Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   Perspectives      ...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesDéroul...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesPlan  ...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesContex...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesWhippi...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesProces...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesExempl...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesExempl...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   Perspectives      ...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   Perspectives      ...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesTaux d...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesFormul...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   Perspectives      ...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesObject...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesPlan  ...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesModèle...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesMouvem...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesDistri...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesRelati...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile    Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesLMA  ...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile    Taux de Franchissements pour LMA     Processus de Réponse   PerspectivesMom...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   Perspectives      ...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesPlan  ...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesTaux d...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesMéthod...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesMéthod...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA     Processus de Réponse       Perspectives...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesContri...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesExempl...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesExempl...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesAvanta...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesPlan  ...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesReprés...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesPrésen...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesAnalys...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile    Taux de Franchissements pour LMA     Processus de Réponse   PerspectivesKac...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesCalcul...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   Perspectives      ...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesRelati...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesMéthod...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   Perspectives      ...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile    Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesMétho...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   Perspectives      ...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesExempl...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesExempl...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesExempl...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile    Taux de Franchissements pour LMA       Processus de Réponse   PerspectivesE...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesExempl...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA      Processus de Réponse   PerspectivesExe...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesExempl...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesRemarq...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   PerspectivesPlan  ...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   Perspectives      ...
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   Perspectives      ...
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

Presentation juin

732 vues

Publié le

Soutenance de Thèse

Publié dans : Formation
0 commentaire
0 j’aime
Statistiques
Remarques
  • Soyez le premier à commenter

  • Soyez le premier à aimer ceci

Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
732
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
144
Actions
Partages
0
Téléchargements
0
Commentaires
0
J’aime
0
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

Presentation juin

