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Maria Rifqi-Berger
1
Présentation du cours
 Théorie
 Bases de la théorie des sous-ensembles flous
 Pratique
 Utiliser la théorie (exercices)
 Applications FisPro
Maria Rifqi-Berger
2
Bibliographie
 « La logique floue », B. Bouchon-Meunier, Que-
sais-je? PUF, N° 2702.
 « Logique floue – exercices corrigés et exemples
d'applications », B. Bouchon-Meunier, L. Foulloy
et M. Ramdani, Cépaduès éd., 1998.
 « La logique floue et ses applications », B.
Bouchon-Meunier, Addison Wesley éd., 1995
 « Fuzzy sets, uncertainty and information », G.
Klir and T. Folger, Prentice Hall ed., 1988.
Maria Rifqi-Berger
3
Plan du cours
 Introduction
 Présentation du cours
 Définitions de base
 Sous-ensemble flou (sef)
 Caractéristiques de sef
 Opérations sur les sefs
 Quelques applications commerciales de la
logique floue
Maria Rifqi-Berger
4
Introduction
 L'imprécision du monde réel
 Le flou est partout
 Le flou est humain
 Le flou est plus souple
 Théorie des sous-ensembles flous
 « mesurer une gradation dans l'appartenance à un
ensemble »
 Une théorie mathématique formelle pour la prise en
compte de l'imprécision et des incertitudes
 Article fondateur: « Fuzzy Sets », L. A. Zadeh, in
Information and Control, 1965.
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5
Gestion des imprécisions -
Approche conventionnelle
 Dissoudre le flou puis traiter des
données précises
 informations floues  informations précises
 part importante d'arbitraire
 analyse de la sensibilité indispensable
 plusieurs jeux de données traités un par
un
 comparaison des résultats
Maria Rifqi-Berger
6
Gestion des imprécisions -
Approche floue
 Traiter des données floues puis
dissoudre le flou
 Garder le flou comme une information
 Reporter la dissolution du flou le plus tard
possible et sur la décision uniquement
 Accroissement de la fiabilité et de la
stabilité du système
Maria Rifqi-Berger
7
Gestion des imprécisions
 Théorie des ensembles flous introduite par Lotfi
Zadeh en 1965.
 Modèle mathématique pour représenter
l'imprécision et l'incertitude.
 Idée des ensembles flous facile à comprendre :
Freine dans 32m50
ou
Freine bientôt
 La précision n'est pas toujours utile.
 Capable d'interpréter des informations
imprécises et d'agir.
Maria Rifqi-Berger
8
Ensembles classiques / Ensembles
flous
 ensemble classique = ensemble des objets satisfaisant
des propriétés précises
 Exemple : ensemble des nombres compris entre 6 et 8
fonction caractéristique : m : R  {0, 1}
m(x) = 1 si 6  x  8
0 sinon.
 ensemble flou = ensemble des objets satisfaisant des
propriétés imprécises
 Exemple : ensemble des nombres proches de 7
fonction d'appartenance : : X  [0, 1]
(x) pas unique.
 différence majeure : unicité fonction caractéristique /
infinité fonction d'appartenance
Maria Rifqi-Berger
9
Théorie des sous-ensembles flous
X ensemble de référence
A sous-ensemble flou de X défini par une fonction
d'appartenance 
X  [0, 1]
Caractéristiques
 Noyau : éléments appartenant de façon absolue
Noy(A) = {x X / (x) = 1}
 Support : éléments appartenant au moins un peu
Supp(A) = {x X / (x)  0}
Maria Rifqi-Berger
10
 Infinité de fonctions d'appartenance possibles
 flexibilité, ajustement maximal pour une situation
donnée
 Ensemble flou = toujours et seulement des fonctions
 Toute fonction X  [0, 1] est un ensemble flou dans
le sens mathématique. D'un point de vue sémantique,
il faut qu'une telle fonction soit interprétable à l'aide de
propriétés imprécises décrivant les éléments de X.
Théorie des sous-ensembles flous
Maria Rifqi-Berger
11
Probabilité / Flou
ensembles flous = déguisement pour les
statistiques ?
NON
A B
 p(B) = 0.9
Quelle bouteille boirez-vous ?
Maria Rifqi-Berger
12
 A contient par exemple de l'eau vaseuse, pas de l'acide
chlorydrique.
 A est proche d'un liquide tout à fait potable.
 Sur 100 bouteilles B, 90 sont potables, 10 sont
dégoûtantes voire fatales.
 Il vaut mieux boire de l'eau vaseuse que de prendre le
risque de mourir.
2 philosophies différentes
Probabilité / Flou
Maria Rifqi-Berger
13
La théorie des sous-ensembles flous
 Une extension de la théorie des ensembles classiques
 Une théorie plus générale qui englobe la théorie des
ensembles classiques
 La theorie des ensembles classiques et un cas particulier
 Des choix sont à faire pour conserver certaines des propriétés
existantes dans la théorie des ensembles classiques
 Toutes les propriétés ne peuvent pas être conservées en même
temps
 La logique floue: application de la théorie des sous-
ensembles flous pour la modélisation du raisonnement
 Extension de la logique classique
 La commande floue: utilisation de la logique floue pour le
contrôle de systèmes automatiques
 Cas particulier de la logique floue
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14
1
0
Jeune
X
15 20 30 35
Exemples de sous-ensembles flous
 X={moto,auto,train} (moyens de transport)
 A: sous-ensemble de X des moyens de transport rapides
 A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train
 X=[0, 130] (ensemble des âges)
 A: sous-ensemble de X des âges jeunes
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15
Caractéristiques d'un sef
 Soit X un univers, et A un sous-ensemble flou de
fonction d'appartenance fA.
 Noyau de A :
 Noy(A) = {x  X | fA(x)=1}
 Support de A :
 Supp(A) = {x  X | fA(x)>0}
 Hauteur de A :
 h(A) = supx  X fA(x)
 Cardinalité de A:
 |A| = x  X fA(x)
Maria Rifqi-Berger
16
Opérations sur les sefs (1)
 Extension des opérations de la théorie des
ensembles classiques: =, , , , complément
 Soient A et B deux sefs de X, de f.d'a. fA et fB.
 Égalité de sefs:
 A = B ssi x  X, fA (x) = fB(x)
 Inclusion de sefs:
 A  B ssi x  X, fA (x) < fB(x)
 Intersection de sefs: A  B:
 x  X, fA∩ B (x) = min(fA (x), fB(x))
 Union de sefs: A  B:
 x  X, fA  B (x) = max(fA (x), fB(x))
Maria Rifqi-Berger
17
Opérations sur les sefs (2)
 Certaines propriétés de la théorie des
ensembles classiques sont vérifiées (à faire en
exercice):
 A U∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A U X = X, A ∩ X = A
 Associativité de ∩ et de U :
 (A U B) U C = A U(B U C)
 Commutativité de ∩ et de U :
 A∩B = B∩A
 Distributivité de ∩ par rapport à U :
 A∩(B U C) = (A∩B) U(A∩C)
 A U(B∩C) = (A U B)∩(A U C)
Maria Rifqi-Berger
18
Opérations sur les sefs (3)
 Complément Ac d'un sous-ensemble flou
 x  X, fAc (x) = 1 – fA(x)
 Certaines propriétés de la théorie des ensembles
classiques sont vérifiées (à faire en exercice):
 (Ac)c = A
 (A∩B)c = Ac U Bc
 (A U B)c = Ac ∩ Bc
 D'autres propriétés ne le sont pas (généralement):
 Ac ∩A ≠∅ (contradiction)
 Ac U A ≠ X (tiers exclu).
Maria Rifqi-Berger
19
Opérations sur les sefs (4)
 Autres extensions des opérations de la théorie
des ensembles classiques: ∩ et U
 Ces opérations sont en fait des fonctions
mathématiques F:[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que
x, y, F(x,y)  [0,1].
 L'intersection peut être réalisée en prenant
comme opérateur une t-norme (opérateur ET)
 L'union peut être réalisée en prenant comme
opérateur une t-conorme (opérateur OU)
Maria Rifqi-Berger
20
 Justification des choix des opérateurs
 Les opérateurs min et max sont les seuls
opérateurs qui soient commutatifs, associatifs,
mutuellement distributifs, continus et doublement
non décroissants
 D'autres opérateurs sont possibles :
 conjonction normes triangulaires (t-normes)
 disjonction conormes triangulaires (t-conormes)
 Propriétés communes : associativité,
commutativité, monotonie, élément neutre.
Opérations sur les sefs (5)
Maria Rifqi-Berger
21
Normes triangulaires (t-normes)
 Soit une fonction ⊤:[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que
x, y, z  [0,1]:
 ⊤(x,y) = ⊤(y,x) (commutativité)
 ⊤(x, ⊤(y,z)) = ⊤( ⊤(x,y),z) (associativité)
 ⊤(x,y) ⊤(z,t) si x  z et y  t (monotonie)
 ⊤(x,1) = x (1 est élément neutre)
 Exemples de telles fonctions :
 min(x,y), x⋅y, max(x+y-1,0)
 ⊤ est une t-norme
 Utilisée pour l'intersection ou la conjonction
Maria Rifqi-Berger
22
Normes triangulaires (t-conormes)
 Soit une fonction :[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que
x, y, z  [0,1]:
 (x,y) = (y,x) (commutativité)
 (x, (y,z)) = ((x,y), z) (associativité)
 (x,y)  (z,t) si x  z et y  t (monotonie)
 (x,0) = x (0 est élément neutre)
 Exemples de telle fonction:
 max(x,y), x+y-x⋅y, min(x+y,1)
  est une t-conorme
 Utilisée pour l'union
Maria Rifqi-Berger
23
Dualité t-norme / t-conorme
 Le choix d'une t-norme et celui d'une t-conorme est lié
 Etant donné un opérateur de complémentation
 par exemple: fc = 1-f
 Déf.: Une t-norme et une t-conorme sont duales si et
seulement si :
 1 – ⊤(x,y) = (1-x, 1-y)
 1 – (x,y) = ⊤(1-x, 1-y)
 En terme de sous-ensembles, la dualité permet de
