Recommandé
Recommandé
Contenu connexe
Tendances
Tendances (20)
Similaire à 2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل
Similaire à 2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل (20)
Plus de anasKhalaf4
Plus de anasKhalaf4 (8)
Dernier
Dernier (20)
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل
- 1. العلمي السادس للصف – الأحيائي الفصل الثالث التفاضل تطبيقات دادعا الجبوري ذياب أنس الدكتور 2021 - 2022
- 2. تقديم سلسلة من واحدة هي والتطبيقي االحيائي بفرعيه العلمي السادس للصف الرياضيات ملزمة المالزم الحديثة مسائل لحل توضيحية خطوات على تحتوي وهي , الرياضيات لمادة كل مواضيع الرياضيات كتاب خ شرح مع ط كما الوزارية االسألة الى واالشارة والتمارين لالمثلة الحل وات الرياضات مادة تقديم هو الملزمة هذه من الغرض ان . االضافية التمارين بعض على تحتوي من وذلك الرياضيات في الضعيف المستوى ذوي للطلبة حتى ومفهوم واضح باسلوب للطلبة ش خالل و للحل الطرق ابسط واختيار الدقيق بالتفصل الحل خطوات رح ا رسوم ضافة ذلك من والهدف مباشرة لها المشابهة التمارين ثم االمثلة حل وتم كما . توضيحية ومخططات من الطالب تركيز ابقاء هو األسأ من النوع هذا على ًاصب االسألة بكل ًاملم الطالب يكون وان لة حو ترد ان يمكن التي . النقطة هذه ل الى هذه جهدي ثمرة اهدي مجد طالب كل ًاساعي طموح و اه تحقيق الى دوما دافه كل رغم الصعوبات ف والتحديات وجل عز هللا أسأل له له وأقول , حياته في والنجاح التوفيق دوام " ةمقلابلاايضرتلاوةمهاليلاعًامدونك ." الدكتور خلف ذياب أنس 07818192576 anasdhyiab@gmail.com محفوظة الحقوق جميع © 2021 .المؤلف بموافقة اال العمل هذا طباعة اعادة او قص او تعديل يجوز ال
- 3. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د الثالث الفصل التفاضل تطبيقات
- 4. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د االمثلة بعض مع االشتقاق قواعد 1) 𝒇(𝒙) = 𝒄 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 Ex. A . 𝑓(𝑥) = 5 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 0 B. 𝑓(𝑥) = −45 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 0 C . 𝑓(𝑥) = √18 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 0 ==================================== ====================== 2 ) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 Ex. A . 𝑓(𝑥) = 𝑥5 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 5𝑥4 B. 𝑓(𝑥) = 𝑥−6 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = −6𝑥−7 C. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 12𝑥2 D. 𝑓(𝑥) = √𝑥 ⟹ 𝑓(𝑥) = (𝑥) 1 2 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 1 2 (𝑥) 3 2 E. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 + 2𝑥2 − 16𝑥 + 20 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 12𝑥2 + 4𝑥 − 16 ========================================================= 3 ) 𝒇(𝒙) = (𝒈(𝒙))𝒏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒏(𝒈(𝒙)) 𝒏−𝟏 . 𝒈 ́ (𝒙) Ex. A. 𝑓(𝒙) = (6𝑥2 − 14𝑥)5 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 5(6𝑥2 − 14𝑥)4 (12𝑥 − 14) B. 𝑓(𝑥) = √21𝑥 + 2 3 ⟹ 𝑓(𝑥) = (21𝑥 + 2) 1 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 (21𝑥 + 2) −2 3 (21) = 7 √(21𝑥+2)2 3
- 5. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 4) 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) . 𝒉(𝒙) ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒈(𝒙) . 𝒉 ́ (𝒙) + 𝒉(𝒙). 𝒈 ́ (𝒙) Ex. 𝑓(𝑥) = (4𝑥−2 − 10𝑥)(7𝑥) ⟹ 𝑓 ́(𝑥) = (4𝑥−2 − 10𝑥)(7) + (7𝑥)(−8𝑥−3 − 10) ============================================================= 5) 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) 𝒉(𝒙) ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒉(𝒙).𝒈 ́ (𝒙)−𝒈(𝒙).𝒉 ́ (𝒙) (𝒉(𝒙))𝟐 Ex. 𝒇(𝒙) = (𝒙)𝟑 𝟒−𝒙 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = (𝟒−𝒙).(𝟑𝒙𝟐)−(𝒙)𝟑. (−𝟏) (𝟒−𝒙)𝟐
- 6. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د المشتقة رموز 1. 𝒚́ = 𝒇 ́ (𝒙) = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 2. 𝒚́ ́ = 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 3. 𝒚́ ́ ́ = 𝒇 ́ ́ ́ (𝒙) = 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 4. 𝒚(𝒏) = 𝒇(𝒏)(𝒙) = 𝒅(𝒏)𝒚 𝒅𝒙(𝒏) =========================================================== :مثال كانت اذا 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 فجد 𝒅𝟒𝒚 𝒅𝒙𝟒 . :الحل 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = −2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = −2𝑐𝑜𝑠2𝑥 (2) = −4𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥3 = 4𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = 8𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑4 𝑦 𝑑𝑥4 = 8𝑠𝑖𝑛2𝑥 (2) = 16𝑠𝑖𝑛2𝑥 =========================================================== :مثال اذا أن علمت 𝑦2 + 𝑥2 = 1 : ان على فبرهن 𝑦 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 + 3 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 . ا :لحل 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥 = 0 ÷ 2 ⟹ 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 = 0 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) 2 + 1 = 0
- 7. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ⟹ 𝑦 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥3 + 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ). 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 0 = 0 ⟹ 𝑦 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 + 3 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 ========================================================== تمرين 1 جد : 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 : يلي مما لكل a. 𝒚 = √𝟐 − 𝒙 = (𝟐 − 𝒙) 𝟏 𝟐, ∀𝒙 < 𝟐 Sol/ 𝑦 = √2 − 𝑥 = (2 − 𝑥) 1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 (2 − 𝑥)− 1 2 (−1) = − 1 2 (2 − 𝑥)− 1 2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 1 4 (2 − 𝑥)− 3 2 (−1) = − 1 4 (2 − 𝑥)− 3 2 = −1 4√(2 − 𝑥)3 ========================================================== b. 𝒚 = 𝟐−𝒙 𝟐+𝒙 , 𝒙 ≠ −𝟐 Sol/ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (2 + 𝑥)(−1) − (2 − 𝑥) (1) (2 + 𝑥)2 = −4 (2 + 𝑥)2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = (2 + 𝑥)2(0) − (−4). 2(2 + 𝑥)(1) (2 + 𝑥)4 = −(−4) (4 + 2𝑥) (2 + 𝑥)4
- 8. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د = 16 + 8𝑥 (2 + 𝑥)4 ========================================================== C. 𝟐𝒙𝒚 − 𝟒𝒚 + 𝟓 = 𝟎, 𝒙 ≠ 𝟐, 𝒚 ≠ 𝟎 Sol/ 2𝑥𝑦 − 4𝑦 + 5 = 0 ⟹ 𝑦(2𝑥 − 4) = −5 ⟹ 𝑦 = −5 (2𝑥 − 4) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (2𝑥 − 4)(0) − (−5) (2) (2𝑥 − 4)2 = 10 (2𝑥 − 4)2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = (2𝑥 − 4)2(0) − (10 . 2(2𝑥 − 4)(2)) (2𝑥 − 4)4 = −40 (2𝑥 − 4)4 ========================== ========== =============== 2 ) جد 𝒇 ́ ́ ́ (𝟏) ياتي مما لكل a. 𝒇(𝒙) = 𝟒√𝟔 − 𝟐𝒙, ∀𝒙 < 𝟑 𝑓(𝑥) = 4√6 − 2𝑥 = 4(6 − 2𝑥) 1 2 𝑓 ́(𝑥) = 2(6 − 2𝑥)− 1 2 (−2) = −4(6 − 2𝑥)− 1 2 𝑓̈(𝑥) = 2(6 − 2𝑥)− 3 2(−2) = −4(6 − 2𝑥)− 3 2 𝑓 ⃛(𝑥) = 6(6 − 2𝑥)− 5 2(−2) = −12(6 − 2𝑥)− 5 2 𝑓 ⃛(1) = −12 √(6 − 2(1))5 = −12 √(4)5 = −12 √1024 = −12 32 = −3 8
- 9. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د b. 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒙 𝑓 ́(𝑥) = 𝜋 cos 𝜋𝑥 ⟹ 𝑓̈(𝑥) = −𝜋2 sin 𝜋𝑥 𝑓 ⃛(𝑥) = −𝜋3 cos 𝜋𝑥 ⟹ 𝑓 ⃛(1) = −𝜋3 cos 𝜋(1) = −𝜋3 (−1) = 𝜋3 ======================================================== c. 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝟐−𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟐 𝑓(𝑥) = 3 2 − 𝑥 = 3(2 − 𝑥)−1 𝑓 ́(𝑥) = 3(2 − 𝑥)−2 ⟹ 𝑓 ́ ́(𝑥) = 6(2 − 𝑥)−3 ⟹ 𝑓 ́ ́ ́ (𝑥) = 18(2 − 𝑥)−4 𝑓 ́ ́ ́ (1) = 18(2 − 1)−4 = 18(1)−4 = 18 . ======================================================== تمرين 3 : كانت اذا 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ان فبرهن 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 = 𝟐𝒚 (𝟏 + 𝐲𝟐 𝒙) :الحل 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = sec2 𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 2 sec x (sec 𝑥 tan 𝑥) = 2 sec2 𝑥 tan 𝑥 = 2 tan 𝑥 (1 + tan2 𝑥) 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 2𝑦 (1 + y2 𝑥) 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 sec2 𝑥 = 1 + tan2 𝑥
- 10. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د تمرين 3 : كانت اذا 𝑦 = 𝑥 sin 𝑥 ان فبرهن 𝑦(4) − 𝑦 + 4 cos 𝑥 = 0 . :الحل 𝑦 = 𝑥 sin 𝑥 𝑦́ = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + sin 𝑥 𝑦́ ́ = −𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + cos 𝑥 𝑦́ ́ ́ = −𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 − sin 𝑥 − sin 𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 − 3 sin 𝑥 𝑦(4) = 𝑥 sin 𝑥 − cos 𝑥 − 3 cos 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − 4 cos 𝑥 𝑦(4) − 𝑦 + 4 cos 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − 4 cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 + 4 cos 𝑥 = 0
