Chap XI-Optimisation.pdf

Université TAHRI Mohamed Béchar
Laboratoire d’Énergétiques en Zones Arides
Équipe Modélisation & Simulation des Systèmes
Université TAHRI Mohamed Béchar
Laboratoire d’Énergétiques en Zones Arides
Équipe Modélisation & Simulation des Systèmes
Cours réalisé par : Pr. TAMALI Mohammed,
http://www.tamali.org
Université de Béchar | Faculté de Technologie
(ENERGARID Lab./Equipe SimulIA)
Cours réalisé par : Pr. TAMALI Mohammed,
http://www.tamali.org
Université de Béchar | Faculté de Technologie
(ENERGARID Lab./Equipe SimulIA)
CHAPITRE XI
CHAPITRE XI :
:
OPTIMISATION
OPTIMISATION
Concepts
Concepts de base, fondements
de base, fondements
& cadre d’utilisation
& cadre d’utilisation.
.
CHAPITRE XI
CHAPITRE XI :
:
OPTIMISATION
OPTIMISATION
Concepts
Concepts de base, fondements
de base, fondements
& cadre d’utilisation
& cadre d’utilisation.
.
Version 3.5

Presentation
Bechar University was born in 1986 as the National Institutes of Higher
Education (INES), in 1992 it becomes University Center and on January 1th
2007, it was officially declared as a university. Since then, many research
teams have seen the day. In 2011, The Laboratory for Energetics Applied to
Arid Zones was run by a group of young and well motivated researchers,
composed by seven research teams, the main task was and still the solving
real problems altering arid zones, SimulIA is one of the lab teams. The
workload of SimulIA concerns modeling and simulating real systems in arid
areas.
Major research areas:
Energy & Environment (Modeling & Simulation)
Application & usage of heat transfer process in arid zones
Energy usage and economy.
2D Mapping development of resources in arid zones.
the main task in the short term of SIMULIA Team, is to develop the
computer code for modeling and simulation which can be accessed online.
Website of the laboratory team: www.univ-bechar.dz/energarid/simulia
Bechar University was born in 1986 as the National Institutes of Higher
Education (INES), in 1992 it becomes University Center and on January 1th
2007, it was officially declared as a university. Since then, many research
teams have seen the day. In 2011, The Laboratory for Energetics Applied to
Arid Zones was run by a group of young and well motivated researchers,
composed by seven research teams, the main task was and still the solving
real problems altering arid zones, SimulIA is one of the lab teams. The
workload of SimulIA concerns modeling and simulating real systems in arid
areas.
Major research areas:
Energy & Environment (Modeling & Simulation)
Application & usage of heat transfer process in arid zones
Energy usage and economy.
2D Mapping development of resources in arid zones.
the main task in the short term of SIMULIA Team, is to develop the
computer code for modeling and simulation which can be accessed online.
Website of the laboratory team: www.univ-bechar.dz/energarid/simulia

Plan
Généralités
Théorie des systèmes & Systémique
Théorie des graphes
Évaluation des performances
Concepts fondamentaux (Définitions)
Modélisation & Simulation
Système linéaire
Système non-linéaire
Système discrêt
Méthode de résolution intelligente
Conclusions
Généralités
Théorie des systèmes & Systémique
Concepts fondamentaux (Définitions)
Système linéaire
Système non-linéaire
Système discrêt
Méthode de résolution intelligente
Conclusions
4
4

l’optimisation, en tant que terme de la recherche opérationnelle, a été
pour tous les temps, un moyen de validation. Les hypothèses, les
scénarios, une valeur cible sont le langage, par excellence, pour
l’élaboration d’une quelconque investigation et par la suite une décision.
Ce cours présente une introduction de base, en termes de conception
et d’élaboration de stratégies de vérification et de validation de thèse et
d’hypothèses, vérifiant l’optimalité des processus.
Les objectifs de cette intervention sont la vulgarisation des notions
fondamentales de la recherche opératonnelle et de ses champs
d'applications ainsi que les concepts systémiques y afférants. Le but
principal de ces inverstigations est de monter des codes pour des
raisons de GESTION, de MONITORING de processus.
l’optimisation, en tant que terme de la recherche opérationnelle, a été
pour tous les temps, un moyen de validation. Les hypothèses, les
scénarios, une valeur cible sont le langage, par excellence, pour
l’élaboration d’une quelconque investigation et par la suite une décision.
Ce cours présente une introduction de base, en termes de conception
et d’élaboration de stratégies de vérification et de validation de thèse et
d’hypothèses, vérifiant l’optimalité des processus.
Les objectifs de cette intervention sont la vulgarisation des notions
fondamentales de la recherche opératonnelle et de ses champs
d'applications ainsi que les concepts systémiques y afférants. Le but
principal de ces inverstigations est de monter des codes pour des
raisons de GESTION, de MONITORING de processus.
Généralités
Généralités
5
5

Equation de croissance
Equation de croissance
Théorie des systèmes
La théorie des systèmes est la science de l’étude
transdisciplinaire de l’organisation abstraite des phénomènes,
indépendamment de leur substance, leur type ou leur échelle
spatiale/temporelle de l’existence. Elle étudie à la fois, les
principes communs à toutes les entités complexes, et les
modèles (généralement mathématiques) qui peuvent être
utilisés pour les décrire.
Dans sa plus simple expression, l’équation différentielle,
appelée équation de croissance de Ludwig Von Bertalanffy,
où est postulé que la taille (L) par rapport au temps (t) :
L’(t) = k.(L∞
- L(t))
Où k est le taux de croissance individuel et L∞
la taille
individuelle maximum.
Selon Bertalanffy, tout est SYSTÈME par défaut.
Et tout contribue à la tenue de son environnement système
Et y est influencé.
La théorie des systèmes est la science de l’étude
transdisciplinaire de l’organisation abstraite des phénomènes,
indépendamment de leur substance, leur type ou leur échelle
spatiale/temporelle de l’existence. Elle étudie à la fois, les
principes communs à toutes les entités complexes, et les
modèles (généralement mathématiques) qui peuvent être
utilisés pour les décrire.
Dans sa plus simple expression, l’équation différentielle,
appelée équation de croissance de Ludwig Von Bertalanffy,
où est postulé que la taille (L) par rapport au temps (t) :
L’(t) = k.(L∞
- L(t))
Où k est le taux de croissance individuel et L∞
la taille
individuelle maximum.
Selon Bertalanffy, tout est SYSTÈME par défaut.
Et tout contribue à la tenue de son environnement système
Et y est influencé.
Autrichien [1901-1972],
Biologie, Écologie, Médecine,
Psychologie,
Théorie générale des systèmes
Autrichien [1901-1972],
Biologie, Écologie, Médecine,
Psychologie,
Théorie générale des systèmes
6
6

L’optimisation est pour sa relation avec les processus, son
conditionnement ainsi que ses environnements intrinsèques et/ou
extrinsèques, trop touchée par cette théorie.
L’approche systémique, comme application de la théorie
générale des systèmes, est fondée sur les principes suivants:
1. Les organisations, toutes les entités des organismes, sont
‘ouvertes’ à l’environnement et pour cela, elles doivent entretenir
des relations satisfaisantes avec ce dernier pour survivre.
2. Les systèmes ouverts sont caractérisés par un cycle continu
d’entrée, de transformation interne, de sortie et de rétroaction.
L’optimisation est pour sa relation avec les processus, son
conditionnement ainsi que ses environnements intrinsèques et/ou
extrinsèques, trop touchée par cette théorie.
L’approche systémique, comme application de la théorie
générale des systèmes, est fondée sur les principes suivants:
1. Les organisations, toutes les entités des organismes, sont
‘ouvertes’ à l’environnement et pour cela, elles doivent entretenir
des relations satisfaisantes avec ce dernier pour survivre.
2. Les systèmes ouverts sont caractérisés par un cycle continu
d’entrée, de transformation interne, de sortie et de rétroaction.
Prix de distinction à l’honneur
de L.v. Bertalanffy
Prix de distinction à l’honneur
de L.v. Bertalanffy
Projection dans
l’espace système
Projection dans
l’espace système
7
7

La théorie des systèmes est un principe selon lequel tout est
système, ou tout peut être conceptualisé selon une logique de
système.
Ce principe est formalisé en 1968 par Ludwig Von Bertalanffy dans
General System Theory, mais les bases sont multiples, la
principale étant certainement le mouvement cybernétique.
Ces théories ont permis l'établissement de la systémique en tant
que méthodologie scientifique ainsi la base théorique associée est
aujourd'hui appelé théorie systémique.
La théorie des systèmes décrit la réalité observée et suggère
d’établir des liens logiques entre les facteurs, les acteurs et les
évenements.
Elle permet ainsi de découvrir que les causalités linéaires
simplistes ne sont pas suffisantes pour expliquer les choses et que
les corrélations établies entre les facteurs sont très nombreuses
chose qui nécessite encore plus d’attention.
La théorie des systèmes est un principe selon lequel tout est
système, ou tout peut être conceptualisé selon une logique de
système.
Ce principe est formalisé en 1968 par Ludwig Von Bertalanffy dans
General System Theory, mais les bases sont multiples, la
principale étant certainement le mouvement cybernétique.
Ces théories ont permis l'établissement de la systémique en tant
que méthodologie scientifique ainsi la base théorique associée est
aujourd'hui appelé théorie systémique.
La théorie des systèmes décrit la réalité observée et suggère
d’établir des liens logiques entre les facteurs, les acteurs et les
évenements.
Elle permet ainsi de découvrir que les causalités linéaires
simplistes ne sont pas suffisantes pour expliquer les choses et que
les corrélations établies entre les facteurs sont très nombreuses
chose qui nécessite encore plus d’attention.
8
8

Caractéristiques universelles des systèmes :
Déterminisme : existence justifiée
Observabilité : Observation des méthodes et moyens
Fonctionnel : Nécessité du rôle individuel dans l’ensemble
Quantifiabilité : Mise sous forme d’ensembles quantifiables
Mesurabilité : Mesure utilisant l’instrument et les unités
Équilibre interne : Entretien de la stabilité individuelle
Composition : Complémentarité individuelle dans un ensemble
Maintenabilité : Possibilité d’entretien
Fiabilité : Rôle prouvé dans l’ensemble
Robustesse : Tolérance aux fautes suite aux différents chargement du système
Dépendance : Entretien et collaboration
Caractéristiques universelles des systèmes :
Déterminisme : existence justifiée
Observabilité : Observation des méthodes et moyens
Fonctionnel : Nécessité du rôle individuel dans l’ensemble
Quantifiabilité : Mise sous forme d’ensembles quantifiables
Mesurabilité : Mesure utilisant l’instrument et les unités
Équilibre interne : Entretien de la stabilité individuelle
Composition : Complémentarité individuelle dans un ensemble
Maintenabilité : Possibilité d’entretien
Fiabilité : Rôle prouvé dans l’ensemble
Robustesse : Tolérance aux fautes suite aux différents chargement du système
Dépendance : Entretien et collaboration
9
9

Travaux dirigés et pratiques en FORTRAN
Travail dirigé :
1- Soit à vérifier le calcul de l’expression C=A+B ou C=A*B sachant que A et B sont connus
avec des estimations s’évaluant à ±ΔA et ±ΔB respectivement. Reporter le cas général.
Travail pratique :
1- Soit à écrire un programme FORTRAN évaluant l’expression C=A+B selon les valeurs des
opérandes, leurs qualité et dimension. Peut-on optimiser le programme résultant ?
Travail dirigé :
Soit à transporter des personnes d’un point A vers un autre situé en B, Formaliser la
problématique
Travail pratique :
Tester les logiciels Open-Source suivants : CodeBlocks, Octave, Maxima, LPSolve, LiPS,
FreeMAT et Scilab
Travail dirigé :
1- Soit à vérifier le calcul de l’expression C=A+B ou C=A*B sachant que A et B sont connus
avec des estimations s’évaluant à ±ΔA et ±ΔB respectivement. Reporter le cas général.
Travail pratique :
1- Soit à écrire un programme FORTRAN évaluant l’expression C=A+B selon les valeurs des
opérandes, leurs qualité et dimension. Peut-on optimiser le programme résultant ?
Travail dirigé :
Soit à transporter des personnes d’un point A vers un autre situé en B, Formaliser la
problématique
Travail pratique :
Tester les logiciels Open-Source suivants : CodeBlocks, Octave, Maxima, LPSolve, LiPS,
FreeMAT et Scilab
10
10

