Text book for the mechanics of materials Exercise in Applying Castigliano's Theorem to Statically Indeterminate Problems (in Japanese) ・Solution of statically indeterminate beam ・Solution of statically indeterminate toruss note: Your feedback is welcome! Castiglianoの定理を用いた不静定問題の解法 ・不静定はりの解法 ・不静定トラスの解法

1. Castiglianoの定理を用いた
不静定問題の解法
1. はり の不静定問題が解ける
目標
1/14
2. トラス の不静定問題が解ける

2. Castiglianoの定理
∂
∂U
＝
Pk
δk
で偏微分Pk荷重
荷重点の荷重方向変位 δk
P1
δ1
PN
δN
δk
Pk
N 個の荷重が作用する弾性体
弾性ひずみエネルギー
U
∂
∂U
＝
Mk
θk
モーメント で偏微分Mk
モーメント方向回転角θk 2/14

3. はり の不静定問題
w
x
ℓ
EI
Q. 左端に生じる反力は？
1. 反力・反モーメント図示
2. 力/モーメントの釣合い
RA RB
MB
RA RB wℓ＋ − ＝ 0
2
1
− wℓ2
＋RBℓ ＋MB＝ 0
不静定問題
未知数：3 方程式：2>
3/14
y
左端における変位の条件を考えて
方程式を増やす
方針

4. 3. 曲げモーメントの計算
y
xRA
V
M(x) = M’(x) ＋ M’’(x)
4/14
曲げモーメントの計算は
重ね合わせの原理を使うと簡単！
M(x)
y
xRA
M’(x)
仮想荷重なし
V
x
M’’(x)
仮想荷重のみ
仮想荷重
RA

5. 3.1 断面に生じる曲げモーメント
y
xRA
力の釣合い モーメントの釣合い
w
RA = 0F’(x)− w x＋
RA=F’(x)∴ w x−
M’(x) ＝ 0− F’(x)x
2
1
− wx2
2
1
− wx2
M’(x)∴ ＝RA x
2
1
− wx2
5/14
F’(x)
M’(x)
F’(x)x
仮想荷重なし

6. 3.2 仮想荷重による曲げモーメント
y
x
V
力の釣合い
= 0F’’(x)＋V
−=F’’(x)∴ V
モーメントの釣合い
M’’(x) −F’’(x)x ＝ 0
∴
F’’(x)
M’’(x)
F’’(x)x
6/14
仮想荷重のみ
RA
− RA
＋RA ( )M’’(x)＝ x− V＋RA

7. 3.3 仮想荷重のモーメントと微分
∂
∂M
＝
V ∂
∂M’
V ∂
∂M’’
V
＋ ＝
∂
∂M’’
V
M’(x)＝RA x
2
1
− wx2
x−＝
０
7/14
仮想荷重が作用しない場合のモーメント
＝RA x
2
1
− wx2
仮想荷重で微分
M ＝M’(x) M’’(x)＋
０
＝M’(x)
( )M’’(x)＝ x− V＋RA

8. 4. Castiglianoの定理を適用
移動支持 δA ＝ 0
3
RA 3
ℓ −
8
w 4
ℓ ＝ 0 ∴ RA＝
8
3
wℓ
8/14
∂
∂M
V
x−＝＝
∂
∂M’’
V
＝
ℓ
0 EI
M
∂
∂M dx
∂
∂U
δA＝
V V
M ＝ M’(x)＝RA x
2
1
− wx2
ℓ
0
( )δA＝
EI
1
RA x
2
1
− wx2
x・ dx
−
EI
＝
3
RA
x3
−
8
w
x4
0
ℓ
−1
EI
＝
3
RA 3
ℓ −
8
w 4
ℓ
−1
左端変位

9. トラス
JAPAN PRESTRESSED
CONCRETE CONTRACTORS
ASSOCIATION
Wikipedia 9/14
ピン結合
回転できる
棒の組み合わせ構造

10. トラスの不静定問題
θ θ
P
a
b
c
d
Q. b点の鉛直方向変位は？
1. 軸力を図示
N1N1
N2
2. 力の釣合い
2N1 θcos ＋N2 P− ＝ 0
不静定問題
未知数：2 方程式：1>
対称性より
ℓ ℓ
10/14

11. 3. 弾性ひずみエネルギーの計算
θ θ
P1
a
b
c
d
N1N1
N2
P2
d
鉛直方向荷重
2N1 θcos ＝P1
N1＝
2cosθ
P1
σ1 A＝ N1
U1＝
2E
σ1
2
Aℓ ×2
2
＝
4AEcos θ2
P1 ℓ
ℓ ℓ cosθ
＝
2AE
N1
2
ℓ
×2
U2
＝
2AE
N2
2
ℓ cosθ
＝
2AE
P2
2
ℓ cosθ
11/14
N2＝P2

12. 4. Castiglianoの定理を適用
∂
∂U1
P1
λ1 ＝ ＝
2AEcos θ2
P1ℓ
∂
∂U2
P2
λ2 ＝ ＝
AE
P2 ℓ cosθ
θ θ
P1
a
b
c
d
N1N1
N2
P2
d
λ1 鉛直方向変位 λ2
ℓ ℓ cosθ
12/14

13. 鉛直方向変位の決定
力の釣合い条件
P1 P2＋P＝
λ1＝ λ2
2AEcos θ2
P1ℓ
＝
AE
P2 ℓ cosθ
λ2 ＝
2cos θ3
1＋
cosθ P
AE
ℓ
＝
2cos θ3
1＋
cos θP
P1
2
3
＝
2cos θ3
1＋
P
P2
13/14
未知数：2 方程式：2＝
P1 P2
幾何学的拘束条件

14. まとめ
14/14
1. はり の不静定問題が解ける
2. トラス の不静定問題が解ける
1. 反力・反モーメント図示
2. 力/モーメントの釣合い
曲げモーメントの計算は
重ね合わせの原理を使うと簡単！
M(x) = M’(x) ＋M’’(x)
仮想荷重のみ
仮想荷重なし
4. Castiglianoの定理を適用
1. 軸力を図示
2. 力の釣合い
3. 弾性ひずみエネルギーの計算
4. Castiglianoの定理を適用
3. 曲げモーメントの計算