- 11. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د [3-2] المعدالت المرتبطة Independent Equations 𝑦 = 𝑔(𝑡) ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑔́(𝑡) 𝑥 = 𝑓(𝑡) ⟹ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑓 ́(𝑡) 1 . ارسم مخططا للمسألة وحدد المتغيرات والثوابت وضع لها الرموز وحدد العالقة الرئيسية في حل السؤال . 2 . حاول إيجاد عالقة أخرى بين المتغيرات لكي تقلل من عدد المتغيرات . 3 . نشتق الطرفين بالنسبة للمتغير t الزمن 4 . عوض معطيات السؤال من المتغيرات بعد االشتقاق . : مثال ضلعها طول مربعة قاعدته مستطيلة سطوح متوازي شكل على بالماء مملوء خزان 2m يتسرب بمعدل الماء منه 0.4 𝒎𝟑 /𝒉 زمن اي عند الخزان في الماء انخفاض تغير معدل جد . t . 𝑽 = 𝑨 𝒉 = 𝟐𝟐 . 𝒉 = 𝟒𝒉 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 4 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ⟹ −0.4 = 4 𝑑ℎ 𝑑𝑡 متغير تابع متغير مستقل لحل أي سؤال يتعلق بالمعدالت المرتبطة المعدل الزمني لتغير y المعدل الزمني لتغير x (مرب القاعدة مساحة = المستطيلة السطوح متوازي مساحة )عة × الضلع طول مربع = االرتفاع × االرتفاع او نقصان او تسرب سالبة اشارة نضع ذوبان
- 12. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ∴ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = −0.1 𝑚/ℎ تمرين 5 : ضلع طول يزداد , الشكل مربعة قاعدته تبقى بحيث تتغير ابعاده مستطيلة سطوح متوازي ا بمعدل لقاعدة 0.3 cm/s بمعدل يتناقص وارتفاعه 0.5cm/s طول يكون عندما الحجم تغير معدل جد , القاعدة ضلع 4cm االرتفاع و 3 cm . Sol/ : ان نفرض , لحظة اية في المربعة القاعدة ضلع طول = x = الضلع طول تغير معدل وبالتالي 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 0.3 cm/s القاعدة مساحة A = 𝒙𝟐 = االرتفاع h معدل وبالتالي تناقص = االرتفاع 𝒅𝒉 𝒅𝒕 = 0.5 cm/s - المستطيلة السطوح متوازي حجم 𝑽 = 𝑨 . 𝒉 𝑉 = 𝑥2 . ℎ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑥2 . 𝑑ℎ 𝑑𝑡 + 2𝑥 . ℎ . 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = (4)2 (−0.5) + 2(4)(3)(0.3) = −0.8 𝑐𝑚3 /𝑠 :مثال صف مساحتها المعدن من مستطيلة يحة 96 𝒄𝒎𝟐 بمعدل طولها يتمدد . 2 cm/s تبقى بحيث عرضها يكون عندما وذلك عرضها في النقصان معدل جد , ثابتة مساحتها 8 cm . = المستطيل طول نفرض X = وعرضه Y 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = ? 𝐴 = 𝑥 𝑦 96 = 8𝑥 ⟹ 𝑥 = 96 8 = 12 X y مجهول العرض تغير معدل الطول = المستطيل مساحة × العرض على نحصل وباتعويض الحجم تناقص معدل
- 13. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝐴 = 𝑥 𝑦 ⟹ 96 = 𝑥𝑦 ⟹ 𝑑 𝑑𝑡 (96) = 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 0 = 12 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 8(2) ⟹ −16 = 12 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 16 12 = − 4 3 𝒄𝒎/𝒔 :مثال حرفه طول صلد مكعب 8cm بالذوبان الجليد بدأ فاذا ,مكعبا يبقى شكله بحيث الجليد من بطبقة مغطى بمعدل 6 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 بسمك النقصان معدل فجد السمك هذا فيها يكون التي الحظة في الجليد 1 cm . الحل / = لحظة اية في الجليد سمك ان نفرض x ايجاد المطلوب , = الجليد سمك في النقصان معدل 𝒅𝒙 𝒅𝒕 عند x=1 بالجليد المغطى المكعب حجم = الجليد حجم - االاصلي المكعب حجم 𝑉 = (8 + 2𝑥)3 − 83 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 3(8 + 2𝑥)2 . 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 − 0 −6 = 3(8 + 2(1))2 . 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 −6 = 3(10)2 . 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ −6 = 300 (2) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ −6 = 600 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −6 600 = −1 100 = −0.01 𝑐𝑚/𝑠 :مثال طوله سلم 10m , رأسي حائط على العلوي وطرفه افقيه ارض على االسفل طرفه يستند انزلق فاذا بمعدل الحائط غن مبتعدا االسفل الطرف 2m/s بعد على االسفل الطرف يكون عندما 8m جد . الحائط عن 1 العلوي الطرف انزالق معدل ) 2 . واالرض السلم بين الزاوية تغير سرعة ) 8 cm 8+2x cm حرفه طول مكعب = المكعب حجم . حرفه طول بالجليد المغطى المكعب 8+2x
- 14. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د Sol/ = لحظة اية في الحائط عن االسفل الطرف بعد ان نفرض x اذ . الطرف ابتعاد معدل ن = الحائط عن االسفل 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = لحظة اية في االرض عن العلوي الطرف بعد ان نفرض y = العلوي الطرف انزالق معدل اذن . 𝒅𝒚 𝒅𝒕 مطلوب ... ان نفرض = واالرض السلم بين الزاوية قياس 𝜽 قطرية نصف زاوية ونجد فيثاغورس قاعدة نطبق لذا مثلث على نحصل الرسم من y ن ثم المجهول ونجد المعاليم ونعوض شتق 𝑥2 + 𝑦2 = 102 ⟹ 82 + 𝑦2 = 100 𝑦2 = 100 − 64 = 36 ⟹ 𝑦 = 6 𝑑 𝑑𝑡 (𝑥2 + 𝑦2 ) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 (10) 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 2(8)(2) + 2(6) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 12 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −32 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −32 12 = −8 3 𝑚/𝑠 معدل انز الق الطرف العلوي −8 3 𝑚/𝑠 . الزاويه تغير معدل اليجاد االن 𝒅𝜽 𝒅𝒕 قانون نستخدم 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = المقابل الوتر sin 𝜽 = 𝑦 10 ⟹ 𝑑 𝑑𝑡 (sin 𝜽) = 1 10 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⟹ cos 𝜽 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ) ⟹ 𝑥 10 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ) ⟹ 8 10 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( −8 3 ) ⟹ 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 10 ( −8 3 ) ( 10 8 ) = −1 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 −1 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ∴ الزاوية تغير معدل وبالتعويض عن 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝒙 𝟏𝟎
- 15. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د :تمرين فاذا رأسي حائط على االعلى وطرفه افقيه ارض على االسفل طرفه يستند سلم الطرف انزلق بمعدل الحائط عن مبتعدا االسفل 2m/s بين الزاوية قياس يكون عندما العلوي الطرف انزالق معدل فجد واالرض السلم 𝜋 3 . Sol/ : ان نفرض , لحظة اية في الحائط عن السفلي الطرف بعد x االرض عن العلوي الطرف بعد y االسفل الطرف انزالق معدل 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝟐 𝒎/𝒔 العلوي الطرف انزالق معدل ايجاد المطلوب 𝒅𝒚 𝒅𝒕 =? tan 𝜃 = 𝑦 𝑥 ⟹ tan 𝜋 3 = 𝑦 𝑥 ⟹ √3 = 𝑦 𝑥 … . (1) 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑠2 ⟹ 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −2𝑥 2𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 2 √3 𝑚/𝑠 قانون من 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = المقابل المجاور على نحصل على نحصل فيثاغورس قانون من قيمة نعوض 𝒙 𝒚 ( عالقة من 1 )
- 16. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د تمرين 2 : طواله عمود 7.2 m طوله رجل يتحرك , مصباح نهايته في 1.8 m بسرعة العمود عن مبتعدا 30 m/min . الرجل ظل طول تغير معدل جد , Sol/ :ان نفرض , لحظة اية في = العمود عن الرجل بعد x ابتعاد معدل وبالتالي عن الرجل = العمود 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 30 m/min = الرجل ظل طول y = الرجل ظل طول تغير وبالتالي 𝒅𝒚 𝒅𝒕 ؟ = ل بالنسبة نشتقها معادلة على محصل المثلثين تشابه من t ثم . المجهول ونجد نعوض .8 1.8 7.2 = 𝑥 𝑥 + 𝑦 ⟹ 1 4 = 𝑦 𝑥 + 𝑦 ⟹ 4𝑦 = 𝑥 + 𝑦 ⟹ 3𝑦 − 𝑥 = 0 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 − 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 1 3 . 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 1 3 . 30 ⟹ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 10 𝑚/𝑚𝑖𝑛 قيمة وبتعويض 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 30 نحصل معدل الرجل ظل طول تغير
- 17. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د :مثال يساوي ارتفاعه لالسفل ورأسه افقية قاعدته مخروطي مرشح 24cm قاعدته قطر وطول 16cm بمعدل سائل فيه يصب 𝟓 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 بينما بمعدل السائل منه يتسرب 𝟏 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 السائل عمق تغير معدل جد . السائل عمق فيها يكون التي اللحظة في 12 cm . : ان نفرض لحظة اية في = المخروط قطر نصف r = ارتفاعه و h = السائل حجم v(t) المخرو حجم = ط 𝒗 = 𝟏 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒉 = القطر 16 ⟸ القطر نصف r = 8 قانون من 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = المقابل المجاور نحصل العالقة في نطبقها عالقة على . االولى tan 𝜃 = 𝑟 ℎ = 8 24 ⟹ 24𝑟 = 8ℎ ⟹ 𝑟 = 8 24 ℎ = 1 3 ℎ 𝑣 = 1 3 𝜋𝑟2 ℎ = 1 3 𝜋( 1 3 ℎ)2 ℎ = 1 3 ( 1 9 ) 𝜋ℎ3 = 1 27 𝜋ℎ3 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 3( 1 27 )𝜋ℎ2 𝑑ℎ 𝑑𝑡 معدل تغير حجم السائل في المخروط = معدل الصب - معدل التسرب . 4 = 1 9 𝜋(12)2 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ⟹ 4 = 144 9 𝜋 𝑑ℎ 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 4 16𝜋 = 1 4𝜋 𝒄𝒎𝟑 /𝒔 تغير معدل السائل عمق 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 5 − 1 = 4 𝒄𝒎𝟑 /𝒔
