2. Sommaire de thèse
La thèse est intitulée « Problématiques en chargements concentrés et fonctions Green dans la théorie
d’élasticité du type dipolaire gradient » et son sujet est la solution des problèmes de charges
concentrées dans le cadre de la théorie d’élasticité du type dipolaire gradient. La thèse se compose
d'un résumé en grec et en anglais, de cinq chapitres, des annexes et des références. Le contenu de
chaque chapitre est décrit dans ce qui suit.
Chapitre 1: Introduction à la Théorie d’Élasticité Générale du type dipolaire gradient dans
Toupin-Mindlin
Ils sont présentés les fondements de la théorie de gradient dipolaire selon Mindlin et Toupin et ils
sont exposés les concepts et les équations régissant la théorie.
Chapitre 2 : Théorie de Gradient de Déformation (Strain Gradient Theory)
Ils sont présentes les principes de la théorie du gradient de la déformation (forme II) et elles sont
données les équations de base en coordonnées cartésiennes, au cas tri-dimensionnel général et au cas
de la déformation plane.
Chapitre 3 : Problème du type Flamant-Boussinesq à l’elasticitité dipolaire de gradient.
Ce chapitre étudie la réponse d'un corps bi-dimensionnel régi par élasticité dipolaire gradient sous la
forme d'un demi-espace. Notre préoccupation principale est de déterminer des écarts possibles par les
prédictions de l’élastostatique linéaire classique sous conditions de déformation plane / contrainte
plane quand une théorie plus raffinée est utilisée pour attaquer les problèmes. D’une importance
particulière est le comportement des nouvelles solutions proches du point d'application des charges où
il existe des singularités et des discontinuités pathologiques dans les solutions classiques. L'utilisation
de la théorie de l'élasticité gradient est destinée ici à modéliser la microstructure du matériau et à
intégrer les effets de taille dans l'analyse de la contraint d'une manière que la théorie classique ne peut
pas permettre. Une version simple mais rigoureuse des théories d'élasticité généralisées de Toupin et
Mindlin est employée telle qu’elle implique une réponse linéaire isotrope et ne requière qu’une seule
constante de matériau (le coefficient qu’on appelle gradient) supplémentaire en dehors de constantes
de Lamé standards. Cette théorie, qui peut être considéré comme une extension de première étape à la
théorie de l'élasticité classique, considère une fonction de densité d’énergie de déformation, qui, outre
sa dépendance sur les conditions de souche standard, dépend aussi des gradients de contrainte.
3. La méthode de solution est basée sur des transformées intégrales et est exact. Les présents résultats
montrent une déviation par rapport aux solutions d’élasticité classique (solutions de Flamant-
Boussinesq). En effet, des déplacements continuées et bornés sont prévus au niveau des points
d'application des charges. Un tel comportement des champs de déplacement est, bien sûr, plus naturel
que le comportement singulier présent dans les solutions classiques. En outre, les charges et les
composants de déplacement sont reliés de manière qui est attendue par le théorème réciproque (du
type Betti-Rayleigh) d’élasticité gradient.
Chapitre 4 : Problème du Type Kelvin dans Élasticité Dipolaire Gradient
Ce chapitre étudie la réponse d'un corps bi-dimensionnel, sous la forme d'un espace complet dans
conditions de déformation plane et régi par l'élasticité dipolaire gradient, à une charge concentrée. La
même version de la théorie est employée ici aussi. C’est une simplification considérable acquise dans
l'analyse du problème en question, justifiée par la observation que le problème est anti-symétrique par
rapport au plan horizontal. De cette façon, le problème initial peut être divisé en deux problèmes
auxiliaires. Ceci facilite grandement l'application de transformées intégrales.
Une analyse asymptotique et aussi bien que numérique implique que l'élimination de la singularité
logarithmique indésirable dans le champ de déplacement est réalisé avec notre approche et la
nouvelle solution est bornée et continue au point d'application de la charge.
