Algorithmes de jeux

III. REPRÉSENTATION ET RÉSOLUTION DE PROBLÈMES
LES ALGORITHMES
DE JEUX
INTELLIGENCE ARTIFICIELLE ET SYSTÈMES EXPERTS
Mohamed Heny SELMI medheny.selmi@esprit.tn

TYPES DE JEUX
 Les jeux simples où une analyse exhaustive est possible : Tic-Tac-Toe, Reversi,
Moulin, Les Allumettes,
ESPRIT 2012-2013
Mohamed Heny SELMI ©

TYPES DE JEUX
 Desjeux plus complexes: dames,échecs, Othello, Awalé…
 desalgorithmes spécifiques
 desméthodesheuristiques de recherche
ESPRIT 2012-2013

TYPES DE JEUX
 Des jeux à information partielle : Bridge, Poker, Belote, Dominos…
 Des raisonnementsde type probabiliste
ESPRIT 2012-2013

LES MÉTHODES DE RECHERCHES DES JEUX
► Les jeux à deux joueurs et à informations complètes utilisent des
techniquessemblablesà la représentationpar graphe d’états:
 On utilise des systèmes de productionpour générer les états
 Les nœudsd’un arbre de jeux : les configurationsdu damier
 Les branches : le passage d’une situation de jeu à un autre
ESPRIT 2012-2013
► Un arbre du jeu représente le déplacement de deux adversaires
► Un arbre d’espace de recherche représente le déplacement d’un agent de
résolutionde problème (ou planificateur)

NÉCESSITÉ D’UN ALGORITHME DE RECHERCHE
ESPRIT 2012-2013
 Du fait de la présence de deux joueurs ayant des objectifs antagonistes, la recherche
dans ces arbres ne peut se faire en utilisant des algorithmes de recherche de type A*
 Contrairement aux systèmes de résolution de problèmes, le planificateur ne dispose
pas de la maitrise complète de l’enchainement des opérateurs, puisque des décisions
extérieures à lui sont prises par l’adversaire
 Il est impossible, dans la plupart des jeux de générer l’ensemble de tout l’espace
d’état
 Un arbre de jeu pour les dames, plus difficiles que le Morpion, moins difficile que
l’échec, est estimé à 1040 nœuds.
 Si ces nœuds étaient produits à une cadence de 3 milliards/s alors la construction
entière prendrait près de 1021 siècles

LES STRATÉGIES SPÉCIFIQUES
ESPRIT 2012-2013
Il n’existe aucunmoyeninfaillible d’ordonner les éléments d’unensemble de situations possiblessur undamier
aucune formule permettant d’ordonner ne peut être calculée
Si ce moyen existait on pourraitchoisir le coup conduisantà la meilleur situation possibleà l’issued’un coup unique
On peut utiliser un algorithme de recherche
La décompte des pièces peutêtre unfacteur de choix pourle jeu de dames, mais cette mesure donneen généralde mauvais
résultats
Une autre stratégie est nécessaire !
► A partir d’uneposition(état) donnée,ongénèrel’ensembledespositionsqu’onpeut
atteindreen jouant un coup (niv.de profondeur1)
► A partir de chacune des positionsdeniveau1,on génèrel’ensembledespositionsque
l’adversairepeut atteindre(niv.de profondeur2)
► On peut recommencerl’opérationaussilongtempsque le permetla puissancede calcul
(générerniveaux3,4,5…n)
► L’arbrecomplet représentetoutesles possibilitésdu jeu. On construit ainsil’arbrede l’EE
du Pb
► L’arbredu graphed’étatsdu Pb représenteunepartie possibledujeu

