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Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie      1.5e−05                Loi lognormale sur le triangle cumul...
Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie cat(Quantile convolée =,q(LT)(.95))Quantile convolée = 434615.9 ...
Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie3       Le modèle de Mack bivarié€rol 8 ƒ™hmidt @PHHSA — proposé ...
Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-viev9estim—teur du f—™teur de tr—nsition est         n−j−1          ...
Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie4      Régression bivariéev9idée d—ns les modèles é™onométriques ...
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  1. 1. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie Le provisionnement en assurance non-vie prise en compte de la dépendance Arthur Charpentier http://freaconometrics.blog.free.fr ƒémin—ire interne hesj—rdins essur—n™es qénér—lesD février PHII Les provisions techniques sont les provisions destinées à permettre le réglementintégral des engagements pris envers les assurés et bénécaires de contrats. Elles sont liées à la technique même de lassurance, et imposées par la réglementation. I
  2. 2. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie1 Introduction et notations• i @en ligneA l9—nnée de surven—n™eD• j @en ™olonneA l9—nnée de développementD• Yi,j les incréments de paimentsD pour l9—nnée de développement j D pour les sinistres survenus l9—nnée iD• Ci,j les paiments cumulésD —u sens où Ci,j = Yi,0 + Yi,1 + · · · + Yi,j D pour l9—nnée de surven—n™e j D PAID [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6][1,] 3209 4372 4411 4428 4435 4456[2,] 3367 4659 4696 4720 4730 NA[3,] 3871 5345 5398 5420 NA NA[4,] 4239 5917 6020 NA NA NA[5,] 4929 6794 NA NA NA NA[6,] 5217 NA NA NA NA NA P
  3. 3. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-viepour les tri—ngles ™umulésD ou pour les in™réments INCREMENT - PAID INCREMENT[,2:nrow(PAID)] - PAID[,2:nrow(PAID)]-PAID[,1:(nrow(PAID)-1)] INCREMENT [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6][1,] 3209 1163 39 17 7 21[2,] 3367 1292 37 24 10 NA[3,] 3871 1474 53 22 NA NA[4,] 4239 1678 103 NA NA NA[5,] 4929 1865 NA NA NA NA[6,] 5217 NA NA NA NA NA Q
  4. 4. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie1.1 La méthode Chain Ladder (dynamique sur C )(Ci,j )j≥0 est un pro™essus w—rkovienD et qu9il existe λ = (λj ) et σ = (σj ) tels que 2  i,j+1 |Hi+j ) = E(Ci,j+1 |Ci,j ) = λj · Ci,j  E(C  †—r(Ci,j+1 |Hi+j ) = †—r(Ci,j+1 |Ci,j ) = σ 2 · Ci,j jon peut é™rire Ci,j+1 = λj Ci,j + σj Ci,j + εi,joù les résidus (εi,j ) sont iFiFdF et ™entrésF e p—rtir de ™ette é™ritureD il peut p—r—îtrelégitime d9utiliser les méthodes des moindres ™—rrés pondérés pour estimer ™es™oe0™ientsD en not—nt que les poids doivent être inversement proportionnels à l—v—ri—n™eD —utrement dit —ux Ci,j D iFeF à j donnéD on ™her™he à résoudre n−j 1 2 min (Ci,j+1 − λj Ci,j ) i=1 Ci,j R
  5. 5. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie library(ChainLadder) MackChainLadder(PAID)MackChainLadder(Triangle = PAID) Latest Dev.To.Date Ultimate IBNR Mack.S.E CV(IBNR)1 4,456 1.000 4,456 0.0 0.000 NaN2 4,730 0.995 4,752 22.4 0.639 0.02853 5,420 0.993 5,456 35.8 2.503 0.06994 6,020 0.989 6,086 66.1 5.046 0.07645 6,794 0.978 6,947 153.1 31.332 0.20476 5,217 0.708 7,367 2,149.7 68.449 0.0318 TotalsLatest: 32,637.00Ultimate: 35,063.99IBNR: 2,426.99Mack S.E.: 79.30 S