Travaux dirigés et pratiques en
FORTRAN
Travail dirigé :
1- Soit à vérifier le calcul de
l’expression C=A+B ou C=A*B sachant
que A et B sont connus avec des
estimations s’évaluant à ±ΔA et ±ΔB
respectivement. Reporter le cas
général.
Travail pratique :
1- Soit à écrire un programme
FORTRAN évaluant l’expression
C=A+B selon les valeurs des
opérandes, leurs qualité et dimension.
Peut-on optimiser le programme
résultant ?
FORTRAN
Travail dirigé :
1- Soit à vérifier le calcul de
l’expression C=A+B ou C=A*B sachant
que A et B sont connus avec des
estimations s’évaluant à ±ΔA et ±ΔB
respectivement. Reporter le cas
général.
Travail pratique :
1- Soit à écrire un programme
FORTRAN évaluant l’expression
C=A+B selon les valeurs des
opérandes, leurs qualité et dimension.
Peut-on optimiser le programme
résultant ? https://github.com/mtamali/errors/archive/master.zip
https://github.com/mtamali/errors/archive/master.zip 11
11

Travail dirigé :
Soit à faire le calcul des inconnues d’un système d’équations linéaires totalement en réel sans
passer par la codification complexe.
Travail pratique :
Soit à écrire un programme FORTRAN évaluant le système A*X=b par la méthode
d’élimination de Gauss.
Travail dirigé :
Soit à utiliser la modélisation graphique pour résoudre
le programme linéaire suivant :
Travail pratique :
Refaire le calcul avec LP_Solve du problème du TD plus haut
Travail dirigé :
Soit à faire le calcul des inconnues d’un système d’équations linéaires totalement en réel sans
passer par la codification complexe.
Travail pratique :
Soit à écrire un programme FORTRAN évaluant le système A*X=b par la méthode
d’élimination de Gauss.
Travail dirigé :
Soit à utiliser la modélisation graphique pour résoudre
le programme linéaire suivant :
Travail pratique :
Refaire le calcul avec LP_Solve du problème du TD plus haut
12
12

FORTRAN
Travail dirigé :
Soit à faire le calcul des inconnues
d’un système d’équations linéaires
totalement en réel sans passer par la
codification complexe.
Travail pratique :
Soit à écrire un programme
FORTRAN évaluant le système
A*X=b par la méthode d’élimination
de Gauss.
FORTRAN
Travail dirigé :
Soit à faire le calcul des inconnues
d’un système d’équations linéaires
totalement en réel sans passer par la
codification complexe.
Travail pratique :
Soit à écrire un programme
FORTRAN évaluant le système
A*X=b par la méthode d’élimination
de Gauss.
https://github.com/mtamali/GaussElimination/archive/master.zip
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
13
13

On fait généralement remonter la naissance de la Théorie des Graphes au célèbre
problème des ponts de Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad) qui passionnait la
bourgeoisie prussienne du XVIIIème siècle : La Ville de Königsberg, sur la Pregel, était
pourvue de 7 ponts et la question était de savoir si l'on pouvait imaginer une
promenade dans la ville qui emprunterait chacun des 7 ponts une fois et une seule
pour revenir à son point de départ.
La théorie des graphes s’est alors développée et intégrée dans diverses
disciplines telles que la chimie, la biologie, les sciences sociales et sans
oublier les réseaux d’ordinateurs et de télécommunication. Depuis le
début du XXe siècle, elle constitue une branche à part entière des
mathématiques, grâce aux travaux de König, Menger, Cayley puis de
Berge et d’Erdös [1].
De manière générale, un graphe permet de représenter la structure, les
connexions d’un ensemble complexe dit ‘système’ (S) en exprimant les
relations entre ses éléments tel que les réseaux de communication, les
réseaux routiers, interaction de diverses espèces animales, circuits
électriques, en programmation et le plus intéressant son application aux
sciences de l’Internet.
On fait généralement remonter la naissance de la Théorie des Graphes au célèbre
problème des ponts de Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad) qui passionnait la
bourgeoisie prussienne du XVIIIème siècle : La Ville de Königsberg, sur la Pregel, était
pourvue de 7 ponts et la question était de savoir si l'on pouvait imaginer une
promenade dans la ville qui emprunterait chacun des 7 ponts une fois et une seule
pour revenir à son point de départ.
La théorie des graphes s’est alors développée et intégrée dans diverses
disciplines telles que la chimie, la biologie, les sciences sociales et sans
oublier les réseaux d’ordinateurs et de télécommunication. Depuis le
début du XXe siècle, elle constitue une branche à part entière des
mathématiques, grâce aux travaux de König, Menger, Cayley puis de
Berge et d’Erdös [1].
De manière générale, un graphe permet de représenter la structure, les
connexions d’un ensemble complexe dit ‘système’ (S) en exprimant les
relations entre ses éléments tel que les réseaux de communication, les
réseaux routiers, interaction de diverses espèces animales, circuits
électriques, en programmation et le plus intéressant son application aux
sciences de l’Internet.
14
14

Les graphes constituent donc une
méthode de pensée qui permet de
modéliser une grande variété de
problèmes en se ramenant à l’étude de
sommets et d’arcs. Les derniers
travaux en théorie des graphes sont
souvent effectués par des
informaticiens, du fait de l’importance
que revêt l’aspect algorithmique.
Les graphes constituent donc une
méthode de pensée qui permet de
modéliser une grande variété de
problèmes en se ramenant à l’étude de
sommets et d’arcs. Les derniers
travaux en théorie des graphes sont
souvent effectués par des
informaticiens, du fait de l’importance
que revêt l’aspect algorithmique.
Un graphe simple noté G est un couple
formé de deux ensembles liés par une
application mathématique. L’un d’eux est
l’ensemble X={x1,x2,...,xn} dont les
éléments sont appelés ‘sommets’, l’autre
est l’ensemble A={a1,a2,...,am}, partie de
l’ensemble P2
(X) des parties à deux
éléments (couple de sommets) de X, dont
les éléments sont appelé ‘les arêtes’. On
notera cette relation G=(X,A).
Lorsque a={x,y}A, on dit que a est l’arête
de G d’extrémités x et y, ou que a joint x et
y, ou que a passe par x et y. Les sommets
x et y sont dits adjacents dans G.
Un graphe simple noté G est un couple
formé de deux ensembles liés par une
application mathématique. L’un d’eux est
l’ensemble X={x1,x2,...,xn} dont les
éléments sont appelés ‘sommets’, l’autre
est l’ensemble A={a1,a2,...,am}, partie de
l’ensemble P2
(X) des parties à deux
éléments (couple de sommets) de X, dont
les éléments sont appelé ‘les arêtes’. On
notera cette relation G=(X,A).
Lorsque a={x,y}A, on dit que a est l’arête
de G d’extrémités x et y, ou que a joint x et
y, ou que a passe par x et y. Les sommets
x et y sont dits adjacents dans G.
Un multi-graphe G = (X, A, f) est déterminé par:
• L’ensemble X des sommets
• L’ensemble A, cette fois abstrait
• L’application f : A [P2
(X)]
un multi-graphe avec boucles peut comprendre des arêtes
multiples entre deux sommets donnés ainsi que des boucles
multiples en un sommet.
Un multi-graphe G = (X, A, f) est déterminé par:
• L’ensemble X des sommets
• L’ensemble A, cette fois abstrait
• L’application f : A [P2
(X)]
un multi-graphe avec boucles peut comprendre des arêtes
multiples entre deux sommets donnés ainsi que des boucles
multiples en un sommet.
Exemples de cas où le modèle graphe est recommandé
Exemples de cas où le modèle graphe est recommandé
15
15

Une chaîne est une liste ordonnée de
sommets telle que chaque sommet de la
liste soit adjacent au suivant. La longueur
d'une chaîne est le nombre d'arêtes qui la
composent.
La distance entre deux sommets est la
plus courte longueur des chaînes qui les
relient. Le diamètre d'un graphe est la plus
grande distance entre deux sommets.
Un graphe orienté Gn est formé de deux
ensembles: un ensemble X={x1,x2,...,xn}
dont les éléments sont appelés sommets,
et un ensemble A={a1,a2,...,an), partie du
produit cartésien X×X, dont les éléments
sont appelés arcs. On notera Gn=(X,A).
Si a=(x,y) est un arc du graphe G, x est
l’extrémité initiale de a et y l’extrémité
finale de a.
À tout graphe orienté Gn(X,A), on associe
le graphe simple G(X,B) où :
{x, y}B ≠ ((x, y)A ou (y, x)A)).
On appelle graphe complet un graphe
dont tous les sommets sont adjacents.
Un graphe dont les arêtes sont
caractérisées par une quantité est dit
valué.
Un sous-graphe d'un graphe G est un graphe G' composé de
certains sommets de G, ainsi que toutes les arêtes qui relient
ces sommets.
La matrice associée à un graphe d'ordre n dont les sommets
sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de
dimension n×n, où le terme à l'intersection de la ième
ligne et
de la jème
colonne vaut k, nombre d'arêtes reliant i et j. C’est
encore la matrice de liaison M.
Un sous-graphe d'un graphe G est un graphe G' composé de
certains sommets de G, ainsi que toutes les arêtes qui relient
ces sommets.
La matrice associée à un graphe d'ordre n dont les sommets
sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de
dimension n×n, où le terme à l'intersection de la ième
ligne et
de la jème
colonne vaut k, nombre d'arêtes reliant i et j. C’est
encore la matrice de liaison M.
Soit x un sommet d’un graphe
orienté. On note d+
(x) le nombre
d’arcs ayant x comme extrémité
initiale, et d-
(x) le nombre d’arcs
ayant x comme extrémité finale.
Ainsi, on a :
d(x)=d+
(x)+ d-
(x)
La matrice des distances du
graphe G est la matrice
D={d(i, j)=(d(xi, xj)}.
Sous-graphe G’ de G(X,A)
Sous-graphe G’ de G(X,A)
Exemple graphe orienté
Exemple graphe orienté
Exemple graphe G(X,A)
Exemple graphe G(X,A)
16
16

● Le graphe discret d’ordre n, Dn,=(X, 0).
● Le graphe complet d’ordre n, Knn où X={1,2,...,n} et A = P2
(X)
● Le graphe biparti-complet Kpq où X={x1,x2,...,xp,y1,y2,...,yq} et A=f(xi, yj}/ 1≤i≤p et 1≤j≤q}.
● Le cycle Cnn où X={1,2…,n} et A={{1, 2},{2, 3},...,{n-1, n},{n, 1}}.
● Un graphe valué est un graphe orienté Gn(X,A), muni d’une fonction C appelée fonction
de coût.
● Le coût d’un chemin est la somme des coûts des arcs de ce chemin. On peut définir la
matrice des coûts du graphe, c’est la matrice C={ci,j} où : ci,j est le coût de l’arête (i, j).
● Un graphe est dit simplement connexe si pour tout couple (i, j)A, il y a toujours un
chemin de i vers j.
● Un arbre est un sous-graphe simple connexe ne possédant pas de cycle simple et
construit à base de tous les nœuds du graphe d’origine.
● La matrice d’incidence A d’un graphe orienté Gn est définie par :
● Valeur d’une chaîne: la somme des valeurs des arêtes (arcs) d’une chaîne d’un graphe
valué.
● Le graphe discret d’ordre n, Dn,=(X, 0).
● Le graphe complet d’ordre n, Knn où X={1,2,...,n} et A = P2
(X)
● Le graphe biparti-complet Kpq où X={x1,x2,...,xp,y1,y2,...,yq} et A=f(xi, yj}/ 1≤i≤p et 1≤j≤q}.
● Le cycle Cnn où X={1,2…,n} et A={{1, 2},{2, 3},...,{n-1, n},{n, 1}}.
● Un graphe valué est un graphe orienté Gn(X,A), muni d’une fonction C appelée fonction
de coût.
● Le coût d’un chemin est la somme des coûts des arcs de ce chemin. On peut définir la
matrice des coûts du graphe, c’est la matrice C={ci,j} où : ci,j est le coût de l’arête (i, j).
● Un graphe est dit simplement connexe si pour tout couple (i, j)A, il y a toujours un
chemin de i vers j.
● Un arbre est un sous-graphe simple connexe ne possédant pas de cycle simple et
construit à base de tous les nœuds du graphe d’origine.
● La matrice d’incidence A d’un graphe orienté Gn est définie par :
● Valeur d’une chaîne: la somme des valeurs des arêtes (arcs) d’une chaîne d’un graphe
valué.







