Le filtrage adaptatif des signaux sismiques (LMS)

UNIVERSITE MOHAMMED 5
ECOLE NORMALE SUPERIEURE DE L'ENSEIGNEMENT TECHNIQUE RABAT
Année 2019-2020
Rapport d’un mini projet
Spécialité : Génie électrique
Réalisé par
BOUHNIN Jawad
Prochainement diplômée d’un Master en Génie électrique
De L'Ecole Normale Supérieure de L'Enseignement Technique de Rabat (ENSET)
FILTRAGE ADAPTATIF APPLIQUE A UN SIGNAL
SISMIQUE DE MOYENNE PERIODE
Encadré par : Jamal EL MHAMDI
Enseignant au Laboratoire de recherche en génie électrique (LRGE) Université Mohammed V,
L'Ecole Normale Supérieure de L'Enseignement Technique (ENSET) de Rabat, Maroc.

REMERCIEMENT
de près ou de loin, d’une manière ou d’une autre, permis, par leur collaboration,
leur soutien et leur avis judicieux, de mener à bien ces travaux pratiques.
Je voudrais exprimer mes remerciements ainsi que mes profondes gratitudes à
M. Jamal EL MHAMDI qui m’accordait sa confiance en ma permettre
d’améliorer mes connaissances techniques et aussi mes compétences dans le
domaine du traitement de signal avancé grâce à sa rigueur scientifique, sa large
expérience dans ce domaine ainsi que ses encouragements incessants nous ont été
d’une aide précieuse. Ses conseils avisés, ses critiques pertinentes et ses qualités
humaines ont été d’une très grande utilité pour mener à terme ce travail.
C’est pour moi un réel plaisir de remercier toutes les personnes qui ont,

Résumé
Les tremblements de terre sont les catastrophes imprévisibles dans la nature.
Pendant l'énergie sismique est soudainement libérée dans la lithosphère terrestre
et crée des ondes sismiques, ces ondes sont des ondes élastiques qui peuvent
traverser un milieu en le modifiant selon l'intensité du séisme Par conséquent, les
signaux sismiques sont très contaminé par le bruit qui est un ensemble
de vibrations permanentes du sol, dues à une multitude de cause ( Rapport signal
/bruit du signal sismique est très faible.).
Alors le bruit c'est une composante des sismogrammes (les signaux enregistrés
par les sismomètres), généralement indésirable et difficilement interprétable.
Les caractéristiques fréquentielles du bruit local se superposant au signal
sismique, le recours au filtrage fréquentiel analogique ou numérique est l’un des
moyens efficaces pour éliminer les signaux indésirables.
Des techniques de prétraitement sont utilisées dans afin de réduire le bruit. Dans
ce travail le filtre LMS est mise en œuvre pour filtrer le bruit du signal sismique,
ainsi que L’identification des coefficients du filtre.
abstract
Earthquakes are unpredictable disasters in nature. During seismic energy is
suddenly released into the earth's lithosphere and creates seismic waves, these
waves are elastic waves that can pass through a medium by modifying it according
to the intensity of the earthquake. Therefore, seismic signals are very
contaminated by noise, which is a set of permanent ground vibrations, due to a
multitude of causes (Signal-to-noise ratio of the seismic signal is very low.).
So noise is a component of seismograms (signals recorded by seismometers),
generally undesirable and difficult to interpret.
Since the frequency characteristics of local noise are superimposed on the seismic
signal, the use of analog or digital frequency filtering is one of the effective means
of eliminating unwanted signals.
Preprocessing techniques are used in order to reduce noise. In this work the LMS
filter is implemented to filter the noise of the seismic signal, as well as the
identification of the filter coefficients.

