Le document traite du plus grand commun diviseur (pgcd) et du plus petit commun multiple (ppcm) de plusieurs nombres, définissant leurs propriétés et méthodes de calcul, notamment la décomposition en facteurs premiers et la méthode graphique des ensembles. Il souligne l'importance du pgcd dans la détermination des dimensions communes pour des applications pratiques, comme la création de vitraux et la conception de coffrets de jeu. Enfin, il fournit des exemples d'application pratique pour illustrer ces concepts mathématiques.

1. PGCD et PPCM

2. Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) Le plus grand commun diviseur, abrégé en général PGCD et noté PGCD(a,b), de deux nombres entiers naturels a, b , (ou de plusieurs nombres) est le plus grand entier naturel qui divise simultanément ces deux entiers. Si le PGCD correspond à 1 (1 est le seul diviseur commun à a et b ), les nombres sont premiers entre eux. Le PGCD entre deux nombres, dont seulement un est 0, existe. Observations: Si a=0 et b=0, le calcul du PGCD(a,b) n’est pas possible Si a≠0 et b=0 PGCD(a, b) = a. Si a=0 et b≠0 PGCD(a, b) = b.

3. Recherche du PGCD Il existe plusieurs méthodes de calcul du PGCD de plusieurs nombres. Méthode graphique des ensembles Une fois les ensembles des diviseurs des nombres trouvés, le PGCD correspond à l’élément le plus grand des nombres qui font partie de l’intersection des ensembles. Cette méthode, intuitive et didactique, pose des problèmes avec les grands nombres, à cause des nombreux calculs nécessaires à la recherche des diviseurs selon la quantité des facteurs premiers et les exposants élevés. Au moyen de la décomposition en facteurs premiers Le PDCD de plusieurs nombres donnés est le produit de facteurs premiers entre eux, chacun étant pris avec son plus petit exposant.

4. Plus Petit Commun Multiple (PPCM) On appelle Plus Petit Commun Multiple de plusieurs nombres, le plus petit multiple commun de ces nombres autre que zéro. On le note PPCM.

5. Recherche du PPCM Il existe plusieurs méthodes de calcul du PPCM de plusieurs nombres. Méthode graphique des ensembles Une fois les ensembles des diviseurs des nombres trouvés, le PPCM correspond à l’élément le plus petit des nombres qui font partie de l’intersection des ensembles. Cette méthode, intuitive et didactique, pose des problèmes avec les grands nombres, puisque l’ensemble des multiples est infini et le processus est très long. Au moyen de la décomposition en facteurs premiers Le PPCM de plusieurs nombres est le produit de tous les facteurs différents obtenus, chacun étant pris avec son plus grand exposant.

6. « Petits » problèmes… Il existe plusieurs cas pratiques où l’on applique les méthodes du PGCD (grands problèmes) et du PPCM (petits problèmes). a) On dispose de pièces de verre rectangulaires de dimensions identiques (60 mm sur 80 mm) mais de couleurs différentes. On veut assembler ces pièces en les disposant toutes de la même manière afin d’obtenir un vitrail carré le plus petit possible. Écris les premiers multiples de : 60 : …………………………………………………………………………… 80 : …………………………………………………………………………… Ci-dessus, entoure en rouge les multiples communs de 60 et de 80. Le vitrail est un carré de …………… mm de côté ; ce nombre est le …………………………………………………………………………………… de 60 et 80.

7. … et « Grands » problèmes. b) Un coffret de jeu pour enfants est destiné à contenir des cubes. Il a pour dimensions intérieures 36 cm, 20 cm et 6 cm. Combien peut-il contenir de cubes de 1 cm d’arête ? ……… Peut-il contenir, en étant rempli complètement, des cubes plus grands ? …………… Si oui, de quelle dimension ? En quel nombre ? ……………………………………………………………… Quelle est la dimension du plus grand cube utilisable ? ……………………………………………… Écris, dans un ordre croissant, tous les diviseurs de : 6 : ……………………………………………………………………………… 20 : ……………………………………………………………………………… 36 : ……………………………………………………………………………… Le plus grand cube utilisable est un cube dont l’arête mesure …………… cm ; ce nombre est le ………………………………………………………… de 6, 20 et 36.