conserver les lois de De Morgan
 Ainsi, par exemple, le min et le max sont duaux :
 on a : 1 – min(x,y) = max(1-x, 1-y) ainsi que 1 – max(x,y) =
min(1-x, 1-y)
 On montre que (à faire en exercice)
 les opérateurs probabilistes sont duaux
 les opérateurs de Lukasiewicz sont duaux
Maria Rifqi-Berger
24
Exemples
 X={moto,auto,train} (moyens de transport)
 Transport rapide: A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 /
train
 Transport familial: B= 0.1 / moto + 1.0 / auto + 0.6 /
train
 X=[0, 130] (ensemble des âges)
1
0
Jeune
X
15 20 30 35 70
55
Salarié
Maria Rifqi-Berger
25
 Une -coupe (alpha-coupe) d'un sef A est un
sous-ensemble classique A extrait du sef A,
défini en fonction d'un seuil   [0,1] fixé :
 soit   [0,1],  x  X, x  A si et seulement si
fA(x) 
 A est un sous-ensemble classique de X. (fA
prend ses valeurs dans {0,1}).
 On vérifie que (à faire en exercice):
 Si  >  ' alors A  A' et si B  A alors B  A
 (A ∩ B) = A ∩ B , et (A  B)  = A   B 
  x  X, fA(x) = sup]0,1]  f(x) (i.e. on peut
reconstruire A à partir de ses -coupes).
Caractéristiques d'un sef (2): -coupes
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26
Relations entre sous-ensembles
flous
 Relation: notion fondamentale des
mathématiques classiques
 Basée sur le produit cartésien d'ensembles
 Les relations établissent des liens entre
éléments
 soit d'un même ensemble
 soit d'ensembles différents
 Elles permettent de construire des applications
 une application est une relation particulière
Maria Rifqi-Berger
27
Produit cartésien de sefs
 Cas où l'on désire combiner l'information venant
de plusieurs ensembles de référence
 Soit X1 et X2, deux univers de référence et X leur
produit cartésien (classique), X=X1×X2, dont les
éléments sont les couples (x1,x2), x1X1 et x2X2
 Déf.: Soient A1 et A2 respectivement définis sur
X1 et X2, on définit le produit cartésien A=A1×A2
comme un sef de X, de fonction d'appartenance:
 x  X, x=(x1,x2), fA(x)=min( fA1(x1), fA2(x2) )
Maria Rifqi-Berger
28
X2
X1
A2
A1
x2 (x2 , x1)
x1
Produit cartésien
Maria Rifqi-Berger
29
Exemple d'application du produit
cartésien
 X1={moto,auto,train} (moyens de transport)
 Transport rapide: A1= 0.7 / moto + 0,5 / auto +
1.0 / train
 X2={pasCher, cher} (prix)
 Prix souhaité: A2= 0.7 / pasCher + 0.4 / cher
 Donnez la fonction d'appartenance du
produit cartésien (transport rapide, prix
souhaité)
Maria Rifqi-Berger
30
Relations floues
 Une relation floue R entre 2 ensembles de références X
et Y, est un sous-ensemble flou de XxY de fonction
d'appartenance fR
 Si X et Y sont finis, R peut être représentée par la matrice M(R)
des valeurs de sa fonction d'appartenance
 Exemple: la relation « est préféré à » sur XxX avec X={Train,
Voiture, Moto, Avion}
 La composition de 2 relations floues R1 sur XxY et R2
sur YxZ définit une relation floue R=R1˚ R2 sur XxZ de
f.a. définie par:
 (x,z) XxZ, fR(x,z)= sup y  Y min(fR1(x,y), fR2(y,z))
Maria Rifqi-Berger
31
 Transitivité : propriété très utilisée pour des
relations
 si A ressemble à B, et que B ressemble à C, alors
est-ce que A ressemble à C ?
 si x < y et que y < z alors x < z
 Une relation floue R sur X est dite transitive si
elle vérifie RR  R.
 En particulier, si on utilise la composition max-
min, on dira que la relation floue R est max-min
transitive si:
 (x,z) XxZ, fR(x,z)  sup y  Y min(fR(x,y),
fR(y,z))
Relation floue transitive
Maria Rifqi-Berger
32
Principe d'extension (1)
 Principe d'extension: utilisé pour étendre
une fonction classique aux sefs.
Maria Rifqi-Berger
33
Entrée précise
Maria Rifqi-Berger
34
Entrée floue
Maria Rifqi-Berger
35
Principe d'extension (2)
 Idée: possédant une fonction sur un univers
classique X, permettre son utilisation avec des
sefs de X.
 Définition: Étant donné un sef A de X, et une
application  de X vers Y, le principe d'extension
permet de définir un sef B de Y associé à A par  :
 yY, fB(y)= sup{x  X | y= (x)}fA(x) si -1(y)≠∅
0 sinon
 Le sef B est l'image du sef A par la fonction .
Maria Rifqi-Berger
36
Exemple d'application du principe
d'extension (1)
 X={camion, caravane, voiture, moto} (moyens de
transport)
 Y={Rapide, Lente, Normale} (mesures des vitesses)
 On définit la fonction  qui associe une vitesse à un
moyen de transport :
 (camion)=L, (caravane)=L, (voiture)=N, (moto)=R
 Nouveau véhicule: side-car= 0.5|moto + 0.4|voiture +
0.1|caravane
 Mesure de la vitesse d'un side-car?
 fB(L)= max(fsc(camion),fsc(caravane))=max(0, 0.1)= 0.1
 fB(N)= fsc(voiture)= 0.4
 fB(R)= fsc(moto)= 0.5
Maria Rifqi-Berger
37
Exemples d'application du principe
d'extension (2)
 Fonction mathématique classique: (x)= x2
 A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a.
fB qui correspond à la A2.
 y Y, fB(y)= sup{x  X | y=x2} fA(x) si -1(y)≠∅
0 sinon
 Mesure de surprise: (p)= -log(p)
 A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a.
fB qui correspond à la valeur floue de surprise
causée par A.
Maria Rifqi-Berger
38
Raisonnement flou
Variables linguistiques et propositions floues
Variables linguistiques
Proposition floue générale
Implication floue
Raisonnement Flou
Modus ponens classique
Modus ponens généralisé
Application du Modus ponens généralisé
Maria Rifqi-Berger
39
Variable linguistique
 Une variable linguistique est représentée par un triplet
(V, XV, TV)
 V : nom de la variable (age, taille, température, longueur,...)
 XV : univers des valeurs prises par V (ℝ,...)
 TV = {A1, A2, ...} : ensemble de sous-ensembles flous de XV,
utilisés pour caractériser V.
 Par exemple: (Age-Personne, [0,130], {Très-jeune,
Jeune, Agé})
1
0
Age
Très-jeune Jeune Agé
Maria Rifqi-Berger
40
Proposition floue
 Proposition floue élémentaire : qualification « V
est A » d'une variable linguistique (V, XV, TV)
 Par exemple: « Age-personne est jeune »
 Proposition floue générale : composition de
propositions floues élémentaires de variables
linguistiques qui peuvent être distinctes
 Soit « V est A » p.f.e. de (V, XV, TV), et « W est B »
p.f.e. de (W, XW, TW),
 Exemples de proposition floue générale :
« V est A et W est B »
« V est A ou W est B »
Maria Rifqi-Berger
41
 Proposition classique : valeur de vérité  {0, 1} (FAUX ou
VRAI)
 Proposition floue : la valeur de vérité est un sous-ensemble
flou à valeurs dans [0,1]
 Valeur de vérité pA de « V est A » : fA fonction
d'appartenance de A
 Négation: « V n'est pas A » : pAc= fAc = 1-fA
 Valeur de vérité p d'une proposition floue générale :
agrégation des valeurs de vérité pA et pB de chaque
proposition floue élémentaire
Le type d'agrégation dépend de la composition réalisée (et, ou,...)
 Conjonction « V est A et W est B » : pAB= min(pA, pB)
 Disjonction « V est A ou W est B » : pAB= max(pA, pB)
Valeur de vérité d’une proposition
floue
Maria Rifqi-Berger
42
 Règle de production : lien particulier (implication) entre 2
propositions floues
« V est A  W est B » est lue « si V est A alors W est B »
« V est A » est la prémisse
« W est B » est la conclusion
Par exemple: « si Age-personne est Jeune alors Salaire est Bas »
 Valeur de vérité de l'implication « V est A  W est B » :
évaluée par une fonction implicative fI : X x Y  [0,1]
x  X,  y  Y, fI(x, y) = (fA(x), fB(y))
 est une fonction [0,1]x[0,1] [0,1] qui est équivalente à
l'implication classique quand les propositions sont classiques.
Implication floue
Maria Rifqi-Berger
43
Principales fonctions d'implication
floue
fI(x, y) = (A(x), B(y))
-
Maria Rifqi-Berger
44
Logique classique vs Logique floue
Maria Rifqi-Berger
45
Mode de raisonnement classique
 Modus ponens de la logique classique
Règle: Prémisse  Conclusion
Observation: Prémisse-observée
Déduction: Conclusion
 Modus ponens : règle de déduction pour inférer
de la connaissance
Règle: H est humain  H est mortel
Observation: Socrate est humain
Déduction: Socrate est mortel
Maria Rifqi-Berger
46
 Modus ponens généralisé : extension du MP aux
propositions floues
 Soient (V, XV, TV) et (W, XW, TW) deux variables
linguistiques
Règle floue: V est A  W est B
fA fB
Observation floue: V est A'
fA'
Déduction: W est B'
fB'
fA, fB, et fA' sont connus, on recherche la valeur de fB'(y),
 y  Y
Mode de raisonnement flou
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47
 Règle floue « V est A  W est B »
Implication x  X,  y  Y, fI(x,y)= (fA(x), fB(y))
 Le MPG combine la règle floue avec l'observation « V est
A' » pour construire la conclusion B'
 Opérateur de modus ponens généralisé : fonction T de
[0,1]x[0,1] dans [0,1] pour combiner fI et fA'
T est une t-norme
T est liée à fI pour que le MPG soit compatible avec le modus
ponens classique.
 On a, pour tout y  Y :
fB' = supx  X T(fI(x,y), fA'(x))
Modus ponens généralisé
Maria Rifqi-Berger
48
Une règle
Maria Rifqi-Berger
49
