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Simuler la physique avec un ordinateur

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Publié le

Conférence "Science et Société"
Présentée le Jeudi 10 Décembre 2015, IUT Charlemagne, Nancy
Vidéo: http://numerique.univ-lorraine.fr/node/551

Publié dans : Formation
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Simuler la physique avec un ordinateur

  1. 1. Simuler la physique avec un ordinateur Bruno Lévy Bruno Lévy Programmeur Mathématique ALICE Géométrie & Lumière CENTRE INRIA Nancy Grand-Est
  2. 2. De quoi va-ton parler ?
  3. 3. De quoi va-ton parler ?
  4. 4. De quoi va-ton parler ? De physique De mathématiques
  5. 5. La musique: un langage pour parler - du temps
  6. 6. La musique: un langage pour parler - du temps - du rythme
  7. 7. La musique: un langage pour parler - du temps - du rythme - de la hauteur des sons
  8. 8. Ut queant laxi, Resonare fibris, Mira gestorum, Famuli tuorum, Solve polluti, Labii reatum.
  9. 9. Ut queant laxi, Resonare fibris, Mira gestorum, Famuli tuorum, Solve polluti, Labii reatum. Afin que tes serviteurs Puissent chanter à gorge déployée Tes accomplissements merveilleux Ote le péché De leurs lèvres souillées Saint Jean.
  10. 10. La musique: un langage pour parler - du temps - du rythme - de la hauteur des sons -
  11. 11. La physique: un langage pour parler - du temps
  12. 12. La physique: un langage pour parler - du temps - de la matière
  13. 13. La physique: un langage pour parler - du temps - de la matière - de
  14. 14. La physique: un langage pour parler - du temps - de la matière - de - de la lumière
  15. 15. La physique: un langage pour parler - du temps - de la matière - de - de la lumière -
  16. 16. René Descartes - 1663 Des tourbillons dans ?
  17. 17. Isaac Newton 1623-1727 1687 Principia Mathematica Un langage mathématique pour parler de la physique: Le calcul différentiel Les principes de Newton (1) Inertie (2) Principe fondamental de la dynamique (3) Action réciproque
  18. 18. Isaac Newton 1623-1727 1687 Principia Mathematica Un langage mathématique pour parler de la physique: Le calcul différentiel Les principes de Newton (1) Inertie (2) Principe fondamental de la dynamique (3) Action réciproque (1) Inertie En de forces, le mouvement en ligne droite à vitesse constante
  19. 19. Isaac Newton 1623-1727 1687 Principia Mathematica Un langage mathématique pour parler de la physique: Le calcul différentiel Les principes de Newton (1) Inertie (2) Principe fondamental de la dynamique (3) Action réciproque (1) Inertie En de forces, le mouvement en ligne droite à vitesse constante x position
  20. 20. Isaac Newton 1623-1727 1687 Principia Mathematica Un langage mathématique pour parler de la physique: Le calcul différentiel Les principes de Newton (1) Inertie (2) Principe fondamental de la dynamique (3) Action réciproque (1) Inertie En de forces, le mouvement en ligne droite à vitesse constante x position x vitesse
  21. 21. Isaac Newton 1623-1727 1687 Principia Mathematica Un langage mathématique pour parler de la physique: Le calcul différentiel Les principes de Newton (1) Inertie (2) Principe fondamental de la dynamique (3) Action réciproque (1) Inertie En de forces, le mouvement en ligne droite à vitesse constante x position x vitesse x = constante
  22. 22. x position x vitesse x = cte = 1mm/s
  23. 23. x position x vitesse x = cte = 1mm/s
  24. 24. x position x vitesse x = cte = 1mm/s
  25. 25. x position x vitesse x = cte = 1mm/s
  26. 26. x position x vitesse x = cte = 1mm/s
  27. 27. x position x vitesse x = cte = 1mm/s
  28. 28. x position x vitesse x = cte = 1mm/s
  29. 29. x position x vitesse x = cte = 1mm/s
  30. 30. x position x vitesse x = cte = 1mm/s
  31. 31. x position x vitesse x = cte = 1mm/s
  32. 32. x position x vitesse x = cte = 1mm/s
  33. 33. x position x vitesse x = cte = 1mm/s
  34. 34. x position x vitesse x = cte = 1mm/s
  35. 35. x position x vitesse x = cte = 1mm/s Comment simuler ce comportement sur un ordinateur ? A chaque seconde Décaler le rond vert vers la droite
  36. 36. http://scratch.mit.edu
  37. 37. Isaac Newton 1623-1727 1687 Principia Mathematica Un langage mathématique pour parler de la physique: Le calcul différentiel Les principes de Newton (1) Inertie (2) Principe fondamental de la dynamique (3) Action réciproque (2) Principe fondamental de la dynamique Le changement de la vitesse (acceleration) est proportionels aux forces x position x vitesse
  38. 38. Isaac Newton 1623-1727 1687 Principia Mathematica Un langage mathématique pour parler de la physique: Le calcul différentiel Les principes de Newton (1) Inertie (2) Principe fondamental de la dynamique (3) Action réciproque (2) Principe fondamental de la dynamique Le changement de la vitesse (acceleration) est proportionels aux forces x position x vitesse x accélération F = m x
