1. Variable Structure Systems:
Sliding Mode Control
1. บทนำ (Introduction)
2. แนววิถีของกำรเคลือนทีแบบแผนเลือน (Trajectory of Sliding Mode)
่ ่ ่
3. ปรำกฎกำรณ์ของกำรเคลือนทีแบบแผนเลือน (Sliding Phenomena)
่ ่ ่
4. โดเมนของกำรดึงดูด (Region of Attraction)
5. กำรกำจัดกำรสั่ น (How can we reduce or Eliminate Chattering?)
6. How can we analyze the system?
ภายนอกชั้นชิ ดผิว (Onside the Boundary Layer)
ภายในชั้นชิ ดผิว (Inside the Boundary Layer)
7. กำรวิเครำะห์ เสถียรภำพของกำรควบคุมแบบ SMC
What happens inside ?
8. OPTIONAL
Mismatched Uncertainties
9. เปรียบเทียบจุดเด่ นและจุดด้ อยของกำรควบคุมแบบ SMC
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 1

2. 1. บทนำ (Introduction)
Variable Structure System (VSS) เป็ นคำที่ใช้เรี ยกทัวไปของระบบพลวัต (dynamical system) ที่มี
่
ส่ วนของโครงสร้ำงแบบ “Switching Logic” ภำยในโครงสร้ำงทำงคณิ ตศำสตร์ น้ นประกอบด้วยอัลกอริ ธึม
ั
ของกำรสวิตช์ซ่ ึ งขึ้ นอยู่กบสถำนะ (state) ของระบบในขณะนั้น โครงสร้ ำงแบบ Switching Logic นี้ จะ
ั
ั
ทำงำนร่ วมกันหรื อมีควำมสัมพันธ์กบระบบย่อยอื่น ๆ ภำยในระบบพลวัต ระบบควบคุมอัตโนมัติซ่ ึ งกฎกำร
ควบคุม (Control law) มีส่วนของโครงสร้ำงแบบ Switching Logic เช่น มีฟังก์ชนไม่ต่อเนื่ องซิ กนัม (signum
ั
funtion) ซึ่ งให้กำรทำงำนแบบสวิตท์กลับไปมำด้วยควำมถี่สูง จะเรี ยกกำรควบคุ มนั้นว่ำ การควบคุมแบบ
แผนเลื่อน (Sliding Mode Control; SMC)
ในที่น้ ี เรำสนใจกำรประยุกต์ใช้โครงสร้ำงของกำรสวิตช์ดงกล่ำวในกำรควบคุ มระบบพลวัตไม่เชิ ง
ั
เส้นที่ถูกจำลองขึ้นโดยยอมให้มีเทอม “ควำมไม่แน่ นอนของพลำนต์ (plant uncertainty)” อยู่ในระบบได้
่
ดังนั้น วิธีกำรออกแบบระบบควบคุมโดยใช้กำรควบคุมแบบแผนเลื่อน (SMC) จึงเรี ยกได้วำเป็ นเทคนิ คหนึ่ ง
ของ การควบคุมแบบคงทน (Robust Control)
2. แนววิถีของกำรเคลือนทีแบบแผนเลือน (Trajectory of Sliding Mode)
่ ่ ่
เพื่อแสดงให้เห็นถึงแนววิถีของ Sliding Mode บนระนำบสถำนะ (phase plane) เริ่ มจำกพิจำรณำ
ระบบเชิงเส้นอันดับสอง ไม่เปลี่ยนตำมเวลำ (2nd-order Linear Time Invariant (LTI) System) ที่มีหนึ่งอินพุต
และหนึ่งเอำท์พุต (SISO) ดังรู ปที่ 1
รู ปที่ 1 Variable Inertia System
สมกำรพลวัตของระบบกำหนดโดย y k 2u เมื่อ k เป็ นค่ำคงที่ ให้ x1 y, x 2 y เป็ นตัวแปรสถำนะ
(state variables) ของระบบ จะได้ สมกำรสถำนะเชิงเส้น (linear state equation) ในรู ป
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 2

3. x1 x2
x2 k 2u
เมื่อ u เป็ นสัญญำณควบคุม (control signal) ซึ่งถ้ำออกแบบกำรควบคุมให้มีโครงสร้ำงเป็ น
x1 , s 0
u x1 sgn(s ) 0, s 0
x1 , s 0
โดยที่ s ax1 x2 0, a 0 เรี ยกว่ำ Sliding (หรื อ Switching) Surface (หรื อ Manifold) เนื่ องจำก
แสดงถึ งลักษณะของกำรควบคุ มที่มีกำรเคลื่ อนที่สลับไปมำระหว่ำง s 0 และ s 0 พฤติ กรรมของ
ระบบที่ถูกควบคุ มโดยกฎกำรควบคุ มนี้ เรี ยกว่ำ Sliding Mode และกำรควบคุ มนี้ เรี ยกว่ำ Sliding Mode
Control (SMC) ทำให้เกิดแนววิถี (trajectory) ของระบบปิ ด (closed-loop system) ซึ่ งสำมำรถแสดง Phase
Portrait บนระนำบสถำนะได้ โดยกำรวิเครำะห์หำผลเฉลยของสมกำรปริ พนธ์ (integral equation) คือ
ั
dx 2 / dt dx 2 k 2u
x 2 dx 2 k2 u dx1 0
dx1 / dt dx1 x2
่
เมื่อพิจำรณำบนระนำบสถำนะ ซึ่งแบ่งออกเป็ น 4 ส่ วน (หรื อ 4 จตุภำค (quadrant)) จะได้วำ
 สำหรั บจตุ ภ ำคที่ 1 และ 3 จะได้เงื่ อนไขของสั ญญำณควบคุ ม x1 sgn(ax1 x2 ) 0 นั่นคื อ
u x1 และสมกำรปริ พนธ์ กำหนดโดย
ั
x 2 dx 2 k2 x1 dx1 0
่
ซึ่งให้ผลเฉลยเป็ น แนววิถีในรู ปของวงรี (ellipse) ที่มีจุดศูนย์กลำงอยูท่ีจุดกำเนิด คือ
k 2x 1
2 2
x2 const1
 สำหรับ จตุภำคที่ 2 และ 4 จะได้เงื่ อนไขของสัญญำณควบคุ ม x1 sgn(ax1 x2 ) 0 นันคื อ
่
u x1 และสมกำรปริ พนธ์ กำหนดโดย
ั
x 2 dx 2 k2 x1 dx1 0
่
ซึ่งให้ผลเฉลยเป็ น แนววิถีในรู ปของไฮเพอร์ โบลำ (hyperbola) ที่มีจุดศูนย์กลำงอยูท่ีจุดกำเนิ ด และ
x2 ax1 เป็ นเส้นกำกับกรำฟ (asymptotes) คือ
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 3

