Good Stuff Happens in 1:1 Meetings: Why you need them and how to do them well
dui-11.pdf
1. Décision dans l’incertain
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain
Stéphane Airiau
Université Paris-Dauphine
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 1
2. Décision dans l’incertain
CONTEXTE
â impossibilité de prévoir avec certitude les conséquences de la mise à
exécution d’une décision
â pas de probabilité
â la Nature décide de tout ce qui n’est pas sous mon contrôle
â les conséquences de mes décisions dépendent à la fois de mes
décisions et des décisions de la Nature (“états de la nature” ou
“scénarios”)
â la Nature est indolente (beurrer sa tartine du côté Pile n’implique pas
qu’elle tombera du côté Pile en cas de chute)
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 2
3. Décision dans l’incertain
CONTEXTE
â impossibilité de prévoir avec certitude les conséquences de la mise à
exécution d’une décision
â pas de probabilité
â la Nature décide de tout ce qui n’est pas sous mon contrôle
â les conséquences de mes décisions dépendent à la fois de mes
décisions et des décisions de la Nature (“états de la nature” ou
“scénarios”)
â la Nature est indolente (beurrer sa tartine du côté Pile n’implique pas
qu’elle tombera du côté Pile en cas de chute)
Problème : on doit choisir une action avant d’avoir connaissance de la
décision de la Nature
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 3
4. Exemple - Confection d’une omelette
Déjà 5 oeufs cassés dans un saladier, 6e oeuf intact
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 4
5. Exemple - Confection d’une omelette
Déjà 5 oeufs cassés dans un saladier, 6e oeuf intact
Trois options :
casser le 6e oeuf dans le saladier
casser le 6e oeuf dans un bol pour l’examiner
ne pas se servir de ce 6e oeuf
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 5
6. Exemple - Confection d’une omelette
Déjà 5 oeufs cassés dans un saladier, 6e oeuf intact
Trois options :
casser le 6e oeuf dans le saladier
casser le 6e oeuf dans un bol pour l’examiner
ne pas se servir de ce 6e oeuf
Conséquences :
â grande omelette
â 5 oeufs perdus
â grande omelette et bol sali inutilement
â petite omelette
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 6
7. Formalisme
â A : ensemble des actions potentielles (alternatives, solutions)
â E : ensemble des états de la Nature
â un élément e ∈ E représente une décision que peut prendre la Nature
susceptible d’influencer les conséquences d’au moins une des actions
de A
â X : ensemble des conséquences
â c : fonction qui associe à chaque couple A×E un élément de X
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 7
8. Matrice de décision
c e1 e2 ... ei ... en
a1 c(a1,e1) c(a1,e2) ... c(a1,ei) ... c(a1,en)
a2 c(a2,e1) c(a2,e2) ... c(a2,ei) ... c(a2,en)
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
aj c(aj,e1) c(aj,e2) ... c(aj,ei) ... c(aj,en)
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
am c(am,e1) c(am,e2) ... c(am,ei) ... c(am,en)
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 8
9. Exemple - Omelette
â A = {saladier, bol, poubelle }
â E = {oeuf bon, oeuf mauvais}
c oeuf bon oeuf mauvais
saladier grande omelette 5 oeufs perdus
bol grande omelette, bol sali petite omelette, bol sali
poubelle petite omelette petite omelette
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 9
10. Exemple 2
Enoncé
Une société envisage de lancer un nouveau produit. Compte tenu des
réactions des consommateurs, trois situations sont à envisager :
â accueil très favorable : gain de 900 000e
â accueil favorable : gain de 750 000e
â accueil défavorable (échec) : gain de 0e
Le coût de lancement est estimé à 500 000e.
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 10
11. Exemple 2
Enoncé
Une société envisage de lancer un nouveau produit. Compte tenu des
réactions des consommateurs, trois situations sont à envisager :
â accueil très favorable : gain de 900 000e
â accueil favorable : gain de 750 000e
â accueil défavorable (échec) : gain de 0e
Le coût de lancement est estimé à 500 000e.
