Micréconomie

1. Chapitre 3 - Estimations de fonctions de demande
L3 économétrie - Modélisation et inférence statistique
Florence Goffette-Nagot
GATE
CNRS - Université Lyon 2 - ENS-LSH

2. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
Intérêt des fonctions de demande
I Variables économiques affectant la demande des
consommateurs
I Prix du produit, des biens substituables (effet de substitution) et
des autres biens (effet revenu)
I Revenu : instantané ou permanent (biens durables)
I Caractéristiques du produit
I Implications de la connaissance des paramètres
I Pour les entreprises :
I Etudes de marché : demande en fonction du prix ou des
caractéristiques des produits
I Evolution temporelle d’un prix sur un marché en fonction de
l’offre et de la demande
I Pour l’évaluation ex ante de politiques publiques.
I Impact du taux de TVA sur la consommation
I Impact d’une taxe sur les carburants sur les émissions de CO2 des
ménages
I Impact sur le bien-être des ménages de la dérégulation d’un
marché

3. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
Objectifs et plan du chapitre
I Objectifs : Examiner les différentes façons d’estimer les paramètres
des fonctions de demande – Interpréter les paramètres en termes de
conséquences pour les types de biens (normaux, supérieurs, ...)
I Plan du chapitre
I Section 1 - Théorie du consommateur : rappels
I 1.1. Fonction d’utilité et équilibre du consommateur
I 1.2. Fonctions de demande et courbes d’Engel
I 1.3. Elasticités
I 1.4. Propriétés
I Section 2 - Estimations
I 2.1. Equations simples de demande
I 2.2. Systèmes d’équations de demande
I 2.3. Identification. Agrégation
I 2.4. Aspects dynamiques
I Section 3 - Exemples

4. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
1.1. Programme du consommateur (1/3)
I Fonctions d’utilité
U = f (x1, x2, ..., xn)
avec x1, x2, ..., xn les biens consommés
Différentes combinaisons de biens possibles ⇒ niveau d’utilité.
L’utilité est ordinale et non cardinale.
I Courbes d’indifférence : Ensembles des combinaisons donnant
le même niveau d’utilité
U = U(x1, x2, ..., xn) ≡ cste (1)
Différenciation totale donne la pente
∀j, k ∈ [1, n]2 dxj
dxk
= −
∂U/∂xk
∂U/∂xj
= −
Umk
Umj
= −TMSjk (2)
NB : La pente varie avec le niveau des biens consommés.

5. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
1.1. Programme du consommateur (2/3)
I Droites budgétaires : Ensembles des combinaisons donnant la
même dépense totale
D =
n
X
j=1
pjxj ≡ cste (3)
Différenciation totale donne la pente
dxj
dxk
= −
pj
pk
(4)
Le niveau de la droite est donné par la dépense totale.

6. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
1.1. Programme du consommateur (3/3)
I Equilibre du consommateur donné par la résolution du
programme.
I Choix d’un panier de consommation optimal par maximisation de
l’utilité sous contrainte budgétaire
max
y,x1,...,xn
U = U(x1, x2, ..., xn)
s.c. y =
n
X
i=1
pi xi
I Conditions du 1◦ ordre
⇒ Taux marginal de susbstitution égal au ratio du prix des biens
∀j, k ∈ [1, n]2
TMSjk ≡
∂U/∂xj
∂U/∂xk
=
pj
pk

7. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
1.1. Programme du consommateur - Représentation
graphique

8. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
1.2. Fonctions de demande et courbes d’Engel (1/2)
I Chaque vecteur de prix et revenu donne un vecteur de quantités
consommées optimales.
Ceci permet de définir la fonction de demande de chaque bien.
∀j ∈ [1, n], xj = xj(p1, p2, ..., pn, y)
I Courbe de demande en équilibre partiel où seul pj varie :
∀j ∈ [1, n], xj = Dj(pj) = (p1, ..., pj, ..., pn, y)

9. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
1.2. Fonctions de demande et courbes d’Engel (2/2)
I Dépense en bien j en fonction du revenu : courbe d’Engel.
∀j ∈ [1, n], pjxj = Ej(y) = pjxj(p1, p2, ..., pn, y)
I Représentation graphique :
I Loi d’Engel : le ratio pjxj/y est décroissant en y pour la
consommation alimentaire

10. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
1.3. Elasticités
I Elasticité-revenu de la demande
ηj =
∂xj(p1, p2, ..., pn, y)
∂y
y
xj
I Elasticité-prix croisée de la demande
ji =
∂xj(p1, p2, ..., pn, y)
∂pi
pi
xj
en général ji 6= ij . Elasticité-prix propre si i = j.
I Elasticités peuvent être dérivées des fonctions de demande, des
courbes de demande ou des courbes d’Engel
I Demande élastique ssi j 1 (inélastique ssi j 1). Idem pour
ηj.
I Dans le cas général, les élasticités varient avec les prix et le
revenu.

11. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
1.4. Propriétés (1/2)
1. On peut raisonner en parts budgétaires
sj ≡ pi xj/y ⇒
Pn
j=1 sj = 1
2. Homogénéité de la fonction de demande ?
Condition d’homogénéité : pour tout bien i,
Pn
j=1 ij + ηi = 0
3. Conditions d’agrégation d’Engel (condition “d’additivité”)
n
X
j=1
pj
∂xj
∂y
= 1 ⇔
n
X
j=1
sjηj = 1
4. Conditions d’agrégation de Cournot
∀j,
n
X
i=1
pi
∂xi
∂pj
+ xj = 0 ⇔
n
X
i=1
si ij + sj = 0

12. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
1.2.2. Propriétés (2/2)
I Bien j normal ⇒ j ≤ 0 (courbe de demande décroissante)
I Bien j supérieur ⇒ ηj ≥ 0 (courbe d’Engel croissante)
I Différents types de biens
Elasticité-prix Elasticité-revenu
∂xi /∂y 0 ∂xi /∂y 0
Bien supérieur Bien inférieur
Bien normal Ex : biens Ex : produits alimentaires
∂xi /∂pi 0 culturels de mauvaise qualité
Bien de Giffen — Ex : pain, produits
∂xi /∂pi 0 alimentaires de base

13. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
Différents types d’estimation
I Equation simple
I Fonction de demande xj = xj (p1, ..., pj , ..., pn, y, u)
avec u le terme d’erreur
I En équilibre partiel
I courbe de demande xj = Dj (pj , u) = xj (p1, ..., pj , ..., pn, y, u)
I courbe d’Engel Ej = Ej (pj , u) = Ej (p1, ..., pj , ..., pn, y, u)
I Seules les conditions d’homogénéité et de négativité s’appliquent :
n
X
i=1
pi
∂xj
∂pi
+
∂xj
∂y
y = 0
∀j,
∂xj
∂pj
+
∂xj
∂y
xj ≤ 0 ⇔ j + sj ηj ≤ 0
I Système d’équations
∀j, xj = xj(p1, ..., pj, ..., pn, y, uj)
y =
n
X
i=1
pi xi

14. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
2.2. Fonctions d’utilité classiques
I 2.2.1. Fonction d’utilité Cobb-Douglas
I Formulation U = πn
i=1qαi
i
I Equation de demande ∀i, qi = αi
y
pi
I Propriétés ηi = 1, i = −1 , ij = 0
I 2.2.2. Fonction d’utilité CES
I Formulation U =
Pn
i=1 βi q−ρ
i
(−1/ρ)
avec βi 0, ρ 1
et ρ = 1−σ
σ
I Equation de demande ∀i, qi =
βσ
i p1−σ
i
πn
j=1
βσ
j p1−σ
j
y
pi
I Propriétés ηi = 1, i = −1 + (1 − σ)sj , ij = −(1 − σ)sj

15. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
2.3.1. Fonctions de demande linéaires
I Spécification
xj = α +
n
X
i=1
βi pi + γy + u
I Exemple : Fonction de demande de biens agricoles en fonction du
prix relatif et du revenu. Calcul de l’élasticité-prix ?

16. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
2.3.2. Fonctions linéaire-log
I Spécification
xj = α +
n
X
i=1
βi ln pi + γ ln y + u
I Exemple (Prais, Houthakker, 1955) : Estimation de courbes
d’Engel sur des données de ménages, 1938. Calcul des
élasticités-revenu ?

17. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
2.3.3. Fonctions de demande double-log (1/3)
I Spécification
ln xj = α +
n
X
i=1
βi ln pi + γ ln y + u
Quelle contrainte impose-t-on sur les élasticités ?
I Exemple (Houthakker, 1955) : Estimation de courbes d’Engel sur
la consommation de grandes catégories de biens en fonction du
revenu
ln E = a + 0, 69 ln y + 0, 22 ln N
avec N le nb de personnes dans le ménage.

18. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
2.3.3. Fonctions de demande double-log (2/3)
I Exemple (Houthakker, 1965) : Estimation de courbes de
demande pour une série de biens avec comparaisons nationales
ln xj = αj + j ln pj + ηj ln y + δjt + uj

19. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
2.3.3. Fonctions de demande double-log (3/3)
I Exemple (Stone, 1954) : Estimation de fonctions de demande
ln xj = αj + j ln pj +
n
X
i=1
ji ln pi + ηj ln y + δjt + uj
Prise en compte des élasticités-prix croisées
Bien Elasticité- Elasticité- Elasticité- Tendance
-prix propre -prix croisée -revenu temporelle
Lait -0,49 0,73 0,50 0, 004
frais (viande de boeuf)
-0,23
(crème)
Lait -1,23 2,25 -0,53 -0,047
condensé (lait frais)
Commentaires des élasticités-prix croisées ?

20. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
2.3.4. Estimation d’une fonction de demande inverse
I Spécification
ln pj = αj + j ln xj + ηj ln y + φjzj + uj
aec zj variables de contrôle (⇒ déplacement de la courbe de
demande)
Quel intérêt de cette spécification en termes de corrélation des
explicatives avec le terme d’erreur ?
I Exemple : demande de denrées agricoles

21. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
2.2. Présentation des systèmes d’équations de demande
I Estimation simultanée de n fonctions de demande et contrainte
budgétaire
xj = xj(p1, ..., pj, ..., pn, y, uj), j = 1, ..., n
y =
n
X
i=1
pi xi
Permet la prise en compte des interdépendances entre les biens
I Application fréquente : Estimation d’un système linéaire de
demande
xj = αj +
n
X
i=1
βji pi + γjy + uj, j = 1, ..., n

22. Introduction Section 1 - Théorie du consommateur : rappels Section 2 - Estimations
2.5. Quelques problèmes particuliers
I Identification de l’effet du prix dans une équation de demande
I Les problèmes posés par l’agrégation des demandes individuelles
I Déplacements de la fonction de demande au cours du temps