Chapitre 5: Le problème Axisymétrique du Type Boussinesq dans Élasticité Dipolaire Gradient
Le problème axisymétrique de Boussinesq en trois dimensions, d'un demi-espace isotrope soumis à
une charge normale concentrée, est étudié dans le cadre de l’élasticité dipolaire gradient. Notre
préoccupation principale est de déterminer les éventuels écarts avec les prévisions d’élastostatique
linéaire classique quand une théorie plus raffinée est utilisée pour attaquer le problème. Comme
précédemment, une version linéaire de cette théorie est utilisée, dans laquelle seulement une
constante de matériau de microstructure est introduite en plus des constantes de Lamé standards. La
méthode de solution est basée sur des transformées intégrales et est exact. Les présents résultats
montrent une déviation importante par rapport aux prévisions d'élasticité classique. En effet, les
déplacements continus et bornés sont prévus au niveau des points d'application de la charge
concentrée.
En particulier, le déplacement vertical atteint une (délimitée) valeur au point d'application de la
charge qui dépend de l'intensité de la charge et du coefficient de Poisson constant. En outre, le
déplacement radial devient nul là - ceci est justifié par l’axisymmetrie du problème de Boussinesq. Il
4. est à noter que la présence de déplacements bornés au point d'application de la charge concentrée
implique que l'énergie de déformation totale dans une petite région entourant le point singulier
disparaît, comme la taille de la région tend vers zéro. Par conséquent, un analogue du théorème de
Kirchhoff garantit l'unicité de la solution pour le problème de la charge concentrée de l'élasticité
gradient.
Chapitre 6: Problème de type dipolaire Cerruti dans Gradient élasticité.
Le problème classique Cerruti, d'un demi-espace isotrope en trois dimensions, soumis à une charge
concentrée surface tangentielle, est revu dans le contexte de l’élasticité dipolaire gradient. La
méthode de solution est basée sur des transformées intégrales et est exact. Une importance
particulière est le comportement de la nouvelle solution près du point d'application de la charge où
singularités pathologiques existent dans la théorie classique. Les présents résultats montrent une
déviation significative par rapport aux résultats prédits par la théorie de l’élasticité classique. En effet,
les déplacements continus et délimités se trouvent au point d'application de la charge. Un tel
comportement du champ de déplacement est, bien sûr, plus naturel que le comportement singulier
présent dans la solution classique.
En particulier, le déplacement vertical disparaît - ceci est justifié par le comportement respectif de la
composante verticale de déplacement dans le problème homologue de deux dimensions (problème de
Flamant-Boussinesq). En outre, le déplacement en direction perpendiculaire à la charge sur la surface
du semi-espace disparaît - ceci est justifié par l’anti-symétrie du problème. Enfin, le déplacement le
long de la charge atteint une (délimitée) valeur constante sous le point d'application de charge qui
dépend de l'intensité de charge et du coefficient de Poisson. En fait, la valeur de ce déplacement au
point d'application de la charge dépend de façon presque linéaire du coefficient de Poisson et donc
une expression approchée peut être obtenus.
Il est à noter que la présence de déplacements bornés au point d'application de la charge concentrée
implique que l'énergie de déformation totale dans une petite région entourant le point singulier
disparaît, puisque la taille de la région tend vers zéro. Par conséquent, un analogue du théorème de
Kirchhoff garantit l'unicité de la solution pour le problème de la tangentielle de charge concentrée de
l'élasticité de gradient.
Epilogue
Chacun des solutions décrites peut être utilisé comme une fonction Green dans le cadre de
chargements plus généraux. Additionnement, les résultats peuvent être utilisés pour construire
5. équations intégrales pour de problèmes de contact bi-dimensionnels et tri-dimensionnels dans la
théorie dipolaire de gradient d’élasticité. L’existence de champs limités a peut-être des conséquences
importantes à problèmes de contact plus généraux (par exemple au problème Sadowsky) et à la
méthode des Éléments Finis de Frontière. En plus, elle inspire l’espoir d’appliquer dans l’avenir la
méthode de la théorie de gradient utilisée ici, pour « corriger », au niveau de la couche de limités,
d’autres résolutions classiques anomales. Finalement, l’existence d’une résolution analytique, comme
la présente, est avantageuse contre les résolutions numériques, spécialement au niveau de nouveaux
aspects de recherche où des résolutions de référence (benchmark) n’existent pas.
