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  1. 1. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Ecole Sup´erieure de la Statistique et de l’Analyse de l’information Cours 2016-2017
  2. 2. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Introduction
  3. 3. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Exemple : lancement de satellites Entre 1980 et 2002 il y a eu 11 lancements de satellites, 3 succ`es et 8 ´echecs. Objectif : Estimer la probabilit´e de r´eussite d’un nouveau lanceur, fournir un intervalle de confiance/cr´edibilit´e.
  4. 4. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Approche fr´equentiste (Rappel) Distribution des donn´ees (le mod`ele statistique) y est le nombre de succ`es parmi n lancements de satellites, θ est la probabilit´e de succ`es d’un lancement y | θ ∼ B(n, θ); Vraisemblance et estimateur du maximum de vraisemblance l(y | θ) = Cy nθy (1 − θ)n−y , log (l(y | θ)) = y log θ + (n − y) log(1 − θ). θ = argmaxθ log (l(y | θ)) θ = y n Calcul d’intervalle de confiance (asymptotique n grand) : θ ± zα/2 1 n θ(1 − θ) .
  5. 5. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Approche Bay´esienne On consid`ere une loi a priori Beta sur θ π(θ) ∝ θa−1 (1 − θ)b−1 . Calcul de la loi a posteriori π(θ | y) ∝ l(y | θ)π(θ) ∝ θy+a−1(1 − θ)n−y+b−1.e Donc y | θ ∼ Beta(y + a, n − y + b). La distribution, moyenne, variance, intervalle de cr´edibilit´e a posteriori ? Solution OpenBuGS
  6. 6. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Initiation `a OpenBUGS
  7. 7. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? OpenBUGS Pr´esentation OpenBUGS fait partie du projet BUGS (Bayesian inference Using Gibbs Sampler) qui vise `a rendre simple la pratique des m´ethodes MCMC aux statisticiens. Il a ´et´e d´evelopp´e par l’unit´e MRC Biostatistics de l’universit´e de Cambridge. OpenBUGS est un logiciel libre et gratuit. Utilisation possible Via une interface clique-bouton qui permet de contrˆoler l’analyse, En utilisant des mod`eles d´efinis par des interfaces graphiques, appel´es DoddleBUGS, Via d’autres logiciels tels que R (en particulier via le package R2OpenBUGS)
  8. 8. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Algorithme de Gibbs Supposons que le vecteur param`etre θ est constitu´e de k composantes, i.e. θT = (θ1, . . . , θk). Les ´etapes de l’algorithme de Gibbs sont : 1 Choisir des valeurs initiales pour θ (0) 1 , . . . , θ (0) k . 2 G´en´erer θ (1) 1 selon π θ1 | θ (0) 2 , . . . , θ (0) k , y . 3 G´en´erer θ (1) 2 selon π θ2 | θ (1) 1 , θ (0) 3 . . . , θ (0) k , y . ... 4 G´en´erer θ (1) k selon π θk | θ (1) 1 , θ (1) 2 . . . , θ (1) k−1, y . R´ep´eter l’´etape 2 plusieurs milliers de fois.
  9. 9. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Exemple de code OpenBUGS Le mod`ele : model{ for(i in 1:n){ y[i] ˜ dbern(p) } p˜dbeta(a,b) } Les donn´ees > list(n=11,y=c(0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0),a=2,b=3) Les valeurs initiales. > list(p=.2) > list(p=.9) > list(p=.4)
  10. 10. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Les ´etapes de l’ex´ecution sous OpenBUGS 1 V´erifier le mod`ele, 2 Charger les donn´ees, 3 Sp´ecifier le nombre de chaˆınes MCMC, 4 Compiler le mod`ele, 5 Charger les conditions initiales, 6 G´en´erer les r´ealisations “burnin”, 7 Sp´ecifier les param`etres/quantit´es `a conserver, 8 G´en´erer les r´ealisations `a conserver, 9 V´erifier la convergence et mise en place des r´esultats.
