Il pourrait être plus petit que vous le pensez
 Formation : mathématicien
 Arithmétique
 Métier : développeur
 Cartes perforées,C, C++, COM, C#, Javascript
 Cofonda...
∞
 De la mathématisation de la logique
 De la fin du 19e siècle à nos jours
 Et son impact sur le décorticage de l’infini...
 Zénon
 Achille et la tortue
 La flèche
 Aristote
 Infini potentiel
 Infini actuel
 Hôtel de Hilbert
1862_1943
 Programme
23 problèmes Paris (1900)
 3 problèmes Bologne (1928)
 Hypothèse du continu (1878).
 Résolu en 1963.
 Consistance de l’arithmétique.
 Résolu en 1935
 Récurrence transfini
0
 Hypothèse de Riemann… premiers jumeaux…
 Non résolu
3 756 801 695 685 x 2666 669 ± 1
200 700 chiffres
(2011)
 Algorithme pour la solvabilité des équations
diophantiennes
 Résolu négativement 1970
 Complétude des maths
▪ La question : « tout entier est somme de 4 carrés »
▪ doit avoir une réponse positive ou négative...
 Cohérence des maths
 Prouver qu’on ne pourra pas prouver quelque
chose du style : « deux plus deux égale cinq »
 Résol...
 Entscheidungsproblem
 Résolu négativement
▪ AlanTuring 1936
▪ Alonzo Church 1935 (lambda calcul)
 Bon ordre
 0 1 2 3 4 …
 
  + 1
  + 2
 …
+  = 2 
3 
  = 2
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 Les théories ont des
 Réalisations
 Interprétations
 Modèles
 Exemples :
 Géométrie : Euclidienne, non Euclidienne…...
 Toute théorie ayant un modèle de cardinalité C
possède aussi des modèles de cardinalité K pour
tout cardinal K > C
 Tou...
 Le modèle standard
 Des modèles non standards
 0 1 2 3 4 …
 … -1  +1 …
 …
 Avec une structure d’ordre N + Q x Z
 Existence d’infinitésimaux
 1/  est strictement positif
 Pourtant plus petit que 1/n pour tout n fini
 On peut faire...
1881-1966
Père de l’intuitionnisme ou
constructivisme : Questionne le
principe du tiers exclu !
 P ou non P
 Veut dire : on possède un algorithme pour prouver
P ou on possède un algorithme pour prouver non
P.
 Il se...
 Nombre de particules dans l’univers = 1080
 Googol = 10100
 Googolplex = 10googol
 Question ?
5 *4 6 < Googolplex < 5...
 Il y a des nombres entre zéro et googolplex qui ne
seront jamais atteint ni par des opérations algébriques
ni par l’imag...
 Il est communément admi que l’informatique théorique est
fondée sur les maths.
 Il se peut que ça soit l’inverse : que ...
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 Oui si on s’autorise des démonstrations de longueur infinie.
 D’un autre côté un théorème...
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Infinie

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  • Cher ami si dans l'ensemble votre diapositif est plus ou moins bien ; il contient cependant, des notions disparates, voire opposées. Ainsi, mélanger la théorie des ensembles Z.F., la théorie des Modèles et le problème P=NP (problème de complexité dont la solution -si vous le trouvez- vous donne le droit de toucher 1,000,000 de Dollars), c’est comme si on tente de mélanger les principes de la mécanique quantique et ceux de la physique relativiste et espérer ainsi trouver la Théorie de Tout. Car si le mélange peut être mathématiquement vrai, il demeure irrémédiablement faux, du point de vue physique, et pour cause dans la physique relativiste et même newtonienne, le principe de la localité existe, c-à-d on peut toujours dire avec une précision où se trouve un objet, alors qu’en mécanique quantique dès que vous tentez de dire où se trouve un électron, et bien inexorablement, vous allez perdre la tête, le corps et même les 96% de la matière de l’univers ( la matière noire et l’énergie noire qu’on tente de localiser par des moyens QUANTIQUE). Ceci dit, il ne faut pas dogmatiser l’infini, pour vous montrer que cette notion n’est pas toujours une chose inaccessible, rappelez-vous le compactifié de l’ensemble de tous les nombres réels IR , - notion de topologie un peu bizarre mais très importante (pour l’anecdote compact a un rapport avec les trous noirs...☺☺☺)- . je dis pour rendre IR compact il suffit de lui ajouter UN POINT (oui un point) noté ∞ et voilà TOUT LE MONDE VOIT ET MÊME PEUT TOUCHER cet infini, qui est le huit renversé… Ce point a la particularité suivante : Pour tout réel x on a x ⪇ ∞ Et voilà encore l’infini – que ne peut être énuméré – et définit avec seulement 19 symboles (oui 19 excepté les espaces dans la phrase mathématiques ci-dessus). La voie que vous avez choisi pour définir l’infini, est ce que nous appelons la voie de numération, mais cette voie a montré ces limites, pensez à écrire gogolplex 10 puissance 10 puissance 100 -c’est pratiquement impossible même avec un hyper-hyper-super-calculatrice quantique qui sera créée en l’an 2.000.000.2017 c-à-d dans deux milliards d’années-. C’est pourquoi les mathématiciens ont transcendé cette vision en considérant les ordinaux et là, nous sommes comme des poissons qui nagent dans l’eau, alors qu’on pataugeait avant dans le sable (grain par grain = numération). Avec les ordinaux les nombres cessent d’être des nombres et deviennent des ensembles (voir cette belle théorie dans par exemple le livre Bourbaki Tome 1). Là vous n’êtes pas obligé de compter les nombres mais seulement de les comparer entre eux, la notion même de comptage n’a aucun sens car comment compter quelque chose qui est infini, nous n’avons le droit que de parler de puissance de des infinis. Mais cette nouvelle vision ouvert des perspectives qui dépasse tout ce que contient l’univers et même le multivers, car ce dernier n’est qu’UNE CLASSE (ordinale) parmi les classe des ordinaux ….
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Infinie

