2. Formation : mathématicien
Arithmétique
Métier : développeur
Cartes perforées,C, C++, COM, C#, Javascript
Cofondateur d’Aspectize :
Technologie pour développer des applicationsWeb et
mobiles avec un minimum de code.
4. De la mathématisation de la logique
De la fin du 19e siècle à nos jours
Et son impact sur le décorticage de l’infini
▪ Cardinaux
▪ Ordinaux
▪ Arithmétique non standard
▪ Analyse non standard
▪ Le fini
Spéculations
5. Zénon
Achille et la tortue
La flèche
Aristote
Infini potentiel
Infini actuel
Hôtel de Hilbert
8. Consistance de l’arithmétique.
Résolu en 1935
Récurrence transfini
0
9. Hypothèse de Riemann… premiers jumeaux…
Non résolu
3 756 801 695 685 x 2666 669 ± 1
200 700 chiffres
(2011)
10. Algorithme pour la solvabilité des équations
diophantiennes
Résolu négativement 1970
11. Complétude des maths
▪ La question : « tout entier est somme de 4 carrés »
▪ doit avoir une réponse positive ou négative
Résolu négativement 1931
12. Cohérence des maths
Prouver qu’on ne pourra pas prouver quelque
chose du style : « deux plus deux égale cinq »
Résolu négativement 1931
22. Les théories ont des
Réalisations
Interprétations
Modèles
Exemples :
Géométrie : Euclidienne, non Euclidienne…
Groupes : beaucoup de modèles, finis, infinis…
Ensemble : ?
Arithmétique : ?
23. Toute théorie ayant un modèle de cardinalité C
possède aussi des modèles de cardinalité K pour
tout cardinal K > C
Toute théorie ayant un modèle de cardinalité K
> 0 possède aussi un modèle dénombrable
On peut donc : imaginer une réalisation dénombrable des
nombres dits réels !
24. Le modèle standard
Des modèles non standards
0 1 2 3 4 …
… -1 +1 …
…
Avec une structure d’ordre N + Q x Z
25. Existence d’infinitésimaux
1/ est strictement positif
Pourtant plus petit que 1/n pour tout n fini
On peut faire de l’analyse et du calcul différentiel
sans parler de limites
27. P ou non P
Veut dire : on possède un algorithme pour prouver
P ou on possède un algorithme pour prouver non
P.
Il se peut qu’on ait ni l’un ni l’autre.
28. Nombre de particules dans l’univers = 1080
Googol = 10100
Googolplex = 10googol
Question ?
5 *4 6 < Googolplex < 5 *5 6
29. Il y a des nombres entre zéro et googolplex qui ne
seront jamais atteint ni par des opérations algébriques
ni par l’imaginaire ni même par des expériences
physiques.
Ces nombres peuvent jouer le rôle de . un entier
inatteignable (inaccessible) par les maths ordinaires.
On peut imaginer un théorème style Löwenheim–
Skolem mais fini.
30. Il est communément admi que l’informatique théorique est
fondée sur les maths.
Il se peut que ça soit l’inverse : que les maths aient comme
fondation l’informatique.
Qu’on ait découvert les maths avant l’informatique, le
continu avant le discret parce que notre imagination n’est
pas prête à affronter la complexité du fini et que l’infini
n’est qu’un moyen maladroit pour appréhender le fini.
31. Pythagore : tout est nombre
Oui si on s’autorise des démonstrations de longueur infinie.
D’un autre côté un théorème, un morceau de math est
un point de vue, une œuvre intellectuelle, au même
titre qu’un morceau de jazz.
C’est ridicule de lui associer une valeur de vérité !
L’idée de vérité est probablement ridicule en soi.