SYSTEMES A TEMPS DISCRETCommande num´ rique des proc´ d´ s            e               e e           Dimitri Peaucelle     ...
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BIBLIOGRAPHIE                                                                                                        iiiBi...
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  1. 1. SYSTEMES A TEMPS DISCRETCommande num´ rique des proc´ d´ s e e e Dimitri Peaucelle 7 avril 2003
  2. 2. 2
  3. 3. Avant-propos Ce document est con¸ u comme un support de cours destin´ a des el`ves ing´ nieurs. Il a et´ r´ dig´ en particulier en vue c e` ´e e ´e e ed’un enseignement de 15 heures a l’ENSA (Ecole Nationale des Sciences Appliqu´ es) situ´ e sur le pˆ le technologique de ` e e ol’Universit´ Ibn Zohr, Agadir, Maroc. e L’objectif de ce cours est d’aborder certains aspects de la commande num´ rique des syst` mes et ne se veut en aucun cas e eexhaustif. Les pr´ -requis concernent des aspects math´ matiques tels que la manipulation de fonctions et de suites, le calcul e eint´gral et les s´ ries, la transform´ e de Laplace; ainsi qu’une bonne connaissance de l’Automatique des syst` mes lin´ aires e e e e ea temps continu. Partant de proc´ d´ s physiques mod´ lis´ es par des fonctions de transfert en p (variable de Laplace) nous` e e e eaborderons successivement la mod´ lisation de syst` mes discrets et echantillonn´ s, leur analyse et pour finir la synth` se e e ´ e ede lois de commande num´ riques. e Le premier chapitre est enti` rement d´ di´ a la mod´ lisation. Il pr´ sente dans un premier temps la mod´ lisation de si- e e e` e e egnaux a temps discret avant d’introduire la notion de fonction de transfert en z. Il porte une attention particuli` re aux ` esyst` mes discrets obtenus par echantillonnage de proc´ d´ s continus et qui sont au centre de la probl´ matique de la com- e ´ e e emande num´ rique. e Les deux chapitres suivants portent sur la description et l’analyse des comportements temporels d’un syst` me a temps e `discret. Le chapitre 2 commence par d´ crire et calculer les r´ ponses d’un syst` me a la donn´ e d’une entr´ e. Le chapitre e e e ` e e3 quant a lui, s’int´ resse a la notion primordiale en Automatique de stabilit´ . Il propose des r´ sultats th´ oriques pour ` e ` e e eanalyser cette propri´ t´ . ee Par la suite, deux chapitres sont consacr´ s a la synth` se de lois de commande. Le chapitre 4 consid` re le cas le plus e ` e eel´ mentaire d’une loi de commande statique constitu´ e de simples gains. Le chapitre 5 aborde une technique dite de´e ediscr´ tisation. Elle consiste a transposer les m´ thodes de synth` se sp´ cifiques aux syst` mes a temps continu pour la e ` e e e e `commande num´ rique de syst` mes echantillonn´ s. e e ´ e Il est important de pr´ ciser que ce document doit beaucoup au polycopi´ de cours r´ alis´ par Bernard Pradin a l’INSA e e e e `de Toulouse, [9]. De plus il s’inspire d’ouvrages pr´ c´ dents tels que [1] [3] [4] [6] [7] [2] [5] [8]. e e Toulouse, 7 avril 2003 Dimitri Peaucelle i