LES STRATÉGIES SPÉCIFIQUES
ESPRIT 2012-2013
Il n’existe aucunmoyeninfaillible d’ordonner les éléments d’unensemble de situations possiblessur undamier
aucune formule permettant d’ordonner ne peut être calculée
Si ce moyen existait on pourraitchoisir le coup conduisantà la meilleur situation possibleà l’issued’un coup unique
On peut utiliser un algorithme de recherche
La décompte des pièces peutêtre unfacteur de choix pourle jeu de dames, mais cette mesure donneen généralde mauvais
résultats
Une autre stratégie est nécessaire !
► L’analyse d’une situation ne soit entreprise qu’après développement du jeu sur
plusieurs niveaux de coups et de réponses
► Si le développement se termine à une profondeur raisonnable, on peut comparer les
situations terminales et déduire une option pour le coup suivant
► On doit limiter l’exploration à une profondeur maximale de résolution
► À cette profondeur on attribue aux (pseudo) feuilles une valeur correspondante à
l’estimation de la position à travers une fonction d’évaluation

MINMAX
ESPRIT 2012-2013

PRINCIPE
i. Cette estimation peut se faire du point de vue d’un joueur fixe
ii. il doit à partir du niveau0 (racine)
iii. jouer le coup de niveau1 qui lui garantit le gain maximal contre toute défense de
son adversaire
iv. il suppose que son adversaire utilise aussi une stratégie optimale; jouer le coup de
niveau2 qui minimise son gain (le mettre dans la + grande difficulté)
v. jouer le coup de niveau3 qui lui garantit le gain maximal, etc.
ESPRIT 2012-2013
fonction d’évaluation

PROPRIÉTÉS
 Chaque joueur a une information explicite sur la position de son adversaire (jeu de dames,
jeu d’échec,allumettes, etc.) y comprisseschoixet mouvementspossibles
 2 joueurs effectuent alternativement un déplacement ou une opération, aucun élément
n’est laissé au hasard
 A chaque tour, les règles de jeu définissent:
 Quels mouvements sont acceptés
 Effets de chaque mouvement possible
 Choisir parmi les fils, le « meilleur » coup à jouer, c.-à-d. anticiper sur des situations(pas de
calcul à court terme,calcul des coups en avant)
 Le joueur commence par une configuration initiale de pions
 Finir par une victoire, une défaite ou un abandon (états finaux)
 Le nœud racine est l’état initial au quel c’est au tour du premier joueur d’effectuer un
déplacement, ses successeurs sont les états atteints par ce joueur, leurs successeurs sont
les états résultants des réponsespossiblesdel’adversaire,etc.
 Chaque chemin de la racine au nœud terminal représente une partie complète et possible
du jeu
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STRATÉGIE DE RECHERCHE
ESPRIT 2012-2013
 la stratégie MinMax : exploration en profondeur limitée
 2 joueurs O(ordinateur) et H(adversaire) : illustration de la def. de l’IA
 Une fonction h évalue la qualité d’une pos. terminale du pt de vue O
 A chaque niveau où O a la main, il choisira le coup de valeur maximale pour lui
(on parle de joueur ou nœud Max)
 A chaque niveau où H a la main, O suppose que son adversaire H essaie de le
mettre dans la plus grande difficulté et choisit donc le coup de valeur minimale
pour O; minimiser son gain, (joueur ou nœud Min)

EXEMPLE
 Les feuilles indiquent au processus MIN
qu’il peut envisager des scores de 2 à 1
 Connaissant ces scores, le processus MAX
se déplace vers le branchement à partir du
quelle le processus MIN ne pourra pas faire
mieux que d’abaisser le score à 2
 Le processus MAX espère arriver à la
situation donnant le score8, mais il sait que
le processus MIN ne le permettra pas.
Ce dernier peut choisir un coup conduisant
à 1
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ALGORITHME MINMAX
Function MINMAX-DECISION(state) returns an action
v  MAX-VALUE(state)
return the action in SUCCESSORS(state) with value v
Function MAX-VALUE (state) returns a utility value
if TERMINAL-TEST (state) then return UTILITY (state)
v  - ∞
for s in SUCCESSORS (state) do
v  MAX(v, MIN-VALUE (s) )
return v
Function MIN-VALUE (state) returns a utility value
v  + ∞
v  MIN(v, MAX-VALUE (s) )
return v
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15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
APPLICATION
L M N SRQO P XVUT Z A’YW
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = - ∞
v = - ∞
v = + ∞
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = - 3
v = - ∞
v = + ∞
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = - ∞
v = + ∞
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = - ∞
v = 15
v = - ∞
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = - ∞
v = 15
v = - 10
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = - ∞
v = 15
v = 3
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = - ∞
v = 3
v = 3
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 3
v = 3
v = 3
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 3
v = 3
v = 3
v = + ∞
v = - ∞
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 3
v = 3
v = 3
v = + ∞
v = 4
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 3
v = 3
v = 3
v = + ∞
v = 6
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 3
v = 3
v = 3
v = 6
v = 6
Mohamed Heny Selmi © ESPRIT