  39. 39. Isaac Newton 1623-1727 1687 Principia Mathematica Un langage mathématique pour parler de la physique: Le calcul différentiel Les principes de Newton (1) Inertie (2) Principe fondamental de la dynamique (3) Action réciproque (2) Principe fondamental de la dynamique Le changement de la vitesse (acceleration) est proportionels aux forces x position x vitesse x accélération F = m x Force
  40. 40. Isaac Newton 1623-1727 1687 Principia Mathematica Un langage mathématique pour parler de la physique: Le calcul différentiel Les principes de Newton (1) Inertie (2) Principe fondamental de la dynamique (3) Action réciproque (2) Principe fondamental de la dynamique Le changement de la vitesse (acceleration) est proportionels aux forces x position x vitesse x accélération F = m x Force Masse
  41. 41. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  42. 42. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  43. 43. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  44. 44. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  45. 45. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  46. 46. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  47. 47. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  48. 48. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  49. 49. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  50. 50. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  51. 51. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  52. 52. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  53. 53. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  54. 54. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  55. 55. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  56. 56. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  57. 57. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  58. 58. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  59. 59. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  60. 60. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  61. 61. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  62. 62. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  63. 63. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  64. 64. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  65. 65. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  66. 66. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = gComment simuler ce comportement sur un ordinateur ? A chaque seconde soustraire 9.81 m/s de la composante verticale de la vitesse déplacer le point vert suivant la vitesse
  67. 67. http://scratch.mit.edu
  68. 68. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g
  69. 69. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g On fait les calculs avec une certaine précision
  70. 70. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g On fait les calculs avec une certaine précision On peut augmenter cette précision
  71. 71. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g On fait les calculs avec une certaine précision On peut augmenter cette précision Peut-on inventer un langage pour parler de ce qui se passerait avec une précision infinie ?
  72. 72. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g Peut-on inventer un langage pour parler de ce qui se passerait avec une précision infinie ? Les dérivées df(t) dt df(x) dx
  73. 73. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g Peut-on inventer un langage pour parler de ce qui se passerait avec une précision infinie ? Les dérivées df(t) dt df(x) dx Variation de quelquechose par rapport au temps
  74. 74. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g Peut-on inventer un langage pour parler de ce qui se passerait avec une précision infinie ? Les dérivées df(t) dt df(x) dx Variation de quelquechose par rapport au temps Variation de quelquechose par rapport à
  75. 75. Gravité F = m g = m x 9.81 m / s / s x = g Peut-on inventer un langage pour parler de ce qui se passerait avec une précision infinie ? Les dérivées Le calcul différentiel fantômes de quantités disparues Newton et Leibniz Les dérivées df(t) dt df(x) dx Variation de quelquechose par rapport au temps Variation de quelquechose par rapport à
  76. 76. Isaac Newton 1623-1727 1687 Principia Mathematica Un langage mathématique pour parler de la physique: Le calcul différentiel Les principes de Newton (1) Inertie (2) Principe fondamental de la dynamique (3) Action réciproque (3) Action réciproque Deux corps qui agissent sur le font avec une force égale mais de sens opposé.