Plusieurs règles
Maria Rifqi-Berger
50
Exemples d'opérateurs de MPG
 Zadeh :  u,v  [0,1], T(u,v) = min(u,v)
Utilisé avec les implications de Mamdani,
Larsen,...
 Lukasiewicz :  u,v  [0,1], T(u,v) =
max(u+v-1,0)
Utilisé avec les implications de Lukasiewicz,
Reichenbach, Mamdani, Larsen,...
Maria Rifqi-Berger
51
Applications du modus ponens
généralisé
 Commande floue : ensemble de règles floues + entrée
numérique + sortie numérique
 Contrôle flou de processus
 Phase de défuzzification nécessaire
 Systèmes experts flous : ensemble de règles floues +
entrée floue + sortie floue
 Raisonnement flou, inférence de connaissances
 Pas de défuzzification
 Raisonnement par analogie : ensemble de règles floues +
entrée floue + sortie floue
 B' est à B ce que A' est à A
 ressemblance (A,A') doit être la même que ressemblance(B,B')
Maria Rifqi-Berger
52
Imprécisions et incertitudes
 Théorie des sous-ensembles flous
 Modélisation des connaissances imprécises (« environ 20 ans »)
ou vague (« jeune »)
 traitement dans un même cadre des connaissances numériques
et des connaissances symboliques
 Ne permet pas de manipuler dans un même formalisme
imprécisions et incertitudes
 ce qui est très généralement lié: « je suis sûr que nous sommes en
fin d'après-midi » mais « je ne suis pas certain qu'il soit exactement
17h30 »
 De plus, un raisonnement basé sur des connaissances
imprécises engendre souvent des incertitudes
 « Mon train est à 9h32, si je pars de chez moi vers 9h quelle est la
certitude que je puisse l'avoir? »
Maria Rifqi-Berger
53
Théorie des possibilités
 Introduite en 1978 par L. A. Zadeh (puis popularisée par
Dubois et Prade), en liaison avec la théorie des sous-
ensembles flous :
 But: raisonner sur des connaissances imprécises ou vague, en
introduisant un moyen de prendre en compte des incertitudes
sur les connaissances.
 Incertitudes non-probabilistes sur des événements :
impossibilité d'évaluer correctement leur probabilité de
réalisation.
 « Serais-je en salle 506 lundi 24 Novembre à 14h ? »
 Probabilité: ici, peu réaliste à évaluer
 « Il est relativement possible que je sois dans cette salle, et c'est
même assez certain. »
Maria Rifqi-Berger
54
 Soit un ensemble de référence fini X
 On souhaite attribuer à chaque sous-ensemble de X (on
parle alors d'événements) un coefficient compris entre 0
et 1 évaluant à quel point cet événement est possible.
 Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de
possibilité  définie sur P(X), l'ensemble des parties de
X, à valeur dans [0,1], telle que:
 (∅)=0, et (X)=1
 (A,B) P(X)2, (A∪B) = max((A), (B))
Un événement est tout à fait possible si la mesure de sa possibilité
est égale à 1.
Mesure de possibilité
Maria Rifqi-Berger
55
Mesure de possibilité : propriétés
 Une mesure de possibilité vérifie:
 (A,B) P(X)2, (A∩B) ≤ min((A), (B))
 En particulier, l'occurrence simultanée de 2
événements possibles peut être impossible
 Monotonie relativement à l'inclusion des parties
de X
 Si A  B alors (A) ≤ (B)
  A  P(X), max((A), (Ac)) = 1
  A  P(X), (A) + (Ac) ≥ 1
Maria Rifqi-Berger
56
Mesure de nécessité
 Une mesure de possibilité fournit une information sur
l'occurrence d'un événement mais elle ne suffit pas pour
décrire l'incertitude existante sur cet événement
 (A) = 1 et (Ac)=1 peuvent être vérifiés en même temps:
indétermination complète sur la réalisation de A.
 On attribue à chaque événement un coefficient évaluant
à quel point la réalisation de cet événement est
certaine.
 Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de
nécessité N définie sur P(X), à valeur dans [0,1], telle que :
 N(∅)=0, et N(X)=1
 ∀(A,B)∈ P(X)2, N(A∩B) = min(N(A), N(B))
Maria Rifqi-Berger
57
Mesure de nécessité : propriétés
 Une mesure de nécessité vérifie:
 (A,B) P(X)2, N(AB) ≥ max(N(A), N(B))
 Monotonie relativement à l'inclusion des
parties de X
 Si A  B alors N(A) ≤ N(B)
 A  P(X), min(N(A), N(Ac)) = 0
 A  P(X), N(A) + N(Ac) ≤ 1
Maria Rifqi-Berger
58
Relations possibilité / nécessité
 Une mesure de nécessité N peut être obtenue à
partir d'une mesure de possibilité  par :
 A  P(X), N(A) = 1 - (Ac)
 Plus un événement A est affecté d'une grande
nécessité, moins son complémentaire Ac est
possible.
 On a de plus:
  A  P(X), (A) ≥ N(A)
  A  P(X), max((A), 1-N(A))=1
Maria Rifqi-Berger
59
Distribution de possibilité
 Une mesure de possibilité est totalement définie
 si on attribue un coefficient de possibilité à toute
partie de X.
 si on indique un coefficient seulement aux parties
élémentaires de X, une partie quelconque étant
l'union de parties élémentaires.
 Une distribution de possibilité  est une fonction
définie sur X, à valeur dans [0,1], telle que :
 supxX (x) = 1
 A partir d 'une distribution de possibilité , on
construit une mesure de possibilité  :
 A  P(X), (A) = supxA (x)
Maria Rifqi-Berger
60
 Possibilité et nécessité ont été introduites pour quantifier la certitude
sur un événement, elles s'appliquent à des sous-ensembles
ordinaires de X
 Pour des sous-ensembles flous de X, on peut indiquer dans quelle
mesure ils sont possibles et/ou certains, à partir d'une connaissance
préalable donnée sur X.
 Ainsi, étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X, un autre s.e.f.
B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A.
 On évalue alors la possibilité de B relative à A par :
 (B; A)= supxX min (fB(x), fA(x))
 (B; A) mesure le degré maximal avec lequel un élément x de X
peut appartenir à la fois à A et à B.
Possibilité de sous-ensemble flou
Maria Rifqi-Berger
61
Nécessité de sous-ensemble flou
 Étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X,
un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus
acceptable qu'il sera compatible avec A.
 On évalue alors la nécessité de B relative à A
par :
 (B; A)= 1- (Bc; A)= infxX max (fB(x), 1-fA(x))
 N(B; A) mesure le degré avec lequel B est inclus
dans A.
Maria Rifqi-Berger
62
Exemple
 On représente le concept de « vitesse rapide » par un s.e.f. Sur l'espace
des vitesses.
 Une moto roule à env. 100km/h.
 Questions:
 Avec qu'elle certitude peut on dire que la moto roule avec une vitesse rapide?
 Avec quel degré env. 100km/h signifie-t-il « vitesse rapide »?
90 100 110
1
0
km/h
Rapide
~100 km/h
Maria Rifqi-Berger
63
Exemple : possibilité et nécessité
(env.100; Rapide)= supxX min (fenv.100(x), fRapide(x)) = 0,6
(env.100; Rapide)= infx  X max (fenv.100(x), 1-fRapide(x))= 0
1 Rapide
~100 km/h
90 100 110
1
0
km/h
Rapide
~100 km/h
90 100 110
0
km/h
0,6
Maria Rifqi-Berger
64
Apprentissage non supervisé
 Étant donné un ensemble d'exemples (des
points dans un plan, ...)
 On ne connaît pas de classe à associer
aux exemples
 Il faut découvrir des classes, faire des
regroupements d'éléments similaires
 Clustering = construction de paquets
Maria Rifqi-Berger
65
Méthodes de C-moyennes
 Une des plus anciennes méthodes de clustering
existantes (1967). Algorithme des C-means.
 Partition d'une population
 Affectation sans équivoque ( ou ) de chaque exemple
à une classe
 L'algorithme:
1. Sélection de c points (au hasard) : centroïdes.
2. Affectation de chaque exemple au centroïde le plus proche
(distance). Constitution de clusters.
3. Calcul de nouveaux centroïdes: on prend la moyenne,
composante par composante, pour tous les exemples d'un cluster.
4. Retour à l'étape 2 jusqu'à stabilisation des frontières entre les
clusters.
Maria Rifqi-Berger
66
C-moyennes: étape 1
X
X
X
X
X
O
X
X
X
X
O
X
X
X
X
O
X
X
X
X
X
X
X
X
Maria Rifqi-Berger
67
C-moyennes: étape finale
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
O
O
O
Maria Rifqi-Berger
68
Méthodes des C-moyennes:
Inconvénients
 Problèmes de prise en compte des variables
non-numériques (nécessité de posséder une
mesure de distance)
 Traduction en valeurs numériques
 Construction de matrices de distances
 Problème du choix du nombre de centroïdes c
 Problème du choix de la normalisation dans le
calcul de la distance (même poids pour chaque
composante)
 Pondération, normalisation, agrégation
Maria Rifqi-Berger
69
Méthode des C-moyennes floues
 Généralisation de l'algorithme des C-moyennes
 Partition floue des données
 Fonctions d'appartenance aux clusters
 Problématique : trouver une pseudo-partition
floue et les centres des clusters associés qui
représente le mieux la structure des exemples.
 Utilisation d'un critère permettant de mesurer les
associations fortes à l'intérieur d'un cluster, faibles à
l'extérieur
 Index de performance
Maria Rifqi-Berger
70
Rappels
 Pseudo-partition floue
 Ensemble de sous-ensembles flous non vides {A1,
A2,..,An} de X tel que:
xX,
 C-partition floue
 Une c-partition floue (c>0) de X est une famille P ={A1,
A2,..,Ac} de c sous-ensembles flous tels que :
1
)
(
1