  6. 6. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie1.2 La régression lognormale (économétrie sur Y )yn suppose que les in™réments d¡endent d9un f—™teur ligne @iA et d9un f—™teur p™olonne @j AD log Yi,j ∼ N (ai + bj , σ 2 ), pour tout i, j an - 6; ligne - rep(1:an, each=an); colonne - rep(1:an, an) INC - PAID INC[,2:6] - PAID[,2:6]-PAID[,1:5] Y - as.vector(INC) lig - as.factor(ligne) col - as.factor(colonne) reg - lm(log(Y)~col+lig) summary(reg)Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(|t|)(Intercept) 7.9471 0.1101 72.188 6.35e-15 *** T
  7. 7. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-viecol2 0.1604 0.1109 1.447 0.17849col3 0.2718 0.1208 2.250 0.04819 *col4 0.5904 0.1342 4.399 0.00134 **col5 0.5535 0.1562 3.543 0.00533 **col6 0.6126 0.2070 2.959 0.01431 *lig2 -0.9674 0.1109 -8.726 5.46e-06 ***lig3 -4.2329 0.1208 -35.038 8.50e-12 ***lig4 -5.0571 0.1342 -37.684 4.13e-12 ***lig5 -5.9031 0.1562 -37.783 4.02e-12 ***lig6 -4.9026 0.2070 -23.685 4.08e-10 ***---Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1Residual standard error: 0.1753 on 10 degrees of freedom (15 observations deleted due to missingness)Multiple R-squared: 0.9975, Adjusted R-squared: 0.9949F-statistic: 391.7 on 10 and 10 DF, p-value: 1.338e-11 U
  8. 8. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vieyn peut —lors simplement utiliser ™ette régression pour ™onstruire le tri—ngle de˜—se du modèleD Yi,j = exp[ai + bj ] m—is ™et estim—teur ser— ˜i—iséD sigma=summary(reg)$sigma INCpred - matrix(exp(logY+sigma^2/2),an,an) INCpred [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6][1,] 2871.209 1091.278 41.66208 18.27237 7.84125 21.32511[2,] 3370.826 1281.170 48.91167 21.45193 9.20570 25.03588[3,] 3767.972 1432.116 54.67438 23.97937 10.29030 27.98557[4,] 5181.482 1969.357 75.18483 32.97495 14.15059 38.48403[5,] 4994.082 1898.131 72.46559 31.78233 13.63880 37.09216[6,] 5297.767 2013.554 76.87216 33.71498 14.46816 39.34771 cat(Total reserve =,sum(exp(logY[is.na(Y)==TRUE]+sigma^2/2)))Total reserve = 2481.857 V
  9. 9. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie1.3 La régression log-Poisson (sur Y )yn suppose i™i que Yi,j ∼ P(exp[ai + bj ]) pour tout i, j. library(statmod) an - 6; ligne - rep(1:an, each=an); colonne - rep(1:an, an) passe - (ligne + colonne - 1)=an; np - sum(passe) futur - (ligne + colonne - 1) an; nf - sum(passe) INC - PAID INC[,2:6] - PAID[,2:6]-PAID[,1:5] Y - as.vector(INC) lig - as.factor(ligne) col - as.factor(colonne) CL - glm(Y~lig+col, family=quasipoisson) summary(CL) W
  10. 10. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vieCoefficients: Estimate Std. Error t value Pr(|t|)(Intercept) 8.05697 0.02769 290.995 2e-16 ***lig2 -0.96513 0.02427 -39.772 2.41e-12 ***lig3 -4.14853 0.11805 -35.142 8.26e-12 ***lig4 -5.10499 0.22548 -22.641 6.36e-10 ***lig5 -5.94962 0.43338 -13.728 8.17e-08 ***lig6 -5.01244 0.39050 -12.836 1.55e-07 ***col2 0.06440 0.03731 1.726 0.115054col3 0.20242 0.03615 5.599 0.000228 ***col4 0.31175 0.03535 8.820 4.96e-06 ***col5 0.44407 0.03451 12.869 1.51e-07 ***col6 0.50271 0.03711 13.546 9.28e-08 ***---Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1(Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 3.18623) IH
