Mathematics for neuroscience - a gentle introduction (in French)

Intro. Neur. Math Modél. Data Ref&Conc
Mathématiques pour les neurosciences
une petite présentation
Al Levity
allevity@ihr.mrc.ac.uk
1 / 134

• Santiago Ramón y Cajal, ﬁn du XIXème siècle,
père des neurosciences.
• Hodgkin-Huxley, 1952
analogie entre un neurone et un système électrique,
• Aujourd’hui, on essaie de déchiﬀrer le code neuronal.
Quels rôles ont les mathématiques là-dedans ?
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Modéliser et analyser.
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Modéliser
What I cannot create I do not understand.
Richard Feynman (1918-1988)
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Les échelles (scaling)
Exemple physique : du macroscopique au microscopique.
La physique théorique cherche encore une théorie uniﬁcatrice.
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Exemple Mathématique : un monde sans échelles.
Les fractales (auto-similaires)
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(Sierpinski, Escher, Droste eﬀect)
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Exemple Mathématique : un monde d’échelles.
Les fractales (non auto-similaires)
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http://www.htwins.net/mandyzoom/
http://www.youtube.com/watch?v=tzNjmSGVs6o
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Exemple Neuro : du macroscopique au microscopique.
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Découvertes et technologie
Santiago Ramón y Cajal, 1899 Lynne Quarmby, 2011
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NEURONES
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Quelques nombres
• ⇡100.000.000.000 neurones chez l’Homme
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Quelques nombres
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Quelques nombres
• Jusqu’à 10.000 connections par neurone
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Quelques nombres
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Quelques nombres
• Plusieurs types de neurones
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Quelques nombres
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Quelques nombres
• Diﬀérentes échelles possibles
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Quelques nombres
• Diﬀérentes échelles possibles
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Connectome
D’où des connections diﬃciles à analyser.
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Neurones : deux régimes électriques
Information neuronale électrique =) électrodes
38 / 134

Information neuronale électrique =) électrodes
39 / 134

Voltage
(mV)
Time (ms)
40 / 134

Voltage
(mV)
Time (ms)
41 / 134

Voltage
(mV)
Time (ms)
42 / 134

Voltage
(mV)
Time (ms)
43 / 134

Dynamique des potentiels d’action
Les spikes se ressemblent
-0.02 -0.01 0.01 0.02
-50
-40
-30
-20
-10
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OUT ILS MAT HEMAT IQUES
45 / 134

Dérivation
Graphe de la fonction
f :
⇢
R ! R
x 7! x3 3x
x3 3x
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
40
32
24
16
8
8
16
24
32
40
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Dérivation
Graphe de la fonction Dérivée de f :
f :
⇢
R ! R
x 7! x3 3x
f 0 :
⇢
R ! R
x 7! ?
x3 3x
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
40
32
24
16
8
8
16
24
32
40
47 / 134

Dérivation
f :
⇢
R ! R
x 7! x3 3x
f 0 :
⇢
R ! R
x 7! ?
x3 3x
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
40
32
24
16
8
8
16
24
32
40 Déﬁnition : pour x 2 R,
f 0
(x) := lim
h!0
f (x + h) f (x)
h
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Dérivation
f :
⇢
R ! R
x 7! x3 3x
f 0 :
⇢
R ! R
x 7! ?
x3 3x
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
40
32
24
16
8
8
16
24
32
40 Déﬁnition : pour x 2 R,
f 0
(x) := lim
h!0
f (x + h) f (x)
h
Propriété : soient f et g deux
fonctions dérivables,
a, b 2 R, n 2 N⇤
. Alors
(af + bg)0 = af 0 + bg0
(fg)0 = f 0 ⇤ g + f ⇤ g0
(f n)0 = n(f 0)f n 1
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Dérivation
f :
⇢
R ! R
x 7! x3 3x
f 0 :
⇢
R ! R
x 7! 3x2 3
x3 3x
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
40
32
24
16
8
8
16
24
32
40
3x2 3
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
40
32
24
16
8
8
16
24
32
40
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Equations diﬀérentielles
Équation dont l’inconnue est une fonction f , entre f et ses dérivées.
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Exemples : f 0(x) = f (x)
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Exemples : f 0 = f 2 3f + 2
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Exemples : f 0(x) + f 00(x) = f 2(x)+1
1+x2
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Existence et unicité d’une solution ?
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Préciser des conditions aux limites.
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Trouver le domaine.
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Trouver le domaine.
De nombreux théorèmes (Lipshitz), de nombreuses conjectures.
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Comment tracer les solutions ?
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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Résolution graphique de
⇢
f 0 = f
f (0) = 1.
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
60 / 134