TABLE DES MATIERES
Introduction Générale..................................................................2
Chapitre I : Les ondes sismiques .................................................3
1.1 Introduction...........................................................................3
1.2 Onde P : onde de compression..............................................3
1.3 Onde S : ondes de cisaillement..............................................4
1.4 Propriétés des ondes P et S ...................................................4
Chapitre II : le filtrage adaptatif ..................................................5
2.1 Introduction...........................................................................5
2.2 Le Filtrage Adaptatif ..............................................................5
2.2.1 Filtre de Wiener ..................................................................6
2.2.2 L’algorithme LMS (moindre carré moyen) ..........................7
Chapitre III : Application..............................................................9
3.1 Les signaux utilisés pour la simulation...................................9
3.2 Resultats de la simulation....................................................10
3.3 Conclusion du chapitre ........................................................11
Conclusion Générale...................................................................12

1
LISTES DES FIGURES
Figure 1: Enregistrement d'une onde sismique. ..................................................................................... 3
Figure 2:Propagation et polarisation des ondes P. ................................................................................. 3
Figure 3:Figure 2:Propagation et polarisation des ondes s horizontal et vertical. ................................. 4
Figure 4:Principe d’un filtre adaptatif. .................................................................................................... 5
Figure 5:Illustmtion d'une paraboloide d 'EQM à deux dimensions....................................................... 7
Figure 6: Résumé de l'algorithme LMS.................................................................................................... 8
Figure 7: Caractéristiques fréquentielles du signal sismique moyenne période .................................... 9
Figure 8: bruit blanc ................................................................................................................................ 9
Figure 9: signal sismique de la Fig.7 filtré du bruit local, par l’utilisation d’un bruit blanc comme signal
de référence. ......................................................................................................................................... 10
Figure 10: filtre d'analyse...................................................................................................................... 10
Figure 11: l’évolution temporelles et fréquentielles des cinq premiers coefficients du filtre.............. 10
Figure 12 : Détection des temps des arrivées des ondes sismiques P et S ........................................... 11

2
Introduction Générale
La sismique est une méthode de prospection qui permet d’avoir une
connaissance sur les structures géologiques du sous-sol grâce à l’analyse des
ondes élastiques qui se propagent dans le sol. Les méthodes sismiques sont
essentiellement utilisées en prospection pétrolière dans le but de localiser et
caractériser des gisements d’hydrocarbures ou de gaz naturel. Elles peuvent
aussi être utilisées en génie civil pour la construction de grands ouvrages tels que
des ponts, des digues, etc. Le traitement des données sismiques apparaît donc
comme un formidable champ d’application pour les traiteurs de signaux. La
diversité des milieux étudiés se traduit par une grande complexité des signaux à
traiter. L'analyse visuelle des données issues des campagnes sismiques est alors
impossible. Le traitement du signal intervient donc en proposant des méthodes
de représentation et de caractérisation permettant de faciliter l’interprétation
de ces signaux. La technique fondamentale utilisée en sismique consiste à
produire des ondes sismiques à partir d’une source (camion vibreur, explosifs,
Canon à air, etc.) et à mesurer le temps de propagation mis par ces ondes pour
atteindre des capteurs pose sur le sol. L’étude des trajets des ondes observées,
des variations des amplitudes et des fréquences des signaux permet d’obtenir
des informations sur le sous-sol et en particulier sur sa structure. Pour mesurer
les mouvements du sol, des capteurs directionnels sont utilisés, permettant
d’enregistrer une vibration selon une direction définie. Pendant longtemps, les
capteurs enregistraient ce mouvement dans une seule direction de l’espace
(généralement verticale). Récemment, on assiste à une utilisation grandissante
de capteurs dits multicomposants ou vectoriels. Ces capteurs n’enregistrent plus
seulement l’information relative à une unique direction de l’espace mais dans
deux ou trois directions. Ceci permet l’accès à une caractéristique fondamentale
des ondes sismiques : leur polarisation. Les données récoltées sur ces capteurs
forment des enregistrements multicomposants, de taille souvent très
importante.
Ce travail est organisé en trois chapitres. Nous dressons dans le premier chapitre
une introduction sur les signaux sismiques. Dans le deuxième chapitre nous
présentons le filtrage adaptatif, des notions générales sur le filtre de Wiener et
l’algorithme LMS .Dans le troisième chapitre nous présentons une application de
filtrage sur un signal sismique noyé dans un bruit non connu a priori d’une base
de données réelles.

