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CHAP 1: Introduction au monde numérique
1. Numérique ou analogique ?
Représentation analogique
La plupart des capteurs transforment une grandeur physique (température,
pression...) en grandeur électrique.
Exemple: le microphone transforme la pression acoustique en grandeur
électrique proportionnelle.
Représentation numérique
La grandeur mise sous forme numérique n'est plus proportionnelle à la
grandeur d'entrée. Elle s'exprime par symboles ou codes (chiffres) par
exemple: le tachymètre d'une automobile, s'il est numérique, indique une
valeur par pas de 1 km/h : la progression est discontinue; s'il est
analogique (à aiguille), la progression est continue. La représentation
numérique est donc DISCONTINUE.
Electronique analogique
- Variation continue des grandeurs électriques
➔Information  valeurs instantanées I(t) et V(t)
Electronique numérique
- Variation binaire des grandeurs électriques
➔Codage de l’Information  Niveau d’abstraction supplémentaire

2. Les avantages des circuits numériques
Immunité au bruit : les circuits sont généralement peu sensibles à des petites
variations de tension.
Conception simple : le traitement de données binaires permet de réaliser des
circuits plus simples et faciles à simuler.
Exemple : une multiplication de deux tensions est plus facile à effectuer en
numérique qu’en analogique.
Stockage de l’information : il est plus facile de mémoriser des 0/1 qu’une tension
analogique.
Intégration à grande échelle : la plupart des fonctions se font à partir de quelques
opérations élémentaires faciles à répéter.
Portabilité : possibilités de traiter des données binaires sur des machines
différentes.

Mais
• La plupart des circuits numériques ne peuvent pas dépasser des
fréquences de ~ GHz.
• Notre monde est analogique : tout capteur commence d’abord par
mesurer une tension analogique, qui doit être convertie en binaire.

3. Les systèmes de numération
La base d’un système de numération est le nombre de chiffres différents
qu’utilise ce système de numération. En électronique numérique, les
systèmes les plus couramment utilisés sont : le système binaire, le système
octal, le système décimal et le système hexadécimal.
a- Système décimal
C’est le système à base 10 que nous utilisons habituellement. Il contient dix
chiffres : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Le chiffre 2356 dans ce système, s’écrit (2356)10
Donc ce chiffre s’écrit comme un polynôme :
N = 2 x 103 + 3 x 102 + 5 x 101 + 6 x 100 = 2356
Un nombre décimal N entier composé de n+1 chiffres pourra s’écrire sous la
forme :
N = α0 x 100 + α1 x 101 + … + αn x 10n
N = ෌𝑖=0
𝑛
αi x 10𝑖

Unité Dizaine Centaine Milliers 10*Milliers 100*Milliers
Chiffre a0 a1 a2 a3 a4 a5
Rang 0 1 2 3 4 5
Poids 100 101 102 103 104 105
Les puissances de 10 sont appelés les poids ou les valeurs de position.
Le poids est égal à la base élevée à la puissance de son rang.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2n 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768
b- système binaire
Le système binaire est le système de base 2, c’est à dire qui utilise deux
chifrres différents : le 0 et le 1. Chacun d’eux est appelé bit (contraction de
binary digit) ou élément binaire.
Dans ce système, le poids est une puissance de 2.
Exemple : N = (10110)2
N = 1 * 24 + 0 * 23 + 1 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20
N = (22)10
* Puissance de 2 :

* Cadrage d’un nombre :
C’est le nombre d’éléments binaires pris pour représenter un intervalle de
valeurs.
Exemple : % 00011011 nombre représenté sur un octet (8 bits)
% 0000000000011011 nombre représenté sur 16 bits.
* Valeurs maximum et minimum représentées sur n bits :
En utilisant n bits, on peut former 2n nombres différents et le plus grand
d’entre eux est égal à (2n-1).
Exemple : si n = 8 alors : on peut former 256 nombres différents et
Nmax = (28 -1) = 255.