Problème : Faut-il lancer ou non le produit?
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 11
12. Exemple 2 - modélisation
â Actions potentielles : A = {a1,a2}
â a1 : lancer le produit
â a2 : ne pas lancer le produit
â Etats de la nature : E = {e1,e2,e3}
â e1 : accueil très favorable
â e2 : accueil favorable
â e3 : accueil défavorable
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 12
13. Exemple 2 - modélisation
â Actions potentielles : A = {a1,a2}
â a1 : lancer le produit
â a2 : ne pas lancer le produit
â Etats de la nature : E = {e1,e2,e3}
â e1 : accueil très favorable
â e2 : accueil favorable
â e3 : accueil défavorable
Tableau des gains :
g(ai,ej) e1 e2 e3
a1 400 250 -500
a2 0 0 0
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 13
14. Dominance
On dit que l’action a domine l’action b (et on note aDb) ssi pour chaque
état de la Nature le gain rapporté par a est supérieur ou égal au gain
rapporté par l’action b (et strictement supérieur pour au moins un état de
nature) :
∀ei ∈ E, g(a,ei) ≥ g(b,ei)
∃ei ∈ E, g(a,ei) > g(b,ei)
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 14
15. Dominance
On dit que l’action a domine l’action b (et on note aDb) ssi pour chaque
état de la Nature le gain rapporté par a est supérieur ou égal au gain
rapporté par l’action b (et strictement supérieur pour au moins un état de
nature) :
∀ei ∈ E, g(a,ei) ≥ g(b,ei)
∃ei ∈ E, g(a,ei) > g(b,ei)
Remarque : la relation de dominance est transitive et asymétrique
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 15
16. Dominance
On dit qu’une action a est efficace ssi a n’est dominé par aucune autre
action
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 16
17. Dominance
On dit qu’une action a est efficace ssi a n’est dominé par aucune autre
action
Remarque : lorsque A et E sont finis, l’ensemble des actions efficaces A∗
⊆
A défini par :
A∗
= {a ∈ A,non(bDa) ∀b}
est toujours non vide
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 17
18. Différents critères de résolution
Afin de résoudre le problème, il faut choisir un critère de résolution
â Critère de Wald (MaxMin)
â Critère MaxMax
â Critère de Hurwicz
â Critère de Laplace
â Critère de Savage
â ...
Ensuite determiner la meilleure action selon le critère de résolution choisi
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 18
19. Différents critères de résolution
Afin de résoudre le problème, il faut choisir un critère de résolution
â Critère de Wald (MaxMin)
â Critère MaxMax
â Critère de Hurwicz
â Critère de Laplace
â Critère de Savage
â ...
Ensuite determiner la meilleure action selon le critère de résolution choisi
Remarque : il n’y a pas de notion de « meilleure action absolue », la
meilleure action va dépendre du critère choisi
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 19
20. Critère de Wald
Idée de prudence : choix fondé sur la situation la pire (Max Min)
Choisir toute action a ∈ A solution de :
max
a∈A
min
e∈E
g(a,e)
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 20
21. Critère de Wald
Idée de prudence : choix fondé sur la situation la pire (Max Min)
Choisir toute action a ∈ A solution de :
max
a∈A
min
e∈E
g(a,e)
Remarque : pas de compensation entre les états de la Nature, suggère
seulement des valeurs ordonnées
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 21
22. Critère de Wald
Idée de prudence : choix fondé sur la situation la pire (Max Min)
Choisir toute action a ∈ A solution de :
max
a∈A
min
e∈E
g(a,e)
Remarque : pas de compensation entre les états de la Nature, suggère
seulement des valeurs ordonnées