sinon
0
sortante
'
1
'
1
, i
noeud
le
de
est
j
arête
l
si
i
noeud
le
sur
incidente
est
j
arête
l
si
a j
i
17
17

La topologie des graphes est plus désignée pour des questions de
modélisation graphique de systèmes de processus. Son intérêt est dans
sa simplicité de mise en œuvre. Le cadre pratique couvre :
● Gestion des bilans énergétique et autre
● Gestion des flux et trafics
● Gestion des échanges
● Gestion des hiérarchies
● Ordonnancement des tâches
● Planification
● Projection
● Organisation fonctionnelle
● Traitements de l’information & connaissances
● Systèmes automatiques
● Systèmes relationnels.
● …
La topologie des graphes est plus désignée pour des questions de
modélisation graphique de systèmes de processus. Son intérêt est dans
sa simplicité de mise en œuvre. Le cadre pratique couvre :
● Gestion des bilans énergétique et autre
● Gestion des flux et trafics
● Gestion des échanges
● Gestion des hiérarchies
● Ordonnancement des tâches
● Planification
● Projection
● Organisation fonctionnelle
● Traitements de l’information & connaissances
● Systèmes automatiques
● Systèmes relationnels.
● …
18
18

Travail dirigé
Soit à représenter le circuit suivant par un multigraphe
Dessiner le graphe équivalent, calculer ses matrices (liaison, incidence)
Démontrer les équations AI=0 (A matrice d’incidence, I vecteur courant des
nœuds et 0 le vecteur des zéros.
Travail pratique :
Écrire un programme FORTRAN qui permettra de lire les données d’un graphe
G. Les entités à lire sont ses composantes dans le cas général.
Travail dirigé
Soit à représenter le circuit suivant par un multigraphe
Dessiner le graphe équivalent, calculer ses matrices (liaison, incidence)
Démontrer les équations AI=0 (A matrice d’incidence, I vecteur courant des
nœuds et 0 le vecteur des zéros.
Travail pratique :
19
19

Travail pratique :
Travail pratique :
https://github.com/mtamali/Graph-Theory/blob/master/Thgraph.f95
20
20

Travail pratique :
Travail pratique :
https://github.com/mtamali/Graph-Theory/blob/master/ThGraphWthOpen.f95
21
21

Les évaluations de la performance du système, c’est le faire
comparaître d'une manière systématique, aux critères des
objectifs structurels, fonctionnels et du rendement. Ces
techniques sont des outils du développement utilisé pour
améliorer la fiabilité/robustesse du système dans son
organisation. La performance est mesurée par rapport à des
indicateurs tels que la connaissance de la topologie (structure),
de la qualité et la quantité de la service (Fonction), de l'initiative et
des capacités du leadership (gestion), de la supervision
(monitoring), de la fiabilité (maintenabilité), de la coopération, du
jugement, de la polyvalence et de la santé. L’évaluation des
performances vise à augmenter les capacités du système à
résister à tout type de perturbations structurelles ou
fonctionnelles (Tolérance aux pannes).
22
22

La fiabilité est généralement définie comme la capacité à
accomplir une fonction déterminée ou requis dans des
conditions spécifiques pour une période déterminée. Comme
la disponibilité, la fiabilité peut être exprimée en pourcentage.
EIle est la probabilité qu'une unité sera en mesure de remplir
sa fonction déterminée pour une période de temps  donnée.
La disponibilité et fiabilité sont souvent confondues, en partie
parce que la fiabilité à long terme tend à être utilisé lorsque la
disponibilité est ce qui a été vraiment visé du système. Un
exemple classique qui permet de distinguer la fiabilité de la
disponibilité est celui d'un avion. Si vous voulez voler d’Alger à
Tamanraset, alors vous voulez prendre un avion très fiable qui
a une probabilité très élevée d'être en mesure de voler
pendant les 4 à 5 heures de trajet. Ce même plan pourrait
avoir une disponibilité très faible, si l'avion a besoin de 4
heures d'entretien (maintenance) avant chaque vol de 4
heures d’où la disponibilité de l'avion serait de 50%.
Le service est cette fonction que les utilisateur du système
attendent, donc plus celui-ci est fiable plus les demandes
sont satisfaites. La qualité de service QdS (QoS)
représente le taux de satisfaction des demandes par rapport
aux capacités du système.
Autrement dit, les capacités du système et la demande des
clients sont en équilibre. Les dépassements de l’un par
rapport à l’autre engendreront des déséquilibre dans le toute
la composition du système.
D’une manière générale, l’évaluation des performances
EP c’est l’ensemble de protocoles et des procédures à
envisager en vue d’une expertise du système (S) en cours
de conception ou d’exploitation.
On cherche dans toutes les situations d’améliorer les
performance du système en question vis-à-vis d’une
exigence/demande en attente. Le système (S) amélioré
répond avec robustesse.
On distingue généralement beaucoup de secteurs visés
par cette EP, en l’occurrence la GRH, Métiers, Entreprise,
Impact associatif et bien d’autre …
23
23

Il existe beaucoup de techniques utilisées dans l’EP selon le domaine et
ses caractéristiques structurelles, organisationnelles et fonctionnelles.
Parmi ces techniques nous citerons :
● L’expertise
Les experts humains représentent une bases de données vivante.
Partager avec eux leurs connaissances et leurs vécus aura certes des
répercutions positifs sur le système.
● Le Benchmarks ou étalons de mesures
Les benchmarks/étalon de mesures sont le résultat d’une
consolidation faite par les experts et connaisseurs dans un domaine
précis.
● La mesure
Dans le cas d’une inaccessibilité aux connaissances de l’expert, il n’y a
pas mieux que le mesures à prévoir dans le milieux expérimental.
Les données et observations récoltées seront traités par des
stratégies statistiques.
● La simulation
Le cas échéant les études se feront à l’aide d’outils de simulation
(expérimentaux ou à l’aide de programmes informatiques).
Il existe beaucoup de techniques utilisées dans l’EP selon le domaine et
ses caractéristiques structurelles, organisationnelles et fonctionnelles.
Parmi ces techniques nous citerons :
● L’expertise
Les experts humains représentent une bases de données vivante.
Partager avec eux leurs connaissances et leurs vécus aura certes des
répercutions positifs sur le système.
● Le Benchmarks ou étalons de mesures
Les benchmarks/étalon de mesures sont le résultat d’une
consolidation faite par les experts et connaisseurs dans un domaine
précis.
● La mesure
Dans le cas d’une inaccessibilité aux connaissances de l’expert, il n’y a
pas mieux que le mesures à prévoir dans le milieux expérimental.
Les données et observations récoltées seront traités par des
stratégies statistiques.
● La simulation
Le cas échéant les études se feront à l’aide d’outils de simulation
(expérimentaux ou à l’aide de programmes informatiques).
24
24

Étapes de supervision du système
25
25

26
26

27
27

R.T. : régime transitoire
to : temps de démarrage
tn : temps de l’établissement du régime
nominal.
tPCM : Priode de maintenance
préventive.
tchn : Période de maintenance
currative.
tr : Temps en mise retraite
tm: Temps de mise hors-service.
F: Fiabilité nulle
F95%: Fiabilité minimale tolérée.
Fmax: Fiabilité maximale
Fnom: Fiabilité nominale
tr : durée du régime transitoire.
F(S): Fiabilité du système.
T: le temps
R.T. : régime transitoire
to : temps de démarrage
tn : temps de l’établissement du régime
nominal.
tPCM : Priode de maintenance
préventive.
tchn : Période de maintenance
currative.
tr : Temps en mise retraite
tm: Temps de mise hors-service.
F: Fiabilité nulle
F95%: Fiabilité minimale tolérée.
Fmax: Fiabilité maximale
Fnom: Fiabilité nominale
tr : durée du régime transitoire.
F(S): Fiabilité du système.
T: le temps
28
28

On définit la fiabilité de (S) comme étant la probabilité que le celui-ci
fonctionne correctement dans la période [0, ] et on écrit F(t≤).
De même la défaillance du système D(t≤) est définit par le
complément à 1 de la fiabilité (condition de probabilité).
D’où D(t≤)=[1 - F(t≤)].
Dans le cas de systèmes en série, leur fiabilité résultante est donnée
par :
Alors que pour le cas de système parallèles elle est donnée par :
Autrement, le système est formé par
Une configuration mixte.
On définit la fiabilité de (S) comme étant la probabilité que le celui-ci
fonctionne correctement dans la période [0, ] et on écrit F(t≤).
De même la défaillance du système D(t≤) est définit par le
complément à 1 de la fiabilité (condition de probabilité).
D’où D(t≤)=[1 - F(t≤)].
Dans le cas de systèmes en série, leur fiabilité résultante est donnée
par :
Alors que pour le cas de système parallèles elle est donnée par :
Autrement, le système est formé par
Une configuration mixte.





m
i
i t
F
t
F
1
)
(
)
( 
 




m
i
i t
F
t
F
1
)
(
)
( 








m
i
i t
F
t
F
1
))]
(
1
(
1
[
)
( 
 






m
i
i t
F
t
F
1
))]
(
1
(
1
[
)
( 

29
29

L’évaluation des performances est le cadre recommandé pour tout les situations
où le système fait apparaître une complexité à considérer.
● Technologie
● Gestion des ressources humaines (GRH)
● Energie (Production, Transport et Distribution)
● Stratégie militaire & systèmes de sécurité
● Métrologie (Appareillage et Méthodologies)
● Systèmes éducatifs
● Systèmes économiques
● Protocole & Normes
● Stations Météorologique
● Domaine spatial
● Agriculture
● …
L’évaluation des performances est le cadre recommandé pour tout les situations
où le système fait apparaître une complexité à considérer.
● Technologie
● Gestion des ressources humaines (GRH)
● Energie (Production, Transport et Distribution)
● Stratégie militaire & systèmes de sécurité
● Métrologie (Appareillage et Méthodologies)
● Systèmes éducatifs
● Systèmes économiques
● Protocole & Normes
● Stations Météorologique
● Domaine spatial
● Agriculture
● …
Bicyclettes devant la gare Saint-Pierre
à Gand, Belgique
30
30

Dans ce cadre, le coût de n’importe qu’elle présumée
exercice de maintenance peut excéder et de beaucoup
le coût du système lui même.
Les caractères FIABLE et MAINTENABLE ne nient le
fait que la CHARGE et les UTILISATEURS peuvent
avoir une influence sur l’adéquation.
Certes, des profils de charges et d’utilisation peuvent
apparaître sur la figure ci-contre
Dans ce cadre, le coût de n’importe qu’elle présumée
exercice de maintenance peut excéder et de beaucoup
le coût du système lui même.
Les caractères FIABLE et MAINTENABLE ne nient le
fait que la CHARGE et les UTILISATEURS peuvent
avoir une influence sur l’adéquation.
Certes, des profils de charges et d’utilisation peuvent
apparaître sur la figure ci-contre
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31

Évaluation des performances 28
28
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32

Évaluation des performances 29
29
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33

