Electrical resistance analysis of a conductor according to the hardening process parameters and its geometry

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Université Lille Nord de France – École doctorale SPI - ED072
Université d’Artois – Laboratoire Systèmes Électrotechniques et Environnement
(LSEE)
THÈSE
Présentée en vue d’obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ D’ARTOIS
Discipline : Génie Électrique
Analyse de la résistance d’un conducteur électrique
en fonction des paramètres du procédé d’écrouissage
et de sa géométrie
Youcef ZEROUKHI
Soutenue le 18 Novembre 2014
Composition du Jury :
Président du jury:
M. F. BETIN
Rapporteurs :
M. M. FELIACHI
M. L. DANIEL
Examinateurs:
M. C. E. BRUZEK
Mme E. NAPIERALSKA
M. K. KOMEZA
M. G. VEGA
M. F. MORGANTI
Professeur, Institut universitaire de technologie de l’Aisne, L.T.I
Professeur, IUT de St-NAZAIRE - IREENA
Maitre de conférences habilité, U. Paris Sud, LGEP, Supelec
Docteur, Nexans France, Établissement de Clichy
Maitre de conférences habilité, Université d’Artois, LSEE, Directrice de thèse
Professeur, École Polytechnique de Lodz, Pologne, Co-directeur de thèse
Docteur, Nexans France - Nexans Research Center Lens, Encadrant
Maitre de conférences, Université d’Artois, LSEE, Co-encadrant
Travail effectué au Laboratoire Systèmes Électrotechniques et Environnement (LSEE), Faculté des
sciences Appliquées, Technoparc Futura, 62400 Béthune

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Remerciements
Mes travaux de thèse, ont été effectués au Laboratoire des Systèmes Electrotechniques et Environnement
(LSEE) de l’université d’Artois à Béthune ; en partenariat avec le centre de recherche et développement
de la société Nexans France, située à Lens et polytechnique de Lodz en Pologne.
Je souhaite remercier Madame Ewa NAPIERALSKA JUSZCZAK, maître de conférences habilitée à
diriger des recherches de l’université d’Artois et Monsieur Kristof KOMEZA, professeur des universités
de polytechnique de Lodz en Pologne, pour avoir accepté de diriger mon travail pendant ces trois années
de thèse. Je tiens également à remercier Monsieur Fabrice MORGANTI, maître de conférences de
l’université d’Artois et Monsieur Guillaume VEGA, docteur/ingénieur de recherche de la société
Nexans-France, pour avoir encadré mes travaux et avec qui j’ai eu beaucoup d’échanges et apprécié de
travailler.
Je souhaite remercier Monsieur Jean-François BRUDNY, professeur des universités et Monsieur Jean-
Philippe LECOINTE, professeur des universités pour m’avoir accueilli dans leur laboratoire. Mes
remerciements vont également à l’égard de tous les permanents du laboratoire et à tous mes collègues
doctorants.
Je souhaite remercier Monsieur Francis DEBLADIS, directeur du centre de recherche et développement
de la société Nexans situé à Lens, pour m’avoir accueilli dans son centre et fait confiance sur les
différents projets que j’ai pu conduire et réaliser durant ces 3 années de thèse. Merci à David DICKSON,
manager du pôle « tréfilage & câblage » pour son soutien et les nombreux échanges techniques. Une
pensée toute particulière à Michel SAUREL, ancien manager du pôle « tréfilage & câblage » qui a été
l’initiateur du projet de thèse. Un grand merci à mes collègues de la société Nexans avec qui j’ai
beaucoup échangé et partagé des moments agréables : Stéphane, Sébastien, Isabel, Denis, Emilien,
Rodrigue, Thomas, Cédric, Mathieu, Nicolas M. et Nicolas P., Daniel, Paul, Thibault, Patricia, Géry,
Christian-Eric ... et la liste et longue. Merci à tous mes collègues des différents sites de production de
Nexans à travers le monde qui ont pris part, avec grand intérêt, aux différentes réunions que j’ai organisé
dans le cadre de mes travaux de thèse.
Mes remerciements vont également à l’ensemble des membres du jury, qui ont accepté de collaborer à
ce travail et pour leur participation à la soutenance.
Une pensée à mes anciens professeurs de L’UMMTO, particulièrement Monsieur Saïd LARBI qui m’a
soutenu et encouragé, et ce, depuis de longues années. Merci à tous mes amis (ies). Merci pour
votre présence et votre soutien, particulièrement dans les moments difficiles. Je remercie également
mes parents, mes frères et sœurs, à qui je dédie se travail de thèse.
Pour conclure, je tiens à remercier Laure, ma compagne, qui a toujours été présente et encourageante
pendent ces trois années difficiles. Merci d’être comme tu es, sans toi rien n’était possible et n’est
possible.

3
Résumé
Le mémoire de thèse propose une méthode de modélisation multi physique capable de quantifier
l’influence des paramètres des processus d’écrouissage, le câblage et le compactage, sur le
comportement mécanique et électrique des câbles électriques.
Les propriétés électriques d’un câble dépendent de la nature du matériau utilisé, de son état
métallurgique, des contraintes mécaniques exercées et de la conductance électrique des aires de contact
inter-fils. De nombreuses mesures ont permis de définir les caractéristiques des câbles mais aussi des
matériaux utilisés, comme par exemple la variation de la conductivité électrique d’un fil de cuivre en
fonction de l’écrouissage. La modélisation mécanicoélectrique, réalisée avec le logiciel Abaqus®, est
utilisée pour étudier les différents paramètres impliqués dans les processus de câblage et de compactage.
Cela a permis de déterminer les déformations géométriques des fils ainsi que les contraintes mécaniques
dans le câble. Les résultats de simulation sont comparés aux mesures afin de valider la précision des
modèles numériques développés.
Un couplage faible entre les modèles mécanique et électrique permet de mettre en évidence la
distribution non homogène de la conductivité électrique à l’intérieur d’un conducteur après qu’il ait
subi des contraintes mécaniques dues au processus de déformation à froid, le câblage et le compactage.
Ensuite, en appliquant une procédure d’optimisation, nous avons identifié les paramètres capables de
réduire de 2 % la masse du matériau conducteur utilisés dans les processus de fabrication, tout en
conservant des propriétés mécaniques et électrique répondant aux exigences normatives des
constructeurs de câbles.
Mots clés : Câbles électriques, procédé de câblage et compactage, simulation électromécanique,
méthode des éléments finis, résistance de contact, écrouissage localisé, conductivité électrique,
optimisation.
Electrical resistance analysis of a conductor according to the
hardening process parameters and its geometry
The presented PhD thesis propose multi-physics modeling method able to predict the impact of
stranding and compacting processes parameters on the mechanical and electrical behavior of stranded
conductors.
The electrical properties of stranded conductors depend on the nature of the material, on its
metallurgical state, on the mechanical pressure within the conductor and on the electrical conductance
of contact areas between wires. A wide range of measurements has allowed us to define the
characteristics of structures and materials, such as for example the resistivity as a function of the stresses
due to material hardening. The electromechanical modeling with Abaqus and Vector Fields software are
used to study different parameters involved in the stranding and compacting processes to determine
actual wires shapes, induced deformations and actual stresses between wires within the conductor. The
results obtained by simulation were compared to experimental measurements to analyze the accuracy of
the developed models.
By coupling mechanical and electrical simulations, we pointed out the non-homogeneous
distribution of the electrical conductivity along conductor cross sections resulting from the hardness of
each single wire. Applying the optimization procedure, we have identified the parameters able to reduce
the mass of conducting material by 2 % while maintaining mechanical and electrical properties that meet
the prescriptive requirements of cables manufacturers and standards.
Keywords: Electrical conductors, Stranding and compacting processes, electromechanical simulation,
Finite Element Method, electrical contact resistance, residual hardness, electrical conductivity and
optimization.

Sommaire
4
Sommaire
Introduction: Contexte et objectifs de l'étude..................................................................................... 7
1 Chapitre 1 - Conception et production des câbles.................................................................... 12
1.1 Analyse bibliographique........................................................................................................ 13
1.2 Un peu d'histoire sur les câbles ............................................................................................. 14
1.3 Généralités sur les conducteurs électriques........................................................................... 16
1.4 Le processus de câblage ........................................................................................................ 17
1.4.1 Le procédé de fabrication................................................................................................................ 17
1.4.2 Paramètres de conception des câbles............................................................................................... 19
1.5 Le compactage : Procédé de fabrication................................................................................ 23
1.6 Paramètres et modèles électromécaniques des conducteurs métalliques .............................. 27
1.6.1 Paramètres du modèle mécanique ................................................................................................... 27
1.6.2 Paramètres du modèle électrique..................................................................................................... 33
1.6.3 Théorie du contact électrique .......................................................................................................... 34
1.6.4 Le contact mécanique...................................................................................................................... 35
1.6.5 La résistance électrique de contact................................................................................................. 39
1.6.6 Modèles de conduction électrique ................................................................................................. 42
1.7 Conclusion du chapitre.......................................................................................................... 44
2 Chapitre 2 - Caractérisation expérimentale du contact électrique et de l’influence de
l’écrouissage sur la conductivité électrique....................................................................................... 45
2.1 Mesure de la résistance électrique de contact........................................................................ 46
2.1.1 Conception et réalisation du dispositif de mesure de résistance de contact .................................... 46
2.1.2 Principe de fonctionnement du dispositif de mesure....................................................................... 47
2.1.3 Description du protocole de mesure................................................................................................ 48
2.1.4 Analyse des résultats des mesures................................................................................................... 49
2.2 Influence d’un film d’oxydes sur la résistance de contact..................................................... 59

Sommaire
5
2.3 Bilan de l’étude du contact électrique ................................................................................... 63
2.4 Étude de l'influence de la réduction de section sur la conductivité électrique et l'écrouissage
d'un fil de cuivre................................................................................................................................ 64
2.4.1 Description du procédé de tréfilage................................................................................................. 64
2.4.2 Propriétés mécanique et électriques du fil machine initial .............................................................. 64
2.4.3 Protocoles expérimentaux des essais............................................................................................... 65
2.4.4 Analyse et bilan des résultats obtenus............................................................................................. 66
2.5 Conclusions du chapitre ........................................................................................................ 69
3 Chapitre 3 - Simulation numérique par la méthode des éléments finis des procédés de
fabrication............................................................................................................................................ 70
3.1 Simulation du procédé de câblage......................................................................................... 71
3.1.1 Choix de la longueur du modèle éléments finis .............................................................................. 71
3.1.2 Données d'entrée et conditions aux limites ..................................................................................... 72
3.1.3 Sensibilité des paramètres de simulation:........................................................................................ 74
3.1.4 Validation des paramètres de simulations par comparaison aux mesures ....................................... 78
3.2 Simulation du procédé de compactage.................................................................................. 80
3.2.1 Données d'entrée et conditions limites ............................................................................................ 80
3.2.2 Sensibilité des paramètres de simulations ....................................................................................... 82
3.2.3 Validation des paramètres par comparaison aux mesures ............................................................... 89
3.3 Simulation numérique du modèle électrique......................................................................... 95
3.3.1 Études préliminaires........................................................................................................................ 95
3.3.2 Validation des paramètres de simulation par comparaison aux mesures des 3 conceptions de câbles
non compactés.............................................................................................................................................. 99
3.3.3 Validation par comparaison aux mesures des 2 conceptions de câbles compactés ....................... 102
3.4 Conclusions du chapitre ...................................................................................................... 109
4 Chapitre 4 – Optimisation des paramètres de conception des câbles................................... 110
4.1 Étude préliminaire sur un câble non compacté 1+6 (25 mm²) ............................................ 111
4.2 Optimisation des paramètres de conception du câble.......................................................... 112

