INTRODUCTION 1 I. PRINCIPE DU TRI A BULLES 2 a. Principe 2 b. Présentation 2 c. Variantes 3 d. Exemple d’application 4 II. COMPLEXITÉ DU TRI BULLE 5 a. Algorithme 5 b. Complexité 8 c. Notation de LANDAU 6 III. CONCLUSION 7 IV. BIBLIOGRAPHIE/WEBOGRAPHIE 8

1. 2017-2018
UDLA/ ENSETDLA/GPI4
EXPOSE SUR L’ALGORITHME DU TRI À BULLES (BUBBLE SORT).
MASTER I – GPI
Étudiants
NANGA GWOGON Thomas
NDONGO ATEBA Christine Michelle
NGOG MOMNOUGUI Paul Valery
TRI À BULLES ET COMPLEXITÉ
ENSEIGNANT
Mr NGUEJIEP Jean Baptiste
Ingénieur en Génie Logiciel
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C
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P
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D
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A
L
G
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S

2. TABLE DE MATIERE
INTRODUCTION.................................................................................................................... 1
I. PRINCIPE DU TRI A BULLES ......................................................................................... 2
a. Principe ........................................................................................................................... 2
b. Présentation..................................................................................................................... 2
c. Variantes ......................................................................................................................... 3
d. Exemple d’application .................................................................................................... 4
II. COMPLEXITÉ DU TRI BULLE...................................................................................... 5
a. Algorithme ...................................................................................................................... 5
b. Complexité...................................................................................................................... 8
c. Notation de LANDAU.................................................................................................... 6
III. CONCLUSION.................................................................................................................. 7
IV. BIBLIOGRAPHIE/WEBOGRAPHIE ............................................................................ 8

3. 1
INTRODUCTION
Dans le cadre du cours d’algorithmes et complexités dispensé à l’École Normale
Supérieure d’Enseignement Technique (ENSET) de l’université de Douala, le présent
document rédigé par les étudiants de Master I Gestion de Projets informatiques (GPI) dudit
établissement, a pour but de présenter de manière précise et concise ce qu’est l’algorithme du
tri à bulles. Pour ce faire il est énoncé ici, le principe de ce tri, ainsi que le calcul de sa
complexité dans le pire des cas et la déduction de la notation de LANDAU correspondante.

4. 2
I. PRINCIPE DU TRI BULLE
a. Principe
Le principe du tri bulle (bubble sort ou sinking sort) est de comparer deux à deux les
éléments a1 et a2 consécutifs d’un tableau et d’effecteur une permutation si a1 > a2 en
comparant chaque case à la suivante. On continue de trier jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de
permutation.
b. Présentation
L’algorithme du tri bulle se déroule comme suit : les deux premiers éléments du tableau
sont comparés, si le premier élément est supérieur au second, une permutation est effectuée.
Ensuite, sont comparés et éventuellement permutés les valeurs 2 et 3, 3 et 4 jusqu’à (n-1) et n
passages (n représentant le nombre de valeurs à trier). Une fois cette étape achevée, il est
certain que le dernier élément du tableau est le plus grand. L’algorithme reprend donc pour
classer les (n-1) éléments qui précédent. Il se termine quand il n’y a plus de permutations
possibles. Pour classer les n valeurs du tableau, il faut, au pire, effectuer l’algorithme n fois.
Avec de la logique, on s’aperçoit qu’au premier passage, on place le plus grand élément
de la liste à la fin du tableau, au bon emplacement. Pour le passage suivant, nous ne sommes
donc plus obligés de faire une comparaison avec le dernier élément ; et c’est bien plus
avantageux ainsi. De ce fait, à chaque passage, le nombre de valeurs à comparer diminue de 1.
La suite (a1, a2 ..., an) est rangée dans un tableau T [...] en mémoire centrale. Le tableau
contient une partie triée (en violet à droite) et une partie non triée (en blanc à gauche). On
effectue plusieurs fois le parcours du tableau à trier; le principe de base étant de réordonner
les couples (ai-1, ai) non classés (en inversion de rang soit ai-1 > ai) dans la partie non triée du
tableau, puis à déplacer la frontière (le maximum de la sous-suite (a1, a2 ..., an-1)) d’une
position comme le montre la figure ci-dessous:

