CEA, LETI, MINATEC, F38054 Grenoble, France
Diplôme de Recherche Technologique
par
ƒylv—in €ierre
SUJET X
Amélioration et ...
Remerciements
gette étudeD d—ns le ™—dre d9un diplôme de re™her™he te™hnologiqueD — été
ré—lisée d—ns le v—˜or—toire de g—...
Table des matières
1 Introduction 3
IFI gontexte F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Q
IFP y˜je™ti...
2 TABLE DES MATIÈRES
RFPFQ gon™lusion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QU
RFQ wéthode —lgé˜rique F F F F ...
Chapitre 1
Introduction
1.1 Contexte
ges tr—v—ux ™on™ernent l— re™onstru™tion tomogr—phique et plus p—rti™uE
lièrement les...
4 Introduction
Figure IFI ! €rin™ipe de re™onstru™tion tomogr—phiqueF
v9—™quisition des données est l— première ét—pe en t...
1.2 Objectif et Moyen 5
1.2 Objectif et Moyen
v9o˜je™tif m—jeur de ™e h‚„ est d9exploiter —u mieux les données en
tomogr—p...
6 Introduction
1.3 Structure du document
ge m—nus™rit ™omporte qu—tre p—rtiesF h—ns l— première p—rtieD nous préE
senteron...
Chapitre 2
Tomographie
2.1 Tomographie à rayons X
ve r—yonnement ˆ est un r—yonnement éle™trom—gnétique ™omme les
ondes r—...
8 Tomographie
est d—ns le dom—ine des r—yons ˆF €—r —illeursD les —tomes de l— ™i˜le sont
ex™ités et émettent à leur tour ...
2.2 Tomographie électronique 9
Figure PFI ! €hotogr—phie du syn™hrotron de l9iƒ‚pF
2.2 Tomographie électronique
v— mi™ros™...
10 Tomographie
fr—™tion n en sortie d9o˜je™tifD et de l9—ngle d9ouverture du f—is™e—u d9éle™tron
αF
R =
λ
2n sin α
@PFIA
v...
2.2 Tomographie électronique 11
ge f—is™e—u d9éle™trons est utilisé de m—nière simil—ire —u f—is™e—u ˆ pour
générer des pr...
12 Tomographie
é™h—ntillons doivent être d—ns l— plup—rt des ™—s prép—rés minutieusementF
gette ph—se est très import—nteD...
2.3 Sonde atomique tomographique 13
2.3 Sonde atomique tomographique
v— tomogr—phie p—r r—yons ˆ permet d9—tteindre des ré...
14 Tomographie
tomogr—phique o˜tenue sur une multi™ou™he m—gnétostri™tive ™omposée d9un
empilement d9une ™ou™he m—gnétostr...
Chapitre 3
Opérateurs mathématiques en
tomographie électronique
3.1 Conventions
3.1.1 Fantôme de Shepp-Logan
ve f—ntôme de...
16 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique
Figure QFI ! p—ntôme de ƒheppEvog—n en deux dimensions
3.1.2 Les a...
3.2 Transformée de Fourier 17
3.2 Transformée de Fourier
v— tr—nsformée de pourier F est une opér—tion qui tr—nsforme une ...
18 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique
3.2.2 Transformée de Fourier inverse
ƒi l— tr—nsformée de pourier ...
3.3 Transformée de Radon 19
3.3 Transformée de Radon
in IWIUD tF‚—don introduit pour l— première fois l— tr—nsformée de ‚—...
20 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique
Rf(l, ϕ) =
+∞
−∞
+∞
−∞
f(x, y)δ(x cos ϕ + y sin ϕ − l)dxdy @QFIHA
...
3.4 Théorème de la coupe centrale (coupe - projection) 21
3.4 Théorème de la coupe centrale (coupe -
projection)
ge théorè...
22 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique
ge théorème nous —pporte plusieurs éléments fond—ment—ux en re™ons...
3.5 Opérateur de rétroprojection 23
Figure QFT ! ‚étroproje™tion du f—ntôme de ƒheppEvog—n @SIPxSIP pixelsA
à p—rtir de IV...
24 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique
Figure QFU ! ixemple de proje™tion et rétroproje™tionF
R#[p](x, y)...
3.6 Transformée de Radon inverse 25
—ve™ X
˜pϕ = F-1(F(pϕ) · |W|)) @QFISA
gette formul—tion exprime f ™omme l— rétroproje™...
26 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique
3.7 Spécicité en tomographique électronique
3.7.1 Intérêt de la to...
3.7 Spécicité en tomographique électronique 27
3.7.2 L'angle limité
h—ns les p—rties pré™édentesD nous —vons vu que le thé...
28 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique
Figure QFW ! ‚étroproje™tion du f—ntôme de ƒheppEvog—n @SIPxSIP pi...
Chapitre 4
Reconstruction en tomographie à
angle limité
4.1 Problématique
gomme il — été présenté plus h—ut l— re™onstru™t...
30 Reconstruction en tomographie à angle limité
Figure RFI ! ixemple de deux im—ges di'érentes donn—nt des proje™tions
de ...
4.1 Problématique 31
Figure RFP ! @—A sm—ge origin—leD @˜A h阗ttement —ngul—ire des Q re™onsE
tru™tionsD @™A ‚e™onstru™ti...
32 Reconstruction en tomographie à angle limité
gomme il — été énon™é d—ns les o˜je™tifsD —(n de ˜ien ™omprendre tous
les ...
4.2 Méthodes analytiques 33
4.2 Méthodes analytiques
ges méthodes sont très ˜ien dét—illées d—ns les référen™es ‘I“@théori...
34 Reconstruction en tomographie à angle limité
eu nive—u de l9—lgorithmeD il est ég—lement très simple en w—tl—˜ X
Figure...
4.2 Méthodes analytiques 35
Figure RFS ! ixemple de ‚étroproje™tion (ltrée —ve™ son histogr—mme des
intensitésF
eve™ ™ette...
36 Reconstruction en tomographie à angle limité
Figure RFT ! ixemple de (ltre d—ns l9esp—™e de pourierD @—xe gr—dué en
fré...
4.2 Méthodes analytiques 37
4.2.3 Conclusion
€our ™on™lure sur ™es deux te™hniques de re™onstru™tionD on dir— juste
qu9ell...
38 Reconstruction en tomographie à angle limité
4.3 Méthode algébrique
ges méthodes sont très ˜ien dét—illées d—ns les réf...
4.3 Méthode algébrique 39
sl existe plusieurs f—çons pour mesurer ™ette di'éren™e et l9utiliser —(n
d9—méliorer l— premièr...
40 Reconstruction en tomographie à angle limité
Figure RFW ! ƒ™hém— dé™riv—nt le pro™essus d9une re™onstru™tion itér—tiveD...
4.3 Méthode algébrique 41
Figure RFIH ! @—A e‚„ —dditif à plusieurs itér—tionsD @˜A ristogr—mme des
intensitésF
pression m...
42 Reconstruction en tomographie à angle limité
ves im—ges o˜tenues p—r re™onstru™tion e‚„ présentent moins d9—rtef—™ts
qu...
4.3 Méthode algébrique 43
Figure RFII ! elgorithme e‚„ —dditifF
get —lgorithme 4e‚„ 4 est très pro™he de l9—lgorithme dé™r...
44 Reconstruction en tomographie à angle limité
f
(k)
i = f
(k−1)
i + λ · (
j pj
ij Rij
−
j Rj · f(f−1)
j ||Rj||2
) @RFSA
...
4.3 Méthode algébrique 45
Figure RFIQ ! elgorithme ƒs‚„ multipli™—tifF
get —lgorithmeD un peu plus ™omplexe qu9une rétropr...
46 Reconstruction en tomographie à angle limité
gomme on vient de le voirD ™es —ppro™hes sem˜lent st—˜les m—is il ne
f—ut ...
4.4 Tomographie en double-axe 47
h—ns ™ette p—rtieD nous —llons étudier l— méthode dite 4dou˜leE—xes4
@4du—lE—xis4 en —ngl...
48 Reconstruction en tomographie à angle limité
ges jeux de données peuvent ensuite être —sso™iésD pour venir ™ompléter
le...
4.4 Tomographie en double-axe 49
sl existe une se™onde méthodeD liée —ux —lgorithmes itér—tifsD qui v— utiliE
ser un jeu d...
50 Reconstruction en tomographie à angle limité
4.4.3 Reconstruction en double-axe 3D
e(n de tester l9—lgorithme dou˜leE—x...
4.4 Tomographie en double-axe 51
€our ˜ien ™omprendre l9imp—™t des données —ngul—ires m—nqu—ntes en
fon™tion de l9—xe de t...
52 Reconstruction en tomographie à angle limité
Figure RFPH ! ‚e™onstru™tionD d9un jeu de donnée —y—nt l9—xe X ™omme —xe
d...
4.4 Tomographie en double-axe 53
Figure RFPI ! ƒomme selon l9équ—tion @IA de deux re™onstru™tions —ve™ des
—xe de tilt sel...
54 Reconstruction en tomographie à angle limité
Figure RFPP ! ‚e™onstru™tion de deux jeux de données —ve™ l9—lgorithme en
...
4.4 Tomographie en double-axe 55
Figure RFPQ ! v— ligne du h—ut ™orrespond —u ™oupe ™entr—le selon l9—xe
Z = 128F v— ligne...
56 Reconstruction en tomographie à angle limité
4.4.4 Conclusion
ve p—r—gr—phe pré™édent nous montre ™l—irement l9intérêt ...
4.5 Tomographie Locale 57
Figure RFPR ! @e g—u™heA ƒinogr—mme ™ompletD @eu milieuA ƒinogr—mme à
—ngle limitéD @e droiteAD ...
58 Reconstruction en tomographie à angle limité
Figure RFPS ! ‚e™onstru™tion d9un sinogr—mme à —ngle limité et à proje™tio...
4.5 Tomographie Locale 59
v— tomogr—phie lo™—le — trouvé des —ppli™—tions d—ns les dom—ines de
l9im—gerie médi™—le pour so...
60 Reconstruction en tomographie à angle limité
Λm
f(x) =
1
4π2
ϕ
Λm+1
Rϕf(x)dϕ @RFUA
=
1
4π2
R#
Λm+1
Rf(x) @RFVA
h—ns le ...
4.5 Tomographie Locale 61
Figure RFPT ! sllustr—tion sur des données ™omplètes de l9—lgorithme de p—E
rid—niF@in h—ut à g—...
62 Reconstruction en tomographie à angle limité
Figure RFPU ! @e g—u™heA ƒinogr—mme (ltréD Λ2
RfF @e droiteA ‚e™onstru™E
t...
4.5 Tomographie Locale 63
Figure RFPV ! @in h—ut à g—u™heA Λ−1
fF @in h—ut à droiteA ΛfF @in ˜—s à
g—u™heA ‚égion d9intérê...
64 Reconstruction en tomographie à angle limité
gr—phie lo™—le on possède un jeu de donnée lo™—l de l— région d9intérêt en...
4.5 Tomographie Locale 65
h—ns ™et exempleD les deux jeux de données sont mis en ™orrespond—n™eF
yn re™onstruit le sinogr—...
66 Reconstruction en tomographie à angle limité
moins ˜onnes qu—lités que ™elles o˜tenues —ve™ les —lgorithmes itér—tifsD ...
Chapitre 5
Application pratique
5.1 Alignement des données
h—ns le ™h—pitre pré™édent nous —vons f—it plusieurs types de r...
68 Application pratique
sl existe deux prin™ip—les méthodes pour f—ire ™et —lignementF
v— première ™onsiste à utiliser des...
5.1 Alignement des données 69
5.1.1 Eet du désalignement
v— position de l9—xe de rot—tion est fond—ment—le pour pouvoir re...
70 Application pratique
Figure SFP ! i'et du dés—lignement d sur l— rétroproje™tion (ltréeF @d est
en pixelsAF
ve se™ond d...
5.1 Alignement des données 71
Figure SFQ ! @e g—u™heA sm—ge origin—leD @eu milieuA ƒinogr—mme origin—l
pour ϕ —ll—nt de −7...
72 Application pratique
Figure SFR ! @in h—utA ‚e™onstru™tion —ve™ une rétroproje™tion (ltrée
@zoomé sur l— région d9intér...
5.1 Alignement des données 73
(—˜leD ™9est à dire un pi™ intense et étroitF xous —ppliquons ensuite l— ™orréE
l—tion ™rois...
74 Application pratique
5.2 Tomographie sur les GAA
5.2.1 Introduction sur les GAA
eu gieEvi„sD et plus pré™isément d—ns n...
5.2 Tomographie sur les GAA 75
Figure SFU ! ƒ™hém— d9un tr—nsistor qee vu en ™oupeF v— se™tion ™—rrée
est un n—no(lF
v— st...
76 Application pratique
Figure SFV ! €ointe vu —ve™ un „iw @„r—nsmission ile™tron wi™ros™opeAF
Figure SFW ! ƒ™hém— de poin...
5.2 Tomographie sur les GAA 77
Ét—nt donné que nous tr—v—illons toujours —ve™ des données —ngul—ires
m—nqu—ntesD nous verr...
78 Application pratique
devons ™ommen™er p—r dé™hi'rer l9enEtête du (™hier et en extr—ire toutes les
inform—tions né™ess—i...
5.2 Tomographie sur les GAA 79
Figure SFII ! goupeD re™onstruite —ve™ l9—lgorithme e‚„D vue d—ns le pl—n
@ZXA
u—nt à l— s...
80 Application pratique
Figure SFIP ! goupeD re™onstruite —ve™ l9—lgorithme e‚„D vue d—ns le pl—n
@XY A
gette re™onstru™ti...
5.2 Tomographie sur les GAA 81
Figure SFIQ ! goupeD re™onstruite —ve™ une rétroproje™tion (ltréeD vue d—ns
le pl—n @XY A
g...