Sommaire
6
4.2.1 Paramètres actuels du câble non compacté 1+6 (25 mm²) ............................................................ 112
4.2.2 Méthodologie d'optimisation......................................................................................................... 112
4.2.3 Optimisation du câble.................................................................................................................... 113
4.3 Influence du nombre de fils sur le poids et la résistance du câble....................................... 116
4.3.1 Configuration à 19 fils................................................................................................................... 116
4.4 Câbles compactés ................................................................................................................ 120
4.4.1 Câble compacté 1+6 (50 mm²)...................................................................................................... 120
4.4.2 Câble compacté 1+6+12+18 (240 mm²)........................................................................................ 125
4.5 Conclusions du chapitre ...................................................................................................... 129
5 Chapitre 5 : Étude de l’influence des contraintes mécaniques localisées sur la répartition de
la conductivité électrique.................................................................................................................. 130
5.1 Études préliminaires............................................................................................................ 131
5.1.1 Protocole des essais et préparation des échantillons...................................................................... 131
5.1.2 Résultats des essais mécaniques.................................................................................................... 132
5.1.3 Mesure de la résistance électrique pour chaque allongement de fils............................................. 133
5.2 Analyse des résultats des mesures....................................................................................... 135
5.3 Simulation numérique ......................................................................................................... 137
5.3.1 Description de la stratégie de couplage........................................................................................ 137
5.3.2 Validation de la méthode de couplage.......................................................................................... 140
5.4 Conclusion........................................................................................................................... 144
Conclusions générales et perspectives ............................................................................................. 145
6 Bibliographie.............................................................................................................................. 147
Annexes .............................................................................................................................................. 155
Annexe A : Méthode de résolution du problème mécanique par la méthode des éléments finis 156
Annexe B : Protocole de mesure de la résistance électrique de contact ....................................... 161
Annexe C : Détermination de la réduction de section et e la conductivité des fils de cuivre après
compactage......................................................................................................................................... 169

Introduction
7
Introduction : Contexte et objectifs de l'étude

Introduction
8
Dans le contexte économique actuel, l'industrie des câbles électriques est face à des défis
techniques et économiques. En effet, à cause de la globalisation des marchés mondiaux et de la hausse
continue du prix des matières premières nécessaires à la fabrication des câbles électriques,
particulièrement le cuivre, les fabricants doivent adapter leurs modèles économiques afin d'assurer la
pérennité de leurs activités. Il leur faut alors mettre en place une stratégie globale en vue d'améliorer les
performances des procédés de fabrication d'une part et, d'autre part, d'optimiser les paramètres de
conception des câbles électriques. L'objectif visé s’inscrit dans une démarche d'optimisation de la
consommation des matières premières tout en respectant le cadre des exigences normatives des câbles
électriques. Toutefois, cet objectif ne peut aboutir sans une compréhension fine des phénomènes
électriques qui règnent dans les structures des câbles. Pour cela, l'étude des procédés de fabrication et
des paramètres de conception est primordiale afin d'identifier et quantifier leurs impacts sur le
comportement électrique, et plus précisément sur la résistance électrique totale des câbles.
Ces derniers sont généralement constitués d'une âme conductrice en cuivre ou en aluminium et
d'une ou plusieurs couches protectrices en matériaux diélectriques et/ou métalliques. Nos travaux de
recherche se focalisent essentiellement sur l'étude de la partie conductrice du câble. Celle-ci est
constituée de brins unitaires assemblés en couches successives concentriques. La forme des brins peut
être circulaire, profilée, triangulaire, ovale, etc. Généralement, l'âme conductrice est fabriquée en
utilisant des procédés de déformation à froid, tels que le câblage et le compactage. Lors de ces
opérations, elle subit des déformations plastiques de façon à atteindre des spécifications géométriques
bien déterminées. Ces déformations résultent des champs de contraintes générés par les efforts de
traction, de torsion, de compression et de frottement, propres aux procédés de fabrication. Il est admis
que ces déformations influencent les comportements mécanique et électrique de l'âme conductrice.
Du point de vue mécanique, les déformations plastiques des brins unitaires entraînent un
durcissement par écrouissage du matériau modifiant ainsi ses propriétés mécaniques globales. Il en
résulte une augmentation de la limite élastique du matériau et une rigidité mécanique plus prononcée en
traction de l'âme conductrice. Il est entendu que les modifications observées ne sont pas les mêmes d'une
conception à une autre. Elles sont alors dépendantes des paramètres de conception, tels que le nombre
et la forme des brins élémentaires, le nombre de couches, le pas de câblage, la direction de câblage, le
taux de compactage (taux de compression de l'âme), la forme et la dimension des zones de contact inter-
brins.
Du point de vue électrique, toutes ces variations doivent être étudiées afin de quantifier leurs
impacts, à la fois sur la conductivité électrique du matériau, la distribution du courant et la résistance
électrique totale du câble.
Cette thèse s’inscrit dans le cadre d’un projet de collaboration entre le groupe Nexans, qui est un
des leaders mondiaux des câbles et composants électriques et le laboratoire LSEE, Laboratoire des

Introduction
9
Systèmes Électrotechniques et Environnement. Ce laboratoire, situé à la Faculté des Sciences
Appliquées de Béthune, fait partie des laboratoires de l'Université d'Artois.
Nos travaux de recherche portent sur l’analyse du comportement électrique des brins conducteurs des
câbles électriques, et plus précisément sur leur résistance électrique totale. L'analyse concernera
essentiellement l'étude de la résistance électrique en régime stationnaire (courant continu). Les objectifs
industriels s'articulent autour des points suivants :
− Comprendre les phénomènes électriques qui règnent dans les âmes conductrices,
− Dimensionner les âmes conductrices pour obtenir une résistance électrique spécifique,
− Réduire la consommation des matières premières, particulièrement le cuivre.
Afin de mener à bien ces objectifs, notre étude s’appuie sur l'utilisation d’outils de calculs basés
sur des modélisations numériques permettant de prédire les comportements mécaniques et électriques
des conducteurs. Dans un premier temps, la reproduction des procédés de câblage et de compactage
permettra d’approcher les champs de déformations de l’âme conductrice et la forme réelle des zones de
contact inter-brins. Dans un second temps, l’analyse électrique permettra de déterminer leurs influences
sur la conduction du courant et donc sur la résistance électrique totale de l’âme conductrice. Ces
modèles, basés sur la méthode des éléments finis, seront exploités afin de quantifier l'influence des
paramètres des procédés de câblage et de compactage sur les propriétés électriques des âmes
conductrices. Les résultats des simulations serviront à établir un ensemble de paramètres de conception
de façon à optimiser la consommation de la matière première.
L’âme conductrice subit des déformations plastiques par écrouissage du matériau pendant la
fabrication, il sera alors utile d’analyser leurs l'influences sur la conductivité électrique du matériau. Du
point de vue cristallographique, ces déformations plastiques sont dues à la formation, la multiplication
et le déplacement de défauts linéaires mobiles dans le réseau cristallin du métal. Ces défauts sont appelés
dislocations. Le nombre croissant de dislocations produites lors des déformations plastiques et leur
interaction entre elles (ou avec des impuretés, précipités…) conduit à réduire leur mobilité. Il en résulte
un durcissement de la structure métallurgique du métal. Ce phénomène est appelé « écrouissage ».
Celui-ci provoque également une diminution de la taille des grains augmentant ainsi le nombre de joints
de grains dans la structure du métal. De plus, les défauts et les lacunes renfermées dans le réseau
cristallin du métal, constituent des obstacles vis-à-vis des porteurs de charges électriques (électrons).
Ces variations provoquent une dégradation de la conductivité électrique du matériau, mais aussi une
répartition non homogène de celle-ci dans la section de l’âme conductrice.
La résistance électrique de contact et la variation de la conductivité électrique en fonction de
l’écrouissage du matériau seront caractérisées expérimentalement afin d’identifier leurs lois de
comportements. Ensuite, ces dernières seront utilisées dans les modèles numériques en définissant une

Introduction
10
stratégie de couplage mécanicoélectrique, permettant ainsi de prendre en compte l’influence de la
résistance de contact et de l’écrouissage sur la résistance électrique totale des câbles.
Pour traiter tous les aspects des problèmes fixés par les objectifs du travail, nous avons choisi d’articuler
notre mémoire en cinq chapitres.
Le chapitre 1 présente une bibliographie axée sur le comportement électrique et mécanique des
conducteurs électriques. Dans un premier temps, nous développons des notions générales sur les
mécanismes de conception des câbles en milieu industriel et nous décrivons leurs procédés de
fabrication. Dans un second temps, nous faisons un bref rappel sur le comportement mécanique des
matériaux et sur la théorie de conduction électrique en régime stationnaire des conducteurs métalliques.
Les définitions du contact mécanique et électrique seront également développées.
Le chapitre 2 est consacré à la caractérisation expérimentale des paramètres des câbles électriques,
tels que la résistance électrique de contact et l’influence de la réduction de section d’un fil de cuivre, au
cours du processus de déformation à froid, sur la conductivité électrique du métal. A la suite de ces
expérimentations, nous avons établis des lois de comportement empiriques permettant de relier les effets
mécaniques, tels que les contraintes et les déformations générées lors des processus de fabrication, sur
le comportement électrique des câbles. Ces lois de comportement nous permettrons d’effectuer un
couplage mécanicoélectrique lors de la phase de simulation numérique.
Le chapitre 3 est consacré aux simulations numériques des procédés de fabrication des câbles en
milieu industriel. Dans un premier temps, nous construisons notre modèle à partir d’un câble 1+6 afin
de fixer les paramètres de simulations optimaux. Puis, suite à l’analyse des résultats de simulations, nous
effectuant une série de comparaisons avec nos mesures réalisées sur plusieurs catégories de câbles. Dans
un second temps, nous mettons en évidence la corrélation entre les effets mécaniques d’un câble et son
comportement électrique, notamment sur la résistance de contact inter-fil et sur la variation de la
conductivité électrique du cuivre.
Le chapitre 4 est consacré à la recherche des paramètres optimaux dans la conception des câbles
électriques. Nous présentons une première méthode basée sur l’utilisation d’un logiciel de statistiques.
Les résultats obtenus nous permettent d’obtenir une solution optimale dans le choix des différents
paramètres de conception de câbles non compactés. Une seconde méthode est proposée, sans l’utilisation
d’un logiciel de statistique, et permet de traiter la conception de câbles compacté multicouches.
Dans le chapitre 5, nous étudions l’influence de l’écrouissage localisé d’un câble sur la répartition
de la conductivité électrique dans sa section transverse. Dans un premier temps, une série de mesures
permet de définir une loi de comportement empirique reliant les contraintes et les déformations à la
variation de la conductivité électrique du cuivre. Ensuite, à partir de deux modèles simples, nous
décrivons la stratégie de couplage faible mécanicoélectrique, permettant de prendre en compte

Introduction
11
l’influence de la répartition non-homogène des contraintes et/ou déformations résiduelles sur la variation
spatiale des valeurs de la conductivité électrique dans la structure déformée. Nous appliquons cette
méthode au cas d’un câble compacté de conception 1+6 (7 fils). Les résultats obtenus sont comparés
aux mesures permettant ainsi de valider le bien fondé de notre démarche de couplage.
Enfin, une conclusion générale clôture ce travail de thèse et permet de synthétiser nos résultats et
présente les perspectives de l’étude.