Exemple :
e1 e2 e3 Min
a1 40 70 -20 -20
a2 -10 40 100 -10
a3 20 40 -5 -5
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 22
23. Critère de Wald
Idée de prudence : choix fondé sur la situation la pire (Max Min)
Choisir toute action a ∈ A solution de :
max
a∈A
min
e∈E
g(a,e)
Remarque : pas de compensation entre les états de la Nature, suggère
seulement des valeurs ordonnées
Exemple :
e1 e2 e3 Min
a1 40 70 -20 -20
a2 -10 40 100 -10
a3 20 40 -5 -5
Ô⇒ Choisir a3 (perte maximale de -5)
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 23
24. Critère MaxMax
Idée d’optimisme : choix fondé sur la meilleure situation (Max Max)
Choisir toute action a ∈ A solution de :
max
a∈A
max
e∈E
g(a,e)
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 24
25. Critère MaxMax
Idée d’optimisme : choix fondé sur la meilleure situation (Max Max)
Choisir toute action a ∈ A solution de :
max
a∈A
max
e∈E
g(a,e)
Remarque : pas de compensation entre les états de la Nature, suggère
seulement des valeurs ordonnées
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 25
26. Critère MaxMax
Idée d’optimisme : choix fondé sur la meilleure situation (Max Max)
Choisir toute action a ∈ A solution de :
max
a∈A
max
e∈E
g(a,e)
Remarque : pas de compensation entre les états de la Nature, suggère
seulement des valeurs ordonnées
Exemple :
e1 e2 e3 Max
a1 40 70 -20 70
a2 -10 40 100 100
a3 20 40 -5 40
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 26
27. Critère MaxMax
Idée d’optimisme : choix fondé sur la meilleure situation (Max Max)
Choisir toute action a ∈ A solution de :
max
a∈A
max
e∈E
g(a,e)
Remarque : pas de compensation entre les états de la Nature, suggère
seulement des valeurs ordonnées
Exemple :
e1 e2 e3 Max
a1 40 70 -20 70
a2 -10 40 100 100
a3 20 40 -5 40
Ô⇒ Choisir a2 (gain maximal de 100)
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 27
28. Critère de Hurwicz
Critère intermédiaire entre les deux précédents : prise en compte de
l’attitude vis à vis du risque à travers un coefficient d’optimisme α
(0 ≤ α ≤ 1)
Choisir toute action a solution de
max
a∈A
[αmax
e∈E
g(a,e)+(1−α)min
e∈E
g(a,e)]
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 28
29. Critère de Hurwicz
Critère intermédiaire entre les deux précédents : prise en compte de
l’attitude vis à vis du risque à travers un coefficient d’optimisme α
(0 ≤ α ≤ 1)
Choisir toute action a solution de
max
a∈A
[αmax
e∈E
g(a,e)+(1−α)min
e∈E
g(a,e)]
Remarques :
â X doit avoir une structure légitimant l’opération de combinaison
linéaire
â détermination pratique du coefficient d’optimisme?
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 29
30. Critère de Hurwicz
Critère intermédiaire entre les deux précédents : prise en compte de
l’attitude vis à vis du risque à travers un coefficient d’optimisme α
(0 ≤ α ≤ 1)
Choisir toute action a solution de
max
a∈A
[αmax
e∈E
g(a,e)+(1−α)min
e∈E
g(a,e)]
Remarques :
â X doit avoir une structure légitimant l’opération de combinaison
linéaire
â détermination pratique du coefficient d’optimisme?
Exemple :
e1 e2 e3 α = 0.5
a1 40 70 -20 25
a2 -10 40 100 45
a3 20 40 -5 17,5
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 30
31. Critère de Hurwicz
Critère intermédiaire entre les deux précédents : prise en compte de
l’attitude vis à vis du risque à travers un coefficient d’optimisme α
(0 ≤ α ≤ 1)
Choisir toute action a solution de
max
a∈A
[αmax
e∈E
g(a,e)+(1−α)min
e∈E
g(a,e)]
Remarques :
â X doit avoir une structure légitimant l’opération de combinaison
linéaire
â détermination pratique du coefficient d’optimisme?
