1. Introduction
Les membranes de tensio-actifs sont des systèmes qui entrent en jeu dans des do-
maines aussi divers que l’industrie cosmétique (émulsions), pharmaceutique, ou la
fonctionnalisation de surfaces (biocapteurs, catalyse...). D’un point de vue fonda-
mental, les membranes lipidiques constituent pour le biologiste ou le biophysicien
l’élément de base de la parois cellulaire [1, 2]. Quant au physicien, les membranes
constituent pour lui des systèmes souples, à quasi-deux dimensions, qui sont soumis
à l’agitation thermique du solvant, et qui possédant donc des propriétés physiques
remarquables mettant en jeu une gamme d’échelles spatiales très large. Elle s’étend
de l’échelle moléculaire nanométrique pour l’épaisseur de la membrane, jusqu’au
centimètre pour les membranes supportées, en passant par la taille des vésicules
qui peut aller de la centaine de nanomètres à une dizaine micron. Notons que les
membranes de tensio-actifs qui nous intéressent, ici, sont rencontrées dans divers sys-
tèmes, tels que les phases lamellaires [3], les vésicules [4], les membranes supportées
[5], etc.
De nombreuses études ont porté sur leur caractérisation structurale, essentielle-
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2. Introduction. 2
ment par diffusion de rayons X ou de neutrons. A ce propos une très bonne revue
des études structurales, concernant les membranes phospholipidiques, a été effectuée
par J.F. Nagle [3]. L’étude des fluctuations thermiques des membranes a fait l’objet
de nombreux travaux, tant sur le plan expérimental que théorique. D’un point de
vue théorique, les travaux pionniers de Helfrich [6] ont porté essentiellement sur les
membranes planes. Par la suite, d’autres auteurs s’étaient intéressés aux fluctuations
des vésicules [4].
Les fluctuations des membranes sont généralement gouvernées par plusieurs paramètres.
En premier lieu, on trouve le module de courbure intrinsèque de la membrane qui
stabilise les fluctuations de petites longueurs d’onde. Un autre paramètre d’intérêt
est la tension de surface, γ, qui, dans certains cas, domine les échelles de longueurs
intermédiaires pour les membranes non isolées. Quant au potentiel d’interaction, U,
avec un substrat (membrane supportée, vésicules sur une surface) ou avec une autre
membrane, il contrôle les fluctuations à grandes longueurs d’onde.
Dans ce travail, nous avons cherché à étudier les propriétés statistiques des mem-
branes fluides, en présence d’un potentiel extérieur. Celui-ci peut être causé par une
paroi plane, qui se trouve à proximité d’une membrane fluide fluctuante. Générale-
ment, ce potentiel est la somme de deux contributions : Un potentiel répulsif (em-
pêchement stérique) et un potentiel attractif de type van der Waals. Dans la majorité
des cas, le potentiel total passe par un minimum qui confine la membrane fluide,
pas loin du substrat.

3. Introduction. 3
Pour mener les calculs, nous avons choisi le potentiel d’Helfrich-van der Waals.
Ce dernier répond bien à la condition de confinement. D’entrée de jeu, nous avons
étudié toutes les propriétés analytiques de ce potentiel. Ensuite, nous avons calculé
les propriétés statistiques de la membrane confiné dans ce potentiel, à savoir la
position moyenne de la membrane et la fonction de corrélation hauteur-hauteur.
De cette fonction, nous avons extrait l’amplitude des fluctuations de la membrane.
Evidemment, le calcul peut s’étendre aisément au cas d’autres types de potentiels,
et aussi lorsque la membrane est confinée entre deux parois parallèles.
Ce mémoire s’organise comme suit. Le chapitre 1 est consacré à un rappel sur
les membranes biologiques, leurs constituants, ainsi que le mécanisme de transition
dont elles sont le siège. Au chapitre 2, nous rappelons quelques notions essentielles
de la Mécanique Statistique des membranes. Notre contribution originale est l’objet
du chapitre 3, dans lequel nous étudions analytiquement le potentiel d’interaction
d’Helfrich-van der Waals. Puis, nous déterminons les propriétés statistiques de la
membrane confinée. Nous retraçons nos conclusions à la fin de ce mémoire.

4. Bibliographie
[1] J. Katsaras, T. Gutberlet, Lipid Bilayers, Biological Physics Series, Springer,
2000.
[2] O.G. Mouritsen, O.S. Andersen, eds., In Search of a New Biomembrane Model,
Biol. Skr. Dan. Vid. Selsk. 49, pp 224, (1998).
[3] J.F. Nagle, S. Tristram-Nagle, Biomembranes 1469,159 (2000).
[4] U. Seifert, Adv. Phys. 46, 13 (1997).
[5] E. Sackmann, Science 271, 43 (1996).
[6] P. Canham, J. Theor. Bio. 26, 61 (1970).
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