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 3
v = 3
v = 3
v = 6
v = 6
v = - ∞
Mohamed Heny Selmi © ESPRIT

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 3
v = 3
v = 3
v = 6
v = 6
v = -7
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 3
v = 3
v = 3
v = 6
v = 6
v = 12
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 6
v = 3
v = 3
v = 6
v = 6
v = 12
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 6
v = 3
v = 3
v = 6
v = 6
v = 12
v = + ∞
v = - ∞
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 6
v = 3
v = 3
v = 6
v = 6
v = 12
v = + ∞
v = 4
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 6
v = 3
v = 3
v = 6
v = 6
v = 12
v = + ∞
v = 8
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 6
v = 3
v = 3
v = 6
v = 6
v = 12
v = 8
v = 8 v = - ∞
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 6
v = 3
v = 3
v = 6
v = 6
v = 12
v = 8
v = 8 v = 20
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 6
v = 3
v = 3
v = 6
v = 6
v = 12
v = 8
v = 8 v = 30
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 6
v = 3
v = 3
v = 6
v = 6
v = 12
v = 8
v = 8 v = 30
v = - ∞
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 6
v = 3
v = 3
v = 6
v = 6
v = 12
v = 8
v = 8 v = 30
v = 20
ESPRIT 2012-2013

15-3 -5 -10 3 4 6 -7 12 4 8 12 30 20 1020
J KIE HGF
B C D
AMax
Max
Min
v = 15
v = 8
v = 3
v = 3
v = 6
v = 6
v = 12
v = 8
v = 8 v = 30
v = 20
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EXEMPLE ‘TIC-TAC-TOE’
Un processus MIN
Un processus MAX
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ARBRE DU JEUX
MAX 
MIN 
Etat final
(victoire de MAX) 
Ici, on néglige les états “symétriques”
afin de réduire la taille de l’arbre
Nœuds MIN
Nœuds MAX
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INDICATIONS PRATIQUES
► On prend la convention suivante :
- une situation gagnante pour le joueur MAX vaut + valeur
- une situation perdante pour le joueur MIN vaut - valeur
- une situation nulle vaut 0
► Le MinMax assigne une valeur à chaque feuille, puis fait remonter ces valeurs avec l'hypothèse
que chaque joueur choisit le meilleur coup pour lui. Cela signifie en pratique que :
- MAX choisit le coup amenant à l'état de plus grande valeur
- MIN choisit le coup amenant à l'état de plus petite valeur
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► Le MinMax parcourt un arbre de configurations(graphe d’états)
► Lorsqu‘il arrive à une feuille de l'arbre, il utilise la fonction d'évaluation pour
donner une valeur à la configuration
► Pour les nœuds qui ne sont pas des feuilles, il utilise
 soit le minimum des valeurs des fils si le nœud représente le choix de
l'adversaire (c'est donc un nœud Min)
 soit le maximum des valeurs des fils si le nœud représentele choix du
joueur MAX (c'est doncun nœud Max)
ESPRIT 2012-2013