Exemple :
e1 e2 e3 α = 0.5
a1 40 70 -20 25
a2 -10 40 100 45
a3 20 40 -5 17,5
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 31
32. Critère de Laplace
Sans information sur les probabilités d’occurrence des états de la Nature
on leur associe une probabilité 1/n (n : nb d’états)
Choisir toute action a solution de
max
a∈A
n
∑
j=1
1
n
g(a,ej)
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 32
33. Critère de Laplace
Sans information sur les probabilités d’occurrence des états de la Nature
on leur associe une probabilité 1/n (n : nb d’états)
Choisir toute action a solution de
max
a∈A
n
∑
j=1
1
n
g(a,ej)
Remarques :
â Opération de combinaison linéaire légitime?
â Etats également vraisemblables? (Soit vous devenez président de la
république Ivoirienne, soit non)
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 33
34. Critère de Laplace
Sans information sur les probabilités d’occurrence des états de la Nature
on leur associe une probabilité 1/n (n : nb d’états)
Choisir toute action a solution de
max
a∈A
n
∑
j=1
1
n
g(a,ej)
Remarques :
â Opération de combinaison linéaire légitime?
â Etats également vraisemblables? (Soit vous devenez président de la
république Ivoirienne, soit non)
Exemple :
e1 e2 e3
a1 40 70 -20 90/3
a2 -10 40 100 130/3
a3 20 40 -5 55/3
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 34
35. Critère de Laplace
Sans information sur les probabilités d’occurrence des états de la Nature
on leur associe une probabilité 1/n (n : nb d’états)
Choisir toute action a solution de
max
a∈A
n
∑
j=1
1
n
g(a,ej)
Remarques :
â Opération de combinaison linéaire légitime?
â Etats également vraisemblables? (Soit vous devenez président de la
république Ivoirienne, soit non)
Exemple :
e1 e2 e3
a1 40 70 -20 90/3
a2 -10 40 100 130/3
a3 20 40 -5 55/3
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 35
36. Critère de Savage (Min Max Regret)
Le regret mesure la différence entre :
â ce que l’on aurait pu obtenir si l’on avait su quel état se réaliserait et
â ce que l’on obtient effectivement
Le regret rij représente le regret que nous allons avoir en choisissant l’ac-
tion ai lorsque l’état de nature s’avère être ej :
rij = maxkg(ak,ej)−g(ai,ej)
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 36
37. Critère de Savage (Min Max Regret)
Le regret mesure la différence entre :
â ce que l’on aurait pu obtenir si l’on avait su quel état se réaliserait et
â ce que l’on obtient effectivement
Le regret rij représente le regret que nous allons avoir en choisissant l’ac-
tion ai lorsque l’état de nature s’avère être ej :
rij = maxkg(ak,ej)−g(ai,ej)
Exemple :
e1 e2 e3
a1 40 70 -20
a2 -10 40 100
a3 20 40 -5
rij e1 e2 e3
a1 0 0 120
a2 50 30 0
a3 20 30 105
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 37
38. Critère de Savage (Min Max Regret)
Choix de l’action dont le regret max est le plus faible :
min
i
max
j
rij
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 38
39. Critère de Savage (Min Max Regret)
Choix de l’action dont le regret max est le plus faible :
min
i
max
j
rij
Remarques :
â Opération de combinaison linéaire légitime?
â Choix dépendant de l’ensemble des actions A, l’adjonction de
nouvelles actions peut modifier le choix de façon imprévisible
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 39
40. Critère de Savage (Min Max Regret)
Choix de l’action dont le regret max est le plus faible :
min
i
max
j
rij
Remarques :
â Opération de combinaison linéaire légitime?
â Choix dépendant de l’ensemble des actions A, l’adjonction de
nouvelles actions peut modifier le choix de façon imprévisible
Exemple :
e1 e2 e3
a1 40 70 -20
a2 -10 40 100
a3 20 40 -5
rij e1 e2 e3 Max
a1 0 0 120 120
a2 50 30 0 50
a3 20 30 105 105
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 40
41. Critère de Savage (Min Max Regret)
Choix de l’action dont le regret max est le plus faible :
min
i
max
j
rij
Remarques :
â Opération de combinaison linéaire légitime?