⇢
f 0 = f
f (0) = 1.
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
61 / 134

⇢
f 0 = f
f (0) = 1.
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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Mouvement brownien
1827 1905 1921
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Mouvement brownien
1827 1905 1921
Biologie
Robert Brown re-
marque au microscope
que le mouvement de
grains de pollen sur
l’eau ne suit pas de
logique évidente.
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Mouvement brownien
1827 1905 1921
Biologie Physique
Robert Brown re-
que le mouvement de
logique évidente.
Albert Einstein pub-
lie une théorie quant-
itative du mouvement
brownien.
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Mouvement brownien
1827 1905 1921
Biologie Physique Mathématiques
Robert Brown re-
que le mouvement de
logique évidente.
Albert Einstein pub-
lie une théorie quant-
itative du mouvement
brownien.
Norbert Wiener
propose un cadre
formel au mouvement
brownien : le processus
de Wiener.
67 / 134

Mouvement brownien
68 / 134

Mouvement brownien
Permet une théorie du calcul stochastique
(des équations diﬀérentielles qui contiennent de l’aléa)
f 0
(t) = f (t) ! ! !
69 / 134

Mouvement brownien
f 0
(t) = f (t) !
df
dt
(t) = f (t) ! !
70 / 134

Mouvement brownien
f 0
(t) = f (t) !
df
dt
(t) = f (t) !
df
dt
= f !
71 / 134

Mouvement brownien
f 0
(t) = f (t) !
df
dt
(t) = f (t) !
df
dt
= f ! df = f dt
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Mouvement brownien
Calcul classique : df = f dt
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Mouvement brownien
Calcul classique : df = f dt
Calcul stochastique : df = f dt + dBt
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MODELISAT ION
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Hodgkin-Huxley model (HH)
Modéliser le voltage d’un neurone en modélisant les mécanismes
biologiques qui le font varier.
V 0
(t) = ?
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V 0
(t) = ?
Qu’est-ce qui détermine le potentiel électronique dans un neurone ?
77 / 134

V 0
(t) = ?
Les ions :
78 / 134

V 0
(t) = ?
Les ions :
• Potassium K+
79 / 134

V 0
(t) = ?
Les ions :
• Potassium K+
• Sodium Na+
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V 0
(t) = ?
Les ions :
• Potassium K+
• Sodium Na+
• ...
81 / 134

V 0
(t) = ?
Les ions :
• Potassium K+
• Sodium Na+
• ...
On va donc construire notre modèle en choisissant comment nos
paramètres inﬂuent sur la variation du voltage.
82 / 134

V 0
(t) = f (nK+ , nNa+ , V (t))
Les ions :
• Potassium K+
• Sodium Na+
• ...
On va donc construire notre modèle en choisissant comment nos
paramètres inﬂuent sur la variation du voltage.
83 / 134

Dynamique des potentiels d’action
84 / 134

Potentiels d’action : jeu de barycentre
85 / 134

HH model : construction
Comme ce sont les propriétés électriques du neurone qui créent les
potentiels d’action, on va construire notre modèle par analogie avec
un système électrique.
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En 1963, ils recevaient le prix Nobel de physiologie ou médecine pour ce travail.
87 / 134

88 / 134

89 / 134

90 / 134

Dans un circuit en parallèle, les courants s’ajoutent :
Itotal = IC + IK + INa + Il
• IC est le courant passant à travers la bicouche lipidique,
• IK , INa sont les courants à travers les canaux ioniques K et Na,
• Il est un courant de fuite (leakage current), principalement via des
ﬂuctuations en ions chlorure (Cl ).
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On peut utiliser la loi d’Ohm (R Résistance, g Conductance) :
Ii =
Vi
Ri
= gi Vi
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Ii =
Vi
Ri
= gi Vi
Comme l’intensité due à chaque type de courant est par rapport à une valeur
"de repos"
IK = gk (V VK )
INa = gNa(V VNa)
Il = gl (V Vl )
93 / 134

Ii =
Vi
Ri
= gi Vi
Comme l’intensité due à chaque type de courant est par rapport à une valeur
"de repos"
IK = gk (V VK )
INa = gNa(V VNa)
Il = gl (V Vl )
à part le courant IC qui est régit par une autre loi
IC = C
dV
dt
94 / 134