3
1.1 Introduction
Les tremblements de terre, ou séismes, peuvent provoquer des dégâts et des catastrophes
considérables pour la vie humaine. Cependant, ils nous apportent certaines informations sur la
structure de la Terre.
Les séismes libèrent de l'énergie stockée dans les roches avec le temps : cette énergie est transmise à
partir du foyer (zone de libération de l'énergie provoquant le tremblement) sous la forme d'ondes (ou
vibrations) qui se propagent dans toutes les directions : les ondes sismiques.
Il existe deux grands domaines de propagation des ondes :
– les ondes de fond qui se propagent à l'intérieur de la Terre et peuvent être enregistrées en plusieurs
points du globe.
On distinguera 2 grands types : les ondes de cisaillement, ou ondes S, et les ondes de compression, ou
ondeskP;
– les ondes de surface (ondes L) Elles se propagent à la surface du globe et dans la croûte et
provoquent tous les dégâts liés aux tremblements de terre. Elles sont moins rapides que les ondes P
et ondes S, mais sont de plus grande amplitude. Les ondes de surface sont analogues aux vagues de
l'océan. Ce sont les dernières ondes à être détectées par un sismographe.
1.2 Onde P : onde de compression
Elles déforment les roches par changement de volume et consistent
en des vibrations qui alternent compression et décompression. Elles
se déplacent donc en créant des zones de dilatation (zones de
décompression) et des zones de compression. Les particules se
déplacent alors selon un mouvement avant-arrière dans la direction
de la propagation de l'onde (elles ont un mouvement parallèle à la
direction de l'onde).
Ce sont les ondes les plus rapides (6 km/s en moyenne) ; elles se
propagent dans les solides, les fluides, les gaz, et même
l'atmosphère. Elles sont par conséquent les premières à être
enregistrées par un sismographe après un tremblement de terre,
d'où leur appellation également d'ondes primaires.
Chapitre I : Les ondes sismiques
Figure 1: Enregistrement d'une onde sismique.
Figure 2:Propagation et polarisation
des ondes P.

4
1.3 Onde S : ondes de cisaillement
Elles déforment les roches par changement de forme. Ce sont des ondes transversales qui ne sont
transmises que par les solides (car les gaz et les liquides n'ont pas l'élasticité pour reprendre leur forme
originelle) : elles consistent en des mouvements perpendiculaires à la direction de propagation des
ondes. La vitesse de propagation des ondes S dans la croûte terrestre est d'environ 3,5 km/s : elles
sont donc enregistrées après les ondes P (d'où leur appellation d'ondes secondaires).
1.4 Propriétés des ondes P et S
Les ondes sismiques de fond se comportent comme des ondes de lumière et de son : elles peuvent
être transmises et aussi réfléchies et réfractées.
Les ondes sont réfléchies par des discontinuités dans la Terre, tandis que la réfraction implique un
changement de vitesse d'une onde et de sa direction. Si la Terre possédait une composition homogène
et si la densité augmentait de façon progressive avec la profondeur, alors les ondes auraient une
trajectoire courbe et une vitesse croissante (la vitesse de propagation des ondes est proportionnelle à
la densité du matériel dans lequel elles se propagent) ; alors qu'en fait elles sont réfléchies et réfractées
par des zones de changement brusque de densité, comme la limite entre le manteau et le noyau. Ainsi,
l'augmentation progressive de la vitesse des ondes P et S dans le manteau indique une hausse de la
densité du matériel à mesure qu'on s'enfonce vers le centre de la Terre, mais la propagation des ondes
S stoppent brusquement à la limite entre le noyau et le manteau : cela indique que le noyau externe
est liquide.
Les stations d’acquisition de signaux sismiques sont placées sous forme d’un réseau courte période à
proximité des zones sismiques. Comme Les données acquises contiennent du bruit, diverses
techniques de traitement du signal sont utilisées. Alors Le traitement du signal sismique traite les
données sismiques dans le but de supprimer le bruit et d'améliorer le signal.
Dans le chapitre suivant, nous exposons le filtrage adaptatif du signal sismique afin d’obtenir un signal
filtré de son bruit.
Figure 3:Figure 2:Propagation et polarisation des ondes s
horizontal et vertical.