Chapitre 1 : Conception et production des câbles électriques
12
1 Chapitre 1 - Conception et production des câbles

13
L'objectif de ce chapitre est de présenter les méthodes de conception et de production des câbles en
milieu industriel. Cette présentation est associée à l'analyse de la résistance électrique des conducteurs
en courant continu, en fonction des paramètres de conception et de fabrication. Dans un premier temps,
nous rappelons les notions générales associées à la construction des conducteurs électriques : types de
conceptions, paramètres géométriques, classification et domaines d'application. Nous décrirons
également leurs processus de fabrication, tels que le câblage et le compactage. Dans un second temps,
les notions générales liées à l'analyse de la résistance électrique des conducteurs seront données.
L'influence de certains paramètres, tels que la résistance de contact, les changements des propriétés
mécaniques et électriques du matériau dus aux opérations de câblage et de compactage est également
abordée.
1.1 Analyse bibliographique
Les câbles métalliques sont des structures constituées de plusieurs torons ou fils torsadés
hélicoïdalement autour d’une âme centrale rectiligne. Le comportement mécanique des câbles a donné
lieu à de nombreux travaux dans la littérature, tant sur le plan expérimental que sur les plans analytique
et numérique. Une description assez exhaustive de ces modèles est présentée dans [1], [2], [3]. De
nombreux travaux ont été consacrés à la modélisation du comportement statique des structures
hélicoïdales sous sollicitations axiales. Différents modèles analytiques négligeant les phénomènes de
contacts et le comportement plastique des métaux ont été proposés, tels que le modèle de Costello [4]
qui est l'un des plus utilisé. Dans le cas des sollicitations axiales, les éléments de la littérature permettent,
via des approches analytiques, la détermination des coefficients de raideur correspondants. Ces modèles
sont basés sur une description des constituants de type poutre courbe. Un bilan comparatif entre ces
différents modèles est dressé par Ghoreishi [3]. Chaplin [5] a montré que ces modèles analytiques sont
essentiellement applicables quand le câble est sous sollicitations élastiques et leurs applications sont, de
ce fait, limitées à la prédiction du comportement linéaire des câbles. La prise en compte du phénomène
de contact frottant, l’écoulement plastique du métal constituant les fils, etc., sont le plus souvent négligés
dans ces modèles. Plus récemment, des modèles éléments finis 3D commencent à être développés [6],
[2], [7], en particulier le modèle 3D de Jiang [8], qui prend en compte le problème du contact entre deux
fils et le comportement non linéaire des câbles. Précisons également que pour la plupart de ces modèles,
les fils ou les torons constituant le câble sont remplacés par des cylindres équivalents et tenant compte
de la géométrie du câble et des contacts inter-fils, comme c’est le cas dans les travaux de Utting et Jones
[9], [10], [11].
Par ailleurs, les câbles électriques sont fabriqués par des processus de déformation à froid
induisant une modification des propriétés mécaniques et électriques du matériau. L’objectif de nos
recherches est de quantifier l’influence de ces processus de fabrication sur les comportements
mécaniques et électriques des câbles. Une modélisation fine des phénomènes mécaniques et électriques
est alors nécessaire. De ce fait, les modèles existants ne peuvent s’appliquer dans cette étude. Cela
nécessite le développement de modèles numériques permettant de prendre en compte le couplage des
paramètres mécaniques et électriques tels que le contact électrique entre les fils du câble et l’influence
des contraintes et déformations mécaniques sur la conductivité électrique du matériau et la résistance
électrique totale des câbles. L'influence de l’écrouissage sur la conductivité électrique et la résistance
totale du câble est peu abordée dans la littérature ; seules quelques publications y font référence, [12],
[13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20]. La plupart des auteurs prennent en compte une répartition
uniforme de la conductivité dans la section transversale du conducteur, [21], [22], [23], [24], [25].

14
En outre, du point de vue électrique, le principal paramètre caractérisant l’ensemble des câbles
électriques est la résistance électrique linéaire qui détermine les pertes par effet Joule provoquées par le
passage du courant électrique. Cette résistance dépend de la conductivité du métal, de la température,
du diamètre des brins, des contraintes mécaniques appliquées, de la résistance électrique de contact entre
les fils du câble. Les phénomènes électriques qui existent dans la zone de contact inter-fils sont
complexes car cette interface va dépendre de la pression, de la présence d'un corps mauvais conducteur
(oxydes) et de la taille de la zone de contact. De plus, cette zone dépend de la capacité du matériau à
subir une déformation plastique durant le processus de mise en forme. Il a été démontré que les surfaces
réelles ne sont pas planes, mais ont de nombreuses irrégularités et l’étude fondamentale réalisée par
Holm [26] montre que les phénomènes de surface de contact sont importants à prendre en compte dans
la conception des câbles. Les travaux de R.S. Timsit [27] décrivent ce problème dans un cadre général.
Les auteurs ont étudié les facteurs qui influencent la résistance de contact électrique et thermique. Dans
un certain nombre de travaux, l'influence de la résistance de contact sur le comportement électrique des
conducteurs a été étudiée [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40], [41],
[42], [43], [44], [45], [46] [47], [48], [49]. Nous devons souligner que s’il existe de nombreuses
publications concernant l'impact des paramètres structurels sur la résistance des câbles supraconducteurs
[50], [51], [52], [53], [47] [46], [50], [54], il en existe très peu concernant les câbles classique à
température ambiante.
1.2 Un peu d'histoire sur les câbles
La fabrication des structures torsadées et leur utilisation évoluent depuis l'antiquité. Initialement,
nos ancêtres fabriquaient des cordes. De nombreuses représentations montrant la fabrication des cordes
ont été découvertes sur des tombes en Égypte (Figure 1.1) [55] [56] et d’autres dans les carrières de
calcaire couvertes dans les collines de Mokattam à l'est du Caire [55]. Les matériaux utilisés pour les
fabriquer étaient facilement accessibles. Ils utilisaient principalement de l'herbe, du papyrus et des
gaines fibreuses du palmier [57]. L'utilité de ces cordes était multiple et d'une grande nécessité pour
accomplir les tâches du quotidien.
Figure 1.1 : Représentation de la fabrication de cordes dans l'ancienne Égypte - Tombeau de
Akhethotep et Ptahhotep [56]
Les premières constructions de câbles étaient destinées aux applications télégraphiques [58].
L’essor réel des câbles électriques est arrivé avec les applications de puissance, pour le transport de
l'électricité d'un point à un autre, et l'invention de la lampe électrique par Thomas Edison en 1879 [59].
Quelques années plus tard, vers 1892, Thomas Edison a obtenu un brevet pour ce qu'il a appelé
"conducteur électrique". L'invention ainsi décrite est composée de trois parties (Figure 1.2) : un fil
conducteur, une tresse en coton recouvrant le fil et un revêtement extérieur fait de mélanges de
caoutchouc.

15
Figure 1.2 : Dessin du conducteur électrique d’après Thomas Edison [59]
Les câbles électriques sont aujourd’hui en constante évolution, en raison des avancées
technologiques. Les processus de fabrication sont plus performants. Les câbles sont alors devenus des
structures complexes recouvrant diverses applications dans de nombreux domaines industriels. On peut
citer à titre d'exemple, le domaine de l'aérospatial, l'infrastructure, la télécommunication et les réseaux
de distribution de l'énergie électrique. Les câbles électriques sont conçus pour assurer le transport et la
distribution de l'énergie électrique. Ils doivent tenir compte des contraintes d'usage qui peuvent être de
natures : électrique, thermique, mécanique et environnementale [58] [60]. Leur durée de vie dépend
fortement de ces contraintes et peut varier entre 25 et 40 ans [58]. La plupart du temps, ils sont constitués
d'une partie conductrice en cuivre ou en aluminium, qui est entourée d’une ou plusieurs couches de
matériaux isolants et ou métalliques. La partie conductrice est composée de plusieurs fils souvent de
même diamètre, superposés les uns aux autres en couches concentriques successives autour d'un fil
central droit. Les fils des couches sont enroulés suivant des pas d'hélices, qui peuvent être identiques
d'une couche à l'autre ou différents. De même, le sens d'enroulement des couches se fait dans des
directions semblables ou différentes. Les autres couches du câble, forment quant à elles, un isolant
électrique, un isolant magnétique et des protections contre les courts-circuits et contre les agressions
extérieures (Figure 1.3). Notre travail se consacre essentiellement à l’étude de la partie conductrice, que
nous dénommerons conducteur électrique ou câble.
Figure 1.3 : Représentation d’un câble électrique [58]

16
1.3 Généralités sur les conducteurs électriques
Les conducteurs électriques existent sous plusieurs formes et géométries. Selon le type
d'utilisation et les contraintes d'usage, ils sont composés d'un ou plusieurs fils et d'une ou plusieurs
couches (Figure 1.4 a). La géométrie des fils peut être ronde, plate, triangulaire, compactée, etc. De
même, la géométrie des fils peut être ronde, triangulaire, ovale, profilée en Z, rectangulaire, cintrée, etc.
(Figure 1.4 b).
Figure 1.4 : Représentations d’exemples de géométries de câbles (a) et de fils (b) [61]
La conception des conducteurs électriques doit tenir compte des exigences des normes en vigueur.
Selon le pays, le domaine d'utilisation et les contraintes de services, les géométries des conducteurs sont
composées de plusieurs sous éléments et sous structures. Le plus souvent, ils sont identifiés par leur
capacité à résister aux sollicitations mécaniques. Selon la norme CEI 60228 [62], il existe quatre familles
de conducteurs :
− Classe 1 : Conducteurs mono fil (rigides)
− Classe 2 : Conducteurs torsadés multi couches concentriques (semi rigides)
− Classe 5 : Conducteurs multi torons ou multi tordons concentriques (flexibles)
− Classe 6 : Conducteurs multi torons ou multi tordons concentriques (extra flexibles)

17
Les conducteurs de classe 1 et 2 sont identifiables grâce à leur rigidité mécanique élevée. Ils sont
utilisés dans des domaines nécessitant une bonne tenue mécanique car ils ne tolèrent pas de grandes
déformations. Les conducteurs de classes 5 et 6 sont formés, soit par des fils assemblés dans des couches
consécutives concentriques, soit par des tordons ou torons. Cette façon d’assembler les différents
éléments dans le conducteur procure au câble une souplesse mécanique. Chaque famille est caractérisée
par une plage de section de conducteur, un nombre de fils, etc. (Figure 1.5).
Conducteur
classe 1
Conducteur
Classe 2
Conducteur
Classe 5
Conducteur
Classe 6
Figure 1.5: Représentations d’exemples de construction pour chaque classe de conducteur
Dans le cadre de nos travaux de recherche, l’intérêt sera porté essentiellement sur les conducteurs
de classe 2. Pour ce type de conducteurs, il existe deux procédés majeurs de fabrication : le câblage et
le compactage, tous deux décrits dans les parties suivantes.
1.4 Le processus de câblage
1.4.1 Le procédé de fabrication
Le dispositif global pour câbler les fils peut être décomposé en trois parties distinctes
schématisées à la Figure 1.6 :
− Un système de dévidage des fils (bobines donneuse),
− Une câbleuse qui assemble les fils en les enroulant selon un pas d’hélice donné,
− Un système d’envidage du conducteur (bobine de réception).
Le système de dévidage des fils est composé d’un ensemble de bobines disposées les unes à côté
des autres à l’entrée de la machine. Le nombre de bobines correspond au nombre de fils constituant le
câble à fabriquer. Les fils de chaque bobine sont ensuite déroulés simultanément, afin d’entrer dans la
câbleuse (Figure 1.6b). Ce processus de câblage débute alors. La câbleuse assemble les fils en les
enroulant selon un pas d’hélice donné. Une fois le câble confectionné, il s’enroule autour d’une ultime
bobine, qui sert de système de dévidage du câble fini.

