Groupes, Permutations, Anneaux, Arithmétique dans Z, Corps commutatif, Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K, Fonctions polynomiales, racines, Espaces vectoriels, K-algèbres, Espaces vectoriels de type fini, Matrices, Déterminants, Fractions rationnelles, Produit scalaire sur un R-ev, Espace vectoriel euclidien, R-ev euclidien orienté de dimension 2, R-ev euclidien orienté de dimension 3, Espaces affines, Géométrie dans un espace affine euclidien

1. !
" #
$ % # & ' # (
) *
+,+, ϕ
ϕ →× '
• ∈∈ λ) +),+,+), λϕϕλϕ +=+
- ∈∈ λ) +),+,+), λϕϕλϕ +=+
,. +
• ∈ +,+, ϕϕ = , & +
• ∈ /+, ≥ϕ ,0 1 +
- //+, ==ϕ ,0 # ( 1+
-2 ' !
3
=
→×
++!!!,+!!!,,
ϕ ! ϕ ! 4
% ' !
"
5 & !
/+, 6
≥=
=
ϕ
+ 7 &(3 8 9
7 , &(3 8 9+
3 ϕ !
∈ ( ) +,+,+,
6
ϕϕϕ ×≤
"
3 ∈
• 3 /= +,ϕ +,ϕ , ϕ # +
• 3 /≠ ! ∈λ
+,6+,+,
+,+,+,+,+,
6
6
/
λϕϕϕλ
λϕλϕϕϕλλλϕ
ϕ
++=
+++=++
≥
touscours.net

2. 6
4 /≠ ϕ # ( ! " /+, ≠ϕ ! 4 *
& : λ ' ; #! 3
# , +!
" /+,+,+, 6
≤−=∆ ϕϕϕ
"%< % !
.+ = *
" # %
$ % → '
+,+,+,+,
+,+,
+//+,,
/+,
+≤+∈∀•
=∈∀•
==∈∀•
≥∈∀•
λλ
3 ϕ ! % +,ϕ
, +,+, 6
ϕ=∈ +
"
" ;* ∈ /+, ≥ϕ ! " +,ϕ
> ' /+, =ϕ ' % ' ' /= !
∈∈ λ +,+,+, 6
ϕλϕλλλϕ == !
3 ∈ ! 4 '
+,+,+,
+,+,+,6
+,+,+,6+,
+,+,+,6+,+,
+,+,+,+,+,+,
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕ
≤⇔
++
≤++⇔
++≤++⇔
+≤++⇔+≤+
' +,+,+,+, ϕϕϕϕ ≤≤ , &(3 8 9+
4 ϕ
+ " *
" #
$ % →× '
+,+,+,
+,+,
+/+,,
/+,
+≤∈∀•
=∈∀•
==∈∀•
≥∈∀•
touscours.net

3. ?
3 % +,+, −
* !
"
4 +,+, −=
/+,+, ≥−=•• % ' /=− = !
+,+,+,+,+,+,+,
+,+,++,,+,+,
+≤−+−≤−+−=−=•
=−−=−−=−=•
3 * ϕ
* % ϕ !
"+ 4
4 % ϕ !
" #
3 ∈ ! 4 ' 2, ϕ +
' /+, =ϕ ! 4 ⊥ ,⊥ & ( (
0 > * 1+!
'
/⊥∈∀ /+/, =∈∀ ϕ !
7 , & +
3 ϕ ! ∈
%' 666
+,+,+, +=+⇔⊥
"
3 ∈ ! 4
66
6
+,+,6+,
+,+,6+,+,+,
++=
++=++=+
ϕ
ϕϕϕϕ
⊥⇔=⇔+=+ /+,+,+,+, 666
ϕ !
-+ "
4 % ϕ !
"
+,+,+,
+,+,6+,6+,+,
+,+,6+,+,
@ +,-+,+,6+,+,
66
6666
666
666
ϕ
ϕ
ϕ
=−−+
+=−++
+−=−
++=+
touscours.net

4. A+ A
4 % ϕ !
" #
3 ∈+, # !
• 5 # +,
#
⊥≠∈∀⇔
#
+,
+,
#5
δϕ =∈∀⇔
∈∀
⊥≠∈∀
⇔•
,4< =δ = / +
=
5 # ∈+,
#
⇔ ⊂ # # ∈+, !
⇔ ⊂ # # ∈+,λ
// =∈∀=
∈
λλ
3 ∈+, # ,
∈+, # + ∈+, !
"
3 ∈+, # ! 3 ⊂ # ! 3
∈+,λ # ! 3 ' /=
∈
λ !
3 ∈ ! =
=
=
≠
∈
≠=
∈
//
+,+,
/+/,
+, ϕλϕλ
ϕ
λϕ ! " /=λ !
" /=∈∀ λ ! " ∈+, ! " ∈+, !
-2 #
5 '
!
+B6/,C/
π=
π6
/
+, !
# ∈ # # ! - ##
∈
[ ] /66
6
/
/++,,
6
/
/++,,++,,
6
++,,++,,
6
+,+,
6
/
6
/
6
/
6
/
6
/
≠====
≠=++
+
=≠=
=−
−
++
+
=≠
−++=
π
π
π
π
π
ππ
touscours.net

5. , # D∈
π
+
E+ 3 2
4 % ϕ !
" #
3 ! 4 { }⊥∈∀∈=⊥
, 2* +!
⊥
% !
"
⊥
∈• / /+/, =∈∀ ϕ
• 3 ∈∈ ⊥
λ) !
⊥
∈+ )λ ///+),+,+), =+=+=+∈∀ λλϕϕλϕ !
, ' % # ' '
⊥
> ' ' F +
" # (
3 2 !
2 ⊥⊥
⊂⇔⊂⇔⊥∈∀∈∀⇔
#
4 ⊥ !
-2 , ?
+
⊥ ⊥
⊂)
'
{ } =•
⊥
/ /+/, =∈∀ ϕ
{ }/=• ⊥
! - ##
3 ⊥
∈ ! /+, =∈∀ ϕ ! - /+, =ϕ ! " /= !
"%< { }/⊂⊥
% F
⊃• ⊥⊥
+,
0 5 2 * '
2* 1!
4
3 ∈ ' ⊥⊥
∈ +, ) * ' ⊥∈∀ ⊥
'
∈ ⊥∈ ⊥
, # ⊥
+
5% # , # '
# +
touscours.net