Concepts fondamentaux
Concepts fondamentaux
Modélisation
Pour la modélisation, le système étudié est appelé système primaire. Son
modèle (équivalent) est une représentation de la réalité et est dit système
secondaire. Par définition un modèle est une représentation simplifiée de la
réalité. Le but majeur de cette opération c’est DÉCRIRE, PRÉDIRE,
EXPLIQUER & RÉAGIR.
Modélisation
Pour la modélisation, le système étudié est appelé système primaire. Son
modèle (équivalent) est une représentation de la réalité et est dit système
secondaire. Par définition un modèle est une représentation simplifiée de la
réalité. Le but majeur de cette opération c’est DÉCRIRE, PRÉDIRE,
EXPLIQUER & RÉAGIR.
Modélisation graphique
C’est une stratégie modélisatrice des
systèmes utilisant le graphique
comme langage et outil de travail.
C’est une stratégie modélisatrice des
systèmes utilisant le graphique
comme langage et outil de travail.
Finalité de la modélisation
Technique : fournir des spécifications claires pour
produire, puis exploiter
Intellectuelle : fournir au métier, une utilité dans les
structures sociétales.
Finalité de la modélisation
Technique : fournir des spécifications claires pour
produire, puis exploiter
Intellectuelle : fournir au métier, une utilité dans les
structures sociétales.
L’Optimisation
Jointure entre les deux domaines, La modélisation
(Projection d’équivalent) et la Simulation (Tests &
Scénarios). C’est le moyen utilisé pour allié efficacité et
utilisabilité de la collecte et la supervision des observations
et conceptions durant l’implantation de processesus.
Les objectifs sont généralement pour des stratégies d’aide à
la décision.
L’Optimisation
Jointure entre les deux domaines, La modélisation
(Projection d’équivalent) et la Simulation (Tests &
Scénarios). C’est le moyen utilisé pour allié efficacité et
utilisabilité de la collecte et la supervision des observations
et conceptions durant l’implantation de processesus.
Les objectifs sont généralement pour des stratégies d’aide à
la décision. 34
34

Les humains n’ont jamais pu résoudre les problème de
leurs entourages que lorsqu’ils ont pu comprendre les
tenants et aboutissant de la question.
Une bonne imagination des réalités est indispensable.
L’image résultante est le MODÈLE qu’on se fait avant
d’entamer l’étape de la préparation de la solution.
La simulation n’est que l’outil pour manipuler le modèle
s’il existe. La simulation est conditionnée par l’exactitude
du modèle. Ce qui signifie que une simulation basée sur un
faux modèle est injustifiable et ne peut en aucun cas
représentée une solution à une problématique posée.
Les humains n’ont jamais pu résoudre les problème de
leurs entourages que lorsqu’ils ont pu comprendre les
tenants et aboutissant de la question.
Une bonne imagination des réalités est indispensable.
L’image résultante est le MODÈLE qu’on se fait avant
d’entamer l’étape de la préparation de la solution.
La simulation n’est que l’outil pour manipuler le modèle
s’il existe. La simulation est conditionnée par l’exactitude
du modèle. Ce qui signifie que une simulation basée sur un
faux modèle est injustifiable et ne peut en aucun cas
représentée une solution à une problématique posée.
35
35

36
36

Outil LPSolve
Soit les problémes linéaires suivants :
Cas réel :
max: x1 + 2x2 - 4x3 -3x4;
x1 + x2 <= 5;
2x1 - x2 >= 0;
-x1 + 3x2 >= 0;
x3 + x4 >= .5;
x3 >= 1.1;
X3 <= 10;
Cas de variables entières
min: -x1 -2 x2 +0.1 x3 +3 x4;
r_1: +x1 +x2 <= 5;
r_2: +2 x1 -x2 >= 0;
r_3: -x1 +3 x2 >= 0;
r_4: +x3 +x4 >= 0.5;
x3 >= 1.1;
int x3;
Outil LPSolve
Cas réel :
max: x1 + 2x2 - 4x3 -3x4;
x1 + x2 <= 5;
2x1 - x2 >= 0;
-x1 + 3x2 >= 0;
x3 + x4 >= .5;
x3 >= 1.1;
X3 <= 10;
Cas de variables entières
min: -x1 -2 x2 +0.1 x3 +3 x4;
r_1: +x1 +x2 <= 5;
r_2: +2 x1 -x2 >= 0;
r_3: -x1 +3 x2 >= 0;
r_4: +x3 +x4 >= 0.5;
x3 >= 1.1;
int x3;
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37

Outil LiPS
Résoudre le programme linéaire
suivant :
max: x1 + 2x2 - 4x3 -3x4;
x1 + x2 <= 5;
2x1 - x2 >= 0;
-x1 + 3x2 >= 0;
x3 + x4 >= .5;
x3 >= 1.1;
X3 <= 10;
Outil LiPS
suivant :
max: x1 + 2x2 - 4x3 -3x4;
x1 + x2 <= 5;
2x1 - x2 >= 0;
-x1 + 3x2 >= 0;
x3 + x4 >= .5;
x3 >= 1.1;
X3 <= 10;
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38

Outil LiPS
suivant :
max: x1 + 2x2 - 4x3 -3x4;
x1 + x2 <= 5;
2x1 - x2 >= 0;
-x1 + 3x2 >= 0;
x3 + x4 >= .5;
x3 >= 1.1;
X3 <= 10;
Outil LiPS
suivant :
max: x1 + 2x2 - 4x3 -3x4;
x1 + x2 <= 5;
2x1 - x2 >= 0;
-x1 + 3x2 >= 0;
x3 + x4 >= .5;
x3 >= 1.1;
X3 <= 10;
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39

Outil Octave
Soit l’équation différentielle suivante :
>> function xdot = f (x, t)
> r = 0.25;
> k = 1.4;
> a = 1.5;
> b = 0.16;
> c = 0.9;
> d = 0.8;
> xdot(1) = r*x(1)*(1-x(1)/k)-a*x(1)*x(2)/(1+b*x(1));
> xdot(2) = c*a*x(1)*x(2)/(1+b*x(1))-d*x(2);
> endfunction
Et dont les condition initiale sont :
> x0 = [1; 2];
Le paramètre t est définit par
> t = linspace (0, 50, 200)';
La solution du problème est donnée par l’intergration
> x = lsode ("f", x0, t);
Le traçage de la fonction se fait par invocation de :
> plot (t, x)
Outil Octave
Soit l’équation différentielle suivante :
>> function xdot = f (x, t)
> r = 0.25;
> k = 1.4;
> a = 1.5;
> b = 0.16;
> c = 0.9;
> d = 0.8;
> xdot(1) = r*x(1)*(1-x(1)/k)-a*x(1)*x(2)/(1+b*x(1));
> xdot(2) = c*a*x(1)*x(2)/(1+b*x(1))-d*x(2);
> endfunction
Et dont les condition initiale sont :
> x0 = [1; 2];
Le paramètre t est définit par
> t = linspace (0, 50, 200)';
La solution du problème est donnée par l’intergration
> x = lsode ("f", x0, t);
Le traçage de la fonction se fait par invocation de :
> plot (t, x)
40
40

Outil Maxima
Soit la tâche suivante :
Resoudre les équation suivantes
Outil Maxima
Soit la tâche suivante :
Resoudre les équation suivantes
41
41

Outil Sage
Après installation de SAGE, utiliser
le fichier PDF de l’aide pour
expérimenter le logiciel.
Taper, en ligne de comande
Sage
Et puis taper
Sage notebook
Outil Sage
Après installation de SAGE, utiliser
le fichier PDF de l’aide pour
expérimenter le logiciel.
Sage
Et puis taper
Sage notebook
42
42

Outil Sage
Après installation de SAGE, utiliser le fichier PDF de
l’aide pour expérimenter le logiciel.
Sage notebook
f(x)=x^3+1
f(2)
show(f)
lim(f,x=1)
lim((x^2-1)/(x-1),x=1)
lim(f,x=1,dir='-'); lim(f,x=1,dir='right'); f(1)
diff(f,x); derivative(f,x); f.derivative(x)
derivative(sinh(x^2+sqrt(x-1)),x)
show(derivative(sinh(x^2+sqrt(x-1)),x,3))
P=plot(f,(x,-1,1))
c=1/3
fprime=derivative(f,x)
L(x)=fprime(c)*(x-c)+f(c)
Q=plot(L,(x,-1,1), color="red", linestyle="--")
P+Q
Outil Sage
Après installation de SAGE, utiliser le fichier PDF de
l’aide pour expérimenter le logiciel.
Sage notebook
f(x)=x^3+1
f(2)
show(f)
lim(f,x=1)
lim((x^2-1)/(x-1),x=1)
lim(f,x=1,dir='-'); lim(f,x=1,dir='right'); f(1)
diff(f,x); derivative(f,x); f.derivative(x)
derivative(sinh(x^2+sqrt(x-1)),x)
show(derivative(sinh(x^2+sqrt(x-1)),x,3))
P=plot(f,(x,-1,1))
c=1/3
fprime=derivative(f,x)
L(x)=fprime(c)*(x-c)+f(c)
Q=plot(L,(x,-1,1), color="red", linestyle="--")
P+Q
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43

Outil Scilab
Après installation de Scilab, utiliser de même
le fichier PDF de l’aide pour expérimenter le
logiciel.
Scilab
xdel(winsid());
f=scf(1);
x=linspace(-%pi,%pi,50);
y=sin(x);
plot2d(x,y);
Outil Scilab
Après installation de Scilab, utiliser de même
le fichier PDF de l’aide pour expérimenter le
logiciel.
Scilab
xdel(winsid());
f=scf(1);
x=linspace(-%pi,%pi,50);
y=sin(x);
plot2d(x,y);
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44

Outil XCOS de Scilab
Après lancement de Scilab, Applications | Xcos
Exécuter le diagramme suivant :
Outil XCOS de Scilab
Après lancement de Scilab, Applications | Xcos
Exécuter le diagramme suivant :
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45

Travail dirigé
Soit le système linéaire suivant :
1. Montrer que si on exprime les inconnues xi à partir de
l’équation ayant le même indice, une méthode de calcul
peut être déduite.
2. Démontrer cette action graphiquement
3. Quelle sont les difficultés qu’on peut renconter en utilisant
cette stratégie
4. En s’appuyant sur le calcul de l’erreur Δe déduite de
chaque équation, on peut déduire une stratégie de
détermination des inconnues.
Formaliser le problème et discuter les formalités.
Ecrire les algorithmes
Travail dirigé
1. Montrer que si on exprime les inconnues xi à partir de
l’équation ayant le même indice, une méthode de calcul
peut être déduite.
2. Démontrer cette action graphiquement
3. Quelle sont les difficultés qu’on peut renconter en utilisant
cette stratégie
4. En s’appuyant sur le calcul de l’erreur Δe déduite de
chaque équation, on peut déduire une stratégie de
détermination des inconnues.
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46

Travail dirigé
1. Montrer qu’on peut exprimer ces résultats par un polynome
de degré n.
2. Déterminer l’erreur quadratique de l’estimation Δe2
3. En s’appuyant sur le calcul de l’erreur quadratique Δe2
,
déduite les coefficients des monômes du polynome Pn
(x).
Travail dirigé
1. Montrer qu’on peut exprimer ces résultats par un polynome
de degré n.
2. Déterminer l’erreur quadratique de l’estimation Δe2
3. En s’appuyant sur le calcul de l’erreur quadratique Δe2
,
déduite les coefficients des monômes du polynome Pn
(x).
47
47