  4. 4. ii
  5. 5. BIBLIOGRAPHIE iiiBibliographie[1] P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella, and I. Zambettakis. Analyse et R´gulation des Processus e Industriels. Tome 1 : R´gulation continue. Technip, France, 1993. e[2] P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella, and I. Zambettakis. Analyse et R´gulation des Processus e Industriels. Tome 2 : R´gulation num´ rique. Technip, France, 1993. e e[3] B. d’Andr´ a Novel and M. Cohen de Lara. Commande Lin´ aire des Syst` mes Dynamiques. Masson, France, 1994. e e e[4] E. Dieulesaint and D. Royer. Automatique Appliqu´ e : 1. Syst` mes lin´ aires de commande a signaux analogiques. e e e ` Masson, France, 1987.[5] E. Dieulesaint and D. Royer. Automatique Appliqu´ e : 2. Syst` mes lin´ aires de commande a signaux echantillonn es. e e e ` ´ ´ Masson, France, 1990.[6] R.C. Dorf and R.H. Bishop. Modern Control Systems. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., New-York, 1995.[7] G.F. Franklin, J. D. Powell, and A. Emami-Naeini. Feedback Control of Dynamic Systems. Addison-Wesley Publi- shing Company, Inc., New-York, 1994.[8] D. Jaume, S. Thelliez, and M. Verg´ . Commande des Syst` mes Dynamiques par Calculateur. Eyrolles, France, 1991. e e[9] B. Pradin. SYSTEMES A TEMPS DISCRET - Commande num´ rique des proc´ d´ s. INSA Toulouse, France, 1999. e e e
  6. 6. iv BIBLIOGRAPHIE
  7. 7. Chapitre 1 e e `Mod` les des syst` mes a temps discret On examine ici des mod` les qui peuvent etre utilis´ s e ˆ e continu dont les valeurs sont nulles a tout instant sauf a ` `pour repr´ senter des syst` mes a temps discret, mono en- e e ` certains instants p´ riodiquement r´ partis. Soit T 0 cette e e !tr´ e mono sortie. Dans un premier temps, ces mod` les e e p´ riode qui peut etre quelconque a ce stade. Dans certains e ˆ `sont pr´ sent´ s dans leur g´ n´ ralit´ . Une attention parti- e e e e e cas T est appel´ e la cadence du signal. Le signal a temps e `culi` re est ensuite port´ e aux syst` mes a temps discrets e e e ` discret peut etre confondu par analogie avec le signal a ˆ `obtenus par echantillonnage, en vue de la commande par ´ temps continu suivant :calculateur, de syst` mes a temps continu. e ` ¢ £  " ¤   n #$ ¨ ¤ %% x t (§ & ¦ xk si t kT : k ) t ¥ %% x t 0 sinon `1.1 Signal a temps discret (§ ¦ Nous verrons par la suite que cette repr´ sentation cor- e1.1.1 Introduction respond a la mod´ lisation du processus d’´ chantillonnage. ` e e L’Automatique des syst` mes a temps continu repose e `sur une repr´ sentation math´ matique des echanges d’´ ner- e e ´ e 1.1.2 D´ finition de la transform´ e en z e egies, de forces, d’informations en tant que fonctions du La transform´ e de Laplace pour les signaux continus etemps a valeurs r´ elles (´ventuellement espace vectoriel ` e e   s’´ crit : ede ) : £  ¡ ¢ ¢ ¤   n ∞ pt ¤ X p 032§ ¦ 10(§ ¦ 4 xt xt e5 § ¦ dt t ¥ xt § ¦ 0Cette repr´ sentation ne tient pas compte de l’ensemble e D` s lors, avec ce qui