Le document traite de la simulation de la physique à travers l'utilisation de concepts mathématiques, principalement ceux formulés par Isaac Newton dans ses 'Principia Mathematica'. Il aborde des thèmes tels que l'inertie, l'accélération, et les forces, tout en soulignant l'importance des calculs différentielles pour modéliser des phénomènes physiques comme la gravité et le mouvement. Enfin, il discute de l'idée de créer un langage permettant de décrire avec précision les comportements physiques à l'aide de dérivées et d'autres outils mathématiques.

1. Simuler la physique avec un ordinateur
Bruno Lévy
Bruno Lévy
Programmeur Mathématique
ALICE Géométrie & Lumière
CENTRE INRIA Nancy Grand-Est

2. De quoi va-ton parler ?

3. De quoi va-ton parler ?

4. De quoi va-ton parler ?
De physique
De mathématiques

6. La musique: un langage pour parler
- du temps

7. La musique: un langage pour parler
- du temps
- du rythme

8. La musique: un langage pour parler
- du temps
- du rythme
- de la hauteur des sons

9. Ut queant laxi,
Resonare fibris,
Mira gestorum,
Famuli tuorum,
Solve polluti,
Labii reatum.

10. Ut queant laxi,
Resonare fibris,
Mira gestorum,
Famuli tuorum,
Solve polluti,
Labii reatum.
Afin que tes serviteurs
Puissent chanter
à gorge déployée
Tes accomplissements merveilleux
Ote le péché
De leurs lèvres souillées
Saint Jean.

11. La musique: un langage pour parler
- du temps
- du rythme
- de la hauteur des sons
-

13. La physique: un langage pour parler
- du temps

14. La physique: un langage pour parler
- du temps
- de la matière

15. La physique: un langage pour parler
- du temps
- de la matière
- de

16. La physique: un langage pour parler
- du temps
- de la matière
- de
- de la lumière

17. La physique: un langage pour parler
- du temps
- de la matière
- de
- de la lumière
-

18. René Descartes - 1663
Des tourbillons
dans ?

19. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque

20. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(1) Inertie
En de forces, le mouvement en ligne droite à vitesse constante

21. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(1) Inertie
En de forces, le mouvement en ligne droite à vitesse constante
x position

22. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(1) Inertie
En de forces, le mouvement en ligne droite à vitesse constante
x position
x vitesse

23. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(1) Inertie
En de forces, le mouvement en ligne droite à vitesse constante
x position
x vitesse
x = constante

24. x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s

25. x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s

26. x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s

27. x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s

28. x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s

29. x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s

30. x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s

31. x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s

32. x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s

33. x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s

34. x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s

35. x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s

36. x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s

37. x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s
Comment simuler ce comportement sur un ordinateur ?
A chaque seconde
Décaler le rond vert
vers la droite

38. http://scratch.mit.edu

39. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(2) Principe fondamental de la dynamique
Le changement de la vitesse (acceleration) est proportionels aux forces
x position
x vitesse

40. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(2) Principe fondamental de la dynamique
Le changement de la vitesse (acceleration) est proportionels aux forces
x position
x vitesse
x accélération
F = m x

41. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(2) Principe fondamental de la dynamique
Le changement de la vitesse (acceleration) est proportionels aux forces
x position
x vitesse
x accélération
F = m x
Force

42. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(2) Principe fondamental de la dynamique
Le changement de la vitesse (acceleration) est proportionels aux forces
x position
x vitesse
x accélération
F = m x
Force
Masse

43. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

44. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

45. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

46. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

47. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

48. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

49. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

50. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

51. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

52. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

53. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

54. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

55. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

56. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

57. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

58. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

59. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

60. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

61. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

62. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

63. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

64. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

65. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

66. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

67. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

68. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = gComment simuler ce comportement
sur un ordinateur ?
A chaque seconde
soustraire 9.81 m/s de la
composante verticale de la vitesse
déplacer le point vert suivant
la vitesse

69. http://scratch.mit.edu

70. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g

71. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
On fait les calculs avec une certaine précision

72. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
On fait les calculs avec une certaine précision
On peut augmenter cette précision

73. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
On fait les calculs avec une certaine précision
On peut augmenter cette précision
Peut-on inventer un langage pour parler de ce
qui se passerait avec une précision infinie ?

74. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
Peut-on inventer un langage pour parler de ce
qui se passerait avec une précision infinie ?
Les dérivées
df(t)
dt
df(x)
dx

75. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
Peut-on inventer un langage pour parler de ce
qui se passerait avec une précision infinie ?
Les dérivées
df(t)
dt
df(x)
dx
Variation de quelquechose
par rapport au temps

76. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
Peut-on inventer un langage pour parler de ce
qui se passerait avec une précision infinie ?
Les dérivées
df(t)
dt
df(x)
dx
Variation de quelquechose
par rapport au temps
Variation de quelquechose
par rapport à

77. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
Peut-on inventer un langage pour parler de ce
qui se passerait avec une précision infinie ?
Les dérivées Le calcul différentiel
fantômes de quantités disparues
Newton et Leibniz
Les dérivées
df(t)
dt
df(x)
dx
Variation de quelquechose
par rapport au temps
Variation de quelquechose
par rapport à

78. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(3) Action réciproque
Deux corps qui agissent sur le font avec une force égale
mais de sens opposé.

79. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(3) Action réciproque
Deux corps qui agissent sur le font avec une force égale
mais de sens opposé.
F = -FAB BA

80. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(3) Action réciproque
Deux corps qui agissent sur le font avec une force égale
mais de sens opposé.
F = -F = -G mA mBAB BA
d2
Gravitation

81. Des cordes qui vibrent et des ondes
2u
2
= c2
2u
2
F = m x

82. Des cordes qui vibrent et des ondes
2u
2
= c2
2u
2
F = m x
Dérivée seconde
en temps

83. Des cordes qui vibrent et des ondes
2u
2
= c2
2u
2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace

84. Des cordes qui vibrent et des ondes
2u
2
= c2
2u
2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
vitesse (célérité)

85. Des cordes qui vibrent et des ondes
2u
2
= c2
2u
2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
vitesse (célérité)
Corde fixée à ses deux extremités
onde stationnaire
2A
2
= constante x A

86. Des cordes qui vibrent et des ondes
2u
2
= c2
2u
2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
vitesse (célérité)
Corde fixée à ses deux extremités
onde stationnaire
2A
2
= constante x A
A : amplitude

87. Des cordes qui vibrent et des ondes
2u
2
= c2
2u
2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
vitesse (célérité)
Corde fixée à ses deux extremités
onde stationnaire
2A
2
= constante x A
A : amplitude
sin( x)

88. Des cordes qui vibrent et des ondes
2u
2
= c2
2u
2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
vitesse (célérité)
Corde fixée à ses deux extremités
onde stationnaire
2A
2
= constante x A
A : amplitude
sin( x) cos( x)

89. Des cordes qui vibrent et des ondes
2u
2
= c2
2u
2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
vitesse (célérité)
Corde fixée à ses deux extremités
onde stationnaire
2A
2
= constante x A
A : amplitude
sin( x) cos( x) - 2 sin( x)

90. Des cordes qui vibrent et des ondes
2u
2
= c2
2u
2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
vitesse (célérité)
Corde fixée à ses deux extremités
onde stationnaire
2A
2
= constante x A
A : amplitude
sin( x) cos( x) - 2 sin( x)

91. Euler Lagrange
t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Hamilton, Legendre, Maupertuis

92. Euler Lagrange
t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Hamilton, Legendre, Maupertuis
Lois de la nature = minimiser

93. Euler Lagrange
t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Hamilton, Legendre, Maupertuis
Lois de la nature = minimiser = de X du temps

94. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Lois de la nature = minimiser = de X du temps

95. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Lois de Newton
Lois de Kepler

96. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Lois de Newton
Lois de Kepler
Conservation de

97. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Lois de Newton
Lois de Kepler
Conservation de
Conservation de la quantité de mouvement (p = mv)

98. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Lois de Newton
Lois de Kepler
Conservation de
Conservation de la quantité de mouvement (p = mv)
Conservation du moment cinétique en rotation (gyroscope)

99. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Lois de Newton
Lois de Kepler
Relativité
E=mc2

100. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Lois de Newton
Lois de Kepler
Relativité
E=mc2
Physique Quantique
(Intégrale de chemins)

101. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Equations (simplification)
Fluide incompressible
Mécanique des Fluides
.v = 0

102. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Equations (simplification)
Fluide incompressible
Mécanique des Fluides
.v = 0
Vitesse du fluide en un point

103. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Equations (simplification)
Fluide incompressible
Mécanique des Fluides
.v = 0
Opérateur

104. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Equations (simplification)
Fluide incompressible
Mécanique des Fluides
.v = 0

105. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Equations (simplification)
Fluide incompressible
Mécanique des Fluides
.v = 0
Si je regarde un
patatoïde
autant de fluide
qui rentre dedans et

106. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Equations (simplification)
Variation en espace
de la pression
Mécanique des Fluides

107. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Equations (simplification)
Variation en espace
de la pression
densité
Mécanique des Fluides

108. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Equations (simplification)
Variation en espace
de la pression
Gravité
densité
Mécanique des Fluides

109. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Equations (simplification)
Variation en espace
de la pression
Gravité
Variation en
temps de la
vitesse
densité
Mécanique des Fluides

110. t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Equations (simplification)
Variation en espace
de la pression
Gravité
Variation en
temps de la
vitesse
densité
F = m x
Mécanique des Fluides

111. Mécanique des Fluides / Equations de Navier Stokes

112. Mécanique des Fluides / Equations de Navier Stokes

113. Mécanique des Fluides / Equations de Navier Stokes
https://haxiomic.github.io/GPU-Fluid-Experiments/html5/

114. Ampère, -aimant et le bonhomme
André-Marie Ampère
1775 - 1836

115. Ampère, -aimant et le bonhomme
André-Marie Ampère
1775 - 1836
Expériences

116. Maxwell et le champ éléctromagnétique
James Clerk Maxell
1831 - 1879

117. Maxwell et le champ éléctromagnétique
James Clerk Maxell
1831 - 1879
Avertissement: Les équations de Maxwell existent
sous plusieurs formes, décrit
ici une forme simplifiée qui met en évidence leur
symétrie.
Merci à Marie-Christine Haton qui
pointé une erreur dans la version précédente
de ces slides.

118. Maxwell et le champ éléctromagnétique
x E = -
Champ électrique

119. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Champ électrique
Variations en temps
du champ magnétique
x E = -

120. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Champ électrique
Variations en temps
du champ magnétique
Opérateur tourbillon rotationnel)
x E = -

121. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Champ électrique
Variations en temps
du champ magnétique
Opérateur tourbillon rotationnel)
E
x E = -

122. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Champ électrique
Variations en temps
du champ magnétique
Opérateur tourbillon rotationnel)
E
var. temp.
de H
x E = -

123. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Hx H =
var. temp.
de H
x E = -

124. Maxwell et le champ éléctromagnétique
.E = 0
.H = 0
Dans patatoide élémentaire,
ce qui rentre est égal à ce qui sort
(valable pour Electricité et Magnétisme)
x E = -
x H =

125. Maxwell et le champ éléctromagnétique
2E
2
.E = 0
.H = 0
x E = -
x H =
= 2E1
Constantes unités relatives utilisées en
éléctricité et en magnétisme

126. Maxwell et le champ éléctromagnétique
2E
2
.E = 0
.H = 0
x E = -
x H =
= 2E= 2E1
c2
Leur produit vaut 1/c2
(c: vitesse de la lumière)

127. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
2E
2
=c2 2E
.E = 0
.H = 0
x E = -
x H =

128. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
!!!
2E
2
=c2 2E
.E = 0
.H = 0
x E = -
x H =

129. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
!!!
2E
2
=c2 2E
2H
2
=c2 2H
.E = 0
.H = 0
x E = -
x H =

130. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
!!!
Vitesse de propagation: c
2E
2
=c2 2E
2H
2
=c2 2H
.E = 0
.H = 0
x E = -
x H =

131. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
!!!
Vitesse de propagation: c
LA LUMIERE EST UNE ONDE
ELECTROMAGNETIQUE !!!!!
2E
2
=c2 2E
.E = 0
.H = 0
x E = -
x H =

132. Géométrie différentielle
Carl Friedrich Gauss 1800
Bernhard Riemann 1850
courbe

133. courbe La relativité
Anselme Lanturlu Jean-Pierre Petit - http://www.savoir-sans-frontieres.com/
Le Geometricon / Le Topologicon / Le trou noir / Tout est relatif

134. Simuler tout dans un ordinateur

135. Cédric Villani
Optimal Transport Old & New
Topics on Optimal Transport
Yann Brenier
The polar factorization theorem
(Brenier Transport)
Le Transport Optimal De Monge a Villani

136. Le Transport Optimal
ANR TOMMI Workshop
Mon autre présentation plus détaillée sur le transport optimal (avec les maths):
http://www.slideshare.net/BrunoLevy4/optimal-transport-for-a-computer-programmers-point-of-view
Video: cf liens depuis: www.loria.fr/~levy