82 Application pratique
Rapport_DRT_PIERRE_Sylvain
Rapport_DRT_PIERRE_Sylvain
Rapport_DRT_PIERRE_Sylvain
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Rapport_DRT_PIERRE_Sylvain

  1. 1. CEA, LETI, MINATEC, F38054 Grenoble, France Diplôme de Recherche Technologique par ƒylv—in €ierre SUJET X Amélioration et implémentation d'algorithmes de reconstruction en nanotomographie électronique ƒoutenue le PP o™to˜re PHIH dev—nt l— ™ommission d9ex—men X te—nE‰ves fu0ère rapporteur pr—nçoise €eyrin rapporteur te—nE€ierre fru—ndet examinateur €ierre fleuet encadrant professionel v—urent hes˜—t encadrant universitaire
  2. 2. Remerciements gette étudeD d—ns le ™—dre d9un diplôme de re™her™he te™hnologiqueD — été ré—lisée d—ns le v—˜or—toire de g—r—™téris—tion €hysique y'Eline du gieE vétiF @gommiss—ri—t à l9inergie etomique G v—˜or—toire d9Éle™tronique et des „e™hnologies de l9snform—tion G hép—rtement €l—teforme „e™hnologie ƒiE li™ium G ƒervi™e g—r—téris—tion €hysique snEline et y'Eline G v—˜or—toire de g—r—™téris—tion €hysique y'ElineA te tiens tout d9—˜ord à remer™ier te—nEgl—ude ‚oyer @™hef de servi™eA et prédéri™ v—ugier @™hef de l—˜or—toireA qui m9ont permis d9intégrer leur l—˜or—toire pour ™ette —nnée d9étude pren—nte et p—ssionn—nteF wes remer™iements se tournent ensuite tout n—turellement vers €ierre fleuetD mon tuteur industrielD qui — su superviser ™es tr—v—ux —ve™ ˜e—u™oup d9optimisme et de rigueur m—is ég—lement pour ses ™ritiques ™onstru™tives qu—nt à l— réd—™tion de ™e r—pportF te tiens p—rti™ulièrementD à remer™ierD v—urent hes˜—tD mon en™—dr—nt universit—ireD pour son —ide pré™ieuse en re™onstru™tion tomogr—phiqueF t9—dresse mes remer™iements à edeline qrenier et €eter ghernsD pour leurs expli™—tions ™on™ern—nt l— tomogr—phie éle™tronique et le p—rt—ge de leurs donnéesF te tiens ég—lement à remer™ier p—r —v—n™e les r—pporteurs pr—nçoise €eyE rin et te—nE‰ves fu0èreD —insi que te—nE€ierre fru—ndetD pour —voir —™™epté de ™ons—™rer quelques heures à l— ™ritique de ™e mémoireF te voudr—is remer™ier xévine ‚o™h—sD ghristophe vi™itr— et ylivier hesE pl—t —ve™ qui j9—i p—rt—gé mon ˜ure—u pend—nt IV moisF w—is —ussi pour —voir supporter toutes mes questions ™on™ern—nt l— physique en génér—lF in(n un q‚exh mer™i à mes 4™ollègues de ™ouloir4 pour leurs —ides pon™tuelles sur ™es tr—v—ux m—is surtout pour l— ˜onne humeur et les ˜ons moments p—ssés i™i ou d—ns les ˜—rsF te pense not—mment à w—ylisD qeorgD w—thieuD gl—ireD gyrilD wi™k—ëlD eudeD uh—ledD €—ulineD w—rie et tous ™eux que j9—ur—is pu ou˜lierF i
  3. 3. Table des matières 1 Introduction 3 IFI gontexte F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Q IFP y˜je™tif et woyen F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F S IFQ ƒtru™ture du do™ument F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F T 2 Tomographie 7 PFI „omogr—phie à r—yons ˆ F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F U PFP „omogr—phie éle™tronique F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F W PFQ ƒonde —tomique tomogr—phique F F F F F F F F F F F F F F F F F IQ 3 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique 15 QFI gonventions F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IS QFIFI p—ntôme de ƒheppEvog—n F F F F F F F F F F F F F F F F F IS QFIFP ves —xes et les not—tions F F F F F F F F F F F F F F F F F IT QFP „r—nsformée de pourier F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IU QFPFI €roduit de ™onvolution F F F F F F F F F F F F F F F F F F IU QFPFP „r—nsformée de pourier inverse F F F F F F F F F F F F F F IV QFPFQ „r—nsformée de pourier Ph F F F F F F F F F F F F F F F F IV QFQ „r—nsformée de ‚—don F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IW QFR „héorème de l— ™oupe ™entr—le @™oupe E proje™tionA F F F F F F PI QFS ypér—teur de rétroproje™tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PQ QFT „r—nsformée de ‚—don inverse F F F F F F F F F F F F F F F F F F PR QFU ƒpé™i(™ité en tomogr—phique éle™tronique F F F F F F F F F F F F PT QFUFI sntérêt de l— tomogr—phie élé™tronique F F F F F F F F F PT QFUFP v9—ngle limité F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PU 4 Reconstruction en tomographie à angle limité 29 RFI €ro˜lém—tique F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PW RFP wéthodes —n—lytiques F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QQ RFPFI ‚étroproje™tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QQ RFPFP ‚étroproje™tion (ltrée F F F F F F F F F F F F F F F F F F QR I
  4. 4. 2 TABLE DES MATIÈRES RFPFQ gon™lusion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QU RFQ wéthode —lgé˜rique F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QV RFQFI €rin™ipe m—thém—tique F F F F F F F F F F F F F F F F F F QV RFQFP €rin™ipe —lgorithmique F F F F F F F F F F F F F F F F F F QV RFQFQ wéthode e‚„ @elge˜r—i™ ‚e™onstru™tion „e™hniqueA F QW RFQFR wéthode ƒs‚„ @ƒimult—neous ster—tive ‚e™onstru™tion „e™hniqueA F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RQ RFQFS gon™lusion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RS RFR „omogr—phie en dou˜leE—xe F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RT RFRFI €rin™ipe F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RT RFRFP elgorithme F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RV RFRFQ ‚e™onstru™tion en dou˜leE—xe Qh F F F F F F F F F F F F SH RFRFR gon™lusion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ST RFS „omogr—phie vo™—le F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ST RFSFI sntrodu™tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ST RFSFP smplément—tion d9une formule d9inversion en tomogr—E phie lo™—le F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SW RFSFQ „omogr—phie multiErésolution F F F F F F F F F F F F F F TQ RFSFR gon™lusion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TS 5 Application pratique 67 SFI elignement des données F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TU SFIFI i'et du dés—lignement F F F F F F F F F F F F F F F F F F TW SFIFP elignement en tr—nsl—tion p—r ™orrél—tion ™roisée F F F UP SFP „omogr—phie sur les qee F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UR SFPFI sntrodu™tion sur les qee F F F F F F F F F F F F F F F F UR SFPFP wise en ™orrespond—n™e —ve™ les données équipementier UU SFPFQ wise en —ppli™—tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UV 6 Conclusion et perspectives 83 Bibliographie 85
  5. 5. Chapitre 1 Introduction 1.1 Contexte ges tr—v—ux ™on™ernent l— re™onstru™tion tomogr—phique et plus p—rti™uE lièrement les —lgorithmes liés à ™e dom—ineF v— tomogr—phie est une te™hnique d9im—gerieF eu sens littér—l du termeD l— tomogr—phie est un moyen de représenter en ™oupe un o˜jet tridimenE sionnelF gette pro˜lém—tique — été énormément étudiée depuis le dé˜ut des —nnées IWUH et — eu de nom˜reuses —ppli™—tions ™omme le s™—nner en im—gerie médi™—le où elle est très l—rgement utilisée pour le di—gnostiqueF gette te™hnique ™onsiste à re™onstruire un o˜jet @le ™orps hum—in d—ns le ™—s de l9im—gerie médi™—leD des n—no ™ompos—nts en mi™ro et n—no éle™troE niqueD un m—téri—u en ™ontrôle non destru™tifA à p—rtir d9une série de mesures déportées à l9extérieur de l9o˜jetF in sonde —tomique tomogr—phiqueD l9o˜jet est dé™oupé et im—gé —u fur et à mesureD ™e qui rend l— te™hnique entièE rement destru™tiveF in tomogr—phie p—r r—yons ˆD l9o˜jet est soumis à un r—yonnement ionis—nt et l— te™hnique est nonEdestru™tiveF Q
  6. 6. 4 Introduction Figure IFI ! €rin™ipe de re™onstru™tion tomogr—phiqueF v9—™quisition des données est l— première ét—pe en tomogr—phieF in toE mogr—phie éle™troniqueD p—r exempleD ™el— ™onsiste à o˜tenir des proje™tions en P dimensions à di'érents —ngles de vuesF v— se™onde ét—pe est l— re™onstru™tion à proprement p—rlerF ve pro™essus de re™onstru™tion tomogr—phiqueD à p—rtir des données expériment—les perE met de déterminer l— distri˜ution tridimensionnelle d9une ™ert—ine qu—ntité physique selon le type d9inform—tion fournie p—r le ™—pteur @™—pture d9une p—rti™uleD pression —™oustiqueD —tténu—tion d9un f—is™e—u lumineuxD émission de r—yonnementD di'r—™tionDFFFAF h—ns le ™—s pré™édent de l— tomogr—phie éle™troniqueD les proje™tions —™quises à di'érents —ngles de vuesD permettent de re™onstruire des pl—ns —xi—uxD s—gitt—ux et front—ux de l— densité physiqueF „r—v—iller à l9—mélior—tion des méthodes de re™onstru™tion tomogr—phiqueD — pour ˜ut de mieux exploiter les sign—ux délivrés p—r les tomogr—phes pour fournir une ™—rtogr—phie de l— distri˜ution de l9o˜jet qui soit à l— fois de ˜onne qu—lité @en termes de résolution sp—ti—le et r—pport sign—lEsurE˜ruitA et qui se prête à une interprét—tion qu—ntit—tive X mesure de dist—n™eD de volumesD de porositésD —n—lyse de (ssuresF F F eu gieEvi„sD notre dom—ine d9—ppli™—tion ™on™erne les n—note™hnoloE giesF yn visu—liser— p—r exemple des n—noE(ls ou en™ore des n—noEsphèresF v— ™—r—™téris—tion de ™es o˜jets est don™ primordi—le et p—r ™onséquent l9étude des pro™édés de re™onstru™tion tomogr—phique prend tout son sensF
  7. 7. 1.2 Objectif et Moyen 5 1.2 Objectif et Moyen v9o˜je™tif m—jeur de ™e h‚„ est d9exploiter —u mieux les données en tomogr—phie éle™tronique et de limiter —u m—ximum les —rtef—™ts liés à l9—™E quisition sur un dom—ine —ngul—ire limitéF €our ™e f—ireD il f—udr— ™ommen™er p—r —™quérir un s—voirEf—ire en tomoE gr—phie éle™tronique et plus pré™isément en re™onstru™tionD ™e qui implique l— m—îtrise d9un ™ert—in nom˜re de ™on™epts m—thém—tiques —v—n™ésF insuiteD il f—udr— ré—liser un ét—t de l9—rt des di'érents —lgorithmes et méE thodes utilisésF e p—rtir de làD il ser— né™ess—ire d9—méliorer ™es —lgorithmes —(n de réduire les —rtéf—™ts dus —ux données —ngul—ires m—nqu—ntes et ég—leE ment —u ˜ruit import—nt que l9on peut —voir —ve™ des données expériment—lesF ges —mélior—tions p—sseront not—mment p—r l9optimis—tion de l— géométrie d9—™quisitionD en f—is—nt p—r exemple intervenir plusieurs jeux de données ™roisésF €—r —illeursD on ™her™he ég—lement à mieux ™ontrôler les p—r—mètres ou l9—lignement systém—tique des donnéesF v9—jout d9inform—tion — priori sur l9o˜jet d—ns le pro™essus de re™onstru™tion est ég—lement envis—géF €our l— simul—tion des données et l9implément—tion des —lgorithmes de reE ™onstru™tionD le logi™iel w—tl—˜ ser— utiliséF ge dernier o're une plus gr—nde )exi˜ilitéF e™tuellementD pour ré—liser l— re™onstru™tion de l9o˜jet visu—lisé —ve™ le „iwD l9équipementier fournit un logi™iel perform—nt permett—nt —u ™lient d9—ligner et de re™onstruire de m—nière ™onvivi—le les donnéesF xé—nE moinsD ™e logi™iel o're des fon™tionn—lités et une )exi˜ilité né™ess—irement limitéesD ne permet p—s de modi(er ou prendre en ™ompte tous les p—r—mètres de l— re™onstru™tionD ni de gérer les ™—s p—rti™uliersF
  8. 8. 6 Introduction 1.3 Structure du document ge m—nus™rit ™omporte qu—tre p—rtiesF h—ns l— première p—rtieD nous préE senterons de m—nière génér—le l— tomogr—phieF €our ™el— on étudier— les trois prin™ip—les te™hnique de tomogr—phie X l— tomogr—phie à r—yons ˆD l— tomoE gr—phie éle™tronique et (n—lement l— sonde —tomique tomogr—phiqueF €our ™h—™une de ™es méthodes seront ˜rièvement dé™rits le prin™ipeD les données que l9on peut en extr—ire et ég—lement les ™ontr—intes liéesF ge ™h—pitre — pour ˜ut de nous é™l—irer sur les —v—nt—ges et in™onvénients de ™h—que te™hnique et de dé(nir quelle est l— meilleure te™hnique pour un ™—s s™ienti(que donnéF v— se™onde p—rtie du m—nus™rit introduit les opér—teurs m—thém—tiques utilisés en tomogr—phieF ille met not—mment en —v—nt les prin™ipes fond—E ment—ux de l— re™onstru™tion tomogr—phique et plus pré™isément en tomogr—E phie éle™troniqueF ge ™h—pitre est primordi—l pour ™omprendre le pro™essus de re™onstru™tion —n—lytiqueF ve troisième ™h—pitre est un ét—t de l9—rt des te™hniques de re™onstru™tion tomogr—phique à —ngle limitéF yn expose tout d9—˜ord pourquoi le d阗tteE ment —ngul—ire est limité et quels sont les pro˜lèmes qui en dé™oulentF €—r l— suite les di'érentes te™hniques ré™entes de re™onstru™tion sont exposéesF gel— in™lut les te™hniques —n—lytiquesD —u sens très m—thém—tique du terme m—is ég—lement p—r des te™hniques dites —lgé˜riquesD itér—tivesF yn (nit p—r deux —ppro™hes plus —v—n™ées X l— re™onstru™tion 4dou˜leE—xe4 où plusieurs jeux de données interviennent et l— tomogr—phie lo™—le où il est question de reE ™onstruire un o˜jet à p—rtir de données tronquéesF ge ™h—pitre nous —pporte une ™onn—iss—n™e théorique solide —(n de pouvoir tr—iter des données réellesF v— qu—trième p—rtie est don™ une —ppli™—tion pr—tique de tout ™e que l9on — vu pré™édemmentD —ve™ en plus une se™tion ™ons—™rée à l9—lignement des donnéesD pro˜lème qui ne se pos—it p—s —ve™ des données simuléesF yn tr—ite ensuite une re™onstru™tionD —ve™ tous les pro˜lèmes qu9il peut y —voirD d9o˜jet expériment—l de type tr—nsistor qee @en —ngl—is 4q—teEellEeround devi™e4AF