  1. 1. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Taux de franchissements pour processus non gaussiens et applications aux comportements de structures Thomas Galtier Directeurs Valérie Monbet Igor Rychlik Rapporteurs Examinateurs José León Emile Le Page Marc Prevosto Evans Gouno T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 1
  2. 2. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesDéroulement de la thèse Université de Chalmers, Gotebörg, Suède Centre de Modélisation Mathématiques de Gotebörg Project Européen Seamocs Modèles Stochastiques Appliqués à l’ingénierie océanographique, climatologie et sécurité Université de Bretagne Sud (UBS) Laboratoire Lab-Sticc, Vannes Bourse Région Bretagne T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 2
  3. 3. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesPlan 1 Introduction 2 Laplace à Moyenne Mobile 3 Taux de Franchissements pour LMA 4 Processus de Réponse 5 Perspectives T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 3
  4. 4. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesContexte Transport maritime international = 90 % du commerce mondial Dans ce contexte la fiabilité et le dimensionnement des navires est important Sources d’inquiétudes : Endommagement en fatigue accumulée S’accumule dès que le navire est mis à l’eau Apparaît lorsque le niveau maximum des efforts reste inférieur à la résistance ultime Fissures localisées Niveau des efforts plus élevé, dépasse la résistance ultime T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 4
  5. 5. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesWhipping Il existe des règles de classification que les constructeurs doivent suivre. Mais nouveaux matériaux, taille des navires, changements de route du navire, etc. => possible sous estimation des risques. Exemple : Whipping ≈ Vibrations à hautes fréquences ; Augmentation des efforts extrêmes ; Identifié mais pas pris encore en compte. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 5
  6. 6. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesProcessus étudiés Les problèmes auxquels nous nous intéressons sont relatifs aux processus non gaussiens. 1 Excitation non gaussienne Ex : houle non linéaire en faible profondeur 2 Propriétés non linéaires du système Ex : mouvement de cavalement d’un navire 3 Réponse non linéaire à une excitation non gaussienne Ex : réponse à une houle non linéaire T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 6
  7. 7. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesExemple I Élévation de surface libre à un point fixé (mouvement d’une bouée en un point fixe) Skewness ≈ 0.25 Kurtosis ≈ 3.17 Faiblement non gaussien T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 7
  8. 8. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesExemple II Efforts mesurés dans la partie arrière d’un porte conteneur Skewness ≈ 1.12 Kurtosis ≈ 7.65 Clairement non gaussien Classiquement considéré comme une réponse linéaire à une excitation non gaussienne T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 8
  9. 9. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Avantage d’un processus gaussien Processus caractérisé par sa structure d’ordre 2 (spectre ou fonction d’auto-covariance) ; Inconvénients d’un processus gaussien Ne permet pas marginales asymétriques . . . ou ayant des queues plus lourdes. On cherche donc à utiliser un processus qui 1 Aurait une structure d’ordre 2 facilement estimable ; 2 Permettrait une flexibilité plus importante sur les marges. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 9
  10. 10. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Une classe de processus nous permet cela : Processus de Laplace - [Kotz et al. 2001] En effet ce processus est caractérisé par : Sa densité spectrale Et 4 paramètres permettant de modéliser des marges asymétriques . . . et ayant des queues plus lourdes que les gaussiennes. Et admet comme cas particuliers : Marges gaussiennes, exponentielles, gamma T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 10
  11. 11. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesTaux de franchissements Une statistique très importante en ingénierie offshore E[NT (u)] Analyse de l’endommagement en fatigue +∞ nb 1 DT = 2m(2u)m−1 E[NT (u)] du, α 0 où α et m sont des paramètres définis par les règles de classification. Estimation risque de fissure : pour MT = max Xt , 0≤t≤T P(MT > u) ≤ P(X0 > u) + E[NT (u)]. Quand Xt stationnaire et p.s. continument différentiable alors E[NT (u)] = T · µ(u). T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 11