  11. 11. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? D’autres Exemples: Jet d’une pi`ece de monnaie. On jette une pi`ece de monnaie 8 fois dont la probabilit´e d’avoir Pile est de 0.5. Quelle est la probabilit´es de voir Pile au plus 2 fois. Le mod`ele math´ematique Y ∼ Binomial(0.5, 8) Il s’agit d’estimer P(Y ≤ 2). Le mod`ele sous OpenBugs model{ Y ˜ dbin(0.5,8) P <- step(2.5-Y) }
  12. 12. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Comment faire fonctionner ce code dans OpenBUGS 1 Ouvrir une nouvelle fenˆetre dans OpenBUGS, File>New 2 Copier/Coller le code ci-dessus. 3 Model>Specification 4 Select model et clique sur check model 5 clique sur compile ensuite gen inits. 6 Model>Update et clique sur update 7 Inference> Samples et introduit le param`etre P dans set 8 Tous les boutons de la derni`ere interface vont s’allumer, donc vous pouvez avoir votre estimation. En effet, la fonction step va prendre la valeur si 2.5-Y est ≥ 0 et 0 sinon. Donc P est ´egal `a si Y est plus petit o‘u ´egal `a 1.
  13. 13. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Utilisation de OpenBUGS pour simuler une distribution Une loi de Student Supposons qu’on voudrait simuler une loi de Student de moyenne 10, de pr´ecision 2 et de ddl 4. model{ y ˜ dt(10,2,4) } Une transformation de la loi Normale. On consid`ere Z ∼ N(0, 1), on veut simuler Y = (2Z + 1)3 et estimer P(Y > 10) model{ z ˜ dnorm(0,1) y <- pow(2*z+1,3) p <- step(y-10) }
  14. 14. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Combien de r´eparations? Supposons que le coˆut de r´eparation a une distribution Gamma de moyenne 100 TND et d’´ecart-type 50 TND. On veut r´epondre `a la question, combien de fois peut-on r´eparer avec 1000 TND? 1 Montrer qu’une Gamma(4,0.04) a une moyenne 100 et un ´ecart-type 50 TND 2 Ecrire le code ‘OpenBUGS‘ permettant de calculer ce nombre. On consid`ere Yi, i = 1, . . . , I variables al´eatoires de loi Gamma(4,0.04) et il s’agit de chercher M tel que M i=1 Yi < 1000 .
  15. 15. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Le code OpenBUGS On prendra I = 20, on va calculer la probabilit´e de faire plus des 12 r´eparations model{ for(i in 1:20) { Y[i] ˜ dgamma(4,0.04) } cum[1] <- Y[1] for(i in 2:20) { cum[i] <- cum[i-1]+Y[i] } for(i in 1:20) { cum.step[i] <- i*step(1000- cum[i]) } number <- rank(cum.step[],20) ## le maximum dans cum.step P <- step(number-12) } rank(v,s) s’applique au vecteur v et et au nombre s et calcule le nombre composantes dans v qui sont plus petites que s
  16. 16. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Utilisation de OpenBUG `a partir de R
  17. 17. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Exemple avec R2OpenBUGS Pour utiliser OpenBUGS il faut installer dans R le package R2OpenBUGS. Consid´erons le probl`eme suivant: On jette deux pi`eces de monnaie dont ne connaˆıt pas la probabilit´e d’avoir Pile. Les deux pi`eces sont jet´ees 86 fois. Pour la premi`ere on a obtenu 83 fois Pile et pour la deuxi`eme on obtenu 72 fois Pile. Comparer les deux probabilit´es d’avoir Pile.