  9. 9. Chapitre 2 Tomographie 2.1 Tomographie à rayons X ve r—yonnement ˆ est un r—yonnement éle™trom—gnétique ™omme les ondes r—dioD l— lumière visi˜leD ou les infr—rougesF v— tomogr—phie p—r —˜E sorption de r—yons ˆ est une te™hnique non destru™tive qui permet l— re™onsE tru™tion d9im—ges 4en ™oupe4 d9un o˜jet tridimensionnel ‘I“F xée d—ns les —nnées IWUH pour le dom—ine médi™—lD ™ette te™hnique proE metteuse s9est —d—ptée —u dom—ine industriel dont tous les se™teurs peuvent ˜éné(™ier des possi˜ilitésD que ™e soit en —éron—utiqueD d—ns le se™teur —utoE mo˜ileD en fonderieD d—ns l9industrie minière ou pétrolière ou en™ore le se™teur —groE—liment—ireF ƒon prin™ipe repose sur l9—n—lyse multidire™tionnelle de l9inter—™tion d9un f—is™e—u de r—yons ˆ —ve™ l— m—tièreF ve r—yonnement tr—nsmis est enregistré p—r des déte™teurs —près que les r—yons ˆ —ient tr—versé un o˜jetF ves données —™quises lors de l— prise de mesure @dont l— durée v—rie d9une fr—™tion de se™onde à quelques heures selon l9inst—ll—tionAD sont ™olle™tées suiE v—nt des orient—tions multiples dont le nom˜re et le p—s sont fon™tion du type d9—pp—reil et de l— (nesse de résolution souh—itéeF ves r—yons ˆ sont produits p—r —™™élér—tion d9éle™trons m—is peuvent l9être f—it de deux m—nières di'érentesF v— première méthode est l— tomogr—phie ˆ ˜—sé sur un tu˜e à r—yon ˆF …ne h—ute tension éle™trique @de l9ordre de PH à RHH k†A est ét—˜lie entre deux éle™trodesF sl se produit —lors un ™our—nt d9éle™trons de l— ™—thode vers l9—nodeF ves éle™trons sont freinés p—r les —tomes de l— ™i˜le @l9—nodeAD ™e qui provoque un r—yonnement ™ontinu de frein—geD dont une p—rtie du spe™tre U
  10. 10. 8 Tomographie est d—ns le dom—ine des r—yons ˆF €—r —illeursD les —tomes de l— ™i˜le sont ex™ités et émettent à leur tour un r—yonnement ˆ à ™ert—ines énergies ™—r—™E téristiques du m—téri—u de l9—node Y on p—rle —lors de )uores™en™e ˆF v— se™onde méthode est l— tomogr—phie dite 4syn™hrotron4F ve r—yonnement syn™hrotron est un r—yonnement éle™trom—gnétique émis p—r des éle™trons rel—tivistes qui suivent une tr—je™toire ™ir™ul—ire d—ns un —nE ne—u de sto™k—geF €uisque ™es éle™trons modi(ent régulièrement leur ™ourseD leur —™™élér—tion ™h—nge régulièrementF vorsque ™e ™h—ngement survientD ils émettent de l9énergie sous forme de photonsF h—ns un tel —™™élér—teur un ™h—mp m—gnétique intense permet d9—™™élérer un f—is™e—u de p—rti™ulesF hu f—it que les p—rti™ules ™h—rgées se dépl—™ent de f—çon nonEuniforme @p—r exemple sur une tr—je™toire ™ir™ul—ireAD elles émettent un r—yonnement éle™E trom—gnétiqueF ge r—yonnement dépend de l— vitesse des éle™trons m—is ™ouvre une très l—rge p—rtie du spe™tre éle™trom—gnétique X de l9infr—rouge —ux r—yons ˆ dursF gette te™hnique est not—mment mise en pl—™e à l9iƒ‚p @iurope—n ƒyn™hrotron ‚—di—tion p—™ilityA de qreno˜le ‘P“ ‘Q“F …ne fois l— sour™e de r—yon ˆ mise en pl—™eD l9é™h—ntillon à o˜server est pl—™é sur un porte é™h—ntillon qui —ssure l— rot—tionF ve f—is™e—u tr—verse l9é™h—ntillon et le f—is™e—u tr—nsmis est re™ueilli p—r une ™—mér— ghh @en —ngl—is 4gh—rgeEgoupled hevi™e4AF …ne im—ge r—diogr—phique est —insi forE méeF ves deux te™hniques fournissent un résult—t —n—logueF illes di'érent p—r l— t—ille de l9équipement X un tu˜e à r—yons ˆ mesure quelques diz—ines de ™entimètresD un syn™hrotron quelques ™ent—ines de mètresF h—ns l— première l9é™h—ntillon est pl—™é à quelques ™entimètres de l— sour™e —lors que d—ns l— se™ondeD il peut être est situé à plus de ™ent mètresF ves —v—nt—ges du r—yonE nement syn™hrotron sont not—mment l— ˜rill—n™e du f—is™e—uD qui permet de f—ire des —n—lyses mono™hrom—tiques et d9éviter —insi des —rtef—™ts dur™isseE ment de spe™tre propres —ux f—is™e—ux poly™hrom—tiques des tu˜es à r—yons ˆF gel— permet p—r —illeurs de f—ire des —n—lyses r—pides et des expérien™es inEsitu tout en exploit—nt l— ™ohéren™e du f—is™e—uD qui permet d9im—ger des o˜jets peu —˜sor˜—ntsF v9—™quisition des r—diogr—phies à di'érents —ngles de vue permet p—r l— suiteD p—r re™onstru™tion m—thém—tiqueD d9—˜outir à une distri˜ution Qh du ™oe0™ient d9—tténu—tion lo™—l de l9é™h—ntillonF in ™l—ir on —™™ède à l— forme de l9o˜jet en QhF
  11. 11. 2.2 Tomographie électronique 9 Figure PFI ! €hotogr—phie du syn™hrotron de l9iƒ‚pF 2.2 Tomographie électronique v— mi™ros™opie éle™tronique en tr—nsmission @wi„ ou „iw en —ngl—is pour 4„r—nsmission ile™tron wi™ros™opy4A est ™onnue pour être un import—nt outil de re™her™heF v— résolutionD ˜ien meilleure qu9en mi™ros™opie optiqueD lui — —ssuré une utilis—tion ™our—nte d—ns les s™ien™es physiques et ˜iologiquesF ve prin™ipe du mi™ros™ope éle™tronique en tr—nsmission — été mis —u point en IWQI p—r w—x unoll et irnst ‚usk—D ™e dernier — d9—illeurs reçu le prix xo˜el de physique en IWVT pour ™ette inventionF hepuis l— résolution n9— p—s ™essé d9—ugmenter en p—ss—nt de I nm à HFInm —ve™ plusieurs te™hniques —n—lytiques permett—nt de déterminer à l9é™helle —tomiqueD l— stru™tureD les propriétés m—gnétiques ou éle™troniques de l9é™h—ntillonF v9instrument est prin™ip—lement ™omposé d9une sour™e d9éle™tronD d9un ensem˜le de lentilles m—gnétiques et d9un déte™teurF ve f—is™e—u d9éle™trons est tr—nsmis à tr—vers un é™h—ntillon très min™e pour être ensuite enregistré p—r un ™—pteur dédié qui donne n—iss—n™e à une im—geF ƒelon l— théorie d9e˜˜eD l— résolution m—xim—le qu9il est possi˜le d9o˜tenir —ve™ un mi™ros™ope éle™tronique dépend de l— longueur d9onde des éle™tronsF v— limite de résolution R d9un mi™ros™opeD ™9estEàEdire l— plus petite dist—n™e en dessous de l—quelle deux points voisins ne seront plus distinguésD peut être exprimée à l9—ide de l— longueur d9onde d9illumin—tion λD de l9indi™e de réE
  12. 12. 10 Tomographie fr—™tion n en sortie d9o˜je™tifD et de l9—ngle d9ouverture du f—is™e—u d9éle™tron αF R = λ 2n sin α @PFIA v— longueur d9onde équiv—lente d9un éle™tron est donnée p—r l9équ—tion de he froglie X λ = h p @PFPA h—ns ™ette équ—tionD λ est l— longueur d9ondeD h est l— ™onst—nte de €l—n™k et p l— qu—ntité de mouvement de l9éle™tron @„—˜le IAF yn ™omprend don™ que plus l— qu—ntité de mouvement de l9éle™tron est élevée plus l— longueur ser— petite et p—r ™onséquent l— résolution élevéeF e titre de ™omp—r—isonD d—ns un „iwD où le potentiel d9—™™élér—tion est h—˜ituellement de plusieurs diz—ines de milliers de †oltsD l— longueur d9onde peut être de l9ordre de quelques piE ™omètres @10−12 mAD —lors qu9en tomogr—phie ˆD l— longueur d9onde est de l9ordre de un engströmF v— di'éren™e de longueur d9onde entre les ˆ et les éle™trons explique en p—rtie l— di'éren™e de résolution entre mi™ros™opie ˆ et mi™ros™opie éle™troniqueF h—ns un mi™ros™ope éle™troniqueD les éle™trons sont générés p—r un ™—non à éle™trons et —™™élérés p—r un ™h—mp éle™trique produit p—r une di'éren™e de potentiel entre l— sour™e et une —nodeD puis fo™—lisés sur l9é™h—ntillon p—r des lentilles m—gnétiquesF ve f—is™e—u d9éle™trons inter—git —ve™ l9é™h—ntillon —ve™ un ™ontr—ste sp—ti—l résult—nt de di'éren™es de densitéD et mesuré p—r un déte™teur permett—nt —insi de former une im—ge de l— proje™tion d9un é™h—ntillonF U(kv) λ(pm) IHH QDSU QHH IDWU IHHH HDVU „—˜le I E vongueur d9onde en fon™tion de l— qu—ntité de mouvementF
  13. 13. 2.2 Tomographie électronique 11 ge f—is™e—u d9éle™trons est utilisé de m—nière simil—ire —u f—is™e—u ˆ pour générer des proje™tions Ph d9un o˜jet QhF v— géométrie d9—™quisition en toE mogr—phie ˆ peut —insi être tr—nsposée —u ™—s des éle™trons ‘R“ ‘S“ ‘T“F ves données —™quises sont des proje™tions de l9o˜jet o˜tenues à di'érent —ngles de vuesF heux p—r—mètres ™—r—™térisent ™es donnéesD tout d9—˜ord le d阗ttement —ngul—ire puis l9é™h—ntillonn—ge —ngul—ireF …n d阗ttement —ngul—ire idé—lD pour éviter l— perte de donnéesD est de IVH degrés en géométrie p—r—llèleF yrD en mi™ros™opie éle™tronique il est resE treint pour plusieurs r—isonsF v— première est te™hniqueD le mi™ros™ope ne peut p—s ex™éder un d阗ttement —ngul—ire de ISH degrés à ™—use du porte é™h—ntillonF v— se™onde vient de l9é™h—ntillon luiEmêmeF vorsque qu9un o˜E jet est ép—isD le p—r™ours des éle™trons à tr—vers l9o˜jet est —ugmenté et p—r ™onséquent on o˜tient une perte d9inform—tion due à l9—˜sorption des éle™E trons d—ns l— m—tièreF †oilàD l— r—ison pour l—quelleD en mi™ros™opie éle™E troniqueD on p—rle souvent de re™onstru™tion tomogr—phique à —ngle limitéF v9é™h—ntillonn—ge —ngul—ire détermine le nom˜re de proje™tionsF v— formule suiv—nte nous donne l9é™h—ntillonn—ge théoriqueD N le nom˜re de proje™tionD et Nb•pix le nom˜re de pixel sur le ™—pteur ghh ‘I“ X N = Nb•pix PI 2 @PFQA h—ns notre ™—sD il f—udr—it don™ environ ISHH proje™tions pour —voir peu de perte de donnéesF in tomogr—phie éle™troniqueD l est ™our—nt de n9utiliser que ISH proje™tions pour limiter le temps d9—n—lyse et diminuer l— dose déliE vréeF v— longueur d9—tténu—tion est un ˜on moyen de ™omp—r—ison —ve™ les r—yons ˆF v— longueur d9—tténu—tion est l— dist—n™e à p—rtir de l—quelle l9inE tensité du f—is™e—u — diminué d9un f—™teur 1/eD soit environ QU7 de s— v—leur initi—leF €our les r—yons ˆD —ve™ une intensité de Pke† et d—ns du sili™iumD on — longueur d9—tténu—tion du mi™romètreF in mi™ros™opie éle™tronique à tr—nsmissionD on p—rle plus de 4–li˜re p—rE ™ours moyen49 @en —ngl—is 4we—n pree €—th4AD —ve™ les mêmes donnéesD on o˜tient une v—leur de quelques n—nomètres ‘U“F he plusD —ve™ ™ette ™ontr—inteD pour que les é™h—ntillons ne soient p—s dégr—dés dur—nt l9o˜serv—tion et puissent être o˜servés p—r tr—nsmissionD les
  14. 14. 12 Tomographie é™h—ntillons doivent être d—ns l— plup—rt des ™—s prép—rés minutieusementF gette ph—se est très import—nteD ™—r ™9est elle qui détermine en p—rtie l— qu—E lité des résult—ts o˜tenusF v— prép—r—tions ™onsiste à 4usiner4 l9é™h—ntillon pour qu9il —tteigne des dimensions ™omp—ti˜le —ve™ l9instrument @™fF p—rtie RFSAF Figure PFP ! ve „it—n de l— so™iété pisF
  15. 15. 2.3 Sonde atomique tomographique 13 2.3 Sonde atomique tomographique v— tomogr—phie p—r r—yons ˆ permet d9—tteindre des résolutions de l9ordre de SHnmD —ve™ des profondeurs de pénétr—tions ™entimétriquesF v— tomogr—E phie éle™tronique permet d9—tteindre des résolutions de l9ordre de PnmD —ve™ des profondeurs de pénétr—tion de quelques ™ent—ines de n—nomètresF ‚é™emE ment est —pp—ru un nouve—u type de sonde permett—nt de f—ire de l9im—gerie Qh ultimeD —ve™ des résolutions —tomiques X ™9est l— sonde —tomique tomogr—E phique @etom €ro˜e „omogr—phyD e€„AF wême si ™e r—pport ne tr—ite p—s de l9e€„ dire™tementD nous dét—illons ˜rièvement d—ns ™e p—r—gr—phe son fon™tionnementF …ne sonde —tomique tomogr—phique est un mi™ros™ope —n—lytique fourE niss—nt des im—ges tridimensionnelles d9un volume à l9é™helle —tomique ‘V“F v— sonde —tomique ‘W“ peut être —ssimilée à un mi™ros™ope à proje™tion dont le prin™ipe est ˜—sé sur l— physique de l9e'et de ™h—mp et l— spe™trométrie de m—sse à temps de volF v— sonde —tomique tomogr—phique est une sonde —tomique ™l—ssique dotée d9un déte™teur sp—ti—l Ph ‘IH“F ve s™hém— de prin™ipe est présenté sur l— (gure PFQF v9é™h—ntillon est prép—ré sous forme d9une pointe dont le r—yon de ™our˜ure à son extrémité est inférieur à SH nmF ves —tomes en surf—™e de l— pointe sont 4év—porés4 sous l— forme d9ions positifs n fois ™h—rgés grâ™e à l— superposition d9impulsions éle™triques ou l—serD à un potentiel éle™trique positif ™ontinu de plusieurs k†F v— n—ture ™himique des ions est identi(ée p—r un spe™tromètre de m—sse à temps de vol @mesure du temps de vol de l9ion entre l9—pex de l— pointe et le déte™teurAF v— position l—tér—le de l9ion est déterminée à p—rtir des ™oordonnées de son imp—™t sur le multi déte™teur sp—ti—lF v9é™h—ntillon ét—nt év—poré ™ou™he —tomique p—r ™ou™he —tomiqueD l9étude en profondeur permet une re™onstru™tion tridimensionnelle du volume de m—tière év—poréeF „oute l— di0™ulté de ™ette te™hnique réside d—ns l— prép—r—tion d9é™h—nE tillons sous forme de pointes —(n d9o˜tenir un ™h—mp éle™trique intense à son —pexF in mi™roéle™troniqueD les pointes sont l—rgement prép—rées p—r f—is™e—u d9ions q— fo™—lisés et sont o˜tenues en deux ét—pesF h—ns un premier tempsD l9é™h—ntillon à —n—lyser est prélevé du w—fer d9origine et ensuite ™ollé sur 4un support4 de sonde —tomiqueF h—ns un se™ond tempsD on impose —u psf de ˜—l—yer le f—is™e—u d9ions q— à l9intérieur d9un m—sque —nnul—ire —ve™ un di—E mètre interne qui réduit progressivement —(n d9o˜tenir une pointe dont le r—yon de ™our˜ure à l9—pex est inférieur à SH nmF e titre d9exempleD l— (gure PFR présente une —n—lyse en sonde —tomique