► Dans un programme de jeu, une classe Joueur possède un membre :
joueurCourant
► La classe joueurCourant représentele type du Joueur pour pouvoir calibrer
correctementla fonction d'évaluation
► Si dans le jeu de Morpion, la classe joueurcourant joue X et que les X
gagnent, alors la fonction devrait rendre +1
► Si le type de la classe joueurCourant est O mais c'est toujours les X qui
gagnent alors on devrait obtenir -1
► On utilise le MinMax avec une profondeur bornée :
- On interrompt l'exploration avant d'avoir atteint la fin de partie
- On évalue l'état du jeu à un instant quelconque
- On utilise une heuristique h(e,J) qui évalue la configuration (l’état)e pour le
joueur J
- Il existe plusieurs heuristiquespour un même jeu (influencent la stratégie de
jeu
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IDÉE DE BASE : CHOIX D’UNE ACTION
i. En considérant chaque état actuel comme étant état initial,
on construitpour chaque processus actif (MAX ou MIN) l’arbre du jeu
avec une profondeur maximale h (horizon)afin de limiter le temps
d’exécution
ii. Evaluer les états « nœud fils »
iii. Appliquer le principe du MINMAX
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FONCTION D’ÉVALUATION
On associe à chaque nœud S un nombre e(S)
e(S) est une heuristique qui estime à quel point S est favorable
pour le processus MAX
e(S) > 0 : S est favorable pour MAX
e(S) < 0 : S est favorable pour MIN
e(S) = 0 : S est neutre
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EXEMPLE DE FONCTION D’ÉVALUATION
e(S) = nombre des colonnes, lignes ou diagonales ouverts
pour le processus MAX -nombre des colonnes, lignes ou
diagonales ouverts pour le processus MIN
8X-8O= 0
(3+3+2)
6X-4O = 2 3X-3O = 0
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UTILITÉ DE LA SAUVEGARDE DES VALEURS
Minmax permet d’obtenir la meilleure
évaluation d’une cellule qu’on peut obtenir
en supposant que MIN va jouer son
meilleur coup
La valeur de minmax obtenue au niveau
d’une cellule non-feuille sera meilleure à la
valeur obtenue en appliquant directement
la fonction d’évaluation e
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ALPHABETA
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APERÇU GÉNÉRAL DE L’AMÉLIOARATION
ESPRIT 2012-2013

b = 2
2
La valeur beta de MIN
est supérieure
à la valeur finale
sauvegardée :
elle ne peut jamais
augmenter
ESPRIT 2012-2013

1
b = 1
2
La valeur beta de MIN
est supérieure
à la valeur finale
sauvegardée :
elle ne peut jamais
augmenter
ESPRIT 2012-2013

a = 1
La valeur alpha de MAX
est inférieure à la valeur
finale sauvegardée :
Elle ne peut jamais
diminuer
1
b = 1
2
ESPRIT 2012-2013

a = 1
1
b = 1
2 -1
b = -1
ESPRIT 2012-2013

a = 1
1
b = 1
2 -1
b = -1
La recherche peut être cessée au-dessous
de n'importe quel noeud de MIN dont la valeur bêta est moins qu'ou égale
à la valeur alpha d'un de ses ancêtres de MAX
ESPRIT 2012-2013

PRINCIPE DE L’ALGORITHME ALPHA-BÊTA
 L’algorithme α-β élague une partie de l’arbre du jeu. Il s’agit d’une procédure
qui se charge de réduire le nombre de branches de l’arbre à développer à celui
d’évaluation nécessaires
 L’idée ressemble plus au moins à celle de la recherche heuristique dans le sens
où l’on déterminera que certains chemins sont mauvais, sans qu’on ait à les
suivre jusqu’à la limite de prévision
ESPRIT 2012-2013

