des méthodes de simul—tion pour —ppro™her les loisF in p—rti™ulierD on peut utiliser les —lgorithmes de qi˜˜s ou d9r—stingsEwetropolisF yn p—rt d9un ve™teur initi—l γ(0) = (γ (0) 1 , · · · , γ (0) m )D puis    γ (k+1) 1 ∼ f(·|γ (k) 2 , · · · , γ (k) m , λ, C, σ) γ (k+1) 2 ∼ f(·|γ (k+1) 1 , γ (k) 3 , · · · , γ (k) m , λ, C, σ) γ (k+1) 3 ∼ f(·|γ (k+1) 1 , γ (k+1) 2 , γ (k) 4 , · · · , γ (k) m , λ, C, σ) FFF γ (k+1) m−1 ∼ f(·|γ (k+1) 1 , γ (k+1) 2 , · · · , γ (k+1) m−2 , γ (k) m , λ, C, σ) γ (k+1) m ∼ f(·|γ (k+1) 1 , γ (k+1) 2 , · · · , γ (k+1) m−1 , λ, C, σ) e l9—ide de ™et —lgorithmeD on simule —lors de tri—ngles CD puis on estime l— pro™ess errorF v9—lgorithme d9—d—pt—tive reje™tion metropolis s—mpling peut —lors être utiliser IT
  17. 17. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V pour simuler ™es di'érentes lois ™onditionnelle @™f f—lson @PHHVAAF v— méthode de rejet est ˜—sé sur l9idée suiv—nte • on souh—ite tirer @indépendemmentA suiv—nt une loi fD qu9on ne s—it p—s simuler • on s—it simuler suiv—nt une loi g qui véri(e f(x) ≤ Mg(x)D pour tout xD où M peut être ™—l™uléeF v9—gorithme pour tirer suiv—nt f est —lors le suiv—nt • f—ire une ˜ou™le ◦ tirer Y selon l— loi g ◦ tirer U selon l— loi uniforme sur [0, 1]D indépend—mment de Y D • t—nt que U > f(Y ) Mg(Y ) F • poser X = Y F yn peut utiliser ™ette te™hnique pour simuler une loi norm—le à p—rtir d9une loi de v—pl—™eD de densité g(x) = 0.5 · exp(−|x|)D —ve™ M = √ 2eπ−1F w—is ™et —lgorithme est très ™outeux en temps s9il y — ˜e—u™oup de rejetsD IU
  18. 18. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V −4 −2 0 2 4 0.00.10.20.30.40.50.6 q q q q qq q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q qqq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q 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q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q qq q q q q qq q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q v9—d—pt—tive reje™tion s—mpling est une extension de ™et —lgorithmeD à ™ondition d9—voir une densité logE™on™—veF yn p—rle —ussi de méthode des ™ordesF yn m—jore lo™—lement l— fon™tion log f p—r des fon™tions liné—iresF yn ™onstruit —lors une enveloppe à log fF yn m—jore —lors f p—r une fon™tion gn qui v— dépendre du p—sF IV
  19. 19. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −20−15−10−505 q q q q q q q q pormellementD on ™onstruit Li,j(x) l— droite reli—nt les points (xi, log(f(xi))) et (xj, log(f(xj)))F yn pose —lors hn(x) = min {Li−1,i(x), Li+1,i+2(x)} , IW
  20. 20. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V qui dé(nie —lors une enveloppe de log(f) @p—r ™on™—vité de log(f)F yn utilise —lors un —lgorithme de rejet —ve™ ™omme fon™tion de référen™e gn(x) = exp(hn(x)) exp(hn(t))dt norm—lisée pour dé(nir une densité. • f—ire une ˜ou™le ◦ tirer Y selon l— loi gn ◦ tirer U selon l— loi uniforme sur [0, 1]D indépend—mment de Y D • t—nt que U > f(Y ) exp(hn(Y )) F • poser X = Y F in(nD l9—d—pt—tive reje™tion metropolis s—mpling r—joute une ét—pe suppl ¡ment—ireD d—ns le ™—s des densité non logE™on™—veF v9idée est d9utiliser l— te™hnique pr陡d—nteD même si hn n9est plus for™ément une enveloppe de log(f)D puis de r—jouter une ét—pe de rejet supplémen—t—ireF ‚—ppelons que l9on ™her™he à implénter un —lgorithme de qi˜˜sD ™9est à dire ™réér une suite de v—ri—˜les X1, X2, · · · F PH
  21. 21. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V ƒupposons que l9on dispose de Xk−1F €our tirer XkD on utilise l9—lgorithme pré™éd—ntD et l— nouvelle ét—pe de rejet est l— suiv—nte • tirer U selon l— loi uniforme sur [0, 1]D indépend—mment de X et de Xk−1D ◦ si U > min 1, f(X) min{f(Xk−1), exp(hn(Xk−1))} f(Xk−1) min{f(X), exp(hn(X))} —lors g—rder Xk = Xk−1 ◦ sinon poser Xk = X PI
  22. 22. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V Code R pour l'algorihtme ARMS ges fon™tions exponentielles p—r mor™e—ux sont inéress—ntes ™—r elles sont f—™iles à simulerF v— fon™tion hn est liné—ires p—r mor™e—uxD —ve™ ™omme noeuds NkD de telle sorte que hn(x) = akx + bk pour tout x ∈ [Nk, Nk+1]. elors gn(x) = exp(hn(x)) In où In = exp(hn(t))dt = exp[hn(Nk+1)] − exp[hn(Nk)] ak F yn ™—l™ule —lors GnD l— fon™tion de rép—rtition —sso™iée à gnD et on f—it utilise une méthode d9inversion pour tirer suiv—nt GnF PP
  23. 23. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V Bayesian estimation for reserves 0 200 400 600 800 1000 220023002400250026002700 iteration reserves(total) PQ
  24. 24. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V Bayesian estimation for reserves 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 0.0000.0010.0020.0030.0040.005 reserves (total) 2500 2550 2600 2650 2700 2750 0.900.920.940.960.981.00 reserves (total) q q q PR
  25. 25. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V Bayesian estimation for reserves 0 2000 4000 6000 8000 10000 250025202540256025802600 95%Value−at−Risk PS

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