Système linéaire
Système linéaire
Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée e(t)
alors λ*s(t) est la réponse à l'entrée λ*e(t).
Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée e1(t) et
s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)] est la
réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)].
Allure de la courbe d’un SL : pour un système linéaire, en régime
nominal (en fonctionnement normal et sans excitation
perturbatrice), la courbe s = f(e) est une droite.
Un système est continu, par opposition à un système discret,
lorsque les variations de ses composantes sont continûment
observable.
Un système est invariant (stationnaire) si ses caractéristiques
sont insensibles aux changements du temps.
selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes réactions
indépendamment du temps.
Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée e(t)
alors λ*s(t) est la réponse à l'entrée λ*e(t).
Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée e1(t) et
s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)] est la
réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)].
Allure de la courbe d’un SL : pour un système linéaire, en régime
nominal (en fonctionnement normal et sans excitation
perturbatrice), la courbe s = f(e) est une droite.
Un système est continu, par opposition à un système discret,
lorsque les variations de ses composantes sont continûment
observable.
selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes réactions
indépendamment du temps.
Un système d’équations linéaires SEL (ζ) est la
composition faite de n équations linéaires :
a11x1 + a12x2 + … = k1
a21x1 + a22x2 + … = k2
….
an1x1 + an2x2 + … = kn
où x1, x2, … xp sont les p inconnues du système alors que
k1, k2, … kn sont les n termes du second membre ou
constantes et les aij sont les n*p coefficients du système
ou multiplicateur des variable xi.
Géométriquement (ζ), les n équations représentent les n
droites en intersection dans un référentiel Rn
.
Un système d’équations linéaires SEL (ζ) est la
composition faite de n équations linéaires :
a11x1 + a12x2 + … = k1
a21x1 + a22x2 + … = k2
….
an1x1 + an2x2 + … = kn
où x1, x2, … xp sont les p inconnues du système alors que
k1, k2, … kn sont les n termes du second membre ou
constantes et les aij sont les n*p coefficients du système
ou multiplicateur des variable xi.
Géométriquement (ζ), les n équations représentent les n
droites en intersection dans un référentiel Rn
.
Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier
que les systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant,
autour d'un point de considération finie (équilibre
fonctionnel), on obtient un système linéaire qui correspond
au système non linéaire.
Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de H.W.
Bode (1905-1982) à la fin de la II guerre mondiale. Les
travaux de R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin
(1908-1988) et al et surtout de R.Kalman (1930) ont
conduit nombre d'automaticiens à privilégier la
représentation d‘espace d’état à partir des années 1960.
Un système est linéaire s’il se comporte linéairement par
rapport à ses composantes intrinsèques.
Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier
que les systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant,
autour d'un point de considération finie (équilibre
fonctionnel), on obtient un système linéaire qui correspond
au système non linéaire.
Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de H.W.
Bode (1905-1982) à la fin de la II guerre mondiale. Les
travaux de R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin
(1908-1988) et al et surtout de R.Kalman (1930) ont
conduit nombre d'automaticiens à privilégier la
représentation d‘espace d’état à partir des années 1960.
Un système est linéaire s’il se comporte linéairement par
rapport à ses composantes intrinsèques.
Bellman
Bellman
Kalman
Kalman
Pontryagin
Pontryagin
Bode
Bode 48
48

Système linéaire
Système linéaire Concours de droites :
Linéarisation
Concours de droites :
Linéarisation
Concours de droites : Domaine
Concours de droites : Domaine
Concours de courbes
Cas de
L’investissement/Amortissement
Concours de courbes
Cas de
L’investissement/Amortissement
La première difficultés réside en la confusion faite en comparant les SL
aux SEL. Le cadre de ce cours concerne plus les SL malgré que ceux-ci
peuvent être régis, dans des cas précis (économique par exemple) par
des SEL.
La deuxième ambiguïté touche la considération du système et du
système mathématique qui lui est associé comme une seule entité. La
réalité est tout à fait distincte.
k étant la raideur du ressort.
L’oscillation est fonction de
l’environnement.
Ces des système qui se manifestent proportionnellement
à la cause qui est à l’origine.
Dans cette même situation, Les SEL sont une forme d’écriture (modèles
simplifiés, modèles linéarisés) représentant des cas d’équivalents de
systèmes linéaires.
C’est le cas des systèmes économiques où nous décrivons l’évolution des
variables du système par une proportionnalité d’ordre 1.
z=CT
*X
Sous des contraintes Φ(X)=b et pour lesquelles X≥0.
La première difficultés réside en la confusion faite en comparant les SL
aux SEL. Le cadre de ce cours concerne plus les SL malgré que ceux-ci
peuvent être régis, dans des cas précis (économique par exemple) par
des SEL.
La deuxième ambiguïté touche la considération du système et du
système mathématique qui lui est associé comme une seule entité. La
réalité est tout à fait distincte.
k étant la raideur du ressort.
L’oscillation est fonction de
l’environnement.
Ces des système qui se manifestent proportionnellement
à la cause qui est à l’origine.
Dans cette même situation, Les SEL sont une forme d’écriture (modèles
simplifiés, modèles linéarisés) représentant des cas d’équivalents de
systèmes linéaires.
C’est le cas des systèmes économiques où nous décrivons l’évolution des
variables du système par une proportionnalité d’ordre 1.
z=CT
*X
Sous des contraintes Φ(X)=b et pour lesquelles X≥0.
49
49

Système linéaire
Système linéaire
Formalisation
x1 + x2+x3 ≤ 100
6*x1 + 2*x2 + 3*x3 ≤ 450
3*x2 + x3 ≤ 150
X3 ≤ 60
X ≥ 0 condition économique
Total bénéfice à maximiser (en DA). Donc,
Z=81*x1 +90*x2 + 70*x3
Nous remarquons que les plans dictées par le concours des équations des
contraintes AX=b (une fois saturées) délimitent un domaine (Ω) qui contient la
solution du problème posé.
x1 + x2+x3 = 100 : la plan α
6*x1 + 2*x2 + 3*x3 = 450 : la plan β
3*x2 + x3 = 150 : la plan γ
X3 = 60 : la plan δ
Le domaine représente la région volumique dans laquelle se trouve le point

Zopt
= {x1
opt
, x2
opt
, x3
opt
}qui équivaut à la valeur de zmax.
Selon le module SOLVEUR d’excel de Microsoft les résultats sont :
{50, 50,0} et le bénéfice total Zopt
est égal à 8550 DA. Le nombre d’unités à
produire de type C est égal à 0, ceci veut dire que c’est pas profitable d’en
produire.
Formalisation
x1 + x2+x3 ≤ 100
6*x1 + 2*x2 + 3*x3 ≤ 450
3*x2 + x3 ≤ 150
X3 ≤ 60
X ≥ 0 condition économique
Total bénéfice à maximiser (en DA). Donc,
Z=81*x1 +90*x2 + 70*x3
Nous remarquons que les plans dictées par le concours des équations des
contraintes AX=b (une fois saturées) délimitent un domaine (Ω) qui contient la
solution du problème posé.
x1 + x2+x3 = 100 : la plan α
6*x1 + 2*x2 + 3*x3 = 450 : la plan β
3*x2 + x3 = 150 : la plan γ
X3 = 60 : la plan δ
Le domaine représente la région volumique dans laquelle se trouve le point

Zopt
= {x1
opt
, x2
opt
, x3
opt
}qui équivaut à la valeur de zmax.
Selon le module SOLVEUR d’excel de Microsoft les résultats sont :
{50, 50,0} et le bénéfice total Zopt
est égal à 8550 DA. Le nombre d’unités à
produire de type C est égal à 0, ceci veut dire que c’est pas profitable d’en
produire.
Modélisation graphique du SL
Résultats du problème sous Excel
Résultats du problème sous Excel
50
50

Système linéaire
Système linéaire
Méthode de Simplexe
Soit à optimiser, par la méthode Simplexe la fonction objectif Z = CT
.X sous les contraintes
1(X) ≤ b1, 2(X) = b2 et 3(X) ≥ b3
X≥0 (condition économique), b1  b2  b3 = b : vecteur second membre
Les i sont les fonction contraintes d’inégalités i  [1,m].
Une écriture condensée de la forme (PL) :
Z = CT
.X
s.c.
(X) ≤ b
X≥0
Est toujours possible.
Solution réalisable
Par addition / soustraction de quantités si à chaque équation contrainte, nous obtenons la forme
aisée suivante (forme PL1) :
Z = CT
.X
s.c.
’(X, si) = ’(X’) = b avec X’=X  si.
X≥0
Si nous considérons N, l’ensemble des indices des variables de X, on peut toujours choisir m
variables parmi n. Ces dernières formerons la solution SUPPOSEE du problème.
N = {1, 2, 3, …, n}
Avec les m indices parmi n, nous construirons un ensemble β dit BASE REALISABLE.
Soit à optimiser, par la méthode Simplexe la fonction objectif Z = CT
.X sous les contraintes
1(X) ≤ b1, 2(X) = b2 et 3(X) ≥ b3
X≥0 (condition économique), b1  b2  b3 = b : vecteur second membre
Les i sont les fonction contraintes d’inégalités i  [1,m].
Une écriture condensée de la forme (PL) :
Z = CT
.X
s.c.
(X) ≤ b
X≥0
Est toujours possible.
Solution réalisable
Par addition / soustraction de quantités si à chaque équation contrainte, nous obtenons la forme
aisée suivante (forme PL1) :
Z = CT
.X
s.c.
’(X, si) = ’(X’) = b avec X’=X  si.
X≥0
Si nous considérons N, l’ensemble des indices des variables de X, on peut toujours choisir m
variables parmi n. Ces dernières formerons la solution SUPPOSEE du problème.
N = {1, 2, 3, …, n}
Avec les m indices parmi n, nous construirons un ensemble β dit BASE REALISABLE.
51
51

Système linéaire
Système linéaire
D’où, une solution réalisable est la considération des variable de la base réalisable comme solution possible au
problème tel qu’il a été décrit (forme PL1), les variables considérées sont appelées variables de base.
Par contre, le complément de β dans N noté β=(N-β) comprend des variables dites variables hors-base.
Le problème est alors décrit par :
Zβ = CB
T
.Xβ
B.Xβ = b
Xβ≥0
Avec Xβ=0 et CBC, Zβ = Fonction objectif pour une base β. B est la matrice de passage formée par les colonne relatives
aux variable de base seulement et elle représente le complément à A formée par les coefficients des .
La solution recherchée est donnée par Xβ = B-1
b.
Formulation du Simplexe
Le problème ainsi formulé résulte d’une image globale donnée par :
Z = Zβ + Zβ = CB
T
.Xβ + CB
T
.Xβ
B.Xβ + B.Xβ = b
Xβ ≥ 0 et Xβ ≥ 0
Dans l’équation de Z nous substituons X par son expression et nous aurons :
Z = CB
T
.B-1
b + CB
T
.Xβ
Si nous choisissons xi  β par défaut et par la même occasion, nous sous-estimons une autre xj  β, nous commettons
une erreur donnée par :
- yi ordonée de xi et égale à bi/aij , j étant la colonne de xi alors i  β. yimin=Min{yi; i  β}
- cBj quantité dite coùt marginal de la variable xj notée j. jmax=Max{j, j  β}
La correction de cette erreur d’estimation est reprise ans l’Algorithme du Simplexe.
D’où, une solution réalisable est la considération des variable de la base réalisable comme solution possible au
problème tel qu’il a été décrit (forme PL1), les variables considérées sont appelées variables de base.
Par contre, le complément de β dans N noté β=(N-β) comprend des variables dites variables hors-base.
Le problème est alors décrit par :
Zβ = CB
T
.Xβ
B.Xβ = b
Xβ≥0
Avec Xβ=0 et CBC, Zβ = Fonction objectif pour une base β. B est la matrice de passage formée par les colonne relatives
aux variable de base seulement et elle représente le complément à A formée par les coefficients des .
La solution recherchée est donnée par Xβ = B-1
b.
Formulation du Simplexe
Le problème ainsi formulé résulte d’une image globale donnée par :
Z = Zβ + Zβ = CB
T
.Xβ + CB
T
.Xβ
B.Xβ + B.Xβ = b
Xβ ≥ 0 et Xβ ≥ 0
Dans l’équation de Z nous substituons X par son expression et nous aurons :
Z = CB
T
.B-1
b + CB
T
.Xβ
Si nous choisissons xi  β par défaut et par la même occasion, nous sous-estimons une autre xj  β, nous commettons
une erreur donnée par :
- yi ordonée de xi et égale à bi/aij , j étant la colonne de xi alors i  β. yimin=Min{yi; i  β}
- cBj quantité dite coùt marginal de la variable xj notée j. jmax=Max{j, j  β}
La correction de cette erreur d’estimation est reprise ans l’Algorithme du Simplexe.
52
52