  18. 18. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Exemple avec R2OpenBUGS D’abord on ´ecrit les donn´ees dans R. > donnees=list(r=c(83,72),n=c(86,86)) Le mod`ele sous OpenBUGS model{ for(i in 1:2){ r[i] ˜ dbin(p[i],n[i]) } for (i in 1:2){ p[i] ˜ dunif(0,1)} delta <- p[1] - p[2] delta.up <- step(delta) lambda <- log( (p[1]/(1-p[1])) / (p[2]/(1-p[2])) ); lambda.up <- step(lambda) }
  19. 19. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Exemple avec R2OpenBUGS Le code pour g´en´erer le mod`ele `a partir de R sans avoir recours `a OpenBUGS : On cr´ee un fichier exempleBinom.txt qui contient le code BUGS > sink('exempleBinom.txt') > cat(" + model{ + for(i in 1:2){ + r[i] ˜ dbin(p[i],n[i]) + } + for (i in 1:2){ p[i] ˜ dunif(0,1)} + delta <- p[1] - p[2] + delta.up <- step(delta) + lambda <- log( (p[1]/(1-p[1])) / (p[2]/(1-p[2])) ); + lambda.up <- step(lambda) + } + ",fill=T) > sink()
  20. 20. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Exemple avec R2OpenBUGS On cr´ee une variable avec le nom du fichier. > filename<-"exempleBinom.txt" Les valeurs initiales > inits<-function(){ + inits=list(p=runif(2,0,1)) + } Les param`etres `a estimer > params <- c('p','delta.up','lambda.up') Enfin l’ex´ecution sous R > library(R2OpenBUGS) > outBinom <-bugs(donnees,inits,params,filename,codaPkg=F,n.thin =1, + n.iter=10000,debug=F,n.chains = 3, + working.directory=getwd(),
  21. 21. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Exemple avec R2OpenBUGS Le r´esultat > outBinom Inference for Bugs model at "exempleBinom.txt", Current: 3 chains, each with 10000 iterations (first 5000 discarded) Cumulative: n.sims = 15000 iterations saved mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% Rhat n.eff p[1] 1.0 0 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 1 15000 p[2] 0.8 0 0.7 0.8 0.8 0.9 0.9 1 15000 delta.up 1.0 0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1 15000 lambda.up 1.0 0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1 15000 deviance 9.3 2 7.3 7.9 8.7 10.1 14.7 1 15000 For each parameter, n.eff is a crude measure of effective sample size, and Rhat is the potential scale reduction factor (at convergence, Rhat=1). DIC info (using the rule, pD = Dbar-Dhat) pD = 1.8 and DIC = 11.0 DIC is an estimate of expected predictive error (lower deviance is better).
  22. 22. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Exemple avec R2OpenBUGS Notons que le param`etre lambda est le logarithme du odds ratio, Si lambda est : proche de 0, on a la mˆeme chance d’avoir Pile avec les deux pi`eces. ; sup´erieur `a 0, il est plus fr´equente d’avoir Pile avec la pi`ece 1 qu’avec la pi`ece 2 ; bien sup´erieur `a 0, il est beaucoup plus fr´equente d’avoir Pile avec la pi`ece 1 qu’avec la pi`ece 2 ; inf´erieur `a 0, il est moins fr´equente d’avoir Pile avec la pi`ece 1 qu’avec la pi`ece 2 ; proche de -∞, il est beaucoup moins fr´equente d’avoir Pile avec la pi`ece 1 qu’avec la pi`ece 2 ;
  23. 23. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Exemple avec R2OpenBUGS Les param`etres estim´es dans l’objet outBinom deviance : Si y = (y1, . . . , yn) est le vecteur des donn´ees dont on suppose g´en´er´e par une loi de probabilit´e de densit´e f(y | θ). Alors la fonction vraisemblance l(y | θ) = n i=1 f(yi | θ) Donc la deviance s’exprime par D(θ) = − log l(y | θ) Dans notre cas : y1 ∼Binom(N, p1) et y2 ∼Binom(N, p2), donc l(y | p1, p2) ∝ p1 1 − p1 y1 p2 1 − p2 y2
  24. 24. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Exemple avec R2OpenBUGS DIC : Deviance Information Criteria La moyenne ¯D = Eθ [D(θ)] est une mesure de l’ajustement du mod`ele aux donn´ees; plus ¯D est grand, plus l’ajustement est mauvais. pD est une estimation du nombre effective des param`etres du mod`ele : pD = ¯D − D(¯θ), plus les valeurs du pD est ´elev´e, plus le mod`ele ajuste au mieux les donn´ees. C’est pour cela qu’on d´efinit une p´enalisation `a la vraisemblance. DIC se calcule DIC = pD + ¯D = D(¯θ) + 2pD Des mod`eles avec des valeurs faibles du DIC sont les plus pr´ef´er´es. Comme ¯D d´ecroit quand le nombre de param`etres dans le mod`ele croit, le pD va compenser cette effet en favorisant les mod`eles avec un petit nombre de param`etres.