  16. 16. 14 Tomographie tomogr—phique o˜tenue sur une multi™ou™he m—gnétostri™tive ™omposée d9un empilement d9une ™ou™he m—gnétostri™tive „˜peP @SnmA et d9une ™ou™he m—E gnétique dou™e go @Q nmAF Figure PFQ ! ƒ™hém— de prin™ipe de l— sonde —tomique tomogr—phiqueF Figure PFR ! ƒ™hèm— ™omp—r—nt les di'érentes te™hniques de tomogr—hpie —ve™ le volume de l9o˜jet en fon™tion de l— résolutionF
  17. 17. Chapitre 3 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique 3.1 Conventions 3.1.1 Fantôme de Shepp-Logan ve f—ntôme de ƒheppEvog—n en deux dimensions — été développé en IWUR p—r vFeF ƒhepp et fFpF vog—nF sl simule une tête et un ™erve—u en Ph d—ns le ˜ut de devenir un outil de test en tomodensitométrie et en re™onstru™tion à p—rtir de proje™tion ‘II“F ve modèle utilise dix ellipses de t—illeD d9intensité et de densité des m—téri—ux v—ri—˜lesD —(n de ™orrespondre —u mieux —ux propriétés d9—tténu—tion des r—yons ˆF eve™ l9—vènement de l— QhD un nouve—u f—ntôme Qh — été développé en IWVH p—r vFeF ƒhepp en utilis—nt IU ellipsoïdes —ve™ T nouvelles ™—r—™térisE tiques —n—tomiques @oreillesD nez et ˜ou™heF F F AF ‘IP“ eu ™ours des —nnées VH et WHD le f—ntôme — plusieurs fois évolué —u grès des pu˜li™—tionsF ve dernier f—ntôme QhD f—is—nt o0™e de référen™eD et ™elui présenté d—ns le p—pier de uFwueller ‘IQ“F IS
  18. 18. 16 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique Figure QFI ! p—ntôme de ƒheppEvog—n en deux dimensions 3.1.2 Les axes et les notations hur—nt tout le r—pport les mêmes —xes seront utilisésF €our les im—ges et les re™onstru™tionsD l9—ngle de proje™tion ϕ est d—ns le pl—n (x, y)D les im—ges seront don™ re™onstruites d—ns ™e pl—nF v9—xe de tilt est suiv—nt l9—xe zD lors d9une re™onstru™tion QhD l9empilement d9im—ges est don™ suiv—nt ™ette —xeF €our un sinogr—mmeD l9—xe des ϕ est toujours représenté horizont—lementF gon™ern—nt les not—tions les plus utilisées X F est l9opér—teur de l— tr—nsformée de pourier R est l9opér—teur de l— tr—nsformée de ‚—don p est l9opér—teur de proje™tion R# est l9opér—teur de rétroproje™tion
  19. 19. 3.2 Transformée de Fourier 17 3.2 Transformée de Fourier v— tr—nsformée de pourier F est une opér—tion qui tr—nsforme une fon™E tion intégr—˜le sur ‚ en une —utre fon™tionD dé™riv—nt le spe™tre fréquentiel de ™ette dernièreF ƒi f est une fon™tion intégr—˜le sur RD s— tr—nsformée de pourier est l— fon™tion F(f) = ˆf donnée p—r l— formule X F(f) : ξ → ˆf(ξ) = +∞ −∞ f(x)e-iξxdx @QFIA in tr—itement d9im—geD l— tr—nsformée de pourier est un outil m—théE m—tique qui permet p—r exemple de p—sser d9une représent—tion sp—ti—le à une représent—tion fréquentielle des donnéesF ve ™oupl—ge de moyens inforE m—tiques modernes et d9un —lgorithme e0™—™e permett—nt de minimiser le nom˜re d9opér—tions —rithmétiques @p—st pourier „r—nsformA permet d9utiliE ser l— tr—nsformée de pourier de m—nière intensiveD not—mment pour l— reE ™onstru™tion tomogr—phiqueF 3.2.1 Produit de convolution …ne propriété intéress—nte de l— tr—nsformée de pourier est que l— tr—nsE formée de pourier du produit de ™onvolution de deux fon™tions ™orrespond à l— multipli™—tion des tr—nsformées de pourier de ™h—™une des fon™tionsF f g = F-1(F(f) · F(g)) @QFPA gette propriété permet de f—™ilement m—nipuler l9—ppli™—tion su™™essive de deux (ltres @h1 et h2A à une fon™tion fF @h2 (h1 f)A ƒoitD on peut ™—l™uler dire™tement @h1 h2AF €our ensuite tronquer ou —jouter des 0 —u produit pour que l— t—ille de l— ™onvolution ™orreponde à l— t—ille de l9im—ge initi—leF ƒoitD on peut dire™tement se servir de l— tr—nsformée de pourier X F(h2 (h1 f)) = F(h2) · F(h1 f) = F(h2) · F(h1) · F(f) @QFQA
  20. 20. 18 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique 3.2.2 Transformée de Fourier inverse ƒi l— tr—nsformée de pourier de f est elleEmême une fon™tion intégr—˜leD l— formule dite de tr—nsform—tion de pourier inverseD opér—tion notée F−1 D est ™elle qui permet de retrouver f à p—rtir des données fréquentielles X f(x) = 1 2π +∞ −∞ ˆf(ξ)e+iξx dξ @QFRA —ve™ X ˆf(ξ) = +∞ −∞ f(x)e−iξx dx @QFSA 3.2.3 Transformée de Fourier 2D v— représent—tion fréquentielle des sign—ux Ph est l9extension dire™te de ™elle des sign—ux monodimensionnelsF v— tr—nsformée de pourier F(u, v) d9un sign—l f(x, y) est X F(u, v) = +∞ −∞ +∞ −∞ f(x, y)e−j(ux+vy)dxdy@QFTA gette formule permet de ™—l™uler l9—mplitude de l— ™ompos—nte du sign—l f(x, y) à l— fréquen™e sp—ti—le (u, v)F
  21. 21. 3.3 Transformée de Radon 19 3.3 Transformée de Radon in IWIUD tF‚—don introduit pour l— première fois l— tr—nsformée de ‚—don ‘IR“F in PhD l— tr—nsformé de ‚—don d9une fon™tion de deux v—ri—˜les est donnée p—r l9ensem˜le des intégr—les sur les droites du pl—inF ille ™orrespond à l— formul—tion m—thém—tique d9une proje™tion X Figure QFP ! †isu—lis—tion géométrique de l— tr—nsformée de ‚—don v— tr—nsformée de ‚—don s9é™rit don™ sous ™ette forme X Rf(ϕ, l) = D(ϕ,l) f(x, y)ds = pϕ(l) @QFUA —ve™ X D(ϕ, l) = {(x, y) ∈ R2 tq x cos ϕ + y sin ϕ = l} @QFVA = {l cos ϕ sin ϕ + s − sin ϕ cos ϕ , ∀s ∈ R2 } @QFWA …ne —utre formul—tion ™our—nte de l— tr—nsformée de ‚—don utilise l— fon™tion hir—™ X
  22. 22. 20 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique Rf(l, ϕ) = +∞ −∞ +∞ −∞ f(x, y)δ(x cos ϕ + y sin ϕ − l)dxdy @QFIHA ƒi l9on représente les v—leurs des proje™tions pϕ(l) d—ns un pl—n (ϕ, l) pour tous les ϕ et tous les lD on o˜tient ™e qu9on —ppelle un sinogr—mmeF …n sinogr—mme est en f—it une im—ge dont les lignes su™™essives sont les proje™tions Ih su™™essives Figure QFQ ! @—A sm—ge du f—ntôme de ƒheppEvog—n @im—ge test ™onnue en tomogr—phieAD @˜A ƒinogr—mme ™omplet pour ϕ ™ompris entre −90¦et +90¦F
  23. 23. 3.4 Théorème de la coupe centrale (coupe - projection) 21 3.4 Théorème de la coupe centrale (coupe - projection) ge théorème nous montre qu9il existe un lien dire™t entre l9esp—™e de ‚—don et l9esp—™e de pourier X v— tr—nsformée de pourier Ih de l— proje™tion à l9—ngle ϕ est ég—le à l— ™oupe de l— tr—nsformée de pourier Ph —u même —ngle ‘IS“ ‘IT“F w—thém—tiquement et gr—phiquement ™e™i se tr—duit de l— m—nière suiE v—nte X F1D(Rϕf)(λ) = F2Df(λ cos ϕ, λ sin ϕ) @QFIIA Figure QFR ! ‚eprésent—tion du théorème de l— ™oupe ™entr—leF
  24. 24. 22 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique ge théorème nous —pporte plusieurs éléments fond—ment—ux en re™onsE tru™tion tomogr—phiqueF …n premier pointD que nous verrons d—ns ™ette p—rtieD ™on™erne le nom˜re de proje™tionsF yn rem—rque queD quelque soit le nom˜re de proje™tions uniE formément rep—rtis de H à IVH degrésD l9é™h—ntillonn—ge d—ns l9esp—™e de pouE rier est ˜e—u™oup (n plus —ux ˜—sses fréquen™es @(gF QFSAF gette ™—r—™térisE tique —ur— un imp—™t dire™t sur l— re™onstru™tionF v9im—ge re™onstruite —ur— un e'et de )ou et ™e™i même si l9esp—™e de fourier est entièrement é™h—nE tillonné @(gF QFTAF Figure QFS ! i™h—ntillonn—ge —ngul—ire et r—di—l d—ns le dom—ine de pourier d—ns le ™—s de données ™omplètesF
  25. 25. 3.5 Opérateur de rétroprojection 23 Figure QFT ! ‚étroproje™tion du f—ntôme de ƒheppEvog—n @SIPxSIP pixelsA à p—rtir de IVI proje™tions o˜tenues entre −90¦et +90¦F 3.5 Opérateur de rétroprojection v— rétroproje™tion est un opér—teur permett—ntD à p—rtir de proje™tionsD de re™onstruire une estim—tion de l9im—ge initi—leF h—ns son modèle le plus simpleD il ™onsiste à —™™umuler d—ns ™h—que pixel de l9im—ge à re™onstruire les v—leurs des proje™tions qui le ™on™ernent norm—lisé p—r le nom˜re de pixels —y—nt ™ontri˜ués à ™h—que proje™tion ‘IS“ ‘IT“F eu nive—u m—thém—tiqueD ™et opér—teur s9exprime de l— m—nière suiv—nte X l— rétroproje™tion en (x, y) d9une proje™tion est l— v—leur de l— proje™tion d9—ngle (ϕ, l) @iFe pϕ(l)A —u point sur lequel se projette (x, y)D et v—ut X hϕ(x, y) = pϕ(x cos ϕ + y sin ϕ) @QFIPA €—r ™onséquent l— rétroproje™tion de toutes les proje™tions dé(nit l9opér—E teur de rétroproje™tionF yn l9o˜tient en somm—nt sur tous les —ngles l9équ—E tion pré™édenteF
  26. 26. 24 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique Figure QFU ! ixemple de proje™tion et rétroproje™tionF R#[p](x, y) = ϕ pϕ(x cos ϕ + y sin ϕ)dϕ @QFIQA in f—itD on ™onst—te que ™ette rétroproje™tion est une estim—tion imp—rE f—ite de l9im—ge initi—leF sl s9—vèreD qu9en e'etD une simple rétroproje™tion ne su0t p—s à re™onstruire ™orre™tement une im—geF v9im—ge o˜tenue n9est qu9une version )oue de l9im—ge initi—leF v9opér—teur de rétroproje™tion n9est m—thém—tiquement p—s l9inverse de l— tr—nsformée de ‚—donF yn verr— plus t—rd qu9il ™onvient de f—ire pré™éder l9opér—tion de rétroproje™tion p—r une opér—tion de (ltr—geF 3.6 Transformée de Radon inverse gomme on vient de le voirD l— rétroproje™tion n9est p—s l9inverse de l— tr—nsformée de ‚—donF sl est né™ess—ire d9—ppliquer un (ltre —u pré—l—˜leF gette méthode est l— rétroproje™tion (ltréeF ƒ— formule m—thém—tique est donnée p—r ‘IS“ ‘IT“ X f = R#( ˜pϕ) @QFIRA
  27. 27. 3.6 Transformée de Radon inverse 25 —ve™ X ˜pϕ = F-1(F(pϕ) · |W|)) @QFISA gette formul—tion exprime f ™omme l— rétroproje™tion des proje™tions (ltrées p—r le (ltre ‚—mpe |W|F ge résult—t s9o˜tient en é™riv—nt que f est l— tr—nsformée de pourier inverse de s— tr—nsformée de pourier et en utilis—nt le théorème de l— ™oupe ™entr—le dé™rit d—ns le p—r—gr—phe QFRF yn ™ommen™e p—r ™—l™uler l— tr—nsformée de pourrier des proje™tionsF insuite on multiplie p—r un (ltre D en génér—l —ppelé (ltre ‚—mpeF yn prend l— tr—nsformée de pourrier inverse de ™e résult—tF pin—lement on —pplique notre opér—teur de rétroproje™tion sur ™es proje™tions (ltréesF
  28. 28. 26 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique 3.7 Spécicité en tomographique électronique 3.7.1 Intérêt de la tomographie éléctronique v— ™ompréhension du pro™essus de re™onstru™tion Qh est ˜—sée sur un ™ert—in nom˜re d9hypothèsesD l— plus intuitive est l9hypothèse que ™e qui est déte™té est une proje™tion de l9o˜jetF in pr—tiqueD l— notion de 4proje™tion4 est très l—rgement —doptéeD et ™9est d—ns ™ette optique que tF‚—don — proposé une première formul—tion m—thém—tique du ™on™ept de proje™tion ‘IR“F …ne question légitime est de se dem—nder si l— notion de proje™tion est v—lide en mi™ros™opie éle™troniqueD où l9intuition pourr—it ˜ien nous —mener à penser le ™ontr—ireF v— plup—rt des prin™ipesD vus pré™édemmentD ont d9—˜ord été él—˜orés pour l— tomogr—phie à r—yon ˆF in e'etD les inter—™tions éle™tronE é™h—ntillon sont très di'érentes de ™elles ren™ontrées d—ns l— tomogr—phie p—r r—yons ˆD les é™h—ntillons euxEmêmes sont de n—ture très di'érentesF sl — été montré ‘IU“ ‘IV“D qu9un p—r—llèle peut être f—it entre l— proje™tion d9un o˜jet en mi™ros™opie en r—yon ˆ et l— proje™tion d9un o˜jet en mi™ros™oE pie éle™troniqueF in tomogr—phie à ‚—yon ˆD l— loi de feerEv—m˜ert permet d9exprimer un )ux tr—nsmis I0 en fon™tion du )ux in™ident I X I(E) = I0(E)e-µ(E, z)e @QFITA µ est le ™oe0™ient d9—tténu—tionF sl dépend de l9énergie et du m—téri—u @numéros —tomique AF e est l9ép—isseur tr—verséeF …ne formul—tion simil—ire peut être ét—˜lie —ve™ des )ux d9éle™trons X I = I0(E)e-n ψ(α)ρe @QFIUA xous —vons i™i N qui est le nom˜re d9evog—droD ψ est l— se™tion e0™—™e de di'usion qui dépend de l9—ngle limite de di'usionF ρ et e ét—nt respe™tivement l— densité et l9ép—isseur de l9o˜jet tr—verséF v9inversion de l— tr—nsformée de ‚—don et l— notion d9intégr—le liné—ire sont don™ —ppli™—˜le à l— tomogr—phie éle™troniqueF
  29. 29. 3.7 Spécicité en tomographique électronique 27 3.7.2 L'angle limité h—ns les p—rties pré™édentesD nous —vons vu que le théorème de l— ™oupe ™entr—leD nous —pport—it des éléments fond—ment—ux en re™onstru™tion tomoE gr—phique …n des points ™on™erne le d阗ttement —ngul—ire de l9—™quisitionF gomme nous l9—vons vu d—ns le ™h—pitre pré™édentD en tomogr—phie éle™troE nique nous —vons un pro˜lème d9—ngle limitéF in e'etD les proje™tions RfϕD ne sont ™onnues que pour les —ngles ϕ —pp—rten—nt à un sous ensem˜le de l— demiEsphèreF in règle génér—leD ™e sous ensem˜le est de l9ordre de −75¦à +75¦F ge™i entr—îne dire™tement une perte de donnée d—ns l9esp—™e de pourier @pigF QFVA et p—r ™onséquent une perte de donnée d—ns l9esp—™e réelF †isuelleE ment ™el— se tr—duit p—r une grosse perte de résolution d—ns le sens verti™—lF €—r exempleD l— re™onstru™tion d9un ™er™le —ur— tend—n™e à ressem˜ler plutôt à une ellipse @pigF QFWAF yn ne s—it p—s re™onstruire les v—ri—tions d—ns ™erE t—ines dire™tionsF Figure QFV ! i™h—ntillonn—ge —ngul—ire et r—di—l d—ns le dom—ine de pourier d—ns le ™—s de données —ngul—ires m—nqu—ntes typiques de l— tomogr—phie éle™troniqueF
  30. 30. 28 Opérateurs mathématiques en tomographie électronique Figure QFW ! ‚étroproje™tion du f—ntôme de ƒheppEvog—n @SIPxSIP pixelsA à p—rtir de IPI proje™tions o˜tenues entre −60¦et +60¦F