4. k 2x 1
2 2
x2 const2
ดังนั้น แนววิถีของระบบที่ถูกควบคุมโดยฟังก์ชนซิ กนัม (signum function) จึงมีลกษณะดังรู ปที่ 2
ั ั
รู ปที่ 2 แนววิถีของ Sliding Mode สำหรับระบบเชิงเส้น k 2
/ s2
เนื่ องจำกระบบข้ำ งต้น ที่ พิ จำรณำเป็ นระบบเชิ ง เส้ น ดัง นั้น จึ ง มี จุดสมดุ ล เพี ย งจุ ดเดี ย ว (unique
่
equilibrium point) อยูที่จุดกำเนิ ด (origin) อย่ำงไรก็ตำม แนววิถีของระบบที่ได้จำกกำรวิเครำะห์ผลเฉลย
ของสมกำรปริ พนธ์ดงตัวอย่ำงข้ำงต้นนั้น ไม่ได้ให้ขอมูลเสถียรภำพของจุดสมดุล แต่อย่ำงใด นันคือเรำไม่
ั ั ้ ่
่
สำมำรถระบุทิศทำงของแนววิถีวำกำลังเคลื่อนที่เข้ำหำ (หรื อออกจำก) จุดสมดุลนั้นได้ ในหัวข้อถัดไปเรำ
จะนำทฤษฎีเสถียรภำพของเลียปูนอฟ (Lyapunov’s Stability Theory) มำใช้ในกำรวิเครำะห์พฤติกรรมทำง
พลวัตและเสถียรภำพของระบบที่ควบคุมแบบ SMC
3. ปรำกฎกำรณ์ของกำรเคลือนทีแบบแผนเลือน (Sliding Phenomena)
่ ่ ่
ในตอนนี้ เรำจะใช้ระบบไม่ เชิ ง เส้ นอันดับ สอง (ที่มี รูปแบบเฉพำะรู ปแบบหนึ่ ง ) ในกำรอธิ บำย
เนื่ องจำกให้ผลลัพธ์ เป็ นกรณี ทวไปมำกกว่ำระบบเชิ งเส้นจำกตัวอย่ำ งข้ำงต้น พิจำรณำระบบไม่เชิ งเส้ น
ั่
อันดับสอง ในรู ป
x1 x2
x2 h(x ) g(x )u
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 4

