1. ENIGME SCIENTIFIQUE CDI / SEMAINE DU 23 JANVIER
LA MACHINE INFERNALE
A ses heures perdues, Fabrice a pris l'habitude de créer des
machines. La dernière en date ingurgite des nombres entiers et
produit un nombre entier selon certaines règles.
Clément qui est de passage chez Fabrice lui demande des
précisions sur le fonctionnement de sa machine.
Fabrice : " Si tu y entres un nombre entier de la forme 2X, alors la machine produit le nombre X".
Clément se montre dubitatif.
- Mais ton 2X signifie le double de X.
- Non pas du tout, 2X désigne un entier qui commence par 2. Par exemple, si tu entres 247 dans
la machine, elle produit simplement 47.
- J'imagine qu'il y autre d'autres règles de fonctionnement.
- Encore deux ! Voici la première : si en entrant un nombre X la machine produit le nombre Y,
alors en entrant 3X, la machine produit le nombre Y2Y.
- Par exemple avec une entrée de 3247, la machine produit 47247.
- C'est ça ! Et voici la dernière règle : si en entrant un nombre X la machine produit le nombre Y,
alors en entrant 5X, la machine produit le nombre YY.
- Par exemple avec une entrée de 5247, la machine produit 4747.
- Oui tout à fait…
- Par contre, que se passe-t-il si on entre 67 ?
- C'est simple : la machine ne peut rien renvoyer vu qu'aucune des règles ne s'applique !
Maintenant pour voir si tu as compris saurais-tu trouver un entier X à entrer dans la machine
pour qu'elle produise l'entier 2012X2012X ?
Clément réfléchit quelques instants. Oui bien sûr je l'ai !
Et vous, saurez-vous trouver un entier X à entrer dans la machine pour
qu'elle produise l'entier 2012X2012X ?
Si plusieurs solutions sont trouvées, celle qui s'écrit avec le moins de chiffres sera considérée comme la
meilleure.

2. CORRECTION DE l'énigme 7
Pour produire 2012X2012X, on peut trouver un nombre entier N tel que la machine produise en sortie 2012X.
Avec la dernière règle, il suffira alors d'entrer 5N dans la machine pour qu'elle produise ensuite 2012X 2012X.
Donc on cherche X sous la forme 5N et la machine produira 2012 5N 2012 5N. D'après la première ligne, on est donc
amené à trouver un entier N en entrée tel que la machine produise 20125N. (Remarque 1)
On simplifie un peu les choses.
A titre d'exemple, est-on d'abord capable de trouver un entier N en entrée tel que la machine produise 7 N ?
♦ Si N commence par 2, le nombre produit sera plus court que N alors que 7N est plus long…C'est impossible !
♦ Si N commence par 5, N s'écrit 5U et si U donne V, alors 5U donne VV. Donc en sortie 7 N = 7 5U = VV.
V s'écrit donc 75K, donc 7N = 75U = 75K75K et U = K75K.
Au final, on cherche un entier U de la forme K75K qui donne V de la forme 75K. Une solution simple (et la plus courte)
est d'écrire K=2. En résumé, on pose N=5U=52752.
Vu qu'en entrant 2752, la machine produit752, alors en entrant N = 52752, la machine produit 752 752 = 7 N.
En fait cette méthode est encore valable pour trouver un entier N tel que la machine produise l'entier AN.
On pose N = 5U = 52A52. Vu qu'en entrant 2A52, la machine produitA52, alors en entrant N= 52A52, la machine produit
A52 A52 = AN. (Remarque 2)
♦ SiN commence par 3, N s'écrit 3U et si U donne V, alors 3U donne V2V. Donc en sortie 7 N = 7 3U = V2V.
Le plus court est de choisir V = 73 et U = 273 renvoie bien V. Au final N = 3273.
En fait cette méthode est encore valable pour trouver un entier N tel que la machine produise l'entier AN.
On pose N = 3U = 32A3. Vu qu'en entrant 2A3, la machine produit A3, alors en entrant N = 32A3, la machine produit
A3 2 A3 = AN. (Remarque 3)
♦N ne peut pas commencer par un autre chiffre sinon la machine ne renvoie rien !
On combine enfin les rq. 1 et 2 : le A souhaité est 20125, donc on obtient N = 52 20125 52 et X = 5N = 5 52 20125 52.
OU
On combine enfin les rq. 1 et 3 : le A souhaité est 20125, donc on obtient N = 32 20125 3 et X = 5N = 5 32 20125 3.
La solution déterminée la plus courte est X = 532201253.
Vérification de la solution :
2201253 donne 201253
donc 32201253 donne 201253 2 201253
et donc 532201253 donne 201253 2 201253 201253 2 201253 = 2012 532201253 2012 532201253 = 2012 X 2012 X