1. Enigme n°10 ( Le jeu des grilles ) (Réponse à rendre au plus tard le lundi 18/02 à 9h)
Loïc s’amuse avec des grilles 3×3. Il les remplit avec des 0 et des 1 et s’est fixé comme
règle de marquer un point pour chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale dont la
somme est un nombre impair.
Par exemple, la grille de gauche donne un score de 0 point, tandis que celle de droite donne un score 4 points.
1 1 0 1 1 1
1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 0
Saurez-vous déterminer le nombre de grilles qui donnent un score pair ?
Correction de l’énigme 10
Chaque grille possède huit alignements : trois lignes, trois colonnes et deux diagonales.
A chaque grille G correspond une autre grille G’ où l’on change le nombre présent dans la case
en haut à gauche.
En changeant ce nombre uniquement, trois alignements (ligne du haut, colonne de gauche et
diagonale) changent de parité (puisque la somme est diminuée ou augmentée de 1). Donc la
grille G et la grille G’ ont des scores qui n’ont pas la même parité.
Avec cette manipulation, on constate donc que :
- il existe autant de grilles de score pair commençant par 0 que de grilles de score impair
commençant par 1,
- il existe autant de grilles de score pair commençant par 1 que de grilles de score impair
commençant par 0.
Finalement, il y a autant de grilles de score pair que de grilles de score impair.
Comme chacune case de la grille peut être complétée avec un 0 ou un 1, le nombre de grilles est
29  512 . Donc le nombre de grilles de score pair (comme de grilles de score impair) est
exactement la moitié du nombre de grilles, c'est-à-dire 256.