  12. 12. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesFormule de Rice [1944,1945] Le taux de franchissements croissants d’un niveau u est donné par ∞ µ(u) = zfX (0),X (0) (u, z) dz ˙ 0 où fX (0),X (0) est la densité jointe de X et de sa dérivée ˙ temporelle X . ˙ µ(u) dépend donc de fX ,X (rarement explicite) . . . ˙ . . . sauf quand X (t) gaussien où la formule de Rice devient 1 ˙ Var(X (0)) u2 µG (u) = exp{− }. 2π Var(X (0)) 2Var(X (0)) T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 12
  13. 13. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Quand X (t) n’est pas gaussien la formule de Rice n’est pas donnée de façon explicite ; De plus la densité jointe, fX ,X , souvent difficile à calculer ; ˙ Simulation de Monte Carlo pas efficace en temps de calcul ; Différentes méthodes existent pour approcher µ(u) quand fX ,X n’est pas explicite . . . ˙ . . . notamment quand la fonction caractéristique est calculable explicitement. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 13
  14. 14. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesObjectifs de la thèse 1 Proposer un modèle de processus non gaussien Caractérisé par sa structure d’ordre 2 Permettant une plus grande flexibilité sur les marges. 2 Développer des méthodes pour évaluer les taux de franchissements pour Ce processus non gaussien La réponse à ce processus par un système quadratique T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 14
  15. 15. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesPlan 1 Introduction 2 Laplace à Moyenne Mobile 3 Taux de Franchissements pour LMA 4 Processus de Réponse 5 Perspectives T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 15
  16. 16. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesModèle Stochastique X (t) = f (t − s) dΛ(s), R où f est un noyau adapté de L2 et Λ une mesure stochastique. Convolution de f avec les accroissements dΛ : f ∗ dΛ ; Si Λ Gaussien (Mouvement Brownien) X (t) Gaussien ; Dans notre cas Λ sera un mouvement asymétrique de Laplace. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 16
  17. 17. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesMouvement de Laplace Un processus stochastique Λ(t) est appelé mouvement asymétrique de Laplace si 1 il commence à l’origine : Λ(0) = 0 ; 2 ses accroissements sont indépendants et stationnaires ; 3 ses accroissements dΛ suivent une distribution asymétrique généralisée de Laplace (GAL(µ, σ, τ )) T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 17
  18. 18. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesDistributions Asymétriques Généralisées de Laplace Mieux décrites par leurs fonctions caractéristiques que par leurs densités qui sont difficiles à obtenir Si dΛ ∼ GAL(µ, σ, τ ) alors τ 1 φdΛ (u) = 1 2 2 1 + 2 σ u − iµu µ paramètre de symétrie ; σ paramètre d’échelle ; τ paramètre de forme. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 18
  19. 19. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesRelation Spectre - Noyau Spectre de X donné par σ 2 + µ2 S(ω) = τ |Ff (ω)|2 2π f est symétrique Exemple I Spectre estimé Noyau correspondant T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 19
  20. 20. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesLMA On définit alors le processus de Laplace à moyenne mobile (LMA) par X (t) = f (t − s) dΛ(s) R Les paramètres du LMA dépendent donc des paramètres (µ, σ, τ ) du processus de Laplace Λ . . . et du noyau f défini par le spectre du processus S(ω). T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 20
  21. 21. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesMoments La moyenne et la variance sont données par E[X (t)] = τ µ f (x) dx, Var[X (t)] = τ σ 2 + µ2 . (1) R Le skewness et le kurtosis par 3 (x) 2µ2 + 3σ 2 Rf dx s = µτ −1/2 , (2) (µ2 + σ 2 )3/2 2 3/2 R f (x) dx 4 3 σ4 R f (x) dx κ= 2− 2 + σ 2 )2 2 . (3) τ (µ f 2 (x) dx R T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 21
  22. 22. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Dans la suite pour une série temporelle observée on utilisera la procédure suivante pour estimer les paramètres du LMA 1 Estimation de la moyenne, variance, skewness et kurtosis 2 Estimation du spectre 3 Par inversion de Fourier on obtient le noyau f En supposant f symétrique et R f 2 dx = 1 4 Les paramètres (µ, σ, τ ) sont alors obtenus en résolvant les Eq.(1-3) T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 22