5. โดยที่ h และ g เป็ นฟั งก์ชนไม่เชิ งเส้นที่ไม่ทรำบค่ำ (unknown nonlinear function) และ g(x )
ั g0 0
สำหรับทุกค่ำ x ดังนั้นระบบจึงยอมให้มีควำมไม่แน่ นอนเกิ ดขึ้นได้ในเทอมของ h และ g (เงื่อนไขของ
ความไม่แน่นอนนี้ เรี ยกว่า Matching Condition และเรี ยกความไม่แน่นอนว่า Matched Uncertainty กล่าวคือ
เป็ นเทอมของความไม่แน่ นอนที่อยู่บนสมการสถานะเดี ยวกับ u เท่านัน ซึ่ งสามารถควบคุ มได้โดยตรง)
่
และสอดคล้องกับเงื่อนไข
a1x 2 h(x )
 (x ) , x 2
และสาหรับบางฟังก์ชน  (x ) ที่ทราบค่า
ั
g(x )
ดังที่ทรำบในตอนต้นว่ำ สัญญำณควบคุมที่มีโครงสร้ำงแบบฟั งก์ชนไม่ต่อเนื่ อง เช่น ฟั งก์ชนซิ กนัม (signum
ั ั
function) ซึ่ งให้การทางานแบบสวิทช์สลับไปมาอย่างรวดเร็ วทำให้เกิดกำรเคลื่อนที่ที่เรี ยกว่ำ Sliding Mode
ไปบนพื้นผิว s 0 เนื่องจำกกำรสวิตช์กลับไปมำของสัญญำณควบคุม
ดังนั้น แนวคิดหลักของกำรออกแบบตัวควบคุมแบบ SMC จึงมี 2 เฟสคือ 1) Reaching Phase เป็ น
กำรทำให้แนววิถีของระบบที่มีสถำนะเริ่ มต้น x 0 : x(0) 0 ใด ๆ ซึ่ งสมนัยกับพื้นผิว s0 : s(x 0 ) 0
บนระนำบสถำนะ (phase space, 2
) (ในกรณี ทวไปคือปริ ภูมิสถำนะ (state space,
ั่ n
) เคลื่อนที่เข้ำหำชั้น
ชิ ดผิว (boundary layer) {| s | } ซึ่ งเป็ นเซตไม่แปรผัน (invariant) ดังนั้น แนววิถีของระบบจึงอยู่
ภำยในเซตนั้น ตลอดไป 2) Sliding Phase คื อ กำรเคลื่ อ นที่ ข องแนววิ ถี ข องระบบภำยในชั้น ชิ ด ผิ ว
{| s | } ในที่ น้ ี จะต้องออกแบบ Sliding Surface ให้มีเสถี ยรภำพเชิ งเส้ นกำกับ หรื อ Stable Sliding
่
Surface จึงจะทำให้สถำนะของระบบที่เคลื่อนที่อยูบนพื้นผิว s 0 (หรื อภำยในเซตไม่แปรผัน {| s | }
) นี้ มีเสถียรภำพ (stable) เป็ นอย่ำงน้อย อย่ำงไรก็ตำม ในทำงปฏิบติแล้วเสถียรภำพของสถำนะของระบบ
ั
อำจเป็ น Uniformly Ultimately Bounded หรื ออำจทำได้ถึง เสถียรภำพเชิ งเส้นกำกับ (Asymptotically Stable;
่ ั
AS) ก็ได้ข้ ึนอยูกบแต่ละระบบที่ควบคุม ขั้นตอนการออกแบบกฎการควบคุมแบบ SMC แสดงดังต่อไปนี้
Sliding Phase: กาหนด Sliding Surface: s s(x ) 0 เป็ นพื้นผิวที่ผ่านจุดกาเนิ ดและเป็ นฟั งก์ชนของ
ั
สถานะทุกตัวของระบบ การออกแบบ Sliding Surface นี้ จะสมมติ ว่ำ “แนววิถีของระบบอยู่บน Sliding
Surface (s 0) ได้อย่างสมบูรณ์ ” กำรเคลื่อนที่ของระบบบนพื้นผิว s 0 นี้ จะลดรู ปเหลือเพียงสมกำร
a1x1 x2 0 หรื อ x1 a1x1 เพียงสมกำรเดียว (เรี ยกว่ำ reduced-order model ซึ่ งเป็ นข้อดีของวิธีน้ ี ) จะ
พบว่ำระบบบนพื้นผิว s 0 เป็ นเสมือนระบบอิสระ (free system) u 0 ดังนั้นเสถียรภำพของระบบจะ
่ ั
ขึ้นอยูกบค่ำพำรำมิเตอร์ a1 ของพื้นผิว ถ้ำเรำออกแบบให้ a1 0 แล้วจะทำให้ x1 0 เมื่อ t ซึ่ ง
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 5

6. ให้ผลที่ตำมมำคือ x 2 0 ที่เวลำเดียวกัน ดังนั้นด้วยกำรออกแบบ Sliding Surface ให้มีเสถียรภำพเชิงเส้น
กำกับ (AS) จะทำให้สถำนะของระบบบนพื้นผิวนั้นเข้ำหำจุดกำเนิด สรุ ปว่ าการออกแบบในขั้นตอน Sliding
Phase ก็คือการออกแบบ Sliding Surface ให้ มีเสถียรภาพเชิ งเส้ นกากับ (AS) นั่นเอง
หมำยเหตุ:
ข้อควรระวังในขั้นตอน Sliding Phase คือ พลวัตของระบบในส่ วนนี้ จะไม่ถูกตัวควบคุ ม SMC
ควบคุมโดยตรง ดังนั้นระบบจึงไม่สำมำรถยอมให้มีเทอม Mismatched Uncertainty ขณะที่พลวัตในส่ วนที่
ถูกควบคุมโดยตรงจำกตัวควบคุม SMC สำมำรถยอมให้มี Uncertain Terms ได้ ทำให้กำรควบคุมแบบ SMC
เป็ น การควบคุมแบบคงทน (Robust Control) ดังนั้นกล่ำวโดยสรุ ปคือ การออกแบบตัวควบคุมแบบ SMC
สามารถใช้ กับระบบที่เป็ น Matching Condition เท่ านั้น
Reaching Phase: หำกฎกำรควบคุมที่ ทำให้ระบบซึ่ งมี สถำนะเริ่ มต้น x 0 0 ใด ๆ (สมนัยกับพื้นผิว
s0 0 ) บนระนำบหรื อปริ ภูมิสถำนะ เคลื่ อนที่เข้ำไปยังพื้นผิว s a1x1 x2 0 ่
(หรื ออยูภำยในเซตไม่
แปรผัน {| s | } ) ซึ่ ง ครอบคลุ ม จุ ดก ำเนิ ด โดยก ำหนดฟั ง ก์ชนเลี ย ปู นอฟ V
ั (1 / 2)s 2 และสำหรับ
s a1x1 x2 a1x 2 h(x ) g(x )u จะได้
V ss s a1x 2 h(x ) g(x )su g(x ) | s |  (x ) g(x )su
่ ั
เป้ ำหมำยในขั้นตอนนี้ คือ พยำยำมกำจัดเทอมที่ทรำบค่ำแน่นอนออกจำก V ซึ่ งอำจทำได้หลำยวิธีข้ ึนอยูกบ
รู ปแบบของระบบ ร่ วมกับกำรออกแบบกฎกำรควบคุมแบบ SMC ในรู ป
u (x )sgn(s )
ในที่ น้ ี เป็ นฟั งก์ชันไม่เชิ งเส้ นซึ่ งเรำต้องเลื อกในภำยหลัง เพื่อกำจัดเทอมไม่เชิ งเส้ นนั้นออก ด้วยกำร
ควบคุมนี้ จะได้
V g(x ) | s |  (x ) g(x ) (x )s sgn(s ) g(x ) (x )  (x ) | s |
เพื่อให้ V 0 จึงออกแบบ (x )  (x ) 0
, 0
0 และเนื่องจำก g(x ) g0 0 ผลที่ได้คือ
V g0 0
|s | 0
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 6