- 18. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د :مثال لتكن M المكافئ القطع منحني على متحركة نقطة 𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 النقطة عن ابتعادها معدل يكون بحيث ( 0 , 7 يساوي ) 0.2 unit/s للنقطة السيني االحداثي لتغير الزمني المعدل جد . M يكون عندما x=4 . Sol/ النقطة احداثيات ان نفرض M هي x, y . نفرض ( النقطة بين البعد ان 0 , 7 و ) M هو s هو النقطة ابتعاد معدل 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟎. 𝟐 𝒖𝒏𝒊𝒕/𝒔 السيني االحداثي تغير معدل ايجاد المطلوب 𝒅𝒙 𝒅𝒕 𝑠 = √(𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 0)2 𝑠 = √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 𝑦2 𝑠 = √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 4𝑥 = 𝑠 = √𝑥2 − 10𝑥 + 49 = (𝑥2 − 10𝑥 + 49) 1 2 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 1 2 (𝑥2 − 10𝑥 + 49)− 1 2 (2𝑥 − 10) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 0.2 = 1 2 (42 − 10(4) + 49)− 1 2 (2(4) − 10) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 0.2 = 1 2 (25)− 1 2 (−2) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ 0.2 = −(52)− 1 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⟹ [0.2 = − 1 5 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ] × −5 ∴ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −1 𝑢𝑛𝑖𝑡/𝑠 نعوض 𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 نعوض 𝒙 = 𝟒 , 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟎. 𝟐 السيني االحداثي تغير معدل
- 19. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د تمرين 3 : لتكن M المكافىء القطع على تتحرك نقطة 𝒚 = 𝒙𝟐 النقطة احداثي جد , M المعدل يكون عندما النقطة عن البتعادها الزمني (𝟎, 𝟑 𝟐 ) للنقطة الصادي االحداثي لتغير الزمني المعدل ثلثي يساوي M . Sol/ النقط احداثيات ان نفرض ة M هي x, y . النقطة بين البعد ان نفرض (𝟎, 𝟑 𝟐 ) و M هو s هو النقطة ابتعاد معدل 𝒅𝒔 𝒅𝒕 =? للنقطة الصادي االحداثي تغير معدل M = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 احداثي ايجاد المطلوب M عندما 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟐 𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝑠 = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 3 2 )2 = √𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑦 + 9 4 𝑠 = √𝑦 + 𝑦2 − 3𝑦 + 9 4 = √𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = (2𝑦 − 2) 2√𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⟹ 2 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 2 (𝑦 − 1) 2√𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2√𝑦2 − 2𝑦 + 9 4 = 3(𝑦 − 1) 4𝑦2 − 8𝑦 + 9 = 9𝑦2 − 18𝑦 + 9 ⟹ 5𝑦2 − 10𝑦 = 0 ⟹ 5𝑦(𝑦 − 2) = 0 5𝑦 = 0 ⟹ 𝑦 = 0 Or 𝑦 = 2 ⟹ 𝑥2 = 2 ⟹ 𝑥 = ±√2 ⟹ 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑀(±√2, 2) وبتعويض 𝒚 = 𝒙𝟐 وبتعويض 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 2 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 Y=0 النقطة تتحرك لن الحالة هذه في النه يهمل M عن مبنعده القطع على االخرى النقطة نحصل الطرفين وبتربيع
- 20. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د تمرين 4 : للدائرة تنتمي التي النقطة جد 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 المعدل يكون عندها والتي لتغير الزمني x لتغير الزمني المعدل يساوي y لـ بالنسبة t . Sol/ لتغير الزمني المعدل x = 𝒅𝒙 𝒅𝒕 لتغير الزمني والمعدل y = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 لدينا 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝟐𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒕 + 𝟒 𝒅𝒙 𝒅𝒕 − 𝟖 𝒅𝒚 𝒅𝒕 = 𝟎 ∵ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 ⟹ 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝟐𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝟒 𝒅𝒙 𝒅𝒕 − 𝟖 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝟎 ⟹ 𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒕 (𝒙 + 𝒚 + 𝟐 − 𝟒) = 𝟎 ∵ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 ≠ 𝟎 ⟹ 𝒙 + 𝒚 − 𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − 𝒚 … . (𝟏) (𝟐 − 𝒚)𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒(𝟐 − 𝒚) − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 + 𝟒 + 𝒚𝟐 + 𝟖 − 𝟒𝒚 − 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 𝟐𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎𝟖 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 − 𝟗𝟔 = 𝟎 ÷ 𝟐 𝒚𝟐 − 𝟖𝒚 − 𝟒𝟖 = 𝟎 ⟹ (𝒚 − 𝟏𝟐)(𝒚 + 𝟒) = 𝟎 𝒚 = 𝟏𝟐 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − 𝟏𝟐 = −𝟏𝟎 Or 𝒚 = −𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟐 − (−𝟒) = 𝟔 االصلية المعادلة في وبالتعويض
- 21. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د المتوسطة والقيمة رول مبرهنتا قيمة نجد وكيف ؟ رول مبرهنة شروط تحقق الدالة ان نبرهن كيف c ؟ الممكنة - الدالة ان لنثبت f : التالية للشروط تحقيقها نختبر ان يجب رول مبرهنة تحقق 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [a,b] 2 ) الفترة على لالشتقاق قابلة الدالة (a,b) 3 ) f(a) = f(b) قيمة ايجاد يمكن الشروط لهذه الدالة تحقيق من التأكد بعد c كل مكان نضع ثم الدالة باشتقاق x بـ c بالصفر ونساويها قيمة اليجاد c . :مثال قيمة جد ثم التالية الدوال من لكل متحققة رول مبرهنة ان بين c الممكنة a) 𝒇(𝒙) = (𝟐 − 𝒙)𝟐 , 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟒] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [𝟎, 𝟒] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (𝟎, 𝟒) كثير النها . الحدود ة 3) 𝒇(𝟎) = (𝟐 − 𝟎)𝟐 = 𝟒 𝒇(𝟒) = (𝟐 − 𝟒)𝟐 = (−𝟐)𝟐 = 𝟒 ∴ 𝒇(𝟎) = 𝒇(𝟒) ∴ الدالة f . رول مبرهنة تحقق 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝟐 − 𝒙)(−𝟏) = −𝟐(𝟐 − 𝒙) ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = −𝟐(𝟐 − 𝒄) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ −𝟐(𝟐 − 𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 − 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟐 ∈ (𝟎, 𝟒)
- 22. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د b) 𝒇(𝒙) = 𝟗𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [−𝟏, 𝟏] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (−𝟏, 𝟏) . الحدود كثيرة النها 3) 𝒇(−𝟏) = 𝟗(−𝟏) + 𝟑(−𝟏)𝟐 − (−𝟏)𝟑 = −𝟗 + 𝟑 + 𝟏 = −𝟓 𝒇(𝟏) = 𝟗(𝟏) + 𝟑(𝟏)𝟐 − (𝟏)𝟑 = 𝟗 + 𝟑 − 𝟏 = 𝟏𝟏 ∴ 𝒇(−𝟏) ≠ 𝒇(𝟏) ∴ الدالة f ايجاد اليمكن لذا رول مبرهنة تحقق ال c . c) 𝒇(𝒙) = { 𝒙𝟐 + 𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐] −𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟒, −𝟏) Sol/ اليمين جهة من الغاية نجد ان يجب لذا جهتين من الدالة ان بما 𝑳𝟏 ا جهة من والغاية ليسار 𝑳𝟐 ثم ان من نتحقق 𝑳𝟏 = 𝑳𝟐 . ال ام 𝑳𝟏 : 𝐥𝐢𝐦 𝒙 ⟶(−𝟏)+ 𝒙𝟐 + 𝟏 = (−𝟏)𝟐 + 𝟏 = 𝟐 𝑳𝟐 : 𝐥𝐢𝐦 𝒙 ⟶(−𝟏)− −𝟏 = −𝟏 ∵ 𝑳𝟏 ≠ 𝑳𝟐 ∴ الدالة f الفترة على مستمرة غير [−𝟒, 𝟐] . رول مبرهنة تحقق وال d) 𝒇(𝒙) = 𝒌 , 𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [𝒂, 𝒃] النها ثابتة دالة . 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (𝒂, 𝒃) . 3) 𝒇(𝒂) = 𝒌 𝒇(𝒃) = 𝒌
- 23. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ∴ 𝒇(𝒂) = 𝒇(𝒃) ∴ الدالة f وقيمة رول مبرهنة تحقق c الفترة في قيمة اية تكون ان يمكن (𝒂, 𝒃) . تمرين 1 : اوجد قيمة c :ياتي مما كل في رول مبرهنة تعينها التي a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟑, 𝟑] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [−𝟑, 𝟑] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (−𝟑, 𝟑) . الحدود كثيرة النها 3) 𝒇(−𝟑) = (−𝟑)𝟑 − 𝟗(−𝟑) = −𝟐𝟕 + 𝟐𝟕 = 𝟎 𝒇(𝟑) = (𝟑)𝟑 − 𝟗(𝟑) = 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 = 𝟎 ∴ 𝒇(−𝟑) = 𝒇(𝟑) ∴ الدالة f . رول مبرهنة تحقق 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟑(𝒄𝟐 − 𝟑) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝒄𝟐 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√𝟑 ≃ ±𝟏. 𝟕 ∈ (−𝟑, 𝟑) b) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟐 𝒙 , 𝒙 ∈ [ 𝟏 𝟐 , 𝟐] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [ 𝟏 𝟐 , 𝟐] الن 0 للفترة ينتمي ال [ 𝟏 𝟐 , 𝟐] . 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) الن 0 للفترة ينتمي ال ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) . 3) 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) + 𝟐 𝟏 𝟐 = 𝟏 + 𝟒 = 𝟓 𝒇(𝟐) = 𝟐(𝟐) + 𝟐 𝟐 = 𝟒 + 𝟏 = 𝟓