  31. 31. Chapitre 4 Reconstruction en tomographie à angle limité 4.1 Problématique gomme il — été présenté plus h—ut l— re™onstru™tion tomogr—phique ™onsiste à re™onstruire un o˜jet à p—rtir des ses proje™tionsF h—ns le ™—s p—rti™ulier de l— tomogr—phie éle™troniqueD il n9est p—s possi˜le d9—™™éder à un d阗ttement —ngul—ire su0s—nt pour re™onstruire de m—nière optim—leF h9un point de vue m—thém—tique —ppliquéeD ™e™i en f—it un pro˜lème inverse m—l posé —u sens où X ! sl n9existe p—s une solution uniqueD en e'et il exister— toujours plusieurs o˜jets ™omp—ti˜les —ve™ un ensem˜le (ni de proje™tionsF ! ve ˜ruit des données f—usse énormément l— re™onstru™tionF …ne di'éE ren™e minime d—ns les proje™tions engendre un 陗rt import—nt d—ns l— re™onstru™tionF v— solution risque don™ de ne p—s être st—˜leF PW
  32. 32. 30 Reconstruction en tomographie à angle limité Figure RFI ! ixemple de deux im—ges di'érentes donn—nt des proje™tions de forme identique m—is dont les intensités sont di'érentesF eve™ ™ette (gureD on s9—perçoitD qu9—u delà de l— formeD les intensités sont très import—ntes en re™onstru™tionF in pr—tique on n9o˜tiendr— don™ p—s de solution m—is plutôt une —pproxiE m—tionF h9un point de vue m—thém—tiqueD l— re™onstru™tion ™orrespond à l— minimis—tion d9une fon™tionnelle et d—ns notre ™—s pré™isD il ser— di0™ile de ™onverger vers le minimum glo˜—l de l— fon™tionnelleF e ™el— on —joute un —utre pro˜lème de t—illeD qui est l9—ngle limitéF gomme nous —vons pu le voir d—ns le ™h—pitre pré™édentD il dén—ture gr—ndement l9im—geF v— (gure PD qui montre trois re™onstru™tions d9un même o˜jetD nous f—it ˜ien ™omprendre le pro˜lèmeF
  33. 33. 4.1 Problématique 31 Figure RFP ! @—A sm—ge origin—leD @˜A h阗ttement —ngul—ire des Q re™onsE tru™tionsD @™A ‚e™onstru™tion —ve™ un d阗ttement —ngul—ire de −65¦à +65¦D @dA ‚e™onstru™tion —ve™ un d阗ttement —ngul—ire de +25¦à +155¦D @eA ‚eE ™onstru™tion —ve™ un d阗ttement —ngul—ire de −20¦à +110¦F e(n de ˜ien ™omprendre le pro˜lème de l9—ngle limitéD nous —vons simulé un o˜jet Ph dont nous —vons généré numériquement les proje™tions sur des dom—ines —ngul—ires di'érents et illustrés sur l— (gure RFPF h—ns le premier ™—s @(gF RFP™AD le d阗ttement —ngul—ire permet de mesuE rer des proje™tions et don™ des intégr—les liné—ires perpendi™ul—irement —ux fréquen™es horizont—les sur les im—gesD ™e qui permet de re™onstruire ™orE re™tement les dis™ontinuités horizont—les m—is ne permet p—s d9—™™éder —ux fréquen™es verti™—lesF h—ns le ™—s de l— (gure RFPdD l— situ—tion est inverséeF v— (gure RFPe montre l9intérêt d9—d—pter l9orient—tion initi—le de l9o˜jet p—r r—pport —u f—is™e—u pour un d阗ttement —ngul—ire restreint donnéF €our un o˜jet ™onten—nt essentiellement des fréquen™es verti™—les et horizont—les et pour un même d阗ttement —ngul—ire restreint donnéD i™i 130¦D il est plus intéress—nt de mesurer sur un d阗ttement [+20¦; +110¦] que sur [−65¦; +65¦] ™—r on re™onstruit —lors rel—tivement ˜ien les dis™ontinuités verti™—les et horiE zont—les —u dépend des dis™ontinuités 4di—gon—les4D peu présentes sur l9o˜jetF
  34. 34. 32 Reconstruction en tomographie à angle limité gomme il — été énon™é d—ns les o˜je™tifsD —(n de ˜ien ™omprendre tous les m陗nismes de l— re™onstru™tion tomogr—phiqueD nous —llons ™ommen™er p—r tr—v—iller en Ph —ve™ le f—ntôme de ƒheppEvog—n —ve™ un d阗ttement —ngul—ire de 150¦F ves deux ™h—pitres qui suiventD ™on™erneront deux types de re™onstru™E tions di'érentesF v— re™onstru™tion —n—lytique —ve™ l— rétroproje™tion (ltrée @‡eight f—™kE€roje™tion ‡f€AF g9est une résolution du pro˜lème exprimé sous forme ™ontinueD vi— le théorème de l— ™oupe ™entr—leF ve pro˜lème inE verse est exprimé m—thém—tiquement sous l— forme d9une équ—tion intégr—leD et l— dis™rétis—tion se f—it à l9implément—tionF v— se™onde méthode ™on™erne les —lgorithmes itér—tifs tels que le ƒs‚„ @ƒiE mult—neous ster—tive ‚e™onstru™tion „e™hni™A ou en™ore le e‚„ @elge˜r—i™ ‚e™onstru™tion „e™hni™AF gette fois ™iD ™9est une résolution du pro˜lème sous forme dis™rèteD vi— l— résolution d9un système m—tri™ielF ve pro˜lème dire™t est dis™rétisé d9em˜lée et est ensuite inverséF it—nt donné que l9on — les im—ges initi—lesD on pourr— voir à quel point les —lgorithmes ™onvergentF h—ns les p—rties qui suivent nous —llons ég—lement présenter les —lgoE rithmes de re™onstru™tion en w—tl—˜D il est don™ né™ess—ire de se mettre d9—™™ord sur les not—tions utilisées X „het— viste des —ngles d9—™quisitions €r „—˜le—u ™onten—nt toutes les proje™tions ‚es sm—ge résult—t
  35. 35. 4.2 Méthodes analytiques 33 4.2 Méthodes analytiques ges méthodes sont très ˜ien dét—illées d—ns les référen™es ‘I“@théorie et implément—tionAD ‘IT“@théorieA et ‘IW“F 4.2.1 Rétroprojection gette te™hnique de re™onstru™tion est l— plus simpleD elle ™orrespond à l— méthode dé™rite pré™édemment d—ns l— p—rtie QFSF ve d阗ttement —ngul—ire ϕ v— de −75¦à +75¦F R#[p](x, y) = ϕ pϕ(x cos ϕ + y sin ϕ)dϕ @RFIA Figure RFQ ! ixemple de ‚étroproje™tion —ve™ son histogr—mme des intenE sitésF yn rem—rque ˜ien l9e'et de )ou qui résulte de ™ette re™onstru™tionF get e'et est —ussi per™epti˜le sur l9histogr—mme des intensitésD le résult—t est un liss—ge de l9origin—lF
  36. 36. 34 Reconstruction en tomographie à angle limité eu nive—u de l9—lgorithmeD il est ég—lement très simple en w—tl—˜ X Figure RFR ! elgorithme de ‚étroproje™tionF 4.2.2 Rétroprojection ltrée gette méthode de re™onstru™tion est un peu plus él—˜orée que l— pré™éE dente et permet de re™onstruire de m—nière ex—™te un o˜jet d—ns le ™—s de données ™omplètesF ille ™orrespond vr—iment à l— tr—nsformée de ‚—don inE verseD ™omme elle — été dé™rite d—ns l— p—rtie QFTF ve d阗ttement —ngul—ire ϕ v— de −75¦à +75¦F f(x, y) = R#(F-1(F(pϕ) · |W|)))(x, y) @RFPA gette méthode ™onsiste à dé™omposer l9im—ge rétroprojetée grâ™e à l— tr—nsformée de pourier puis à l— re™omposer en ™h—nge—nt pré—l—˜lement le poids des ™ompos—ntes de fréquen™es di'érentesF einsiD on peut diminuer l— ™ompos—nte de ˜—sse fréquen™e de l9im—ge que l9on s—it être l— sour™e du )ou o˜servéF
  37. 37. 4.2 Méthodes analytiques 35 Figure RFS ! ixemple de ‚étroproje™tion (ltrée —ve™ son histogr—mme des intensitésF eve™ ™ette méthodeD on o˜tient un meilleur résult—tF in o˜serv—nt l9hisE togr—mmeD on rem—rque que l— distri˜ution des nive—ux de gris est plus (neD on — ˜e—u™oup moins l9e'et de )ouF ves —rtef—™ts résiduels en h—ut et en ˜—s du f—ntôme sont dus —ux données —ngul—ires m—nqu—ntesF yn note —ussi l— présen™e d9—rtéf—™ts de r—ies d—ns l9im—geD ™es stries ét—ient —ussi présentes d—ns l— rétroproje™tion simple m—is —tténuées à ™—use du )ouF illes sont dues à l9é™h—ntillonn—ge —ngul—ire qui est trop f—i˜leF in e'etD nous —vonsD i™iD que ISI proje™tionsF v— règle dé™rite d—ns le ™h—pitre PFP n9est p—s respe™tée ™—r d9une p—rtD on souh—ite réduire le temps d9—n—lyse —insi que l— dose délivréeD et d9—utre p—rt on ™her™he à limiter le temps de ™—l™ulF gon™ern—nt les (ltresD il existe plusieurs types v—ri—ntes d9un même (ltreF ve (ltre 4‚—mp4 est le plus utiliséF w—tl—˜ propose des v—ri—ntes ™omme les (ltres 4r—nning4 ou 4r—mming4F w—is le (ltre 4‚—mp4 ser— ™elui qu9on utiliser— d—ns nos re™onstru™tionsF
  38. 38. 36 Reconstruction en tomographie à angle limité Figure RFT ! ixemple de (ltre d—ns l9esp—™e de pourierD @—xe gr—dué en fréquen™eAF ve (ltre théorique est le (ltre 4r—mpe4 @(gF RFT—AF sl possède deux ™—r—™E téristiques prin™ip—les X il —mpli(e les ™ompos—ntes de h—utes fréquen™es et il —nnule l— ™ompos—nte ™ontinue du sign—l ™e qui — pour e'et d9introduire des v—leurs nég—tives ™—r l— ™ompos—nte ™ontinue représente l— moyenne du sign—lF ve (ltr—ge introduit lo™—lement des v—leurs nég—tives sur ™h—™une des proje™E tions (ltrées qui ne sont p—s ™ompensées p—r les —utres proje™tions (ltréesD puisque ™ert—ines proje™tions sont m—nqu—ntesF ƒi l9on dispose de toutes les proje™tionsD —lors il n9y — plus de v—leurs nég—tivesF ve (ltre r—mpe seul est un (ltre p—sseEh—ut qui —mpli(e fortement les h—utes fréquen™es et don™ le ˜ruitF €our ™orriger ™et e'etD il est né™ess—ire de f—ire un fenêtr—ge de ™e (ltre —(n de r—mener les extrémités à HF v— méthode l— plus ™l—ssique ™onsiste à multiplier le (ltre ‚—mp p—r une fenêtre de r—nning @(ltre p—sseE˜—sA pour o˜tenir le (ltre de r—nning de l— (gure RFT˜F sl existe ég—lement d9—utre (ltre ™onnu tel que r—mming ou futterworthF v9—lgorithme ™on™ern—nt ™ette te™hnique est ég—lement très simple X Figure RFU ! elgorithme de rétroproje™tion (ltréeF
  39. 39. 4.2 Méthodes analytiques 37 4.2.3 Conclusion €our ™on™lure sur ™es deux te™hniques de re™onstru™tionD on dir— juste qu9elles ne sont p—s —d—ptées à notre pro˜lèmeF fien qu9elles nous —ient perE mis de ™omprendre les prin™ipes de ˜—ses de l— re™onstru™tion tomogr—phiqueD elles ne se prêtent p—s à une ™—r—™téris—tion dét—illéeF in e'etD ™omme on — pu le voir d—ns l— p—rtie RFPFID l— re™onstru™tion qui résulte de l— rétroproE je™tion simple est ˜e—u™oup trop )oue pour espérer tr—v—iller dessusF h—ns l— p—rtie RFPFP nous —vons vu que même si le pro˜lème de )ou est régléD il réside en™ore plusieurs pro˜lèmes tel queD les —rtéf—™ts de r—ies ou en™ore les v—leurs nég—tives d—ns les im—gesF ges pro˜lèmesD dus respe™tivement à l9é™h—ntillonn—ge et —u (ltreD ne nous permettent toujours p—s d9—voir une ™—r—™téris—tion dét—illée de l9o˜jetF he plus les —rtéf—™tsD engendrés p—r les données —ngul—ires m—nqu—ntesD présent en h—ut et en ˜—s de l9im—geD dén—E turent fortement ™ette dernièreF h—ns l— p—rtie suiv—nteD nous verrons don™ d9—utres —lgorithmes dits 4itér—tifs4 qui tendent à réduire ™es —rtéf—™tsF Figure RFV ! @—A sm—ge origin—leD @˜A ‚étroproje™tionD @™A ‚étroproje™tion (ltréeF
  40. 40. 38 Reconstruction en tomographie à angle limité 4.3 Méthode algébrique ges méthodes sont très ˜ien dét—illées d—ns les référen™es ‘PH“ ‘PI“ ‘PP“F 4.3.1 Principe mathématique ves —lgorithmes de re™onstru™tion itér—tive reposent sur l— résolution d9un système m—tri™iel qui s9exprime de l— m—nière suiv—nte X P = R · f @RFQA P est le ve™teur de mesuresD ™h—que ™ompos—nte ét—nt une v—leur de proE je™tionF ƒ— t—ille 4m4 est ég—l —u produit du nom˜re de proje™tions p—r le nom˜re de points p—r proje™tionF f est le ve™teur des v—leurs re™her™hées en ™h—que pixelD ™h—que ™ompos—nte ét—nt l— v—leur d9—tténu—tion en un pixel de l9im—ge Y elle est de t—ille 4n4 ég—le —u nom˜re tot—l de pixelsF R est l— m—tri™e de proje™tionD de t—ille m ∗ nF gette m—tri™e ne dépend que de l9—™quisition et p—s des donnéesF €our —voir un ordre d9idée si on — 150 proje™tions d9une im—ge de t—ille 300 ∗ 300 pixelsD —lors on o˜tiendr— IQ SHH HHH équ—tions —ve™ —ut—nt d9inE ™onnuesF h—ns le ™—dre de l9év—lu—tion rel—tive des di'érentes —lgorithmes en tomoE gr—phie éle™troniqueD nous —vons implémenté ™h—que —lgorithme en utilis—nt le logi™iel w—tl—˜ et not—mment les fon™tions 4r—don4 et 4ir—don4F gette imE plément—tion s9est f—it sous ‡indowsF ve €g possède un g€… gore P huo PDQ qrz et Pqo ‚ewF 4.3.2 Principe algorithmique €our expliquer plus ™l—irement les —lgorithmes itér—tifsD —dmettons que l9on ™omp—re les proje™tions de dép—rt @les données initi—lesA —ve™ les proje™E tions o˜tenues —près —voir reprojeté une re™onstru™tion simple des données initi—lesF gette reproje™tion ne ser— p—s identique à l9origin—lD et l— di'éren™e entre elles est ™—r—™téristique de l9erreur de l— re™onstru™tion à p—rtir de donE nées in™omplètesF
  41. 41. 4.3 Méthode algébrique 39 sl existe plusieurs f—çons pour mesurer ™ette di'éren™e et l9utiliser —(n d9—méliorer l— première re™onstru™tionF xous verrons deux te™hniquesF v— première est l— méthode e‚„ @elge˜r—i™ ‚e™onstru™tion „e™hniqueA et l— seE ™onde l— méthode ƒs‚„ @ƒimult—neous ster—tive ‚e™onstru™tion „e™hniqueAF v9e‚„ — l— p—rti™ul—rité de tr—iter les proje™tions une p—r une —u ™ours de l9—lgorithme ™ontr—irement —u ƒs‚„ qui les tr—ite toutes en même tempsF ƒiE non le prin™ipe glo˜—l est le mêmeF v— di'éren™e que l9on — énon™ée pré™édemment peut être vue ™omme une 4di'éren™e de sinogr—mme4F g9est le point de dép—rt des —lgorithmesF gette di'éren™e — été ™—l™ulée en ™omp—r—nt les proje™tions initi—les —ve™ les proje™tions d9une im—ge pré—l—˜lement initi—lisée @(gF RFWAF insuite ™ette di'éren™e est rétroprojetéeD on o˜tient —lors une 4di'éren™e de re™onstru™tion4F qrâ™e à ™ette dernière on met à jour notre im—ge qui —v—it été pré—l—˜lement initi—liséeF yn o˜tient —lors une première —pproxim—tion de re™onstru™tionF sl est néE ™ess—ire de répéter ™ette pro™édure plusieurs foisD —ve™ l9im—ge mise à jour à l— pl—™e de l9im—ge initi—liséeD pour o˜tenir un résult—t ™orre™tF ve ™—l™ul des di'éren™es et l— mise à jour peuvent se f—ire de f—çon —dditive ou multipli™—tiveF in e'etD soit on ™—l™ule les di'éren™es —ve™ une soustr—™E tion et d—ns ™e ™—s l— mise à jour ser— une simple —ddition soit en f—is—nt un r—tio et d—ns ™e ™—s l— mise à jour ser— une multipli™—tionF v9initi—lis—tion se fer— di'éremment selon le ™hoix de l— mise à jour X si on ™hoisit une version —dditive —lors il f—ut initi—liser l9im—ge —ve™ à zéro et à un si on ™hoisit l— version multipli™—tiveF ve nom˜re d9itér—tions est ™hoisi de m—nière empirique et vient 4régul—riE ser4 l— re™onstru™tionF €our le ƒs‚„D il f—ut ™ompter environs une vingt—ine d9itér—tions p—r ™ontre pour le e‚„ il en f—ut ˜e—u™oup moinsD environ R ou SF in e'etD d—ns le e‚„ à ™h—que itér—tionD on ™omp—re ™h—que proje™E tion indépend—mment et on rétroprojette ég—lement ™h—que 4di'éren™e de proje™tions4 indépend—mmentF 4.3.3 Méthode ART (Algebraic Reconstruction Tech- nique) v— méthode e‚„ @elge˜r—i™ ‚e™onstru™tion „e™hniqueA ™onsiste à ™orE riger les ™oe0™ients fi de f en utilis—nt une proje™tion à ™h—que foisF v9exE