6. Dimitrios S. Anagnostou
Ph.D. Thesis submitted to Mechanics Division
School of Applied Mathematics and Natural Sciences
National Technical University of Athens
Problems of Concentrated Loads and Green's Functions in
Dipolar Gradient Elasticity
Supervisor:
H.G. Georgiadis
Professor
7. Problems of Concentrated Loads and Green’s Functions in Dipolar Gradient Elasticity
Dimitrios S. Anagnostou
Mechanics Division,
Department of Applied Sciences,
National Technical University of Athens
Summary
Introduction
The subject of this work is the solution of concentrated load problems within the framework
of Dipolar Gradient Elasticity. The dissertation consists of a summary in Greek and English, Five
Chapters, Appendices and the References. The content of each chapter is outlined in what follows.
Chapter 1: Introduction to the General Toupin - Mindlin’s Dipolar Gradient Elasticity
It is briefly explained, why in elastic problems where abrupt changes of displacements, strains and
stresses occur, a new elastic theory, enhanced by higher order gradient terms and internal length scale
parameters, is required. Next, the theoretical foundations of Toupin-Mindlin Dipolar Gradient Theory
are outlined and the basic concepts, quantities and governing equations are presented.
Chapter 2: Dipolar Gradient Elasticity Theory
Τhe basic equations of Dipolar Gradient Elasticity are briefly presented. The three
dimensional case and the case of plane strain are also examined.
Chapter 3: Problem of the Flamant-Boussinesq Type in Dipolar Gradient Elasticity
This chapter studies the response of a two dimensional body governed by dipolar gradient elasticity in
the form of a half-space. Our main concern is to determine possible deviations from the predictions of
plane-strain / plane-stress classical linear elastostatics when a more refined theory is employed to
8. attack the problems. Of special importance is the behavior of the new solutions near to the point of
application of the loads where pathological singularities and discontinuities exist in the classical
solutions. The use of the theory of gradient elasticity is intended here to model material
microstructure and incorporate size effects into stress analysis in a manner that the classical theory
cannot afford. A simple but yet rigorous version of the generalized elasticity theories of Toupin
(Arch. Ration. Mech. Anal. 11:385–414, 1962) and Mindlin (Arch. Ration. Mech. Anal. 16:51–78,
1964) is employed that involves an isotropic linear response and only one material constant (the so-
called gradient coefficient) additional to the standard Lamé constants (Georgiadis et al., J. Elast.
74:17–45, 2004). This theory, which can be viewed as a first-step extension of the classical elasticity
theory, assumes a strain-energy density function, which besides its dependence upon the standard
strain terms, depends also on strain gradients.
The solution method is based on integral transforms and is exact. The present results show departure
from the ones of the classical elasticity solutions (Flamant–Boussinesq solutions). Indeed, continuous
and bounded displacements are predicted at the points of application of the loads. Such a behavior of
the displacement fields is, of course, more natural than the singular behavior present in the classical
solutions. In addition, loads and displacement components are connected in the way that is expected
by the reciprocal theorem (of Betti-Rayleigh type; proved by Georgiadis and Grentzelou) of gradient
elasticity.
Chapter 4: Problem of the Kelvin Type in Dipolar Gradient Elasticity
This chapter studies the response of a two dimensional body governed by dipolar gradient elasticity to
a concentrated load in the form of full space under plane strain conditions. The same version of the
theory is employed also here. Considerable simplification is gained in the analysis of the problem in
question, by observing that the problem is anti-symmetric with respect to the horizontal plane. In this
way, the original problem can be split into two auxiliary problems. This greatly facilitates application
of integral transforms.
Asymptotic and as well as numerical analysis implies that elimination of the undesirable logarithmic
singularity in the displacement field is achieved with our approach and the new solution is bounded
and continuous at the point of load application.