pr´ c` de il est possible de d´ finir la e e e edes r´ alit´ s des echanges de signaux rencontr´ s en pra- e e ´ e transform´ e de Laplace d’un signal discret a la donn´ e e ` etique. En particulier, l’emploi accru de calculateurs nu- d’une p´ riode T : em´ riques conduit a consid´ rer des signaux, dit a temps e ` e ` ¢ ∞discret, qui n’admettent des valeurs qu’a certains instants pt X p 4 32§ ¦ 6£§ ¦ x t x t e 5 § ¦ dtr´guli` rement espac´ s. Math´ matiquement ils sont repr´ - e e e e e 0sent´ s par des suites : e En ce cas, le signal X etant non nul que pour certaines ´ ¨ ©¡ ¤   valeurs discr` tes du temps on trouve : e n ¤ ¢ ∞ k xk ∑ xk e ¥ pkT X p £§ ¦ 5Sans entrer dans les d´ tails, notons que les outils math´ - e e k 0 matiques associ´ s aux suites sont aussi riches que ceux e C’est a partir de ce r´ sultat que la transform´ e en z des ` e eemploy´ s dans le cas de fonctions. Un grand nombre de e signaux discrets a et´ propos´ e. ´e enotions primordiales ont leur equivalent telles que l’in- ´t´gration ( tT 0 ) qui correspond dans le cas de s´ quences e e On appelle transform´ e en z de la s´ quence xk k N la e e 7 9 8 s´ rie enti` re d´ finie par : e e ediscr` tes a l’op´ rateur somme (∑N 0 ), et la transform´ e e ` e k ede Laplace ( x t § ¦ X p ) dont l’´ quivalent discret ap- e§ ¦ ¢ ∞pel´ e transform´ e en z ( xk e e X z ) est d´ crite dans ce e § ¦ X z @0£§ ¦ 7 xk 3 8 ∑ xk z 5 k k 0 qui suit. Il est possible sous certaines hypoth` ses de repr´ senter e e Des exemples de transform´ es en z fr´ quemment utili- e eles signaux a temps discret comme des signaux a temps ` ` s´ es sont donn´ es dans le tableau 1.1 de la page 5. e e 1
  8. 8. 2 ` ` ` CHAPITRE 1. MODELES DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET1.1.3 Propri´ t´ s de la transform´ e en z ee e – Th´ or` me de la sommation e e Pour les signaux a temps continu on parle de th´ o- ` e La transform´ e en z est une simple variante de la trans- e r` me de l’int´gration et il s’´ crit : e e eform´ e de Laplace et elle conserve ses propri´ t´ s a quelques e ee ` t 1modifications pr` s. Voici les principales propri´ t´ s : e ee 4 U T f τ dτ§ ¦ WV F p § ¦ 0 p – Lin´ arit´ e e Pour les signaux a temps continu on rappelle que : ` Pour les signaux a temps discret on a : ` αf t A B§ ¦ βg t C2§ ¦ α f t C2§ ¦ A β gt 2§ ¦ k z z De mˆ me, on a pour la transform´ e en z : e e aY `X ∑ fl db c z G 1 Q1 7 fk 8 z G 1 F z § ¦ l 0 7 1 α fk A 8 β gk7 8 α @ 7 fk A C 8 β @ 7 gk 8 – Th´ or` me de la valeur initiale e e La valeur initiale d’un signal a temps continu se d´ - ` e – Produit de convolution duit de sa transform´ e de Laplace comme suit : e La transform´ e de Laplace du produit de convolu- e tion f g t d´ fini par : § E§ D ¦ ¦ e f 0 (§ ¦ lim f t g§ ¦ lim pF p § ¦ t f e 0 p ∞ e t t f g t 4 F§ E§ D ¦ ¦ f τ gt G ¦ § ¦ τ dτ § 4 f t G ¦ τ g τ dτ § ¦ § La version discr` te de ce th´ or` me est donn´ e par : e e e e 0 0 est donn´ e par : e f0 lim F z § ¦ z e ∞ 32§ E§ D H ¦ ¦ f g t F p G p § ¦ § ¦ Dans