5
2.1 Introduction
Au centre de réception des signaux sismique le responsable doit souvent considérer le cas courant, à
partir d’un message brut ou signal observé contenant un signal utile et un bruit, à déterminer le
meilleur récepteur permettant de discriminer le signal du bruit. Par récepteur ou filtre optimal, nous
entendons un filtre qui satisfait certains critères d’optimalité par un filtre adaptatif dont les coefficients
évoluent en fonction des signaux reçus. Ces coefficients seront estimés par des algorithmes récursifs,
au sens d’un certain critère. Dans ce chapitre on parle du filtrage adaptatif, algorithme LMS et
application d’un signal sismique.
2.2 Le Filtrage Adaptatif
Le filtrage adaptatif est un outil puissant en traitement du signal, communications numériques, et
contrôle automatique. Il est utilisé chaque fois qu’un environnement est mal connu ou changeant, ou
pour supprimer des perturbations situées dans le domaine des fréquences du signal utile, ce que les
filtres classiques ne peuvent pas faire.
Les applications sont diverses mais présentent les caractéristiques suivantes : on dispose d’une entrée
x(n) ainsi que de la réponse désirée (référence) d(n) et l’erreur e(n), qui est la différence entre d(n) et
la sortie du filtre y(n), sert à contrôler (adapter) les valeurs des coefficients du filtre. Ce qui différencie
essentiellement les applications provient de la façon de définir la réponse désirée d(n).
Le problème du filtrage optimal de trouver le « meilleur » filtre c’est à dire celui permettant d’obtenir
en sortie une réponse y(n) la plus « proche » possible d’une réponse désirée d(n) lorsque l’entrée est
une certaine séquence x(n).
On note e(n) = d(n) – y(n) l’erreur entre la réponse désirée d(n) et la sortie y(n). On note également
w(n) le vecteur des coefficients ajustables du filtre.
Le problème consiste donc à rechercher le filtre assurant l’erreur la plus faible e(n), au sens l’erreur
quadratique moyenne est la plus utilisée, car elle conduit à des développements mathématiques
complets et simples, fournit la solution en fonction des caractéristiques au second ordre des variables
aléatoires, caractéristiques qui sont les plus simples à estimer, et enfin fournit une solution unique.
C’est sur l’estimation linéaire en moyenne quadratique que repose le filtrage de Wiener.
Chapitre II : le filtrage adaptatif
Algorithme de
modification des
coeffiçients
Coeffiçients
ajustables w(n)
X(n) y(n)
d(n)
e(n)
Figure 4:Principe d’un filtre adaptatif.
Un filtre numérique
- +

6
2.2.1 Filtre de Wiener
Dans le traitement du signal , le filtre de Wiener est un filtre utilisé pour produire une estimation d'un
processus aléatoire souhaité ou cible par filtrage linéaire invariant dans le temps d'un processus
bruyant observé, en supposant des spectres de signal et de bruit stationnaires connus et un bruit
additif. La sortie du filtre s’écrit :
Et l’erreur est quant à elle
Le filtre de Wiener minimise l'erreur quadratique moyenne (EQM ou MSE en anglais) entre le
processus aléatoire estimé et le processus souhaité.
En introduisant les vecteurs :
Alors La sortie du filtre s’écrit :
Et l’erreur est :
D’où
Si on désigne par :
On aboutit à la relation de l’EQM :
Avec R qui est la matrice d’autocorrélation de l’entrée x(n). P le vecteur d’intercorrélation entre la
sortie désirée d(n) et l’entrée x(n).
Le vecteur optimum w est celui qui annule le gradient du critère :
Alors le vecteur des coefficients de prédiction
𝐽 = 𝐸(|𝑒(𝑛)|2
)
𝑦(𝑛) = ∑ 𝑤 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘)
𝑀−1
𝐾=0
𝑒(𝑛) = 𝑑(𝑛) − 𝑦(𝑛)
J : Erreur Quadratique Moyenne (EQM) ;
E : Espérance mathématique.
𝑤 𝑇
= [𝑤0 … . . 𝑤 𝑀−1]
𝑥 𝑇
= [𝑥(𝑛) … . . 𝑥(𝑛 − 𝑀 − 1)]
𝑒(𝑛) = 𝑑(𝑛) − 𝑤 𝑇
. 𝑥 = 𝑑(𝑛) − 𝑤. 𝑥 𝑇
𝑦(𝑛) = ∑ 𝑤 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘)
𝑀−1
𝐾=0
= 𝑤 𝑇
. 𝑥 = 𝑥 𝑇
. 𝑤
𝐽 = 𝐸(|𝑒(𝑛)|2
) = 𝐸((𝑑(𝑛) − 𝑤 𝑇
. 𝑥)(𝑑(𝑛) − 𝑤. 𝑥 𝑇))
= 𝐸(|𝑑(𝑛)|2
) − 𝑤. 𝐸(𝑥 𝑇
. 𝑑(𝑛)) − 𝑤 𝑇
. 𝐸(𝑥. 𝑑(𝑛)) + 𝑤 𝑇
. 𝐸(𝑥. 𝑥 𝑇). 𝑤
𝑝 = 𝐸(𝑑(𝑛). 𝑥 𝑇
)
𝑅 = 𝐸(𝑥. 𝑥 𝑇
)
𝜎 𝑑
2
= 𝐸(|𝑑(𝑛)|2
)
𝑗(𝑤) = 𝜎 𝑑
2
− 2. 𝑤. 𝑝 − 𝑤 𝑇
. 𝑅. 𝑤
𝜕𝐽
𝜕𝑤
= 0
" La résolution de cette équation nécessite la connaissance a
priori des matrices d’auto-corrélation R et d’inter-corrélation p.
Beaucoup d’algorithmes ont été développés dans ce sens pour
résoudre cette équation, en particulier celui de Levinson & Durbin
(Bellanger 1996)
𝑤 𝑇
= 𝑅−1
. 𝑝