  11. 11. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie Null deviance: 46695.269 on 20 degrees of freedomResidual deviance: 30.214 on 10 degrees of freedom (15 observations deleted due to missingness)AIC: NANumber of Fisher Scoring iterations: 4 Yi,j = E(Yimj ) = mi,j = exp[ai + bj ] mu.hat1 - exp(predict(CL,newdata=data.frame(lig,col)))*futur cat(Total reserve =, sum(mu.hat1))Total reserve = 2426.985 mu.hat2 = predict(CL,newdata=data.frame(lig,col),type=response)*futur cat(Total reserve =, sum(mu.hat2))Total reserve = 2426.985 II
  12. 12. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vieves résidus de €e—rson sont —lors Yi,j − mi,j εi,j = . mi,jin simul—nt des erreurs @qui sont supposées indépend—ntes et identiquementdistri˜uéeAD εb = (˜b )D on pose —lors ˜ εi,j b Yi,j = mi,j + mi,j · εb . ˜i,j…ne simul—tion nonp—r—métrique @ie ˜ootstr—pA est le plus n—turel CL - glm(Y~lig+col, family=quasipoisson) residus=residuals(CL,type=pearson) IP
  13. 13. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie Densité Fonction de répartition 1.0 q q q 0.5 q 0.8 q q 0.4 q q q 0.6 q 0.3 q q q 0.4 q 0.2 q q q 0.2 0.1 q q q q 0.0 0.0 −2 0 2 4 −2 0 2 4 Résidus Résidus IQ
  14. 14. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie H I P Q R S H HFWRV EIFIPV EIFSQQ EHFRVW EHFRPU HFHHH I HFHPR HFPUU EPFPIQ HFUWP HFRIR P HFIIT HFHST EIFHPR EHFPWU Q EIFHVP HFVWI RFPQU R HFIQH EHFPII S HFHHH Table I ! ve tri—ngle des résidus de €e—rsonD εi,j = m−1/2 · [Yi,j − mi,j ]F i,je(n de prendre en ™ompte l9erreur de modèleD plusieurs méthodes peuvent êtreutiliséesFv— premièreD et l— plus simpleD ™onsiste à noter qu9à p—rtir du pseudo tri—ngleYi,j D peut o˜tenir des prédi™tions pour l— p—rtie inférieureD Yi,j F gompte tenu du b b IR
  15. 15. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-viemodèle €oissonnienD on peut —lors simuler une tr—je™toire possi˜le d9in™rémentsde p—iements en simul—nt les Yi,j à l9—ide de loi de €oisson de p—r—mètre Yi,j F ve b b™ode est —lors le suiv—nt CLsimul1=function(triangle){+ triangles=rpoisson(length(triangle),lambda=triangle)+ return(sum(ULT-DIAG)) }v— se™onde méthode est d9utiliser une rele™ture du modèle de w—™k @IWWQAF ep—rtir du pseudo tri—ngleD on v— utiliser les f—™teurs de développement λj et lesv—ri—n™es —sso™iés σj o˜tenus sur le tri—ngle initi—lF yn prolonge —lors le tri—ngle 2d—ns l— p—rtie inférien™e vi— le modèle dyn—mique b b b 2 b Ci,j+1 |Ci,j ∼ N (λj Ci,j , σj Ci,j ).ve ™ode est —lors le suiv—ntD où triangle est un tri—ngle de p—iements cumulésD l™orrespond à un ve™teur de f—™teurs de développementD et s à un ve™teur devol—tilitésD IS
  16. 16. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie CLsimul2=function(triangle,l,s){+ m=nrow(triangle)+ for(i in 2:m){+ triangle[(m-i+2):m,i]=rnorm(i-1,+ mean=triangle[(m-i+2):m,i-1]*l[i-1],+ sd=sqrt(triangle[(m-i+2):m,i-1])*s[i-1])+ }+ ULT=triangle[,m]+ DIAG=diag(triangle[,m:1])+ return(sum(ULT-DIAG)) } IT
  17. 17. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie2 Dépendance entre trianglesin s9insipr—nt de l9idée de w—™k @IWWQAD on peut supposer que Ri suive une loiLN (µi , σi ) pour i = 1, 2F ƒi l9on suppose les risques indépend—ntD l— loi de l— 2somme est simplement l— ™onvolée des deux loisF yn peut utiliser les f—milles dedistri˜ution —u form—t S4 et l— library(distr)F ‚—ppelons que pour siX ∼ LN (µ, σ 2 )D 1 †—r(X) †—r(X) µ = log[E(X)] − log 1 + et σ 2 = log 1 + . 2 E(X)2 E(X)2e p—rtir des moyennes et v—ri—n™es E données p—r l— méthode de w—™k @IWWQA p—rexemple E on en déduit les lois des deux mont—nts de provisionF ƒi on suppose queles deux tri—ngles sont indépendantsD —lors library(distr) V=MackChainLadder(P.mat)$Total.Mack.S.E^2 E=sum(MackChainLadder(P.mat)$FullTriangle[,n]-+-diag(MackChainLadder(P.mat)$FullTriangle[n:1,])) IU