18
a.
b.
Figure 1.6 : Schéma du processus de câblage d’un câble à 7 fils (a) et photographie d’une câbleuse
à lyre à double torsion (b) [63]
De manière détaillée, lors du câblage, les fils sont tractés à travers une filière guide par le biais
d’un cabestan. Les fils assemblés sont enroulés autour de cet outil, qui est en rotation et qui exerce une
traction dans le sens longitudinal au câblage. Afin d'éviter le glissement des fils au niveau du cabestan,
un système de freinage est prévu, exerçant une contre-traction qui permet de maintenir les fils tendus.
Selon le matériau et le diamètre des fils, la force de freinage peut varier de 100 à 200 (N) [64].
L'impression du pas de câblage est le résultat de deux mouvements simultanés : une translation et une
rotation. La translation est entraînée par le cabestan et la rotation par la lyre. Le pas de câblage est obtenu
en deux rotations. La première est réalisée entre le point de commettage (Figure 1.7) et le début de la
lyre symbolisé par la lettre A sur la figure. La deuxième torsion s'effectue, quant à elle, entre le cabestan
et le début de la bobine de dévidage symbolisé par la lettre B. La vitesse linéaire de câblage varie de 10
à 300 (m/min) [64] en fonction de la machine utilisée et du diamètre du conducteur fabriqué.

19
a. b.
Figure 1.7 : Photographie du point de commettage (a) et schéma de l’impression du pas de
câblage en deux rotations successives (b)
Précisons que la filière guide, dimensionnée de façon à avoir le même diamètre que le diamètre
extérieur du câble, ne sert qu'à maintenir les fils de la couche autour du fil central. Elle n'exerce aucune
force de compression sur le conducteur.
Le processus de câblage est généralement utilisé pour la fabrication des câbles non compactés.
Nous allons développer dans le point suivant les différents paramètres de conception de ces câbles.
1.4.2 Paramètres de conception des câbles
Les câbles non compactés sont construits à partir d'un ensemble d'éléments dont la structure peut
être non concentrique ou concentrique. Les structures non concentriques sont appelées tordons et les
concentriques, torons (câbles de classe 2).
Le tordon
Il est constitué de fils assemblés aléatoirement. En effet, un certain nombre de fils est regroupé
en faisceau puis twisté pour former le tordon (Figure 1.8). La surface du câble est irrégulière. Ni le
diamètre, ni la circularité du conducteur ne sont contrôlés. Ils sont réservés, dans la majorité des cas,
pour la fabrication des câbles flexibles ou extra flexibles car ils possèdent une rigidité mécanique
moindre que les assemblages géométriques avec un glissement des fils entre eux facilité.
Figure 1.8 : Schéma de la structure d’un tordon [65]
Le toron
Il présente un assemblage parfaitement régulier des fils. Chaque fil occupe une position bien
déterminée à l’intérieur du toron. Le diamètre est précis et les surfaces sont régulières. Les constructions
classiques sont composées d’assemblages de fils en couches concentriques successives autour d’un fil
central droit. Elles sont présentées à la Figure 1.9.
A B

20
Toron à 7 fils = 1+6
Toron à 19 fils = 1+6+12
Toron à 37 fils = 1+6+12+18
Figure 1.9 : Représentations des constructions typiques de torons concentriques [66]
Le nombre total de fils noté 𝑁 d'un câble concentrique composé de 𝐾 couches, peut être déterminé
par :
𝑁 = 3 𝐾 ( 𝐾 + 1 ) + 1 (1.1)
Dans les paragraphes suivants, nous allons présenter quelques paramètres de conception des
câbles concentriques, tels que le pas de câblage et l'angle d'hélice, la direction de câblage et la section
droite.
Le pas de câblage et l'angle d'hélice
Le pas de câblage ou le pas d'hélice peut être défini comme étant la distance requise pour qu'un
fil d'une couche périphérique effectue une rotation complète autour de l'axe principal du câble (Figure
1.10). L’angle d’hélice indique l’orientation des fils câblés par rapport à l’axe principal du câble.
Figure 1.10 : Schéma représentant le pas de câblage et l'angle d'hélice pour un câble
monocouche 1+6

21
Le pas de câblage peut être calculé pour une couche donnée par :
𝑃𝑎𝑠 =
𝜋 𝐷 𝐻é𝑙𝑖𝑐𝑒
𝑡𝑎𝑛 𝛼
= (
𝑉 𝑇
𝑉 𝑅
) 1000 (1.2)
Où 𝑉𝑇 (m.min-1
) et 𝑉𝑅 (tours.min-1
) sont respectivement les vitesses de translation et de rotation générées
par la machine de câblage.
La longueur du fil torsadé 𝐿 𝐹𝑖𝑙 est donnée par la relation :
𝐿 𝐹𝑖𝑙 = √𝑝𝑎𝑠² + (𝜋 𝐷 𝐻é𝑙𝑖𝑐𝑒)²
(1.3)
Et l'angle d'hélice 𝛼 par :
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝜋 𝐷 𝐻é𝑙𝑖𝑐𝑒
𝑝𝑎𝑠
) (1.4)
La direction de câblage
Les deux sens de câblage envisageables sont habituellement représentés par les lettres S et Z.
Elles désignent, respectivement, une torsion avec un pas de câblage à gauche et une torsion avec un pas
de câblage à droite (Figure 1.11).
a. b.
Figure 1.11 : Schéma représentant la direction de câblage d’un câble monocouche, avec
câblage à gauche S (a) et câblage à droite Z (b)
Les deux directions de câblage peuvent être utilisées pour tous les conducteurs concentriques. Par
exemple, dans le cas d'un câble constitué de deux couches, nous pouvons distinguer 2 possibilités de
câblage :
• Câblage conventionnel concentrique
Les couches sont enroulées en sens inverse soit en SZ ou ZS et leurs pas sont égaux ou augmentent
de l’intérieur vers l’extérieur (Figure 1.12).
S Z

22
Figure 1.12 : Schéma du câblage conventionnel concentrique de type SZ
• Câblage concentrique - directions identiques
Les couches du câble sont enroulées dans le même sens, soit en SS ou ZZ, et leurs pas sont égaux
ou augmentent de l’intérieur vers l’extérieur (Figure 1.13).
Figure 1.13 : Schéma du câblage concentrique de type SS
La section droite d'un câble
Les câbles électriques sont le plus souvent identifiés par leur section droite. Prenons l'exemple
d'un conducteur constitué de 7 fils de même diamètre, la section droite de ce conducteur peut être
observée en faisant la projection des cercles délimitant les surfaces des fils dans un plan P
perpendiculaire à l'axe principal du conducteur Z (Figure 1.14a). La section des fils de la couche n’est
pas représentée par des surfaces circulaires mais par des surfaces elliptiques (Figure 1.14b). Ceci est dû
à l’enroulement des fils suivant un pas d'hélice. Il est difficile de le constater sur des fils fins, alors que
pour des fils plus gros, on peut parfaitement le discerner à l’œil nu. La section droite d'un fil de la couche
notée Sf peut être calculée avec :
Sf =
𝜋𝑅2
𝑐𝑜𝑠𝛼
(1.5)
Où 𝑅 est le rayon du fil circulaire dans le plan perpendiculaire de l'hélice et 𝛼 l'angle de câblage.

23
a. b.
Figure 1.14 : Représentation d’un câble monocouche 1+6 avec un plan de coupe P correspondant à
la section droite (a)et représentation de cette section (b)
1.5 Le compactage : Procédé de fabrication
Le compactage d'un conducteur est provoqué par un outil de mise en forme appelé filière de
compactage (Figure 1.15). Cette dernière doit présenter une bonne rugosité de surface afin de réduire
les forces de frottement au niveau des interfaces de contact fils-filière. Cela permet d'assurer une bonne
finition de l'état des surfaces externes des fils.
Durant le compactage, le conducteur est étiré en continu par le cabestan à travers la filière afin de
réduire son diamètre. La déformation du métal résulte de l'application d'un champ de contrainte suffisant
pour provoquer un écoulement plastique de façon à obtenir une géométrie de conducteur donnée. Le
métal subit un durcissement par écrouissage ce qui entraine la modification de ses propriétés mécaniques
et électriques [67], [68]. Du point de vue mécanique, un conducteur compacté présente une meilleure
résistance à la rupture et une meilleure stabilité des conditions de contact [69]. Du point de vue
électrique, les déformations plastiques des fils unitaires, les conditions de contact ainsi que la
modification de la géométrie des fils entraînent une dégradation de la conductivité électrique du matériau
et du comportement électrique global du conducteur [67].
a. b.
Figure 1.15 : Représentations du principe de compactage d’un câble monocouche (a) et des sections
droites du conducteur avant (gauche) et après (droite) compactage (b) [64]

24
Dans un procédé multicouche, l’opération de compactage a lieu pour chaque couche
successivement (Figure 1.16).
a. b. c.
Figure 1.16 : Représentations des étapes du câblage-compactage d'un câble à trois couches (a, b,
c)
Un schéma global du processus de fabrication d'un conducteur compacté composé de trois
couches est proposé à la Figure 1.17. On peut notamment y voir les différentes cages contenant les
bobines de dévidage des fils des différentes couches du conducteur, le cabestan, le système de dévidage
du conducteur, l’emplacement des filières de compactage de chaque couche, etc.
Sens de câblage et compactage

25
Figure1.17:Schémad'unecâbleuserigideàtroiscages(a),détailsd'unecageà18bobines(b)[64]

26
Filière de compactage
La filière de compactage est composée de deux parties : un noyau très dur, qui assure la réduction
du diamètre du câble, et une monture en acier qui maintient le noyau et lui permet de résister aux fortes
pressions développées au cours du compactage. D’une manière générale, la géométrie d’une filière [68]
est constituée de trois zones principales (Figure 1.18) :
− Un cône d'entrée jouant le rôle d'un entonnoir d'engagement,
− Un cône de travail, de demi-angle , dans lequel s'effectue la réduction de section par
déformation progressive des fils de la couche,
− Un cône de sortie qui décharge progressivement la filière des efforts.
a. b.
Figure 1.18 : Photographie d’une filière de compactage (a) et schéma représentant ses
caractéristiques géométriques (b) [68]
Précisons que la longueur de la portée cylindrique est généralement fixée en fonction du diamètre
interne de la filière. Les valeurs les plus utilisées varient entre 20 et 40 (%) du diamètre interne selon le
type du conducteur, le matériau, le nombre de fil, etc. Dans le cadre de notre étude, la portée est fixée à
20 (%) du diamètre interne, conformément aux spécifications des documents de fabrication des câbles
étudiés.
La réduction de section r
La réduction de section de chaque fil est obtenue en comparant les sections droites de ces derniers,
avant et après compactage (Figure 1.19). Elle s'exprime en pourcentage et peut être calculée avec :
𝐫[%] = 1 − (
𝑅𝑓
𝑅𝑖
)
2
= (1 − (
𝑆𝑓
𝑆𝑖
)) = (1 − (
𝑃𝑓
𝑃𝑖
)) (1.6)
Où 𝑅𝑓, 𝑆𝑖 et 𝑃𝑖 sont le rayon, la section et le poids initiaux des fils avant compactage et 𝑅𝑖, 𝑆𝑓 et 𝑃𝑓 ces
mêmes paramètres après compactage.

