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Discrimination de courbes par SVM

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Discrimination de courbes par SVM

  1. 1. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Discrimination de courbes par SVM Nathalie Villa-Vialaneix Équipe GRIMM, Université Toulouse Le Mirail villa@univ-tlse2.fr GREMAQ, 7 avril 2006
  2. 2. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Thématiques de recherche développées NN pour FDA (approche par régression inverse)
  3. 3. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Thématiques de recherche développées NN pour FDA SVM pour FDA (approche par régression inverse) (approches proj., spline, FIR. . . )
  4. 4. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Thématiques de recherche développées NN pour FDA SVM pour FDA (approche par régression inverse) (approches proj., spline, FIR. . . ) Projets GEODE
  5. 5. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Thématiques de recherche développées NN pour FDA SVM pour FDA (approche par régression inverse) (approches proj., spline, FIR. . . ) Projets GEODE ENAC
  6. 6. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Thématiques de recherche développées NN pour FDA SVM pour FDA (approche par régression inverse) (approches proj., spline, FIR. . . ) Projets GEODE ENAC FRAMESPA
  7. 7. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Thématiques de recherche développées NN pour FDA SVM pour FDA (approche par régression inverse) (approches proj., spline, FIR. . . ) Projets GEODE ENAC FRAMESPA
  8. 8. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Sommaire 1 Analyse des données fonctionnelles 2 Principe des SVM 3 Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse
  9. 9. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Sommaire 1 Analyse des données fonctionnelles 2 Principe des SVM 3 Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse
  10. 10. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Les données fonctionnelles : Définition Données classiques : chaque observation est un vecteur de RD ;
  11. 11. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Les données fonctionnelles : Définition Données classiques : chaque observation est un vecteur de RD ; Données fonctionnelles : chaque observation est une fonction d’un espace de dimension infinie (L2 τ , par exemple ; espace de Hilbert, en général).
  12. 12. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Exemples Représentation temporelle (reconnaissance vocale 1 ) 0 2000 4000 6000 8000 −1.0−0.50.00.51.0 Temps (ms) Frequences Boat Goat But : Reconnaître le mot. . . 1 Données disponibles sur http ://www.math.univ-montp2.fr/˜biau/bbwdata.tgz
  13. 13. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Exemples Courbe de réponse (chimiométrie 1 ) 0 20 40 60 80 100 2345 Longueur d’onde Absorbance But : Déterminer le taux de graisse. . . 1 Tecator database disponible sur http ://lib.stat.cmu.edu/datasets/tecator
  14. 14. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Exemple de problèmes en FDA (1) Problèmes d’inversion d’opérateurs ΓX = E(X ⊗ X) − E(X) ⊗ E(X) est de Hilbert-Schmidt ⇒ Γ−1 X est non borné (ce n’est pas un opérateur continu de L2 τ ) ! !
  15. 15. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Exemple de problèmes en FDA (1) Problèmes d’inversion d’opérateurs ΓX = E(X ⊗ X) − E(X) ⊗ E(X) est de Hilbert-Schmidt ⇒ Γ−1 X est non borné (ce n’est pas un opérateur continu de L2 τ ) ! ! Conséquence au niveau de l’estimation Γn X = 1 n n i=1 xi ⊗ xi − X ⊗ X est mal conditionné ⇒ nécessité de pénalisation ou de régularisation.
  16. 16. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Les données fonctionnelles en pratique Soit X une variable aléatoire fonctionnelle, on ne connaît jamais complètement les observations (xi)i=1,...,n de X !
  17. 17. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Les données fonctionnelles en pratique Soit X une variable aléatoire fonctionnelle, on ne connaît jamais complètement les observations (xi)i=1,...,n de X ! on dispose de xi(ti 1 ), . . . , xi(ti D ) ; dans le pire cas, le nombre et la place des points de discrétisation dépendent de l’observation.
  18. 18. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Exemple de problèmes en FDA (2) D’un point de vue pratique... représenter les fonctions observées et les fonctions paramètres ;
  19. 19. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Exemple de problèmes en FDA (2) D’un point de vue pratique... représenter les fonctions observées et les fonctions paramètres ; n < D, les observations pour un même individu sont fortement corrélées (fonction sous-jacente) ⇒ problèmes mal posés, méthodes usuelles souvent inapplicables directement.