9. Chapter 5: Axisymmetric Problem of Boussinesq Type in Dipolar Gradient Elasticity
The three-dimensional axisymmetric Boussinesq problem of an isotropic half-space subjected to a
concentrated normal load is studied within the framework of dipolar gradient elasticity. Our main
concern is to determine possible deviations from the predictions of classical linear elastostatics when
a more refined theory is employed to attack the problem. As previously, a linear version of this theory
is employed, in which, only one microstructural material constant is introduced, in addition to the
standard Lamé constants. The solution method is based on integral transforms and is exact. The
present results show significant departure from the predictions of classical elasticity. Indeed,
continuous and bounded displacements are predicted at the points of application of the concentrated
load.
In particular, the vertical displacement attains a constant (bounded) value at the point of application
of the load that depends upon the load intensity and Poisson’s ratio. Also, the radial displacement
becomes zero there – this is justified by the axisymmetric character of the Boussinesq problem. It is
worth noting that the occurrence of bounded displacements at the point of application of the
concentrated load implies that the total strain energy in a small region surrounding the singular point
vanishes, as the size of the region tends to zero. Consequently, an analogue of Kirchhoff’s theorem
(proved by Grentzelou and Georgiadis) guarantees uniqueness of solution for the concentrated load
problem in gradient elasticity.
Chapter 6: Problem of Cerruti Type in Dipolar Gradient Elasticity
The classical three dimensional Cerruti problem of an isotropic half-space subjected to a concentrated
tangential load is revisited in the context of dipolar gradient elasticity. This generalized continuum
theory encompasses the analytical possibility of size effects which are absent in the classical theory,
and has proven to be very successful in modelling materials with complex microstructure. The dipolar
gradient elasticity theory assumes a strain-energy density function, which besides its dependence
upon the standard strain terms, depends also on strain gradients. In this way, this theory can be
viewed as a first-step extension of classical elasticity. The solution method is based on integral
transforms and is exact. Of special importance is the behavior of the new solution near to the point of
application of the load where pathological singularities exist in the classical theory. The present
results show departure from the ones predicted by the classical elasticity theory. Indeed, continuous
and bounded displacements are found at the point of application of the load. Such a behavior of the
10. displacement field is, of course, more natural than the singular behavior present in the classical
solution.
In particular, the vertical displacement vanishes − this is justified by the respective behavior of the
vertical displacement component in the two dimensional counterpart (Flamant-Boussinesq problem).
Also, the displacement in direction normal to the load on the surface of the semi-space vanishes − this
is justified by the anti-symmetry of the problem. Finally, the displacement along the load attains a
constant (bounded) value under the point of load application that depends upon the load intensity and
Poisson’s ratio. In fact, the value of this displacement at the point of application of the load varies
almost linearly w.r.t. the Poisson’s ratio and thus an approximate expression can be obtained.
It is worth noting that the occurrence of bounded displacements at the point of application of the
concentrated load implies that the total strain energy in a small region surrounding the singular point
vanishes, as the size of the region tends to zero. Consequently, an analogue of Kirchhoff’s theorem
(proved by Grentzelou and Georgiadis) guarantees uniqueness of solution for the tangential
concentrated load problem in gradient elasticity.
In closing, we note that our solution may serve as a Green’s function for more general loadings. In
addition, the present results can be used to accomplish integral-equation solutions for 3D contact
problems in dipolar gradient elasticity. Furthermore, we notice that an analytical solution such as the
present one has an advantage over numerical solutions, especially in new areas of research where
benchmark solutions do not exist.
Finally, it seems reasonable for one to test the physical meaning and usefulness of mechanical
theories on the basis of their analytical results for concrete boundary value problems that simulate
practical situations. In this regard, based on the current results and previous findings concerning the
2D Flamant-Boussinesq [Chapter 3] and the 3D Boussinesq [Chapter 5] problems, as well as recent
results for dislocation and crack problems, we can state that gradient elasticity is superior to both
classical elasticity and Cosserat elasticity. This also holds hope for future applications of the gradient
theory to “correct” in a boundary-layer sense other classical singular solutions.