- 24. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ∴ 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝒇(𝟐) ∴ الدالة f . رول مبرهنة تحقق 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐 + (−𝟐) 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐(𝟏 − 𝒄−𝟐 ) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝟏 − 𝒄−𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒄−𝟐 = 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟏 𝟏 ∈ ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) ⟹ 𝒄 = 𝟏 −𝟏 ∉ ( 𝟏 𝟐 , 𝟐) ⟹ 𝒄 ≠ −𝟏 c) 𝒇(𝒙) = (𝒙𝟐 − 𝟑)𝟐 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [−𝟏, 𝟏] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (−𝟏, 𝟏) . الحدود كثيرة النها 3) 𝒇(−𝟏) = ((−𝟏)𝟐 − 𝟑)𝟐 = (−𝟐)𝟐 = 𝟒 𝒇(−𝟏) = ((𝟏)𝟐 − 𝟑)𝟐 = (−𝟐)𝟐 = 𝟒 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟏) ∴ الدالة f . رول مبرهنة تحقق 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙𝟐 − 𝟑)(𝟐𝒙) = 𝟒𝒙(𝒙𝟐 − 𝟑) ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟒𝒄(𝒄𝟐 − 𝟑) 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒄(𝒄𝟐 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∈ (−𝟏, 𝟏) (𝒄𝟐 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√𝟑 ≃ ±𝟏. 𝟕 ∉ (−𝟏, 𝟏) تمرين 6 : مب تحقق االتية الدوال من دالة كل ان بين رول رهنة قيمة جد ثم , المعطاة الفترة على c . a) 𝒇(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)𝟒 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟑] 2012-2 Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [−𝟏, 𝟑] . الحدود كثيرة النها تهمل
- 25. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (−𝟏, 𝟑) . الحدود كثيرة النها 3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏 − 𝟏)𝟒 = (−𝟐)𝟒 = 𝟏𝟔 𝒇(𝟑) = (𝟑 − 𝟏)𝟒 = (𝟐)𝟒 = 𝟏𝟔 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟑) ∴ الدالة f . رول مبرهنة تحقق 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟒(𝒙 − 𝟏)𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟒(𝒄 − 𝟏)𝟑 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟒(𝒄 − 𝟏)𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎𝟏 ∈ (−𝟏, 𝟑) b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [−𝟏, 𝟏] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (−𝟏, 𝟏) . الحدود كثيرة النها 3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟑 − (−𝟏) = −𝟏 + 𝟏 = 𝟎 𝒇(𝟏) = (𝟏)𝟑 − (𝟏) = 𝟏 − 𝟏 = 𝟎 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟏) ∴ الدالة f . رول مبرهنة تحقق 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟑𝒄𝟐 − 𝟏 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒄𝟐 = 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟏 𝟑 ⟹ 𝒄 = ±√ 𝟏 𝟑 = ± 𝟏 √𝟑 ∈ (−𝟏, 𝟏) c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟒] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [−𝟏, 𝟒] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة f لالشت قابلة الفترة على قاق (−𝟏, 𝟒) . الحدود كثيرة النها على بالقسمة 4 للطرفين التكعيبي الجذر اخذ ثم
- 26. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 3) 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟐 − 𝟑(−𝟏) = 𝟏 + 𝟑 = 𝟒 𝒇(𝟒) = (𝟒)𝟐 − 𝟑(𝟒) = 𝟏𝟔 − 𝟏𝟐 = 𝟒 ∴ 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟒) ∴ الدالة f . رول مبرهنة تحقق 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐𝒄 − 𝟑 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒄 = 𝟑 ⟹ 𝒄 = 𝟑 𝟐 ∈ (−𝟏, 𝟒) d) 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 , 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [𝟎, 𝟐𝝅] 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (𝟎, 𝟐𝝅) 3) 𝒇(𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟎) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟎 = 𝟏 + 𝟐(𝟏) = 𝟑 𝒇(𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟐𝝅) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝅 = 𝟏 + 𝟐(𝟏) = 𝟑 ∴ 𝒇(𝟎) = 𝒇(𝟐𝝅) ∴ الدالة f . رول مبرهنة تحقق 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ −𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒄 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒄 + 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒔𝒊𝒏 𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ÷ 𝟐 ⟹ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝒔𝒊𝒏𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝒔𝒊𝒏 𝒄 (𝟐𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟏) = 𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∉ (𝟎, 𝟐𝝅), 𝒄 = 𝟐𝝅 ∉ (𝟎, 𝟐𝝅) 𝒄 = 𝝅 ∈ (𝟎, 𝟐𝝅) Or 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒄 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒄𝒐𝒔 𝒄 = −𝟏 𝟐 تهمل Cos هي االسناد زاوية وبالتالي والثالث الثاني الربعين في سالب 𝝅 𝟑
- 27. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝒄 = 𝝅 − 𝝅 𝟑 = 𝟐𝝅 𝟑 ∈ (𝟎, 𝟐𝝅) 𝒄 = 𝝅 + 𝝅 𝟑 = 𝟒𝝅 𝟑 ∈ (𝟎, 𝟐𝝅) المتوسطة القيمة مبرهنة مبرهنة شروط تحقق الدالة ان نبرهن كيف قيمة نجد وكيف ؟ المتوسطة القيمة c ؟ الممكنة - الدالة ان لنثبت f : التالية للشروط تحقيقها نختبر ان يجب المتوسطة القيمة مبرهنة تحقق 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [a,b] 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (a,b) نجد اعاله الشرطين تحقق بعد قيمة c : 3 ) المم ميل ايجاد االولى المشتقة ويساوي اس للدالة f عند c : 𝒇 ́ (𝒄) 4 ) الوتر ميل ايجاد 𝒇(𝒃)−𝒇(𝒂) 𝒃−𝒂 5 ) )الوتر ميل = المماس (ميل القاعدة نطبق 𝒇 ́ (𝒄) = 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 حيث المتوسطة القيمة مبرهنة من خاصة حالة هي رول مبرهنة ان ** 𝒇(𝒃) = 𝒇(𝒂) ان اي 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) = 𝟎 وبالتالي 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 . :مثال قيمة اوجد ثم المتوسطة القيمة مبرهنة شروط تحقق االتية الدوال ان برهن c . a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟕] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [−1,7] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (−1,7) . الحدود كثيرة النها 3 ) المماس ميل 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐(𝒙 − 𝟑) 4 ) الوتر ميل
- 28. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒇(𝟕) − 𝒇(−𝟏) 𝟕 − (−𝟏) = ((𝟕)𝟐 − 𝟔(𝟕) + 𝟒) − ((−𝟏)𝟐 − 𝟔(−𝟏) + 𝟒) 𝟖 = 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝟖 = 𝟎 ∴ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒄 − 𝟑) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟑 ∈ (−𝟏, 𝟕) b) 𝒇(𝒙) = √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 , 𝒙 ∈ [−𝟒, 𝟎] Sol/ 1 ) :االستمرارية اختبار ∀ 𝒂 ∈ [−𝟒, 𝟎] ⟹ 𝒇(𝒂) = √𝟐𝟓 − 𝒂𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 = √𝟐𝟓 − 𝒂𝟐 = 𝒇(𝒂) ان اي f عند مستمرة a ان وبما a الفترة في نقطة اية هي [−𝟒, 𝟎] اذن f الفترة على مستمرة [−𝟒, 𝟎] . 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (−𝟒, 𝟎) . 3 ) المماس ميل 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟐𝒙 𝟐 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = −𝒄 √𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 4 ) الوتر ميل 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒇(𝟎) − 𝒇(−𝟒) 𝟎 − (−𝟒) = (√𝟐𝟓) − (√𝟐𝟓 − 𝟏𝟔) 𝟒 = 𝟓 − 𝟑 𝟒 = 𝟏 𝟐 ∴ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟏 𝟐 ⟹ −𝒄 √𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 = 𝟏 𝟐 ⟹ −𝟐𝒄 = √𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 𝟒𝒄𝟐 = 𝟐𝟓 − 𝒄𝟐 ⟹ 𝟓𝒄𝟐 = 𝟐𝟓 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟓 ⟹ 𝒄 = ±√𝟓 الوتر ميل = المماس ميل ان بما ال ميل ان بما الوتر ميل = مماس الطرفين بتربيع
- 29. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د √𝟓 ∉ (−𝟒, 𝟎) −√𝟓 ∈ (−𝟒, 𝟎) ⟹ 𝒄 = −√𝟓 . :تمرين على التالية للدوال المتوسطة القيمة مبرهنة تطبيق امكانية اختبر السبب ذكر مع المعطاة الفترات قيمة اوجد ثم c . a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙 − 𝟏 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐] Sol/ 1 ) الدالة f الفترة على مستمرة [−1,2] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة f الفترة على لالشتقاق قابلة (−1,2) . الحدود كثيرة النها 3 ) المماس ميل 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 ⟹ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟑𝒄𝟐 − 𝟏 4 ) الوتر ميل 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒇(𝟐) − 𝒇(−𝟏) 𝟐 − (−𝟏) = 𝟓 + 𝟏 𝟑 = 𝟐 ∴ 𝒇 ́ (𝒄) = 𝟐 ⟹ 𝟑𝒄𝟐 − 𝟏 = 𝟐 ⟹ 𝟑 𝒄𝟐 = 𝟐 + 𝟏 ⟹ 𝒄𝟐 = 𝟑 𝟑 = 𝟏 ⟹ 𝒄 = ±𝟏 −𝟏 ∉ (−𝟏, 𝟐) 𝟏 ∈ (−𝟏, 𝟐) ⟹ 𝒄 = 𝟏 b) 𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟓] Sol/ 1 ) الدالة h الفترة على مستمرة [−1,5] . الحدود كثيرة النها 2 ) الدالة h الفترة على لالشتقاق قابلة (−1,5) . الحدود كثيرة النها 3 ) المماس ميل 𝒉 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟒 ⟹ 𝒉 ́ (𝒄) = 𝟐(𝒄 − 𝟐) الوتر ميل = المماس ميل ان بما