le cas des signaux a temps discret la convolu- ` – Th´ or` me de la valeur finale e e tion se d´ finit par : e Si pF p est une fraction rationnelle dont les racines § ¦ du d´ nominateur sont a partie r´ elle n´gative alors le e ` e e ¤ k k signal f t converge pour t § ¦ ∞ et on a : A f g § D ¦ k ∑ f l gk 5 l ∑ fk 5 l gl l 0 l 0 lim f t (§ ¦ lim p F p § ¦ t e ∞ p 0 e et sa transform´ e en z est : e De mˆ me, si z z 1 F z est une fraction rationnelle e 5 § ¦ F 8 D @1 7 f g k F z Gz § ¦ § ¦ dont les racines du d´ nominateur sont dans le cercle e ¤ unit´ alors le signal f k converge pour r e ∞ et on A – Th´ or` me du retard e e a: On d´ signe par f t a le signal identique a f t e ` G ¦ § § ¦ z 1 G lim f k lim F z § ¦ mais retard´ de la dur´ e a. On a : e e k ∞ z 1 z e e ap ap G ¦ f t a F2§ e 5 § ¦ 1 f t e 5 F p§ ¦ 1.1.4 Exemples de transform´ es en z e De mˆ me, si f k l est le signal a temps discret f k re- e ` tard´ de l p´ riodes : e e 5 Exemple 1.1 Soit le signal discret tel que : @ 7 fk 8 5 z l @ 5 7 fk 3 8 z lF z § ¦ l 5 δ0 1 i Uh k p 0 δk 0 1 Ce r´ sultat permet de signaler que l’op´ rateur z e e 5 s’apparente a l’op´ rateur “retard d’une p´ riode”. ` e e Le calcul de sa transform´ e en z est relativement direct. e En appliquant la d´ finition on trouve : e – Th´ or` me de l’avance e e ¢ ∞ ∑ δk z Si f k l correspond au signal f k avanc´ de l p´ riodes ¢ e e Q1 7 δk 3 8 5 k δ0 z0 1 et tel que f j 0 pour tout j 0, alors on a la relation I k 0 suivante : Remarque : Le signal δk d´ finit ici est usuellement d´ si- e e @ 7 fk 3 8 ¢ l zl Q1 P 7 fk G R 8 ∑l 0 f i z i i 1 5 S 5 gn´ sous l’appellation de l’impulsion unitaire ou encore e dirac. Sa transform´ e en z vaut 1. e q
  9. 9. ´ ´1.2. SIGNAL ECHANTILLONNE 3Exemple 1.2 l’´ nonc´ du th´ or` me de la valeur finale. En effet, z z 1 F z e e e e 5 ‚§ ¦ z 1 A partir de l’exemple pr´ c´ dent et des propri´ t´ s de la e e ee z a est une fraction rationnelle dont la racine unique du 5transform´ e en z les relations suivantes sont obtenues. e 5 d´ nominateur est a. Dire que cette racine est dans le disque e Premi` rement consid´ rons le dirac retard´ : e e e unit´ reviens a a e ` I 1. La limite de la suite se calcule ƒ  alors comme suit : fh 1 i rh k p h fk 0 z G 1 lim ak lim 0On remarque que f k δk h, donc d’apr` s le th´ or` me du e e e k ¢ e ∞ z e 1z G aretard : 5 q @ 7 fk Q103 8 7 δk F 8 5 h z h Q1 5 7 δk 3 8 z 5 hConsid´ rons maintenant un signal du type echelon : e ´ ´ 1.2 Signal echantillonn´ e i k s 0 ek 1 1.2.1 IntroductionOn remarque que ek ∑k j 0 δk , donc d’apr` s le th´ or` me e e ede la sommation : Ce cours s’intitule “Commande Num´ rique des Proc´ - e e k d´ s” car l’objet principal concerne l’utilisation de calcu- e z z @ 7 ek @tF 8 7 ∑ δk 8 z G 1 @ 7 δk 3 8 z G 1 lateurs num´ riques utilis´ s en temps r´ el pour comman- e e e j 0 der, piloter, guider... des proc´ d´ s physiques qui par es- e e sence sont le plus souvent a temps continu. La probl´ - ` ePrenons en suivant le signal du type rampe : matique