27
Figure 1.19: Représentation des sections droites du conducteur avant et après compactage. [67]
1.6 Paramètres et modèles électromécaniques des conducteurs métalliques
Dans la suite de cette étude, nous modélisons les processus de câblage et compactage de façon à
identifier les propriétés mécaniques et électriques des câbles compactés et non compactés. Ces derniers
sont des processus de mise en forme par déformation à froid. Il est alors nécessaire de connaitre le
comportement mécanique et électrique du matériau utilisé.
1.6.1 Paramètres du modèle mécanique
1.6.1.1 Comportement élastoplastique des métaux
Un matériau plastique, contrairement aux matériaux élastiques, conserve après décharge une
déformation irréversible. Formellement, le comportement plastique est complètement indépendant du
temps ; il est indépendant de la vitesse de déformation, qui n’évolue pas lorsque le chargement est
maintenu constant. La déformation d’un matériau élastoplastique comporte une composante élastique
réversible et une composante plastique qui ne l’est pas.
Le comportement élastoplastique repose donc sur une décomposition de la déformation totale
apparente en une partie élastique réversible et une partie plastique irréversible. Lorsque la partie
élastique est suffisamment faible, il est courant d’adopter une décomposition additive du tenseur taux
des déformations :
𝜀̿ = 𝜀 𝑒̿ + 𝜀 𝑝̿̿̿ (1.7)
𝜀 𝑒̿ et 𝜀 𝑒̿ sont les tenseurs taux de déformation, respectivement, élastique et plastique. Le tenseur taux des
déformations total 𝜀̿ correspond, dans l’hypothèse des petites déformations, à la partie symétrique du
tenseur gradient du champ de vitesse 𝑉̅ , qui s’écrit :
𝜀̿ =
1
2
( 𝑔𝑟𝑎𝑑 ( 𝑉̅ ) + 𝑔𝑟𝑎𝑑 ( 𝑉̅ ) 𝑇
) (1.8)

28
L’élasticité traduit une déformation réversible du matériau. Le plus souvent, elle est considérée
comme linéaire et isotrope. Dans ces conditions, le tenseur des contraintes de Cauchy est relié au tenseur
taux de déformations élastiques par la loi de Hooke :
𝜎̿ = 2 µ 𝜀 𝑒̿ + 𝜆 𝑡𝑟 (𝜀 𝑒̿ ) 𝐼 (1.9)
Où I est le tenseur identité, λ et µ sont les coefficients de Lamé déduits à partir des coefficients de
Poisson 𝜈 et du module d'élasticité longitudinale E par les relations suivantes :
µ =
𝐸
2(1 + 𝜈)
(1.10)
𝜆 =
𝐸 𝜈
(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)
(1.11)
La plasticité fait référence à un état de déformation irréversible que le matériau est susceptible
d’atteindre une fois qu’il a franchi un état de contrainte seuil. Cet état seuil est décrit par la surface de
charge 𝑓 :
𝑓 = 𝜎̅( 𝜎̿ ) − 𝜎0 ; 𝑓 = 0 (1.12)
Dans cette expression, le tenseur des contraintes σ est transformé en un scalaire représentatif 𝜎̿,
appelé contrainte équivalente au sens du critère de plasticité. Cette contrainte est comparée à une
deuxième contrainte σ0, dite contrainte d’écoulement du matériau et qui représente la contrainte seuil
plastique. Lorsque la contrainte équivalente est inférieure à la contrainte d’écoulement (𝑓<0), la
déformation est purement élastique. Inversement, dès que la contrainte équivalente est égale à la
contrainte d’écoulement plastique (𝑓=0), le seuil est atteint et le matériau commence à se déformer
plastiquement.
Pour un matériau écrouissable, la contrainte d’écoulement plastique évolue avec la déformation
du matériau. On introduit alors la déformation plastique cumulée comme variable d’état interne
permettant la description de l’état d’écrouissage. La contrainte d’écoulement devient alors :
𝜎 𝑢 = 𝜎 𝑢(𝜀 𝑝̿̿̿ ) (1.13)
La déformation plastique cumulée, ou déformation plastique équivalente, n’est autre que
l’intégration au cours du temps de la vitesse de déformation plastique équivalente :
𝜀 𝑝̿̿̿(𝑡) = ∫ 𝜀 𝑃̅̅̅̇
𝑡
0
( 𝑡)𝑑𝑡 (1.14)
La vitesse de déformation plastique équivalente est un scalaire représentatif du tenseur taux des
déformations plastiques. Pour un critère de Von Mises, la vitesse équivalente s’écrit :
𝜀 𝑃̅̅̅̇ = √
2
3
𝜀 𝑝̿̿̿: 𝜀 𝑝̿̿̿ (1.15)

29
Critères de plasticité
La surface de charge délimite le domaine des déformations élastiques et le seuil de l’écoulement
plastique. La forme de cette surface est définie par le critère de plasticité. Le terme d’écrouissage dans
cette même équation caractérise la taille de la surface au cours du chargement. À l’état initial, et avant
tout écrouissage, la surface de charge peut s’écrire :
𝑓 = 𝜎̅( 𝜎̿ ) − 𝜎0=0 (1.16)
Où 𝜎0 est la limite élastique du matériau en traction uni-axiale, 𝜎̅ est la contrainte équivalente au sens
du critère de plasticité.
Il existe une grande variété de critères de plasticité qui visent à modéliser le plus fidèlement
possible le comportement des matériaux métalliques. Ces derniers peuvent être répertoriés en deux
familles : les critères isotropes et les critères anisotropes. Dans le cadre de notre étude, nous nous
limitons à l'utilisation du critère isotrope de Von Mises.
Critère isotrope
L’un des critères de plasticité isotrope les plus utilisés pour les matériaux métalliques ductiles est
le critère de Von Mises. Il est établi en considérant l’écoulement plastique comme insensible à la
pression hydrostatique et il est défini dans un repère de contrainte orthonormé quelconque par
l’expression suivante :
𝜎̅( 𝜎 )
= √
1
2
[(𝜎 𝑥𝑥 − 𝜎 𝑦𝑦)2 + (𝜎 𝑦𝑦 − 𝜎𝑧𝑧)2 + (𝜎𝑧𝑧 − 𝜎 𝑥𝑥)2 + 6(𝜎 𝑥𝑦
2 + 𝜎 𝑦𝑧
2 + 𝜎𝑧𝑥
2)]
(1.17)
Transformé dans le repère des contraintes principales, le critère se ramène à la somme des carrés de la
différence entre les contraintes principales.
La propriété d’isotropie doit traduire l’indépendance de l’expression du critère de plasticité de
tout changement de repère. En d’autres termes le critère est objectif. Le critère de Von Mises vérifie en
particulier cette propriété, et il est donc possible de l’exprimer en fonction des invariants du tenseur des
contraintes J1, J2, J3 dont les expressions sont définies par :
𝐽1 = 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 ( 𝜎 ) (1.18)
𝐽2 =
1
2
[𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 ( 𝜎 )2
− 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 ( 𝜎2
)] (1.19)
𝐽3 = 𝑑𝑒𝑡 ( 𝜎 ) (1.20)
Le critère de Von Mises s’écrit alors :

30
𝜎̅̅ = √2 𝐽2 (1.21)
Par ailleurs, étant donné l’invariance du critère à tout chargement sphérique de compression ou
de traction, il est judicieux d’introduire le tenseur déviateur des contraintes 𝑆̿ :
𝑆̿ = 𝜎̿ −
1
3
𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 (𝜎 ) (1.22)
Pour lequel le critère s’écrit :
𝜎̅ = √
3
2
𝑆̿: 𝑆̿ (1.23)
1.6.1.2 Modèles de lois de comportement
La connaissance de la loi de comportement d'un matériau est primordiale pour prévoir son
écoulement lors de sa mise en forme. L’identification d’un modèle de loi de comportement constitue un
élément indispensable pour nos travaux de modélisation. La formalisation d'une loi de comportement
consiste à identifier tous les paramètres qui ont un impact sur sa courbe contrainte-déformation.
Généralement, ces paramètres sont la déformation imposée au matériau, la vitesse de déformation et la
température. Le but est de lier la contrainte d'écoulement du matériau à ces paramètres de déformation.
Toute la difficulté d'une telle détermination réside dans le choix d'un essai de caractérisation. Les plus
connus et utilisés sont les essais de traction, torsion et compression. Chacun correspond à un domaine
de sollicitation particulier qui doit, dans la mesure du possible, se rapprocher le plus possible de celui
du procédé de mise en forme étudié (Figure 1.20).
Figure 1.20: Vitesses de déformations relatives au compactage et aux méthodes d’essais [70]
Généralement, les modèles de lois de comportement utilisés pour décrire l'écoulement plastique
du matériau pendant sa mise en forme doivent tenir compte de l'effet de la vitesse de déformation et de
la température. Parmi ces modèles de loi de comportement, on peut citer les modèles : de Johnson Cook
[71], de Zerilli et Armstrong [72], de Norton-Hoff [73], de Hamouda-Hamaschi [74] et de Hansel-Spittel
[75]. Ces modèles sont présentés dans la thèse de Vega [68].

31
Dans le cadre de cette étude, nous nous limitons à l'utilisation d'une loi de comportement
élastoplastique (Figure 1.21), dont l'impact de la température et de la vitesse de déformation ne sont pas
pris en compte. En effet, les prélèvements des échantillons sont effectués sur les câbleuses après arrêt
de la machine. Une fois la commande d'arrêt activée, la vitesse et la température chutent drastiquement.
Sachant que l'arrêt de la machine n'est pas immédiat, quelques mètres de câble sont encore fabriqués.
De ce fait, on considérera une température ambiante et des vitesses de déformation faibles (𝜀̇~10−1
,
10−2
s−1
).
Figure 1.21: Courbe représentant une loi de comportement élastoplastique déterminée par un test
de traction (fil cuivre- Φ8.221 mm, vitesse de traction 50 mm/mn)
Dans la phase de simulation, la loi de comportement élastoplastique utilisée pour les fils de cuivre
est implémentée dans le code de calcul par éléments finis de façon à résoudre le problème mécanique
du câblage et compactage, en quasi-statique.
1.6.1.3 L’écrouissage :
La déformation des fils au cours du câblage et du compactage provoque une modification générale
de ses propriétés. La déformation plastique par ces procédés entraîne un écrouissage qui se traduit par :
- Une augmentation de la limite élastique des fils câblés et/ou compactés
- Une augmentation de leur charge de rupture
- Une diminution de leur ductilité
Si on prend l’exemple d’un fil de cuivre de diamètre initial 8 (mm) et de diamètre final 2 (mm), sa
résistance à la traction augmente de 234 à 438 (MPa) et l’allongement à la rupture A (%) chute de 51 à
2 (%). La Figure 1.22 présente les évolutions des propriétés mécaniques pour chaque passe de tréfilage
correspondant à une réduction de section de 20 (%) par passe de tréfilage.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50
Contrainte[MPa]
Déformation vraie [ ]

32
Figure 1.22 : Courbes d’évolution des propriétés mécaniques du cuivre ETP1 en fonction de
l’écrouissage – diamètre décroissant [76]
Dans le cas de notre étude, l’écrouissage est un paramètre important puisqu’il aura un impact
direct sur la conductivité électrique du matériau. Afin que l’écrouissage soit pris en compte, des tests
expérimentaux seront nécessaires afin de déterminer les lois d'évolution de la conductivité en fonction
de la diminution de la section du conducteur et de l'évolution de la contrainte et/ou de la déformation
plastique du matériau. Dans le premier cas, l'écrouissage est caractérisé en utilisant un processus de
déformation à froid "le tréfilage". On utilise par la suite la définition de l'AFNOR qui décrit l'écrouissage
en fonction de la diminution de la section du conducteur [77], [78] comme suit:
𝐸𝑐𝑟𝑜𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒 [%] = (
𝑆𝑖 − 𝑠𝑓
𝑠𝑓
) (1.24)
Où 𝑆𝑖 et 𝑠𝑓 𝑠𝑜𝑛𝑡 les sections initiales et finales du conducteur.
Dans le deuxième cas, des tests de traction sont réalisés sur des fils de cuivre pour différents
allongements. Pour chaque allongement, nous déterminerons la conductivité électrique ainsi que les
contraintes et les déformations qui lui sont associées.
1.6.1.4 Le frottement
Le frottement est un phénomène parasite pour le câblage et le compactage. En effet, en s’opposant
au mouvement, il augmente les déformations et les efforts de câblage et compactage ainsi que les pertes
d’énergie. Il joue également un rôle important sur la qualité des surfaces des fils et leurs profils de
déformations. Son impact sera étudié dans le chapitre 4.