7
Dans la partie précédente nous exposerons l’approche statistique du problème (filtrage de Wiener)
qui suppose la disponibilité de certaines grandeurs statistiques (moyenne et autocorrélation) du signal
utile et du bruit. L’approche consiste alors à minimiser la moyenne statistique du carré de l’erreur
(EQM ou MSE en anglais) entre l’information désirée et la sortie du filtre.
Par rapport au filtrage classique le filtrage adaptatif comporte une mise à jour récursive des
paramètres (coefficients) du filtre. L’algorithme part de conditions initiales prédéterminées et modifie
de façon récursive les coefficients du filtre pour s’adapter au processus, pour ceci on va présenter
l’algorithme du gradient qui fournit un algorithme récursif de calcul des coefficients du filtre. Nous
donnerons ensuite une version dans laquelle les grandeurs statistiques impliquées sont remplacées
par des valeurs instantanées, on obtient alors l’algorithme très fréquemment utilisé du gradient
stochastique LMS (least mean square).
2.2.2 L’algorithme LMS (moindre carré moyen)
Le choix de l’algorithme se fera en fonction des critères suivants :
• La rapidité de convergence qui sera le nombre d’itérations nécessaires pour converger « assez près »
de la solution optimale de Wiener dans le cas stationnaire.
• La mesure de cette « proximité » entre cette solution optimale et la solution obtenue.
• La capacité de poursuite (tracking) des variations (non stationnarités) du processus.
• La robustesse au bruit.
• La complexité.
• La structure.
• Les propriétés numériques (stabilité –précision) dans le cas d’une précision limitée sur les données
et les coefficients.
L’algorithme LMS est le plus utilisé dans les applications techniques et industrielles, en raison de sa
simplicité et sa robustesse face aux erreurs de calcul.
Cet algorithme fait partie de la famille des algorithmes du gradient. Ces algorithmes sont basés sur la
minimisation du critère d'erreur quadratique moyenne (EQM). Lorsque les signaux à filtrer sont de
type réponse impulsionnelle finie (RF), ce critère d'erreur mène à une courbe d'erreur quadratique de
forme parabolique à N dimensions (où N est le nombre de coefficients du filtre). Ainsi, en se dirigeant
toujours dans la direction inverse de la pente maximale de la courbe d'erreur quadratique, le gradient
de I'EQM, l'algorithme converge inévitablement vers le minimum de cette courbe d'erreur.
Figure 5:Illustmtion d'une paraboloide d 'EQM à deux dimensions
Projection du parcours de l'algorithme
sur le plan des coefficients
Courbe de I'EQM à 2 dimensions