Système linéaire
Système linéaire
Méthode de Simplexe (Algorithme)
Après la construction du PL2 à partir de PL0 et PL1
Zβ = CB
T
.Xβ
B.Xβ = b
Xβ≥0
Nous choisirons b sachant que la solution est donnée par Xβ = B-1
b.
On forme xβ à partir des m variables d’écart si introduite lors de la construction de β.
Les coût marginaux des variables hors base est alors prise j=cj.
On forme le tableau T={tij}
Dans ce qui suivra, nous appliquerons les deux critère de G. Dantzig (1914-2005)
Cas d’une minimisation
1. Si tous les Dj sont négatifs ou nuls, le problème converge, on s’arrête.
2. Calculer jmax=Max{j, j  β} la colonne correspondante est relative à la variable entrante notée jo.
3. Calculer l’ordonné minimal yimin=Min{yi; i  β} et par suite l’indice de la variable de base à faire sortir io.
4. L’intersection de la colonne jo et de la ligne io donnera la position du pivot aio,jo. Toute la ligne io de la matrice A
est alors divisée par celui-ci (Réduction de Gauss-Jordan ).
5. Les autres lignes sont transformées selon la formule suivante :
Le tableau T est remplacé par sa résultante T’ après ces transformations et on revient vers l’étape 1).
La méthode du Simplexe, des tableaux est la plus commode et simple à utiliser, implémenté sous forme code
informatique à déployer pour une exécution Stand-Alone ou à travers des Applets Java.
Méthode de Simplexe (Algorithme)
Après la construction du PL2 à partir de PL0 et PL1
Zβ = CB
T
.Xβ
B.Xβ = b
Xβ≥0
Nous choisirons b sachant que la solution est donnée par Xβ = B-1
b.
On forme xβ à partir des m variables d’écart si introduite lors de la construction de β.
Les coût marginaux des variables hors base est alors prise j=cj.
On forme le tableau T={tij}
Dans ce qui suivra, nous appliquerons les deux critère de G. Dantzig (1914-2005)
Cas d’une minimisation
1. Si tous les Dj sont négatifs ou nuls, le problème converge, on s’arrête.
2. Calculer jmax=Max{j, j  β} la colonne correspondante est relative à la variable entrante notée jo.
3. Calculer l’ordonné minimal yimin=Min{yi; i  β} et par suite l’indice de la variable de base à faire sortir io.
4. L’intersection de la colonne jo et de la ligne io donnera la position du pivot aio,jo. Toute la ligne io de la matrice A
est alors divisée par celui-ci (Réduction de Gauss-Jordan ).
5. Les autres lignes sont transformées selon la formule suivante :
Le tableau T est remplacé par sa résultante T’ après ces transformations et on revient vers l’étape 1).
La méthode du Simplexe, des tableaux est la plus commode et simple à utiliser, implémenté sous forme code
informatique à déployer pour une exécution Stand-Alone ou à travers des Applets Java.
George Dantzig
George Dantzig
Tableau T du Simplexe à
transformer en T’
transformer en T’
Camille
Jordan
1838-1922
Camille
Jordan
1838-1922
Carl Friedrich
Gauss
1777-1855
Carl Friedrich
Gauss
1777-1855
    1
1
1
,
1
1
,
1
*
'
' 








 n
j
et
m
i
si
sauf
n
j
et
m
i
pour
t
t
t
t o
o ij
j
i
ij
ij
    1
1
1
,
1
1
,
1
*
'
' 








 n
j
et
m
i
si
sauf
n
j
et
m
i
pour
t
t
t
t o
o ij
j
i
ij
ij
o
o
o
o j
i
j
i
j
i t
t
t /
' 
o
o ij
j
i
ij
ij t
t
t
t
a
on
n
j
et
m
i
pour *
'
'
1
1 




 o
o ij
j
i
ij
ij t
t
t
t
a
on
n
j
et
m
i
pour *
'
'
1
1 





53
53

Système linéaire
Système linéaire
George Dantzig
George Dantzig
transformer en T’
transformer en T’
Camille
Jordan
1838-1922
Camille
Jordan
1838-1922
Carl Friedrich
Gauss
1777-1855
Carl Friedrich
Gauss
1777-1855
54
54

Système linéaire
Système linéaire
Maximize p = 81x +90y + 70z subject to
x + y + t <= 100 x + y + t + s1 + 0.s2 + 0.s3 + 0.s4 <= 100
6x + 2y + 3t <= 450 6x + 2y + 3t + 0.s1 + s2 + 0.s3 + 0.s4 <= 450
3y + t <= 150 3y + t + 0.s1 + 0.s2 + s3 + 0.s4 <= 150
t <= 60 t + 0.s1 + 0.s2 + 0.s3 + s4 <= 60
X,y,t ≥ 0 (x=x1, y=x2 et t=x3)
si variable d’écart, β0 : base initiale = {s1, s2, s3, s4}
Tableau #1
x y t s1 s2 s3 s4 p
1 1 1 1 0 0 0 0 100
6 2 3 0 1 0 0 0 450
0 3 1 0 0 1 0 0 150
0 0 1 0 0 0 1 0 60
-81 -90 -70 0 0 0 0 1 0
j≤0 donc on continue, on fait sortir s3 (ord=150/3ordmin) et entrer y (jmax=|-90|)
Tableau #2, β1 : base 1= {s1, s2, y, s4}
x y t s1 s2 s3 s4 p
1 0 0.667 1 0 -0.333 0 0 50
6 0 2.33 0 1 -0.667 0 0 350
0 1 0.333 0 0 0.333 0 0 50
0 0 1 0 0 0 1 0 60
-81 0 -40 0 0 30 0 1 4500
j≤0 donc on continue, on fait sortir s1 (ord=50/1ordmin) et entrer x (jmax=|-80|)
Tableau #3, β2 : base initiale = {x, s2, y, s4}
x y t s1 s2 s3 s4 p
1 0 0.667 1 0 -0.333 0 0 50
0 0 -1.67 -6 1 1.33 0 0 50
0 1 0.333 0 0 0.333 0 0 50
0 0 1 0 0 0 1 0 60
0 0 14 81 0 3 0 1 8550,
j≥0 donc convergence, d’où x=x1=50, y=x2=50 et t=x3=0 alors Zopt=8550
Maximize p = 81x +90y + 70z subject to
x + y + t <= 100 x + y + t + s1 + 0.s2 + 0.s3 + 0.s4 <= 100
6x + 2y + 3t <= 450 6x + 2y + 3t + 0.s1 + s2 + 0.s3 + 0.s4 <= 450
3y + t <= 150 3y + t + 0.s1 + 0.s2 + s3 + 0.s4 <= 150
t <= 60 t + 0.s1 + 0.s2 + 0.s3 + s4 <= 60
X,y,t ≥ 0 (x=x1, y=x2 et t=x3)
si variable d’écart, β0 : base initiale = {s1, s2, s3, s4}
Tableau #1
x y t s1 s2 s3 s4 p
1 1 1 1 0 0 0 0 100
6 2 3 0 1 0 0 0 450
0 3 1 0 0 1 0 0 150
0 0 1 0 0 0 1 0 60
-81 -90 -70 0 0 0 0 1 0
j≤0 donc on continue, on fait sortir s3 (ord=150/3ordmin) et entrer y (jmax=|-90|)
Tableau #2, β1 : base 1= {s1, s2, y, s4}
x y t s1 s2 s3 s4 p
1 0 0.667 1 0 -0.333 0 0 50
6 0 2.33 0 1 -0.667 0 0 350
0 1 0.333 0 0 0.333 0 0 50
0 0 1 0 0 0 1 0 60
-81 0 -40 0 0 30 0 1 4500
j≤0 donc on continue, on fait sortir s1 (ord=50/1ordmin) et entrer x (jmax=|-80|)
Tableau #3, β2 : base initiale = {x, s2, y, s4}
x y t s1 s2 s3 s4 p
1 0 0.667 1 0 -0.333 0 0 50
0 0 -1.67 -6 1 1.33 0 0 50
0 1 0.333 0 0 0.333 0 0 50
0 0 1 0 0 0 1 0 60
0 0 14 81 0 3 0 1 8550,
j≥0 donc convergence, d’où x=x1=50, y=x2=50 et t=x3=0 alors Zopt=8550 55
55

Système linéaire
Système linéaire
56
56

Système non linéaire
Les sciences Physiques s’adaptent aux ressemblance des systèmes non linéaires, contrairement
à ceux dits linéaire. Ces derniers, sont des cas de systèmes qui ne satisfont pas aux principes
de la superposition, ce qui indique, que la réponse d'un système non linéaire n’est pas
directement proportionnelle à la ressource donnée en entrée.
Alors qu’en mathématiques, les systèmes d'équations non linéaires sont des écritures dans
lesquelles les inconnues apparaissent comme des variables d'un polynôme de degré supérieur à
un ou dans l'argument d'une fonction qui n’est pas un polynôme de degré un. Les systèmes
non linéaires sont généralement des descriptions plus ou moins justifiées. Le système dans
lequel (par opposition aux systèmes linéaires) l'effet des facteurs externes ne sont pas
purement additive, et peuvent même avoir des effets perturbateurs. Les systèmes non linéaires
ne peuvent pas être décomposées en plusieurs parties et réassemblés autour du même
contexte, et ne varient pas en fonction d'un changement dans une entrée. La plupart des
processus économiques et/ou de société sont non linéaires où l'analyse mathématique (à
quelques exceptions près) est incapable de fournir des solutions générales.
En d'autres termes, dans un système d'équations non linéaires, l'équation (s) de la sortie ne
peut pas être écrite comme une combinaison linéaire des variables inconnues.
En général, le comportement d'un système non linéaire est régit par un système d'équations
non linéaires.
Les sciences Physiques s’adaptent aux ressemblance des systèmes non linéaires, contrairement
à ceux dits linéaire. Ces derniers, sont des cas de systèmes qui ne satisfont pas aux principes
de la superposition, ce qui indique, que la réponse d'un système non linéaire n’est pas
directement proportionnelle à la ressource donnée en entrée.
Alors qu’en mathématiques, les systèmes d'équations non linéaires sont des écritures dans
lesquelles les inconnues apparaissent comme des variables d'un polynôme de degré supérieur à
un ou dans l'argument d'une fonction qui n’est pas un polynôme de degré un. Les systèmes
non linéaires sont généralement des descriptions plus ou moins justifiées. Le système dans
lequel (par opposition aux systèmes linéaires) l'effet des facteurs externes ne sont pas
purement additive, et peuvent même avoir des effets perturbateurs. Les systèmes non linéaires
ne peuvent pas être décomposées en plusieurs parties et réassemblés autour du même
contexte, et ne varient pas en fonction d'un changement dans une entrée. La plupart des
processus économiques et/ou de société sont non linéaires où l'analyse mathématique (à
quelques exceptions près) est incapable de fournir des solutions générales.
En d'autres termes, dans un système d'équations non linéaires, l'équation (s) de la sortie ne
peut pas être écrite comme une combinaison linéaire des variables inconnues.
En général, le comportement d'un système non linéaire est régit par un système d'équations
non linéaires.
57
57

Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée
e(t) alors *s(t) est la réponse à l'entrée *e(t).
λ λ
Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée
e1(t) et s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)]
est la réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)].
Allure de la courbe d’un SNL : pour un système NON
linéaire, en régime nominal (en fonctionnement normal et
sans excitation perturbatrice), la courbe s = f(e) n’est pas
une droite. Un système SNL est continu, par opposition à un
SNL dit discret, lorsque les variations de ses composantes
sont continûment observable dans le cadre de son domaine
de définition δ.
selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes
réactions indépendamment du temps.
Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée
e(t) alors *s(t) est la réponse à l'entrée *e(t).
λ λ
Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée
e1(t) et s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)]
est la réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)].
Allure de la courbe d’un SNL : pour un système NON
linéaire, en régime nominal (en fonctionnement normal et
sans excitation perturbatrice), la courbe s = f(e) n’est pas
une droite. Un système SNL est continu, par opposition à un
SNL dit discret, lorsque les variations de ses composantes
sont continûment observable dans le cadre de son domaine
de définition δ.
selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes
réactions indépendamment du temps.
Un système d’équations non linéaires SENL (ζ) est la composition
faite de m équations non-linéaires :
f1(X) = 1(X)
f2(X) = 2(X)
….
fm(X) = m(X)
où X={x1, x2, … xp} sont les p inconnues du système alors que 1,
2, … n sont les m fonctions du second membre, elles même
dépendantes de X.
Géométriquement, les m équations représentent les m courbes
(α, β, …) en intersection dans un référentiel Rn
.
Un système d’équations non linéaires SENL (ζ) est la composition
faite de m équations non-linéaires :
f1(X) = 1(X)
f2(X) = 2(X)
….
fm(X) = m(X)
où X={x1, x2, … xp} sont les p inconnues du système alors que 1,
2, … n sont les m fonctions du second membre, elles même
dépendantes de X.
Géométriquement, les m équations représentent les m courbes
(α, β, …) en intersection dans un référentiel Rn
.
Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier que les
systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant (cas de systèmes
linéarisable) un SNL, autour d'un point A de considération finie
(situation ou état du système), on obtient un système linéaire
qui correspond à une approximation grossière du système non
linéaire d’origine.
Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de H.W.Bode
(1905-1982) à la fin de la IIème
guerre mondiale. Les travaux de
R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin et al (1908-1988)
surtout de R.Kalman (1930) ont conduit nombre d'automaticiens
à privilégier la représentation d‘espace d’état à partir des
années 1960.
Un système est non linéaire s’il se comporte non linéairement
par rapport à ses composantes intrinsèques.
Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier que les
systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant (cas de systèmes
linéarisable) un SNL, autour d'un point A de considération finie
(situation ou état du système), on obtient un système linéaire
qui correspond à une approximation grossière du système non
linéaire d’origine.
Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de H.W.Bode
(1905-1982) à la fin de la IIème
guerre mondiale. Les travaux de
R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin et al (1908-1988)
surtout de R.Kalman (1930) ont conduit nombre d'automaticiens
à privilégier la représentation d‘espace d’état à partir des
années 1960.
Un système est non linéaire s’il se comporte non linéairement
par rapport à ses composantes intrinsèques.
Bode
Bode
Bellman
Bellman
Kalman
Kalman
Pontryagin
Pontryagin
58
58