  20. 20. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Sommaire 1 Analyse des données fonctionnelles 2 Principe des SVM 3 Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse
  21. 21. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Rappel sur le principe SVM Le problème Soit X ∈ H et Y ∈ {−1; 1}. On cherche à déterminer la valeur de Y connaissant la variable X.
  22. 22. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Rappel sur le principe SVM Le problème Soit X ∈ H et Y ∈ {−1; 1}. On cherche à déterminer la valeur de Y connaissant la variable X. Les données On dispose de n réalisations indépendantes de (X, Y) : (x1, y1), . . . , (xn, yn).
  23. 23. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Discrimination linéaire à marge optimale
  24. 24. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Discrimination linéaire à marge optimale
  25. 25. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Discrimination linéaire à marge optimale w marge : 1 w 2 Vecteur Support
  26. 26. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Discrimination linéaire à marge optimale w marge : 1 w 2 Vecteur Support On cherche w tel que : minw,b w, w , sous les contraintes : yi( w, xi + b) ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n.
  27. 27. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Discrimination linéaire à marge souple
  28. 28. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Discrimination linéaire à marge souple
  29. 29. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Discrimination linéaire à marge souple w marge : 1 w 2 Vecteur Support
  30. 30. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Discrimination linéaire à marge souple w marge : 1 w 2 Vecteur Support On cherche w tel que : minw,b,ξ w, w + C n i=1 ξi, sous les contraintes : yi( w, xi + b) ≥ 1 − ξi, 1 ≤ i ≤ n, ξi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n.
  31. 31. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Envoyer les données dans un espace de grande dimension Espace initial H
  32. 32. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Envoyer les données dans un espace de grande dimension Espace initial H Espace image X Φ (non linéaire)
  33. 33. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Envoyer les données dans un espace de grande dimension Espace initial H Espace image X Φ (non linéaire)
  34. 34. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Envoyer les données dans un espace de grande dimension Espace initial H Espace image X Φ (non linéaire) On cherche w tel que : (PC,X) minw,b,ξ w, w + C n i=1 ξi, sous les contraintes : yi( w, Φ(xi) + b) ≥ 1 − ξi, 1 ≤ i ≤ n, ξi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n.
  35. 35. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Intérêt du non linéaire Formulation régularisation : (PC,X) ⇔ (Rλ,X) min f∈X 1 n n i=1 max(0, 1 − yif(xi)) + λ f, f X.
  36. 36. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Intérêt du non linéaire Formulation régularisation : (PC,X) ⇔ (Rλ,X) min f∈X 1 n n i=1 max(0, 1 − yif(xi)) + λ f, f X. Formulation duale : (PC,X) ⇔ (DC,X) maxα n i=1 αi − n i=1 n j=1 αiαjyiyj Φ(xi), Φ(xj) X, avec N i=1 αiyi = 0, 0 ≤ αi ≤ C, 1 ≤ i ≤ n.
  37. 37. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Intérêt du non linéaire Formulation régularisation : (PC,X) ⇔ (Rλ,X) min f∈X 1 n n i=1 max(0, 1 − yif(xi)) + λ f, f X. Formulation duale : (PC,X) ⇔ (DC,X) maxα n i=1 αi − n i=1 n j=1 αiαjyiyj Φ(xi), Φ(xj) X, avec N i=1 αiyi = 0, 0 ≤ αi ≤ C, 1 ≤ i ≤ n. Produit scalaire dans X : ∀ u, v ∈ X, K(u, v) = Φ(u), Φ(v) X
  38. 38. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Sommaire 1 Analyse des données fonctionnelles 2 Principe des SVM 3 Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse
  39. 39. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Présentation des travaux En collaboration avec Fabrice Rossi Support vector machine for functional data classification (2005), paru dans ESANN proceedings ; Classification in Hilbert spaces with support vector machines (2005), paru dans ASMDA proceedings ; Support vector machine for functional data classification (2006), paru dans Neurocomputing ; SVM fonctionnels par interpolation spline (2006), à paraître dans Actes du congrès de la SFdS (Journées de Statistique).