- 30. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 4 ) الوتر ميل 𝒉(𝒃) − 𝒉(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒉(𝟓) − 𝒉(−𝟏) 𝟓 − (−𝟏) = (𝟓)𝟐 − 𝟒(𝟓) + 𝟓 − ((−𝟏)𝟐 − 𝟒(−𝟏) + 𝟓) 𝟔 = 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟎 ∴ 𝒉 ́ (𝒄) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒄 − 𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟐 ∈ (−𝟏, 𝟓) c) 𝒈(𝒙) = 𝟒 𝒙+𝟐 , 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟐] Sol/ 1 ) الدالة مجال : االستمرارية g هو R/{x=-2} ان وبما -2 الفترة خارج [−𝟏, 𝟐] اذن الدالة g الفترة على مستمرة [−1,2] . 2 ) ا لدالة g الفترة على لالشتقاق قابلة (−1,2) . 3 ) المماس ميل 𝒈 ́ (𝒙) = −𝟒 (𝒙 + 𝟐)𝟐 ⟹ 𝒉 ́ (𝒄) = −𝟒 (𝒄 + 𝟐)𝟐 4 ) الوتر ميل 𝒈(𝒃) − 𝒈(𝒂) 𝒃 − 𝒂 = 𝒈(𝟐) − 𝒈(−𝟏) 𝟐 − (−𝟏) = ( 𝟒 𝟐 + 𝟐 ) − ( 𝟒 −𝟏 + 𝟐 ) 𝟑 = 𝟏 − 𝟒 𝟑 = −𝟏 ∴ 𝒈 ́ (𝒄) = −𝟏 ⟹ −𝟒 (𝒄 + 𝟐)𝟐 = −𝟏 (𝒄 + 𝟐)𝟐 = 𝟒 ⟹ 𝒄𝟐 + 𝟒𝒄 + 𝟒 − 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝒄(𝒄 + 𝟒) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = 𝟎 ∈ (−𝟏, 𝟐) Or (𝒄 + 𝟒) = 𝟎 ⟹ 𝒄 = −𝟒 ⟹ −𝟒 ∉ (−𝟏, 𝟐) الوتر ميل = المماس ميل ان بما الوتر ميل = المماس ميل ان بما
- 31. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د d) 𝑩(𝒙) = √(𝒙 + 𝟏)𝟐 𝟑 , 𝒙 ∈ [−𝟐, 𝟕] Sol/ 1 ) :االستمرارية اختبار الدالة B هو للدالة مجال اوسع الن مستمرة R . 2 ) : االشتقاق قابلية 𝑩(𝒙) = √(𝒙 + 𝟏)𝟐 𝟑 = (𝒙 + 𝟏) 𝟐 𝟑 𝑩 ́ (𝒙) = 𝟐 𝟑 (𝒙 + 𝟏)− 𝟏 𝟑 هو المشتقة مجال R/{-1} لكن -1 للفترة ينتمي (-2,7) الدالة اذن B . لالشتقاق قابلة غير
- 32. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ** مالحظة :- سوف نقوم باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة في حل مسائل . التقريب :مثال جد باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة تقريبا مناسبا للعدد √𝟐𝟔 Sol/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥 , 𝑥 > 0 ان نفرض a = 25 للعدد كامل مربع اقرب b=26 ℎ = 26 − 25 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(25) = √25 = 5 الدالة
- 33. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝑓 ́(𝑥) = 1 2√𝑥 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(25) = 1 2√25 = 1 2(5) = 0.1 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ √26 = 𝑓(25 + 1) ≅ 𝑓(25) + (1). 𝑓 ́(25) = 5 + 1(0.1) = 5.1 :مثال كان اذا 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 تقريبية بصورة فجد 𝒇(𝟏. 𝟎𝟎𝟏) Sol/ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 5 ان نفرض a = 1 اقرب سهلة قيمة للعدد b=1.001 ℎ = 1.001 − 1 = 0.001 𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = (1)3 + 3(1)2 + 4(1) + 5 = 1 + 3 + 9 = 13 𝑓 ́(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 + 4 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(1) = 3(1)2 + 6(1) + 4 = 13 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(1.001) = 𝑓(1 + 0.001) ≅ 𝑓(1) + (0.001). 𝑓 ́(1) = 13 + 0.001(13) = 13.013 الدالة
- 34. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د :مثال المتوسط القيمة مبرهنة نتيجة باستخدام على عشرية مراتب لثالث ومقربا تقريبية وبصورة جد , ة : ياتي مما لكل االقل a) √(𝟎. 𝟗𝟖)𝟑 𝟓 + (𝟎. 𝟗𝟖)𝟒 + 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝑥3 5 + 𝑥4 + 3 = 𝑥 3 5 + 𝑥4 + 3 ان نفرض a = 1 للعدد سهلة قيمة اقرب b=0.98 ℎ = 0.98 − 1 = −0.02 𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = √13 5 + 14 + 3 = 5 𝑓 ́(𝑥) = 3 5 𝑥− 2 5 + 4𝑥3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(1) = 3 5 (1)− 2 5 + 4(1)3 = 3 5 + 4 = 23 5 = 4.6 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(0.98) = 𝑓(1 − 0.02) ≅ 𝑓(1) + (−0.02). 𝑓 ́(1) = 5 − 0.02(4.6) = 5 − 0.092 = 4.908 ∴ √(0.98)3 5 + (0.98)4 + 3 ≅ 4.908 b) √𝟕. 𝟖 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 𝟑 = 𝑥 1 3 ان نفرض a = 8 للعدد سهلة قيمة اقرب b=7.8 الدالة الدالة
- 35. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ℎ = 7.8 − 8 = −0.2 𝑓(𝑎) = 𝑓(8) = √𝟖 𝟑 = 2 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(8) = 1 3 (23)− 2 3 = 1 12 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(7.8) = 𝑓(8 − 0.2) ≅ 𝑓(8) + (−0.2). 𝑓 ́(8) = 2 − 0.2 ( 1 12 ) = 2 − 0.0166 = 1.9834 ∴ √𝟕. 𝟖 𝟑 ≅ 1.9834 c) √𝟏𝟕 + √𝟏𝟕 𝟒 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 + √𝒙 𝟒 = 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒙 𝟏 𝟒 ان نفرض a = 16 اقرب العدد من كامل مربع b=17 ℎ = 17 − 16 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(16) = (𝟒𝟐 ) 𝟏 𝟐 + (𝟐𝟒 ) 𝟏 𝟒 = 𝟒 + 𝟐 = 𝟔 الدالة
- 36. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝑓 ́(𝑥) = 1 2 𝑥− 1 2 + 1 4 𝑥− 3 4 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(16) = 1 2 (𝟒𝟐 )− 1 2 + 1 4 (𝟐𝟒 )− 3 4 = 1 2 ( 1 4 ) + 1 4 ( 1 8 ) = 1 8 + 1 32 = 5 32 = 0.156 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(17) = 𝑓(16 + 1) ≅ 𝑓(16) + (1). 𝑓 ́(16) = 6 + 1(0.156) = 6.156 ∴ √𝟏𝟕 + √𝟏𝟕 𝟒 ≅ 6.156 d) √𝟎. 𝟏𝟐 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 𝟑 = 𝑥 1 3 ان نفرض a = 0.125 للعدد سهلة قيمة اقرب b=0.120 ℎ = 0.120 − 0.125 = −0.005 𝑓(𝑎) = 𝑓(0.125) = √𝟎. 𝟏𝟐𝟓 𝟑 = 0.5 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(0.125) = 1 3 (0.53)− 2 3 = 1 3 ( 1 0.25 ) = 4 3 الدالة
- 37. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(0.120) = 𝑓(0.125 − 0.005) ≅ 𝑓(0.125) + (−0.005). 𝑓 ́(0.125) = 0.5 − 0.005(1.333) = 0.493335 ∴ √𝟎. 𝟏𝟐 𝟑 ≅ 0.493335 :تمرين : المتوسطة القيمة مبرهنة نتيجة باستخدام يلي مما لكل تقريبا جد a) √𝟔𝟑 + √𝟔𝟑 𝟑 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 + √𝒙 𝟑 = 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒙 𝟏 𝟑 ان نفرض a = 64 اقرب العدد من كامل مربع b=63 ℎ = 63 − 64 = −1 𝑓(𝑎) = 𝑓(64) = (𝟖𝟐 ) 𝟏 𝟐 + (𝟒𝟑 ) 𝟏 𝟑 = 𝟖 + 𝟒 = 𝟏𝟐 𝑓 ́(𝑥) = 1 2 𝑥− 1 2 + 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(64) = 1 2 (𝟖𝟐 )− 1 2 + 1 3 (𝟒𝟑 )− 2 3 = 1 2 ( 1 8 ) + 1 3 ( 1 16 ) = 1 16 + 1 48 = 4 48 = 1 12 = 0.083 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(63) = 𝑓(64 − 1) ≅ 𝑓(64) + (−1). 𝑓 ́(64) الدالة
- 38. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د = 12 − 1(0.083) = 11.917 ∴ √𝟔𝟑 + √𝟔𝟑 𝟑 ≅ 11.917 b) (𝟏. 𝟎𝟒)𝟑 + 𝟑(𝟏. 𝟎𝟒)𝟒 Sol/ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥4 ان نفرض a = 1 للعدد سهلة قيمة اقرب b=1.04 ℎ = 1.04 − 1 = 0.04 𝑓(𝑎) = 𝑓(1) = (1)3 + 3(1)4 = 1 + 3 = 4 𝑓 ́(𝑥) = 3𝑥2 + 12𝑥3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(1) = 3(1)2 + 12(1)3 = 15 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(1.04) = 𝑓(1 + 0.04) ≅ 𝑓(1) + (0.04). 𝑓 ́(1) = 4 + 0.04(15) = 4 + 0.6 = 4.6 ∴ (𝟏. 𝟎𝟒)𝟑 + 𝟑(𝟏. 𝟎𝟒)𝟒 ≅ 4.6 c) 𝟏 √𝟗 𝟑 Sol/ 𝒇(𝒙) = 𝟏 √𝒙 𝟑 = 𝒙− 𝟏 𝟑 ان نفرض a = 8 اقرب سهلة قيمة العدد من b=9 الدالة الدالة
- 39. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ℎ = 9 − 8 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(8) = (𝟐𝟑 )− 𝟏 𝟑 = 1 2 𝑓 ́(𝑥) = − 1 3 𝑥− 4 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(8) = − 1 3 (𝟐𝟑 )− 4 3 = − 1 3 ( 1 16 ) = − 1 48 ≅ −0.02 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(9) = 𝑓(8 + 1) ≅ 𝑓(8) + (1). 𝑓 ́(8) = 0.5 + 1(−0.02) = 0.48 ∴ 𝟏 √𝟗 𝟑 ≅ 0.48 d) 𝟏 𝟏𝟎𝟏 Sol/ 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 ان نفرض a = 100 سهلة قيمة اقرب للعدد b=101 ℎ = 101 − 100 = 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(100) = 1 100 = 0.01 الدالة
- 40. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝑓 ́(𝑥) = −1 𝑥2 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(100) = −1 (100)2 = −0.0001 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(101) = 𝑓(100 + 1) ≅ 𝑓(100) + (1). 𝑓 ́(100) = 0.01 + −1(−0.0001) = 0.01 − 0.0001 = 0.0099 ∴ 𝟏 𝟏𝟎𝟏 ≅ 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟗 e) √ 𝟏 𝟐 = √𝟎. 𝟓𝟎 Sol/ 𝑓(𝑥) = √𝒙 = 𝑥 1 2 ان نفرض a = 0.49 للعدد سهلة قيمة اقرب b=0.50 ℎ = 0.50 − 0.49 = 0.01 𝑓(𝑎) = 𝑓(0.49) = √𝟎. 𝟒𝟗 = 0.7 𝑓 ́(𝑥) = 1 2√𝒙 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(0.49) = 1 2√𝟎. 𝟒𝟗 = 1 2(0.7) = 10 14 ≅ 0.728 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(0.50) = 𝑓(0.49 + 0.01) ≅ 𝑓(0.49) + (0.01). 𝑓 ́(0.49) = 0.7 + 0.01(0.728) = 0.7 + 0.00728 = 0.70728 الدالة