  25. 25. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Estimation des densit´es a posteriori Les probabilit´es > library(reshape2) > dt=melt(outBinom$sims.matrix[,1:2]) > library(ggplot2) > gr<-ggplot(data=dt,aes(x=value,fill=Var2,colour=Var2))+geom_density(alpha=.5) > gr
  26. 26. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Estimation des densit´es a posteriori Les probabilit´es 0 5 10 15 20 0.7 0.8 0.9 1.0 density Var2 p[1] p[2]
  27. 27. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Estimation des densit´es a posteriori delta.up > dt=data.frame(outBinom$sims.matrix[,3:4]) > gr<-ggplot(data=dt,aes(x=delta.up))+geom_density(alpha=.5,fill="pink") > gr
  28. 28. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Estimation des densit´es a posteriori delta.up 0 20 40 60 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 density
  29. 29. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Estimation des densit´es a posteriori lambda.up > gr<-ggplot(data=dt,aes(x=lambda.up))+geom_density(alpha=.5,fill="pink") > gr
  30. 30. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Estimation des densit´es a posteriori lambda.up 0 20 40 60 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 density
  31. 31. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Exercice : Comparaison de deux mod`eles bay´esiens On consid`ere les mod`eles bay´esiens suivants : Mod`ele M1 : y ∼ Binomial(n, τ) o`u τ ∼ Beta(a, b) Mod`ele M2 :y ∼ Binomial(n, τ) o`u τ = 1 p + q + 1 o`u p, q ∼ Uniform[0, 1]. Ecrire les deux codes BUGS et R pour g´en´erer la loi a posteriori des mod`eles bay´esiens M1 et M2. Comparer les DIC, pD et la d´eviance des deux mod`eles, Conclure?
  32. 32. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections?
  33. 33. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Probl´ematique En D´ecembre 2014, il y a eu les premiers ´elections pr´esidentielles “libres et d´emocratiques” en Tunisie. Ces ´elections se sont d´eroul´ees en deux tours. Durant ces derni`eres ´elections plusieurs candidats se sont pr´esent´es au 1er tour. Les deux gagnants ce 1er tour sont : Moncef Marzouki et B´eji Caid Essebsi. Plusieurs bureaux de sondages locaux ont fait des sondages aux sorties des urnes. Nous voulons pr´esenter dans ce travail une comparaison statistique des r´esultats de ces sondages avec les vrais r´esultats des ´elections.
  34. 34. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? R´esultats des sondages sorti des urnes Rappelons les principaux r´esultats pr´esent´es Bureau BC Marzouki Hammami Hamdi Riahi les autres Sigma 42.70 32.60% 9.50% 3.90% 6.70% 4.60% Emraude 44.20 31.20% 10.90% 2.10% 6.90% 4.70% 3C 47.80 26.90% 10.20% 3.50% 5.40% 6.20% ISIE 39.46 33.43% 7.82% 5.75% 5.55% 7.99%
  35. 35. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Le mod`ele statistique. Chaque bureau de sondage a d´eclar´e avoir questionn´e autour de 10 000 personnes aux sorties des urnes et donc l’´echantillon observ´es est une observation d’une loi multinomiale X = (X1, . . . , XI) ∼ Mulitinomial(N, p1, . . . , pI) ou est N = 10000 est le nombre des personnes interrog´ees et p1, . . . , pI sont les probabilit´es recherch´ees et qui les % de votes attendus des candidats. La somme des pI est ´evidement ´egale `a 1 et I i=1 xI = N. Donc P(X = x) = N! x1! . . . xI! px1 1 . . . pxI I
  36. 36. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Objectif On va examiner si les r´esultats des sondages sont “r´eellement” “proches” des vrais r´esultats des ´elections ?