x
A
n
i
i

 









c
k
k
i
c
c
i
k
i n
x
A
i
x
A
X
x
1
1
)
(
0
,
et
1
)
(
,
Maria Rifqi-Berger
71
C-moyennes floues
Soit X={x1, x2, ..., xn} un ensemble de données où chaque xk peut être
un vecteur: xk=(xk1, xk2,...,xkp)
Étant donné une c-partition floue P= {A1, A2,..,Ac}, les c centres v1,
v2,..., vc associés à chaque cluster flou sont calculés par :
Avec mℝ, m > 1, influence des degrés d'appartenance.
 vi: centre du cluster flou Ai
 Moyenne pondérée des données de Ai
 Le poids d'une donnée xk est la puissance mième
de son degré
d'appartenance à Ai.
 
 







 n
i
m
k
i
k
n
i
m
k
i
i
c
x
A
x
x
A
v
i
1
1
)
(
)
(
,
Maria Rifqi-Berger
72
 Soit la c-partition floue P= {A1, A2,..,Ac}, son indice
de performance est défini par:
 Avec ||.||: norme sur ℝp qui permet de mesurer la
distance entre xk et vi
 Plus Jm(P) est faible, meilleure est P
Index de performance d'une
partition floue
  2
1 1
)
(
)
( i
k
n
k
c
i
m
k
i
m v
x
x
A
P
J 
 
 
Maria Rifqi-Berger
73
Algorithme de Bezdek (1981)
 Algorithme d'optimisation d'une partition
floue: algorithme des c-moyennes floues
(Fuzzy c-means).
 Hypothèses:
 C connu,
 On possède une distance (mesure),
 Un réel m  ]1,+∞[ est donné,
 Un nombre positif ℇ petit est donné (critère d'arrêt).
Maria Rifqi-Berger
74
Algorithme de Bezdek
 Etape 1: Soit t=0, sélectionner une partition floue initiale P(0)
.
 Etape 2: Calculer les c centres v1
(t)
, v2
(t)
,...,vc
(t)
pour P(t)
grâce à (1)
 Etape 3: Mise à jour de P(t)
pour construire P(t+1)
:  xk  X,
 Si alors
 si pour quelque iI ℕc , alors on définit
pour iI par tout nombre réel >0 tel que:
et on définit pour tout iℕc-I
 Etape 4: Comparer P(t)
et P(t+1)
 Si |P(t) - P(t+1)| ≤ ℇ alors on s'arrête, sinon on incrémente t et on retourne à l'étape 2.
On a :
(distance entre les partitions)
c
t
i
k i
v
x 



 ,
0
)
(






























c
j
n
t
j
k
t
i
k
k
t
i
v
x
v
x
x
A
1
1
1
1
2
)
(
2
)
(
)
1
(
)
(
0
)
(

 t
i
k v
x )
(
)
1
(
k
t
i x
A 
0
)
(
)
1
(


k
t
i x
A




I
i
k
t
i x
A 1
)
(
)
1
(
)
(
)
(
max
)
(
)
1
(
,
)
1
(
)
(
k
t
i
k
t
i
k
i
t
t
x
A
x
A
P
P
c
c


 





Maria Rifqi-Berger
75
Construction de clusters flous –
Exemple
Maria Rifqi-Berger
76
Construction de clusters flous –
Résultat final
Maria Rifqi-Berger
77
Arithmétique floue - Intervalles et
nombres flous
 Un sef F est convexe si
(x, y)RxR, z  [x,y], fF(z)min(fF(x), fF(y))
Propriété équivalente au fait que toute –coupe de F est une partie convexe
de R.
 Quantité floue : sef normalisé de R.
 Intervalle flou : quantité floue convexe
 Nombre flou : intervalle flou de fonction d’appartenance semi-continue
supérieurement et de support compact.
a b
m
1
R
0
Maria Rifqi-Berger
78
Arithmétique floue – Intervalles flous
de type L-R (1)
 Quantité floue I dont la fonction d’appartenance
dépend de 4 paramètres (m,m’,a,b) et de 2
fonctions L er R telles que :
 L(0)=R(0)=1
 L(1)=0 ou L(x)>0 x avec limx L(x)=0
 R(1)=0 ou R(x)>0 x avec limx R(x)=0
 I=(m,m’,a,b)LR
'
si
'
'
si
1
si
)
(















 