8
Alors l’algorithme LMS est une approximation stochastique de l’algorithme du gradient appliqué à la
minimisation de la fonction de coût quadratique J(w). Ainsi, pour faire tendre w vers sa valeur
optimale, on lui soustrait une valeur qui est proportionnelle au gradient de[𝑒(𝑛)]2
. Ceci aura comme
expression :
Où 𝑤 𝑁(𝑛) est le vecteur des coefficients du filtre, 𝜇 le pas d'itération, 𝐽(𝑛) I'EQM où 𝐽 = 𝐸(|𝑒(𝑛)|2
)
Et le dernier terme ∇ est le gradient de I'EQM, N = nombre de coefficients.
L'algorithme LMS est base sur un estimateur très simple du gradient de I'EQM. Cette simplification
permet de contourner le calcul exact du gradient ∇[ 𝑒(𝑛)² ] est la dérivée de 𝑒(𝑛)² par rapport à 𝑤(𝑛).
On a 𝑒(𝑛) = 𝑑(𝑛) − 𝑤 𝑇
. 𝑥 = 𝑑(𝑛) − 𝑤. 𝑥 𝑇
Dans l'expression (1) nous obtenons l'algorithme LMS
Enfin, le choix du pas d'itération ou le coefficient d’adaptation 𝜇 de ces algorithmes est déterminant
sur la vitesse de convergence et la stabilité du filtre. En raisonnant par symétrie, nous constatons
qu'avec un paramètre 𝜇 très petit, la convergence de l'algorithme est très lente. Par contre, nous
approchons le minimum avec une grande précision. En choisissant le paramètre 𝜇 trop grand,
l'algorithme diverge car, à chaque répétition, nous pointons de plus en plus loin du minimum de la
surface d'erreur quadratique. II existe donc un choix optimal du paramètre μ selon la précision avec
laquelle nous voulons approximer le processus A modéliser. Pour le LMS, nous avons respectivement
les conditions de convergence en moyenne et en erreur quadratique moyenne suivantes
Avec 𝜆 𝑚𝑎𝑥 qui représente la valeur propre maximale de la matrice d’auto-corrélation R.
𝑤 𝑁(𝑛 + 1) = 𝑤 𝑁(𝑛) − 𝜇∇[ 𝐽(𝑛) ]
∇[ 𝑒(𝑛)² ] =
𝜕
𝜕𝑤 𝑁
𝑒(𝑛)²
∇[ 𝑒(𝑛)² ] = −2𝑒(𝑛)𝑥 𝑁(𝑛)
(1)
𝑤 𝑁(𝑛 + 1) = 𝑤 𝑁(𝑛) + 2𝜇𝑒(𝑛)𝑥 𝑁(𝑛)
0 < 𝜇 <
2
𝜆 𝑚𝑎𝑥
Paramètres : N = nombre de coefficients
𝜇 = pas du LMS
0 < 𝜇 <
2
puissance total du signal x (n)
Conditions initiales : 𝑤 𝑁(0) = 0
Les données : 𝑥 𝑁(𝑛) = vecteur des données à l'entrée à l'instant n
Y (n) = sortie désirée à I ‘instant n
À calculer : 𝑤 𝑁(𝑛 + 1) = estimé du vecteur des poids du filtre à I'instant n+1
Calcul : Pour n = 0, 1,2, ..., calculer 𝑒(𝑛) = 𝑑(𝑛) − 𝑤 𝑁(𝑛). 𝑥 𝑁(𝑛)
𝑤 𝑁(𝑛 + 1) = 𝑤 𝑁(𝑛) + 2𝜇𝑒(𝑛)𝑥 𝑁(𝑛)
Figure 6: Résumé de l'algorithme LMS