â Choix dépendant de l’ensemble des actions A, l’adjonction de
nouvelles actions peut modifier le choix de façon imprévisible
Exemple :
e1 e2 e3
a1 40 70 -20
a2 -10 40 100
a3 20 40 -5
rij e1 e2 e3 Max
a1 0 0 120 120
a2 50 30 0 50
a3 20 30 105 105
Ô⇒ Choisir a2 (regret max de 50)
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 41
42. Axiomatisation
â Axiome 1 : Ordre
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 42
43. Axiomatisation
â Axiome 1 : Ordre
â un critère doit permettre de classer complètement les actions avec
éventuellement des ex-aequo
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 43
44. Axiomatisation
â Axiome 1 : Ordre
â un critère doit permettre de classer complètement les actions avec
éventuellement des ex-aequo
â Axiome 2 : Symétrie
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 44
45. Axiomatisation
â Axiome 1 : Ordre
â un critère doit permettre de classer complètement les actions avec
éventuellement des ex-aequo
â Axiome 2 : Symétrie
â le classement des actions est indépendant de leur numérotation ainsi
que de celle des états de la nature
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 45
46. Axiomatisation
â Axiome 1 : Ordre
â un critère doit permettre de classer complètement les actions avec
éventuellement des ex-aequo
â Axiome 2 : Symétrie
â le classement des actions est indépendant de leur numérotation ainsi
que de celle des états de la nature
â Axiome 3 : Dominance stricte
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 46
47. Axiomatisation
â Axiome 1 : Ordre
â un critère doit permettre de classer complètement les actions avec
éventuellement des ex-aequo
â Axiome 2 : Symétrie
â le classement des actions est indépendant de leur numérotation ainsi
que de celle des états de la nature
â Axiome 3 : Dominance stricte
â si une action ai domine strictement une action ah, alors ai est classée
avant ah
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 47
48. Axiomatisation
â Axiome 1 : Ordre
â un critère doit permettre de classer complètement les actions avec
éventuellement des ex-aequo
â Axiome 2 : Symétrie
â le classement des actions est indépendant de leur numérotation ainsi
que de celle des états de la nature
â Axiome 3 : Dominance stricte
â si une action ai domine strictement une action ah, alors ai est classée
avant ah
â Axiome 4 : Adjonction d’une ligne
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 48
49. Axiomatisation
â Axiome 1 : Ordre
â un critère doit permettre de classer complètement les actions avec
éventuellement des ex-aequo
â Axiome 2 : Symétrie
â le classement des actions est indépendant de leur numérotation ainsi
que de celle des états de la nature
â Axiome 3 : Dominance stricte
â si une action ai domine strictement une action ah, alors ai est classée
avant ah
â Axiome 4 : Adjonction d’une ligne
â l’adjonction d’une nouvelle action ne modifie pas le classement relatif
des autres actions
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 49
50. Axiomatisation
â Axiome 1 : Ordre
â un critère doit permettre de classer complètement les actions avec
éventuellement des ex-aequo
â Axiome 2 : Symétrie
â le classement des actions est indépendant de leur numérotation ainsi
que de celle des états de la nature
â Axiome 3 : Dominance stricte
â si une action ai domine strictement une action ah, alors ai est classée
avant ah
â Axiome 4 : Adjonction d’une ligne
â l’adjonction d’une nouvelle action ne modifie pas le classement relatif
des autres actions
â Axiome 5 : Convexité
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 50
51. Axiomatisation
â Axiome 1 : Ordre
â un critère doit permettre de classer complètement les actions avec
éventuellement des ex-aequo
â Axiome 2 : Symétrie
â le classement des actions est indépendant de leur numérotation ainsi
que de celle des états de la nature
â Axiome 3 : Dominance stricte
â si une action ai domine strictement une action ah, alors ai est classée
avant ah
â Axiome 4 : Adjonction d’une ligne
â l’adjonction d’une nouvelle action ne modifie pas le classement relatif