c- système octal
Le système de numération octal est de base 8, ainsi il utilise 8 chiffres différents : 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6 et 7.
Exemple : N = (6543)8
N = 6 * 83 + 5 * 82 + 4 * 81 + 3 * 80
N = (3427)10
La succession des nombres par ordre croissant est le suivant :
- 1 chiffre : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
- 2 chiffres : 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21......, 27, 30, 31....etc.
* puissance de 8 :
n 0 1 2 3 4 5
8n 1 8 64 512 4096 32768

d- système hexadécimal
Le système hexadécimal est de base 16 et utilise 16 symboles différents :
les dix premiers chiffres décimaux : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et les 6
premières lettres de l’alphabet : A, B, C, D, E, F.
La succession des nombres hexadécimaux par ordre croissant est la
suivante :
- 1 chiffre : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 0, 1, 2, 3.....etc.
- 2 chiffres : 00, 01, 02 ....., 09, 0A, 0B,....., 0F, 10, 11, 12,....., 19, 1A,
1B.....etc.
Exemple : N = (AC53)16
N = A * 163 + C * 162 + 5 * 161 + 3 * 160
N = 10 * 163 + 12 * 162 + 5 * 161 + 3 * 160
N = (44115)10
* puissance de 16 :
n 0 1 2 3 4 5
16n 1 16 256 4096 65536 1048576

* valeurs maximum et minimum d’un nombre hexadécimal :
nombre
de chiffres
valeur
minimum
valeur maximum
base 16 base 10
1 0 $F 15
2 00 $FF 255
3 000 $FFF 4095
4 0000 $FFFF 65535
5 00000 $FFFFF 1048575
6 000000 $FFFFFF 16777215
7 0000000 $FFFFFFF 268435455
8 00000000 $FFFFFFFF 4294967295

4. Changement de base
a) Conversion d’un nombre décimal en un nombre d’un système
d’une autre base
Problème : un nombre N étant donné en base 10, cherchons à l’écrire dans
un système de base b.
Méthode : Nous divisons le nombre décimal à convertir par la base b
et nous conservons le reste. Le quotient obtenu est divisé par b et
nous conservons le reste. S’il y a un reste, le résultat est égal à 1
sinon il est égal à 0. Il faut répéter l’opération sur chaque quotient
obtenu. Les restes successifs sont écrits, en commençant par le
dernier, de la gauche vers la droite pour former l’expression de N
dans le système de base b.
Exemple :conversion de N = (86)10 en un nombre du système binaire
(b=2).

b) autres conversions
* conversion d’un nombre octal en un nombre binaire :
Chaque symbole du nombre écrit dans le système octal est remplacé par
son équivalent écrit dans le système binaire à trois bit.
Exemple : N = (257)8 = % 010 101 111
2 5 7
* conversion d’un nombre binaire en un nombre octal :
C’est l’opération inverse de la précédente. Il faut regrouper les 1 et 0 du
nombre trois par trois en commençant par la droite, puis chaque groupe est
remplacé par le chiffre octal correspondant.
Exemple : N = % 11001101111 = 11 001 101 111
3 1 5 7
N = @ 3157

* conversion d’un nombre hexadécimal en un nombre binaire :
Chaque symbole du nombre hexadécimal est remplacé par son équivalent
écrit dans le système binaire.
Exemple : N = $ B F 8
N = % 1011 1111 1000
B F 8
* conversion d’un nombre binaire en un nombre hexadécimal :
C’est l’inverse de la précédente. Il faut donc regrouper les 1 et 0 du nombre
par quartet en commençant par la droite, puis chaque groupe est remplacé
par le symbole hexadécimal correspondant.
Exemple : N = % 100001101111
N = % 1000 0110 1111
8 6 F
N = $ 86F

5. OPERATIONS SUR LE SYSTEME BINAIRE
1) Nombres signés
La plupart des dispositifs numériques traitent positifs et les nombres négatifs,
ce qui impose de prendre en compte deux symboles supplémentaire : + et -.
Ces dispositifs n’acceptant que des 0 et des 1, il faut ajouter un autre bit pour
symboliser le signe.
Lorsqu’il est égal à 0 ➔le nombre est positif ;
S’il est égal à 1 ➔ le nombre est négatif.
Ce bit est appelé bit de signe et le nombre ainsi formé est dit signé.
Notation en grandeur exacte
Ex : + (47)10 = % 0 101111 et - (47)10 = % 1 101111