 

m
x
b
m
x
R
m
x
m
m
x
a
x
m
L
x
fI
Maria Rifqi-Berger
79
Arithmétique floue – Intervalles flous
de type L-R (2)
 Cas particulier : nombre flou I=(m,a,b) LR
avec m=m’.
 Fonctions L et R particulières :
L(x)=R(x)=max(0,1-x) pour des intervalles
flous trapézoïdaux ou des nombres flous
triangulaires.
Maria Rifqi-Berger
80
Arithmétique floue – Opérations sur les
L-R
I=(m,m’,a,b)LR J=(n,n’,c,d)LR alors :
 -I=(-m’,-m,b,a)RL
 I  J = (m+n, m’+n’, a+c, b+d)LR
 I  J = (m-n’, m’-n, a+d, b+c)LR si L=R

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1Flou.ppt

  • 1. Maria Rifqi-Berger 1 Présentation du cours  Théorie  Bases de la théorie des sous-ensembles flous  Pratique  Utiliser la théorie (exercices)  Applications FisPro
  • 2. Maria Rifqi-Berger 2 Bibliographie  « La logique floue », B. Bouchon-Meunier, Que- sais-je? PUF, N° 2702.  « Logique floue – exercices corrigés et exemples d'applications », B. Bouchon-Meunier, L. Foulloy et M. Ramdani, Cépaduès éd., 1998.  « La logique floue et ses applications », B. Bouchon-Meunier, Addison Wesley éd., 1995  « Fuzzy sets, uncertainty and information », G. Klir and T. Folger, Prentice Hall ed., 1988.
  • 3. Maria Rifqi-Berger 3 Plan du cours  Introduction  Présentation du cours  Définitions de base  Sous-ensemble flou (sef)  Caractéristiques de sef  Opérations sur les sefs  Quelques applications commerciales de la logique floue
  • 4. Maria Rifqi-Berger 4 Introduction  L'imprécision du monde réel  Le flou est partout  Le flou est humain  Le flou est plus souple  Théorie des sous-ensembles flous  « mesurer une gradation dans l'appartenance à un ensemble »  Une théorie mathématique formelle pour la prise en compte de l'imprécision et des incertitudes  Article fondateur: « Fuzzy Sets », L. A. Zadeh, in Information and Control, 1965.
  • 5. Maria Rifqi-Berger 5 Gestion des imprécisions - Approche conventionnelle  Dissoudre le flou puis traiter des données précises  informations floues  informations précises  part importante d'arbitraire  analyse de la sensibilité indispensable  plusieurs jeux de données traités un par un  comparaison des résultats
  • 6. Maria Rifqi-Berger 6 Gestion des imprécisions - Approche floue  Traiter des données floues puis dissoudre le flou  Garder le flou comme une information  Reporter la dissolution du flou le plus tard possible et sur la décision uniquement  Accroissement de la fiabilité et de la stabilité du système
  • 7. Maria Rifqi-Berger 7 Gestion des imprécisions  Théorie des ensembles flous introduite par Lotfi Zadeh en 1965.  Modèle mathématique pour représenter l'imprécision et l'incertitude.  Idée des ensembles flous facile à comprendre : Freine dans 32m50 ou Freine bientôt  La précision n'est pas toujours utile.  Capable d'interpréter des informations imprécises et d'agir.
  • 8. Maria Rifqi-Berger 8 Ensembles classiques / Ensembles flous  ensemble classique = ensemble des objets satisfaisant des propriétés précises  Exemple : ensemble des nombres compris entre 6 et 8 fonction caractéristique : m : R  {0, 1} m(x) = 1 si 6  x  8 0 sinon.  ensemble flou = ensemble des objets satisfaisant des propriétés imprécises  Exemple : ensemble des nombres proches de 7 fonction d'appartenance : : X  [0, 1] (x) pas unique.  différence majeure : unicité fonction caractéristique / infinité fonction d'appartenance
  • 9. Maria Rifqi-Berger 9 Théorie des sous-ensembles flous X ensemble de référence A sous-ensemble flou de X défini par une fonction d'appartenance  X  [0, 1] Caractéristiques  Noyau : éléments appartenant de façon absolue Noy(A) = {x X / (x) = 1}  Support : éléments appartenant au moins un peu Supp(A) = {x X / (x)  0}
  • 10. Maria Rifqi-Berger 10  Infinité de fonctions d'appartenance possibles  flexibilité, ajustement maximal pour une situation donnée  Ensemble flou = toujours et seulement des fonctions  Toute fonction X  [0, 1] est un ensemble flou dans le sens mathématique. D'un point de vue sémantique, il faut qu'une telle fonction soit interprétable à l'aide de propriétés imprécises décrivant les éléments de X. Théorie des sous-ensembles flous
  • 11. Maria Rifqi-Berger 11 Probabilité / Flou ensembles flous = déguisement pour les statistiques ? NON A B  p(B) = 0.9 Quelle bouteille boirez-vous ?
  • 12. Maria Rifqi-Berger 12  A contient par exemple de l'eau vaseuse, pas de l'acide chlorydrique.  A est proche d'un liquide tout à fait potable.  Sur 100 bouteilles B, 90 sont potables, 10 sont dégoûtantes voire fatales.  Il vaut mieux boire de l'eau vaseuse que de prendre le risque de mourir. 2 philosophies différentes Probabilité / Flou
  • 13. Maria Rifqi-Berger 13 La théorie des sous-ensembles flous  Une extension de la théorie des ensembles classiques  Une théorie plus générale qui englobe la théorie des ensembles classiques  La theorie des ensembles classiques et un cas particulier  Des choix sont à faire pour conserver certaines des propriétés existantes dans la théorie des ensembles classiques  Toutes les propriétés ne peuvent pas être conservées en même temps  La logique floue: application de la théorie des sous- ensembles flous pour la modélisation du raisonnement  Extension de la logique classique  La commande floue: utilisation de la logique floue pour le contrôle de systèmes automatiques  Cas particulier de la logique floue
  • 14. Maria Rifqi-Berger 14 1 0 Jeune X 15 20 30 35 Exemples de sous-ensembles flous  X={moto,auto,train} (moyens de transport)  A: sous-ensemble de X des moyens de transport rapides  A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train  X=[0, 130] (ensemble des âges)  A: sous-ensemble de X des âges jeunes
  • 15. Maria Rifqi-Berger 15 Caractéristiques d'un sef  Soit X un univers, et A un sous-ensemble flou de fonction d'appartenance fA.  Noyau de A :  Noy(A) = {x  X | fA(x)=1}  Support de A :  Supp(A) = {x  X | fA(x)>0}  Hauteur de A :  h(A) = supx  X fA(x)  Cardinalité de A:  |A| = x  X fA(x)
  • 16. Maria Rifqi-Berger 16 Opérations sur les sefs (1)  Extension des opérations de la théorie des ensembles classiques: =, , , , complément  Soient A et B deux sefs de X, de f.d'a. fA et fB.  Égalité de sefs:  A = B ssi x  X, fA (x) = fB(x)  Inclusion de sefs:  A  B ssi x  X, fA (x) < fB(x)  Intersection de sefs: A  B:  x  X, fA∩ B (x) = min(fA (x), fB(x))  Union de sefs: A  B:  x  X, fA  B (x) = max(fA (x), fB(x))
  • 17. Maria Rifqi-Berger 17 Opérations sur les sefs (2)  Certaines propriétés de la théorie des ensembles classiques sont vérifiées (à faire en exercice):  A U∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A U X = X, A ∩ X = A  Associativité de ∩ et de U :  (A U B) U C = A U(B U C)  Commutativité de ∩ et de U :  A∩B = B∩A  Distributivité de ∩ par rapport à U :  A∩(B U C) = (A∩B) U(A∩C)  A U(B∩C) = (A U B)∩(A U C)
  • 18. Maria Rifqi-Berger 18 Opérations sur les sefs (3)  Complément Ac d'un sous-ensemble flou  x  X, fAc (x) = 1 – fA(x)  Certaines propriétés de la théorie des ensembles classiques sont vérifiées (à faire en exercice):  (Ac)c = A  (A∩B)c = Ac U Bc  (A U B)c = Ac ∩ Bc  D'autres propriétés ne le sont pas (généralement):  Ac ∩A ≠∅ (contradiction)  Ac U A ≠ X (tiers exclu).
  • 19. Maria Rifqi-Berger 19 Opérations sur les sefs (4)  Autres extensions des opérations de la théorie des ensembles classiques: ∩ et U  Ces opérations sont en fait des fonctions mathématiques F:[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que x, y, F(x,y)  [0,1].  L'intersection peut être réalisée en prenant comme opérateur une t-norme (opérateur ET)  L'union peut être réalisée en prenant comme opérateur une t-conorme (opérateur OU)