  37. 37. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Mise en oeuvre sous R (M´ethode fr´equentiste) Consiste `a estimer les probabilit´es et donner leurs IC. On utilisera le package MultinomialCI > pSigma=c(42.7,32.6,9.5,3.9,6.7) > pEm=c(44.2,31.2,10.9,2.1,6.9) > p3c=c(47.8,26.9,10.2,3.5,5.4) > pISIE=c(39.46,33.43,7.82,5.75,5.55) > pSigma=c(pSigma,100-sum(pSigma)) > pEm=c(pEm,100-sum(pEm)) > p3c=c(p3c,100-sum(p3c)) > pISIE=c(pISIE,100-sum(pISIE))
  38. 38. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Mise en oeuvre sous R (M´ethode fr´equentiste) > library(MultinomialCI) > N=10000 ## Sample size > ySigma=N*pSigma/100 > ySigma [1] 4270 3260 950 390 670 460 > yEm=N*pEm/100 > yEm [1] 4420 3120 1090 210 690 470 > y3c=N*p3c/100 > y3c [1] 4780 2690 1020 350 540 620
  39. 39. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Mise en oeuvre sous R (M´ethode fr´equentiste) > n=length(ySigma);n [1] 6 > ci.Sigma=multinomialCI(ySigma,alpha = .05) > rownames(ci.Sigma)=c("BCE","Marzouki","Hammami", + "Hamdi","Riahi","Les autres") > ci.Sigma [,1] [,2] BCE 0.4166 0.43755426 Marzouki 0.3156 0.33655426 Hammami 0.0846 0.10555426 Hamdi 0.0286 0.04955426 Riahi 0.0566 0.07755426 Les autres 0.0356 0.05655426
  40. 40. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Mise en oeuvre sous R (M´ethode fr´equentiste) > ci.Em=multinomialCI(yEm,alpha = .05) > rownames(ci.Em)=c("BCE","Marzouki","Hammami", + "Hamdi","Riahi","Les autres") > ci.Em [,1] [,2] BCE 0.4316 0.45251734 Marzouki 0.3016 0.32251734 Hammami 0.0986 0.11951734 Hamdi 0.0106 0.03151734 Riahi 0.0586 0.07951734 Les autres 0.0366 0.05751734
  41. 41. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Mise en oeuvre sous R (M´ethode fr´equentiste) > ci.3c=multinomialCI(y3c,alpha = .05) > rownames(ci.3c)=c("BCE","Marzouki","Hammami", + "Hamdi","Riahi","Les autres") > ci.3c [,1] [,2] BCE 0.4677 0.48831591 Marzouki 0.2587 0.27931591 Hammami 0.0917 0.11231591 Hamdi 0.0247 0.04531591 Riahi 0.0437 0.06431591 Les autres 0.0517 0.07231591
  42. 42. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Mise en oeuvre sous R (M´ethode fr´equentiste) ISIE BCE Marzouki Hammami Hamdi Riahi Les autres 0% 10% 20% 30% 40% 50% 3C Em Sigma
  43. 43. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Mise en oeuvre sous R (M´ethode bay´esienne). Le vecteur des param`etres p = (p1, . . . , pI) une loi a priori qui est la loi de Dirichlet de param´etr´es tous ´egaux `a 1. model { x[1:n] ˜ dmulti(p[], N) p[1:n] ˜ ddirch(alpha[]) for (k in 1:n) { alpha[k] <- 1 } }
  44. 44. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Le code R sous OpenBUGS > sink('Modelmultinom.txt') > cat("model { + x[1:n] ˜ dmulti(p[], N) + p[1:n] ˜ ddirch(alpha[]) + + for (k in 1:n) { + alpha[k] <- 1 + } + } + ") > sink()
  45. 45. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Mise en oeuvre sous R (M´ethode bay´esienne). > library(R2OpenBUGS) > ## > filename<-'Modelmultinom.txt' > > inits <- function(){ + p<-runif(n) + p<-p/sum(p) + list(p=p) + } > ### > params<-"p"
  46. 46. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Mise en oeuvre sous R (M´ethode bay´esienne). > donneesSigma<-list(x=ySigma,N=N,n=n) > donnees3c<-list(x=y3c,N=N,n=n) > outSigma <-bugs(donneesSigma,inits,params, + filename, n.iter=100000, + debug=F,n.chains = 1, + working.directory=getwd()) > out3c <-bugs(donnees3c,inits,params, + filename,n.iter=100000, + debug=F,n.chains = 1, + working.directory=getwd())
  47. 47. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? R´esum´e des r´esultats des CM. Les r´esultats de Sigma-Conseil > library(R2OpenBUGS) > outSigma Inference for Bugs model at "Modelmultinom.txt", Current: 1 chains, each with 1e+05 iterations (first 50000 discarded) Cumulative: n.sims = 50000 iterations saved mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% p[1] 0.4 0.0 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 p[2] 0.3 0.0 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 p[3] 0.1 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 p[4] 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 p[5] 0.1 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 p[6] 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 deviance 46.9 3.2 42.7 44.6 46.2 48.5 54.8 DIC info (using the rule, pD = Dbar-Dhat) pD = 5.0 and DIC = 51.9 DIC is an estimate of expected predictive error (lower deviance is bette