- 41. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ∴ √ 𝟏 𝟐 ≅ 𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟐𝟖 :مثال حرفه طول مكعب 9.98 cm القيمة مبرهنة نتيجة باستخدام تقريبية بصورة حجمه جد . المتوسطة Sol/ 𝑉(𝑥) = 𝑥3 ان نفرض a = 10 للعدد سهلة قيمة اقرب b=9.98 ℎ = 9.98 − 10 = −0.02 𝑉(𝑎) = 𝑉(10) = (10)3 = 1000 𝑉 ́ (𝑥) = 3𝑥2 ⟹ 𝑉 ́ (𝑎) = 𝑉 ́ (10) = 3(10)2 = 300 𝑉(𝑏) = 𝑉(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑉(𝑎) + ℎ . 𝑉 ́ (𝑎) ∴ 𝑉(8.98) = 𝑉(10 − 0.02) ≅ 𝑉(10) + (−0.02). 𝑉́ (10) = 1000 − 0.02(300) = 1000 − 6 = 994 𝑐𝑚3 :مثال ل تكن 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 𝟑 تغيرت فاذا x من 8 الى 8.06 ؟ للدالة التقريبي التغير مقدار فما , Sol/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥2 3 = (𝑥) 2 3 𝑓 ́(𝑥) = 2 3 𝑥− 1 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(8) = 2 3 (23)− 1 3 = 1 3 = ℎ . 𝑓 ́(𝑎) = ℎ . 𝑓 ́(8) = 0.06 ( 1 3 ) = 0.02 الدالة تقريبية بصورة الحجم الدالة 𝒂 = 𝟖 𝒃 = 𝟖. 𝟎𝟔 𝒉 = 𝟖. 𝟎𝟔 − 𝟖 = 𝟎. 𝟎𝟔 التقريبي التغير
- 42. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د :مثال ي ضلعه طول مكعب طالء راد 10 cm الطالء سمك كان فاذا 0.15cm بصورة الطالء حجم اوجد . تقربية / Sol طالء بدون المكعب ضلع طول 𝒂 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 المطلي المكعب ضلع طول 𝒃 = 𝟏𝟎 + 𝟐(𝟎. 𝟏𝟓) = 𝟏𝟎 + 𝟎. 𝟑 = 𝟏𝟎. 𝟑 𝒉 = 𝒃 − 𝒂 = 𝟏𝟎. 𝟑 − 𝟏𝟎 = 𝟎. 𝟑 𝑽(𝒙) = 𝒙𝟑 𝑽 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 ⟹ 𝑽 ́ (𝒂) = 𝑽 ́ (𝟏𝟎) = 𝟑(𝟏𝟎)𝟐 = 𝟑(𝟏𝟎𝟎) = 𝟑𝟎𝟎 = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝒂) = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝟏𝟎) = 𝟎. 𝟑(𝟑𝟎𝟎 ) = 𝟗𝟎 𝒄𝒎𝟑 تمرين 3 : قطرها نصف كرة 6 cm سمكه بطالء طليت 0.1 cm . تقريبية بصورة الطالء حجم جد Sol/ القطر نصف طالء بدون 𝒂 = 𝟔 𝒄𝒎 الكر قطر نصف ة المطلي ة 𝒃 = 𝟔 + 𝟎. 𝟏 = 𝟔. 𝟏 𝒉 = 𝒃 − 𝒂 = 𝟔. 𝟏 − 𝟔 = 𝟎. 𝟏 𝑽(𝒓) = 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 الطالء سمك الحجم التقريبي للطالء الدالة الطالء سمك الدالة
- 43. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝑽 ́ (𝒓) = 𝟒 𝟑 (𝟑)𝝅𝒓𝟐 = 𝟒𝝅𝒓𝟐 ⟹ 𝑽́ (𝒂) = 𝑽́ (𝟔) = 𝟒𝝅(𝟔)𝟐 = 𝟏𝟒𝟒𝝅 = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝒂) = 𝒉 . 𝑽 ́ (𝟔) = 𝟎. 𝟏(𝟏𝟒𝟒𝝅) = 𝟏𝟒. 𝟒 𝒄𝒎𝟑 تمرين 4 : حجمها كرة 𝟖𝟒 𝛑 القيمة مبرهنة باستخدام تقريبية بصورة قطرها نصف جد , . المتوسطة Sol/ 𝑽(𝒓) = 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 ⟹ 𝟖𝟒𝝅 = 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 ⟹ 𝟖𝟒 ( 𝟑 𝟒 ) = 𝒓𝟑 ⟹ 𝒓𝟑 = 𝟔𝟑 ⟹ 𝒓 = √𝟔𝟑 𝟑 𝑟(𝑥) = √𝒙 𝟑 = 𝒙 𝟏 𝟑 ان نفرض a = 64 اقرب العدد من سهلة قيمة b=63 ℎ = 63 − 64 = −1 𝑓(𝑎) = 𝑓(64) = (𝟒𝟑 ) 𝟏 𝟑 = 𝟒 𝑓 ́(𝑥) = 1 3 𝑥− 2 3 ⟹ 𝑓 ́(𝑎) = 𝑓 ́(64) = 1 3 (𝟒𝟑 )− 2 3 = 1 3 ( 1 16 ) = 1 48 ≅ 0.021 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + ℎ . 𝑓 ́(𝑎) ∴ 𝑓(63) = 𝑓(64 − 1) ≅ 𝑓(64) + (−1). 𝑓 ́(64) = 4 + (−1)(0.021) = 4 − 0.021 = 3.979 𝑐𝑚 الحجم التقريبي للطالء الدالة المتوسط القيمة مبرهنة نتيجة نستخدم الجذر لهذا تقريب واليجاد ة
- 44. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د تمرين 5 : يساوي ارتفاعه قائم دائري مخروط يساوي ارتفاعه كان فاذا قاعدته قطر طول 2.98 cm حجمه فجد . المتوسطة القيمة مبرهنة باستخدام تقريبية بصورة Sol/ = المخروط قطر نصف ان نفرض r = وارتفاعه x 𝑥 = 2𝑟 ⟹ 𝑟 = 𝑥 2 𝑉 = 𝟏 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒙 = 𝟏 𝟑 𝝅( 𝑥 2 ) 𝟐 𝒙 = 𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑥𝟑 ∴ 𝑉(𝑥) = 𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑥𝟑 ان نفرض a = 3 للعدد سهلة قيمة اقرب b=2.98 ℎ = 2.98 − 3 = −0.02 𝑉(𝑎) = 𝑉(3) = 𝟏 𝟏𝟐 𝝅(3) 𝟑 = 𝟐𝟕 𝟏𝟐 𝝅 = 𝟗 𝟒 𝝅 = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅 𝑉 ́ (𝑥) = 𝟑 𝟏𝟐 𝝅𝑥𝟐 = 𝟏 𝟒 𝝅𝑥𝟐 ⟹ 𝑉 ́ (𝑎) = 𝑉 ́ (3) = 𝟑𝟐 𝟒 𝝅 = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅 𝑉(𝑏) = 𝑉(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑉(𝑎) + ℎ . 𝑉 ́ (𝑎) ∴ 𝑉(2.98) = 𝑉(3 − 0.02) ≅ 𝑉(3) + (−0.02). 𝑉́ (3) = 𝟐. 𝟐𝟓𝝅 − 0.02(𝟐. 𝟐𝟓𝝅) = 2.205 𝑐𝑚3 الدالة تقريبية بصورة الحجم
- 45. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د للدالة االولى المشتقة باستخدام للدالة والتناقص التزايد اختبار : مالحظات قيم نجد ثم بالصفر ونساويها الدالة نشتق x ق نضع يم x االولى المشتقة في ونعوضها منها واصغر اكبر قيم وناخذ االعداد خط على )+++++( متزايدة تكون الدالة فان صفر من اكبر للدالة االولى المشتقة كانت اذا للدالة االولى المشتقة كانت اذا ( متناقصة تكون الدالة فان صفر من اصغر - - - - - ) :مثال وا التزايد مناطق جد لتناقص االتية الدوال من لكل a) 𝒇(𝒙) = 𝟗𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟗 + 𝟔𝒙 − 𝟑𝑥𝟐 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟗 + 𝟔𝒙 − 𝟑𝑥𝟐 = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 3 + 2𝑥 − 𝑥𝟐 = 𝟎 ⟹ (3 − x)(1 + x) = 0 ⟹ 𝑥 = 3 𝑜𝑟 𝑥 = −1
- 46. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝒇 ́ (−𝟐) = 𝟗 + 𝟔(−𝟐) − 𝟑(−2)𝟐 = −𝟏𝟓 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ (𝟎) = 𝟗 + 𝟔(𝟎) − 𝟑(0)𝟐 = 𝟗 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟒) = 𝟗 + 𝟔(𝟒) − 𝟑(4)𝟐 = 𝟗 + 𝟐𝟒 − 𝟒𝟖 = −𝟏𝟓 ⟹ (− − −) ∴ الدالة f الفترة في متناقصة تكون {x: x < −1} و {x: x > 3} والدالة f الفترة في متزايدة تكون {x: −1 < x < 3} b) 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐 𝟑√𝒙 𝟑 ع معرفة غير المشتقة تكون هنا ندما x=0 غير قيمة وهذه صفر سيكون المقام الن .) حرج عدد ( معرفة ∴ الدالة f الفترة في متناقصة تكون {x: x < 0} والدالة f الفترة في متزايدة تكون {x: x > 0} من اقل عدد -1 لتكن -2 بين عدد -1 و 3 وليكن 0 من اكبر عدد 3 وليكن 4
- 47. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د النهاية العظمى والنهاية الصغرى المحلية االتي نتبع والصغرى العظمى النهايات اليجاد :مالحظة : الدال نشتق قيم نجد ثم بالصفر ونساويها ة x قيم نضع x االولى المشتقة في ونعوضها منها واصغر اكبر قيم وناخذ االعداد خط على )+++++( متزايدة تكون الدالة فان صفر من اكبر للدالة االولى المشتقة كانت اذا ( متناقصة تكون الدالة فان صفر من اصغر للدالة االولى المشتقة كانت اذا - - - - - ) : والصغرى العظمى النهايات نحدد ( + + + ( ثم ) - - - ( , محلية عظمى نهاية ) - - - ( ثم ) + + + محلية صغرى نهاية ) قيم نعوض x . النهايات احداثيات اليجاد االصلية الدالة في
- 48. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د :مثال االتية الدوال من لكل والصغرى العظمى النهايات نقط وجدت ان جد : a) 𝒇(𝒙) = 𝟏 + (𝒙 − 𝟐) 𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟐) 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝑥 = 2 𝒇 ́ (𝟎) = 𝟐(𝟎 − 𝟐) = 𝟐(−𝟐) = −𝟒 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟐(𝟑 − 𝟐) = 𝟐(𝟏) = 𝟐 ⟹ (+ + +) 𝒇(𝟐) = 𝟏 + (𝟐 − 𝟐) 𝟐 = 𝟏 ∴ الدالة f الفترة في متناقصة تكون {𝐱: 𝐱 < 𝟐} والدالة f الفترة في متزايدة تكون {𝐱: 𝒙 > 𝟐} والنقطة (2,1) . محلية صغرى نهاية نقطة هي من اقل عدد 2 لتكن 0 من اكبر عدد 2 وليكن 3
- 49. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د b) 𝒇(𝒙) = 𝟏 − (𝒙 − 𝟐) 𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟐) 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟐(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 (÷ −𝟐) ⟹ 𝑥 = 2 𝒇 ́ (𝟎) = −𝟐(𝟎 − 𝟐) = −𝟐(−𝟐) = 𝟒 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟑) = −𝟐(𝟑 − 𝟐) = −𝟐(𝟏) = −𝟐 ⟹ (− − −) 𝒇(𝟐) = 𝟏 − (𝟐 − 𝟐) 𝟐 = 𝟏 ∴ الدالة f الفترة في متناقصة تكون {𝐱: 𝐱 > 𝟐} والدالة f الفترة في متزايدة تكون {𝐱: 𝒙 < 𝟐} والنقطة (2,1) . محلية عظمى نهاية نقطة هي من اقل عدد 2 لتكن 0 من اكبر عدد 2 وليكن 3
- 50. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 𝒇 ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 (÷ 𝟑) ⟹ 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖 = 𝟎 (𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 4 𝑜𝑟 𝑥 = 2 𝒇 ́ (𝟎) = 𝟑(𝟎) 𝟐 − 𝟏𝟖(𝟎) + 𝟐𝟒 = 𝟐𝟒 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟑(𝟑)𝟐 − 𝟏𝟖(𝟑) + 𝟐𝟒 = −𝟑 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ (𝟓) = 𝟑(𝟓)𝟐 − 𝟏𝟖(𝟓) + 𝟐𝟒 = 𝟗 ⟹ (+ + +) ∴ الدالة f مت تكون الفترة في ناقصة {𝐱: 𝟐 < 𝐱 < 𝟒} والدالة f الفترة في متزايدة تكون {𝐱: 𝒙 < 𝟐} و {𝐱: 𝒙 > 𝟒} النقطة (2,20) محلية عظمى نهاية نقطة هي النقطة (4,16) صغرى نهاية نقطة هي محلية من اقل عدد 2 لتكن 0 عددبين 2 و 4 ول يكن 3 من اكبر عدد 4 وليكن 5 𝒙 = 𝟐, 𝒙 = 𝟒 𝒇(𝟐) = (𝟐)𝟑 − 𝟗(𝟐)𝟐 + 𝟐𝟒(𝟐) = 𝟖 − 𝟑𝟔 + 𝟒𝟖 = 𝟐𝟎 𝒇(𝟒) = (𝟒)𝟑 − 𝟗(𝟒)𝟐 + 𝟐𝟒(𝟒) = 𝟔𝟒 − 𝟏𝟒𝟒 + 𝟗𝟔 = 𝟏𝟔
- 51. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د االنقالب ونقط المنحنيات وتحدب تقعر االن ونقط والتحدب التقعر مناطق اليجاد :مالحظة االتي نتبع قالب : قيم نجد ثم بالصفر الثانية المشتقة ونساوي للدالة والثانية االولى المشتقة نجد x قيم نضع x الثانية المشتقة في ونعوضها منها واصغر اكبر قيم وناخذ االعداد خط على المشتقة كانت اذا الثانية تكون الدالة فان صفر من اكبر للدالة مقعرة )+++++( كان اذا المشتقة ت الثانية تكون الدالة فان صفر من اصغر للدالة محدبة ( - - - - - ) قيم نعوض x . امكن ان االنقالب نقط اليجاد االصلية الدالة في :مثال : الدالتين من كل وتحدب تقعر ادرس a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) > 𝟎 ∀ 𝒙 ≡ 𝑹 ∴ ا لدالة f في مقعرة تكون R .