des autres actions
â Axiome 5 : Convexité
â si le décideur est indifférent entre deux actions ai et ah, alors l’action ak
telle que ∀j,gj(ak) = 1
2 (gj(ai)+gj(ah)) ne peut être classée après ai et ah
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 51
52. Axiomatisation
â Axiome 6 : Adjonction ou retranchement d’une colonne
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 52
53. Axiomatisation
â Axiome 6 : Adjonction ou retranchement d’une colonne
â l’ajout ou le retranchement d’une colonne identique à une autre
colonne ne doit pas modifier la réponse du critère
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 53
54. Axiomatisation
â Axiome 6 : Adjonction ou retranchement d’une colonne
â l’ajout ou le retranchement d’une colonne identique à une autre
colonne ne doit pas modifier la réponse du critère
â Axiome 7 : Linéarité
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 54
55. Axiomatisation
â Axiome 6 : Adjonction ou retranchement d’une colonne
â l’ajout ou le retranchement d’une colonne identique à une autre
colonne ne doit pas modifier la réponse du critère
â Axiome 7 : Linéarité
â le critère n’est pas modifié si on applique la même transformation
linéaire à toutes les mesures de conséquence
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 55
56. Axiomatisation
â Axiome 6 : Adjonction ou retranchement d’une colonne
â l’ajout ou le retranchement d’une colonne identique à une autre
colonne ne doit pas modifier la réponse du critère
â Axiome 7 : Linéarité
â le critère n’est pas modifié si on applique la même transformation
linéaire à toutes les mesures de conséquence
â Axiome 8 : Continuité
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 56
57. Axiomatisation
â Axiome 6 : Adjonction ou retranchement d’une colonne
â l’ajout ou le retranchement d’une colonne identique à une autre
colonne ne doit pas modifier la réponse du critère
â Axiome 7 : Linéarité
â le critère n’est pas modifié si on applique la même transformation
linéaire à toutes les mesures de conséquence
â Axiome 8 : Continuité
â soient Px
,...,Pk
,...,P1
une suite de matrices [gij] qui converge vers P.
Si ai est classée avant aj pour tout k, alors ai est au moins aussi bien
classée que aj dans P
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 57
58. Axiomatisation
â Axiome 6 : Adjonction ou retranchement d’une colonne
â l’ajout ou le retranchement d’une colonne identique à une autre
colonne ne doit pas modifier la réponse du critère
â Axiome 7 : Linéarité
â le critère n’est pas modifié si on applique la même transformation
linéaire à toutes les mesures de conséquence
â Axiome 8 : Continuité
â soient Px
,...,Pk
,...,P1
une suite de matrices [gij] qui converge vers P.
Si ai est classée avant aj pour tout k, alors ai est au moins aussi bien
classée que aj dans P
â Axiome 9 : Linéarité des colonnes
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 58
59. Axiomatisation
â Axiome 6 : Adjonction ou retranchement d’une colonne
â l’ajout ou le retranchement d’une colonne identique à une autre
colonne ne doit pas modifier la réponse du critère
â Axiome 7 : Linéarité
â le critère n’est pas modifié si on applique la même transformation
linéaire à toutes les mesures de conséquence
â Axiome 8 : Continuité
â soient Px
,...,Pk
,...,P1
une suite de matrices [gij] qui converge vers P.
Si ai est classée avant aj pour tout k, alors ai est au moins aussi bien
classée que aj dans P
â Axiome 9 : Linéarité des colonnes
â le classement des actions n’est pas modifié lorsqu’on ajoute une
constante à tous les éléments d’une même colonne
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 59
60. Axiomatisation
â Axiome 6 : Adjonction ou retranchement d’une colonne
â l’ajout ou le retranchement d’une colonne identique à une autre
colonne ne doit pas modifier la réponse du critère
â Axiome 7 : Linéarité
â le critère n’est pas modifié si on applique la même transformation
linéaire à toutes les mesures de conséquence
â Axiome 8 : Continuité
â soient Px
,...,Pk
,...,P1
une suite de matrices [gij] qui converge vers P.