  23. 23. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesPlan 1 Introduction 2 Laplace à Moyenne Mobile 3 Taux de Franchissements pour LMA 4 Processus de Réponse 5 Perspectives T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 23
  24. 24. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesTaux de Franchissements Formule de Rice : ∞ µ(u) = zfX (0),X (0) (u, z) dz ˙ 0 Pour le LMA la densité jointe, fX (0),X (0) difficile à calculer ; ˙ Mais pour le LMA la fonction φX (0),X (0) est explicite ! ˙ On pourrait utiliser méthode de Fourier inverse [Aberg 2010] Ici on adapte la méthode du point selle pour un LMA car Très efficace en temps de calcul Méthode reposant sur la connaissance de la fonction génératrice des cumulants (ou des moments) K (s, t) = ln{φX (0),X (0) (−is, −it)}. ˙ T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 24
  25. 25. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesMéthode du Point Selle Introduite par Daniels (1954) pour approcher la densité jointe fX (0),X (0) en utilisant la fonction K (s, t) ˙ ˆ 1 ¨ ˆ −1/2 fX (0),X (0) (u, z) = ˙ ˆ |K (s, t)| exp K (s, ˆ − su − ˆ , ˆ t) ˆ tz 2π ¨ où K est la matrice Hessienne de K et le point selle (s, ˆ est ˆ t) solution de : ∂K (s, t) = u, ∂s ∂K (s, t) = z. ∂t T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 25
  26. 26. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesMéthode du Point Selle [Machado 2003] Machado : variante pour approcher µ(u) par h(0)eg(0) g (0) h (0) 1 g (4) (0) µsd (u) = √ 1+ − , 2π 2π 2h(0)g (0) 24 g (0)2 avec si on note L(s, t) = K (s, t) − su − tz : −1/2 g(t) = L(st , t), h(t) = L (st , t) où L (st , t) est la dérivée seconde en s st minimum local de L(s, t) pour un t fixé T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 26
  27. 27. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesMéthode du Point Selle LMA Pour X ∼ LMA, K (s, t) est explicite et symétrique K (s, t) = −τ log (r (x; s, t)) dx, R 2 σ2 où r (x; s, t) = 1 − iµ sf (x) + tf (x) + 2 sf (x) + tf (x) . K (s, t) et ses dérivées dépendent donc du noyau f et des paramètres du mouvement de Laplace (µ, σ, τ ) Méthode bien établie en théorie mais . . . Problèmes numériques T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 27
  28. 28. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesContribution [Galtier 2011] Pour évaluer µsd (u) on doit d’abord trouver s0 solution de ∂K (s, 0) =u ∂s Équation non linéaire On utilise la fonction inverse s → u = ∂K∂s (s,0) On choisit un vecteur s et on calcule u(s) pour déterminer µsd (u(s)) Sensible au noyau f et au vecteur s Difficile de trouver s pour les niveaux u qui nous intéressent Calcul de dérivées d’ordre très élevé de K (s, t) Développé et intégré dans la boite à outil Wafo de Matlab T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 28
  29. 29. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesExemple I - Élévation de surface libre à un point fixé Échelle log . µobs (u) (ligne solide irrégulière) µsd (u) (ligne solide régulière) µG (u) (ligne pointillée) Point selle précis. Avec une hypothèse gaus- sienne on a une sous- estimation pour les niveaux élevés. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 29
  30. 30. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesExemple II - Efforts mesurés dans la partie arrièred’un porte conteneur Échelle log . µobs (u) (ligne solide irrégulière) µsd (u) (ligne solide régulière) µG (u) (ligne pointillée) Ligne irrégulière à cause de la variance d’estimation T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 30
  31. 31. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesAvantages et Inconvénients Avantages : Pratique et précis quand K (s, t) est connue et symétrique ; Permet de simuler rapidement µsd (u) pour u très grand Prédiction sur toute la durée de vie d’un navire ; Beaucoup plus rapide que méthode de Fourier inverse. Inconvénients : K (s, t) et M(s, t) peuvent ne pas exister ; Difficultés numériques Nécessite de trouver un minimum local Calcul des dérivées d’ordre élevées de K (s, t) Contribution : Fonctions automatisées sous Matlab [Galtier 2011] T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 31
  32. 32. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesPlan 1 Introduction 2 Laplace à Moyenne Mobile 3 Taux de Franchissements pour LMA 4 Processus de Réponse 5 Perspectives T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 32