  48. 48. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? R´esum´e des r´esultats des CM. Les r´esultats de EM-Consulting > outEm Inference for Bugs model at "Modelmultinom.txt", Current: 1 chains, each with 1e+05 iterations (first 50000 discarded) Cumulative: n.sims = 50000 iterations saved mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% p[1] 0.4 0.0 0.4 0.4 0.4 0.4 0.5 p[2] 0.3 0.0 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 p[3] 0.1 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 p[4] 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 p[5] 0.1 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 p[6] 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 deviance 46.4 3.1 42.3 44.1 45.8 48.1 54.3 DIC info (using the rule, pD = Dbar-Dhat) pD = 5.0 and DIC = 51.4 DIC is an estimate of expected predictive error (lower deviance is bette
  49. 49. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? R´esum´e des r´esultats des CM. Les r´esultats de 3C-Etudes > out3c Inference for Bugs model at "Modelmultinom.txt", Current: 1 chains, each with 1e+05 iterations (first 50000 discarded) Cumulative: n.sims = 50000 iterations saved mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% p[1] 0.5 0.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 p[2] 0.3 0.0 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 p[3] 0.1 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 p[4] 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 p[5] 0.1 0.0 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 p[6] 0.1 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 deviance 46.8 3.2 42.7 44.5 46.2 48.5 54.7 DIC info (using the rule, pD = Dbar-Dhat) pD = 5.0 and DIC = 51.8 DIC is an estimate of expected predictive error (lower deviance is bette
  50. 50. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Repr´esentation des densit´es des lois a postiori. (BCE) 0 20 40 60 80 39% 42% 45% 48% BC.Essebsi density Bureau e3c Em Sigma
  51. 51. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Repr´esentation des densit´es des lois a postiori. (Marzouki) 0 25 50 75 25.0% 27.5% 30.0% 32.5% 35.0% M.Marzouki density Bureau e3c Em Sigma
  52. 52. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Repr´esentation des densit´es des lois a postiori. (Hammami) 0 50 100 8% 9% 10% 11% 12% H.Hammami density Bureau e3c Em Sigma
  53. 53. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Utilisation du package MCMCpack C’est un package compl´etement int´egr´e dans R Il n’y a pas besoin de faire intervenir un logicil externe `a R Il contient des fonctions qui simules des MCMC de lois a posteriori des mode`eles les plus connus : Bernoulli, Multinomiale, R´egression, Logit. . .
  54. 54. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Exemple avec les ´elections Tunisiennes. On simule la loi a posteriori des probabilit´es `a partir du sondage de Sigma-Conseil. > library(MCMCpack) > posterioriSigma=MCmultinomdirichlet(y = ySigma, + alpha0 = rep(1,length(ySigma)), + mc=100000,n.chain=3) Estimation de la probabilit´e d’avoir l’ordre des ´elus. > names(pISIE)=c('BCE','Marzouki','Hammami','Hamdi','Riahi','autres') > oISIE=order(pISIE,decreasing = T) > oSigma=apply(posterioriSigma,1,function(x)order(x,decreasing = T)) > oSigma=t(oSigma)
  55. 55. Premiers pas avec OpenBUGS Dhafer Malouche Introduction Initiation `a OpenBUGS Utilisation de OpenBUG `a partir de R Etude de Cas: Les r´esultats des sondages des urnes ont-ils pr´edit les r´esultats des ´elections? Exemple avec les ´elections Tunisiennes. On calcule `a chaque la probabilit´e de pr´edire un, deux,. . . les six candidats dans l’ordre. > res=sapply(1:100000,function(i)sum((oSigma[i,]==oISIE))) > table(res) res 2 3 99159 841 Donc la probabilit´e que Sigma conseil pr´edit plus que 3 candidats dans l’ordre est quaziment nulle (< 8 × 10−3 )

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