Si ai est classée avant aj pour tout k, alors ai est au moins aussi bien
classée que aj dans P
â Axiome 9 : Linéarité des colonnes
â le classement des actions n’est pas modifié lorsqu’on ajoute une
constante à tous les éléments d’une même colonne
â Axiome 10 : Adjonction d’une ligne spéciale
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 60
61. Axiomatisation
â Axiome 6 : Adjonction ou retranchement d’une colonne
â l’ajout ou le retranchement d’une colonne identique à une autre
colonne ne doit pas modifier la réponse du critère
â Axiome 7 : Linéarité
â le critère n’est pas modifié si on applique la même transformation
linéaire à toutes les mesures de conséquence
â Axiome 8 : Continuité
â soient Px
,...,Pk
,...,P1
une suite de matrices [gij] qui converge vers P.
Si ai est classée avant aj pour tout k, alors ai est au moins aussi bien
classée que aj dans P
â Axiome 9 : Linéarité des colonnes
â le classement des actions n’est pas modifié lorsqu’on ajoute une
constante à tous les éléments d’une même colonne
â Axiome 10 : Adjonction d’une ligne spéciale
â l’adjonction d’une action dominée ne modifie pas le classement des
actions initiales
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 61
62. Axiomatisation
â Axiome 6 : Adjonction ou retranchement d’une colonne
â l’ajout ou le retranchement d’une colonne identique à une autre
colonne ne doit pas modifier la réponse du critère
â Axiome 7 : Linéarité
â le critère n’est pas modifié si on applique la même transformation
linéaire à toutes les mesures de conséquence
â Axiome 8 : Continuité
â soient Px
,...,Pk
,...,P1
une suite de matrices [gij] qui converge vers P.
Si ai est classée avant aj pour tout k, alors ai est au moins aussi bien
classée que aj dans P
â Axiome 9 : Linéarité des colonnes
â le classement des actions n’est pas modifié lorsqu’on ajoute une
constante à tous les éléments d’une même colonne
â Axiome 10 : Adjonction d’une ligne spéciale
â l’adjonction d’une action dominée ne modifie pas le classement des
actions initiales
â version affaiblie de l’axiome 6
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 62
63. Caractérisation
â Un critère f vérifie les axiomes d’ordre, de symétrie, de dominance stricte,
de continuité, d’adjonction d’une ligne et de linéarité de colonne ssi f est
le critère de Laplace
â Un critère f vérifie les axiomes d’ordre, de symétrie, de dominance stricte,
de continuité, d’adjonction d’une ligne, d’adjonction d’une colonne et de
convexité ssi f est le critère de Wald
â Un critère f vérifie les axiomes d’ordre, de symétrie, de dominance stricte,
de continuité, de linéarité d’une colonne, d’adjonction d’une colonne et
de convexité ssi f est le critère de Savage
â Un critère f vérifie les axiomes d’ordre, de symétrie, de dominance stricte,
de continuité, de linéarité, d’adjonction d’une ligne et d’adjonction d’une
colonne ssi f est le critère d’Hurwicz
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 63
64. Espérance mathématique
CONTEXTE :
â on connaît une distribution de probabilités sur les différents états de
la Nature
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 64
65. Espérance mathématique
CONTEXTE :
â on connaît une distribution de probabilités sur les différents états de
la Nature
Critère de décision :
â Espérance mathématique des gains (EMG)
EMG(ai) = ∑
j
p(ej)g(ai,ej)
On retient l’action qui assure la meilleure EMG
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 65
66. Espérance mathématique
CONTEXTE :
â on connaît une distribution de probabilités sur les différents états de
la Nature
Critère de décision :
â Espérance mathématique des gains (EMG)
EMG(ai) = ∑
j
p(ej)g(ai,ej)
On retient l’action qui assure la meilleure EMG
Exemple des enveloppes :
â EMG(d1) = 100e
â EMG(d2) = 3/100×1000e+97/100×1e= 30,97e
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 66
67. Exemple 3 - Papetier
Enoncé
Au mois d’août un papetier doit décider du nombre d’agendas à acheter
pour l’année suivante. Un agenda coûte 20e et est vendu à 45e. Fin jan-
vier, chaque agenda invendu peut être renvoyé à l’éditeur qui le rachète
5e.