  40. 40. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Noyaux pour FDA Forme générale Prétraitement : P : H → D ∀ u, v ∈ H, Q(u, v) = K(P(u), P(v)).
  41. 41. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Noyaux pour FDA Forme générale Prétraitement : P : H → D ∀ u, v ∈ H, Q(u, v) = K(P(u), P(v)). 1 Projections : pour VD = Vect{ψ1, . . . , ψD}, P(x) = D j=1 x, ψj ψj.
  42. 42. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Noyaux pour FDA Forme générale Prétraitement : P : H → D ∀ u, v ∈ H, Q(u, v) = K(P(u), P(v)). 1 Projections : pour VD = Vect{ψ1, . . . , ψD}, P(x) = D j=1 x, ψj ψj. 2 Transformations fonctionnelles : P(x) = Dq x,. . .
  43. 43. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Noyaux pour FDA Forme générale Prétraitement : P : H → D ∀ u, v ∈ H, Q(u, v) = K(P(u), P(v)). 1 Projections : pour VD = Vect{ψ1, . . . , ψD}, P(x) = D j=1 x, ψj ψj. 2 Transformations fonctionnelles : P(x) = Dq x,. . . 3 FIR. . .
  44. 44. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Sommaire 1 Analyse des données fonctionnelles 2 Principe des SVM 3 Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse
  45. 45. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Une approche consistante Approche par projection 1 (ψj)j base Hilbertienne de H : projection sur (ψj)j=1,...,d ;
  46. 46. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Une approche consistante Approche par projection 1 (ψj)j base Hilbertienne de H : projection sur (ψj)j=1,...,d ; 2 Choix des paramètres : a ≡ d ∈ N, K ∈ Jd, C ∈ [0; Cd]
  47. 47. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Une approche consistante Approche par projection 1 (ψj)j base Hilbertienne de H : projection sur (ψj)j=1,...,d ; 2 Choix des paramètres : a ≡ d ∈ N, K ∈ Jd, C ∈ [0; Cd] partage des données : B1 = (x1, y1), . . . , (xl, yl) et B2 = (xl+1, yl+1), . . . , (xn, yn) ;
  48. 48. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Une approche consistante Approche par projection 1 (ψj)j base Hilbertienne de H : projection sur (ψj)j=1,...,d ; 2 Choix des paramètres : a ≡ d ∈ N, K ∈ Jd, C ∈ [0; Cd] partage des données : B1 = (x1, y1), . . . , (xl, yl) et B2 = (xl+1, yl+1), . . . , (xn, yn) ; construction du SVM sur B1 : fa ;
  49. 49. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Une approche consistante Approche par projection 1 (ψj)j base Hilbertienne de H : projection sur (ψj)j=1,...,d ; 2 Choix des paramètres : a ≡ d ∈ N, K ∈ Jd, C ∈ [0; Cd] partage des données : B1 = (x1, y1), . . . , (xl, yl) et B2 = (xl+1, yl+1), . . . , (xn, yn) ; construction du SVM sur B1 : fa ; choix du paramètre optimal sur B2 : a∗ = argminaLn−lfa + λd √ n − l avec Ln−lfa = 1 n−l n i=l+1 I{fa (xi ) yi }.
  50. 50. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Une approche consistante Approche par projection 1 (ψj)j base Hilbertienne de H : projection sur (ψj)j=1,...,d ; 2 Choix des paramètres : a ≡ d ∈ N, K ∈ Jd, C ∈ [0; Cd] partage des données : B1 = (x1, y1), . . . , (xl, yl) et B2 = (xl+1, yl+1), . . . , (xn, yn) ; construction du SVM sur B1 : fa ; choix du paramètre optimal sur B2 : a∗ = argminaLn−lfa + λd √ n − l avec Ln−lfa = 1 n−l n i=l+1 I{fa (xi ) yi }. ⇒ On obtient un SVM fn.