  • 20. Maria Rifqi-Berger 20  Justification des choix des opérateurs  Les opérateurs min et max sont les seuls opérateurs qui soient commutatifs, associatifs, mutuellement distributifs, continus et doublement non décroissants  D'autres opérateurs sont possibles :  conjonction normes triangulaires (t-normes)  disjonction conormes triangulaires (t-conormes)  Propriétés communes : associativité, commutativité, monotonie, élément neutre. Opérations sur les sefs (5)
  • 21. Maria Rifqi-Berger 21 Normes triangulaires (t-normes)  Soit une fonction ⊤:[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que x, y, z  [0,1]:  ⊤(x,y) = ⊤(y,x) (commutativité)  ⊤(x, ⊤(y,z)) = ⊤( ⊤(x,y),z) (associativité)  ⊤(x,y) ⊤(z,t) si x  z et y  t (monotonie)  ⊤(x,1) = x (1 est élément neutre)  Exemples de telles fonctions :  min(x,y), x⋅y, max(x+y-1,0)  ⊤ est une t-norme  Utilisée pour l'intersection ou la conjonction
  • 22. Maria Rifqi-Berger 22 Normes triangulaires (t-conormes)  Soit une fonction :[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que x, y, z  [0,1]:  (x,y) = (y,x) (commutativité)  (x, (y,z)) = ((x,y), z) (associativité)  (x,y)  (z,t) si x  z et y  t (monotonie)  (x,0) = x (0 est élément neutre)  Exemples de telle fonction:  max(x,y), x+y-x⋅y, min(x+y,1)   est une t-conorme  Utilisée pour l'union
  • 23. Maria Rifqi-Berger 23 Dualité t-norme / t-conorme  Le choix d'une t-norme et celui d'une t-conorme est lié  Etant donné un opérateur de complémentation  par exemple: fc = 1-f  Déf.: Une t-norme et une t-conorme sont duales si et seulement si :  1 – ⊤(x,y) = (1-x, 1-y)  1 – (x,y) = ⊤(1-x, 1-y)  En terme de sous-ensembles, la dualité permet de conserver les lois de De Morgan  Ainsi, par exemple, le min et le max sont duaux :  on a : 1 – min(x,y) = max(1-x, 1-y) ainsi que 1 – max(x,y) = min(1-x, 1-y)  On montre que (à faire en exercice)  les opérateurs probabilistes sont duaux  les opérateurs de Lukasiewicz sont duaux
  • 24. Maria Rifqi-Berger 24 Exemples  X={moto,auto,train} (moyens de transport)  Transport rapide: A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train  Transport familial: B= 0.1 / moto + 1.0 / auto + 0.6 / train  X=[0, 130] (ensemble des âges) 1 0 Jeune X 15 20 30 35 70 55 Salarié
  • 25. Maria Rifqi-Berger 25  Une -coupe (alpha-coupe) d'un sef A est un sous-ensemble classique A extrait du sef A, défini en fonction d'un seuil   [0,1] fixé :  soit   [0,1],  x  X, x  A si et seulement si fA(x)   A est un sous-ensemble classique de X. (fA prend ses valeurs dans {0,1}).  On vérifie que (à faire en exercice):  Si  >  ' alors A  A' et si B  A alors B  A  (A ∩ B) = A ∩ B , et (A  B)  = A   B    x  X, fA(x) = sup]0,1]  f(x) (i.e. on peut reconstruire A à partir de ses -coupes). Caractéristiques d'un sef (2): -coupes
  • 26. Maria Rifqi-Berger 26 Relations entre sous-ensembles flous  Relation: notion fondamentale des mathématiques classiques  Basée sur le produit cartésien d'ensembles  Les relations établissent des liens entre éléments  soit d'un même ensemble  soit d'ensembles différents  Elles permettent de construire des applications  une application est une relation particulière
  • 27. Maria Rifqi-Berger 27 Produit cartésien de sefs  Cas où l'on désire combiner l'information venant de plusieurs ensembles de référence  Soit X1 et X2, deux univers de référence et X leur produit cartésien (classique), X=X1×X2, dont les éléments sont les couples (x1,x2), x1X1 et x2X2  Déf.: Soient A1 et A2 respectivement définis sur X1 et X2, on définit le produit cartésien A=A1×A2 comme un sef de X, de fonction d'appartenance:  x  X, x=(x1,x2), fA(x)=min( fA1(x1), fA2(x2) )
  • 28. Maria Rifqi-Berger 28 X2 X1 A2 A1 x2 (x2 , x1) x1 Produit cartésien
  • 29. Maria Rifqi-Berger 29 Exemple d'application du produit cartésien  X1={moto,auto,train} (moyens de transport)  Transport rapide: A1= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train  X2={pasCher, cher} (prix)  Prix souhaité: A2= 0.7 / pasCher + 0.4 / cher  Donnez la fonction d'appartenance du produit cartésien (transport rapide, prix souhaité)
  • 30. Maria Rifqi-Berger 30 Relations floues  Une relation floue R entre 2 ensembles de références X et Y, est un sous-ensemble flou de XxY de fonction d'appartenance fR  Si X et Y sont finis, R peut être représentée par la matrice M(R) des valeurs de sa fonction d'appartenance  Exemple: la relation « est préféré à » sur XxX avec X={Train, Voiture, Moto, Avion}  La composition de 2 relations floues R1 sur XxY et R2 sur YxZ définit une relation floue R=R1˚ R2 sur XxZ de f.a. définie par:  (x,z) XxZ, fR(x,z)= sup y  Y min(fR1(x,y), fR2(y,z))
  • 31. Maria Rifqi-Berger 31  Transitivité : propriété très utilisée pour des relations  si A ressemble à B, et que B ressemble à C, alors est-ce que A ressemble à C ?  si x < y et que y < z alors x < z  Une relation floue R sur X est dite transitive si elle vérifie RR  R.  En particulier, si on utilise la composition max- min, on dira que la relation floue R est max-min transitive si:  (x,z) XxZ, fR(x,z)  sup y  Y min(fR(x,y), fR(y,z)) Relation floue transitive
  • 32. Maria Rifqi-Berger 32 Principe d'extension (1)  Principe d'extension: utilisé pour étendre une fonction classique aux sefs.
  • 35. Maria Rifqi-Berger 35 Principe d'extension (2)  Idée: possédant une fonction sur un univers classique X, permettre son utilisation avec des sefs de X.  Définition: Étant donné un sef A de X, et une application  de X vers Y, le principe d'extension permet de définir un sef B de Y associé à A par  :  yY, fB(y)= sup{x  X | y= (x)}fA(x) si -1(y)≠∅ 0 sinon  Le sef B est l'image du sef A par la fonction .
  • 36. Maria Rifqi-Berger 36 Exemple d'application du principe d'extension (1)  X={camion, caravane, voiture, moto} (moyens de transport)  Y={Rapide, Lente, Normale} (mesures des vitesses)  On définit la fonction  qui associe une vitesse à un moyen de transport :  (camion)=L, (caravane)=L, (voiture)=N, (moto)=R  Nouveau véhicule: side-car= 0.5|moto + 0.4|voiture + 0.1|caravane  Mesure de la vitesse d'un side-car?  fB(L)= max(fsc(camion),fsc(caravane))=max(0, 0.1)= 0.1  fB(N)= fsc(voiture)= 0.4  fB(R)= fsc(moto)= 0.5
  • 37. Maria Rifqi-Berger 37 Exemples d'application du principe d'extension (2)  Fonction mathématique classique: (x)= x2  A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a. fB qui correspond à la A2.  y Y, fB(y)= sup{x  X | y=x2} fA(x) si -1(y)≠∅ 0 sinon  Mesure de surprise: (p)= -log(p)  A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a. fB qui correspond à la valeur floue de surprise causée par A.
  • 38. Maria Rifqi-Berger 38 Raisonnement flou Variables linguistiques et propositions floues Variables linguistiques Proposition floue générale Implication floue Raisonnement Flou Modus ponens classique Modus ponens généralisé Application du Modus ponens généralisé
  • 39. Maria Rifqi-Berger 39 Variable linguistique  Une variable linguistique est représentée par un triplet (V, XV, TV)  V : nom de la variable (age, taille, température, longueur,...)  XV : univers des valeurs prises par V (ℝ,...)  TV = {A1, A2, ...} : ensemble de sous-ensembles flous de XV, utilisés pour caractériser V.  Par exemple: (Age-Personne, [0,130], {Très-jeune, Jeune, Agé}) 1 0 Age Très-jeune Jeune Agé
  • 40. Maria Rifqi-Berger 40 Proposition floue  Proposition floue élémentaire : qualification « V est A » d'une variable linguistique (V, XV, TV)  Par exemple: « Age-personne est jeune »  Proposition floue générale : composition de propositions floues élémentaires de variables linguistiques qui peuvent être distinctes  Soit « V est A » p.f.e. de (V, XV, TV), et « W est B » p.f.e. de (W, XW, TW),  Exemples de proposition floue générale : « V est A et W est B » « V est A ou W est B »