  77. 77. Isaac Newton 1623-1727 1687 Principia Mathematica Un langage mathématique pour parler de la physique: Le calcul différentiel Les principes de Newton (1) Inertie (2) Principe fondamental de la dynamique (3) Action réciproque (3) Action réciproque Deux corps qui agissent sur le font avec une force égale mais de sens opposé. F = -FAB BA
  78. 78. Isaac Newton 1623-1727 1687 Principia Mathematica Un langage mathématique pour parler de la physique: Le calcul différentiel Les principes de Newton (1) Inertie (2) Principe fondamental de la dynamique (3) Action réciproque (3) Action réciproque Deux corps qui agissent sur le font avec une force égale mais de sens opposé. F = -F = -G mA mBAB BA d2 Gravitation
  79. 79. Des cordes qui vibrent et des ondes 2u 2 = c2 2u 2 F = m x
  80. 80. Des cordes qui vibrent et des ondes 2u 2 = c2 2u 2 F = m x Dérivée seconde en temps
  81. 81. Des cordes qui vibrent et des ondes 2u 2 = c2 2u 2 F = m x Dérivée seconde en temps Dérivée seconde en espace
  82. 82. Des cordes qui vibrent et des ondes 2u 2 = c2 2u 2 F = m x Dérivée seconde en temps Dérivée seconde en espace vitesse (célérité)
  83. 83. Des cordes qui vibrent et des ondes 2u 2 = c2 2u 2 F = m x Dérivée seconde en temps Dérivée seconde en espace vitesse (célérité) Corde fixée à ses deux extremités onde stationnaire 2A 2 = constante x A
  84. 84. Des cordes qui vibrent et des ondes 2u 2 = c2 2u 2 F = m x Dérivée seconde en temps Dérivée seconde en espace vitesse (célérité) Corde fixée à ses deux extremités onde stationnaire 2A 2 = constante x A A : amplitude
  85. 85. Des cordes qui vibrent et des ondes 2u 2 = c2 2u 2 F = m x Dérivée seconde en temps Dérivée seconde en espace vitesse (célérité) Corde fixée à ses deux extremités onde stationnaire 2A 2 = constante x A A : amplitude sin( x)
  86. 86. Des cordes qui vibrent et des ondes 2u 2 = c2 2u 2 F = m x Dérivée seconde en temps Dérivée seconde en espace vitesse (célérité) Corde fixée à ses deux extremités onde stationnaire 2A 2 = constante x A A : amplitude sin( x) cos( x)
  87. 87. Des cordes qui vibrent et des ondes 2u 2 = c2 2u 2 F = m x Dérivée seconde en temps Dérivée seconde en espace vitesse (célérité) Corde fixée à ses deux extremités onde stationnaire 2A 2 = constante x A A : amplitude sin( x) cos( x) - 2 sin( x)
  88. 88. Des cordes qui vibrent et des ondes 2u 2 = c2 2u 2 F = m x Dérivée seconde en temps Dérivée seconde en espace vitesse (célérité) Corde fixée à ses deux extremités onde stationnaire 2A 2 = constante x A A : amplitude sin( x) cos( x) - 2 sin( x)
  89. 89. Euler Lagrange t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Hamilton, Legendre, Maupertuis
  90. 90. Euler Lagrange t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Hamilton, Legendre, Maupertuis Lois de la nature = minimiser
  91. 91. Euler Lagrange t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Hamilton, Legendre, Maupertuis Lois de la nature = minimiser = de X du temps
  92. 92. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Lois de la nature = minimiser = de X du temps
  93. 93. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Lois de Newton Lois de Kepler
  94. 94. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Lois de Newton Lois de Kepler Conservation de
  95. 95. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Lois de Newton Lois de Kepler Conservation de Conservation de la quantité de mouvement (p = mv)
  96. 96. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Lois de Newton Lois de Kepler Conservation de Conservation de la quantité de mouvement (p = mv) Conservation du moment cinétique en rotation (gyroscope)
  97. 97. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Lois de Newton Lois de Kepler Relativité E=mc2
  98. 98. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Lois de Newton Lois de Kepler Relativité E=mc2 Physique Quantique (Intégrale de chemins)
  99. 99. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Equations (simplification) Fluide incompressible Mécanique des Fluides .v = 0
  100. 100. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Equations (simplification) Fluide incompressible Mécanique des Fluides .v = 0 Vitesse du fluide en un point
  101. 101. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Equations (simplification) Fluide incompressible Mécanique des Fluides .v = 0 Opérateur
  102. 102. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Equations (simplification) Fluide incompressible Mécanique des Fluides .v = 0
  103. 103. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Equations (simplification) Fluide incompressible Mécanique des Fluides .v = 0 Si je regarde un patatoïde autant de fluide qui rentre dedans et
  104. 104. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Equations (simplification) Variation en espace de la pression Mécanique des Fluides
  105. 105. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Equations (simplification) Variation en espace de la pression densité Mécanique des Fluides
  106. 106. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Equations (simplification) Variation en espace de la pression Gravité densité Mécanique des Fluides
  107. 107. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Equations (simplification) Variation en espace de la pression Gravité Variation en temps de la vitesse densité Mécanique des Fluides
  108. 108. t1 t2 L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action Equations (simplification) Variation en espace de la pression Gravité Variation en temps de la vitesse densité F = m x Mécanique des Fluides
  109. 109. Mécanique des Fluides / Equations de Navier Stokes
  110. 110. Mécanique des Fluides / Equations de Navier Stokes
  111. 111. Mécanique des Fluides / Equations de Navier Stokes https://haxiomic.github.io/GPU-Fluid-Experiments/html5/
  112. 112. Ampère, -aimant et le bonhomme André-Marie Ampère 1775 - 1836
  113. 113. Ampère, -aimant et le bonhomme André-Marie Ampère 1775 - 1836 Expériences
  114. 114. Maxwell et le champ éléctromagnétique James Clerk Maxell 1831 - 1879
  115. 115. Maxwell et le champ éléctromagnétique James Clerk Maxell 1831 - 1879 Avertissement: Les équations de Maxwell existent sous plusieurs formes, décrit ici une forme simplifiée qui met en évidence leur symétrie. Merci à Marie-Christine Haton qui pointé une erreur dans la version précédente de ces slides.