33
1.6.2 Paramètres du modèle électrique
1.6.2.1 La résistance électrique des câbles métalliques
Considérons le cas simple d'un conducteur cylindrique (Figure 1.23) de volume v’, de section
homogène S et de longueur L, compris entre deux surfaces s1 et s2 entre lesquelles existent une
différence de potentiel u = V1-V2 (avec V1 et V2, les tensions sur s1 et s2). Le conducteur est alors
parcouru par un courant électrique d'intensité I dont les lignes sont perpendiculaires à la section du
conducteur. La relation (1.25) permet de relier la résistance électrique du conducteur à ses
caractéristiques géométriques et à la résistivité du matériau.
L
R
S

= (1.25)
Nous pouvons constater que la résistance électrique R (Ω) est proportionnelle à la résistivité
volumique du matériau ρ (Ω.m) et à la longueur L (m) et inversement proportionnelle à la section S (m²)
du conducteur.
Figure 1.23: Schéma d'un conducteur cylindrique soumis à une différence de potentiel électrique
stationnaire u.
Le graphique de la Figure 1.24 montre les variations de résistivité électrique pour différents
alliages de cuivre en fonction de la température.
Figure 1.24: Courbes de variation de la résistivité électrique (10-8
Ωm) en fonction de la
température (°C et °F), des impuretés et des déformations pour un cuivre pure et trois alliages de
cuivre [79]

34
Le graphique de la Figure 1.25, montre l'évolution de la limite de résistance à la rupture en
fonction de la conductibilité électrique. Cette évolution lie l'impact des propriétés mécaniques du cuivre
à ses caractéristiques électriques.
Figure 1.25: Relation entre la conductibilité électrique (%IACS) et la résistance mécanique (MPa)
à la traction pour le cuivre et ses alliages destinés à l'usage électrique. [80]
Ainsi le choix d’un matériau et son niveau d’écrouissage (ou inversement son niveau de recuit)
sont primordiaux. Il y a donc un compromis entre conductivité électrique et l'état métallurgique du
matériau imposé par l'utilisation du câble. Dans la suite, nous étudierons l’influence du niveau
d’écrouissage pour un cuivre ETP (Figure 1.25).
1.6.3 Théorie du contact électrique
Dans le cas des conducteurs multifils et multicouches, il existe plusieurs interfaces de contact
mécaniques entre les différents fils (Figure 1.26). Les contacts sont, soit ponctuels, soit linéiques. Un
contact ponctuel est établi lorsque deux fils de couches successives câblés dans des sens opposés sont
en contact, alors que le contact linéique est spécifique aux fils adjacents de chaque couche ainsi qu’aux
couches dont les sens et les pas de câblage sont identiques (Figure 1.26a). Le contact est dit tangentiel
lorsqu’il est établit entre deux fils adjacents d’une même couche et radial lorsqu’il est établi entre deux
fils de couches différentes (Figure 1.26b).
a. b.
Figure 1.26 : Schémas représentant les contacts ponctuels et linéiques (a) et les contacts
radiaux et tangentiels (b) dans un conducteur multifils et multicouches

35
En outre, la forme des interfaces communes de contact est intrinsèquement liée aux paramètres
de fabrication des câbles ainsi qu'à leurs paramètres de conception. En effet, pendant le câblage et/ou le
compactage, le matériau est sujet à des déformations élastoplastiques et plastiques. Les conditions de
frottement fils-fils et fils-filière ont également une influence non négligeable sur la forme et la qualité
des surfaces des fils, donc sur les propriétés de l'interface de contact.
D'autre part, lorsque deux conducteurs électriques sont mis en contact sous l’action d’une force
de compression FN, l’aire Ao de la zone de contact apparent dépend des propriétés mécaniques des deux
conducteurs et de la forme des surfaces de contact. Du fait de la rugosité inévitable des surfaces, le
contact est constitué d’un ensemble de microcontacts répartis aléatoirement. L’aire réelle A est alors très
inférieure à celle du contact apparent Ao (Figure 1.27).
a. b.
Figure 1.27: Représentations de l’aire de l’interface de contact entre deux conducteurs : contact
macroscopique (a) et contact microscopique (b)
La rugosité des surfaces entraîne une distribution non-homogène de la pression à l'interface
commune des deux conducteurs. De ce fait, le flux de courant électrique est non-homogène à l'interface.
Deux approches sont alors possibles pour l’étude des contacts électriques : macroscopique ou
microscopique.
Par la suite, la problématique du contact sera abordée du point de vue mécanique. Puis, nous
traiterons la partie électrique du problème, c'est-à-dire l'étude de la résistance électrique de contact.
Précisons par ailleurs que dans ce travail, seul le cas du contact électrique statique est abordé.
1.6.4 Le contact mécanique
Le contact mécanique, d’un point de vue macroscopique, se limite à l’étude d’une interface de
contact lisse, formée par deux solides en contact. Les dimensions de l’interface dépendent
essentiellement de la géométrie des surfaces en contact, de l’orientation spatiale des solides impliqués,
de la force de compression FN et des propriétés mécaniques intrinsèques des matériaux comme le module
d’élasticité linéaire E, le coefficient de poisson ν, la dureté des matériaux H, etc. Il est entendu que
lorsque l'on compresse deux solides l'un contre l'autre, leurs matériaux subissent des déformations qui
peuvent être élastiques, élastoplastique ou plastiques. Sachant que l’aire apparente du contact dépend de
ces modes de déformations, il est alors nécessaire de les prendre en compte pour effectuer l'analyse du
contact mécanique.
A- Contact élastique
La problématique du contact élastique peut être modélisée grâce aux formulations d'Hertz [81],
[82]. Ces formulations sont utilisées pour étudier différents types de contacts : sphère-sphère, sphère-

36
plan, cylindres parallèles, cylindres croisés ou perpendiculaires. Le contact entre deux conducteurs de
matériaux identiques ou non est dit hertzien s’il satisfait les hypothèses suivantes :
− Les matériaux sont considérés homogènes et isotropes,
− Les champs des déformations sont élastiques,
− Les conducteurs sont en contact statique sans frottement,
− Les surfaces de contact sont lisses,
− Le rayon de l’aire de contact est inférieur aux rayons de courbure.
Considérons le cas général du contact entre deux solides sphériques de rayon R1 et R2, mis en
contact sous l’action d’une force de compression FN, schématisé à la Figure 1.28.
Figure 1.28: Schéma du contact élastique entre deux sphères lisses déformables. [83]
Les matériaux en contact sont définis par leurs modules d'élasticité linéaire E1 et E2, ainsi que par
leurs coefficients de poisson ν1 et ν2. Il a été montré que le problème du contact entre deux solides
sphériques peut être ramené à celui du contact sphère-plan rigide [84]. Le module d'élasticité linéaire
réduit et le rayon de courbure équivalent sont donnés respectivement par les équations suivantes :
1
2 2
* 1 2
1 2
1 1
E
E E
 
−
 − −
= + 
 
(1.26)
* 1 2
1 2
R R
R
R R
=
+
(1.27)
L'interface de contact étant de forme circulaire, son rayon a est déterminé par l'équation suivante :
1/3*
*
3
4
NF R
a
E
 
=  
 
(1.28)
La déformation élastique des deux conducteurs notée h est alors déduite :
2
*
a
h
R
= (1.29)
Nous remarquons que, selon l'équation 3, l'aire de contact est proportionnelle à la force FN. Les
pressions moyenne et maximale, notées respectivement Pmoy et Pmax, à l'interface de contact, s'expriment
selon le modèle d'Hertz [84] :

37
1/3*2
3 *2 2
2 6
3
N N
moy
F E F
p
R a 
 
= = 
  (1.30)
max
3
2
moyp p= (1.31)
La pression locale en un point i placé à une distance r à partir de l'axe central du contact, est
déterminée par :
1/22
2 2
3
( ) 1
2
N
i
F r
p r
a a
 
= − 
 
(1.32)
B- Contact plastique
Un contact élastoplastique a lieu lorsque la pression de contact Pmoy dépasse la limite élastique Y
du matériau le plus malléable. Dans ce cas, une partie de l’aire de contact est déformée plastiquement,
alors que le reste de la zone est déformée élastiquement. La force à partir de laquelle le régime
élastoplastique commence est donnée par l’équation suivante [84] :
*2 3
*2
21y
R Y
F
E
= (1.33)
À partir d'une valeur limite de la pression moyenne 𝑝 𝑚𝑜𝑦, la déformation des matériaux en contact
devient irréversible. Il est admis que cette limite est obtenue pour une valeur de 𝑝 𝑚𝑜𝑦 > HB ≈ 3Y, avec
HB la dureté Brinell du matériau (Figure 1.29).
a.
b.
Figure 1.29 : schémas représentant l’évolution de la déformation des matériaux métalliques sous
sollicitation mécanique (a) et les modes de déformation de l'aire de contact sous forte compression
(b) [85] [86]

38
Dans notre cas, ces contacts sont de types linéiques et ponctuels (Figure 1.26). Les contacts
linéiques forment une aire de contact rectangulaire, tandis que les contacts ponctuels forment une aire
de contact elliptique (Figure 1.30) dépendant de l'angle du pas de câblage. Dans le cas du contact
linéique, le diamètre de courbure équivalent 𝐷∗
, l'aire de contact 𝑎 et la pression maximale sont donnés
respectivement par :
𝐷∗
= (
1
𝐷1
+
1
𝐷2
)
−1
(1.34)
𝑎 = √
2𝐹𝐷∗
𝜋𝐸∗ 𝐿
(1.35)
𝑝 𝑚𝑎𝑥 =
2𝐹
𝜋𝑎𝐿
(1.36)
Où 𝐸∗
est le module d'élasticité linéaire réduit, déterminé de la même façon que pour le contact entre
deux sphères. La longueur 𝐿 de l'aire de contact est calculée par l'équation (1.3) afin de tenir compte de
l'effet du pas de câblage. Dans le cas particulier des câbles multifils, la force de contact normal F est
provoquée par le moment de torsion nécessaire au câblage des fils. Plus le pas de câblage est court, plus
la force de contact est grande, et inversement.
a.
b.
Figure 1.30 : Schéma représentant les contacts : de deux cylindres parallèles formant une aire de
contact rectangle (a) et de deux cylindres orientés selon un angle  formant une aire de contact
elliptique (b)