- 52. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 0 𝒇 ́ ́ (−𝟏) = 𝟔(−𝟏) = −𝟔 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) = 𝟔 ⟹ (+ + +) ∴ الدالة f تكون محدبة الفترة في {𝐱: 𝐱 < 𝟎} والدالة f تكون مقعرة الفترة في {𝐱: 𝒙 > 𝟎} النقطة (0,0) نقطة هي انقالب من اقل عدد 0 وليكن -1 من اكبر عدد 0 وليكن 1 𝒙 = 𝟎, 𝒇(𝟎) = (𝟎)𝟑 = 𝟎
- 53. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د :مثال للمنحني االنقالب نقطة جد 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 6(2𝑥 − 1) = 0 ÷ 𝟔 2𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 = 1 2 𝒇 ́ ́ (𝟎) = 𝟏𝟐(𝟎) − 𝟔 = −𝟔 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟏𝟐(𝟏) − 𝟔 = 𝟔 ⟹ (+ + +) ∴ الدالة f الفترة في محدبة تكون {𝐱: 𝐱 < 1 2 } والدالة f الفترة في مقعرة تكون {𝐱: 𝒙 > 1 2 } النقطة ( 1 2 , 11 8 ) انقالب نقطة هي من اقل عدد 1 2 وليكن 0 من اكبر عدد 1 2 وليكن 1 𝒙 = 𝟏 𝟐 , 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟐( 𝟏 𝟐 )𝟑 − 𝟑 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 − 𝟏𝟐( 𝟏 𝟐 ) + 𝟏 = 𝟐 𝟖 − 𝟑 𝟒 − 𝟔 + 𝟏 = − 𝟏𝟏 𝟖
- 54. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د :مثال للدوال امكن ان االنقالب ونقط والتحدب التقعر مناطق جد : التالية a) 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝒙𝟒 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟑 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐𝟒𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ 12𝑥(2 − 𝑥) = 0 𝑥 = 0 𝑜𝑟 𝑥 = 2 𝒇 ́ ́ (−𝟏) = 𝟐𝟒(−𝟏) − 𝟏𝟐(−𝟏) 𝟐 = −𝟑𝟔 ⟹ (− ) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟐𝟒(𝟏) − 𝟏𝟐(𝟏)𝟐 = 𝟏𝟐 ⟹ (+ ) 𝒇 ́ ́ (𝟑) = 𝟐𝟒(𝟑) − 𝟏𝟐(𝟑) 𝟐 = −𝟑𝟔 ⟹ (− ) ∴ الدالة f الفترة في محدبة تكون {𝐱: 𝐱 < 0} و {𝐱: 𝐱 > 𝟐} والدالة f الفترة في مقعرة تكون {𝐱: 𝟎 < 𝒙 < 𝟐} النقط (0, 0) و (2,16) نقط هي انقالب من اقل عدد 0 وليكن -1 من اكبر عدد 2 وليكن 3 𝒙 = 𝟎, 𝒙 = 𝟐 𝒇(𝟎) = 𝟒(𝟎) 𝟑 − (𝟎)𝟒 = 𝟎 𝒇(𝟐) = 𝟒(𝟐)𝟑 − (𝟐)𝟒 = 𝟏𝟔 بين عدد 2 و 0 وليكن 1
- 55. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د b) 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏 − 𝟏 𝒙𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟎)غير معرفة 𝒇 ́ ́ (−𝟏) = 𝟐 (−𝟏) 𝟑 = −𝟐 ⟹ (− ) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟐 (𝟏) 𝟑 = 𝟐 ⟹ (+ ) ∴ الدالة f الفترة في محدبة تكون {𝐱: 𝐱 < 0} والدالة f الفترة في مقعرة تكون {𝐱: 𝐱 > 𝟎} الن انقالب نقطة توجد ال هو الدالة مجال R/{0} . من اقل عدد 0 وليكن -1 من اكبر عدد 0 وليكن 1
- 56. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د c) 𝒉(𝒙) = 𝟒 − (𝒙 + 𝟐) 𝟒 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 + 𝟐) 𝟑 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟐)𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟐)𝟐 = 0 (÷ −12) (𝒙 + 𝟐)𝟐 = 0 بالجذر ⟹ 𝑥 + 2 = 0 ⟹ 𝑥 = −2 𝒇 ́ ́ (−𝟑) = −𝟏𝟐(−𝟑 + 𝟐)𝟐 = −𝟏𝟐 ⟹ (− ) 𝒇 ́ ́ (𝟎) = −𝟏𝟐(𝟎 + 𝟐)𝟐 = −𝟒𝟖 ⟹ (− ) ∴ الدالة f الفترة في محدبة تكون {𝐱: 𝐱 < −2} و {𝐱: 𝐱 > −𝟐} انقالب نقطة توجد وال d) 𝒇(𝒙) = 𝟑 − 𝟐𝐱 − 𝒙𝟐 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟐 − 𝟐𝒙 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝒙) < 𝟎 ⟹ من اقل عدد −2 وليكن -3 من اكبر عدد -2 وليكن 0 في محدبة الدالة R انقالب نقطة توجد وال
- 57. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د e) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 6 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) > 𝟎 ∀𝒙 ∈ 𝑹 ⟹ اختبار المشتقة الثانية لنقط النهايات العظمى والصغرى المحلية قيم بتعويض وذلك الثانية المشتقة باستخدام للدالة والصغرى العظمى النهايات ايجاد يمكن x المشتقة من االولى كان فاذا الثانية المشتقة في : ت . عظمى نهاية للدالة فان صفر من اقل النقطة تلك عند الثانية المشتقة . صغرى نهاية للدالة فان صفر من اكبر النقطة تلك عند الثانية المشتقة = الثانية المشتقة كانت اذا 0 المشتقة وتستخدم الطريقة هذه استخدام يصح فال معرفة غير انها او . االولى :مثال اختبا باستخدام : االتية للدوال المحلية النهايات جد , امكن ان الثانية المشتقة ر a) 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟔 − 𝟔𝒙 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔 − 𝟔𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝑥 = 1 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = −𝟔 < 𝟎 للدالة الثانية المشتقة ان بما f عند محلية عظمى نهاية توجد َااذ , صفر من اقل النقطة x=1 . 𝒇(𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑(𝟏)𝟐 − 𝟏 = 𝟐 ⟹ (1,2) الدالة في مقعرة R انقالب نقطة توجد وال نقطة محلية عظمى نهاية
- 58. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د b) 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟒 𝒙𝟐 , 𝒙 ≠ 𝟎 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟏 + 𝟖𝒙 𝒙𝟒 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟏 + 𝟖 𝒙𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟑 + 8 = 0 ⟹ 𝒙𝟑 = −8 ⟹ 𝑥 = −2 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟐𝟒 𝒙𝟒 ⟹ 𝒇 ́ ́(−𝟐) = −𝟐𝟒 (−𝟐)𝟒 = −𝟐𝟒 𝟏𝟔 < 𝟎 للدالة الثانية المشتقة ان بما f النقطة عند محلية عظمى نهاية توجد َااذ , صفر من اقل x=-2 . 𝒇(−𝟐) = −𝟐 − 𝟒 (−𝟐)𝟐 = −𝟑 ⟹ (−𝟐,−𝟑) c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟗 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟗 = 𝟎 ÷ 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 3 𝑜𝑟 𝑥 = −1 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝒇 ́ ́(−𝟏) = 𝟔(−𝟏) − 𝟔 = −𝟏𝟐 < 𝟎 للدالة الثانية المشتقة ان بما f النقطة عند محلية عظمى نهاية توجد َااذ , صفر من اقل x=-1 . 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟑 − 𝟑(−𝟏)𝟐 − 𝟗(−𝟏) = −𝟏 − 𝟑 + 𝟗 = 𝟓 نقطة محلية عظمى نهاية
- 59. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ⟹ (−1,5) 𝒇 ́ ́ (𝟑) = 𝟔(𝟑) − 𝟔 = 𝟏𝟐 > 𝟎 للدالة الثانية المشتقة ان بما f النقطة عند محلية صغرى نهاية توجد َااذ , صفر من اكبر x=3 . 𝒇(𝟑) = (𝟑)𝟑 − 𝟑(𝟑)𝟐 − 𝟗(𝟑) = 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕 = −𝟐𝟕 ⟹ (3,27) d) 𝒇(𝒙) = 𝟒 − (𝒙 + 𝟏) 𝟒 Sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = −𝟒(𝒙 + 𝟏)𝟑 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ −𝟒(𝒙 + 𝟏)𝟑 = 𝟎 ÷ −𝟒 ⟹ √(𝒙 + 𝟏)𝟑 𝟑 = √𝟎 𝟑 ⟹ 𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑥 = −1 𝒇 ́ ́(𝒙) = −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟏)𝟐 ⟹ 𝒇 ́ ́(−𝟏) = −𝟏𝟐(−𝟏 + 𝟏)𝟐 = 𝟎 للدالة الثانية المشتقة ان بما f = َااذ , صفر االول المشتقة الختبار ونعود هنا تصح ال الطريقة هذه . ى 𝒇 ́ (−𝟐) = −𝟒(−𝟐 + 𝟏)𝟑 = −𝟒(−𝟏) = 𝟒 ⟹ (+ + +) 𝒇 ́ (𝟎) = −𝟒(𝟎 + 𝟏)𝟑 = −𝟒(𝟏) = −𝟒 ⟹ (− − −) نقطة محلية عظمى نهاية نقطة محلية صغرى نهاية من اقل عدد -1 وليكن -2 من اكبر عدد -1 وليكن 0