7. แสดงให้เห็นว่ำ แนววิถีเริ่ มต้นของระบบจะเคลื่อนที่เข้ำหำ Sliding Surface s 0 ในเวลำจำกัด และวิธีการ
ที่ง่ ายที่ สุดของการออกแบบ SMC ถ้ำ ในโดเมนที่ เรำสนใจหรื อ โดเมนที่ ระบบท ำงำน ซึ่ ง สำมำรถหำค่ ำ
ขอบเขตบนที่เป็ นค่ำคงที่บวก k1 ทำให้ระบบสอดคล้องกับเงื่อนไข
a1x 2 h(x )
k1
g(x )
แล้วกฎกำรควบคุมแบบ SMC สำมำรถทำให้เป็ นรู ปอย่ำงง่ำย คือ
u k sgn(s )
เมื่อ k เป็ นค่ำเกนที่ตองออกแบบ เพื่อทำให้
้
V g(x ) k k1 | s | 0
ดังนั้น เรำต้องเลื อกค่ำเกน k k1 สำหรั บกำรออกแบบ เพื่อให้แนววิถีสถำนะของระบบเคลื่ อนที่เข้ำหำ
Sliding Surface s 0 ่
ในเวลำจำกัด อย่ำงไรก็ตำม กำรที่แนววิถีของระบบถูกดึงดูดให้อยูบนพื้นผิว s 0
(ในทำงทฤษฎี ) ไม่ได้หมำยควำมว่ำ สถำนะทุ กตัวของระบบจะมี ค่ำเป็ นศูนย์ด้วย (เรำจะศึ กษำเรื่ องนี้ ใน
หัวข้อ “กำรวิเครำะห์เสถียรภำพของกำรควบคุมแบบ SMC”)
หมำยเหตุ:
1) กำรใช้กฎกำรควบคุมในรู ปแบบ u k sgn(s ) จะเห็นว่ำผูออกแบบมีหน้ำที่เพียงเลือกค่ำเกน
้
k k1 โดยที่ k1 คือค่ำขอบเขตบนซึ่ งได้มำจำกสมกำรสถำนะของระบบ อย่ำงไรก็ตำม ในกรณี ที่ระบบ
ควบคุมนั้นไม่ทรำบสมกำรสถำนะของระบบ หรื อ Model Free เรำอำจเลือกค่ำเกน k ของตัวควบคุมแบบ
SMC ให้มีค่ำมำกเพียงพอ เพื่อชดเชยกับควำมไม่แน่ นอนของระบบได้ แต่ก็ส่งผลต่อขนำดของสัญญำณ
ควบคุมที่ใหญ่ตำมไปด้วย
2) ข้อควรพิจำรณำอย่ำงหนึ่ งเกี่ยวกับกำรใช้ฟังก์ชนไม่ต่อเนื่ องในกฎกำรควบคุมแบบ SMC คือ
ั
ฟังก์ชนซิ กนัม (signum function) sgn(s ) ไม่ต่อเนื่ องที่ศูนย์ เป็ นผลให้ในขั้นตอน Sliding Phase ตัวควบคุม
ั
แบบ SMC ซึ่ งสวิตช์สลับไปมำด้วยควำมถี่ สูงมำกระหว่ำง s 0 กับ s 0 ทำให้แนววิถี สถำนะของ
่ ่
ระบบกระโดดข้ำมพื้นผิวอยูตลอดเวลำ (ดูรูปที่ 3) จึงเรี ยกกำรเคลื่อนที่น้ ี วำ “zix-zag motion” ดังนั้น ปรำกฏ
กำรที่เกิดขึ้นคือ เกิดกำรสัน (chattering) ขึ้นในกำรควบคุมแบบ SMC ที่ใช้ฟังก์ชนซิ กนัมในตัวควบคุม และ
่ ั
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 7

