1. Enigme n°6 ( Loïc et le code du coffre-fort ) (Réponse à rendre au plus tard le lundi 21/01 à 9h)
Loïc est tellement content de son cadeau de Noël qu'il a décidé de la mettre à l'abri dans son
coffre-fort. Il n'a donné la combinaison à personne mais a laissé la consigne suivante pour
s'en rappeler :" La combinaison est le plus grand nombre entier qui s'écrit avec des chiffres
tous différents et qui est divisible par chacun de ses chiffres".
Saurez-vous trouver la combinaison du coffre-fort de Loïc ?
Correction :
Le 0 n’apparaît pas dans la combinaison car aucun enier n’est divisible par 0.
Si le 5 apparaît dans la combinaison, alors la combinaison finit par 5 ou 0, donc avec la rq précédente elle finit par 5.
Si le 5 apparaît, alors la combinaison est impaire donc ses chiffres doivent donc être tous impairs donc parmi
1,3,5,7,9. Au mieux, on obtient une combinaison à quatre chiffres : 9315.
Si le 5 n’apparaît pas, il nous reste 8 chiffres à disposition : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.
La somme de ces huit chiffres est 40 qui n’est ni multiple de 9, ni multiple de 3.
Il faut donc exclure encore un chiffre au moins de sorte que la somme des chiffres soient divisibles par 9. On ôte ainsi le
4, et la somme de 1, 2, 3, 6, 7, 8 et 9 vaut 36. qui est bien divisible par 9, que l’on pourra donc écrire en premier chiffre.
On a donc au mieux une combinaison de la forme : 9 _ _ _ _ _ _ à compléter avec 1, 2, 3, 6, 7 et 8.
La divisibilité par 1, par 3 et par 9 est acquise.
La divisibilité par 8 impose de finir avec un chiffre pair. A cette condition, la divisibilité par 2 et 6 sera acquise.
Reste donc à mettre en œuvre la divisibilité par 7 et 8.
On cherche donc une combinaison divisible par 7, 8 et 9, c'est-à-dire divisible par 7 ×8 ×9 = 504.
Le plus grand nombre entier qui répond à toutes les conditions (et que l’on trouve en testant les multiples de 504) est
9867312…
La combinaison du coffre fort de Loïc est donc 9867312.