- 60. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝒇(−𝟏) = 𝟒 − (−𝟏 + 𝟏) 𝟒 = 𝟒 ∴ الدالة f الفترة في متناقصة تكون {𝐱: 𝐱 > −𝟏} والدالة f الفترة في متزايدة تكون {𝐱: 𝒙 < −𝟏} والنقطة (-1,4) نه نقطة هي . محلية عظمى اية :مثال لتكن 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒂 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒂 ∈ 𝑹 قيمة فجد a عن انقالب نقطة تمتلك الدالة ان علما , x=1 . محلية عظمى نهاية تمتلك ال الدالة ان بين ثم , sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝒂 𝒙𝟐 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 + 𝟐𝒂 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟐 + 𝟐𝒂 𝟏𝟑 = 0 𝟐 + 𝟐𝒂 = 0 ⟹ 2𝑎 = −2 ⟹ 𝑎 = −1 ∴ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟑 = −𝟏 ⟹ 𝒙𝟑 = − 𝟏 𝟐 ⟹ 𝑥 = −√ 𝟏 𝟐 𝟑 الدالة الن f نقطة تمتلك عند انقالب x=1 2013 - 1
- 61. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 − 𝟐 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (−√ 𝟏 𝟐 𝟑 ) = 𝟐 − 𝟐 (− √ 𝟏 𝟐 𝟑 ) 𝟑 = 𝟐 − (−𝟐)(𝟐) = 𝟔 > 𝟎 ∴ الدالة f ت عند محلية صغرى نهاية متلك 𝑥 = −√ 1 2 3 . محلية عظمى نهاية تملك وال تمرين 6 : لتكن 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒂 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒂 ∈ 𝑹 , . محلية عظمى نهاية تمتلك ال الدالة ان بين sol/ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝒂 𝒙𝟐 ⟹ 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝒂 𝒙𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙𝟑 + 𝒂 = 𝟎 ⟹ 𝒙𝟑 = −𝒂 𝟐 ⟹ 𝑥 = √ −𝒂 𝟐 3 𝒇 ́ ́(𝒙) = 𝟐 − 𝟐𝒂 𝒙𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (√ −𝒂 𝟐 3 ) = 𝟐 − 𝟐𝒂 (√ −𝒂 𝟐 3 ) 𝟑 = 𝟐 − 𝟐𝒂 −𝒂 𝟐 = 2 + 4 = 6 > 0 من اكبر الثانية المشتقة ان بما 0 للدالة فان عظمى نهاية لها وليس محلية صغرى نهاية نساوي النهايات وجود لنختبر المشتقة قيمة ونجد بالصفر االولى x
- 62. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د : مثال الثابتين قيمتي عين a , b الدالة لمنحني يكون لكي 𝑦 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 عند عظمى نهاية x=-1 عند محلية صغرى ونهاية x=2 . االنقالب نقطة جد ثم sol/ 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒃 𝒇 ́(−𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟑(−𝟏)𝟐 + 𝟐𝒂(−𝟏) + 𝒃 = 0 ⟹ 𝟑 − 𝟐𝒂 + 𝒃 = 0 … (𝟏) 𝒇 ́ (𝟐) = 𝟎 ⟹ 𝟑(𝟐)𝟐 + 𝟐𝒂(𝟐) + 𝒃 = 0 ⟹ 𝟏𝟐 + 𝟒𝒂 + 𝒃 = 0 … (𝟐) 𝟑 − 𝟐𝒂 + 𝒃 = 0 …(𝟏) −𝟏𝟐 ∓ 𝟒𝒂 ∓ 𝒃 = 0… (𝟐) −𝟗 − 𝟔𝒂 = 𝟎 ⟹ 6𝑎 = −9 ⟹ 𝑎 = −9 6 = −3 2 𝟑 − 𝟐 ( −3 2 ) + 𝒃 = 0 ⟹ 3 + 3 + 𝑏 = 0 ⟹ 𝑏 = −6 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟔 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟑 ⟹ 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟑 𝟔 = 𝟏 𝟐 الدالة الن f نهاية تمتلك عند عظمى x=-1 الدالة الن f تمت نهاية لك عند صغرى x=2 قيمة وبتعويض a في معادلة 1 ... نحصل 2013 – 3 , 2012-1 قيمتي وبتعويض b,a االصلية المعادلة في ... نحصل وبالمشتقة
- 63. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝒇 ́ ́ (𝟎) = 𝟔(𝟎) − 𝟑 = −𝟑 ⟹ (− − −) 𝒇 ́ ́ (𝟏) = 𝟔(𝟏) − 𝟑 = 𝟑 ⟹ (+ + +) ∴ الدالة f الفترة في محدبة تكون {𝐱: 𝐱 < 1 2 } والدالة f الفترة في مقعرة تكون {𝐱: 𝒙 > 1 2 } النقطة ( 1 2 , − 𝟏𝟑 𝟒 ) انقالب نقطة هي :مثال منحني كان اذا الدالة 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 مقعر ة الفترة في {𝐱: 𝐱 < 𝟏} في ومحدبة {𝐱: 𝐱. 𝟏} المستقيم ويمس 𝒚 + 𝟗𝒙 = 𝟐𝟖 النقطة عن (3,1) الحقيقية االعداد قيم فجد . a,b,c . sol/ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟐𝒃 ⟹ 𝒇 ́ ́(𝟏) = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒂(𝟏) + 𝟐𝒃 = 𝟎 (÷ 𝟐) ⟹ 𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝟎 𝒙 = 𝟏 𝟐 , 𝒇 ( 𝟏 𝟐 ) = ( 𝟏 𝟐 )𝟑 − 𝟑 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 − 𝟔( 𝟏 𝟐 ) = 𝟏 𝟖 − 𝟑 𝟖 − 𝟑 = − 𝟏𝟑 𝟒 من اقل عدد 1 2 وليكن 0 من اكبر عدد 1 2 وليكن 1 الدالة ان بما f الفترة في مقعرة {x: x < 1} في ومحدبة {x: x. 1} عن انقالب نقطة تمتلك فانها x=1 2014-1
- 64. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د ⟹ 𝒃 = −𝟑𝒂 … (𝟏) 𝒚 + 𝟗𝒙 = 𝟐𝟖 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟗 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −𝟗 𝒇 ́ (𝟑) = 𝟑𝒂(𝟑)𝟐 + 𝟐𝒃(𝟑) = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟔𝒃 −𝟗 = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟔𝒃 (÷ 𝟑) ⟹ −𝟑 = 𝟗𝒂 + 𝟐𝒃 … (𝟐) 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝟏 = 𝒂(𝟑)𝟑 + 𝒃(𝟑)𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝟏 = 𝟐𝟕𝒂 + 𝟗𝒃 + 𝒄 … (𝟑) −𝟑 = 𝟗𝒂 + 𝟐(−𝟑𝒂) ⟹ −𝟑 = 𝟗𝒂 − 𝟔𝒂 ⟹ −𝟑 = 𝟑𝒂 ⟹ 𝒂 = −𝟏 𝒃 = −𝟑𝒂 ⟹ 𝒃 = −𝟑(−𝟏) = 𝟑 𝟏 = 𝟐𝟕(−𝟏) + 𝟗(𝟑) + 𝒄 ⟹ 𝟏 = −𝟐𝟕 + 𝟐𝟕 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟏 تمرين 7 : كان اذا المستقيم 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟕 يمس الدالة منحني 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 عن د النقطة (2,-1) عند محلية نهاية للمنحني وكان 𝒙 = 𝟏 𝟐 الحقيقية االعداد قيم فجد . a,b,c . نوع وما .النهاية sol/ 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒂𝒙 + 𝒃 االولى المشتقه = المماس ميل منحني يمس المستقيم ان بما الدالة f النقطة عند (3,1) المنحني ميل = المستقيم ميل 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇 ́ (𝒙) ( من بالتعويض 1 ف ) ( ي 2 ) قيمتي بتعويض a,b ( في 3 )
- 65. التفاضل تطبيقات : الثالث الفصل الجبوري ذياب أنس .د 𝒇 ́ ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒂 ( 𝟏 𝟐 ) + 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝒃 = −𝒂...(𝟏) 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟕 ⟹ 𝟑 − 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑 𝒇 ́ (𝟐) = 𝟐𝒂(𝟐) + 𝒃 ⟹ 𝟒𝒂 + 𝒃 = 𝟑 … . (𝟐) 𝟒𝒂 − 𝒂 = 𝟑 ⟹ 𝒂 = 𝟏 ⟹ 𝒃 = −𝟏 𝒇(𝟐) = 𝒂(𝟐)𝟐 + 𝒃(𝟐) + 𝒄 −𝟏 = 𝟒𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 𝟒𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 = −𝟏 ⟹ 𝟒(𝟏) + 𝟐(−𝟏) + 𝒄 = −𝟏 ⟹ 𝟒 − 𝟐 + 𝒄 = −𝟏 ⟹ 𝒄 = −𝟐 − 𝟏 ⟹ 𝒄 = −𝟑 𝒇 ́ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒇 ́ ́ (𝒙) = 𝟐 > 𝟎 ( من بالتعويض 1 ( في ) 2 ) النقطة (2,-1) الدالة لمنحني تنتمي قيمتي نعوض a , b من اكبر للدالة الثانية المشتقة ان بما 0 اذا محلية صغرى نهاية للدالة 𝒙 = 𝟏 𝟐 منحني يمس المستقيم ان بما الدالة f النقطة عند (3,1) المستقيم ميل المنحني ميل = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇 ́ (𝒙) محلية نهاية تملك الدالة عند 𝒙 = 𝟏 𝟐