  33. 33. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesReprésentation La réponse, Y (t), d’un système quadratique soumis à une excitation, notée X (t), peut s’écrire en série de Volterra : Y (t) = Y1 (t) + Y2 (t), (4) où Y1 (t) = h1 (s)X (t − s) ds, R Y2 (t) = h2 (s1 , s2 )X (t − s1 )X (t − s2 ) ds1 ds2 . R×R où h1 (·) fonction de transfert linéaire h2 (·, ·) fonction de transfert quadratique T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 33
  34. 34. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesPrésentation du Problème Dans cette partie Y (t) comme dans Eq.(4) avec X (t) de type LMA. 1 Ecrire Y (t) quand X (t) = f (t − x)dΛ(x), (LMA) R 2 Proposer une méthode pour calculer µY (u) Précise Et pas trop couteuse en temps de calcul T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 34
  35. 35. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesAnalyse de la Réponse Réécriture de Y (t) Y (t) = Y1 (t) + Y2 (t), avec Y1 (t) = q(t − x) dΛ(x), R 1 Y2 (t) = Q(t − x1 , t − x2 ) dΛ(x1 ) dΛ(x2 ). 2 R×R Où q(t) = h1 (s)f (t − s) ds, R Q(t, s) = h2 (s1 , s2 )f (t − s1 )f (s − s2 ) ds1 ds2 . R×R T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 35
  36. 36. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesKac-Siegert (1947) On projette la réponse au système du second ordre, Y (t), sur la base de fonctions propres normalisées φi (·) n λi 2 Y (t) ≈ ai Wi (t) + W (t), (5) 2 i i=1 n ˙ Y (t) ≈ ˙ ˙ ai Wi (t) + λi Wi (t)Wi (t). (6) i=1 T Wi (t) = φi (t − x) dΛ(x) ∼ LMA −T T Q(t, s)φi (s) ds = λi φi (t) −T T ai = φi (s)q(s) ds. −T T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 36
  37. 37. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesCalcul des taux de franchissements de Y ∞ µY (u) = zfY (0),Y (0) (u, z) dz ˙ 0 1 Simulations de Monte Carlo trop couteuses 2 La densité jointe, fY (0),Y (0) , est ici difficile à obtenir ˙ 3 La réponse est une transformation quadratique de vecteurs {Wi (t)}n de processus LMA. i=1 4 Fonction caractéristique, φY (0),Y (0) (s, t), difficile à calculer ! ˙ ˙ les {Wi (t)}n et les {Wi (t)}n ne sont pas indépendants i=1 i=1 T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 37
  38. 38. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives 1 Cas Particulier Y (t) = W1 (t) ∼ LMA, avec n = 1, a1 = 1 et λ1 = 0 dans Eq. (5) φY (0),Y (0) (s, t) explicite ˙ Méthode du point selle, µsd (u), pour approcher µY (u) [Galtier 2011]. 2 Cas Général Développer méthode basée sur méthode du point selle pour approcher µY (u) T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 38
  39. 39. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesRelation avec Processus gaussiens Suivant Kotz et al. un mouvement de Laplace asymétrique Λ(x) peut s’écrire Λ(t) = µΓ(t) + σB(Γ(t)), où Γ(t) est un processus Gamma avec accroissements : Indépendants et homogènes ; De distribution gamma de paramètres de forme τ et d’échelle 1. B(x) mouvement brownien standard. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 39
  40. 40. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesMéthode "hybride" - [Galtier 2010] Simulations de MC et méthode du point selle ˙ Utilise le fait que W (t)|Γ(·) et W (t)|Γ(·) gaussiens ! Λ(t)|Γ(t)=γ(t) = µγ(t) + σB(γ(t)) ˙ M(s, t|γ) = E[esY (0)+t Y (0) |Γ(·) = γ(·)] explicite. Contribution µY (u) = E [E [NY (u)|Γ(·) = γ(·)]] 1 Point selle 2 Simulations de MC (trajectoires gamma) pour calculer µY (u) T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 40
  41. 41. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives M(s, t|γ) n’est pas, en général, symétrique en t ! Y (t) est un processus réversible en temps si q(·) et Q(·, ·) symétriques Hypothèse faite au départ On définit le processus suivant ˜ 1 Y (t) = KY (t) + (1 − K )Y (t), K ∼ B( ) 2 M(s, t) symétrique pour ce processus et NY (u) = NY (u) ˜ Donc µY (u) = E E NY (u)|Γ(·) = γ(·) ˜ T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 41
  42. 42. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesMéthodologie - Rappels On note µ(u|γ) = E NY (u)|Γ(·) = γ(·) ˜ Alors on a N 1 µY (u) ≈ µ(u|γi ) N i=1 1 On simule N trajectoires d’un processus gamma 2 On calcule µ(u|γi ) en utilisant méthode du point selle 3 On fait la moyenne pour approximation de µY (u) T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 42
  43. 43. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives On va considérer 3 exemples 1 Cas particulier où Y (t) = Y1 (t) ∼ LMA Méthode du point selle utilisée comme référence 2 Y (t) = Y1 (t) + λ Y1 (t) 2 2 µY (u) calculé à partir de µY1 (u) Etude de la méthode avec ajout effet quadratique 3 Exemple général T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 43