8. ในกรณี น้ ี เรำเรี ยกว่ำ Ideal SMC ซึ่ งให้ผลลัพธ์ที่ไม่ดี อีกทั้งในทำงปฏิบติเรำควรหลีกเลียงกำรออกแบบด้วย
ั
Ideal SMC (หรื อฟั งก์ชนไม่ต่อเนื่ อง) เนื่ องจำกกำรสั่นสะเทือนด้วยควำมถี่สูงดังกล่ำวสำมำรถทำให้ตวขับ
ั ั
เร้ำ (actuator) เกิดควำมเสี ยหำยได้
รู ปที่ 3 Ideal sliding surface and chattering due to delay in control switching
4. โดเมนของกำรดึงดูด (Region of Attraction)
่
ในหัวข้อที่แล้วเรำทรำบว่ำแนววิถีจริ งของระบบจะไม่สำมำรถคงอยูบน Sliding Surface s 0 ได้
ตลอดเวลำ แต่ จะอยู่ภำยในอำณำบริ เวณจำกัดรอบพื้นผิวเท่ ำนั้น ดัง นั้น สมมติ ฐำนและกำรวิเครำะห์ ใ น
่ ่
ขั้นตอน Sliding Phase ที่วำแนววิถีของระบบอยูบน s 0 ได้อย่างสมบูรณ์ จึงไม่สามารถนามาใช้ได้!!
หัวข้อนี้จะพิจำรณำถึง โดเมนของการดึงดูด (region of attraction) กล่ำวคือ…เมื่อสถำนะของระบบ
อยู่ในบริ เวณรอบพื้นผิวดังกล่ำว โดยไม่สูญเสี ยสำระสำคัญของกรณี ทวไป เรำสมมติให้ {| s |
ั่ c} เป็ น
ย่ำนใกล้เคียง (neighborhood) ของ Sliding Surface s 0 ่
ซึ่ งแนววิถีของระบบที่กำลังเคลื่อนที่อยูในช่วง
Reaching Phase เข้ำถึง
จำกสมกำร
x1 x2 a1x1 s
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 8

9. ในที่น้ ี เรำต้องกำรประมำณค่ำโดเมนของกำรดึงดูด (estimate of the region of attraction) ดังนั้น จึงต้อง
่
กำหนดให้แนววิถีของระบบเริ่ มต้นไม่อยูบนพื้นผิว กล่ำวคือ s 0 แล้วตรวจสอบเสถียรภำพของแนววิถีที่
่
อยูโดยรอบพื้นผิวนั้นโดยให้ V1 2
(1 / 2)x1 จะได้
2 2 c
V1 x1x1 a1x1 x1s a1x1 | x1 | c 0, |s | c, | x1 |
a1
ดังนั้น
c c
| x1 (0) | | x1 (t ) | , t 0
a1 a1
และเซตไม่แปรผันบวก (positively invariant) (ดูรูปที่ 4) กำหนดโดย
c
| x1 | ,|s | c
a1
โดยที่ระบบต้องสอดคล้องกับเงื่อนไข
a1x 2 h(x )
k1 , x
g(x )
่ ่
สรุ ปได้วำ ถ้ำเรำกำหนดค่ำ c ให้มีขนำดใหญ่เพียงพอ จะได้วำมีเซตกระชับ (compact set) (คือเซตปิ ดและมี
ขอบเขต (closed and bounded set)) บนระนำบที่เป็ นเซตย่อย (subset) ของ เซตกระชับที่เป็ นเซตย่อยของ
นั้นเรี ยกว่ำ โดเมน (หรื อขอบเขต) ของการดึ งดูด (Region (or domain) of Attraction) หรื อ Basin
นอกจำกนั้น ถ้ำค่ำเกน k ของตัวควบคุมมีขนำดมำก ๆ ( k k1 ) แล้วกฎกำรควบคุ ม แบบ SMC นี้ จะมี
ลักษะของ การควบคุมแบบรั กษาสถานะกึ่งวงกว้ าง (Semiglobal Stabilization)
รู ปที่ 4 Estimate of the region of attraction
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 9

10. 5. กำรกำจัดกำรสั่ น (How can we reduce or Eliminate Chattering?)
เรำทรำบว่ำปั ญหำกำรสั่น (chattering) เกิดขึ้นในขั้นตอน Sliding Phase เนื่องจำกกำรใช้ฟังก์ชนไม่
ั
ต่อเนื่องซิ กนัมในกฎกำรควบคุมเป็ นผลให้ทำงกำยภำพแล้วระบบจะเกิดกำรสั่นด้วยควำมถี่สูงมำกจนอำจทำ
ควำมเสี ยหำยต่อระบบได้ ดังนั้น แนวทำงในกำรแก้ปัญหำกำรสั่นโดยทัวไปมีสองแนวทำงคือ 1) ลดแอม
่
ปลิจูดของฟั งก์ชนไม่ต่อเนื่ อง (Reduce the amplitude of the discontinuous function) โดยแบ่งกำรควบคุม
ั
ออกเป็ นสองส่ วนคือ Equivalent Control กับ Switching Control 2) แทนฟั งก์ชนไม่ต่อเนื่ องด้วยฟั งก์ชน
ั ั
ต่อเนื่ องที่มีลกษณะคล้ำยกัน เช่น ฟั งก์ชนอิ่มตัวที่มีควำมชันมำก (Replace the discontinuous function by a
ั ั
high-slope saturation) หรื อแทนด้วยฟั งก์ชนผกผันเทนเจนท์ (Inverse tangent function) ซึ่ งมีรำยละเอียด
ั
ดังต่อไปนี้
แนวทำง 1: Reduce the amplitude of the signum function เนื่องจำกตัวควบคุมแบบ SMC ซึ่ งโดยปกติ
จะมีเฉพำะส่ วน Switching Control ที่คอยจัดกำรกับควำมไม่แน่นอนของระบบ จึงทำให้สัญญำณควบคุมมี
ขนำดใหญ่ ผลที่ ตำมมำคื อเกิ ดแอมปลิ จูดของกำรสั่นที่ มีขนำดใหญ่ กฎกำรควบคุ มตำมแนวทำงนี้ อยู่บน
พื้ น ฐำนที่ ส ำมำรถหำแบบจำลองของระบบได้ใ กล้เคี ย งกับ ของจริ ง สมมติ ว่ำ ˆ
h(x ) และ ˆ(
g x) เป็ น
พำรำมิเตอร์ ท่ีทรำบค่ำของระบบ หรื อ Nominal models ของระบบจริ งซึ่ งเรำจะไม่ทรำบค่ำ h(x ) และ g(x )
ได้อย่ำงสมบูรณ์ วิธีกำรนี้จะแบ่งกำรควบคุมออกเป็ นสองส่ วนเพื่อลดกำรทำงำนของตัวควบคุมลง โดยส่ วน
แรกเรี ยกว่ำ Equivalent Control คืออำศัยกำรหักล้ำงเทอม Nominal models ที่ทรำบค่ำออกจำกระบบ และอีก
ส่ วนเป็ น Switching Control ซึ่งสำมำรถออกแบบด้วย Ideal SMC (หรื อด้วยวิธีตำมแนวทำง 2 ก็ได้) ดังนั้น
่
กฎกำรควบคุมแบบ SMC ทั้งสองส่ วนจึงอยูในรู ป
a1x 2 ˆ
h(x )
u v
ˆ(
g x)
เป็ นผลให้
s a1x1 x2 a1x 2 h(x ) g(x )u
a1x 2 ˆ
h(x )
a1x 2 h(x ) g(x ) g(x )v
ˆ(
g x)
g(x )
a1 1 x h(x ) g(x )v
g x) 2
ˆ(
: (x ) g(x )v
่
สมมติวำ (x ) (เรี ยกว่ำ perturbation term) สอดคล้องกับอสมกำร
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 10