5. 3
Tant que la partie non triée n’est pas vide, on permute les couples non ordonnés ((ai-1, ai) tels
que ai-1 > ai)) pour obtenir le maximum de celle-ci à l’élément frontière. C’est-à-dire qu’au
premier passage c’est l’extremum global qui est bien classé, au second passage le second
extremum, etc.
c. Variantes
Cet algorithme porte le nom de tri bulle, car, petit à petit, les plus grands éléments du
tableau remontent, par le jeu des permutations, en fin de tableau. Dans un aquarium il en va
de même : les plus grosses bulles remontent plus rapidement à la surface que les petites qui
restent collées au fond.
Il existe plusieurs variantes de cet algorithme :
- La première consiste à n’effectuer les comparaisons que sur les éléments du tableau qui ne
sont pas remontés à la surface (triés). Ainsi, si n est le nombre d’éléments du tableau et i le
nombre de fois où le parcours complet du tableau a été effectué, à chaque itération, seuls les
(n-i) premiers éléments sont comparés. Le gain de temps apporté par cette optimisation est
d’ailleurs loin d’être négligeable, c’est pourquoi une version de ce tri bulle optimisé est
également présentée.
- Une autre variante du tri bulle, qui n’est pas très différente, consiste à faire descendre les
plus petites valeurs au début du tableau. Dans ce cas, le tableau est parcouru, non plus de
gauche à droite, mais de droite à gauche. Dans sa version optimisée, ce sont les (n-i) derniers
éléments qui sont comparés. Cette variante est utilisée pour implémenter le tri bulle dans le
cas de listes ou de piles.
- La seconde consiste à reprendre au début chaque fois qu’une permutation est détectée. Ainsi,
les plus petits et les plus grands éléments vont tout doucement migrer en début et en fin de
tableau. Cette version de l’algorithme est aussi connue sous le nom de "tri Shaker" ou de "tri
Shuttle".
- Une autre version est le "tri bidirectionnel". Elle consiste à parcourir le tableau de gauche à
droite, puis de droite à gauche, le changement de direction ayant lieu chaque fois que l’une
des extrémités est atteinte. Ainsi, les plus petits éléments du tableau descendent au même
rythme que remontent les plus gros éléments.

6. 4
d. Exemple d’application du tri bulle un tableau de nombres
Soit les éléments du tableau suivant « 5 1 4 2 8 » ; pour chaque étape, les éléments
comparés sont en gras.
Étape 1.
1.1. (5 1 4 2 8) => (1 5 4 2 8). Les nombres 5 et 1 sont comparés, et comme 5 > 1,
l’algorithme les échange.
1.2. (1 5 4 2 8) => (1 4 5 2 8).Échange, car 5>4.
1.3. (1 4 5 2 8) => (1 4 2 5 8).Échange, car 5>2.
1.4. (1 4 2 5 8) => (1 4 2 5 8). Pas d’échange, car 5 < 8.
À la fin de cette étape, un nombre est à sa place définitive, le plus grand : 8.
Étape 2.
2.1. (1 4 2 5 8) => (1 4 2 5 8). Pas d’échange.
2.2. (1 4 2 5 8) => (1 2 4 5 8). Échange.
2.3. (1 2 4 5 8) => (1 2 4 5 8). Pas d’échange.
Les éléments 5 et 8 du tableau ne sont pas comparés puisqu’on sait que le 8 est déjà à sa place définitive.
Par hasard, tous les nombres sont déjà triés, mais cela n’est pas encore détecté par l’algorithme.
Étape 3.
3.1. (1 2 4 5 8) => (1 2 4 5 8). Pas d’échange.
3.2. (1 2 4 5 8) => (1 2 4 5 8). Pas d’échange.
Les deux derniers nombres sont exclus des comparaisons, puisqu’on sait qu’ils sont déjà à leur place
définitive. Puisqu’il n’y a eu aucun échange durant cette étape 3, le tri optimisé se termine.
Étape 4.
4.1. (1 2 4 5 8) => (1 2 4 5 8). Pas d’échange.
Le tri est terminé, car on sait que les 4 plus grands nombres, et donc aussi le 5e
, sont à leur
place définitive.