9
Nous avons jusqu'à présent développé la partie traitant du signal sismique et du traitement adaptatif
respectivement au chapitre 1 et2. L'intégration sur ordinateur de ces notions a produit le simulateur
Matab qui est présenté au cours de ce chapitre. Nous parlons tout d'abord des signaux utilisés pour la
simulation. Après cela nous observons le comportement des algorithmes LMS et le filtre de Wiener sur
notre signal.
3.1 Les signaux utilisés pour la simulation
Le signal représenté dans la figure 7 est bruité a priori par un bruit non connu, qui empêche un bon
repérage des ondes P et S. Le débruitage du signal sismique se fait en introduisant un bruit semblable
à celui présent avec le signal sismique à l’entrer X(n) (figure 4) et sur l’autre entrée d(n), le signal
sismique bruité de tel sort à minimisation de l’erreur e(n) par l’application de l’algorithme LMS ce qui
nous a permis d’améliorer la qualité du signal.
Figure 7: Caractéristiques fréquentielles du signal sismique moyenne période
Pour appliquer le filtre de Wiener, nous avons introduit un bruit blanc de même amplitude du signal
sismique. Pour bien déterminer les coefficients du filtre et débruité le signal, en agissant sur l’ordre du
filtre adaptatif n et le pas d’adaptation µ de tel sort a rendre le bruit blanc crée proche au bruit qui
existe au signal a priori, pour que l’erreur e(n) converge vers le signal sismique purifié du bruit . Pour
minimiser la sortie du filtre qui modélise le bruit blanc, il faut appliquer l’algorithme LMS, avec un pas
d’adaptation et un ordre faible.
Chapitre III : Application
Figure 8: bruit blanc

10
3.2 Resultats de la simulation
Le choix d’un ordre optimal pour un modèle AR se fait selon un compromis entre la complexité du
modèle retenu et l’erreur résiduelle d’identification Pour nous nous avons just tâtonné, et choisi un
ordre n=41 Et le pas d’adaptation µ= 0.000001 .Les résultats obtenus pour le filtrage du signal
sismiques noyés dans un bruit blanc non connu par l’application de l’algorithme LMS sont très
satisfaisants du point de vue temporel et fréquentiel, par comparaison du signal de la figure (7) , avec
celui issu de l’erreur (Fig. 9).
Figure 9: signal sismique de la Fig.7 filtré du bruit local, par l’utilisation d’un bruit blanc comme signal de référence.
Il existe plusieurs méthodes pour extraire les coefficients du filtre, dont par exemple la méthode de
Burg, Yule-Walker, Prony etc. Le principe consiste à prendre un filtre d’analyse (Fig. 8a) qui minimise
l’erreur de sortie.
Les cinq premiers coefficients de prédiction linéaire extraits à partir de l’algorithme LMS avec μ=10−7
sont comme suit :
Nb : fe=62.5 fréquence d’échantillonnage des signaux sismique.
Signal filtré
Figure 10: filtre d'analyse
5 5
Figure 11: l’évolution temporelles et fréquentielles des cinq premiers coefficients du filtre

11
On peut détecter L’arrivé de l’onde P et S à partir des cinq premiers coefficients. Nous avons pris le
signal sismique de la figure 2a. Un élargissement de l’échelle des temps (Fig. 11), indique les instants
des arrivés des ondes P et S directement sur le signal sismique. Parfois, il y aura des difficultés à bien
cerner ces dates. La méthode d’évolution des coefficients de prédiction linéaire, a permis de localiser
ces dates, juste aux moments de rupture.
Figure 12 : Détection des temps des arrivées des ondes sismiques P et S
3.3 Conclusion du chapitre
Ce chapitre a permis de comprendre l’algorithme adaptatif LMS qui peuvent intervenir pour le calcul
des coefficients de filtre adaptatif, ce qui nous a permis de filtré les signaux sismique bruité par défaut.
Les caractéristiques importantes des algorithmes adaptatifs sont la rapidité de convergence, et la
stabilité.
Remarque : le programme complet est en annexe.