Cas de l’équation
f(u)=u3
− u − 1 = 0
Cas de l’équation
f(u)=u3
− u − 1 = 0
Pr. Edward Lorenz (1917-2008),
professeur en mathématiques, MIT
Pr. Edward Lorenz (1917-2008),
professeur en mathématiques, MIT
Le Pr. Edward Lorenz est le père de la théorie
du chaos. Il observa le phénomène en 1961 et
est à l’origine de la découverte de ce qui
s'appellera plus tard la théorie du chaos par
hasard, à la suite de calculs menés pour des
prévisions dans le domaine de la météo.
le simple battement d'ailes d'un papillon au
Brésil pourrait déclencher une tornade au
Texas
Le Pr. Edward Lorenz est le père de la théorie
du chaos. Il observa le phénomène en 1961 et
est à l’origine de la découverte de ce qui
s'appellera plus tard la théorie du chaos par
hasard, à la suite de calculs menés pour des
prévisions dans le domaine de la météo.
le simple battement d'ailes d'un papillon au
Brésil pourrait déclencher une tornade au
Texas
La forme d’équation donnée par :
f (X) = C
Est dite non linéaire si elle n’est pas une application linéaire
vérifiant les condition de superposition et de proportionnalité.
L'équation est dite homogène si C = 0.
Le définition f(X)=C est très générale au même moment que X peut
être toute composante du système sensible mathématiquement
(nombre, vecteur, fonction, … etc.), et l’expression de f(X) peut avoir
littéralement beaucoup de formes, une forme récurrente, l'intégrale
ou différentielle avec association de contraintes (telles que les valeurs
initiales/limites). Si f(x) contient une différenciation par rapport à X,
le résultat sera une équation différentielle.
Une équation algébrique (polynomiale) non linéaire donnée par
a.x3
+b.x-3=0
Une équation non linéaire itérative est toujours la résultante d’une
écriture de type :
u(k+1)
= g(u(k)
)
Une équation différentielle, quant à elle est donnée par
du/dx=-A*u3
.
La forme d’équation donnée par :
f (X) = C
Est dite non linéaire si elle n’est pas une application linéaire
vérifiant les condition de superposition et de proportionnalité.
L'équation est dite homogène si C = 0.
Le définition f(X)=C est très générale au même moment que X peut
être toute composante du système sensible mathématiquement
(nombre, vecteur, fonction, … etc.), et l’expression de f(X) peut avoir
littéralement beaucoup de formes, une forme récurrente, l'intégrale
ou différentielle avec association de contraintes (telles que les valeurs
initiales/limites). Si f(x) contient une différenciation par rapport à X,
le résultat sera une équation différentielle.
Une équation algébrique (polynomiale) non linéaire donnée par
a.x3
+b.x-3=0
Une équation non linéaire itérative est toujours la résultante d’une
écriture de type :
u(k+1)
= g(u(k)
)
Une équation différentielle, quant à elle est donnée par
du/dx=-A*u3
.
Attracteur
étrange de
Lorenz
Attracteur
étrange de
Lorenz
59
59

Problème type :
Un fournisseur de service GSM veut développer une nouvelle stratégie en
faveur de ses clients de marque. Pour cela, il pensa à vérifier si les
emplacements de ses cellules (antennes et équipements afférents) sont dans les
recommandations optimales de localisation. La répartition de ses clients
dépend des localités où ceux-ci exercent leur activités. La nouvelle stratégie
consiste à favoriser le client selon un profil des activités contractées et en
cours avec le fournisseur. Pour cela, répartir les antennes d’une manière
optimale selon la distance la plus courte possible des clients en question.
Formalisation
D={dip} : Vecteurs des distances qui séparent les différents antennes ai
de l’antenne principale ap(m)
xi ,yi : coordonnées du point ai d’une antenne.
dij = ([(xj-xi)2
+(yj-yi)2
]^(1/2)) : distance d’un point i à un point j (m)
S=Σdij
2
: Somme des distances à minimiser
Conditions de couverture, zone d’ombre (conditions techniques)
Une représentation Graphe est toujours valable, mais elle ne peut identifier
que les caractères liés à une géométrie 2D seulement. Le problème donné est
un cas de système où est demandé d’optimiser (Minimiser) les distances
séparant les antennes secondaires par rapport à l’antenne primaire.
Problème type :
Un fournisseur de service GSM veut développer une nouvelle stratégie en
faveur de ses clients de marque. Pour cela, il pensa à vérifier si les
emplacements de ses cellules (antennes et équipements afférents) sont dans les
recommandations optimales de localisation. La répartition de ses clients
dépend des localités où ceux-ci exercent leur activités. La nouvelle stratégie
consiste à favoriser le client selon un profil des activités contractées et en
cours avec le fournisseur. Pour cela, répartir les antennes d’une manière
optimale selon la distance la plus courte possible des clients en question.
Formalisation
D={dip} : Vecteurs des distances qui séparent les différents antennes ai
de l’antenne principale ap(m)
xi ,yi : coordonnées du point ai d’une antenne.
dij = ([(xj-xi)2
+(yj-yi)2
]^(1/2)) : distance d’un point i à un point j (m)
S=Σdij
2
: Somme des distances à minimiser
Conditions de couverture, zone d’ombre (conditions techniques)
Une représentation Graphe est toujours valable, mais elle ne peut identifier
que les caractères liés à une géométrie 2D seulement. Le problème donné est
un cas de système où est demandé d’optimiser (Minimiser) les distances
séparant les antennes secondaires par rapport à l’antenne primaire.
Représentation graphique du problème de la
localisation optimale des antennes.
Représentation graphique du problème de la
localisation optimale des antennes.
Exemple d’antenne utilisées pour les GSM.
Exemple d’antenne utilisées pour les GSM.
60
60

Formalisation
Soit F={fi; i[1, m]} un système de fonctions non linéaires des n variables xk/(k[1, n]) définit dans un domaine D
résultante de l’union de p sous-domaine dj, D={dj; j[1, p]}.
On définit par :
F(X)=K un problème non linéaire (SNL) à résoudre. Si K est équivalente au vecteur 0, F est dit homogène. Si C est
l’ensemble des ci contraintes définies, chacune sur un domaine dj. F(X) peut être régit par C, dans ce cas on parle de
problème non linéaire contraint.
Dans le cas où le paramètre K est égal 0 et C est vide (C=), F(X) admet des zéros A(a0, a1, …, an) dans D.
Par la méthode de Newton-Raphson, nous admettons, qu’autour d’un point X0, F(X) est explicitée sous la forme d’un
développement de Taylor et dont la forme est :
F(X0+ΔX0)  F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0+…+(X0)
D’où X0 est la plus bonne estimation de X* (solution exacte du problème), F(X) est dite Nabla F, Gradient du système
de fonctions fi, X0 étant l’écart entre X* et X0 et finalement (X0) représente le reste de Taylor,  regroupe les
dérivées d’ordres supérieur à 1 jusqu’à .
Si l’estimation est plus justifiée, (X0) tendra vers 0, puisque les termes 1/n! tend vers 0 (pour n≥2) quant n.
De ce fait on garde seulement la partie;
F(X0+X0)  F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0, (X0)  0
Et puisque F(X) est supposée égale à 0, nous aurons
F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0  0  [F(X)X=Xo].X0  - F(X0)
Si on note (F(X)X=Xo)=J(X0) on a J(X0).X0  - F(X0) d’où X0  - [J(X0)]-1
.F(X0) et X = X0+X0.
Formalisation
Soit F={fi; i[1, m]} un système de fonctions non linéaires des n variables xk/(k[1, n]) définit dans un domaine D
résultante de l’union de p sous-domaine dj, D={dj; j[1, p]}.
On définit par :
F(X)=K un problème non linéaire (SNL) à résoudre. Si K est équivalente au vecteur 0, F est dit homogène. Si C est
l’ensemble des ci contraintes définies, chacune sur un domaine dj. F(X) peut être régit par C, dans ce cas on parle de
problème non linéaire contraint.
Dans le cas où le paramètre K est égal 0 et C est vide (C=), F(X) admet des zéros A(a0, a1, …, an) dans D.
Par la méthode de Newton-Raphson, nous admettons, qu’autour d’un point X0, F(X) est explicitée sous la forme d’un
développement de Taylor et dont la forme est :
F(X0+ΔX0)  F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0+…+(X0)
D’où X0 est la plus bonne estimation de X* (solution exacte du problème), F(X) est dite Nabla F, Gradient du système
de fonctions fi, X0 étant l’écart entre X* et X0 et finalement (X0) représente le reste de Taylor,  regroupe les
dérivées d’ordres supérieur à 1 jusqu’à .
Si l’estimation est plus justifiée, (X0) tendra vers 0, puisque les termes 1/n! tend vers 0 (pour n≥2) quant n.
De ce fait on garde seulement la partie;
F(X0+X0)  F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0, (X0)  0
Et puisque F(X) est supposée égale à 0, nous aurons
F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0  0  [F(X)X=Xo].X0  - F(X0)
Si on note (F(X)X=Xo)=J(X0) on a J(X0).X0  - F(X0) d’où X0  - [J(X0)]-1
.F(X0) et X = X0+X0.
61
61

Formalisation
Pour un système F(X)=f(x)=0 (Cas de système à une fonction à une variable), nous avons :
f(x) = 0  f(x) = f(x0 + h) ≈ f(x0) + (f(x))’
(x0) .h, avec h=(x-x0).
x ≈ x0 + h ≈ x0 + f(x0)/(f(x0))’
Graphiquement, L’estimé initial est pris comme première
approximation de la solution, alors, par récurrence h est
recalculer de manière à corriger (par une quantité h  f(x0)/(f(x0))’)
pour un sens de déplacement pour ainsi atteindre la solution.
De manière générale, nous calculerons J(X0) dite matrice
Jacobéenne du système.
X = X0 + X0 = X0 + (- [J(X0)]-1
.F(X0)])
La formule de récurence donne les estimés successifs;
Xk+1 = Xk + Xk = Xk + (- [J(Xk)]-1
.F(Xk)])
Le calcul est arrêté si et seulement si Xk tend vers zéro ou est
assimilable à une petite valeur 1 en valeur absolue (|Xk| 1).
ou encore (|Xk / Xk+1| 2). Ces deux conditions sont dites CONDITIONS D’ARRET, et le déterminant de
de J est Jacobéen (|J(X)|).
Formalisation
Pour un système F(X)=f(x)=0 (Cas de système à une fonction à une variable), nous avons :
f(x) = 0  f(x) = f(x0 + h) ≈ f(x0) + (f(x))’
(x0) .h, avec h=(x-x0).
x ≈ x0 + h ≈ x0 + f(x0)/(f(x0))’
Graphiquement, L’estimé initial est pris comme première
approximation de la solution, alors, par récurrence h est
recalculer de manière à corriger (par une quantité h  f(x0)/(f(x0))’)
pour un sens de déplacement pour ainsi atteindre la solution.
De manière générale, nous calculerons J(X0) dite matrice
Jacobéenne du système.
X = X0 + X0 = X0 + (- [J(X0)]-1
.F(X0)])
La formule de récurence donne les estimés successifs;
Xk+1 = Xk + Xk = Xk + (- [J(Xk)]-1
.F(Xk)])
Le calcul est arrêté si et seulement si Xk tend vers zéro ou est
assimilable à une petite valeur 1 en valeur absolue (|Xk| 1).
ou encore (|Xk / Xk+1| 2). Ces deux conditions sont dites CONDITIONS D’ARRET, et le déterminant de
de J est Jacobéen (|J(X)|).
62
62