  42. 42. 40 Reconstruction en tomographie à angle limité Figure RFW ! ƒ™hém— dé™riv—nt le pro™essus d9une re™onstru™tion itér—tiveD —ve™ N ™omme nom˜re d9itér—tion ‘PQ“ ‘PR“F
  43. 43. 4.3 Méthode algébrique 41 Figure RFIH ! @—A e‚„ —dditif à plusieurs itér—tionsD @˜A ristogr—mme des intensitésF pression m—thém—tique de l— ™orre™tion selon l— méthode e‚„ s9é™rit de l— m—nière suiv—nte X f (k) i = f (k−1) i + λ · Rij · (pj − Rj · f(k−1) ) ||Rj||2 @RFRA gette équ—tion s9interprète de l— m—nière suiv—nte X gh—que ™ompos—nte i du ve™teur f(k) à l9itér—tion k est ™orrigée en —jouE t—nt à l— v—leur f (k−1) i o˜tenue à l9itér—tion pré™édente un ™oe0™ient proporE tionnel à l— di'éren™e entre l— donnée pj et l— proje™tion re™—l™ulée à p—rtir de f(k−1) D ég—le à Rj ·f(k−1) F λ estD d—ns ™ette équ—tionD un f—™teur de rel—x—tion qui permet de m—itriser l— ™onvergen™e de l9—lgorithmeF
  44. 44. 42 Reconstruction en tomographie à angle limité ves im—ges o˜tenues p—r re™onstru™tion e‚„ présentent moins d9—rtef—™ts que ™elles o˜tenues p—r rétroproje™tion (ltréeF fien qu9—u nive—u des intensiE tés ™el— sem˜le ™orre™tD on — un petit e'et de )ou m—is surtout des r—ies très import—ntesF get —rtef—™t est dû —u f—it qu9on tr—ite les proje™tions les unes —près les —utres et don™ que l— dernière — plus de poids d—ns l— re™onstru™tionF €our minimiser ™et e'etD les proje™tions peuvent être tr—itées —lé—toirementF yn p—rle en —ngl—is d9 yrdered ƒu˜setF gomme on peut le voirD ™et —lgorithme ™onverge —près très peu d9itér—E tionF gepend—ntD —u nive—u du temps d9exé™utionD il est tout de même moins r—pide que l9—lgorithme ƒs‚„F e ™h—que itér—tionD on rétroprojette —ut—nt de fois qu9il y — de proje™tionsF ves rétroproje™tions ne sont f—ites que sur une seule proje™tion ™ontr—irement —u ƒs‚„D don™ ˜e—u™oup moins ™oûteuses m—is il y — en — ˜e—u™oup plusF
  45. 45. 4.3 Méthode algébrique 43 Figure RFII ! elgorithme e‚„ —dditifF get —lgorithme 4e‚„ 4 est très pro™he de l9—lgorithme dé™rite sur l— (gure RFWD il possède juste une ˜ou™le supplément—ire sur les proje™tionsD qui permet de les tr—iter ™h—™une à leur tourF 4.3.4 Méthode SIRT (Simultaneous Iterative Recons- truction Technique) v— méthode ƒs‚„ @ƒimult—neous ster—tive ‚e™onstru™tion „e™hniqueA ™onsiste à e'e™tuer l— ™orre™tion de ™h—que ( en utilis—nt tous les proje™E tions à l— foisF v9équ—tion permett—nt d9év—luer f(k) p—r ™orre™tion de f(k−1) est l— suiE v—nte X
  46. 46. 44 Reconstruction en tomographie à angle limité f (k) i = f (k−1) i + λ · ( j pj ij Rij − j Rj · f(f−1) j ||Rj||2 ) @RFSA v— somm—tion port—nt sur l9ensem˜le des indi™es j tels que le r—yon j tr—verse le voxel à re™onstruireF gette méthode est plus lente que l9e‚„ et né™essite plus de mémoireF Figure RFIP ! @—A ƒs‚„ multipli™—tif à plusieurs itér—tionsD @˜A ristogr—mme des intensitésF gontr—irement à l— rétroproje™tion (ltrée on — plus ™et e'et indésir—˜le de )ouF ve ™ontr—ste est ˜e—u™oup plus fortD ™e qui se ™on(rme —ve™ l9histoE gr—mme des intensitésF ves —rtéf—™ts des r—ies ont ég—lement disp—rusF w—is le plus s—tisf—is—nt ™9est le f—it que le pro˜lème des données —ngul—ires m—nE qu—ntes est moins )—gr—ntF gertes il est toujours présent m—is le ˜ut n9est p—s de le supprimerD ™e qui est impossi˜leD m—is d9exploiter —u mieux les données disponi˜les pour le réduire —u m—ximumF
  47. 47. 4.3 Méthode algébrique 45 Figure RFIQ ! elgorithme ƒs‚„ multipli™—tifF get —lgorithmeD un peu plus ™omplexe qu9une rétroproje™tionD et ˜e—uE ™oup plus e0™—™e en terme de rendu p—r ™ontre —u nive—u du temps d9exé™uE tion il est ˜e—u™oup plus longF yn peut f—™ilement ™—l™uler ™e temps d9exéE ™ution —ve™ ™et —lgorithme X ƒoit ND le nom˜re d9itér—tion et s—™h—nt qu9une rétroproje™tion est environ deux fois plus longue qu9une proje™tionD on peut dire que ™et —lgorithme est entre 1.5 et 2N fois plus lent qui rétroproje™tion (ltréeF 4.3.5 Conclusion yn vient de présenter les ˜—ses des prin™ip—ux —lgorithmes itér—tifs que l9on peut utiliser en re™onstru™tion tomogr—phique à —ngle limitéF gette liste est non exh—ustive et n9in™lut p—sD p—r exempleD les —ppro™hes —n—lytiques —ve™ des (ltres —d—ptésD les —ppro™hes in™lu—nt une régul—ris—tion ou un moE dèle d9o˜jetD ou en™ore les —ppro™hes ˜—sées sur les ondelettesF
  48. 48. 46 Reconstruction en tomographie à angle limité gomme on vient de le voirD ™es —ppro™hes sem˜lent st—˜les m—is il ne f—ut p—s ou˜lier qu9i™i on ne tr—v—ill—it qu9—ve™ un f—ntôme numériqueD des proje™tions —™quises suiv—nt une géométrie p—rf—ite et des proje™tions non ˜ruitéesF ge ser— tout —utre —ve™ de vr—ies données expériment—lesF 4.4 Tomographie en double-axe 4.4.1 Principe h—ns le ™h—pitre pré™édentD nous venons de voir quelques —lgorithmes de re™onstru™tion qui ont f—it ressortir l— dégr—d—tion des im—ges à ™—use des données —ngul—ires m—nqu—ntesF Figure RFIR ! ‚eprésent—tion des données en Qh d—ns l9esp—™e de pourierD en rouge l9—xe de tiltF
  49. 49. 4.4 Tomographie en double-axe 47 h—ns ™ette p—rtieD nous —llons étudier l— méthode dite 4dou˜leE—xes4 @4du—lE—xis4 en —ngl—isA qui permet de réduire les —rtéf—™ts dus —ux donE nées —ngul—ires m—nqu—ntesF gette te™hnique utilise plusieurs jeux de donE nées ™roisés —(n de ™ompléter plus en dét—il l9esp—™e de pourier ‘PS“ ‘PT“F v9—™quisition des données — un rôle prépondér—nt d—ns ™ette te™hniqueF in e'etD l— géométrie d9—™quisition se doit d9être étudiée pour —voir le moins de vide possi˜le d—ns l9esp—™e de pourierF vorsque l9on possède deux jeux de donnéesD d—ns l9idé—lD ils doivent —voir leurs —xes de tilt perpendi™ul—iresF Figure RFIS ! ‚eprésent—tion de deux jeux de données en Qh d—ns l9esp—™e de pourierD en rouge les —xes de tilt perpendi™ul—iresF
  50. 50. 48 Reconstruction en tomographie à angle limité ges jeux de données peuvent ensuite être —sso™iésD pour venir ™ompléter le dom—ine de pourier @(gF RFITAF Figure RFIT ! ‚eprésent—tion de l9esp—™e de pourier en du—lE—xis Qh ‘PU“F 4.4.2 Algorithme v— te™hnique de re™onstru™tion en dou˜leE—xe repose sur les mêmes te™hE niques de re™onstru™tion vues pré™édemmentF v— première méthode de re™onstru™tion en dou˜leE—xeD l— plus intuitiveD ™onsiste à sommer d—ns l9esp—™e de pourier le résult—t des re™onstru™tions o˜tenues —ve™ les deux jeux de donnéesF gette méthode est indépend—nte de l— te™hnique de re™onstru™tion que l9on utiliseF €our une rétroproje™tion simpleD on o˜tient l— formul—tion m—thém—tique suiv—nte X f(x, y) = F−1 (F(R# (pϕ)(x, y)) + F(R# (pφ)(x, y))) @RFTA ϕ et φ représente deux d阗ttements —ngul—ires @(gF RFITAF
  51. 51. 4.4 Tomographie en double-axe 49 sl existe une se™onde méthodeD liée —ux —lgorithmes itér—tifsD qui v— utiliE ser un jeu de données di'érents à ™h—que itér—tionF ge pro™édé est très ˜ien dé™rit d—ns ™e s™hém— X Figure RFIU ! ƒ™hém— dé™riv—nt l9—lgorithme ƒs‚„ en dou˜leE—xeF gette te™hnique est très pro™he de l9—lgorithme ƒs‚„ du ™h—pitre pré™éE dentF gepend—nt l9initi—lis—tion di'ère légèrementF gontr—irement —ux —lgoE rithmes itér—tifs vus pré™édemmentD où l9initi—lis—tion ét—it f—ite —ve™ une rétroproje™tionD l9initi—lis—tion pour l9—lgorithme dou˜leE—xe ™orrespond à l— formul—tion m—thém—tique ™iEdessusF …ne rétroproje™tion est f—ite pour ™h—que jeu de données puis les résult—ts sont sommés d—ns l9esp—™e de pouE rierF v— ˜ou™le itér—tive di'ère ég—lementD selon que l9itér—tion soit p—ire ou imp—ireF ƒelon les ™—sD p—ire ou imp—ireD l— mise à jour du volume re™onstruit se fer— —ve™ un jeu de donnée ou un —utreF e l9itér—tion suiv—nte le se™ond jeu de donnée ser— utiliséF
  52. 52. 50 Reconstruction en tomographie à angle limité 4.4.3 Reconstruction en double-axe 3D e(n de tester l9—lgorithme dou˜leE—xe on utilise le f—ntôme de ƒheppE vog—n QhF ve volume f—it 256∗256∗256 pixelsF xotre ™on(gur—tion de w—tl—˜ ne permett—nt p—s de tr—iter des données plus volumineusesD il ser— né™esE s—ire de s—uveg—rder les données intermédi—ire en ˜in—ire d—ns des (™hiers tempor—iresF v9—™quisition des données s9est f—ite selon les —xes de tilt X et ZF e ™h—que fois nous —vons utilisé un d阗ttement —ngul—ire de 120¦F e(n de ™omp—rer les —lgorithmes et les im—ges o˜tenuesD on étudier— les ™oupes pour Z = 128 et Z = 75 sur un tot—l de 256 ™oupesF gette im—ge nous donne déjà un —perçu du f—ntôme origin—l X Figure RFIV ! sm—ge origin—le du f—ntôme vu @en h—utA d—ns le pl—n @ˆ‰A et @in ˜—sA d—ns le pl—n @‰AF
  53. 53. 4.4 Tomographie en double-axe 51 €our ˜ien ™omprendre l9imp—™t des données —ngul—ires m—nqu—ntes en fon™tion de l9—xe de tiltD nous —llons ™omp—rer les mêmes ™oupes que d—ns l— (gure RFIV m—is —ve™ deux re™onstru™tions di'érentesF illes sont toutes les deux re™onstruites —ve™ l9—lgorithme ƒs‚„ —ve™ PH itér—tions m—is —ve™ des —xes de tilt di'érentsF v— première est selon l9—xe Z et l— se™onde selon l9—xe XF Figure RFIW ! ‚e™onstru™tionD d9un jeu de donnée —y—nt l9—xe Z ™omme —xe de tiltD —ve™ l9—lgorithme ƒs‚„ @PH itér—tionsAF @in h—utA d—ns le pl—n (XY ) et @in ˜—sA d—ns le pl—n (Y Z)F
  54. 54. 52 Reconstruction en tomographie à angle limité Figure RFPH ! ‚e™onstru™tionD d9un jeu de donnée —y—nt l9—xe X ™omme —xe de tiltD —ve™ l9—lgorithme ƒs‚„ @PH itér—tionsAF @in h—utA d—ns le pl—n (XY ) et @in ˜—sA d—ns le pl—n (Y Z)F gomme on peut le voir ™es (gure RFIW et RFPHD l9inform—tion présente d—ns ™es deux re™onstru™tions est très di'érenteF illes sontD en f—itD ™omplémenE t—iresF ƒi l9on somme ™es deux re™onstru™tions d—ns l9esp—™e de pourier on o˜E tient une meilleure re™onstru™tion X
  55. 55. 4.4 Tomographie en double-axe 53 Figure RFPI ! ƒomme selon l9équ—tion @IA de deux re™onstru™tions —ve™ des —xe de tilt selon X et ZF @in h—utA d—ns le pl—n (XY ) et @in ˜—sA d—ns le pl—n (Y Z)F gomme on peut le voir sur l— (gure RFPID le f—it de sommer nos deux re™onstru™tions d—ns l9esp—™e de pourierD ™orrige en p—rtie les —rtéf—™ts dus —ux données —ngul—ires m—nqu—ntesF gepend—ntD ™ette te™hnique ne les ™orE rige p—s entièrementD il su˜siste un e'et de )ou import—nt selon les —xes de tilt @respe™tivement horizont—le et verti™—leAF g9est pourquoi il est né™ess—ire d9utiliser l9—lgorithme itér—tif dé™rit d—ns l— (gure RFIUF yn o˜tient —lors l— re™onstru™tion suiv—nte X
  56. 56. 54 Reconstruction en tomographie à angle limité Figure RFPP ! ‚e™onstru™tion de deux jeux de données —ve™ l9—lgorithme en dou˜leE—xe de™rit d—ns l— (gure RFIUF @in h—utA d—ns le pl—n (XY ) et @in ˜—sA d—ns le pl—n (Y Z)F gette (gure nous montre que l9—lgorithme en dou˜leE—xe —pporte plus de dét—il à l— re™onstru™tion que l9—lgorithme illustré —ve™ l— (gure RFPIF in e'etD on ne voit plus les zones de )ou que l9on —v—it suiv—nt les —xes verti™—ux et horizont—uxF
  57. 57. 4.4 Tomographie en double-axe 55 Figure RFPQ ! v— ligne du h—ut ™orrespond —u ™oupe ™entr—le selon l9—xe Z = 128F v— ligne du ˜—s ™orrespond —ux ™oupes Z = 75F e droiteD le f—ntôme origin—lF eu milieu g—u™heD une re™onstru™tion ƒs‚„ ™l—ssique @PH itér—tionsAF eu milieu droitD une re™onstru™tion dou˜leE—xe ™l—ssique selon l9équ—tion @IAF e g—u™heD une re™onstru™tion dou˜leE—xe itér—tive @PH itér—tionsAF v— (gure RFPQ illustre p—rf—itement les —v—nt—ges et in™onvénients de l— re™onstru™tion en dou˜leE—xeF ves —rtéf—™ts de re™onstru™tion sur l— ™oupe ™entr—le selon l9—xe ZD ne sont p—s du tout ™orrigésD ™ontr—irement à ™eux des ™oupes extérieuresF in e'etD d—ns le ™—s d9une re™onstru™tion en Qh en du—lE—xisD les ™oupes ™entr—les ne possèdent p—s plus d9inform—tion que d—ns une re™onstru™tion Qh ™l—ssique @(gF RFITAF
