1. Enoncé de l'énigme 3
( Le diagramme fou )
Chacune des dix cases du diagramme doit contenir un nombre de
trois chiffres tous différents les uns des autres et dont la somme est
égale à 15. Aucun des dix nombres ne peut être obtenu à partir d’un
autre par permutation des trois chiffres. Chaque nombre doit
contenir le chiffre écrit sur l’étiquette en bas de la case où il se
trouve. Les nombres se trouvant dans deux cases reliées par une
flèche doivent contenir un chiffre commun, et un seul, au même
endroit (le chiffre des centaines, des dizaines ou des unités) ; la
flèche doit être orientée du plus petit vers le plus grand des deux
nombres. Quelle est la somme des dix nombres ?
Correction de l'énigme 3
Dans chaque case, la somme des chiffres (tous différents) vaut 15.
On liste toutes les sommes possibles :
2+4+9
0+6+9
1+5+9
3+4+8
2+5+8
4+5+6
0+7+8
1+6+8
3+5+7
2+6+7
On dénombre exactement dix sommes. Donc chaque somme apparaîtra dans exactement l'une des dix cases.
La case souligné par un 0 est donc rempli avec 0,7,8 ou avec 0,6,9.

Si c'est 0,6,9, la case soulignée par un 1, qui doit avoir un chiffre en commun, contient donc 1,6,8 ou 1,5,9.
Si la case du 1 contenait 1,5,9, alors nécessairement la case du 0 contiendrait 906 et celle du 1 contiendrait 915
ou 951. Ce qui empêcherait de pouvoir remplir la case du 3 avec un nombre supérieur.
La case du 1 contient donc la combinaison 1,6,8, celle du 0 contient alors le nombre 609 et le nombre contenu
dans la case du 1 commence par un 6. Pour avoir un chiffre en commun avec la case du 1, la case du 3 contient
la combinaison 3,4,8. Mais le nombre contenu dans la case du 1 débute par 6 donc le 8 ne peut être le chiffre
des centaines du nombre contenu dans la case du 3. Il est alors impossible d'y écrire un nombre supérieur.

Si c'est 0,7,8, la case soulignée par un 1, qui doit avoir un chiffre en commun, contient donc 1,6,8.
Le nombre dans la case du 1 est supérieur à celui dans la case du 0. Et le 8 garde sa position dans les deux
nombres. Cela oblige à écrire 807 dans la case du 0 et 816 ou 861 dans la case du 1.
Alors la case du 2 a un chiffre en commun avec 807…Il faut donc choisir 2,5,8 ou 2,6,7.
Avec la combinaison 2,5,8, le 8 gardant sa position, le nombre de la case du 2 serait supérieur à celui de la case
du 0. C'est impossible compte tenu de l'orientation de la flèche.
Donc la case du 2 contient la combinaison 2,6,7.
Ensuite, la case du 3 contient la combinaison 3,4,8 puis la case du 7 contient 3,5,7.
Ensuite, la case du 8 contient 8,5,2 (dernière combinaison avec un 8).
La case du 5 contient un nombre supérieur à celle du 1 (qui contient 8169 ou861). La seule combinaison
possible est donc 9,5,1.
La case du 6, connectée avec celle du 8, contient alors 4,5,6.
La case du 4 contient enfin la combinaison 2,4,9 et la case du 9 contient la combinaison 0,6,9.

2. Il reste à organiser les combinaisons pour respecter l'ordre des chiffres.
Il n'y a donc qu'une seule solution à ce Pb de diagramme et la somme des dix nombres attendue est :
924 + 654 + 852 + 627 + 807 + 816 + 834 + 609 + 915 + 735 =
7773