La loi de la demande est :
d 100 150 200 250 300
p(D=d) 0,3 0,2 0,3 0,15 0,05
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 67
68. Exemple 3 - Papetier
Enoncé
Au mois d’août un papetier doit décider du nombre d’agendas à acheter
pour l’année suivante. Un agenda coûte 20e et est vendu à 45e. Fin jan-
vier, chaque agenda invendu peut être renvoyé à l’éditeur qui le rachète
5e.
La loi de la demande est :
d 100 150 200 250 300
p(D=d) 0,3 0,2 0,3 0,15 0,05
Problème : combien d’agendas doit commander le papetier?
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 68
69. Exemple 3 - Modélisation
â Actions : ensemble des quantités commandées (ai = qi)
â Etats de la Nature : ensemble des demandes (ej = dj)
â Tableau des gains : g(qi,dj) : gain résultant de la commande de la
quantité qi lorsque la demande est égale à dj :
â si dj ≤ qi ∶ g(qi,dj) = 45dj +5(qi −dj)−20qi = 40dj −15qi
â si dj > qi ∶ g(qi,dj) = 45qi −20qi = 25qi
Tableau des gains :
qi/dj 100 150 200 250 300
100 2500 2500 2500 2500 2500
150 1750 3750 3750 3750 3750
200 1000 3000 5000 5000 5000
250 250 2250 4250 6250 6250
300 -500 1500 3500 5500 7500
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 69
71. Décision séquentielle
â Incertitude intervient à plusieurs niveaux
â Décideur confronté à une séquence de choix successifs
â Analyse à l’aide d’une représentation graphique du problème : un
arbre de décision
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 71
72. Décision séquentielle
â Incertitude intervient à plusieurs niveaux
â Décideur confronté à une séquence de choix successifs
â Analyse à l’aide d’une représentation graphique du problème : un
arbre de décision
Arbre de décision
â on connaît les ensembles A et E, le tableau des gains et
éventuellement une distribution de probabilités sur E
â un arbre de décision est une arborescence représentant la séquence
logique des décisions possibles et des événements susceptibles de se
produire
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 72
73. Représentation par un arbre de décision
â Les décisions sont représentées par des arcs issus de sommets
appelés noeuds-décision et symbolisés par un carré
â Les états de la Nature sont également représentés par des arcs
sortant de sommets appelés noeuds-hasard et symbolisés par des
ronds
â les arcs sont valués par les probabilités correspondantes (s’il y a des
probabilités)
â Les sommets terminaux contiennent la valeur du gain
correspondant à la succession de décisions et d’événements se
produisant sur le chemin allant de la racine au sommet considéré
Exemple : exemple 2 avec les probabilités suivantes :
e1 e2 e3
p(ej) 0,4 0,4 0,2
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 73
74. Calcul sur un arbre de décision
Avant tout il faut choisir le critère de décision que l’on va utiliser pour la
prise de décision!
Principe du calcul : on associe des valeurs à partir des sommets terminaux
vers le sommet initial (racine). Un sommet ne peut être évalué que si ses
successeurs le sont déjà.
â sur chaque sommet hasard (dt ts les successeurs sont valués) :
calculer la valeur du critère concernant les gains des sommets
suivants
â sur chaque sommet décision : retenir la valeur maximale des
sommets suivants et sélectionner l’arc correspondant
â arrêt : si le sommet racine est valué
â Stratégie optimale : succession des arcs sélectionnés permettant
d’obtenir l’évaluation de la racine
Exemple : exemple 2 avec EMG comme critère de décision
Cours 11: Théorie de la Décision dans l’incertain– (Stéphane Airiau) M1 IDD 74
