リーマン予想の遊び方 - ニコニコ学会β数学セッション #ニコニコ学会

リーマン予想の遊び方
日曜数学者辻順平 (@tsujimotter)
2015/04/26
第8回ニコニコ学会βシンポジウム
ニコニコ生放送URL: http://live.nicovideo.jp/watch/lv217015496#2:00:00

日曜数学者とは
興味の赴くままに「趣味として」
数学を探究する人
辻はプログラミングを使って数学と遊んでいます

今日伝えたいこと
• プログラミングを使った，数学の遊び方
• 数学への愛

リーマン予想
ベルンハルト・リーマン
(1826- 1866)
ゼータ関数の（非自明な）ゼロ点は
すべて一直線上にあるはずだ
[リーマン，1859 年]

１００年以上未解決の数学史上最大の難問
多くの数学者の人生を狂わせた
証明できれば１億円

もっと深い数学的背景を
説明したい
それはそれとして・・・

素数階段
2
3 4
5 6
7 8 9 10
11
というわけで
からはじめよう
素数階段・・・素数（2, 3, 5, 7, …）のときだけ１段上がる

何か法則がありそう
1 から 100 までの素数階段
素数階段
25
20
15
10
5
10 20 30 40 50 60 70 80 90
ある数 x
x より小さい
素数の個数

1
log 2
+
1
log 3
+
1
log 4
+ ⋯ +
1
log 𝑥𝑥
対数積分
素数階段
25
20
15
10
5
10 20 30 40 50 60 70 80 90
ずれてる・・・。

素数階段を再現する
公式を見つけたい

わしがみつけた
りーまん

リーマンの階段関数
リーマンの階段関数が再現できれば素数階段が再現できる！
素数階段
変換可能

リーマンの階段関数と対数積分
25
20
15
10
5
10 20 30 40 50 60 70 80 90
素数階段
対数積分
さっきよりは良いようにみえるが・・・

全然合ってない！！！

もっと厳密に
素数階段を再現する公式がほしい

𝜁𝜁 𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑖𝑖 =
1
1 − ⁄1 2𝑥𝑥+𝑖𝑖 𝑖𝑖
⋅
1
1 − ⁄1 3𝑥𝑥+𝑖𝑖 𝑖𝑖
⋅
1
1 − ⁄1 5𝑥𝑥+𝑖𝑖 𝑖𝑖
⋅
1
1 − ⁄1 7𝑥𝑥+𝑖𝑖 𝑖𝑖
⋅ ⋯
すべての素数を使った積
ゼータ関数の定義

ゼータ関数の3Dモデル（見えるゼータ関数）
y 軸: 虚部
z 軸: ゼータ関数の絶対値
x 軸: 実部
ゼータ関数の数式
𝜁𝜁 𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑖𝑖
Ruby プログラム
日曜数学者辻の作品 (2015-1)
Zetaviz システム

ゼータ関数がゼロになる点
＝「ゼロ点」
ゼロ点によって，
素数階段が完全に再現できる

第１のゼロ点の組
「第１のゼロ点の組」
による波
とある変換

第２のゼロ点の組
「第２のゼロ点の組」
による波
とある変換

＝
対数積分
＋＋・・・＋
「ゼータ関数のすべてのゼロ点」に対する波

＝
対数積分
＋＋・・・＋
「ゼータ関数のすべてのゼロ点」に対する波
素数公式

素数公式可視化アプリ
http://tsujimotter.info/works/prime-number-formula/
"Visualization of Riemann's Prime Number Formula“

http://tsujimotter.info/works/prime-number-formula/

2
3 4
5 6
7 8 9 10
11
素数の世界
数の根源だが捉えどころのないもの
ゼータ関数の世界
素数の分布を理解する鍵
リーマンの素数公式

ゼータ関数のゼロ点は，すべて一直線上にあるはずだ（リーマン予想）
ゼータのことをもっと知りたい

リーマン予想の証明は
ゼータ関数への愛である

𝜁𝜁 𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑖𝑖
ゼータ関数の数式
見えるゼータ関数
世界初！？触れるゼータ関数

ほかにもこんな遊び方が・・・

素数階段（物理）
作り方は http://tsujimotter.hatenablog.com にて紹介予定

日曜数学の愉しみ方はあなた次第

一緒に日曜数学しましょう！
辻順平 (@tsujimotter)
ウェブサイト
ブログ
http://tsujimotter.info
http://tsujimotter.hatenablog.com

スペシャルサンクス
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• 科学勉強会のみなさま
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