ESPRIT 2012-2013
 L’algorithme MinMax a déjà parcouru les 2 premières branches et va s’engager dans la 3ème branche
 Durant l’exploration de la 3ème branche, on évalue la 1ère feuille, qui retourne une valeur de 1, son père
Min, ne va pas pouvoir dépasser la valeur 1, ceci  les valeurs des deux fils inexplorés
 Le joueur Max à la racine a garantit une valeur égale à 3 (un de ses fils a déjà été évalué à 3)
 Comme le maximiseur sait qu‘il est assuré d’un score de 3 en passant par la branche du milieu, tout
ce qu’il a besoin de savoir sur la branche droite est qu’il ne peut pas espérer obtenir un score
supérieur à 1 en la prenant
 Pour modifier la valeur de la racine (le coup à jouer) il faudrait que ce nœud dépasse la valeur 3
 Les deux feuilles restantes sont inintéressantes et ne seront pas explorées par α-β

 L’α-β détermine la valeur MinMax de la racine de l’arbre de jeu en traversant
l’arbre dans un ordre prédéterminé (de gche à dte) sautant tous les nœuds
qui ne peuvent plus influencerla valeur MinMax de la racine
 La stratégie α-β nécessite l’entretiende2 valeurs :
Une borne inf. sur la valeur qu’un nœud maximisantpeut se voir attribuer (α)
Une borne sup. sur la valeur qu’un nœud minimisantpeut se voir attribuer(β)
ESPRIT 2012-2013

 Le seuil α pour un nœud MIN « n » est égal à la +grande valeur (connue) de tous les nœuds
MAX ancêtres de « n ». Si « n » atteint une valeur < à α, l’exploration de sa descendance
devient inutile
 Le seuil β pour un nœud MAX « n » est égale à la +petite valeur (connue) de tous les nœuds
MIN ancêtres de « n ». Si « n » atteint une valeur > à β, l’exploration de sa descendance
devient inutile
Les nœudssautés se trouvant à un niveau MAX (resp.MIN), sont appelés des
nœuds élaguéspar une coupure α (resp. β).
ESPRIT 2012-2013

EXEMPLE
0 5 -3 25-2 32-3 033 -501 -350 1-55 3 2-35
ESPRIT 2012-2013

0 5 -3 25-2 32-3 033 -501 -350 1-55 3 2-35
0
EXEMPLE
ESPRIT 2012-2013

0 5 -3 25-2 32-3 033 -501 -350 1-55 3 2-35
0
0
EXEMPLE

0 5 -3 25-2 32-3 033 -501 -350 1-55 3 2-35
0
0 -3
EXEMPLE
ESPRIT 2012-2013

0 5 -3 25-2 32-3 033 -501 -350 1-55 3 2-35
0
0
0 -3
ESPRIT 2012-2013
EXEMPLE

0 5 -3 25-2 32-3 033 -501 -350 1-55 3 2-35
0
0
0 -3 3
3
EXEMPLE
ESPRIT 2012-2013

0 5 -3 25-2 32-3 033 -501 -350 1-55 3 2-35
0
0
0 -3 3
3
ESPRIT 2012-2013
EXEMPLE

0 5 -3 25-2 32-3 033 -501 -350 1-55 3 2-35
0
0
0
0 -3 3
3
0
EXEMPLE
ESPRIT 2012-2013

0 5 -3 25-2 32-3 033 -501 -350 1-55 3 2-35
0
0
0
0 -3 3
3
0
5
ESPRIT 2012-2013
EXEMPLE

0 5 -3 25-2 32-3 033 -501 -350 1-55 3 2-35
0
0
0
0 -3 3
3
0
2
2
EXEMPLE
ESPRIT 2012-2013

0 5 -3 25-2 32-3 033 -501 -350 1-55 3 2-35
0
0
0
0 -3 3
3
0
2
2
ESPRIT 2012-2013
EXEMPLE

0 5 -3 25-2 32-3 033 -501 -350 1-55 3 2-35
0
0
0
0 -3 3
3
0
2
2
2
2
EXEMPLE
ESPRIT 2012-2013

0 5 -3 25-2 32-3 033 -501 -350 1-55 3 2-35
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0
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3
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ESPRIT 2012-2013
EXEMPLE

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ESPRIT 2012-2013

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ESPRIT 2012-2013
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EXEMPLE