  116. 116. Maxwell et le champ éléctromagnétique x E = - Champ électrique
  117. 117. Maxwell et le champ éléctromagnétique Champ électrique Variations en temps du champ magnétique x E = -
  118. 118. Maxwell et le champ éléctromagnétique Champ électrique Variations en temps du champ magnétique Opérateur tourbillon rotationnel) x E = -
  119. 119. Maxwell et le champ éléctromagnétique Champ électrique Variations en temps du champ magnétique Opérateur tourbillon rotationnel) E x E = -
  120. 120. Maxwell et le champ éléctromagnétique Champ électrique Variations en temps du champ magnétique Opérateur tourbillon rotationnel) E var. temp. de H x E = -
  121. 121. Maxwell et le champ éléctromagnétique Hx H = var. temp. de H x E = -
  122. 122. Maxwell et le champ éléctromagnétique .E = 0 .H = 0 Dans patatoide élémentaire, ce qui rentre est égal à ce qui sort (valable pour Electricité et Magnétisme) x E = - x H =
  123. 123. Maxwell et le champ éléctromagnétique 2E 2 .E = 0 .H = 0 x E = - x H = = 2E1 Constantes unités relatives utilisées en éléctricité et en magnétisme
  124. 124. Maxwell et le champ éléctromagnétique 2E 2 .E = 0 .H = 0 x E = - x H = = 2E= 2E1 c2 Leur produit vaut 1/c2 (c: vitesse de la lumière)
  125. 125. Maxwell et le champ éléctromagnétique Dérivée seconde en temps Dérivée seconde en espace 2E 2 =c2 2E .E = 0 .H = 0 x E = - x H =
  126. 126. Maxwell et le champ éléctromagnétique Dérivée seconde en temps Dérivée seconde en espace !!! 2E 2 =c2 2E .E = 0 .H = 0 x E = - x H =
  127. 127. Maxwell et le champ éléctromagnétique Dérivée seconde en temps Dérivée seconde en espace !!! 2E 2 =c2 2E 2H 2 =c2 2H .E = 0 .H = 0 x E = - x H =
  128. 128. Maxwell et le champ éléctromagnétique Dérivée seconde en temps Dérivée seconde en espace !!! Vitesse de propagation: c 2E 2 =c2 2E 2H 2 =c2 2H .E = 0 .H = 0 x E = - x H =
  129. 129. Maxwell et le champ éléctromagnétique Dérivée seconde en temps Dérivée seconde en espace !!! Vitesse de propagation: c LA LUMIERE EST UNE ONDE ELECTROMAGNETIQUE !!!!! 2E 2 =c2 2E .E = 0 .H = 0 x E = - x H =
  130. 130. Géométrie différentielle Carl Friedrich Gauss 1800 Bernhard Riemann 1850 courbe
  131. 131. courbe La relativité Anselme Lanturlu Jean-Pierre Petit - http://www.savoir-sans-frontieres.com/ Le Geometricon / Le Topologicon / Le trou noir / Tout est relatif
  132. 132. Simuler tout dans un ordinateur
  133. 133. Cédric Villani Optimal Transport Old & New Topics on Optimal Transport Yann Brenier The polar factorization theorem (Brenier Transport) Le Transport Optimal De Monge a Villani
  134. 134. Le Transport Optimal ANR TOMMI Workshop Mon autre présentation plus détaillée sur le transport optimal (avec les maths): http://www.slideshare.net/BrunoLevy4/optimal-transport-for-a-computer-programmers-point-of-view Video: cf liens depuis: www.loria.fr/~levy
  135. 135. Le Transport Optimal Gaspard Monge - 1784 ANR TOMMI Workshop
  136. 136. Le Transport Optimal Le problème de Monge: Trouver une application T qui minimize C(T) = || x T(x) ||2 d (x) Une application T est une application de transport entre et si (préservation de la masse): (T-1(B)) = (B) pour tout ss. ens. B mesurable (Borelien)
  137. 137. Le Transport Optimal Le problème de Monge: Trouver une application T qui minimize C(T) = || x T(x) ||2 d (x) Une application T est une application de transport entre et si (préservation de la masse): (T-1(B)) = (B) pour tout ss. ens. B mesurable (Borelien) Principe de moindre action Lois de conservation