  1. 1. Il pourrait être plus petit que vous le pensez
  2. 2.  Formation : mathématicien  Arithmétique  Métier : développeur  Cartes perforées,C, C++, COM, C#, Javascript  Cofondateur d’Aspectize :  Technologie pour développer des applicationsWeb et mobiles avec un minimum de code.
  3. 3.
  4. 4.  De la mathématisation de la logique  De la fin du 19e siècle à nos jours  Et son impact sur le décorticage de l’infini ▪ Cardinaux ▪ Ordinaux ▪ Arithmétique non standard ▪ Analyse non standard ▪ Le fini  Spéculations
  5. 5.  Zénon  Achille et la tortue  La flèche  Aristote  Infini potentiel  Infini actuel  Hôtel de Hilbert
  6. 6. 1862_1943  Programme 23 problèmes Paris (1900)  3 problèmes Bologne (1928)
  7. 7.  Hypothèse du continu (1878).  Résolu en 1963.
  8. 8.  Consistance de l’arithmétique.  Résolu en 1935  Récurrence transfini 0
  9. 9.  Hypothèse de Riemann… premiers jumeaux…  Non résolu 3 756 801 695 685 x 2666 669 ± 1 200 700 chiffres (2011)
  10. 10.  Algorithme pour la solvabilité des équations diophantiennes  Résolu négativement 1970
  11. 11.  Complétude des maths ▪ La question : « tout entier est somme de 4 carrés » ▪ doit avoir une réponse positive ou négative  Résolu négativement 1931
  12. 12.  Cohérence des maths  Prouver qu’on ne pourra pas prouver quelque chose du style : « deux plus deux égale cinq »  Résolu négativement 1931
  13. 13.  Entscheidungsproblem  Résolu négativement ▪ AlanTuring 1936 ▪ Alonzo Church 1935 (lambda calcul)
  14. 14.  Bon ordre  0 1 2 3 4 …     + 1   + 2  …
  15. 15. +  = 2 
  16. 16. 3 
  17. 17.   = 2
  18. 18. 3
  19. 19. 
  20. 20. 
  21. 21. =    fois 0
  22. 22.  Les théories ont des  Réalisations  Interprétations  Modèles  Exemples :  Géométrie : Euclidienne, non Euclidienne…  Groupes : beaucoup de modèles, finis, infinis…  Ensemble : ?  Arithmétique : ?
  23. 23.  Toute théorie ayant un modèle de cardinalité C possède aussi des modèles de cardinalité K pour tout cardinal K > C  Toute théorie ayant un modèle de cardinalité K > 0 possède aussi un modèle dénombrable  On peut donc : imaginer une réalisation dénombrable des nombres dits réels !
  24. 24.  Le modèle standard  Des modèles non standards  0 1 2 3 4 …  … -1  +1 …  …  Avec une structure d’ordre N + Q x Z
  25. 25.  Existence d’infinitésimaux  1/  est strictement positif  Pourtant plus petit que 1/n pour tout n fini  On peut faire de l’analyse et du calcul différentiel sans parler de limites
  26. 26. 1881-1966 Père de l’intuitionnisme ou constructivisme : Questionne le principe du tiers exclu !
  27. 27.  P ou non P  Veut dire : on possède un algorithme pour prouver P ou on possède un algorithme pour prouver non P.  Il se peut qu’on ait ni l’un ni l’autre.
  28. 28.  Nombre de particules dans l’univers = 1080  Googol = 10100  Googolplex = 10googol  Question ? 5 *4 6 < Googolplex < 5 *5 6
  29. 29.  Il y a des nombres entre zéro et googolplex qui ne seront jamais atteint ni par des opérations algébriques ni par l’imaginaire ni même par des expériences physiques.  Ces nombres peuvent jouer le rôle de . un entier inatteignable (inaccessible) par les maths ordinaires.  On peut imaginer un théorème style Löwenheim– Skolem mais fini.
  30. 30.  Il est communément admi que l’informatique théorique est fondée sur les maths.  Il se peut que ça soit l’inverse : que les maths aient comme fondation l’informatique.  Qu’on ait découvert les maths avant l’informatique, le continu avant le discret parce que notre imagination n’est pas prête à affronter la complexité du fini et que l’infini n’est qu’un moyen maladroit pour appréhender le fini.
  31. 31.  Pythagore : tout est nombre  Oui si on s’autorise des démonstrations de longueur infinie.  D’un autre côté un théorème, un morceau de math est un point de vue, une œuvre intellectuelle, au même titre qu’un morceau de jazz.  C’est ridicule de lui associer une valeur de vérité !  L’idée de vérité est probablement ridicule en soi.
  32. 32. 1   ?

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