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EXEMPLE
ESPRIT 2012-2013

0 5 -3 25-2 32-3 033 -501 -350 1-55 3 2-35
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-5
-5
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1
ESPRIT 2012-2013
EXEMPLE

L’ALGORITHME ALPHA-BÊTA
Function ALPHA-BETA-SEARCH(state) returns an action
v  MAX-VALUE(state, -∞, +∞)
return the action in SUCCESSORS(state) with value v
Function MAX-VALUE (state, α, β) returns a utility value
v  - ∞
v  MAX(v, MIN-VALUE (s, α, β) )
if (v ≥ β) then return v
α  MAX(v, α)
return v
Function MIN-VALUE (state, α, β) returns a utility value
v  + ∞
v  MIN(v, MAX-VALUE (s, α, β) )
if (v ≤ α) then return v
β  MIN(v, β)
return v
ESPRIT 2012-2013

7
3 5
0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
Q R S T YXWU V A6A5A4A3A2A1Z A8 A9A7
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(- ∞, + ∞)
v = - ∞
ESPRIT 2012-2013

7
3 5
0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(- ∞, + ∞)
v = - ∞
(- ∞, + ∞)
v = + ∞
ESPRIT 2012-2013

7
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0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(- ∞, + ∞)
v = - ∞
(- ∞, 3)
v = 3
ESPRIT 2012-2013

7
3 5
0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
ESPRIT 2012-2013

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0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, + ∞)
v = + ∞
ESPRIT 2012-2013

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3 5
0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, + ∞)
v = + ∞
(3, + ∞)
v = - ∞
ESPRIT 2012-2013

7
3 5
0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, + ∞)
v = + ∞
(3, + ∞)
v = - ∞
(3, + ∞)
v = + ∞
ESPRIT 2012-2013

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3 5
0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, + ∞)
v = + ∞
(3, + ∞)
v = - ∞
(3, + ∞)
v = 0
ESPRIT 2012-2013

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3 5
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O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, + ∞)
v = + ∞
(3, + ∞)
v = - ∞
(3, 0)
v = 0
ESPRIT 2012-2013

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0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, + ∞)
v = + ∞
(3, + ∞)
v = 0
(3, + ∞)
v = 0
ESPRIT 2012-2013

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O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, + ∞)
v = + ∞
(3, + ∞)
v = 0
(3, + ∞)
v = 0
(3, + ∞)
v = + ∞
ESPRIT 2012-2013

7
3 5
0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, + ∞)
v = + ∞
(3, + ∞)
v = 0
(3, + ∞)
v = 0
(3, 5)
v = 5
ESPRIT 2012-2013

7
3 5
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O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, + ∞)
v = + ∞
(5, + ∞)
v = 5
(3, + ∞)
v = 0
(3, 5)
v = 5
ESPRIT 2012-2013

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O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, 5)
v = 5
(5, + ∞)
v = 5
(3, + ∞)
v = 0
(3, 5)
v = 5
ESPRIT 2012-2013

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O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, 5)
v = 5
(5, + ∞)
v = 5
(3, + ∞)
v = 0
(3, 5)
v = 5
(3,5)
v = - ∞
ESPRIT 2012-2013

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0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, 5)
v = 5
(5, + ∞)
v = 5
(3, + ∞)
v = 0
(3, 5)
v = 5
(3,5)
v = - ∞
(3,5)
v = ∞
ESPRIT 2012-2013

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O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, 5)
v = 5
(5, + ∞)
v = 5
(3, + ∞)
v = 0
(3, 5)
v = 5
(3,5)
v = - ∞
(3,5)
v = 7
ESPRIT 2012-2013

7
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O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, 5)
v = 5
(5, + ∞)
v = 5
(3, + ∞)
v = 0
(3, 5)
v = 5
(3,5)
v = 7
(3,5)
v = 7
ESPRIT 2012-2013

7
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0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, 5)
v = 5
(5, + ∞)
v = 5
(3, + ∞)
v = 0
(3, 5)
v = 5
(3,5)
v = 7
(3,5)
v = 7
(3,5)
v = - ∞
ESPRIT 2012-2013