12
Dans ce mémoire, nous avons présenté les travaux réalisés sur le
filtrage adaptatif à base de l’algorithme LMS pour le filtrage d’un
signal sismique noyé dans un bruit non connu a priori et nous sommes
intéressés par la détection des ondes P et S à travers les coefficients
de prédiction du signal sismique qui présentent des zones de
stationnarité, ou convergent plus vite.
Ce projet il m'a donné l’occasion découvrir le domaine de traitement
de signal avancé et ces applications sur les signaux sismiques.
Conclusion Générale

BIBIOGRAPHIE
[ ] Jamal EL MHAMDI1, Fakhita REGRAGUI2 & Mimoun HARNAFI3, " Traitement adaptatif
appliqué au signal sismique", Bulletin de l’Institut Scientifique, Rabat, section Sciences de la Terre,
2008
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le thème capacité DE POURSUITE DES ALGORITHMES ADAPTATIFS DANS UN CANAL DE
TRANSMISSION SOUS-MARIN Juillet 1997
[ ] Travaux pratiques de traitement du signal avancé : Université de La Rochelle 28/01/05 Master 1.
Département informatique. Université de La Rochelle par Michel Ménard
[ ] THESE par Caroline PAULUS le 25 septembre 2006 Titre : FILTRAGE DE DONNEES
SISMIQUES MULTICOMPOSANTES ´ ET ESTIMATION DE LA POLARISATION.
[ ] Article Filtrage de multiples sismiques par ondelettes et optimisation convexe Université Paris-Est,
LIGM, UMR 8049, 77454 Marne-la-Vallée par Mai QUYEN PHAM1,3, Caroline CHAUX2 ,
Laurent DUVAL1 , Jean-Christophe PESQUET3
[ ] MEMOIRE Présenté en vue de l’obtention du diplôme de : MASTER Intitulé : Débruitage d'un
signal ECG par l'algorithme LMS Par : karfa nour elhouda
[ ] MEMOIRE Présenté en vue de l’obtention du diplôme de : MASTER Intitulé : application du filtre
non linéaire de Volterra à la réduction de bruit Par : FEKIH Raina
[ ] Introduction au filtrage adaptatif I4-TTS 2003 J.-F. Bercher & P. Jardin
[ ] Power spectrum analysis of seismic data for an earthquake using bartlett algorithm M. Pooja
Mounika1, K.Himaja2, K.S.Ramesh3, S.Koteswara Rao4, T.Vaishnavi Chandra5 Department of
Electronics and Communication Engineering K L University, Vaddeswaram, Guntur.

ANEXXE
clc
close all
clear all
load S3.ASC
N=length(S3) % Nombre d'itérations
n=41; % Ordre du filtre adaptatif
delta=0.000001 % Facteur d'adaptation
b=156*randn(1,N);
fe=62.5;te=1/fe;
t=0:te:(N-1)*te;
% Génération des signaux
for i=1:N,
d(i)=S3(i) ;
x(i)=b(i);
end
h=zeros(N,n); % Tableau des coefficients estimés
e=zeros(1,n); % Tableau des erreurs d'estimation
y=zeros(1,n); % Sortie du filtre
% Boucle des N itérations de calcul du filtre
for i=n:N-1
for j=1:n
y(1,i)=h(i,j)*x(i-j+1); % équ. de convolution
h(i+1,j)=h(i,j)+delta*d(i-j+1).*e(1,i-1); % LMS
end
e(1,i)=d(i)-y(1,i); % d'après la figure
end
%Tracé des résultats
figure(1)
plot(x(1:N)), grid
title('Signal d''entrée (bruit blan) x(i)' )
xlabel('Echantillons');
figure(2)
plot(d(1:N),'r'), grid
title('Signal d(k)(sismique) ')
figure(3)
plot(1:N-1,y(1:N-1)), grid
title('Signal de sortie du filtre y(k) ')
figure(4)
plot(1:N-1,e(1:N-1),'r'), grid
title('Signal nettoyé de l''interférence e(k) ')
figure(5)
plot(0:te:(N-1)*te,h(1:N,1)), hold on
plot(0:te:(N-1)*te,h(1:N,6)), hold off
grid
title('Evolution des coefficients h(1) a h(4)')
xlabel ('temps')
'b'),hold on
grid
title('Signal information initial ( référence)')
xlabel ('Echantillons')

figure(6)
plot(1:N,h(1:N,1)), hold on
plot(1:N,h(1:N,6)), hold off
grid
title('Evolution des coefficients h(1) a h(4)')
xlabel ('echantillions')
figure(7)
plot(1:N-1,b(1:N-1),'b'),hold on
grid
title('Signal information initial ( référence)')
xlabel ('Echantillons')

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