  51. 51. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Hypothèses Hypothèses sur la distribution de X (H1) X prend ses valeurs dans un borné de H.
  52. 52. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Hypothèses Hypothèses sur la distribution de X (H1) X prend ses valeurs dans un borné de H. Hypothèses sur les paramètres : ∀ d ≥ 1, (H2) Jd est un ensemble fini ; (H3) ∃Kd ∈ Jd tel que : Kd est universel et ∃νd > 0 : N(Kd, ) = O( −νd ) ; (H4) Cd > 1 ; (H5) d≥1 |Jd|e−2λ2 d < +∞.
  53. 53. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Hypothèses Hypothèses sur la distribution de X (H1) X prend ses valeurs dans un borné de H. Hypothèses sur les paramètres : ∀ d ≥ 1, (H2) Jd est un ensemble fini ; (H3) ∃Kd ∈ Jd tel que : Kd est universel et ∃νd > 0 : N(Kd, ) = O( −νd ) ; (H4) Cd > 1 ; (H5) d≥1 |Jd|e−2λ2 d < +∞. Hypothèses sur la validation (H6) limn→+∞ l = +∞ ; (H7) limn→+∞ n − l = +∞ ; (H8) limn→+∞ l log(n−l) n−l = 0.
  54. 54. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Convergence par procédure de validation Théorème 1 Consistance universelle Sous les hypothèses (H1)-(H8), fn est consistant : Lfn n→+∞ −−−−−→ L∗ , où Lfn = P(fn(X) Y) et L∗ = P(f∗ (X) Y) avec f∗ (x) = 1 si P(Y = 1|X = x) > 1/2, −1 sinon.
  55. 55. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Application : reconnaissance vocale Description des données et méthodes 3 problèmes et pour chaque problème, 100 enregistrements discrétisés en 8 192 points ;
  56. 56. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Application : reconnaissance vocale Description des données et méthodes 3 problèmes et pour chaque problème, 100 enregistrements discrétisés en 8 192 points ; Mise en œuvre de la procédure consistante : Projection sur une base trigonométrique ; Partage de la base de données en 50 spectres (apprentissage) / 49 (validation) ; Performances déterminées par leave-one-out.
  57. 57. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Application : reconnaissance vocale Description des données et méthodes 3 problèmes et pour chaque problème, 100 enregistrements discrétisés en 8 192 points ; Mise en œuvre de la procédure consistante : Projection sur une base trigonométrique ; Partage de la base de données en 50 spectres (apprentissage) / 49 (validation) ; Performances déterminées par leave-one-out. Résultats Prob. k-nn QDA SVM gau. SVM lin. SVM lin. (proj) (proj) (direct) yes/no 10% 7% 10% 19% 58% boat/goat 21% 35% 8% 29% 46% sh/ao 16% 19% 12% 25% 47%
  58. 58. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Application : Tecator data Set Description des données et méthodes 215 spectres discrétisés en 100 points ; 2 classes : taux de graisse >20% et <20%.
  59. 59. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Application : Tecator data Set Description des données et méthodes 215 spectres discrétisés en 100 points ; 2 classes : taux de graisse >20% et <20%. Procédure : Projection sur une base de splines cubiques (déterminée par leave-one-out) ; Partage aléatoire de la base de données en 60 spectres (apprentissage) / 60 spectres (validation) ; Performances déterminées sur un échantillon de test aléatoire de 95 spectres.
  60. 60. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Application : Tecator data Set Description des données et méthodes 215 spectres discrétisés en 100 points ; 2 classes : taux de graisse >20% et <20%. Procédure : Projection sur une base de splines cubiques (déterminée par leave-one-out) ; Partage aléatoire de la base de données en 60 spectres (apprentissage) / 60 spectres (validation) ; Performances déterminées sur un échantillon de test aléatoire de 95 spectres. Résultats (Moyenne pour 250 répétitions) Noyau Erreur moyenne (test) Linéaire 3.38% Linéaire sur D2 X 3.28% Gaussien 7.5% Gaussien sur D2 X 2.6%
  61. 61. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Sommaire 1 Analyse des données fonctionnelles 2 Principe des SVM 3 Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse
  62. 62. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Approche directe pour SVM sur dérivées Hypothèse de régularité On suppose que X est régulière : X ∈ Hm = {x : [0; 1] → R : Dm x existe et Dm x ∈ L2 }.