7. 5
II. COMPLEXITÉ DU TRI BULLE
a. Algorithme
Procédure Tri_bulle (type tableau tab [] :d’entiers ; n : entier) ;
Var : i, j, aide entier
Début
Pour i <= 1 à n Faire
Pour j <= i+1 à n Faire
Si (tab[j] < tab [j-1]) Alors
aide <= tab[j]
tab [j] <= tab [j-1]
tab [j-1] <= aide
Fin_si
Fin_pour
Fin_pour
Fin
b. Complexité : coût et nombre d’exécutions dans le pire des cas
Considérons la complexité, en nombre d’opérations du tri bulle, pour un tableau ou
une liste de n éléments. Dans le pire des cas, ce qui correspond à un tableau préalablement trié
de manière décroissante, il a des permutations jusqu’à ce que la liste ait été parcourue (n-1)
fois.
Début
Pour i <= 1 à n Faire C1
Pour j <= i+1 à n Faire C2
Si (tab[j] < tab [j-1]) Alors
aide <= tab[j]
tab [j] <= tab [j-1] C3
tab [j-1] <= aide
Fin_si
Fin_pour
Fin_pour
Fin
La simulation élaborée sur le coût et le nombre d’exécutions pour le pire des cas de cet algorithme a
donné le résultat du temps d’exécution ci-dessous :
T(n) = ∑
coût nombre d’exécutions
C1 n +1
C2
C3

8. 6
Or: ∑ = ∑ ∑
Alors : T(n) =
= n( (
Avec ⍬(n) = n ( , pour le parcours de l’ensemble des données. En faisant
disparaitre les termes ⍬ et on obtient la somme
D’où = ∑
Après calcul des différentes sommes ci-dessus, on obtient les résultats ci-dessous :
= n2 et ∑ =
Donc T(n) = ∑ = n
c. Notation de Landau
Après développement et réduction de T(n), on obtient le résultat ci-dessous pour la notation
de Landau:
T(n) =
= =
Résultat : La notation de Landau pour le tri à bulles dans le pire des cas est donc
quadratique, avec T(n) d’ordre ⍬ (n2
).

9. 7
III. Conclusion
Au sortir de cet exposé basé sur la présentation du tri à bulles, nous pouvons dire que, ce
tri est l’un des tris les plus lents qui existe. C’est pour cette raison qu’il est très rarement
utilisé. De plus, cet algorithme reste très critiqué. Quelles sont donc les causes de sa lenteur ?
Afin d’évaluer la rapidité d’un algorithme de tri on observe son nombre de comparaisons/ et
échanges et on établit une échelle que l’on nomme la complexité. Le tri à bulles fait
énormément de comparaisons et échanges pour peu de valeurs à trier. On estime
mathématiquement qu’il fait en moyenne n (n+1)/2 opérations pour n valeurs à trier. La
notation de Landau, de ce résultat est d’ordre O (n²). C’est une croissance quadratique. En
ajoutant quelques valeurs supplémentaires à trier, la rapidité de l’algorithme peut donc
terriblement chuter. La complexité moyenne du tri à bulles est donc en O (n²) ce qui est
extrêmement lent par rapport aux algorithmes de tri en O (n* log2(n)) tel, celui du tri fusion.
Dans le pire des cas, la complexité du tri à bulles est aussi en O (n²). Le pire des cas est pour
ce tri, une liste triée en sens inverse. Le meilleur des cas est une liste triée. Si l’algorithme est
confronté à ce cas, sa complexité s’améliore en O(n). Ce qui signifie qu’il ne fait que n
comparaisons pour n valeurs à trier. Le tri à bulles est aussi l’un des plus mauvais tris en
raison de sa forte complexité qui entraîne un temps d’exécution trop long. Il faut tout de
même savoir qu’elle est relativement suffisante pour des listes de petite taille sur un
ordinateur. À partir de vingt éléments, il est déjà préférable d’utiliser un autre tri plus adapté.
Pour tout dire il faut choisir un algorithme en fonction des besoins à implémenter.

10. 8
IV. BIBLIOGRAPHIE et WEBOGRAPHIE
- Tri bulle - Nicolas DAILLY ()
- OpenClassroom, cours sur la complexité des algorithmes ()
- le tri à bulles - Wikipédia ()
- Algorithmes et complexités – cours dispensé par monsieur NGUEJIEP Jean Baptiste à
l’ENSET de Douala.