On se retrouve donc avec une formule plus intéressante
I = C
dV
dt
+ gk(V VK ) + gNa(V VNa) + gl (V Vl )
95 / 134

I = C
dV
dt
Qu’est-ce qui est constant, qu’est-ce qui est variable ?
96 / 134

I = C
dV
dt
Qu’est-ce qui est constant, qu’est-ce qui est variable ?
97 / 134

I = C
dV
dt
Dans notre travail de modélisation, il nous reste à
• évaluer les constantes (les biologistes sont nos amis),
• modéliser les variables gK , gNa.
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Comme la conductance gK est maximale lorsque tous les canaux
ioniques de potassium sont actifs (i.e. laissent passer des ions), on
écrit tout d’abord
gK = gK ⇥ ?
où ? est une variable entre 0 et 1 donnant le pourcentage de
canaux actifs.
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Pour qu’un canal ionique soit actif, il faut
• qu’il ne soit pas désactivé,
• qu’il ne soit pas inactivé.
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Des données permettent l’estimation suivante des canaux ioniques :
• K+ : 4 portes pour la désactiver, 0 pour l’inactiver.
• Na+ : 3 portes pour la désactiver, 1 pour l’inactiver.
101 / 134

Ainsi, si on note n la probabilité qu’une porte désactive un canal
K+, la probabilité que le canal soit ouvert est n4 (indépendance des
évènements).
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Ainsi, si on note n la probabilité qu’une porte désactive un canal
K+, la probabilité que le canal soit ouvert est n4 (indépendance des
évènements).
Si on note m la probabilité qu’une porte désactive un canal Na+, h
la probabilité qu’une porte inactive le canal, alors la probabilité que
le canal soit ouvert est m3h.
103 / 134

Notre modèle devient donc
I = C
dV
dt
+ gK n4
(V VK ) + gNam3
h(V VNa) + gl (V Vl )
et il nous reste à modéliser la variation des variables m, n, h.
104 / 134

I = C
dV
dt
+ gK n4
(V VK ) + gNam3
Pour certaines raisons, Hodgkin et Huxley ont cherché à modéliser
sous la forme suivante :
105 / 134

I = C
dV
dt
+ gK n4
(V VK ) + gNam3
˙n = ↵n(V ) (1 n) n(V ) n,
˙m = ↵m(V ) (1 m) m(V ) m,
˙h = ↵h(V ) (1 h) h(V ) h,
106 / 134

I = C
dV
dt
+ gK n4
(V VK ) + gNam3
˙n = ↵n(V ) (1 n) n(V ) n,
˙m = ↵m(V ) (1 m) m(V ) m,
˙h = ↵h(V ) (1 h) h(V ) h,
JACKPOT
107 / 134

Les biologistes ont des tech-
niques pour ﬁger les canaux io-
niques, permettant d’évaluer les
fonctions ↵i (V ) et i (V ) une
par une.
Les équations de ces fonctions
sont ensuites ajustées pour
approcher la ’voltage-clamped’
data.
108 / 134

Les équations proposées en 1952 furent :
↵n(V ) = 0.01 10 V
e
10 V
10 1
n(V ) = 0.125 e
V
80
↵m(V ) = 0.1 25 V
e
25 V
10 1
m(V ) = 4 e
V
18
↵h(V ) = 0.07 e
V
20
h(V ) = 1
e
30 V
10 +1
109 / 134

Les équations proposées en 1952 furent :
↵n(V ) = 0.01 10 V
e
10 V
10 1
n(V ) = 0.125 e
V
80
↵m(V ) = 0.1 25 V
e
25 V
10 1
m(V ) = 4 e
V
18
↵h(V ) = 0.07 e
V
20
h(V ) = 1
e
30 V
10 +1
d’où notre modèle complet.
110 / 134

111 / 134

Testons le modèle
On va tester deux caractéristiques des vrais neurones que notre
modèle devrait avoir :
1. Bifurcation
2. Résonance
112 / 134

Testons le modèle
1. Bifurcation
(apparition d’un spike à partir d’une certaine valeur du paramètre I),
2. Résonance
113 / 134

Testons le modèle
1. Bifurcation
(apparition d’un spike à partir d’une certaine valeur du paramètre I),
2. Résonance
(ce n’est pas parce qu’on augmente la valeur du paramètre I qu’il y
a plus de spikes).
114 / 134