  63. 63. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Approche directe pour SVM sur dérivées Hypothèse de régularité On suppose que X est régulière : X ∈ Hm = {x : [0; 1] → R : Dm x existe et Dm x ∈ L2 }. Principe de l’interpolation L-spline on interpole exactement les observations x1, . . . , xn aux points de discrétisation t1, . . . , td ; on minimise une pénalité de régularisation définie par un opérateur différentiel : L = Dm + m−1 j=1 ajDj .
  64. 64. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Décomposition de l’espace de Sobolev Hm = H0 + H1 avec H0 = KerL ; H1 est défini par m contraintes aux bornes : RKHS de produit scalaire h1, h2 = [0,1] Lh1(t)Lh2(t)dt et de noyau K.
  65. 65. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Décomposition de l’espace de Sobolev Hm = H0 + H1 avec H0 = KerL ; H1 est défini par m contraintes aux bornes : RKHS de produit scalaire h1, h2 = [0,1] Lh1(t)Lh2(t)dt et de noyau K. Exemples : H1 avec L = I + D et x(0) = 0 (Lx = 0 ⇒ x = ae−t et x(0) = a) ; H2 avec L = I + D2 et x(0) = Dx(0) = 0 ; Hm (m ≥ 1) avec L = Dm et Dj x(0) = 0, ∀ j = 1, . . . , m ;
  66. 66. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Détermination de la spline d’interpolation On suppose Kd = (K(ti, tj))i,j=1,...,d inversible. Spline d’interpolation Soit x ∈ H1 alors h = PVect{K(tk ,.), k=1,...,d}(x).
  67. 67. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Détermination de la spline d’interpolation On suppose Kd = (K(ti, tj))i,j=1,...,d inversible. Spline d’interpolation Soit x ∈ H1 alors h = PVect{K(tk ,.), k=1,...,d}(x). Produit scalaire entre splines Si x1, x2 ∈ H1, h1, h2 H1 = x1, x2 (Rd ,K−1/2). où xi = (xi(t1), . . . , xi(td)).
  68. 68. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Application aux SVM On note Gd γ (u, v) = e −γ u−v 2 Rd et G∞ γ (u, v) = e −γ u−v 2 L2 ; Kd = (K(ti, tj))i,j=1,...,d, supposée inversible ; ∀ i = 1, . . . , n, hi est la spline d’interpolation de xi (supposée à valeurs dans H1) ; xi = (xi(t1), . . . , xi(td)).
  69. 69. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Application aux SVM On note Gd γ (u, v) = e −γ u−v 2 Rd et G∞ γ (u, v) = e −γ u−v 2 L2 ; Kd = (K(ti, tj))i,j=1,...,d, supposée inversible ; ∀ i = 1, . . . , n, hi est la spline d’interpolation de xi (supposée à valeurs dans H1) ; xi = (xi(t1), . . . , xi(td)). Théorème 2 SVM sur dérivées SVM sur (Lhi)i avec noyau G∞ γ −→ φn,d h ⇔ SVM sur (xi)i avec noyau Gd γ ◦ K−1/2 −→ φn,d x
  70. 70. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Hypothèses pour la consistance Hypothèses (H1) : X est une variable aléatoire bornée à valeurs dans H1 ; (H2) : (τd)d est une suite de points de discrétisation dans [0, 1] telle que, pour tout d ≥ 1, τd = {tk }k=1,...,d, la matrice Kd est définie positive et Span{K(t, .), t ∈ ∪d≥1τd} est dense dans H1 ; (H3) : (Cd n )n est une suite de régularisation telle que Cd n = O(n1−βd ) pour 0 < βd < 1/d.
  71. 71. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Consistance Théorème 3 Consistance universelle Sous les hypothèse (H1)-(H3), le SVM φn,d h , avec la suite de régularisation (Cd n )n, est universellement consistant : lim n→+∞ lim d→+∞ Lfn,d = L∗ où L∗ est l’erreur de Bayes et Lφ = P(φ(X) Y) est l’erreur de φ.