  138. 138. Une application T est une application de transport entre et si (T-1(B)) = (B) pour tout sous-ens. de Borel B B T-1(B) (X; ) (Y; ) Le Transport Optimal
  139. 139. Une application T est une application de transport entre et si (T-1(B)) = (B) pour tout sous-ens. de Borel B (ou = T# le poussé en avant de ) B T-1(B) (X; ) (Y; ) Le Transport Optimal
  140. 140. Le Transport Optimal - Kantorovich Problème de Monge: Trouver une app. de transport T qui min. C(T) = || x T(x) ||2 d (x) Problème de Kantorovich (1942): Trouver une mesure sur x telle que x in d (x,y) = d (y) et y in d (x,y) = d (x) qui minimise x || x y ||2 d (x,y)
  141. 141. Le Transport Optimal Reconstruction de primordial Les données
  142. 142. The millenium simulation project, Max Planck Institute fur Astrophysik pc/h : parsec (= 3.2 années lumières)Le Transport Optimal
  143. 143. Le Transport Optimal Reconstruction de primordial de universelle
  144. 144. Le Transport Optimal Inverser les équations de Newton / Einstein pour remonter le temps de 14 milliards The millenium simulation project, Max Planck Institute fur Astrophysik pc/h : parsec (= 3.2 light years)
  145. 145. Le Transport Optimal The millenium simulation project, Max Planck Institute fur Astrophysik pc/h : parsec (= 3.2 années lumières) En 2002: 5 heures de calcul sur un super-ordinateur / 5000 points Peut-on faire le calcul avec 1 000 000 points ? Oui si ans !!)
  146. 146. René Descartes - 1663 Diagrammes de Voronoi
  147. 147. X = (x1, x2, xn) ens. de points xi = (xi,yi points Diagrammes de Voronoi
  148. 148. X = (x1, x2, xn) ens. de points xi = (xi,yi Vor(i) = { x / d(x,xi) < d(x,xj) } j Diagrammes de Voronoi
  149. 149. Diagrammes de Voronoi
  150. 150. Le Transport Optimal
  151. 151. Le Transport Optimal
  152. 152. Le Transport Optimal
  153. 153. Le Transport Optimal
  154. 154. Le Transport Optimal
  155. 155. Le Transport Optimal
  156. 156. hi Le Transport Optimal
  157. 157. Le Transport Optimal
  158. 158. Le Transport Optimal
  159. 159. Le Transport Optimal
  160. 160. Le Transport Optimal
  161. 161. Expérience numérique - translation Le Transport Optimal
  162. 162. Le Transport Optimal
  163. 163. Le Transport Optimal
  164. 164. Expérience numérique: Un disque devient deux disques Le Transport Optimal
  165. 165. Expérience numérique: Une sphère devient un cube Le Transport Optimal
  166. 166. Expérience numérique: Armadillo devient une sphère Le Transport Optimal
  167. 167. Expériences numériques: Autres exemples Le Transport Optimal
  168. 168. Expérience numérique: densité variable Le Transport Optimal
  169. 169. Il y a quelques années(2002), 5 heures de calcul sur un super-ordinateur Maintenant,avec le nouvel algorithme, moins de 10 secondes sur un PC portable ! Expériences numériques: performances Le Transport Optimal Calcul pour 5000 points (5000 amas
  170. 170. Prendrait 4500 ans (même sur un ordinateur actuel), algorithme en O(n3) Maintenant,avec le nouvel algorithme, moins sur un PC portable ! Expériences numériques: performances Le Transport Optimal Calcul pour 1000000 points
  171. 171. Epilogue des forêts de symboles
  172. 172. Le dernier tableau noir de Richard Feynmann
  173. 173. http://castor-informatique.fr http://www.mathkang.org/ Apprendre à programmer, facile: http://www.loria.fr/~quinson/Teaching/PLM/ http://www.python.org © Ras-TECH (Rosières-aux-Salines Technology Club)

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