11. (x )
 (x )
g(x )
่
จะได้วำ
V ss s (x ) g(x )sv s  (x )g(x ) g(x )sv sg(x )(  (x ) v)
เฉพำะในส่ วน Switching Control v ถ้ำออกแบบด้วย Ideal SMC จะได้
v (x )sgn(s )
โดยที่ (x )  (x ) 0
เนื่องจำก  เป็ นค่ำขอบเขตบนของส่ วนที่พิจำรณำมำจำก perturbation term ซึ่ งมี
ค่ำน้อยกว่ำเทอม | a1x1 h(x ) | เดิมของระบบ จึงเห็นได้ชดว่ำกำรควบคุมในส่ วน Switching Control v มี
ั
ขนำดที่น้อยลงและเป็ นผลให้ลดกำรสั่นในระบบควบคุ มด้วย อย่ำงไรก็ตำม Switching Control v นี้ ก็ยง
ั
ั
สำมำรถสร้ำงปั ญหำให้กบระบบได้ ดังนั้นในทำงปฏิบติเรำอำจใช้ Equivalent Control ร่ วมกับฟั งก์ชน sat
ั ั
หรื อ arctan ตำมแนวทำงที่ 2
แนวทำง 2: Replace the signum function by a high-slope saturation or arctangent function นันคือ
่
เปลี่ ยนฟั งก์ชนไม่ต่อเนื่ องซิ กนัม (signum function) ด้วยฟั งก์ชนต่อเนื่ องอื่น ๆ ที่มีลกษณะคล้ำยกัน เช่ น
ั ั ั
ฟั งก์ชนอิ่มตัว (saturation function) หรื อฟั งก์ชนผกผันแทนเจนท์ (inverse tangent function) โดยที่รูปร่ ำง
ั ั
ของกรำฟฟั ง ก์ ชั น sat จะขึ้ นอยู่ ก ั บ ค่ า พารามิ เ ตอร์ ที่ อ อกแบบ กล่ า วคื อ เมื่ อ 0 แล้ ว
sat(s/ ) sgn(s) โดยที่ฟังก์ชนอิมตัว (saturation function, sat ) มีนิยำมดังนี้
ั
y, if | y | 1
sat(y )
sgn(y ), if | y | 1
และ เป็ นค่ำคงที่บวกน้อย ๆ สำหรั บกำรปรั บรู ปกรำฟให้ใกล้เคี ยงกับกรำฟฟั งก์ชันซิ กนัม ( sgn ) หรื อ
ฟั ง ก์ ชัน arctan ก็ ส ำมำรถปรั บ ให้ ใ กล้เ คี ย งกับ ฟั ง ก์ ชัน sgn ได้เ ช่ น เดี ย วกัน คื อ เมื่ อ 0 แล้ว
k(2/ )arctan(s/ ) k sgn(s ) ดังรู ปที่ 5
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 11

12. รู ปที่ 5 ฟังก์ชนซิ กนัม (Signum function), ฟังก์ชนอิ่มตัว (Saturation function)
ั ั
และฟังก์ชนผกผันแทนเจนท์ (Inverse tangent function)
ั
รู ปที่ 6 Non-ideal SMC เมื่อแทนฟังก์ชนไม่ต่อเนื่ อง sgn ด้วยฟังก์ชนต่อเนื่ อง sat(s/
ั ั )
6. How can we analyze the system?
ภายนอกชั้นชิ ดผิว (Onside the Boundary Layer)
ในโดเมนของกำรดึงดูด (Region of attraction) เรำทรำบว่ำแนววิถีของระบบจะเข้าสู่ เซตกระชับ
(compact set) ซึ่ งเป็ นเซตย่อยของเซตไม่แปรผันบวก (positively invariant, ) โดยที่
c
| x1 | ,|s | c
a1
ถ้าเรากาหนดให้ c นันคือจะมีเซตย่อย {| s |
่ } โดยเรี ยกว่า “ชั้ นชิ ดผิว (boundary layer)” ทำให้
แนววิถีของระบบที่ เริ่ มต้นจำกภำยนอกชั้นชิ ดผิว | s(0) | แล้ว | s(t ) | จะลดลงอย่ำงแน่ นอน (strictly
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 12