  18. 18. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie mu = log(E) - .5*log(1+V^2/E^2) sigma2 = log(1+V^2/E^2) LM = Lnorm(meanlog=mu,sdlog=sqrt(sigma2)) V=MackChainLadder(P.corp)$Total.Mack.S.E^2 E=sum(MackChainLadder(P.corp)$FullTriangle[,n]-+ diag(MackChainLadder(P.corp)$FullTriangle[n:1,])) mu = log(E) - .5*log(1+V^2/E^2) sigma2 = log(1+V^2/E^2) LC = Lnorm(meanlog=mu,sdlog=sqrt(sigma2)) LT=LM+LCyn peut —lors ™omp—rer l— loi ™onvoléeD et l— loi lognorm—le —justée sur le tri—ngle™umuléD P.tot = P.mat + P.corp library(ChainLadder) V=MackChainLadder(P.tot)$Total.Mack.S.E E=sum(MackChainLadder(P.tot)$FullTriangle[,n]- IV
  19. 19. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie+ diag(MackChainLadder(P.tot)$FullTriangle[n:1,])) mu = log(E) - .5*log(1+V^2/E^2) sigma2 = log(1+V^2/E^2) u=seq(0,qlnorm(.95,mu,sqrt(sigma2)),length=1000) vtotal=dlnorm(u,mu,sqrt(sigma2)) vconvol=d(LT)(u) plot(u,vtotal) lines(u, vconvol) IW
  20. 20. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie 1.5e−05 Loi lognormale sur le triangle cumulé Convolution des lois lognormales 1.0e−05 5.0e−06 0.0e+00 250000 300000 350000 400000 450000 500000 550000 Montant de provision, totalves qu—ntiles à WS7 sont —lors respe™tivement PH
  21. 21. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie cat(Quantile convolée =,q(LT)(.95))Quantile convolée = 434615.9 cat(Quantile lognormal =,qlnorm(.95,mu,sqrt(sigma2)))Quantile lognormal = 467686.8pour l— loi ™onvolée et pour l— somme des deux tri—nglesF heux interprét—tionssont —lors possi˜les X supposer les tri—ngles ™omme ét—nt indépend—nts estpro˜—˜lement une hypothèse trop forte et tr—v—iller sur un tri—ngle —grégé @etdon™ peu homogèneA introduit une in™ertitude supplément—ireF PI
  22. 22. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie3 Le modèle de Mack bivarié€rol 8 ƒ™hmidt @PHHSA — proposé une méthode de type gh—inEv—dder d—ns un™—dre multiv—riéF yn note (k) (k) (k) Ci,j λi,j = (λi,j ) où λi,j = (k) Ci,j−1 (k)et C i,j = (Ci,j ) ∈ RK yn suppose qu9il existe λj =∈ RK E[C i,j |C i,j−1 ] = (λj−1 ) · C i,j−1et gov[C i,j , C i,j |C i,j−1 ] = ( C j−1 ) · Σj−1 · ( C j−1 )elors sous ™es hypothèsesD ™omme d—ns le ™—s univ—riéD on peut é™rire n−1 E[C i,n |C i,n−i ] = (λj )C i,n−i . j=n−i PP
  23. 23. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-viev9estim—teur du f—™teur de tr—nsition est n−j−1 −1 n−j−1 λj = ( C i,j ) · Σ−1 · ( C i,j ) j · ( C i,j ) · Σ−1 · ( C i,j )λi,j+1 j i=0 i=0v9estim—teur gh—inEv—dder de l— ™h—rge ultime est n−1 C i,n = (λj )C i,n−i . j=n−iget estim—teur véri(e les mêmes propriétés que d—ns le ™—s univ—riéF inp—rti™ulierD ™et estim—teur est un estim—teur s—ns ˜i—is de E[C i,n |C i,n−i ] m—is—ussi de E[C i,n ]Fsl est —ussi possi˜le de ™—l™uler les mse de prédi™tionF PQ
  24. 24. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie4 Régression bivariéev9idée d—ns les modèles é™onométriques est de supposer que les résidus peuventêtre ™orrélésD ligne = rep(1:n, each=n); colonne = rep(1:n, n) passe = (ligne + colonne - 1)= n PAID=P.corp; INC=PAID INC[,2:n]=PAID[,2:n]-PAID[,1:(n-1)] I.corp = INC PAID=P.mat; INC=PAID INC[,2:n]=PAID[,2:n]-PAID[,1:(n-1)] I.mat = INC Ym = as.vector(I.mat) Yc = as.vector(I.corp) lig = as.factor(ligne) col = as.factor(colonne) PR