7
3 5
0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, 5)
v = 5
(5, + ∞)
v = 5
(3, + ∞)
v = 0
(3, 5)
v = 5
(3,5)
v = 7
(3,5)
v = 7
(3,5)
v = - ∞
(3,5)
v = ∞
ESPRIT 2012-2013

7
3 5
0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, 5)
v = 5
(5, + ∞)
v = 5
(3, + ∞)
v = 0
(3, 5)
v = 5
(3,5)
v = 7
(3,5)
v = 7
(3,5)
v = - ∞
(3,4)
v = 4
ESPRIT 2012-2013

7
3 5
0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, 5)
v = 5
(5, + ∞)
v = 5
(3, + ∞)
v = 0
(3, 5)
v = 5
(3,5)
v = 7
(3,5)
v = 7
(4,5)
v = 4
(3,4)
v = 4
ESPRIT 2012-2013

7
3 5
0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, 5)
v = 5
(5, + ∞)
v = 5
(3, + ∞)
v = 0
(3, 5)
v = 5
(3,5)
v = 7
(3,5)
v = 7
(4,5)
v = 4
(3,4)
v = 4
(4,5)
v = ∞
ESPRIT 2012-2013

7
3 5
0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, 5)
v = 5
(5, + ∞)
v = 5
(3, + ∞)
v = 0
(3, 5)
v = 5
(3,5)
v = 7
(3,5)
v = 7
(4,5)
v = 4
(3,4)
v = 4
(4,5)
v = 2
ESPRIT 2012-2013

7
3 5
0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(3, + ∞)
v = 3
(- ∞, 3)
v = 3
(3, 4)
v = 4
(5, + ∞)
v = 5
(3, + ∞)
v = 0
(3, 5)
v = 5
(3,5)
v = 7
(3,5)
v = 7
(4,5)
v = 4
(3,4)
v = 4
(4,5)
v = 2
ESPRIT 2012-2013

7
3 5
0 310 5 6 7 8 8 10 -3 -12 4 2 6 4 5 2 8
O PNI L MKJ
T2 T3
T1
D E F HG
Max
Max
Min
Min
(4, + ∞)
v = 4
(- ∞, 3)
v = 3
(3, 4)
v = 4
(5, + ∞)
v = 5
(3, + ∞)
v = 0
(3, 5)
v = 5
(3,5)
v = 7
(3,5)
v = 7
(4,5)
v = 4
(3,4)
v = 4
(4,5)
v = 2
ESPRIT 2012-2013

Max
Max
Min
EXERCICE
1. Quel est le meilleurcoup pour le joueurMax avec le MinMax?
2. Dans cette arbre de jeu, quelsnoeuds n’auraient pas besoin d’être
examinés en utilisant la procédure α-β ?
7 6 8 5 2 3 0 -2 6 2 5 8 9 2
ESPRIT 2012-2013

Max
Max
Min
INDICATION
7 6 8 5 2 3 0 -2 6 2 5 8 9 2
7 38 0 6 8 9
8
3 80
ESPRIT 2012-2013

Max
Max
Min
7 6 8 5 2 3 0 -2 6 2 5 8 9 2
7 38 0 6 8 9
8
3 80
ESPRIT 2012-2013
INDICATION

COMBIEN GAGNONS-NOUS ?
3
a = 3
-1
b=-1
(4)
3
a = 3
4
b=4
-1
ESPRIT 2012-2013

CONCLUSION
 L’algorithme α-β détermine la valeur MinMax de la
racine de l’arbre de jeu en traversant l’arbre en
profondeur d’abord, sautant tous les nœuds qui ne
peuvent plus influencer la valeur MinMax de la
racine
 La valeur exacte des nœuds n’est pas importante
 L’ordre dans le quel on visite les fils est important
 Au mieux, on visite √n nœuds au lieu de n=bd pour
MinMax
ESPRIT 2012-2013

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