  58. 58. 56 Reconstruction en tomographie à angle limité 4.4.4 Conclusion ve p—r—gr—phe pré™édent nous montre ™l—irement l9intérêt de l9—lgorithme en du—lE—xisF ve prin™ip—l —v—nt—ge de ™et —lgorithme est de gr—ndement réduire les —rtéf—™ts en —pport—nt plus d9inform—tion lors de l— re™onstru™tionF gepend—ntD ™ette inform—tion n9est p—s gr—tuiteD surtout si l9on ne tr—v—ille p—s —ve™ des données simuléesF eve™ des données réellesD il ser— né™ess—ire de ré)é™hir à une stru™ture d9—™quisition et à l— mise en ™orrespond—n™e des di'érents jeux de donnéesF he plus ™ette idée est renfor™ée p—r le f—it qu9—ve™ des données réelles en Qh ™e seront souvent les ™oupes ™entr—les qui nous intéresserons le plusF yr on vient de voir que ™e sont ™es dernières qui ont leur géométrie l— moins —mélioréeF ve se™ond point fort de ™et —lgorithme ™on™erne le temps d9exé™utionF ƒi on le ™omp—re —u temps d9exé™ution d9un —lgorithme ƒs‚„ ™l—ssiqueD on s9—perçoit qu9ils sont ég—uxF in e'etD il dépend du nom˜re d9itér—tion et non de l— qu—ntité d9inform—tionF in sommeD on tr—ite deux fois plus d9inform—E tion en —ut—nt de tempsF 4.5 Tomographie Locale 4.5.1 Introduction h—ns les ™h—pitres pré™édentsD nous —vons tr—ité le ™—s de re™onstru™tion tomogr—phique à —ngle limitéF yn — vu que ™et —ngle limité se tr—duis—itD sur un sinogr—mmeD p—r un m—nque d9inform—tion selon l9—xe des ϕF h—ns ™ette p—rtie nous —llons étudier l— tomogr—phie lo™—le ‘PV“ ‘PW“ ‘QH“D qui ™orrespond à un —utre type de données m—nqu—ntesF gette fois ™iD ™e ser— selon l9—xe des proje™tions F gomme on peut le voir sur l— (gure RFPRD le siE nogr—mme de droite ™orrespond à de l— tomogr—phie lo™—leF ves proje™tions sont dites 4tronquées4F
  59. 59. 4.5 Tomographie Locale 57 Figure RFPR ! @e g—u™heA ƒinogr—mme ™ompletD @eu milieuA ƒinogr—mme à —ngle limitéD @e droiteAD ƒinogr—mme à proje™tion tronquéeF xous —llons don™ étudier l— tomogr—phie lo™—leD tout en g—rd—nt l9—ngle limitéF xous —urons don™ des sinogr—mmes à —ngle limité et à proje™tions tronquéesD ™e qui ™orrespond à un pro˜lème inverse d9une extrême ™omplexité m—is pourt—nt ˜—sé sur un ˜esoin pr—tique réelF ge sinogr—mme permettr— de re™onstruire uniquement une p—rtie de l9im—geF gette zone que l9on re™onsE truit est —ppelé 4région d9intérêt4F yn se retrouve d—ns ™e ™—sD lorsque notre déte™teur est plus petit que l9o˜jet à re™onstruireF g9est très souvent le ™—s en im—gerie médi™—le et tomogr—phie éle™troniqueF
  60. 60. 58 Reconstruction en tomographie à angle limité Figure RFPS ! ‚e™onstru™tion d9un sinogr—mme à —ngle limité et à proje™tion tronquée —ve™ l9—lgorithme ƒs‚„F v— (gure RFPS illustre un ™—s sévère de tomogr—phie lo™—leD —ve™ à g—u™he deux sinogr—mmesD l9un ™omplet et l9—utre tronqué à h—uteur de SH7F v— re™onstru™tion —ve™ les données tronquées montre que le ™er™le de re™onsE tru™tion @dont le di—mètre ™orrespond à l— tron™—ture du sinogr—mmeA est qu—lit—tivement ™orre™tement re™onstruitF €—r ™ontreD de fortes v—leurs de nive—ux de gris viennent délimiter ™e ™er™le Y ™e genre d9—rtef—™t est ™our—mE ment o˜servé en tomogr—phie éle™troniqueF eu delà de ™e ™er™leD l— qu—lité de l9im—ge est très m—uv—iseD ™e qui est logique puisque les données ™orresponE d—ntes n9existent p—s @ou peuAF yn o˜serve né—nmoins ™ert—ines stru™tures du f—ntôme initi—lF hes stries import—ntes —pp—r—issentD qui viennent du ™ouE pl—ge —ngle limité et tomogr—phie lo™—leF gette im—ge nous permet de nous rendre ™ompte de l— di0™ulté à re™onstruire d—ns de telles ™onditionsF sl est à noter que des —rtef—™ts supplément—ires peuvent —pp—r—ître et venir ™orE rompre le ™er™le de re™onstru™tion X si une stru™ture dense se situe loin de l9—xe de rot—tionD elle v— introduire des stries import—ntes à l9intérieur du ™er™leF ƒi p—r ™ontre l— p—rtie de l9o˜jet non in™luse d—ns le sinogr—mme est de f—i˜le intensitéD et plutôt ˜—sse fréquen™eD —lors seule une ™ompos—nte ™ontinue v— venir s9—jouter d—ns le ™er™le de re™onstru™tion et —ur— un e'et limitéD ™e qui est le ™—s de l— (gure RFPSF
  61. 61. 4.5 Tomographie Locale 59 v— tomogr—phie lo™—le — trouvé des —ppli™—tions d—ns les dom—ines de l9im—gerie médi™—le pour son ™oté non inv—sif puisqu9on irr—die qu9un org—ne et p—s le ™orps entier Y l— dose de r—yonnement est gr—ndement réduiteF in tomogr—phie éle™troniqueD l— résolution est telle qu9il n9est souvent possi˜le d9illuminer qu9une p—rtie de l9o˜jet à —n—lyserD ™e dernier ét—nt souvent plus gros que le ™h—mp de vue du mi™ros™ope ‘QI“ ‘QP“F 4.5.2 Implémentation d'une formule d'inversion en to- mographie locale xous nous ˜—sons sur les re™her™hes d9edel p—rid—ni d—ns ‘QQ“ ‘QR“ ‘QS“ pour implémenter un —lgorithme de tomogr—phie lo™—leF in tomogr—phie ™l—ssiqueD l— re™onstru™tion en un point x requiert les mesures d9—tténu—tion sur toutes les droites du pl—n ™onten—nt xF in tomoE gr—phie lo™—leD l9idée est de re™onstruire une fon™tion —ve™ uniquement des données lo™—lesF €our ™e f—ireD on ne re™onstruit p—s l— fon™tion f elleEmême m—is Lf = α(f + µΛ−1 f)F gette méthode — été introduite en premier d—ns les tr—v—ux d9eFp—rid—niF s™iD l9opér—teur Λ2 = −∆ F get opér—teur est l— r—™ine ™—rré du l—pl—™ien positifF in tr—itement d9im—geD le l—pl—™ien est un opér—teur de déte™tion de ™ontourF ge tr—itement —ur— don™ tend—n™e à supprimer les ˜—sses fréquen™es et mettre en éviden™e les h—utes fréquen™es pour une déte™tion des dis™ontiE nuités de l— fon™tionF Λf est un opér—teur lo™—lD ™ontr—irement à fD il peut être identi(é d—ns une région d9intérêt à p—rtir des seules mesures de l— tr—nsformée de ‚—don à tr—vers ™ette régionF he plus il possède les mêmes singul—rités que fF yn peut don™D en re™onstruis—nt Λf à p—rtir des données lo™—lesD —voir toutes les inform—tions de f d—ns ™ette région d9intérêtF Λ−1 f — qu—nt à luiD un rôle se™ond—ireD il ne possède p—s un intérêt m—E thém—tique dire™tF ve f—it de re™onstruite l— ™om˜in—ison liné—ire LfD nous permet juste d9o˜tenir une im—ge qui ressem˜l—nt plus à fF ve ™hoix des ™oe0™ients est f—it de m—nière empiriqueF gette opér—teur nous est donné p—s l— formul—tion suiv—nte —ve™ m = ±1 X
  62. 62. 60 Reconstruction en tomographie à angle limité Λm f(x) = 1 4π2 ϕ Λm+1 Rϕf(x)dϕ @RFUA = 1 4π2 R# Λm+1 Rf(x) @RFVA h—ns le ™—s où m a I X Λf(x) = 1 4π2 R# (Λ2 Rf)(x) @RFWA = 1 4π2 ϕ ∂2 ∂S2 Rϕf(x)dϕ @RFIHA h—ns le ™—s où m a EI X Λ−1 f(x) = 1 4π2 R# (Rf)(x) @RFIIA h—ns l— pr—tiqueD pour o˜tenir ΛfD on (ltre les données —ve™ un (ltre 4v—E pl—™ien g—ussien4 puis on e'e™tue une rétroproje™tionF yn o˜tient un tout —utre sinogr—mme @(gF RFPTAF u—nt à Λ−1 fD ™9est tout simplement une réE troproje™tionF
  63. 63. 4.5 Tomographie Locale 61 Figure RFPT ! sllustr—tion sur des données ™omplètes de l9—lgorithme de p—E rid—niF@in h—ut à g—u™heA ƒinogr—mme origin—l et ƒinogr—mme (ltréD Λ2 RfF @in h—ut à droiteA ‚e™onstru™tion du sinogr—mme (ltréD ΛfF @in ˜—s à g—u™heA ‚étroproje™tion du sinogr—mme origin—lD Λ−1 fF @in ˜—s à droiteA ‚e™onstru™tion de LfF h—ns le ™—s d9un sinogr—mme tronquéD ™omme on peut le voir sur l— (gure RFPSD on re™onstruit une région d9intérêt ˜ien spé™i(queF h—ns les (gures suiE v—ntesD on —pplique notre —lgorithme de tomogr—phie lo™—le sur le sinogr—mme tronquéF illes nous —pportent ˜ien l— preuve que l9opér—teur Λf est un opéE r—teur lo™—l qui ™onserve ex—™tement les mêmes singul—rités que l— fon™tion fF in e'etD si l9on ™omp—re —ve™ l— (gure RFPSD du f—it de l— lo™—lité de notre opér—teurD nous n9—vons plus de pro˜lèmes dus à de fortes intensités situées loin de l9—xe de rot—tionF
  64. 64. 62 Reconstruction en tomographie à angle limité Figure RFPU ! @e g—u™heA ƒinogr—mme (ltréD Λ2 RfF @e droiteA ‚e™onstru™E tion du sinogr—mme (ltréD ΛfF @ger™le rougeA ‚égion d9intérêtF
  65. 65. 4.5 Tomographie Locale 63 Figure RFPV ! @in h—ut à g—u™heA Λ−1 fF @in h—ut à droiteA ΛfF @in ˜—s à g—u™heA ‚égion d9intérêt origin—leF @in ˜—s à droiteA LfF 4.5.3 Tomographie multi-résolution ves —ppro™hes multiErésolutionD en tomogr—phieD ™onsistent à ™om˜iner des inform—tions de résolutions di'érentes pour —méliorer le résult—t (n—l ‘QT“ ‘QU“F gette ™on(gur—tion peut être ™our—nte d—ns le milieu médi™—l ou d—ns l9industrie qu—nd on est —mené à utiliser plusieurs pro™édés d9—™quisitionF h—ns notre ™—sD on peut p—r exemple o˜tenir nos jeux de données en tomoE gr—phie ˆ et éle™troniqueF in tomogr—phie ˆD il ser— plus simple d9o˜tenir l9inform—tion glo˜—le d9un o˜jetF in e'et d—ns ™e ™—sD on possède deux jeux de donnéesF gomme en tomoE
  66. 66. 64 Reconstruction en tomographie à angle limité gr—phie lo™—le on possède un jeu de donnée lo™—l de l— région d9intérêt en h—ute résolutionF €—r ™ontre l9—utre ser— un se™ond jeu de donnée m—is ™ette fois de l9é™h—ntillon d—ns s— glo˜—lité m—is en plus f—i˜le résolutionF @(gF RFPWA Figure RFPW ! @in h—utA teu de donnée h—ute résolution —ve™ des proje™E tions tronquéesD @in ˜—sA teu de donnée ˜—sse résolution —ve™ des proje™tions entièresF
  67. 67. 4.5 Tomographie Locale 65 h—ns ™et exempleD les deux jeux de données sont mis en ™orrespond—n™eF yn re™onstruit le sinogr—mme ˜—sse résolution d—ns s— tot—litéD m—is pour les pixels de l— région d9intérêt on utilise le jeu de donnée h—ute résolutionF Figure RFQH ! f—ntôme re™onstruit —ve™ une retroproje™tion (ltrée à p—rtir des deux jeux de données de l— (gure RFPW 4.5.4 Conclusion h—ns ™e ™h—pitreD nous —vons p—r™ourus les prin™ip—les méthodes de reE ™onstru™tion tomogr—phique à —ngles limitésF ves méthodes itér—tives de type e‚„ ou ƒs‚„D à p—rtir de données glo˜—lesD sem˜lent donner de ˜ons résulE t—tsF it puisD le f—it que l9on puisse ™oupler ™es —lgorithmes —ve™ des —lgoE rithmes en dou˜leE—xe permet d9—méliorer en plus l— qu—lité de l— re™onstru™E tionF gepend—nt ™es —lgorithmes sont gourm—nds en temps de ™—l™ul et l— gestion des données en termes de mémoire est ™ontr—ign—nteF xous —vons ég—lement étudié les —lgorithmes de tomogr—phie lo™—leD qui opère à p—rtir de données lo™—lesF fien que les re™onstru™tions sem˜lent de
  68. 68. 66 Reconstruction en tomographie à angle limité moins ˜onnes qu—lités que ™elles o˜tenues —ve™ les —lgorithmes itér—tifsD elles restent tout de même très en™our—ge—ntesF in e'etD l— tomogr—phie lo™—le est très —d—ptée à l— tomogr—phie éle™tronique à ™—use de l— petite t—ille des ™—pteurs en ™omp—r—ison des o˜jetsF h—ns le ™h—pitre suiv—ntD nous étudierons plus les données réelles o˜tenues à p—rtir du mi™ros™ope éle™troniqueF xous verrons tout d9—˜ord une ét—pe prélimin—ire à l— re™onstru™tionD qui est l9—lignement des donnéesF insuite nous étudierons des tr—nsistors de type qee @en —ngl—is 4q—teEellEeround devi™e4AF gel— p—sser— premièrement p—r l9étude des données équipementier et de leurs (™hiers de sortiesD puis p—r l— ™omp—r—ison de nos résult—t —ve™ les leursF
  69. 69. Chapitre 5 Application pratique 5.1 Alignement des données h—ns le ™h—pitre pré™édent nous —vons f—it plusieurs types de re™onstru™E tionF „outes ™es re™onstru™tions ont été f—ites à p—rtir de sinogr—mme o˜tenus —ve™ des données simuléesF he ™e f—it nous n9—vions —u™un pro˜lème de donE nées erronéesF v— ré—lité est tout —utreD il est très ™our—nt que lorsque l9on o˜serve les s™—ns o˜tenus —ve™ le mi™ros™ope éle™troniqueD on —perçoive des dis™ontinuités entre les di'érentes im—gesF ge™i est dû à des rot—tions de l9é™h—ntillon à ™—use d9une m—uv—ise st—˜ilité du porteEé™h—ntillon ou du goniomètreF yn p—rle de m—uv—is —lignement des donnéesF ge dés—lignement entr—îner— p—r l— suite une re™onstru™tion )oue —ve™ ˜e—u™oup de striesF sl est don™ né™ess—ire d9—ligner les données de m—nière pré™ise —v—nt l9ét—pe de re™onstru™tionF ge pro™essus est primordi—l pour o˜tenir une re™onstru™E tion tomogr—phie de qu—litéF sdé—lementD toutes les im—ges doivent être —liE gnées de m—nière à ™e que ™h—™une représente une proje™tion du même o˜jet à un —ngle d9—™quisition ™onnuF ve pro˜lème est d9—ut—nt plus di0™ile ™—r l9exposition —u f—is™e—u d9éle™trons peut induire des dégâts d9irr—di—tion qui modi(e l— géométrie de l9o˜jetF TU
  70. 70. 68 Application pratique sl existe deux prin™ip—les méthodes pour f—ire ™et —lignementF v— première ™onsiste à utiliser des m—rqueurs (du™i—ux ‘QV“F yn p—rle d9—lignement semiE—utom—tique en utilis—nt des m—rqueurs externesF ges m—rE queurs sont génér—lement des p—rti™ules à fort ™ontr—ste du type ˜ille d9orF gette méthode est ™onsidéré ™omme ét—nt l— plus (—˜le est l— plus pré™ise pour —ligner les donnéesF gepend—ntD elle est rel—tivement lente est né™essite d9—voirD —u pré—l—˜leD des m—rqueurs en qu—ntité su0s—nte et uniformément rep—rtis sur l9o˜jetF ves é™h—ntillons étudiés —u l—˜or—toire ne se prêtent p—s ™e genre de tr—itement prélimin—ireF xous n9utiliserons don™ p—s ™ette méE thodeF v— se™onde méthode est ˜—sée sur l— ™orrél—tion ™roisée des im—ges ‘QW“ ‘RH“F yn p—rle d9—lignement en tr—nsl—tion p—r ™orrél—tion ™roiséeF in e'etD ™h—™un des proje™tions est ™omp—rée —ve™ l— proje™tions voisine d—ns un proE ™essus —ppelé ™orrél—tion ™roiséeF sl — pour e'et d9—ligner de pro™he en pro™he les pi™s d9hyper ré)e™tivités pour re™onstituer une ligne horizont—leF sl peut don™ 4gommer4 ™ert—ines irrégul—rités réellement présentesF gette méthode est r—pide et peut être mise en pl—™e de m—nière —utom—tiqueF yn peut ég—E lement utiliser des (ltres @(ltre de pourierD (ltre de ƒo˜elD F F F A pour —mélioE rer l9—lignementF gepend—ntD elle n9est p—s toujours perform—nte à ™—use des ™h—ngements d9—ngle que l9on peut —voir lors de l9—™quisitionF gette méthode est ™elle mise en ÷uvre d—ns le logi™iel équipementierD snspe™tQh de l— so™iété pisF