Complément à 1 d’un nombre binaire
Complémenter à 1 un chiffre binaire revient à remplacer un 0 par un 1 et un
1 par un 0.
Ex : - 47 s’écrit % 1 101111 en notation exacte et son complément à 1
est % 1 010000, le bit de signe restant inchangé.
Complément à 2 d’un nombre binaire
Pour obtenir le complément à 2 d’un nombre binaire, il faut prendre le
complément à 1 de ce nombre et lui ajouter 1.
Dans le cas d’une addition, un nombre binaire négatif est écrit sous la forme
du complément à 2 car cela facilite la réalisation de l’opération.
Ex : -47 s’écrit % 1 101111 en notation exacte, son complément à 1 est
% 1 010000, son complément à 2 est % 1 010001.

b) Addition
L’addition de nombre signé est utilisée dans la plupart des circuits
numériques. Trois cas peuvent se présenter :
• L’addition de deux nombres positifs,
• L’addition de deux nombres de signes contraires,
• L’addition de deux nombres négatifs.
La méthode consiste à écrire les nombres positifs en notation exacte et à
remplacer les nombre négatifs par leur complément à 2 avant
d’additionner. Si le résultat est positif, il est en notation exacte, s’il est
négatif, il est en notation complément à 2.
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 avec un report de 1

i) addition de deux nombres positifs
Effectuons l’addition (+17)10 et (+12)10
L’écriture de l’addition est la suivante :
1er nombre (+17)10 0 1 0 0 0 1
2ème nombre (+12)10 + 0 0 1 1 0 0
Résultat 0 1 1 1 0 1

ii) addition de deux nombres de signes contraires
Deux cas se présentent :
• La grandeur du nombre positif est supérieure à celle du nombre négatif.
Effectuons l’addition des nombres suivants : (+17)10 = % 0 10001 et
(-12)10 = % 1 01100
(-12)10 étant négatif, il faut le remplacer par son complément à 2.
Effectuons l’addition :
1er nombre 0 1 0 0 0 1
2ème nombre + 1 1 0 1 0 0
Résultat 1 0 0 0 1 0 1
Remarque : Nous avons additionné les bits de signe et la retenue ;
cela peut entraîner, comme dans le cas présent, un débordement qui est
toujours a rejeté. La somme étant positive, le résultat est en notation
exacte :
% 0 00101 = (+5)10

• La grandeur du nombre positif est inférieure à celle du nombre négatif.
Effectuons l’addition des nombres (-17)10 = % 1 10001 et
(+12)10 = % 0 01100
Le complément à 2 de (-17)10 est : % 1 01111
L’écriture de l’addition est alors :
1er nombre 1 0 1 1 1 1
2ème nombre + 0 0 1 1 0 0
Résultat 1 1 1 0 1 1
Cette somme est négative, le résultat est le complément à 2 du total
cherché qui s’écrit en notation exacte : % 1 0 0 1 0 1 = (-5)10.

iii) addition de deux nombres négatifs
Effectuons l’addition de (-17)10 et (-12)10.
Les compléments à 2 sont : (-17)10 = % 1 01111 et (-12)10 = % 1 10100
L’écriture de l’addition est alors :
1er nombre 1 0 1 1 1 1
2ème nombre + 1 1 0 1 0 0
Résultat 1 1 0 0 0 1 1
Cette somme est négative, le résultat est le complément à 2 du résultat
cherché qui s’écrit en notation exacte : 1 11101 = (-29)10.

