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Pierre-Arnaud Voutay - 2ème Année – Licence - 1/67
Structure
COURS 8: Loi de comportement des matériaux,
effets des sollicitations internes NTM dans les
sections, notions de contraintes,
Dimensionnement des structures

Structure
Objectifs de la séance
1. Comportement des matériaux
 Forces et contraintes
 Relation contrainte/déformation, comportement élastique plastique
2. Effets des sollicitations NTM dans les éléments de
structure
 contraintes liées aux efforts internes N, M, V dans la section
 formes des sections, dimensionnements
3. Dimensionnement des structures
 Déformées des structures
 Exemple
Sommaire

Structure
• Le fonctionnement de toutes les structures, des plus simples aux plus complexes,
peut être décrit en mettant en évidence les zones sollicitées en traction ou à la
compression.
Traction en rouge signe + positive.
Compression en bleu signe - négative
Δl > 0
Δl < 0

Structure
F
Forces et contraintes
Les forces internes qui agissent sur la section sont en réalités les résultantes des forces
intermoléculaires. Les forces intermoléculaires naissent dès que l’on cherche à faire varier la distance
initiale entre les molécules.
Il est manifestement impossible d’accroitre indéfiniment la charge, quand les forces intermoléculaires
deviennent trop importante, le matériau cède. Pour décrire la sollicitation locale, on utilise la notion de
contrainte.

Structure
Une contrainte est une force par unité de surface:
Son unité est le N/m² ou le Pa (pascal)
En construction, l’unité utilisée est souvent le Mpa: 1 Mpa= 1 000 000 pascals.

Structure
La contrainte est la grandeur qui permet de se prononcer sur la réserve de résistance d’un élément de
structure. En effet, chaque matériau possède un critère de « rupture » exprimé en contrainte, ce critère
est indépendant de la géométrie ou du mode de chargement du solide dont il est constitué.

Structure
La science des matériaux
La science des matériaux repose sur la relation entre les propriétés, la morphologie structurale et la mise
en œuvre des matériaux qui constituent les objets qui nous entourent (métaux, polymères, semi-
conducteurs, céramiques, composites, etc.).
Elle se focalise sur l'étude des principales caractéristiques des matériaux, ainsi que leurs propriétés
mécaniques chimiques, électriques, thermiques, optiques et magnétiques.
Le problème central de la sélection des matériaux en conception mécanique : l'interaction entre
fonction, matériau, forme et processus

Structure
Les propretés des matériaux

Structure
Caractérisation des matériaux

Structure
rupture
s (MPa)
δL / L
(déformation relative)
Relation contrainte/déformation
Courbe de comportment

Structure
Courbe de comportment
Limite d’élasticité
Résistance à la traction
Rupture
δL / L
(déformation relative)
s (MPa)

Structure
 Les matériaux sont caractérisés par leur élasticité E (rigidité du matériau), leur résistance à la
rupture, et leur forme.
 La majorité des matériaux de construction ont un comportement élastique, la loi Hooke 1678
« l'allongement est proportionnel à la force ».
Matériaux, rigidité

Structure
La pente de la partie linéaire de courbe contrainte/déformation, c’est-à-dire le coefficient de
proportionnalité entre contrainte et déformation, s’appelle le module de Young ou encore module
d’élasticité, traditionnellement noté E.
Le module de Young représente la raideur d’un matériau, il s’exprime en Mpa.
Valeurs selon les matériaux :
Acier 210.000 MPa
Verre 70.000 Mpa
Béton 20.000 MPa (variable)
Bois 10.000 MPa (variable)
Plastique 1.000 Mpa (très variable)
plus rigide
plus souple
Attention… ne pas confondre avec la limite de resistance !

Structure
 Résistance à la rupture, comportement ductile, comportement Fragile.
 Résistance à la traction et à la compression,
 Matériaux isotropes, orthotropes

Structure
Module de Young E pour des matériaux de construction couramment utilisés

Structure
Dimensionnement :
Donner des dimensions suffisantes aux sections pour que nulle part dans la structure la contrainte ne
dépasse la limite acceptable (c’est-à-dire suivent la limite élastique).
Résistances à la compression et la traction pour des matériaux de construction couramment utilisés

Structure
Un élément de structure est caractérisé par sa forme et sa rigidité (rigidité de la structure).
Matériaux, rigidité Structures, rigidité

Structure
Exemple

Structure
Efficacité des matériaux
Utilisation de matériaux possédant un ratio γ/σ le plus petit possible

Structure
Utilisation de matériaux possédant un ratio γ/σ le plus petit possible
La longueur de rupture R=σt/γ correspond à la longueur qu’un fil peut atteindre avant qu’il ne se rompe
sous son poids propre, la hauteur H= σc/γ correspond à la hauteur maximum qu’un prisme peut atteindre
avant qu’il ne s’écrase sous son poids propre.
Longueur de rupture R=σt/γ Hauteur maximum H= σc/γ
R=σt/γ
H=σc/γ

Structure
La longueur de rupture R=σt/γ correspond à la longueur qu’un fil peut atteindre avant qu’il ne se rompe
sous son poids propre, la longueur H= σc/γ correspond à la hauteur maximum qu’un prisme peut
atteindre avant qu’il ne s’écrase sous son poids propre.
σ σ/γ
γ

Structure
2. Effets sur les matériaux dans la structure
Contraintes liées à N,M,V dans les sections

Structure
Contraintes liées à l’effort normal N dans les sections
Nous allons établir à partir d’observation de la déformation, les relations entre les efforts internes
(effort normal, effort tranchant et moment fléchissant) et la distribution des contraintes locales dans la
section. L’hypothèse du comportement mécanique du matériaux élastique linéaire permet de lier la
déformation à la contrainte.