est alors de repr´ senter les interactions entre des e i k s 0 rk k signaux physiques mod´ lis´ s par des fonctions avec des e e signaux assimilables par des calculateurs num´ riques qui eIl est possible de constater que rk ek ∑k 0 ek , donc j G r A se pr´ sentent sous forme de suites. een combinant la lin´ arit´ de la transform´ e en z et le th´ o- e e e e Sans entrer dans les d´ tails du fonctionnement des dif- er` me de la sommation on trouve : e f´ rents el´ ments, la commande par calculateur, ou pro- e ´e k cesseur, d’un proc´ d´ n´ cessite la mise en œuvre d’un e e e Q1 7 rk @1wvu 8 7 G ek @x 8 7 A ∑ ek 8 certain nombre d’´ l´ ments (figure 1.1) : ee j 0 z @1wv 7 G ek A 8 @1 7 ek 8 – un actionneur, ou organe de commande qui re¸ oit c z G 1 les ordres du processeur a travers un convertisseur ` z yr G¦ 1 A @y§ 7 ek 8 num´ rique-analogique, e z 1 G 1 ek @ 7 8 z 1 G – un capteur, ou organe de mesure qui transmet au pro- z cesseur les informations recueillies sur le proc´ d´ , a e e ` z 12 G ¦ § travers un convertisseur analogique-num´ rique. e qExemple 1.3 Consid´ rons le signal suivant : e Action- u t § ¦ yt § ¦ Proc´ d´ e e Capteur neur i k s 0 fk akPar d´ finition, sa transform´ e en z se calcule comme suit : e e ¢ ∞ ¢ ∞ ¢ ∞ CAN CNA @1 7 fk 8 ∑ fk z 5 k ∑ ak z k 5 ∑ a z § € ¦ k uk yk k 0 k 0 k 0 ProcesseurIl s’agit d’une s´ rie g´ om´ trique connue : e e e 1 z F z @0(§ ¦ 7 fk F 8 1 a z G € z G a F IG . 1.1 – Structure g´ n´ rale d’une commande de pro- e e c´ d´ par calculateur e eLa limite de la suite ak est tr` s bien connue. Elle existe euniquement si a 1. Cette condition correspond bien a I C  `
  10. 10. 4 ` ` ` CHAPITRE 1. MODELES DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET1.2.2 Conversion analogique num´ rique e 1.2.3 Conversion num´ rique analogique e D’un point de vue mod´ lisation, l’ensemble capteur e Le processeur calculant la commande a appliquer au `convertisseur analogique-num´ rique peut etre assimil´ a e ˆ e` proc´ d´ travaille de mani` re s´ quentielle et g´ n` re des e e e e e eune prise d’´ chantillons de la sortie continue y t a p´ - e ` e § ¦ valeurs num´ riques uk avec la mˆ me p´ riode T que celle e e eriode fixe T (p´ riode d’´ chantillonnage ). Si l’on fait l’hy- e e qui a et´ choisie pour l’´ chantillonnage. L’op´ ration de ´e e epoth` se que le temps de codage est n´gligeable (´ chan- e e e conversion num´ rique-analogique la plus courante consiste etillonnage instantan´ ) et qu’il n’y a pas d’erreur de quan- e a produire un signal de commande u t en escalier a partir ` ` § ¦tification, on peut repr´ senter l’op´ ration de conversion e e des valeurs uk selon le sch´ ma de la figure 1.3. eanalogique-num´ rique selon le le sch´ ma de la figure 1.2. e e uk ut § ¦ yt § ¦ yk uk ut § ¦ yt§ ¦ yk B0 p § ¦ T 0 1 2 k CNA 0 1 2 k0 t CAN 0 1 2 k F IG . 1.3 – Convertisseur num´ rique-analogique e F IG . 