  25. 25. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie base = data.frame(Ym,Yc,col,lig) regm=glm(Ym~col+lig,data=base,family=poisson) regc=glm(Yc~col+lig,data=base,family=poisson) res.corp=residuals(regc,type=pearson) res.mat=residuals(regm,type=pearson) plot(res.corp,res.mat) PS
  26. 26. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie q 60 résidus de Pearson, sinistres matériel 40 q q q q 20 q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q 0 q q q q qq q q q q q q q −20 q q q q −40 −60 q −20 0 20 40 résidus de Pearson, sinistres corporelsyn noter— que l— ™orrél—tion n9est p—s nulleF PT
  27. 27. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie cat(Corrélation des résidus =,cor(res.mat,res.corp))Corrélation des résidus = 0.2957895…ne fois notée qu9il existe pro˜—˜lement une dépend—n™e entre les deux tri—nglesDil sem˜le légitime de l— prendre en ™ompte d—ns les —lgorithmes de simul—tions! pour l9erreur d9estim—tionD qu—nd on tire les résidusD on ne les tire p—s indépendement d—ns les deux tri—nglesF yn tire —lors les paires de résidus (εmatériel,b , εcorporel,b ) i,j i,j! pour l9erreurD on peut tirer une loi de €oisson ˜iv—riée si on utilise une régression €oissonnienne ˜iv—riée @implémentée d—ns library()bivpois ou un ve™teur q—ussien ˜iv—riéFh—ns le se™ond ™—sD       matériel Ci,j+1 matériel λm Ci,j m2 matériel σj Ci,j  ∼ N  j , corporel corporel corporel   Ci,j+1 λc Ci,j j c2 σj Ci,j PU
  28. 28. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie library(mnormt) CLb2=function(triangle1,l1,s1,triangle2,l2,s2,rho){+ m=nrow(triangle1)+ for(i in 2:m){+ for(j in (m-i+2):m){+ E=rmnorm(1, mean=c(triangle1[j,i-1]*l1[i-1],+ triangle2[j,i-1]*l2[i-1]),+ varcov=matrix(c(triangle1[j,i-1]*s1[i-1]^2,+ rho*sqrt(triangle1[j,i-1]*triangle2[j,i-1])*+ s1[i-1]*s2[i-1],+ rho*sqrt(triangle1[j,i-1]*triangle2[j,i-1])*+ s1[i-1]*s2[i-1],triangle2[j,i-1]*s2[i-1]^2),2,2))+ triangle1[j,i]=E[1,1]+ triangle2[j,i]=E[1,2]+ }}+ ULT1=triangle1[,m]+ DIAG1=diag(triangle1[,m:1]) PV
  29. 29. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vie+ ULT2=triangle2[,m]+ DIAG2=diag(triangle2[,m:1])+ return(c(sum(ULT1-DIAG1),sum(ULT2-DIAG2)))+ }yn peut —lors f—ire tourner des simul—tionsbase=data.frame(YPc,YPm,lig,col)nsim=50000PROVISION=rep(NA,nsim)PROVISIONm=rep(NA,nsim)PROVISIONc=rep(NA,nsim)PROVISIONc2=rep(NA,nsim)PROVISION2=rep(NA,nsim)for(k in 1:nsim){I=sample(1:45,size=n^2,replace=TRUE)simEm = Em[I]simEc = Ec[I] PW
  30. 30. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-vieI=sample(1:45,size=n^2,replace=TRUE)simEc2= Ec[I]bruitm=simEm*sqrt(exp(YPm))bruitc=simEc*sqrt(exp(YPc))bruitc2=simEc2*sqrt(exp(YPc))INCsm=exp(YPm)+bruitmINCsc=exp(YPc)+bruitcINCsc2=exp(YPc)+bruitc2INCMm=matrix(INCsm,n,n)INCMc=matrix(INCsc,n,n)INCMc2=matrix(INCsc2,n,n)CUMMm=INCMmCUMMc=INCMcCUMMc2=INCMc2for(j in 2:n){CUMMm[,j]=CUMMm[,j-1]+INCMm[,j] CUMMc[,j]=CUMMc[,j-1]+INCMc[,j] CUMMc2[,j]=CUMMc2[,j-1]+INCMc2[,j]} QH
  31. 31. Arthur CHARPENTIER - Provisionnement en assurance non-viePROVISIONm[k]=CLb(CUMMm,lambdam,sigmam)PROVISIONc[k]=CLb(CUMMc,lambdac,sigmac)PROVISIONc2[k]=CLb(CUMMc2,lambdac,sigmac)PROVISION[k]=sum(CLb2(CUMMm,lambdam,sigmam,CUMMc,lambdac,sigmac,0.8))PROVISION2[k]=CLb(CUMMm,lambdam,sigmam)+CLb(CUMMc2,lambdac,sigmac)} QI

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