1. Définitions :
1.1 Table de vérité
Une fonction X peut comporter n variables.
Nous obtenons 2n combinaisons de ces n variables.
Pour chacune de ces combinaisons, la fonction peut prendre une valeur 0 ou
1.
L'ensemble de ces 2n combinaisons des variables et la valeur associée de la
fonction représente ➔ "LA TABLE DE VERITE"
Exemple d'une table de vérité :
CHAP 2: système numérique (porte logique + tableau de Karnaugh)
X=ഥ
𝑎. 𝑏. ҧ
𝑐

1.2 Forme canonique
Pour écrire l'équation de X en fonction des 3 variables il faut dire :
Autant de termes que de fois que la fonction est égale à 1.
Ce qui donne une écriture "algébrique" en notant :
Si a vaut 1 nous écrirons a.
Si a vaut 0 nous écrirons ഥ
𝒂 et nous lirons a barre.
Pour la table de vérité ci-dessus, cela nous donne
Cette forme d'écriture est appelée FORME CANONIQUE.

3.1 Chronogramme
Il existe une autre façon de représenter une fonction logique:
appelée chronogramme ou diagramme des temps.
Les variables binaires sont représentées par:
un niveau de tension lorsqu’elles sont à 1.
une valeur nulle lorsqu’elles sont à 0.
Elles évoluent dans le temps.
Exemple de chronogramme de la fonction ET à 2 entrées :
Soit X = a. b
Le chronogramme est également utilisé pour représenter le fonctionnement
complet d'un système électromécanique.
Le cahier des charges d'un système logique peut être exprimé par un
chronogramme (ex: gestion des feux de carrefour).

2. Opérateurs logiques de base
2.1 Opérateur NON
La sortie d'un opérateur NON est toujours dans l'état opposé à celui de
l'entrée unique.
2.2 Opérateur ET
La sortie d’un opérateur ET est à l'état "1" si et seulement si toutes les
entrées sont à l'état "1"
symbole USA symbole UE notation Table de vérité
S= E
Lire E barre
E S
0 1
1 0
1 S
E
Symbole USA Symbole UE Notation Table de vérité
S = A.B
(lire A et B)
A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A
B
S
&

2.3 Opérateur OU
La sortie d'un opérateur OU est à l'état "1" si et seulement si l'une au moins
entrées est à l'état "1"
Remarque:
Les opérateurs logiques NON, ET et OU ce sont les opérateurs logiques de
base, il existe autres opérateurs logiques appelés opérateurs logiques
dérivés.
S = A+B
(lire A ou B)
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A
B
S
>
1

2.4 Opérateur OU EXCLUSIF (XOR)
La sortie d'un opérateur OU EXCLUSIF est à l'état "1" si et seulement si
une et une seule entrée est à l'état "1"
S = A B
(lire A ou exclusif B)
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A
B
S
=
1

3. Association d'opérateurs de base
3.1 ET NON (NAND)
3.2 OU NON (NOR)
3.3 NON OU exclusif (Non XOR)
association symbole
équivalent
Notation Table de vérité
S=A.B
A B S
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
& 1
A
B
S &
A
B
S
association symbole Notation Table de vérité
S=A+B
A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
>
1 1
A
B
S
A
B
S
>
1
association Symbole Notation Table de vérité
S = A B
(lire A non ou
exclusif B)
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

3.1 Propriétés
Commutativité
a + b = b + a
a . b = b . a
Associativité
a . ( b . c ) = ( a . b ) . c = a . b . c
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = a + b + c
Distributivité
a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )
a . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c )
Absorption
a + ( a . b ) = a
a . ( a + b ) = a
a . 0 = 0
a + 1 = 1
Élément neutre
a + 0 = a
a . 1 = a
a . a = a
a + a = a
Théorème de MORGAN

3.1 TD : Simplifiez les fonctions suivantes :

4. Tableau de KARNAUGH
Les règles et propriétés de l'algèbre de Boole permettent de simplifier les
fonctions. Cette méthode est relativement lourde et ne permet jamais de
savoir si l'on aboutit à une expression minimale de la fonction ou pas.
Nous pourrons utiliser la méthode du tableau de Karnaugh.
Cas de deux variables binaires: nous avons quatre combinaisons, la table
de vérité est le suivante :
A chaque combinaison des variables est associée une valeur de la fonction.
L'idée de KARNAUGH est d'associer une surface à chaque
combinaison des variables, en adoptant la représentation suivante :