1.2 – Convertisseur analogique-num´ rique e Le mod` le math´ matique que l’on associe alors a la e e ` Math´ matiquement, l’op´ ration d’´ chantillonnage peut e e e conversion num´ rique analogique est le bloqueur d’ordre eetre assimil´ e a la modulation du signal continu y t parˆ e ` § ¦ z´ ro dont la fonction de transfert B0 p peut etre facile- e ˆ § ¦un train d’impulsions unitaires de p´ riode T not´ δT (par- e e ment calcul´ e. En effet, c’est la transform´ e de Laplace e efois appel´ egalement peigne de Dirac) : e´ de sa r´ ponse impulsionnelle repr´ sent´ e sur la figure 1.4. e e e ¢ ∞ y t (§ ¦ y t δT t§ ¦ § ¦ δT t (§ ¦ ∑δ t G ¦ kT § δt § ¦ k 0 Il vient : 1 1 ¢ ∞ ¢ ∞ B0 p § ¦ y t (§ ¦ ∑y t δt G ¦ § ¦ kT (§ ∑ yk δ t G ¦ kT § k 0 k 0 0 t CNA 0 T to` y t est un signal a temps continu egal a y t aux u § ¦ ` ´ ` § ¦instants t kT et z´ ro ailleurs et o` yk y kT est la e u ¦ § F IG . 1.4 – Bloqueur d’ordre z´ ro evaleur de l’´ chantillon de y t a l’instant kT . Le signal e ` § ¦echantillonn´ est repr´ sent´ par la s´ quence des valeurs´ e e e e La r´ ponse impulsionnelle du bloqueur d’ordre z´ ro e ey kT mesur´ es avec la p´ riode T : ¦ § e e est de la forme : y kT yk Γt Γt ¦ 7 7 …8 § „ 8 G F§ ¦ G ¦ T § L’´ chantillonnage conduit a une perte d’information au e ` o` Γ t repr´ sente l’´ chelon de position unitaire. Il vient u § ¦ e eregard du signal continu. Cette perte d’information est donc :d’autant plus grande que la fr´ quence f 1 T est pe- e € 1 e Tp 1 e Tp 5 G 5tite. Id´ alement il faudrait donc echantillonner a une fr´ - e ´ ` e B0 p (§ ¦ G p p pquence infinie, cependant, le choix de la p´ riode d’´ chan- e etillonnage d´ pend du type de proc´ d´ et des possibilit´ s e e e eoffertes par les outils num´ riques. En tout etat de cause, e ´l’´ chantillonnage doit respecter le th´ or` me de Shannon e e equi pr´ cise que la fr´ quence d’´ chantillonnage f 1 T e e e €doit etre au moins egale a deux fois la plus grande fr´ - ˆ ´ ` equence contenue dans le spectre du signal que l’on veutechantillonner.´ Le tableau 1.1 de la page 5 donne une collection designaux continus classiques ainsi que leurs transform´ esede Laplace et leurs repr´ sentations apr` s echantillonnage. e e ´
  11. 11. ´ ´1.2. SIGNAL ECHANTILLONNE 5 Transform´ e de Laplace e Signal continu Signal echantillonn´ ´ e Transform´ e en z e F p § ¦ 0(§ ¦ f t f t § ¦ fk F z 1t†§ ¦ fk 1 δt § ¦ f0 1 i Uh k p 0 fk 0 1 e 5 ap δt G ¦ a § e 5 hT p δt G ¦ hT § fh 1 i Uh k p h fk 0 z 5 h 1 z Γt § ¦ 1 p z G 1 1 z t kT T p2 z G ¦ 1 § 2 2 zz 1 A ¦ § t2 k2 T 2 T2 p3 z 13 § G ¦ 1 at akT z e 5 e 5 aT p A a z G e 5 1 T ze aT te at kTe akT 5 2 5 5 aT 2 p A ¦ a § z e G ¦ 5 § b a G ze aT e bT e at G e bt e akT G e bkT 5 ¦ G 5 § 5 5 5 5 aT bT p a p b A ¦ A E§ ¦ § z e 5 G ¦ G ‡§ ¦ z e 5 § z ak z G a k z § y¦ G a z A a a at akT z 1 e aT G ¦ 5 § 1 G e 5 1 G e 5 aT p p a A ¦ § z 1 z e G ¦‡§ G ¦ 5 § ω z sin ωT sin ωt sin ωkT p2 A ω2 z2 G 2z cos ωT A 1 p z z cos ωT G ¦ § cos ωt cos ωkT p2 A ω2 z2 G 2z cos ωT 1 A TAB . 1.1 – Signaux echantillonn es et leurs transform´ es de Laplace ´ ´ e

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