  71. 71. 5.1 Alignement des données 69 5.1.1 Eet du désalignement v— position de l9—xe de rot—tion est fond—ment—le pour pouvoir re™onsE truireF in pr—tiqueD nous n9—vons p—s une ™onn—iss—n™e pré™ise de ™et —xe et il né™essite d9être ™—l™ulé — posterioriF xous —vons simulé l9e'et d9une in™erE titude de l— position de l9—xe de rot—tionF gel— revient à d陗ler en ˜lo™ le sinogr—mme p—r r—pport à son ™entreF h—ns ™ette p—rtie nous —llons étudier les e'ets que peuvent —voir un m—uE v—is —lignement des donnéesF xous —llons visu—liser plusieurs sortes de dés—liE gnement —ve™ des données simuléesF ge seront don™ les sinogr—mmes o˜tenus à p—rtir du f—ntôme de ƒheppEvog—n qui seront dés—lignésF v9im—ge origin—le — une t—ille de SIPxSIP pixelsF ve premier dés—lignement que nous —llons voir est le plus ™l—ssiqueF sl est extrêmement pro˜—˜le que l9on o˜serve ™et e'et —ve™ des données expériE ment—lesF in e'etD ™h—que sinogr—mmeD de ™h—que ™oupe d9un o˜jet QhD est d陗lé p—r r—pport à son voisinD suiv—nt l9—xe des proje™tions ρ @(gF SFIAF Figure SFI ! @e g—u™heA sm—ge origin—leD @eu milieuA ƒinogr—mme origin—l pour ϕ —ll—nt de −75¦ à +75¦D @e droiteA ƒinogr—mme d陗lé de PH pixels suiv—nt l9—xe F v— (gure SFP nous montre les e'ets dév—st—teurs que peut —voir ™e dés—liE gnement sur une re™onstru™tion —ve™ l9—lgorithme de rétroproje™tion (ltréeF
  72. 72. 70 Application pratique Figure SFP ! i'et du dés—lignement d sur l— rétroproje™tion (ltréeF @d est en pixelsAF ve se™ond dés—lignement ™orrespondr—it plus à des vi˜r—tions perçues p—r l9o˜jet ou l— sour™e d9éle™tronF gepend—nt il est déjà plus r—reF in e'etD les s—lles où sont les mi™ros™opes sont très ˜ien isolées —ve™ des supports —ntivi˜r—toiresF s™iD ™h—que proje™tion du sinogr—mmeD ser— don™ d陗lée p—r r—pport à l— norm—le de m—nière —lé—toire @(gF SFQAF
  73. 73. 5.1 Alignement des données 71 Figure SFQ ! @e g—u™heA sm—ge origin—leD @eu milieuA ƒinogr—mme origin—l pour ϕ —ll—nt de −75¦à +75¦D @e droiteA ƒinogr—mme dont ™h—que proje™tion est d陗lée indépend—mmentF v— (gure SFR nous montre l9e'et du dés—lignement dé™rit pré™édemment sur l— région d9intérêt que l9on peut voir sur l— (gure SFQF €our ™et exempleD l— rétroproje™tion (ltrée — été utiliséeF ves histogr—mmes du ˜—s nous déE ™rivent l9intensité suiv—nt l— ligne rouge de l9im—ge origin—le de l— (gure SFRF yn s9—perçoit très vite qu9à p—rtir de ±2 pixels de d陗l—ge @sur une im—ge SIPxSIP pixelsAD l— re™onstru™tion ser— très —pproxim—tiveF get exemple et le pré™édent nous ™on(rment ˜ien que l9—lignement des données en re™onstru™tion tomogr—phique est une ét—pe primordi—leF
  74. 74. 72 Application pratique Figure SFR ! @in h—utA ‚e™onstru™tion —ve™ une rétroproje™tion (ltrée @zoomé sur l— région d9intérêt de l— (gure SFQAD ristogr—mme d9intensité suiE v—nt l— ligne rouge de l9im—ge origin—leF 5.1.2 Alignement en translation par corrélation croisée v9—lignement des données p—r ™orrél—tion ™roisée est ˜—sé sur l— fon™tion de ™orrél—tion ™roisée Ph dis™rète X h(m, n) = 1 MN M−1 j=0 N−1 k=0 f(j, k)g(j + m, k + n) @SFIA f et g sont les mesures de l— densité optique des deux im—ges et M et N sont respe™tivement l— l—rgeur et l— h—uteurF ƒi les im—ges f et g possèdent un même motif suiv—nt l— même orient—tion m—is à des positions di'érentes r1 et r2D —lors le ve™teur de ™orrél—tion ™roisée h —ur— un pi™F ge pi™ ser— situé à une dist—n™e ∆r = (r1 − r2) = (m0, n0) du ™entre du ve™teurF e p—rtir de ™ette formul—tionD il — été dé™rit tout un ™heminement pour —ligner deux proje™tions issues d9une série d9—™quisition @(gF SFSA X ƒoient deux im—ges Im1 et Im2 que nous souh—itons —ligner pré™isément suiv—nt le même —xeF v— première ét—pe ™onsiste à ™—l™uler les tr—nsformée de pourier des deux im—ges im1 et im2F insuiteD il est né™ess—ire de (ltrer les résult—ts p—r des (ltre p—sse h—ut et p—sse ˜—s pour not—mment éviter le pro˜lème du ˜ruitF ges (ltres sont utilisés pour o˜tenir un résult—t (n—l
  75. 75. 5.1 Alignement des données 73 (—˜leD ™9est à dire un pi™ intense et étroitF xous —ppliquons ensuite l— ™orréE l—tion ™roisée qui ser— une multipli™—tion de im1 p—r le ™onjugué de im2F sl f—ut ensuite ™—l™uler l— tr—nsformée de pourier inverse de ™ette im—ge ImF ƒur ™ette im—ge ImD il su0t de déte™ter l— position du pi™ d9intensité m—ximum X ™ette position p—r r—pport —u ™entre de l9im—ge nous donner— le ve™teur déE pl—™ement de Im2 p—r r—pport à Im1F Figure SFS ! gheminement pour l9—lignement de deux im—gesF €our ré—liser ™e tr—itement sur une série de proje™tions ordonnées suiv—nt l9in™lin—ison —ngul—ireD il f—ut rendre ™e tr—itement périodique suiv—nt un toreF
  76. 76. 74 Application pratique 5.2 Tomographie sur les GAA 5.2.1 Introduction sur les GAA eu gieEvi„sD et plus pré™isément d—ns notre l—˜or—toireD nous déveE loppons l— tomogr—phie éle™tronique sur des tr—nsistors qee @en —ngl—is 4q—teEellEeround4AF €our inform—tionD les tr—nsistors qee sont des tr—nsistors de type wyƒE pi„ @en —ngl—is 4wet—l yxide ƒemi™ondu™tor pield i'e™t „r—nsistor4AF in fr—nç—isD on p—rle de tr—nsistor à e'et de ™h—mp à grille isoléF g9est un type de tr—nsistor à e'et de ™h—mpD ™omme tous les tr—nsistors le wyƒpi„ moE dule le ™our—nt qui le tr—verse à l9—ide d9un sign—l —ppliqué sur son éle™trode ™entr—le nommée 4grille4F sl trouve ses —ppli™—tions d—ns les ™ir™uits intégrés numériquesD en p—rti™ulier —ve™ l— te™hnologie gwyƒD —insi que d—ns l9éle™E tronique de puiss—n™eF ve terme gwyƒ @en —ngl—is 4gomplement—ry wet—l yxide ƒemi™ondu™tor4A désigne une te™hnologie de f—˜ri™—tion de ™ompoE s—nts éle™troniquesF h—ns ™es ™ir™uitsD un ét—ge de sortie est ™omposé d9un ensem˜le de tr—nsistors à e'et de ™h—mp pl—™és de m—nière symétrique et ré—lis—nt ™h—™un l— même fon™tionF Figure SFT ! „r—nsistor qee vu p—r wif @mi™ros™ope éle™tronique à ˜—E l—y—geAF
  77. 77. 5.2 Tomographie sur les GAA 75 Figure SFU ! ƒ™hém— d9un tr—nsistor qee vu en ™oupeF v— se™tion ™—rrée est un n—no(lF v— stru™ture en n—no(ls des tr—nsistors qee ne peut p—s être étudiée diE re™tement en tomogr—phie éle™troniqueF v— prép—r—tion d9é™h—ntillons — été optimiséeD en isol—nt quelques n—no(ls d—ns une pointeD grâ™e à une sonde ionique fo™—lisé @en —ngl—is psf 4po™used son fe—m4AF qrâ™e à ™ette te™hE niqueD les proje™tions ont pu être —™quises en tomogr—phie éle™tronique sur une pl—ge d9in™lin—ison —ll—nt jusqu9à ±80¦F
  78. 78. 76 Application pratique Figure SFV ! €ointe vu —ve™ un „iw @„r—nsmission ile™tron wi™ros™opeAF Figure SFW ! ƒ™hém— de pointe prép—rée —u psf suiv—nt deux géométries di'érentesF
  79. 79. 5.2 Tomographie sur les GAA 77 Ét—nt donné que nous tr—v—illons toujours —ve™ des données —ngul—ires m—nqu—ntesD nous verronsD d—ns les pro™h—ines p—rtiesD que l— di'éren™e de géométrie lors de l— prép—r—tion de l9é™h—ntillonD nous permet de visu—liser des ™—r—™téristiques di'érentes de l9o˜jetF ge tr—v—il de prép—r—tion — été f—it p—s edeline qrenierD qui est en postEdo™ en mi™ros™opie —u l—˜or—toireF 5.2.2 Mise en correspondance avec les données équipe- mentier gomme nous —vons pu le voir d—ns ™e r—pportF vorsqu9une série de proE je™tions est —™quise sur le mi™ros™ope @(gF SFIHAD il f—ut les tr—iterF yr ™es données sont en™ore ˜rutesD il est don™ né™ess—ire d9utiliser le logi™iel fourni p—r l9équipementier pisD à s—voir snspe™t QhF ge logi™iel nous permet ensuite d9o˜tenir nos données —u form—t 4Fmr™4F Figure SFIH ! Q proje™tions d9un tr—nsistor qee o˜tenues —ve™ le „it—nF ge form—t est un form—t li˜re qui est devenu un st—nd—rd en mi™ros™opie éle™troniqueF sl ™ontient une grille tridimensionnelle de voxels —y—nt ™h—™un une v—leur ™orrespond—nt à l— densité d9éle™tronF get —gen™ement de donE née à l9—v—nt—ge d9être supporté p—r tous les logi™iels qui gèrent les données volumétriquesF gepend—nt ™h—que logi™iel qui ser— —mené à ™réer des (™hiers —u form—t 4Fmr™4D le fer— —ve™ un 4enEtête4 di'érentF h—ns un (™hierD l9enEtête sert noE t—mment à donner des inform—tions sur les données présentes d—ns le (™hierF €our exploiter les données expériment—les et p—r l— même o™™—sion tester nos —lgorithmes de re™onstru™tionD il — été né™ess—ire d9exporter ™es données sous w—tl—˜F yr w—tl—˜D ne permet p—s d9exporter ™e type de (™hierF sl — don™ f—llu implémenter des routines de le™ture et d9é™ritureF €our ™e f—ireD nous
  80. 80. 78 Application pratique devons ™ommen™er p—r dé™hi'rer l9enEtête du (™hier et en extr—ire toutes les inform—tions né™ess—ires à l— le™ture des donnéesF xous devons don™ ™onn—ître l— t—ille pré™ise de ™et enEtête pour s—voir où ™ommen™e les donnéesF insuiteD nous devons ™onn—itre prin™ip—lement l— t—ille de l— grille triE dimensionnelle et l— dimension des v—leurs @d—ns l— plup—rt des ™—s nous —vons du ITE˜it signéAF …ne fois que ™es inform—tions sont —™quises et que l— géométrie d9—gen™ement des données est ™ompriseD nous pouvons extr—ire les données ou é™rire —u form—t 4Fmr™4F gepend—ntD il y — un —utre pro˜lème de t—illeD w—tl—˜ est un outil très puiss—ntD m—is m—lheureusementD il ne permet p—s de tr—iter de gros volume de donnéeD surtout —ve™ une —r™hite™ture ‡indows QP˜itsD dont un pro™essus ne peut ex™éder PqoF ge™i et le f—it que w—tl—˜ ne gère les t—˜le—ux uniquement de m—nière ™ontigüeD ne nous permet p—s de tr—iter un volume de données de plus de VHH wo d—ns l9environnement w—tl—˜F e titre de ™omp—r—isonD les (™hiers de données issue du „it—n font une t—ille de l9ordre de QHHwo et une re™onstru™tion une t—ille de l9ordre de IDSqoF €our pouvoir exploiter ™es données et réussir nos re™onstru™tionsD il — f—llu s—uveg—rderD en temps réelD les inform—tions d—ns des (™hiers tempor—ires dur—nt le tr—itementF …ne fois que l— re™onstru™tion est f—ite et que le (™hier 4Fmr™4 est ™réeD nous pouvons visu—liser notre volume d—ns des logi™iel gr—tuit tel que sm—get ou ghimer—F 5.2.3 Mise en application w—inten—nt que nous —vons vuD quels ét—ient les é™h—ntillons et ™omment ils ét—ient f—˜riquésD —insi queD tous les pro˜lèmes logi™iels et leurs solutions nous pouvons pro™éder à l— re™onstru™tionF ges deux premières im—ges sont issues de l— même re™onstru™tion d9un tr—nsistor de type qeeF ille — été o˜tenue à p—rtir d9une re™onstru™tion —ve™ l9—lgorithme e‚„ @S itér—tionsAF ge sont don™ deux ™oupes du même o˜jet m—is o˜servés d—ns des pl—ns di'érentsF v— première est d—ns le pl—n @ZXAF yn y voit très ™l—irement —pp—r—itre le n—no(lF yn y distingue ég—lement les éléments ™himiques qui le ™omposent @(gF SFIIAF
  81. 81. 5.2 Tomographie sur les GAA 79 Figure SFII ! goupeD re™onstruite —ve™ l9—lgorithme e‚„D vue d—ns le pl—n @ZXA u—nt à l— se™onde ™oupe @(gF SFIPAD elle est o˜servée d—ns le pl—n @XY AF xous somme ™ensés y o˜server l— se™tion ™—rré d—ns n—no(lsF yr l— qu—lité de l— re™onstru™tion selon ™et —xe est très peu s—tisf—is—nteF ge™i est dû en gr—nde p—rtie —ux données —ngul—ires m—nqu—ntesF in e'etD l9—xe de tilt est d—ns ™et exemple selon l9—xe ZD les ™oupes ont don™ été re™onstruites selon ™et —xeF sl est don™ logique que lorsque l9on o˜serve une ™oupe selon ™et —xeD on voit —pp—r—itre les —rtéf—™ts dus —ux données —ngul—ires m—nqu—ntesF
  82. 82. 80 Application pratique Figure SFIP ! goupeD re™onstruite —ve™ l9—lgorithme e‚„D vue d—ns le pl—n @XY A gette re™onstru™tion — été f—ite à p—rtir d9un é™h—ntillon prép—ré selon l— géométrie dé™rite d—ns l— (gure SFW—F e(n d9o˜server l— se™tion ™—rré des n—no(lD il f—ut que l9é™h—ntillon soit prép—ré selon une —utre géométrieF €our pouvoir f—ire une re™onstru™tion des ™oupes selon l9—xe Y F h—ns l— (gure SFIQD l9é™h—ntillon — été prép—ré selon l— méthode de l— (gure SFW˜D et nous o˜servonsD ™ette foisD très ˜ien l— se™tion ™—rrée du n—no(lF
  83. 83. 5.2 Tomographie sur les GAA 81 Figure SFIQ ! goupeD re™onstruite —ve™ une rétroproje™tion (ltréeD vue d—ns le pl—n @XY A ges exemples de re™onstru™tion nous r—ppellent ˜ien évidement les re™onsE tru™tions o˜tenues sur les données simulées d—ns le ™h—pitre RFRFQ tr—it—nt de l9—lgorithme dou˜leE—xeF ves jeux de données o˜tenues —ve™ les di'érentes géométries de prép—r—tion d9é™h—ntillon sont ™omplément—iresF sl ser—it don™ très intéress—nt d9utiliser les —lgorithmes dou˜leE—xe —(n de ˜ien pour pouvoir ™—r—™tériser le n—no(l et ég—lement visu—liser ™orre™tement s— géométrieF he plusD ™omme nous pouvons le voir sur les re™onstru™tionsD nos données sont tronquéesF he ™e f—itD il ser—it —v—nt—geux de pouvoir utiliserD p—r l— suiteD l— tomogr—phie lo™—le sur ™es donnéesF
  84. 84. 82 Application pratique

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