13. decreasing) (เนื่ องจำก V 0) จนเข้ำ สู่ ช้ ันชิ ดผิว {| s | } ภำยในเวลำจำกัด และจะอยู่ใ นเซตนั้น
่ ่
ตลอดไป ดังรู ปที่ 6 (แม้วำไม่สำมำรถอยูบน s 0 ได้ตลอดเวลำ) เรำจึงสรุ ปได้ดงนี้
ั
รู ปที่ 6 Control switching inside a boundary layer
c
1) | x1 | ,|s | c เซตไม่แปรผันบวก (positively invariant)
a1
2) แนววิถีของระบบจะเคลื่อนที่จำกสถำนะเริ่ มต้นเข้ำไปยังเซตชั้นชิดผิว {| s | } ในเวลำจำกัด
3) ชั้นชิดผิว (ซึ่ งเป็ นเซตย่อยของ ) จึงเป็ นเซตไม่แปรผันบวก (positively invariant) ด้วย
ภายในชั้นชิ ดผิว (Inside the Boundary Layer)
พลวัตของระบบภำยในชั้นชิ ดผิว {| s | } ก ำหนดโดย x1 a1x1 s โดยที่ s 0 (กำร
วิเครำะห์ในขั้นตอนนี้ จึงคล้ำยกับกำรหำโดเมนของกำรดึงดูด (Region of attraction) ในหัวข้อที่ผ่ำนมำ)
พฤติกรรมของระบบภำยในเซตนี้ พิจำรณำจำกฟังก์ชนเลียปูนอฟ
ั V1 2
(1 / 2)x1 จะได้
2 2 2
V1 a1x1 x1s a1x1 | x1 | (1 1
)a1x1 , | x1 |
a1 1
เมื่อ 0 1
1 นันคือ เรำสำมำรถสรุ ปได้เพียงว่ำ แนววิถีจะเข้ำสู่ เซตไม่แปรผันบวก
่ ในเวลำจำกัด
โดยที่
{| x1 | / (a1 1 ), | s | }
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 13

14. ในที่ นีเ้ พียงพอที่ จะสรุ ปได้ ว่า การควบคุมแบบ SMC สาหรั บระบบไม่ เชิ งเส้ นอันดับสองที่ ยกมานี ้
ไม่ ให้ เสถียรภาพเชิ งเส้ นกากับ (AS) ของจุดกาเนิ ด แต่ ให้ Ultimately Bounded ของแนววิถีรอบจุดกาเนิ ด
ด้ วยค่ า Ultimate Bound เท่ ากับ / (a1 1 ) ซึ่ งสามารถทาให้ น้อยลงได้ โดยลดค่ า นั่นเอง สาหรั บระบบไม่
เชิ งเส้ นในกรณี ทั่วไป สมบัติ เสถียรภาพของจุดกาเนิ ดจะขึนอยู่กับการออกแบบ Sliding Surface เป็ นกรณี
้
เฉพาะของระบบนั้น ๆ ซึ่ งอาจให้ เสถียรภาพเชิ งเส้ นกากับของจุดกาเนิดก็ได้
7. กำรวิเครำะห์ เสถียรภำพของกำรควบคุมแบบ SMC
What happens inside ?
รู ปที่ 7 Trajectory of SMC inside the boundary layer
ภำยในชั้นชิดผิว {| s | } กฎกำรควบคุมแบบ SMC ทั้งฟั งก์ชนไม่ต่อเนื่ องซิ กนัม, ฟั งก์ชนต่อเนื่ องอิ่มตัว
ั ั
และฟังก์ชนผกผันเทนเจนท์ จะลดรู ปเหลือเพียงกำรควบคุมเชิงเส้น (linear control) u
ั (x )s / (หรื อ
ในรู ปอย่ำงง่ำยคือ (x ) k) เสถี ยรภำพของจุดกำเนิ ดของระบบปิ ดสำมำรถพิจำรณำโดยแทนค่ำกฎกำร
ควบคุมเชิงเส้น u ks / ลงในสมกำรสถำนะของระบบ เริ่ มจากหาจุดสมดุลของระบบที่ถูกลดอันดับ
(Reduced-order model):
x1 x2 x1 a1x1 s x2 (definding the sliding surface )
x2 h(x ) g(x )u Reduced order model
s a1x 2 h(x ) g(x )u (reduced order model )
จะได้
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 14