137. Le Transport Optimal
Gaspard Monge - 1784
ANR TOMMI Workshop

138. Le Transport Optimal
Le problème de Monge:
Trouver une application T qui minimize C(T) = || x T(x) ||2 d (x)
Une application T est une application de transport entre et si
(préservation de la masse):
(T-1(B)) = (B) pour tout ss. ens. B mesurable (Borelien)

139. Le Transport Optimal
Le problème de Monge:
Trouver une application T qui minimize C(T) = || x T(x) ||2 d (x)
Une application T est une application de transport entre et si
(préservation de la masse):
(T-1(B)) = (B) pour tout ss. ens. B mesurable (Borelien)
Principe de moindre action Lois de conservation

140. Une application T est une application de transport entre et si
(T-1(B)) = (B) pour tout sous-ens. de Borel B
B
T-1(B)
(X; ) (Y; )
Le Transport Optimal

141. Une application T est une application de transport entre et si
(T-1(B)) = (B) pour tout sous-ens. de Borel B
(ou = T# le poussé en avant de )
B
T-1(B)
(X; ) (Y; )
Le Transport Optimal

142. Le Transport Optimal - Kantorovich
Problème de Monge:
Trouver une app. de transport T qui min. C(T) = || x T(x) ||2 d (x)
Problème de Kantorovich (1942):
Trouver une mesure sur x
telle que x in d (x,y) = d (y)
et y in d (x,y) = d (x)
qui minimise x || x y ||2 d (x,y)

143. Le Transport Optimal
Reconstruction de primordial
Les données

144. The millenium simulation project, Max Planck Institute fur Astrophysik
pc/h : parsec (= 3.2 années lumières)Le Transport Optimal

145. Le Transport Optimal
Reconstruction de primordial de
universelle

146. Le Transport Optimal
Inverser les équations de Newton / Einstein pour remonter
le temps de 14 milliards
The millenium simulation project,
Max Planck Institute fur Astrophysik
pc/h : parsec (= 3.2 light years)

147. Le Transport Optimal
The millenium simulation project,
Max Planck Institute fur Astrophysik
pc/h : parsec (= 3.2 années lumières)
En 2002: 5 heures de calcul
sur un super-ordinateur / 5000 points
Peut-on faire le calcul avec
1 000 000 points ?
Oui si ans !!)

148. René Descartes - 1663
Diagrammes
de Voronoi

149. X = (x1, x2, xn) ens. de points
xi = (xi,yi points
Diagrammes de Voronoi

150. X = (x1, x2, xn) ens. de points
xi = (xi,yi
Vor(i) = { x / d(x,xi) < d(x,xj) } j
Diagrammes de Voronoi

151. Diagrammes de Voronoi

152. Le Transport Optimal

153. Le Transport Optimal

154. Le Transport Optimal

155. Le Transport Optimal

156. Le Transport Optimal

157. Le Transport Optimal

158. hi
Le Transport Optimal

159. Le Transport Optimal

160. Le Transport Optimal

161. Le Transport Optimal

162. Le Transport Optimal

163. Expérience numérique - translation
Le Transport Optimal

164. Le Transport Optimal

165. Le Transport Optimal

166. Expérience numérique: Un disque devient deux disques
Le Transport Optimal

167. Expérience numérique: Une sphère devient un cube
Le Transport Optimal

168. Expérience numérique: Armadillo devient une sphère
Le Transport Optimal

169. Expériences numériques: Autres exemples
Le Transport Optimal

170. Expérience numérique: densité variable
Le Transport Optimal

171. Il y a quelques années(2002), 5 heures de calcul sur un super-ordinateur
Maintenant,avec le nouvel algorithme, moins de 10 secondes sur un PC portable !
Expériences numériques: performances
Le Transport Optimal
Calcul pour 5000 points (5000 amas

172. Prendrait 4500 ans (même sur un ordinateur actuel), algorithme en O(n3)
Maintenant,avec le nouvel algorithme, moins sur un PC portable !
Expériences numériques: performances
Le Transport Optimal
Calcul pour 1000000 points

173. Epilogue des forêts de symboles

174. Le dernier tableau noir de Richard Feynmann

175. http://castor-informatique.fr
http://www.mathkang.org/
Apprendre à programmer, facile:
http://www.loria.fr/~quinson/Teaching/PLM/
http://www.python.org
© Ras-TECH
(Rosières-aux-Salines Technology Club)