1. ENONCE de l'énigme 10 (la tache) :
Loïc a renversé du blanco sur le cahier d'un de ses élèves…
Lorsqu'il le lui rend, il commence par s'excuser, mais son
côté espiègle reprend le dessus et il met son élève au défi de
compléter la division tachée, en lui rappelant que le
dividende est un entier à quatre chiffres et que le diviseur est
un entier à deux chiffres.
Sauriez-vous retrouver le quotient entier de
cette division tachée…?
CORRECTION :
Le dividende est de la forme _ 5 9 _, que l'on note A 5 9 B. Le diviseur est de la forme 8 _, que l'on note 8 C.
A, B et C représentent donc des chiffres.
Deux cas sont possibles :
 Si A 5 est supérieur à 8 C, alors le reste de la première division est 4.
C'est le cas uniquement si A = 8 et C = 1.
Alors le quotient commence par 10. La division à compléter est ci-contre.
Un multiple de 81 doit donc être compris entre 409 et 499. Le seul nombre en
question est 486. Pour avoir un reste finissant par 0, on a donc B = 6.
En définitive, la division est celle de 8596 par 81.
Le reste entier est 10 et le quotient est 106.
Ceci dit, on peut argumenter que le quotient comporte trois chiffres et donc qu'une présentation correcte
amènerait quatre lignes à gauche de la barre verticale.
 Si A 5 est inférieur à 8 C, alors le reste de la division de A 5 9 par 8 C est 4 9.
Donc un multiple de 8 C finit par 10.
110  80  1,375 et 110  90  1, 22 . 110 n'est pas un multiple d'un nombre de la forme 8 C.
210  80  2,625 et 210  90  2,33 . 210 n'est pas un multiple d'un nombre de la forme 8 C.
310  80  3,875 et 310  90  3, 44 . 310 n'est pas un multiple d'un nombre de la forme 8 C.
410  80  5,125 et 410  90  4,56 . On trouve 410 = 82  5 .
510  80  6,375 et 510  90  5,67 . On trouve 510 = 85  6 .
610  80  7,625 et 610  90  6,78 . Mais 610  7 n'est pas entier : 610 n'est pas multiple de 8 C.
710  80  8,875 et 710  90  7,89 . Mais 710  8 n'est pas entier : 710 n'est pas multiple de 8 C.
810  80  10,125 et 810  90  9 . 810 n'est pas multiple de 8 C.
On subdivise encore en deux possibilités que l'on complète :
On peut donc obtenir un quotient de 56 ou de 65.
TROIS SOLUTIONS POUR LE QUOTIENT ENTIER : 56, 65 et 106.