L’algorithme NR est donné par :
Demander X0, 
1. Mettre k=0
2. Evaluer Xk+1 (à la précision désirée)
3. Si (f ’(Xk) = 0) alors Terminer
4. Répéter
a) Xk=Xk+1
b) Xk+1 = Xk + (- [J(Xk)]-1
.F(Xk)])
5. Tant que Xk≥
6. Afficher Xk+1
La méthode NR est l’une des méthode les plus simple à implémenter, très simple d’utilisation et efficace
numériquement. Beaucoup de variantes existent (Fletcher-Powell, Bellman, …)
L’algorithme NR est donné par :
Demander X0, 
1. Mettre k=0
2. Evaluer Xk+1 (à la précision désirée)
3. Si (f ’(Xk) = 0) alors Terminer
4. Répéter
a) Xk=Xk+1
b) Xk+1 = Xk + (- [J(Xk)]-1
.F(Xk)])
5. Tant que Xk≥
6. Afficher Xk+1
La méthode NR est l’une des méthode les plus simple à implémenter, très simple d’utilisation et efficace
numériquement. Beaucoup de variantes existent (Fletcher-Powell, Bellman, …)
Isaac NEWTON
(1642 −1727)
Isaac NEWTON
(1642 −1727)
Joseph Raphson
(1648-1715)
Joseph Raphson
(1648-1715) 63
63

De même, la méthode du Gradient nous expose l’algorithme suivant :
1. GradPasFixe(f, x0, Pas, tolérance)
2. x ← x0
3. Tant que : || f(x)|| > tolérance
∇
4. x ← x − Pas* f(x)
∇
5. Retourner x
------------------------------------------------------
6. GradPasOpt(f, x0, pas, tolérance)
7. x ← x0
8. Tant que : || f(x)||> tolérance
∇
9. u = − f(x)
∇
10. Calculer le pas optimal p*
11. x ← x + p*.u
12. Retourner x
L’algorithme du gradient à pas optimal combine la stratégie de Cauchy pour la détermination de la
direction de descente avec, à chaque étape, une recherche du pas optimal minimisant :
(t) = f(x + t.u)
ϕ , où : u = − f(x)
∇ est la direction de descente au point x
De même, la méthode du Gradient nous expose l’algorithme suivant :
1. GradPasFixe(f, x0, Pas, tolérance)
2. x ← x0
3. Tant que : || f(x)|| > tolérance
∇
4. x ← x − Pas* f(x)
∇
5. Retourner x
------------------------------------------------------
6. GradPasOpt(f, x0, pas, tolérance)
7. x ← x0
8. Tant que : || f(x)||> tolérance
∇
9. u = − f(x)
∇
10. Calculer le pas optimal p*
11. x ← x + p*.u
12. Retourner x
L’algorithme du gradient à pas optimal combine la stratégie de Cauchy pour la détermination de la
direction de descente avec, à chaque étape, une recherche du pas optimal minimisant :
(t) = f(x + t.u)
ϕ , où : u = − f(x)
∇ est la direction de descente au point x
Augustin Louis Cauchy
(1789 −1857)
Augustin Louis Cauchy
(1789 −1857)
Processus de convergence des valeurs
de x vers la solution x*
Processus de convergence des valeurs
de x vers la solution x*
64
64

Formalisation
Une autre stratégie consiste à réécrire le système (cas de système contraint) sous la forme :
L(X, ) = fi(X) + j.gj(X), où j est appelé multiplicateur de Lagrange
L(X, ) est la fonction de Lagrange correspondante au système à étudier.
Résoudre :
F(X) sous les contraintes gj(X) équivaut à la résolution de la fonction
de Lagrange L pour les mêmes raisons.
Les condition d’optimalité pour L sont vérifiées si :
L/xi = 0, pour i [1, n], n étant le nombre d’inconnues
L/j = 0, pour j  [1, m], m étant le nombre de contraintes
Beaucoup d’autres méthodes se basent sur la démarche de Newton en se focalisant sur la détermination du
gradient de f pour explorer l’ensemble des directions de tendance vers l’optimum.
Formalisation
Une autre stratégie consiste à réécrire le système (cas de système contraint) sous la forme :
L(X, ) = fi(X) + j.gj(X), où j est appelé multiplicateur de Lagrange
L(X, ) est la fonction de Lagrange correspondante au système à étudier.
Résoudre :
F(X) sous les contraintes gj(X) équivaut à la résolution de la fonction
de Lagrange L pour les mêmes raisons.
Les condition d’optimalité pour L sont vérifiées si :
L/xi = 0, pour i [1, n], n étant le nombre d’inconnues
L/j = 0, pour j  [1, m], m étant le nombre de contraintes
Beaucoup d’autres méthodes se basent sur la démarche de Newton en se focalisant sur la détermination du
gradient de f pour explorer l’ensemble des directions de tendance vers l’optimum.
Joseph-Louis Lagrange
(1739-1813)
Joseph-Louis Lagrange
(1739-1813)
65
65

Simulation
Comment construire une boîte avec la même forme que dans la figure avec un volume V0 fixe de telle sorte que la
quantité de matière utilisée sera minimale ?
Selon le modèle demandé de l’emballage, on remarque que les face de côtés sont de surface égale à
2.(a.c + b.c) alors celles du haut et du bas sont de 2.2.(a.b) d’où :
F(a, b, c) = 2.a.c + 2.b.c + 4.a.b
Le matériau (carton emballage) utilisé doit être de valeur minimal donc :
g(a,b,c)=a.b.c=V0, avec V0 constante.
Selon Lagrange, nous écrivons :
L(a,b,c,) = (2.a.c + 2.b.c + 4.a.b) + .(a.b.c - V0), a,b, et c ≥ 0
La solution est b = a et c = 2.a d’où a = b = (c/2) = (V0/2)^(1/3)
Simulation
Comment construire une boîte avec la même forme que dans la figure avec un volume V0 fixe de telle sorte que la
quantité de matière utilisée sera minimale ?
Selon le modèle demandé de l’emballage, on remarque que les face de côtés sont de surface égale à
2.(a.c + b.c) alors celles du haut et du bas sont de 2.2.(a.b) d’où :
F(a, b, c) = 2.a.c + 2.b.c + 4.a.b
Le matériau (carton emballage) utilisé doit être de valeur minimal donc :
g(a,b,c)=a.b.c=V0, avec V0 constante.
Selon Lagrange, nous écrivons :
L(a,b,c,) = (2.a.c + 2.b.c + 4.a.b) + .(a.b.c - V0), a,b, et c ≥ 0
La solution est b = a et c = 2.a d’où a = b = (c/2) = (V0/2)^(1/3)
Par transformation
des équations nous
obtenons
Par transformation
des équations nous
obtenons
66
66

67
67
Mainframe Mitra 125
Carte perforée
Listing

68
68
Pour l’analyse des résultats issus d’une expérience,
nous avons recours aux ajustements des points obtenus
par une forme commune. Cette investigation est
pratiquée afin de comprendre l’évolution du
phénomène. Beaucoup de types d’ajustements existent.
Ajustement linéaire Y = a*X+b
Ajustement non linéaire :
ajustement exponentiel : Y= e
λ α*X
ajustement logarithmique : Y=a*ln(X)+b
ajustement polynomial, par ex : Y=a*X2
+b*X+c.
Ei étant l’erreur commise en évaluant Y par Y’
Y : Estimation par un polynôme
Y’ : Valeur donnée par l’expérience.
∑
i=1
n
ei→≃0

69
69
S=∑
i=1
n
ei
2
=∑
i=1
n
[ yi− yi]²
S=∑
i=1
n
ei
2
=∑
i=1
n
[ yi− yi]²
S est donc à minimiser, on cherche la plus petite
valeur de S tel que les écarts entre y et y soient
aussi petits que possible.
Yi = P2(x) = a0
+a1
*x+a2
*x2
pour que S soit
minimale il faut que :
Si on définit le facteur rxy
par cov(x,y)/sx
*sy
Et sx
2
=(1/n) (x
Σ i
-x)2
et sy
2
=(1/n)Σ(yi
-y)2
cov(x,y) = (1/n) (x
Σ i
-x)(yi
-y)
On définit un coefficient de validation de
l’ajustement par R2
=rxy
*rxy
Cette quantité est d’autant grande (tend vers 1),
plus l’ajustement pratiqué est valable
S est donc à minimiser, on cherche la plus petite
valeur de S tel que les écarts entre y et y soient
aussi petits que possible.
Yi = P2(x) = a0
+a1
*x+a2
*x2
pour que S soit
minimale il faut que :
Si on définit le facteur rxy
par cov(x,y)/sx
*sy
Et sx
2
=(1/n) (x
Σ i
-x)2
et sy
2
=(1/n)Σ(yi
-y)2
cov(x,y) = (1/n) (x
Σ i
-x)(yi
-y)
On définit un coefficient de validation de
l’ajustement par R2
=rxy
*rxy
Cette quantité est d’autant grande (tend vers 1),
plus l’ajustement pratiqué est valable
δS
δa0
=0
δS
δa0
=0 δS
δa1
=0
δS
δa1
=0
δ S
δa2
=0
δ S
δa2
=0

Système discrêt
Système discrêt
Pour certains spécialistes, la signification de système discrêt est restreinte à des phénomènes
mettant en jeu des informations qui ne sont prises en compte que pour des valeurs précises
de la variable indépendante. Souvent, celle-ci est le temps; l'information n'est donc recueillie
qu'à des moments précis. Elle peut être aussi l'espace, ou toute autre grandeur qui puisse se
diviser en segments d'une dimension arbitraire. En général ces segments sont égaux et
constituent la période d'échantillonnage. Un système discret est un ensemble qui introduit une
relation entre des variables d'entrée et des variables de sortie, dans lequel ces variables ne
peuvent avoir qu'un nombre fini de valeurs, par opposition à un système continu, dans lequel
entre deux valeurs de variables, d'entrée ou de sortie, on peut toujours supposer une valeur
intermédiaire.
Un système est discontinu s'il existe au
moins deux valeurs entre lesquelles il
n'existe pas d'intermédiaire. Un système
discret est discontinu à chacune de ses
valeurs, tant d'entrée que de sortie.
Pour certains spécialistes, la signification de système discrêt est restreinte à des phénomènes
mettant en jeu des informations qui ne sont prises en compte que pour des valeurs précises
de la variable indépendante. Souvent, celle-ci est le temps; l'information n'est donc recueillie
qu'à des moments précis. Elle peut être aussi l'espace, ou toute autre grandeur qui puisse se
diviser en segments d'une dimension arbitraire. En général ces segments sont égaux et
constituent la période d'échantillonnage. Un système discret est un ensemble qui introduit une
relation entre des variables d'entrée et des variables de sortie, dans lequel ces variables ne
peuvent avoir qu'un nombre fini de valeurs, par opposition à un système continu, dans lequel
entre deux valeurs de variables, d'entrée ou de sortie, on peut toujours supposer une valeur
intermédiaire.
Un système est discontinu s'il existe au
moins deux valeurs entre lesquelles il
n'existe pas d'intermédiaire. Un système
discret est discontinu à chacune de ses
valeurs, tant d'entrée que de sortie.
70
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Références
L.-V. Bertallanfy, ‘General System Theory’, Edition MASSON, 1972.
71
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