Structure
Efforts et Sollicitations – Compression

Structure
Efforts et Sollicitations – Traction

Structure
N
“Toute la section travaille
de la même manière”
= contrainte uniforme sur
toute la section

Structure
= Effort Axial N, en Newtons
Etirement, compression

Structure
On observe que sous un effort normal N seul, la déformation longitudinale est uniforme
sur toute la section.
Grace à l’hypothèse de l’élasticité linéaire avec la contrainte normale et E le module d’Young,
on peut conclure que sous un effort normal seul, la contrainte est uniforme sur toute la section:

Structure
Etirement, compression
F=15KN
Hypothèse fil en acier ф=10 mm
E= 210 000 Mpa
= =190985931,7=190,98 Mpa <235 Mpa OK
On observe que sous un effort normal N seul, la déformation
longitudinale est uniforme sur toute la section.
Grace à l’hypothèse de l’élasticité linéaire on peut
déterminer
4,0
m

Structure
Contraintes liées au moment M dans les sections
Exemple d’une planche supportée par deux pierres et présentant des longueurs égales en porte-à-faux
par rapport à ces pierres. Si deux personnes de même poids, se tiennent debout aux extrémités de la
planche, celle-ci s’infléchie vers le bas tandis que la partie médiane de la planche, entre les supports,
s’incurve vers le haut; la courbe décrite par la planche entre les pierres est un arc de cercle.
Toutes les fibres de la planche s’incurve. Les fibres supérieures s’allongent, les fibres inférieures se
raccourcissent, tandis que les fibres médianes conservent leur longueur initiale.
La courbure de la planche vers le haut provoque une tension dans les fibres supérieures et une
compression dans les fibres inférieures. Cet état de contrainte qui varie linéairement entre un maximum
de tension et un maximum de compression est appelé flexion simple.

Structure
Efforts et Sollicitations – Flexion Z

Structure
Lorsqu’on applique uniquement un moment fléchissant, on remarque sur sa déformée:
 Les angles droits sont conservés ; il n’y a donc pas de distorsion dans le repère de la grille ;
 Les sections (traits transversaux) restent planes (droites) mais non parallèles entre elles ;
 Les fibres extrêmes (longitudinales) sont l’une et l’autre respectivement raccourcie et allongée.

Structure
s = ?
M

Structure
Δl > 0
Δl < 0
Δl > 0
Δl < 0
M M

Structure
La distribution de contrainte est également linéaire sur la hauteur de la section

Structure
Calcul du moment résistant en fonction des contraintes ou calcul des contraintes en fonction du
moment fléchissant

Structure
z
y
si
yi
x
y
Une section soumise à un moment fléchissant est le siège d’une distribution linéaire de contrainte qui
passe par la valeur nulle au centre géométrique de la section (en y=0):

Structure
Contraintes liées au moment M dans les sections, inertie
 L’inertie de la section Iz (ou Iy) est une grandeur fondamentale caractéristique de la géométrie de la
section, qui rend compte de l’excentrement de la matière autour de l’axe z (ou de l’axe y).
 Son unité est le m4.
 Elle représente la dispersion de la matière autour d’un axe, ou son degré d’éloignement.
 Plus l’inertie est élevée, plus la poutre est rigide à la flexion et résistante
Plus la matière est éloignée du centre de gravité, plus le bras de levier des forces qu’elle développe est
grand, et donc plus elle peut contribuer à l’équilibre du moment sollicitant.
Pour une section rectangulaire, le moment d’inertie vaut:
Dans la première expression de l’inertie Iz, le paramètre b désigne la dimension dans la direction de
l’axe de flexion (axe z hors plan), et h désigne la dimension selon l’axe perpendiculaire (axe y dans le
plan).

Structure
Inertie d’une baquette de balsa de 2 x10 mm

Structure
Inertie de deux sections circulaires de même aire, l’une pleine de diamètre d = 10 mm, l’autre creuse de
diamètre d = 50mm

Structure

Structure
Contraintes liées à l’effort tranchant V dans les sections
Le cisaillement est l’état de contrainte dans lequel les particules du matériau glissent les unes par
rapport aux autres.
Le cisaillement provoque des déformations capables de changer la forme d’un élément rectangulaire en
un parallélogramme oblique. On associe la déformation de distorsion notée γ aux contraintes
tangentielles de cisaillement.
Les forces qui produisent cette déformation agissent sur les plans suivant lesquels s’effectue le
glissement.
Les contraintes de cisaillement équilibrent l’effort tranchant (et/ou le moment de torsion).