  44. 44. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesExemple 1 - Cas particulier Y (t) = q(t − x) dΛ(x) ∼ LMA R 1 M(s, t) définie et explicite σ2 M(s, t) = exp −τ log(1 − r (x; s, t) − r (x; s, t)2 ) dx R 2 ˙ r (x; s, t) = sq(x) + t q(x) 2 q(·) symétrique donc M(s, t) symétrique 3 Méthode point selle utilisable T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 44
  45. 45. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesExemple 1 - Effort mesuré dans la partie arrière d’un porte conteneur Existence d’oscillations HF, principalement whipping µsd (u) N = estimateur de µY (u) avec méthode hybride µsd (u) = méthode point selle classique T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 45
  46. 46. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesExemple 1 - 1 réalisation de µsd (u) pour N N simulations de γi avec N = 102 (3.8 sec) N = 103 (≈ 38 sec) N = 104 (+ 6 min) Méthode point selle standard : µsd (u) (0.1 sec) T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 46
  47. 47. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesExemple 2 - λ 2 Y (t) = Y1 (t) + Y (t) 2 1 On montre que 1 2u 1 1 2u 1 µY (u) = µY1 − + + 2 + µY1 − − + 2 λ λ λ λ λ λ µY1 (u) calculé par méthode du point selle On prend Y1 (t) comme dans l’exemple I On choisit λ = 0.01 pour que contribution de la partie linéaire soit similaire à celle de la partie quadratique T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 47
  48. 48. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesExemple 2 - 1 réalisation de µsd (u) pour N N simulations de γi avec N = 102 N = 103 N = 104 Méthode point selle standard : µsd (u) T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 48
  49. 49. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesExemple 3 - Choix des fonctions q(·) et Q(·, ·) √ q(s) = exp(−s2 /50)/ 25π, −25 ≤ s ≤ 25 (s − t)2 Q(t, s) = 0.01 exp(− ) 50 T Paramètres de Λ(x) tels que Y1 (t) = −T q(t − s)dΛ(s) une moyenne nulle, variance 1, skewness 0.5 et kurtosis 4.5 Pour Q(t, s) seulement 12 λi = 0 de façon significative On prend N = 1000 simulations de γi ici car pour N = 100 la variabilité est trop importante T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 49
  50. 50. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesExemple 3 - MC simulations et méthode hybride pour N = 1000 Comparaison avec excitation gaussienne et même fonctions de transferts. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 50
  51. 51. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesRemarques sur méthode hybride [Galtier 2010] Les niveaux de précision de la méthode dépendent du nombre de simulations N de trajectoires gamma. Sans prendre en compte le caractère non gaussien de l’excitation on peut faire une erreur ≈ 100% Méthode plus rapide que pures simulations Applicable quand q(·) et Q(·, ·) symétriques Sur les exemples testés, pour N ≤ 1000 simulations il y a une trop grande variabilité dans les résultats T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 51
  52. 52. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse PerspectivesPlan 1 Introduction 2 Laplace à Moyenne Mobile 3 Taux de Franchissements pour LMA 4 Processus de Réponse 5 Perspectives T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 52
  53. 53. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Sur la méthode hybride Intégrer la méthode hybride dans boite à outil Wafo Tester la méthode hybride sur des données rélles Etudier la convergence dans L1 de µsd (u) (obtenir un TCL) N Sur le modèle de Laplace à moyenne mobile Etudier statistiques d’ordre plus élevées (comme durée de persistance) Etendre à un modèle spatio-temporel Apport de ce modèle par rapport à ceux existants T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 53
  54. 54. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives T. Galtier. Note on the estimation of crossing intensity for laplace moving average. Extremes, 14(2) :157–166, 2011. T. Galtier, S. Gupta, and I. Rychlik. Approximation of crossing intensities for non linear responses subjected to non gaussian loadings. In OMAE 2010, Shanghai, 2010. T. Galtier, S. Gupta, and I. Rychlik. Crossings of second-order response processes subjected to lma loadings. Journal of Probability and Statistics, 2010 :22 pages, 2010. W. Mao, Z. Li, T. Galtier, J. Ringsberg, and I. Rychlik. Estimation of wave loading induced fatigue accumulation and extreme response of a container ship in severe seas. In OMAE 2010, Shanghai, 2010. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 54

×