HH model : test 1
I = 2.2 I = 2.2406730 I = 2.2406731 I = 5
115 / 134

HH model : test 1
V (t)
I = 2.2
5 10 15 20 25 30
time
-20
20
40
60
80
100
120
V
Membrane voltage versus time
I = 2.2406730 I = 2.2406731 I = 5
116 / 134

HH model : test 1
V (t)
I = 2.2
5 10 15 20 25 30
time
-20
20
40
60
80
100
120
V
I = 2.2406730
5 10 15 20 25 30
time
-20
20
40
60
80
100
120
V
I = 2.2406731 I = 5
117 / 134

HH model : test 1
V (t)
I = 2.2
5 10 15 20 25 30
time
-20
20
40
60
80
100
120
V
I = 2.2406730
5 10 15 20 25 30
time
-20
20
40
60
80
100
120
V
I = 2.2406731
5 10 15 20 25 30
time
-20
20
40
60
80
100
120
V
I = 5
118 / 134

HH model : test 1
V (t)
I = 2.2
5 10 15 20 25 30
time
-20
20
40
60
80
100
120
V
I = 2.2406730
5 10 15 20 25 30
time
-20
20
40
60
80
100
120
V
I = 2.2406731
5 10 15 20 25 30
time
-20
20
40
60
80
100
120
V
I = 5
5 10 15 20 25 30
time
-20
20
40
60
80
100
120
V
119 / 134

HH model : test 1
V (t)
gNa(t)
gK (t)
m(t)
h(t)
I = 2.2
5 10 15 20 25 30
time
-20
20
40
60
80
100
120
V
5 10 15 20 25 30
time
10
20
30
gNa
Sodium channel conductance versus time
5 10 15 20 25 30
time
-5
5
10
15
gK
Potassium channel conductance versus time
0 5 10 15 20 25 30
time
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
mHtL
mHtL versus time
0 5 10 15 20 25 30
time
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
hHtL
hHtL versus time
I = 2.2406730
5 10 15 20 25 30
time
-20
20
40
60
80
100
120
V
5 10 15 20 25 30
time
10
20
30
gNa
5 10 15 20 25 30
time
-5
5
10
15
gK
0 5 10 15 20 25 30
time
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
mHtL
mHtL versus time
0 5 10 15 20 25 30
time
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
hHtL
hHtL versus time
I = 2.2406731
5 10 15 20 25 30
time
-20
20
40
60
80
100
120
V
5 10 15 20 25 30
time
10
20
30
gNa
5 10 15 20 25 30
time
-5
5
10
15
gK
0 5 10 15 20 25 30
time
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
mHtL
mHtL versus time
0 5 10 15 20 25 30
time
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
hHtL
hHtL versus time
I = 5
5 10 15 20 25 30
time
-20
20
40
60
80
100
120
V
5 10 15 20 25 30
time
10
20
30
gNa
5 10 15 20 25 30
time
-5
5
10
15
gK
0 5 10 15 20 25 30
time
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
mHtL
mHtL versus time
0 5 10 15 20 25 30
time
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
hHtL
hHtL versus time
120 / 134

HH model : test 2
121 / 134

DAT A
122 / 134

Obtenir des données
Méthodes d’obtention de données neuronales en 3 catégories :
123 / 134

• invasives,
124 / 134

• invasives,
• semi-invasives,
125 / 134

• invasives,
• semi-invasives,
• non-invasives.
126 / 134

EEG/MEG : électro/magnetoencéphalogramme
Electrodes qui captent les variations électriques/magnétiques. 127 / 134

MRI : Imagerie par Résonance Magnétique
Excitation magnétique des atomes d’hydrogène.
128 / 134

fMRI: Imagerie par Résonance Magnétique fonctionnelle
Mesure la quantité d’oxygène, croissante dans les zones actives.
129 / 134

dMRI: IRM de diﬀusion
Utilise le mouvement brownien des molécules d’eau du corps humain.
130 / 134

LE MOT DE LA FIN
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Références
Wikipédia (toujours vériﬁer les sources)
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Denis Le Billan, Le cerveau de crystal
Izhikevich, Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of
Excitability and Bursting
132 / 134

Conclusion
Les sciences se partagent la compréhension des phénomènes ; être
scientiﬁque implique une ouverture.
Et il n’est jamais trop tôt pour être chercheur : n’attendez pas que
les choses arrivent.
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Merci de votre attention
Et si vous avez des questions scientiﬁques : allevity@ihr.mrc.ac.uk
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