39
Dans le cas du contact elliptique, les paramètres de l'aire de contact sont donnés par :
𝐴 = 𝑚. √
3𝜋𝐸∗ 𝐹
2𝜋(𝐶1 + 𝐶1
′
+ 𝐶2 + 𝐶2
′
)
3
(1.37)
𝐵 =
𝑛
𝑚
𝐴 (1.38)
Avec 𝐶1, 𝐶1
′
, 𝐶2 𝑒𝑡 𝐶2
′
les courbures maximales du conducteur 1 et 2, n et m des coefficients
adimensionnés qui peuvent être déterminés par interpolation en fonction de l'angle ' à partir du Tableau
1.1. L'angle ' correspond dans notre cas à l'angle du pas de câblage (Figure 1.10). D'autres méthodes
de détermination de ces coefficients sont présentées en détails dans [87].
1.6.5 La résistance électrique de contact
Considérons un conducteur de longueur L, de même conception que celui schématisé à la Figure
1.26 b, et une différence de potentiel appliquée entre ces deux surfaces extrêmes. Sous l'action d'un
champ électrique, un courant électrique s'établit dans chaque fils du conducteur. Étant donné que les fils
ne sont pas isolés, des contacts électriques vont s’établir dans les interfaces de contacts communes des
fils. Dans le cas où ils sont rectilignes et parallèles les uns aux autres, les vecteurs de densité de courant
ont une seule composante, qui est normale par rapport à l’axe principal du conducteur. Les vecteurs de
densité de courant étant normaux à la surface de chaque fil, le courant électrique ne devrait pas passer
d’un fil à l’autre. Dans le cas où les fils suivent un parcours hélicoïdal le long du conducteur, les vecteurs
de densité de courant seront parallèles à l’axe de l’hélice de chaque fil. De ce fait, les vecteurs de densité
de courant possèdent trois composantes dans le repère cylindrique (Jt, Jr, Jz) qui sont respectivement, les
densités tangentielle, radiale et normale du courant. Dans cette configuration, le flux de courant peut
passer d’un fil à l’autre à travers les contacts électriques. C'est la valeur de la résistance électrique qui
va permettre le passage du flux de courant. Dans les paragraphes ci-après, certains modèles de calcul de
cette résistance seront présentés.
A- Modèles à un seul passage
Comme nous l’avons évoqué, le passage du courant se fait, non pas par l’aire de contact apparente,
mais par la partie conductrice de l’aire cumulée au niveau des spots de contact. En ces points, les lignes
de courant sont étranglées. D’un point de vue macroscopique, le contact concerne des régions de contact
apparentes (Figure 1.27a), le passage du courant entre les deux conducteurs se fait à travers un ensemble
de petites surfaces. Ainsi, une zone restreinte conduit au resserrement des lignes de courant. La présence
α' (°) m n
90 1 1
60 1,486 0,7182
45 1,9191 0,6086
30 2,7095 0,4917
15 4,8859 0,3415
0 ∞ 0
Tableau 1.1: Valeurs des coefficients n et m en fonction de l’angle [87]

40
éventuelle d’un film à l’interface entre les deux corps (couche d’oxydes, lubrifiant, etc.) constitue une
résistance additionnelle. En l'absence du film, la résistance électrique d'un contact établi entre deux
conducteurs de matériaux M1 et M2, est donnée par le modèle de Holm [88] :
𝑅 𝑐 =
( 𝜌1 − 𝜌2 )
4𝑎
(1.39)
Où 𝜌1 et 𝜌2 sont les résistivités électriques des matériaux en contact et 𝑎 est le rayon de l'aire de contact.
Si les deux matériaux sont identiques, l'équation (1.39) devient :
𝑅 𝑐 =
𝜌
2𝑎
(1.40)
Dans ce modèle, la résistance de contact est dite de constriction. Selon Holm, cette résistance est
essentiellement imputable, dans le cas du contact métal-métal parfait, à l'étranglement des lignes de
courant au niveau du spot de contact, supposée de forme discoïde (Figure 1.31).
Figure 1.31: Illustration de la constriction des lignes de courant au point de contact de
deux électrodes cylindres. [89]
Dans la pratique, les surfaces des solides sont constituées d'un ensemble d'éléments de
contaminations déposés par réaction chimique avec l'atmosphère en formant des strates de natures
physico-chimiques complexes [90], [91]. Le calcul de la résistance du contact dans ce cas, consiste à
additionner la résistance de constriction et la résistance du film :
𝑅 𝑐 =
𝜌
2𝑎
+ 𝑅𝑓 (1.41)
Où 𝑅𝑓est :
𝑅𝑓 = 𝜌 𝑓
𝑒
𝜋𝑎2 (1.42)
Où 𝜌 𝑓 et 𝑒 sont la résistivité électrique et l'épaisseur de la couche de contamination.
Ce modèle suppose que le passage du courant se fait de manière homogène à travers le spot de
contact, ce qui n'est pas exact selon Nakamura [92]. Par ailleurs, il semble être limité dans la prédiction
du comportement de contacts électriques, facilement oxydables et présentant des irrégularités de
surfaces (rugosité). Cela peut être expliqué par le fait que le contact électrique réel ne s'établit que sur
quelques îlots de l'aire apparente de contact (Figure 1.27b). La résistance de contact calculée avec ce
modèle, en ne prenant en compte qu'un seul spot de contact, devrait être relativement en dessous de la

41
résistance de mesure. D'autres modèles d'approche sont alors privilégiés, tels que les modèles à plusieurs
passages.
B- Modèles à plusieurs passages
Du fait de la rugosité des surfaces des solides, le passage du courant électrique à travers l'interface
commune de contact s'effectue sur plusieurs spots de contacts électriques. Dans le cas où ces spots sont
suffisamment petits et éloignés les uns des autres pour ne pas interagir, la résistance de contact globale
R peut être modélisée par un ensemble de résistances de constriction Rp en parallèle :
1
𝑅
= ∑
1
𝑅 𝑝
𝑝
(1.43)
Dans la réalité, les contacts sont répartis de façon aléatoire et l'interaction entre les différents spots
de contact est inévitable. Une première approche de ce type de contact est donnée par Holm [93] [85],
en considérant le cas particulier des spots de contact de rayon a uniformément répartis sur la surface de
contact apparente de rayon a' (Figure 1.32 a) :
𝑅 = 𝜌 (
1
2𝑛𝑎
+
1
2𝑎′
) (1.44)
Selon ce modèle, la résistance de contact correspond à la mise en série d'un ensemble de n
résistances élémentaires (
𝜌
2𝑎
) en parallèles, avec une résistance d'interaction (
𝜌
2𝑎′).
Une deuxième approche est proposée par Greenwood [94] [95] en considérant cette fois ci, les
spots de contact avec des rayons a différents et répartis de façon aléatoire sur l'aire apparente (Figure
1.32 b) :
𝑅 =
𝜌
2 ∑ 𝑎𝑖
+
𝜌 ∑ ∑
𝑎 𝑖 𝑎 𝑗
𝑑 𝑖𝑗
𝑖≠𝑗
𝜋 ∑ 𝑎𝑖
2
(1.45)
Où 𝑑𝑖𝑗 est la distance entre les spots de contact.
a. b.
Figure 1.32: Schémas illustrant les contacts à plusieurs passages uniformément répartis selon le
modèle de Holm (a) et contact à plusieurs passages répartis aléatoirement selon le modèle de
Greenwood (b) [18]

42
Précisons tout de même, que ces trois approches sont applicables dans le cas de contacts non
pollués, soit sans couche intermédiaire entre les solides en contact (oxydes, etc.). Dans le cas contraire,
la résistance de contact est donnée par :
𝑅 =
𝜌
2𝑎′
+
1
𝑛
[
𝜌
2𝑎
+
𝜌 𝑓 𝑒
𝜋𝑎
] (1.46)
Où a' est le rayon de l'aire apparente, a est le rayon des spots de contact régulièrement répartis, n est le
nombre de spots, 𝜌 𝑓 et e sont la résistivité et l'épaisseur du film.
1.6.6 Modèles de conduction électrique
1.6.6.1 Équations de Maxwell
Les bases mathématiques décrivant le champ électromagnétique dans les différents milieux, dans
le cas de basses fréquences, sont régies par les équations quasi-stationnaires de Maxwell [96], [97], [98]
:
𝑟𝑜𝑡 𝑯 = 𝑱 +
𝜕𝑫
𝜕𝑡
(1.47)
𝑟𝑜𝑡 𝑬 = −
𝜕𝑩
𝜕𝑡
(1.48)
𝑑𝑖𝑣 𝑩 = 0 (1.49)
𝑑𝑖𝑣 𝑫 = 𝜌 𝑣 (1.50)
Où H est le champ magnétique (A.m-1
), B l'induction magnétique (T), E le champ électrique (V.m-1
), J
la densité de courant (A.m-2
), ρv la densité volumique de charge (C.m-3
), D l'induction électrique (C.m-
2
) et t le temps (s).
De la loi de conservation de la charge électrique, on a :
𝑞 (𝑡) = ∫ 𝜌 𝑣
𝑣
(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑑𝑣 (1.51)
Alors la variation de la charge en fonction du temps est donnée par l’équation :
𝜕𝑞
𝜕𝑡
= ∫
𝜕𝜌 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝜕𝑡
𝑣
𝑑𝑣 (1.52)
Si nous voulons prendre en compte le courant traversant une surface notée S, délimitant le volume
v, les courants entrants et sortants de ce même volume sont intrinsèquement liés à la variation de la
charge électrique. Alors le courant sortant est donné par :

43
𝐼 = −
𝜕𝑞
𝜕𝑡
= ∮ 𝑱
𝑆(𝑣)
𝑑𝑆 (1.53)
Des équations (1.52) et (1.53), nous avons :
∮ 𝑱 𝑑𝑆
𝑆(𝑣)
= − ∫
𝜕𝜌 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝜕𝑡
𝑣
𝑑𝑣 (1.54)
En utilisant l’opérateur de la divergence on obtient :
𝑑𝑖𝑣 𝑱 = −
𝜕𝜌 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑑𝑡
(1.55)
Pour le champ de conduction en courant continu, les dérivés par rapport au temps sont égales à
0 et les équations de Maxwell vont prendre la forme :
𝑟𝑜𝑡 𝑯 = 𝑱 (1.56)
𝑟𝑜𝑡 𝑬 = 0 (1.57)
𝑑𝑖𝑣 𝑩 = 0 (1.58)
𝑟𝑜𝑡 𝑫 = 𝜌 𝑣
(1.59)
𝑑𝑖𝑣 𝑱 = 0 (1.60)
1.6.6.2 Modèle de conduction en régime stationnaire
La densité de courant électrique J circulant dans un conducteur est liée à l’intensité du champ
électrique E par la loi d'Ohm locale :
𝑱 = 𝛾 𝑬 (1.61)
Où γ est la conductivité électrique du matériau (S.m-1
).
Comme le champ de conduction est un champ non circulaire, il peut être décrit par le potentiel
scalaire V définit comme :
𝑬 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 (1.62)
Le rotationnel du champ électrique est alors égal à :
𝑟𝑜𝑡 𝑬 = 𝑟𝑜𝑡 (−𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉) = −𝑟𝑜𝑡 (1 𝑥
𝜕𝑉
𝑑𝑥
+ 1 𝑦
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 1 𝑧
𝜕𝑉
𝜕𝑧
) =
− (1 𝑥 (
𝜕
𝜕𝑦
(
𝜕𝑉
𝜕𝑧
) −
𝜕
𝜕𝑧
(
𝜕𝑉
𝜕𝑦
)) + 1 𝑦 (
𝜕
𝜕𝑧
(
𝜕𝑉
𝜕𝑥
) −
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕𝑉
𝜕𝑧
)) + 1 𝑧 (
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕𝑉
𝜕𝑦
) −
𝜕
𝜕𝑦
(
𝜕𝑉
𝜕𝑥
)))
= 0
(1.63)
Le potentiel électrique scalaire V dans le champ de conduction électrique E en un point p
quelconque à l’intérieur du volume v’ d'un conducteur, est égal :