  72. 72. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Limites et perspectives Limites Lorsque d est grand, interpolation = sur-adéquation aux observations et Kd est mal conditionnée.
  73. 73. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Limites et perspectives Limites Lorsque d est grand, interpolation = sur-adéquation aux observations et Kd est mal conditionnée. Perspectives spline de lissage sans condition aux bornes (contrôler l’erreur commise par E(Y|SLd (X)) au lieu de E(Y|X)) ;
  74. 74. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Limites et perspectives Limites Lorsque d est grand, interpolation = sur-adéquation aux observations et Kd est mal conditionnée. Perspectives spline de lissage sans condition aux bornes (contrôler l’erreur commise par E(Y|SLd (X)) au lieu de E(Y|X)) ; application sur des données réelles : 0 200 400 600 800 1000 0.40.60.81.0 Temps Fréquence 0.67 52.33 4.33 16.67 27.67 33.25 11.25 27 4.33 0.33 17.33 18 79.67 85 17.33 5.33 60.5 0.67 15.33
  75. 75. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Sommaire 1 Analyse des données fonctionnelles 2 Principe des SVM 3 Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse
  76. 76. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Régression inverse fonctionnelle Modèle Y = f( a1, X . . . aq, X , ), où X, E( ) = 0, f inconnue, {a1, . . . , aq} linéairement independants. EDR = Vect{a1, . . . aq}
  77. 77. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Régression inverse fonctionnelle Modèle Y = f( a1, X . . . aq, X , ), où X, E( ) = 0, f inconnue, {a1, . . . , aq} linéairement independants. EDR = Vect{a1, . . . aq} Caractérisation de l’espace EDR Si, pour A = ( X, a1 , . . . , X, aq ), Condition de Li ∀ u ∈ H, ∃v ∈ Rq : E( u, X |A) = vT A, alors E(X|Y) ∈ ΓX (EDR).
  78. 78. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Régression inverse fonctionnelle Modèle Y = f( a1, X . . . aq, X , ), où X, E( ) = 0, f inconnue, {a1, . . . , aq} linéairement independants. EDR = Vect{a1, . . . aq} Caractérisation de l’espace EDR Si, pour A = ( X, a1 , . . . , X, aq ), Condition de Li ∀ u ∈ H, ∃v ∈ Rq : E( u, X |A) = vT A, alors E(X|Y) ∈ ΓX (EDR). ⇒ On choisit d’estimer a1, . . . , aq, vecteurs propres de Γ−1 X ΓE(X|Y).
  79. 79. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse SVM par FIR Estimation de EDR, EDR ;
  80. 80. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse SVM par FIR Estimation de EDR, EDR ; Estimation de f par SVM : SVM sur PEDR(X) ;
  81. 81. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse SVM par FIR Estimation de EDR, EDR ; Estimation de f par SVM : SVM sur PEDR(X) ; Résultat de consistance universelle pour ce SVM : il faut contrôler la différence entre E(Y|X) et E(Y|Tn,q(X)) où Tn,q(X) dépend des observations. . .
  82. 82. SVM & FDA Toulouse, 7 avril 2006 Nathalie V Analyse des données fonctionnelles Principe des SVM Noyaux pour FDA Approche par projection Approche par splines d’interpolation Approche par régression inverse Simulations Données simulées Waveform 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −4 −2 0 2 4 6 8 Classe 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −4 −2 0 2 4 6 8 10 Classe 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −4 −2 0 2 4 6 8 Classe 3 300 courbes (apprentissage) / 500 courbes (validation) ; erreur calculée sur un échantillon de 500 courbes ; 10 répétitions. Résultats FIR-SVM SVM R-PDA FIR-N Moyenne (test) 13,70 15,46 15,62 14,16 Ecart type (test) 2,25 3,04 2,05 2,01 Minimum (test) 10,20 12,20 12,60 12,00 Moyenne (apprentissage) 11,73 10,17 12,47 12,37

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