  • 41. Maria Rifqi-Berger 41  Proposition classique : valeur de vérité  {0, 1} (FAUX ou VRAI)  Proposition floue : la valeur de vérité est un sous-ensemble flou à valeurs dans [0,1]  Valeur de vérité pA de « V est A » : fA fonction d'appartenance de A  Négation: « V n'est pas A » : pAc= fAc = 1-fA  Valeur de vérité p d'une proposition floue générale : agrégation des valeurs de vérité pA et pB de chaque proposition floue élémentaire Le type d'agrégation dépend de la composition réalisée (et, ou,...)  Conjonction « V est A et W est B » : pAB= min(pA, pB)  Disjonction « V est A ou W est B » : pAB= max(pA, pB) Valeur de vérité d’une proposition floue
  • 42. Maria Rifqi-Berger 42  Règle de production : lien particulier (implication) entre 2 propositions floues « V est A  W est B » est lue « si V est A alors W est B » « V est A » est la prémisse « W est B » est la conclusion Par exemple: « si Age-personne est Jeune alors Salaire est Bas »  Valeur de vérité de l'implication « V est A  W est B » : évaluée par une fonction implicative fI : X x Y  [0,1] x  X,  y  Y, fI(x, y) = (fA(x), fB(y))  est une fonction [0,1]x[0,1] [0,1] qui est équivalente à l'implication classique quand les propositions sont classiques. Implication floue
  • 43. Maria Rifqi-Berger 43 Principales fonctions d'implication floue fI(x, y) = (A(x), B(y)) -
  • 45. Maria Rifqi-Berger 45 Mode de raisonnement classique  Modus ponens de la logique classique Règle: Prémisse  Conclusion Observation: Prémisse-observée Déduction: Conclusion  Modus ponens : règle de déduction pour inférer de la connaissance Règle: H est humain  H est mortel Observation: Socrate est humain Déduction: Socrate est mortel
  • 46. Maria Rifqi-Berger 46  Modus ponens généralisé : extension du MP aux propositions floues  Soient (V, XV, TV) et (W, XW, TW) deux variables linguistiques Règle floue: V est A  W est B fA fB Observation floue: V est A' fA' Déduction: W est B' fB' fA, fB, et fA' sont connus, on recherche la valeur de fB'(y),  y  Y Mode de raisonnement flou
  • 47. Maria Rifqi-Berger 47  Règle floue « V est A  W est B » Implication x  X,  y  Y, fI(x,y)= (fA(x), fB(y))  Le MPG combine la règle floue avec l'observation « V est A' » pour construire la conclusion B'  Opérateur de modus ponens généralisé : fonction T de [0,1]x[0,1] dans [0,1] pour combiner fI et fA' T est une t-norme T est liée à fI pour que le MPG soit compatible avec le modus ponens classique.  On a, pour tout y  Y : fB' = supx  X T(fI(x,y), fA'(x)) Modus ponens généralisé
  • 50. Maria Rifqi-Berger 50 Exemples d'opérateurs de MPG  Zadeh :  u,v  [0,1], T(u,v) = min(u,v) Utilisé avec les implications de Mamdani, Larsen,...  Lukasiewicz :  u,v  [0,1], T(u,v) = max(u+v-1,0) Utilisé avec les implications de Lukasiewicz, Reichenbach, Mamdani, Larsen,...
  • 51. Maria Rifqi-Berger 51 Applications du modus ponens généralisé  Commande floue : ensemble de règles floues + entrée numérique + sortie numérique  Contrôle flou de processus  Phase de défuzzification nécessaire  Systèmes experts flous : ensemble de règles floues + entrée floue + sortie floue  Raisonnement flou, inférence de connaissances  Pas de défuzzification  Raisonnement par analogie : ensemble de règles floues + entrée floue + sortie floue  B' est à B ce que A' est à A  ressemblance (A,A') doit être la même que ressemblance(B,B')
  • 52. Maria Rifqi-Berger 52 Imprécisions et incertitudes  Théorie des sous-ensembles flous  Modélisation des connaissances imprécises (« environ 20 ans ») ou vague (« jeune »)  traitement dans un même cadre des connaissances numériques et des connaissances symboliques  Ne permet pas de manipuler dans un même formalisme imprécisions et incertitudes  ce qui est très généralement lié: « je suis sûr que nous sommes en fin d'après-midi » mais « je ne suis pas certain qu'il soit exactement 17h30 »  De plus, un raisonnement basé sur des connaissances imprécises engendre souvent des incertitudes  « Mon train est à 9h32, si je pars de chez moi vers 9h quelle est la certitude que je puisse l'avoir? »
  • 53. Maria Rifqi-Berger 53 Théorie des possibilités  Introduite en 1978 par L. A. Zadeh (puis popularisée par Dubois et Prade), en liaison avec la théorie des sous- ensembles flous :  But: raisonner sur des connaissances imprécises ou vague, en introduisant un moyen de prendre en compte des incertitudes sur les connaissances.  Incertitudes non-probabilistes sur des événements : impossibilité d'évaluer correctement leur probabilité de réalisation.  « Serais-je en salle 506 lundi 24 Novembre à 14h ? »  Probabilité: ici, peu réaliste à évaluer  « Il est relativement possible que je sois dans cette salle, et c'est même assez certain. »
  • 54. Maria Rifqi-Berger 54  Soit un ensemble de référence fini X  On souhaite attribuer à chaque sous-ensemble de X (on parle alors d'événements) un coefficient compris entre 0 et 1 évaluant à quel point cet événement est possible.  Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de possibilité  définie sur P(X), l'ensemble des parties de X, à valeur dans [0,1], telle que:  (∅)=0, et (X)=1  (A,B) P(X)2, (A∪B) = max((A), (B)) Un événement est tout à fait possible si la mesure de sa possibilité est égale à 1. Mesure de possibilité
  • 55. Maria Rifqi-Berger 55 Mesure de possibilité : propriétés  Une mesure de possibilité vérifie:  (A,B) P(X)2, (A∩B) ≤ min((A), (B))  En particulier, l'occurrence simultanée de 2 événements possibles peut être impossible  Monotonie relativement à l'inclusion des parties de X  Si A  B alors (A) ≤ (B)   A  P(X), max((A), (Ac)) = 1   A  P(X), (A) + (Ac) ≥ 1
  • 56. Maria Rifqi-Berger 56 Mesure de nécessité  Une mesure de possibilité fournit une information sur l'occurrence d'un événement mais elle ne suffit pas pour décrire l'incertitude existante sur cet événement  (A) = 1 et (Ac)=1 peuvent être vérifiés en même temps: indétermination complète sur la réalisation de A.  On attribue à chaque événement un coefficient évaluant à quel point la réalisation de cet événement est certaine.  Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de nécessité N définie sur P(X), à valeur dans [0,1], telle que :  N(∅)=0, et N(X)=1  ∀(A,B)∈ P(X)2, N(A∩B) = min(N(A), N(B))
  • 57. Maria Rifqi-Berger 57 Mesure de nécessité : propriétés  Une mesure de nécessité vérifie:  (A,B) P(X)2, N(AB) ≥ max(N(A), N(B))  Monotonie relativement à l'inclusion des parties de X  Si A  B alors N(A) ≤ N(B)  A  P(X), min(N(A), N(Ac)) = 0  A  P(X), N(A) + N(Ac) ≤ 1
  • 58. Maria Rifqi-Berger 58 Relations possibilité / nécessité  Une mesure de nécessité N peut être obtenue à partir d'une mesure de possibilité  par :  A  P(X), N(A) = 1 - (Ac)  Plus un événement A est affecté d'une grande nécessité, moins son complémentaire Ac est possible.  On a de plus:   A  P(X), (A) ≥ N(A)   A  P(X), max((A), 1-N(A))=1
  • 59. Maria Rifqi-Berger 59 Distribution de possibilité  Une mesure de possibilité est totalement définie  si on attribue un coefficient de possibilité à toute partie de X.  si on indique un coefficient seulement aux parties élémentaires de X, une partie quelconque étant l'union de parties élémentaires.  Une distribution de possibilité  est une fonction définie sur X, à valeur dans [0,1], telle que :  supxX (x) = 1  A partir d 'une distribution de possibilité , on construit une mesure de possibilité  :  A  P(X), (A) = supxA (x)