44
𝑉𝑝 = − ∫ 𝑬 𝑑𝑙
𝑝
𝑛0
= ∫ 𝑬 𝑑𝐿
𝑝
𝑛0
𝑉𝑛0 (1.64)
Où n0 est le point de référence dans lequel la valeur du potentiel scalaire est égale à 0 et L la longueur
séparant le point p du point référence n0.
Alors, la tension U entre deux points a et b dans le champ de conduction E, est égale :
𝑈 𝑎𝑏 = − ∫ 𝑬 𝑑𝑙
𝑛0
𝑏
− ∫ 𝑬 𝑑𝑙
𝑛0
b
𝑉𝑛0 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 (1.65)
Les équations différentielles du champ de conduction E correspondent aux équations utilisées
dans les circuits électriques. L'équation (1.66) correspond à la deuxième loi de Kirchhoff (loi des
mailles) :
𝑟𝑜𝑡 𝑬 = 0 ⇒ ∫ 𝑬 𝑑𝑙 = 0 ⇒ ∑ 𝑈 = 0 (1.66)
et l’équation (1.67) correspond à la première loi de Kirchhoff (loi des nœuds) :
𝑑𝑖𝑣 𝑱 = 0 ⇒ ∫ 𝑱 𝑑𝑆
𝑆(𝑣)
= 0 ⇒ ∑ 𝐼 = 0 (1.67)
Finalement, l’équation (1.68) est la loi d'Ohm :
𝑱 = 𝛾 𝑬 ⇒ 𝑈 = 𝐼 𝑅 (1.68)
La densité volumique des pertes dissipées pendant le passage du courant est donnée par :
𝑝 = 𝜌 𝑱² ⇒ 𝛾 𝑬² = 𝑱 𝑬 (1.69)
Où ρ est la résistivité électrique du matériau (inverse de la conductivité γ).
La puissance dissipée est égale :
𝑃 = ∫ 𝑱 𝑬 𝑑𝑣
𝑣
(1.70)
1.7 Conclusion du chapitre
Dans cette partie de l'étude, nous avons exposé les principaux paramètres, ainsi que les modèles
de comportement électromécanique, utilisés pour la simulation du câblage et du compactage des
conducteurs électriques. Un modèle de loi de comportement élastoplastique sera utilisé et la résolution
du problème mécanique se fera en utilisant le module Explicite d’Abaqus. Pour les simulations
électriques, le modèle de conduction en régime stationnaire sera utilisé pour analyser la résistance
électrique des conducteurs. L’impact de la résistance du contact électrique sera vérifié afin de
comprendre et de quantifier son influence sur la distribution de courant et sur la résistance électrique
totale des conducteurs. La prise en compte de l’effet de la réduction de section et du phénomène
d’écrouissage sur la conductivité et la résistance totale du câble devra être également étudiée.

Chapitre 2 - Caractérisation expérimentale du contact électrique et de l’influence de l’écrouissage sur la
conductivité électrique
45
2 Chapitre 2 - Caractérisation expérimentale du contact électrique et
de l’influence de l’écrouissage sur la conductivité électrique

46
Ce chapitre est divisé en deux grandes parties. Dans la première, nous nous intéressons à la
caractérisation de la résistance électrique de contact entre deux conducteurs cylindriques, en fonction de
paramètres, tels que la force, l’orientation des conducteurs, la dimension de l’aire de contact et la
présence d’un film d’oxyde à l’interface commune des deux conducteurs. Dans la seconde partie, nous
caractérisons l’influence de la réduction de la section d’un fil de cuivre par un processus de déformation
à froid, afin d’observer les évolutions de la conductivité électrique et l’écrouissage du fil de cuivre.
2.1 Mesure de la résistance électrique de contact
2.1.1 Conception et réalisation du dispositif de mesure de résistance de contact
Un dispositif de mesure de la résistance de contact a été développé et réalisé. Toutes les étapes de
réalisation ainsi que les caractéristiques des équipements utilisés figurent en Annexe 4. Le schéma global
du principe de mesure de la résistance de contact est représenté à la Figure 2.1 et l'aperçu global du
dispositif à la Figure 2.2.
Figure 2.1: Schéma du dispositif de mesure de la résistance de contact

47
Figure 2.2 : Dispositif expérimental pour la mesure de la résistance électrique de contact
2.1.2 Principe de fonctionnement du dispositif de mesure
Le dispositif permet de suivre et d'enregistrer l'évolution de la force de contact au fur et à mesure
de l'écrasement (rapprochement) des conducteurs l'un contre l'autre. Les mesures des résistances
électriques sont effectuées simultanément avec la variation de la force de contact, à l'aide d'un micro-
ohmmètre. Certains métaux, tels que le cuivre et l'aluminium, présentent un fort coefficient de
température de l'ordre de 0.4 (% par °c). Les mesures de résistance sont alors fortement dépendantes de
la température des éprouvettes à mesurer. Afin de pouvoir compenser les mesures par rapport à la
température, une sonde thermométrique reliée au micro-ohmmètre est utilisée. La température est
mesurée au voisinage de l’interface de contact. Les valeurs des résistances sont alors ramenées à la
température ambiante de 20 (°C) en se servant de l'expression suivante :
𝑅(𝑟𝑒𝑓_𝑡𝑒𝑚𝑝) = 𝑅(𝑎𝑚𝑏_𝑡𝑒𝑚𝑝)
[1 + ( 𝑡 𝑟𝑒𝑓)]
[1 + (𝛼′ 𝑡 𝑎𝑚𝑏)]
(2.1)
Avec 𝑅(𝑟𝑒𝑓_𝑡𝑒𝑚𝑝) la résistance électrique compensée en Ω calculée en utilisant la température de
référence, 𝑅(𝑎𝑚𝑏_𝑡𝑒𝑚𝑝) la résistance électrique mesurée en Ω en utilisant la température ambiante, 𝛼′ le
coefficient de température du matériau (0.393% par °C pour le cuivre et 0.405% par °C pour
l'aluminium) [99], 𝑡 𝑟𝑒𝑓 la température de référence de la mesure (fixée à 20°c), 𝑡 𝑎𝑚𝑏 la température
ambiante mesurée au voisinage du contact avec la sonde thermoélectrique.

48
2.1.3 Description du protocole de mesure
2.1.3.1 Préparation des éprouvettes
Les fils de cuivre à partir desquels les éprouvettes ont été réalisées sont produits en utilisant un
processus de déformation à froid appelé "tréfilage". Ce procédé permet la fabrication de fils de diamètres
régulier et contrôlé. À l'issu de cette opération, plusieurs dizaines de mètres de fils ont été prélevés. Des
éprouvettes ont été préparées en adaptant leurs formes aux systèmes de fixation du dispositif de mesure
(Figure 2.3). La forme en V inversé de l’éprouvette 2 permet de traiter le contact entre deux conducteurs
disposés parallèlement l’un par rapport à l’autre.
Figure 2.3 : Photographie de la disposition des éprouvettes et dimensions de ces dernières
2.1.3.2 Technique de mesure de la résistance électrique de contact
La résistance électrique de contact est mesurée selon la méthode « 4 points » dite méthode de
Kelvin schématisée à la Figure 2.4. Cette technique est utilisée pour mesurer de faibles résistances
électriques [100], [101], [102].
Figure 2.4: Schéma du principe de mesure de la méthode de Kelvin (4 points)
Le dispositif de mesure présenté à la Figure 2.2 permet de réaliser des mesures de contact à
l'échelle macroscopique entre deux conducteurs pressés l'un contre l'autre. La résistance électrique de
contact est mesurée en fonction de la charge appliquée et de l'angle de croisement des éprouvettes.
L'établissement du premier contact entre les deux conducteurs est effectué par translation du support

49
haut du banc de compression vers le support. Dès le premier contact entre les deux conducteurs, le
micro-ohmmètre mesure la résistance électrique du contact. Ensuite, d'autres déplacements sont réalisés
de façon à atteindre des forces de contact préalablement choisies. Nous avons fait varier la force de
compression de 5 (N) à 480 (N). La résistance électrique de contact est mesurée pour chacune des forces
appliquées avec un intervalle de temps fixé à 9 (s) entre chaque mesure. Cet intervalle de temps a été
choisi afin de minimiser l'impact de la dissipation thermique due au passage du flux de courant à travers
l'interface de contact. Le temps nécessaire pour chaque mesure varie entre 0.8 et 1.4 (s) pour ce type de
courant [100]. Les tests ont été effectués dans une salle climatisée à une température ambiante de 20
(°C). Le matériau des éprouvettes est en cuivre avec une conductivité électrique moyenne de 5.89E+7
S/m, mesurée sur 200 échantillons. Cette dernière correspond à une conductibilité électrique de 101.54
(%IACS) (International Annealed Copper Standard).
Deux campagnes de mesures ont alors été menées. La première a été consacrée à l'identification
de l'impact de la force, de l’orientation des conducteurs et de l’aire de contact sur la résistance électrique
de contact de fils de cuivre. La seconde a été consacrée à l’analyse de l’impact de la présence d’un film
d’oxyde sur la résistance d’un contact établi entre deux fils d’aluminium.
2.1.4 Analyse des résultats des mesures
Dans cette partie, nous étudions l’influence de la force, de l’angle de croisement des conducteurs
et de la dimension de l’aire de contact sur la résistance électrique de contact des fils de cuivre de 2.06
mm de diamètre. Un nombre important d'éprouvettes a été nécessaire afin que les mesures soient
statistiquement pertinentes pour chaque angle de croisement choisi. 200 éprouvettes ont été préparées
en respectant le protocole expérimental décrit en détail dans l’Annexe B. Pour cette étude, plusieurs
angles d'inclinaisons des fils ont été étudiées (Figure 2.5).
Figure 2.5 : Illustrations des différentes inclinaisons des fils étudiés (diamètre des fils 2.06 mm)
2.1.4.1 Influence de la force sur la résistance électrique de contact
Les 10 premiers tests ont été menés avec une disposition perpendiculaire des conducteurs (angle
de croisement à 90°). A l'issu de ces tests, la variation moyenne de la résistance de contact en fonction
de la force a été mesurée (Figure 2.6). En première approche, nous remarquons que la résistance
électrique de contact diminue avec l'augmentation de la force appliquée. Ce comportement est conforme
aux travaux de la littérature traitant de la même problématique [94], [103], [104], [40]. En effet, plus la
force de contact augmente plus l'aire de contact grandit et, par conséquent, la résistance électrique de

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