Nous disposons de 4 cases correspondant aux 4 combinaisons de variables.
La case 1 correspond à la combinaison a = 0 b = 0 ==> (ഥ
𝒂 . ഥ
𝒃)
La case 2 correspond à la combinaison a = 1 b = 0 ==> (a . ഥ
𝒃)
La case 3 correspond à la combinaison a = 0 b = 1 ==> (ഥ
𝒂 . b)
La case 4 correspond à la combinaison a = 1 b = 1 ==> (a . b)
Dans chacune de ces cases sera inscrite la valeur de la fonction pour la
combinaison de variables correspondant à cette case.
En suivant l'exemple déjà représenté nous avons :
case n° 2 ==> combinaison de variables a = 1 et b = 0 ==> valeur de la
fonction = 0.
Pour chacune des cases nous associons un produit de variables

4.1 Représentation d'un tableau de Karnaugh
Un tableau de Karnaugh peut se représenter sous les formes suivantes :
Ces trois représentations sont équivalentes.
Un tableau de Karnaugh nous renseigne donc sur les données suivantes :
Le nom de la fonction (par exemple : X),
Le nom des variables (a, b),
L'état des variables : 0 , 1 ou une barre représentant l'état 1,
La valeur de la fonction (1 ou 0).

4.2 Tableau de Karnaugh à 3 variables
A chaque case est associé un triplé des valeurs a, b, c.
Exemple :
La case n° 1 représentera le triplet {0,0,0} ou a = 0, b = 0 et c = 0.
Nous pouvons dire également que la case n°1 correspond au produit
(ഥ
𝒂.ഥ
𝒃.ത
𝒄)
Dans ce cas la représentation devient :

4.3 Tableau de Karnaugh à 4 variables
A chaque case est associé un quadruplet des valeurs a, b, c, d.
Exemples :
la case n° 4 représentera le quadruplet {1,0,0,0} ou a = 1, b = 0, c = 0 et
d = 0 (a . ത
𝑏. ҧ
𝑐. ҧ
𝑑).
La case n° 11 représentera le quadruplet {1,1,1,1} ou a = 1, b = 1, c = 1
et d = 1 (a . b . c . d ).
La case n° 16 représentera le quadruplet {1,0,1,0} ou a = 1, b = 0, c = 1
et d = 0 (a . ത
𝑏 . c . ҧ
𝑑).

4.4 Adjacences des cases
Dans chaque cas, l'ordre d'écriture des états des variables fait qu'entre
deux cases voisines (en ligne ou en colonne) une seule variable change
d'état ; on dit de telles cases qu'elles sont adjacentes.
La case 2 correspond à a = 0 ; b = 1 ; c = 0 ; d = 0
La case 3 correspond à a = 1 ; b = 1 ; c = 0 ; d = 0
Lorsque nous passons de 2 à 3, seule la variable "a" change d'état :
2 et 3 sont adjacentes.
Lorsque nous passons de 2 à 1, seule la variable "b" change d'état :
Lorsque nous passons de 2 à 6, seule la variable "d" change d'état :
Enfin, lorsque nous passons de 2 à 14, seule la variable "c" change d'état :
Nous venons de déterminer les adjacences de la case n° 2.
Cette notion de cases adjacentes est fondamentale.

4.5 Simplification d’équations
La méthode consiste à réaliser des groupements de CASES ADJACENTES
contenant des 1 ou des 0. Un groupement de 1 permet d’obtenir
l’équation de S, un groupement de 0 permet d’obtenir l’équation ഥ
𝑺.
Règles :
• Le nombre de cases d’un groupement doit être égal à 1, 2 ,4 , …2n
• Les groupements doivent être les plus grands possibles.
• Les groupements peuvent se chevaucher pour être les plus grands
possibles.
• Dans chaque groupement on ne retient que les variables dont l’état
ne change pas.
• Pour extraire l’équation de la fonction logique on ne retient que les
variables dont l’état ne change pas à l’intérieur d’un groupement et
on effectue la somme logique (OU logique) de toutes les expressions
trouvées.

cas de 5 variables:

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