Structure

Structure
Les contraintes de cisaillement suivant les plans verticaux impliquent nécessairement des contraintes de
cisaillement suivant des plans horizontaux, et vice versa. Pour des raisons d’équilibre de rotation, il faut
que les contrainte de cisaillement horizontales et verticales soient d’égale importance.
γ

Structure
Dans le cas d’une section rectangulaire massive, la contrainte de cisaillement se calcul grâce à la
relation
Contrainte de cisaillement maximale
: Effort tranchant

Structure

Structure
Vz : effort tranchant transverse
T : moment de torsion
My : second moment fléchissant
Contraintes liées aux efforts en trois dimensions Mt ; My ; Vz

Structure
Efforts et Sollicitations – Flexion Y

Structure
Efforts et Sollicitations – Torsion

Structure
Déformées des structures
On appelle déformée la géométrie de la structure après application des charges. La déformée décrit le
déplacement de tous les points de la structure. Il ne faut donc pas confondre déformée et déformation,
ce dernier terme désignant un allongement relatif.
 Pour une pièce fléchie, la flèche maximale Vmax prend toujours la forme:
 : valeur de la force ou de la force équivalente au chargement linéique
 L: la portée
 E: module de Young ou module d’élasticité
 I: moment d’inertie
 : Valeur numérique qui dépend de la nature des liaisons et du chargement.
Pour une poutre sur appuis simples et chargement uniformément répartie, la flèche s’exprime:
En terme de rigidité, pour une section rectangulaire, si nous doublons sa hauteur par 2 sa rigidité est 8
fois plus importante.
q
vmax
l

Structure
Exemple de dimensionnement d’une poutre de 5,0 m de portée qui reprend un
bande de charge de 6,0 m. On prend les charges d’exploitation à 150 daN/m².
6,00 6,00
5,00
Ep=0,25 m Ep=0,25 m

Structure
Principe de la structure et fonctionnement structurel

Structure
bande de charge de 6,0 m. On prend les charges permanentes à 250 daN/m² et
les charges d’exploitation à 150 daN/m².
6,00 6,00
5,00

Structure
bande de charge de 6,0 m. On prend les charges permanentes à 250 daN/m² et
les charges d’exploitation à 150 daN/m².
6,00 6,00
5,00
6,00 3,00
3,00

Structure
bande de charge de 6,0 m. On prend les charges d’exploitation à 150 daN/m² et
les charges permanentes à 625 daN/m².
Poutre centrale
q = 9 kN/ml
x
y
M
l=5,00 m
Charges permanentes G=0,25 x 2500 = 625 daN/m²
Charges d’exploitation q=150 daN/m²
Bande de charge 6,00 m, donc
G = 625 x 6,0 = 3 750 daN/ml =37,5 KN/ml
q = 150 x 6,0 = 900 daN/ml = 9 KN/ml
G = 37,5 kN/ml

Structure
Efforts internes: Effort tranchant V, Moment fléchissant M à l’ELU Etat Limite Ultime
M
+
+
-
x
y
M
V
q = 9 kN/ml
G = 37,5 kN/ml et
1,35 G+ 1,5 q
1,35 x 37,5 + 1,5 x 9
= 64,125 kN/ml
Vmax=ql/2
Mmax=ql²/8
Vmax=64,125 x 5,00/2
=160,3 kN
Mmax=64,125 x 5,00²/8
=200,4 kN.m
l=5,00 m

Structure
Détermination de la hauteur h de la poutre en fonction des contraintes admissibles du matériau
retenue

Structure
Vérification de la contrainte de cisaillement
+
-
x
y
M
V
1,35 G+ 1,5 q
1,35 x 37,5 + 1,5 x 9
= 64,125 kN/ml
Vmax=ql/2
Vmax=64,125 x 5,00/2
=160,3 kN
l=5,00 m

Structure
Vérification de la contrainte de cisaillement
Dans le cas d’une section rectangulaire massive, la contrainte de cisaillement se calcul grâce
à la relation

Structure
Calcul de la déformée de la poutre à l’Etat Limite de Service ELS
Le calcul de la déformée (flèche) se fait à l’ELS
vmax
l: la portée
E: module de Young ou module d’élasticité
I: moment d’inertie
G + q
37,5 + 9 = 46,5 kN/ml

Structure
Calcul de la déformée de la poutre à l’Etat Limite de Service ELS

Structure
Application du formulaire
Pour les dalle en béton

Structure
Pour la poutre
L/20 donc 500/20= 25cm

Structure
Pour la poutre les poutres béton, on retient en général :
Poutre sur appuis simples l/10 < h < l/14
Poutre en continuité l/12 < h < l/20
Dans notre cas 5,00/10 =0,5 m => 50 cm
5,00/14=0,35 m => 36 cm
36 cm < h < 50cm

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