15. 0 a1x1 s x2
s
0 a1x 2 h(x ) g(x ) (x )
นันคือ
่ s a1x1 เมื่อแทนค่าในสมการที่สอง จะได้
x1 h(x )
: (x1 ) และถ้า h(0) 0 แล้ว x1 0
a1g(x ) (x ) x 0
2
สมมติ ว่า x1 (x1 ) มีค่ารากเพียงค่าเดี ยว กล่าวคื อมีจุดสมดุ ลเพียงจุดเดี ยวที่ x1 k1 เนื่ องจากจุด
่
สมดุลของระบบปิ ดไม่อยูที่จุดกาเนิ ด ในการวิเคราะห์เสถียรภาพตามนัยของเลียปูนอฟ เราจาเป็ นต้องแปลง
ให้จุดสมดุ ล ของระบบอยู่ที่ จุดก าเนิ ดก่ อน โดยการเปลี่ ย นตัวแปรให้ z1 x1 x1 และ z2 s s
a1x1 ่
ระบบภายหลังการแปลงนี้จะมีจุดสมดุลอยูที่จุดกาเนิด กาหนดโดย
z1 a1x1 s a1z1 z2
s z2 a1x1
z2 a1x 2 h(x ) g(x ) (x ) a1 (z 2 a1z1 ) h(x ) g(x ) (x )
z2
: l (z ) g(x ) (x )
โดยที่
h(x ) x1
l (z ) a1 (z 2 a1z1 ) a1g(x ) (x ) , l(0) 0
a1g(x ) (x )
และ
| l(z ) | l1 | z1 | l2 | z 2 |
กาหนดฟังก์ชนเลียปูนอฟ
ั V (z1 , z 2 ) 2
(1 / 2)(z1 2
z2 ) จะได้
z2
V z1 ( a1z1 z2 ) z 2 l (z ) g(x ) (x )
2 2 g0 0 2
a1z1 (1 l1 ) | z1 || z 2 | l 2z 2 z2
T a1 1
2
(1 l1 )
| z1 | | z1 |
g0
| z2 | 1
2
(1 l1 ) 0
l2 | z2 |
Q
โดยที่
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 15

16. a1 1
2
(1 l1 )
g0 1
Q g0 0
ซึ่งมี det(Q ) a1 0
l2 (1 l1 )2
1
2
(1 l1 ) l2 4
x1
ในกรณี ที่ h(0) 0 ่
จะได้วา lim x(t )
t
0 และในกรณี ที่ h(0) 0 ่
จะได้วา lim x (t )
t 0
8. OPTIONAL
Mismatched Uncertainties:
พิจำรณำระบบอันดับสองที่มีเทอมของฟังก์ชนไม่แน่นอน กำหนดโดย
ั
x1 x2 f1 (x1 )
:
x2 u
โดยที่ f 1 เป็ นฟั งก์ชนไม่ทรำบค่ำ เมื่อพิจำรณำระบบ
ั จะพบว่ำฟั งก์ชนไม่แน่นอน
ั f ไม่ได้ถูก
ั ่
สัญญำณควบคุม u ควบคุมโดยตรง เนื่องจำกฟังก์ชนทั้งสองไม่ได้อยูในสมกำรพลวัตเดียวกัน เรำเรี ยก f
ในลักษณะนี้ ว่ำ Mismatched Uncertainty กล่ำวคือ f จะถูกควบคุ มผ่ำนตัวแปรสถำนะ x 2 ระบบ
แตกต่ ำงจำกระบบ ตรงที่ ฟั งก์ชันไม่ แน่ นอน f ในระบบ อยู่ในสมกำรพลวัตเดี ยวกับสั ญญำณ
ควบคุ ม u ในลักษณะนี้ จึงเรี ยกว่ำ Matched Uncertainty เรำจึงสำมำรถออกแบบสัญญำณควบคุ มเพื่ อ
จัดกำรกับควำมไม่แน่ นอนของระบบได้โดยตรง โดยทัวไปอำจสรุ ปได้ว่ำ กำรออกแบบสัญญำณควบคุ ม
่
สำหรับระบบที่มี Mismatched Uncertainty มีควำมซับซ้อนกว่ำระบบที่มี Matched Uncertainty
เมื่อทดลองใช้กำรออกแบบด้วยวิธี SMC สำหรับระบบ ซึ่ งมีเทอมของฟั งก์ชนไม่แน่ นอนแบบ
ั
Mismatched Uncertainty โดยขั้นตอนเหมือนกัน เริ่ มจำกกำรกำหนดพื้นผิว s x1 x1 แล้วพิจำรณำ
d
s x1 x1 x f1 (x1 ) x2 f1 (x1 )
dt 2
f1 (x1 )
u x2 f1 (x1 ) x2 f1 (x1 )
x1
เนื่ องจำก เรำทรำบแต่ค่ำขอบเขตบนของ f อย่ำงไรก็ตำม f1 x1 ไม่สำมำรถคำนวณได้ ดังนั้น
สัญญำณควบคุม u ซึ่ งพิจำรณำจำกเงื่อนไข V ss 0, x 0 จึ งไม่สำมำรถหำได้ ด้วยเหตุ น้ ี กำร
ั
ออกแบบตัวควบคุมด้วยวิธี SMC จึงไม่สำมำรถนำไปใช้กบระบบที่มี Mismatched Uncertainty
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 16

17. 9. เปรียบเทียบจุดเด่ นและจุดด้ อยของกำรควบคุมแบบ SMC
จุดเด่ นของการควบคุมแบบ SMC มีดังนี ้
 Exact compensation (insensitivity) w.r.t. bounded matched uncertainties
 Reduced-order of sliding equations
 Finite-time convergence to the sliding surface
จุดด้ อยของการควบคุมแบบ SMC มีดังนี ้
 Chattering
 Insensitivity only w.r.t. matched perturbations
 The sliding variables converge in finite-time: however, the state variables only converge
asymptotically
 Non-ideal closed-loop performance in presence of parasitic dynamics, discretization and noises
 The sliding surface design is restricted to have relative degree one with respect to the control, i.e.
higher order derivatives are required for the sliding surface design
S MC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee Page 17