  • 60. Maria Rifqi-Berger 60  Possibilité et nécessité ont été introduites pour quantifier la certitude sur un événement, elles s'appliquent à des sous-ensembles ordinaires de X  Pour des sous-ensembles flous de X, on peut indiquer dans quelle mesure ils sont possibles et/ou certains, à partir d'une connaissance préalable donnée sur X.  Ainsi, étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X, un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A.  On évalue alors la possibilité de B relative à A par :  (B; A)= supxX min (fB(x), fA(x))  (B; A) mesure le degré maximal avec lequel un élément x de X peut appartenir à la fois à A et à B. Possibilité de sous-ensemble flou
  • 61. Maria Rifqi-Berger 61 Nécessité de sous-ensemble flou  Étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X, un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A.  On évalue alors la nécessité de B relative à A par :  (B; A)= 1- (Bc; A)= infxX max (fB(x), 1-fA(x))  N(B; A) mesure le degré avec lequel B est inclus dans A.
  • 62. Maria Rifqi-Berger 62 Exemple  On représente le concept de « vitesse rapide » par un s.e.f. Sur l'espace des vitesses.  Une moto roule à env. 100km/h.  Questions:  Avec qu'elle certitude peut on dire que la moto roule avec une vitesse rapide?  Avec quel degré env. 100km/h signifie-t-il « vitesse rapide »? 90 100 110 1 0 km/h Rapide ~100 km/h
  • 63. Maria Rifqi-Berger 63 Exemple : possibilité et nécessité (env.100; Rapide)= supxX min (fenv.100(x), fRapide(x)) = 0,6 (env.100; Rapide)= infx  X max (fenv.100(x), 1-fRapide(x))= 0 1 Rapide ~100 km/h 90 100 110 1 0 km/h Rapide ~100 km/h 90 100 110 0 km/h 0,6
  • 64. Maria Rifqi-Berger 64 Apprentissage non supervisé  Étant donné un ensemble d'exemples (des points dans un plan, ...)  On ne connaît pas de classe à associer aux exemples  Il faut découvrir des classes, faire des regroupements d'éléments similaires  Clustering = construction de paquets
  • 65. Maria Rifqi-Berger 65 Méthodes de C-moyennes  Une des plus anciennes méthodes de clustering existantes (1967). Algorithme des C-means.  Partition d'une population  Affectation sans équivoque ( ou ) de chaque exemple à une classe  L'algorithme: 1. Sélection de c points (au hasard) : centroïdes. 2. Affectation de chaque exemple au centroïde le plus proche (distance). Constitution de clusters. 3. Calcul de nouveaux centroïdes: on prend la moyenne, composante par composante, pour tous les exemples d'un cluster. 4. Retour à l'étape 2 jusqu'à stabilisation des frontières entre les clusters.
  • 66. Maria Rifqi-Berger 66 C-moyennes: étape 1 X X X X X O X X X X O X X X X O X X X X X X X X
  • 67. Maria Rifqi-Berger 67 C-moyennes: étape finale X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X O O O
  • 68. Maria Rifqi-Berger 68 Méthodes des C-moyennes: Inconvénients  Problèmes de prise en compte des variables non-numériques (nécessité de posséder une mesure de distance)  Traduction en valeurs numériques  Construction de matrices de distances  Problème du choix du nombre de centroïdes c  Problème du choix de la normalisation dans le calcul de la distance (même poids pour chaque composante)  Pondération, normalisation, agrégation
  • 69. Maria Rifqi-Berger 69 Méthode des C-moyennes floues  Généralisation de l'algorithme des C-moyennes  Partition floue des données  Fonctions d'appartenance aux clusters  Problématique : trouver une pseudo-partition floue et les centres des clusters associés qui représente le mieux la structure des exemples.  Utilisation d'un critère permettant de mesurer les associations fortes à l'intérieur d'un cluster, faibles à l'extérieur  Index de performance
  • 70. Maria Rifqi-Berger 70 Rappels  Pseudo-partition floue  Ensemble de sous-ensembles flous non vides {A1, A2,..,An} de X tel que: xX,  C-partition floue  Une c-partition floue (c>0) de X est une famille P ={A1, A2,..,Ac} de c sous-ensembles flous tels que : 1 ) ( 1    x A n i i             c k k i c c i k i n x A i x A X x 1 1 ) ( 0 , et 1 ) ( ,
  • 71. Maria Rifqi-Berger 71 C-moyennes floues Soit X={x1, x2, ..., xn} un ensemble de données où chaque xk peut être un vecteur: xk=(xk1, xk2,...,xkp) Étant donné une c-partition floue P= {A1, A2,..,Ac}, les c centres v1, v2,..., vc associés à chaque cluster flou sont calculés par : Avec mℝ, m > 1, influence des degrés d'appartenance.  vi: centre du cluster flou Ai  Moyenne pondérée des données de Ai  Le poids d'une donnée xk est la puissance mième de son degré d'appartenance à Ai.             n i m k i k n i m k i i c x A x x A v i 1 1 ) ( ) ( ,
  • 72. Maria Rifqi-Berger 72  Soit la c-partition floue P= {A1, A2,..,Ac}, son indice de performance est défini par:  Avec ||.||: norme sur ℝp qui permet de mesurer la distance entre xk et vi  Plus Jm(P) est faible, meilleure est P Index de performance d'une partition floue   2 1 1 ) ( ) ( i k n k c i m k i m v x x A P J     
  • 73. Maria Rifqi-Berger 73 Algorithme de Bezdek (1981)  Algorithme d'optimisation d'une partition floue: algorithme des c-moyennes floues (Fuzzy c-means).  Hypothèses:  C connu,  On possède une distance (mesure),  Un réel m  ]1,+∞[ est donné,  Un nombre positif ℇ petit est donné (critère d'arrêt).
  • 74. Maria Rifqi-Berger 74 Algorithme de Bezdek  Etape 1: Soit t=0, sélectionner une partition floue initiale P(0) .  Etape 2: Calculer les c centres v1 (t) , v2 (t) ,...,vc (t) pour P(t) grâce à (1)  Etape 3: Mise à jour de P(t) pour construire P(t+1) :  xk  X,  Si alors  si pour quelque iI ℕc , alors on définit pour iI par tout nombre réel >0 tel que: et on définit pour tout iℕc-I  Etape 4: Comparer P(t) et P(t+1)  Si |P(t) - P(t+1)| ≤ ℇ alors on s'arrête, sinon on incrémente t et on retourne à l'étape 2. On a : (distance entre les partitions) c t i k i v x      , 0 ) (                               c j n t j k t i k k t i v x v x x A 1 1 1 1 2 ) ( 2 ) ( ) 1 ( ) ( 0 ) (   t i k v x ) ( ) 1 ( k t i x A  0 ) ( ) 1 (   k t i x A     I i k t i x A 1 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( max ) ( ) 1 ( , ) 1 ( ) ( k t i k t i k i t t x A x A P P c c         
  • 75. Maria Rifqi-Berger 75 Construction de clusters flous – Exemple
  • 76. Maria Rifqi-Berger 76 Construction de clusters flous – Résultat final
  • 77. Maria Rifqi-Berger 77 Arithmétique floue - Intervalles et nombres flous  Un sef F est convexe si (x, y)RxR, z  [x,y], fF(z)min(fF(x), fF(y)) Propriété équivalente au fait que toute –coupe de F est une partie convexe de R.  Quantité floue : sef normalisé de R.  Intervalle flou : quantité floue convexe  Nombre flou : intervalle flou de fonction d’appartenance semi-continue supérieurement et de support compact. a b m 1 R 0
  • 78. Maria Rifqi-Berger 78 Arithmétique floue – Intervalles flous de type L-R (1)  Quantité floue I dont la fonction d’appartenance dépend de 4 paramètres (m,m’,a,b) et de 2 fonctions L er R telles que :  L(0)=R(0)=1  L(1)=0 ou L(x)>0 x avec limx L(x)=0  R(1)=0 ou R(x)>0 x avec limx R(x)=0  I=(m,m’,a,b)LR ' si ' ' si 1 si ) (                             m x b m x R m x m m x a x m L x fI
  • 79. Maria Rifqi-Berger 79 Arithmétique floue – Intervalles flous de type L-R (2)  Cas particulier : nombre flou I=(m,a,b) LR avec m=m’.  Fonctions L et R particulières : L(x)=R(x)=max(0,1-x) pour des intervalles flous trapézoïdaux ou des nombres flous triangulaires.
  • 80. Maria Rifqi-Berger 80 Arithmétique floue – Opérations sur les L-R I=(m,m’,a,b)LR J=(n,n’,c,d)LR alors :  -I=(-m’,-m,b,a)RL  I  J = (m+n, m’+n’, a+c, b+d)LR  I  J = (m-n’, m’-n, a+d, b+c)LR si L=R