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1. Chapitre 01 : Espaces Vectoriels
1°Espace vectoriel
𝑫é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟏.
Soient IK un corps commutatif et E un ensemble muni de deux lois de composition, l'une interne notée :
+∶ 𝐸 × 𝐸 → 𝐸 (𝑥; 𝑦) → 𝑥 + 𝑦;
et l'autre externe notée :
I𝐾 × 𝐸 → 𝐸 (𝛼, 𝑢) → 𝛼. 𝑢
𝑫é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏 𝟐
(𝐸, +, . ) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 (𝑜𝑢 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑟 I𝐾) 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 ∶
1) (𝐸, +) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑔𝑟𝑜𝑢𝑝𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑓.
2) 𝐿𝑎 𝑙𝑜i . 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑥𝑖𝑜𝑚𝑒𝑠 ∶
𝑖. ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, ∀𝛼 ∈ 𝐼𝐾, 𝛼. (𝑥 + 𝑦) = 𝛼. 𝑥 + 𝛼. 𝑦
𝑖𝑖. ∀𝑥 ∈ 𝐸, ∀ 𝛼, 𝜇 ∈ 𝐼𝐾, (𝛼 + 𝜇). 𝑥 = 𝛼. 𝑥 + 𝜇. 𝑥
𝑖𝑖𝑖. ∀𝑥 ∈ 𝐸, ∀ 𝛼, 𝜇 ∈ 𝐼𝐾, 𝛼. (𝜇. 𝑥) = (𝛼 × 𝜇). 𝑥
𝑖𝑣. ∀𝑥 ∈ 𝐸, 1.𝑥 = 𝑥
𝐿𝑒𝑠 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒 𝐸 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑒𝑡 𝑙𝑒𝑠 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒 I𝐾 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠
𝑜𝑢 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠
Exemples fondamentaux
1°𝐿′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝐈𝐑 𝑑𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑟é𝑒𝑙𝑠 𝑝𝑒𝑢𝑡 ê𝑡𝑟𝑒 𝑚𝑢𝑛𝑖 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝐈𝐑 − 𝐞𝐬𝐩𝐚𝐜𝐞 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 :
2° (𝑰𝑹𝒏 ; +; . )𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑠 IR
𝑫é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍′𝒆𝒏𝒔𝒆𝒎𝒃𝒍𝒆
𝑆𝑖 𝐧 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 𝑜𝑢 é𝑔𝑎𝑙 à 2, 𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑡 𝑐𝑎𝑟𝑡é𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝐧 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒𝑠
é𝑔𝑎𝑢𝑥 à 𝐈𝐑, 𝑰𝑹 × 𝑰𝑹 × … . .× 𝑰𝑹 𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑡é 𝑰𝑹𝒏 .
𝐶′𝑒𝑠𝑡 𝑙′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑛 − 𝑢𝑝𝑙𝑒𝑡𝑠 (𝑥1; 𝑥2 … … . 𝑥𝑛) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑥1; 𝑥2 … … . 𝑥𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒 IR . 𝐶𝑒𝑐𝑖 𝑠′é𝑐𝑟𝑖𝑡 ∶
𝐼𝑅𝑛 = {(𝑥1; 𝑥2 … … . 𝑥𝑛); ∀𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑥𝑖 ∈ 𝐼𝑅}
𝑫é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒍𝒐𝒊 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒆
𝑆𝑖 (𝑥1; 𝑥2 … … . 𝑥𝑛) 𝑒𝑡 (𝑦1; 𝑦2 … … . 𝑦𝑛) 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒 𝑰𝑹𝒏
(𝑥1; 𝑥2 … … . 𝑥𝑛) 𝑒𝑡 (𝑦1; 𝑦2 … … . 𝑦𝑛) = (𝑥1 + 𝑦1; 𝑥2 + 𝑦2; … … … … ; 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛)
𝑫é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒍𝒐𝒊 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒏𝒆
𝑆𝑖 α 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑟é𝑒𝑙, 𝑒𝑡 (𝑥1; 𝑥2 … … . 𝑥𝑛) 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑰𝑹𝒏
𝛼. (𝑥1; 𝑥2 … … . 𝑥𝑛) = (𝛼𝑥1; 𝛼𝑥2 … … . ; 𝛼𝑥𝑛)
(𝑰𝑹𝒏 ; +; . )𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏 𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒆𝒍 𝒔𝒖𝒓 𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒔 𝑰𝑹
3°𝐿′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝐈𝐑 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐈𝐑 𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑡é IF(𝑰𝑹,𝑰𝑹) est un
espace 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙.
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏 .
𝑆𝑖 𝐸 𝑒𝑠𝑡 𝐼𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑜𝑛 𝑎 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖é𝑡é𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠:
(1)∀𝑥 ∈ 𝐸, 0𝐼𝐾.𝑥 = 0𝐸
(2)∀𝑥 ∈ 𝐸, −1𝐼𝐾.𝑥 = −𝑥
(3)∀𝛼 ∈ 𝐼𝐾,𝛼. 0𝐸 = 0𝐸
(4) ∀𝛼 ∈ 𝐼𝐾, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, 𝛼 · (𝑥 − 𝑦) = 𝛼 · 𝑥 − 𝛼 · 𝑦
(5)∀𝛼 ∈ 𝐼𝐾,∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥 · 𝛼 = 0𝐸 ⟺ 𝑥 = 0𝐸 𝑜𝑢 𝛼 = 0𝐼𝐾
2°Sous-espace vectoriel
Théorème et définition d'un sous-espace vectoriel
𝑆𝑜𝑖𝑡 E 𝑢𝑛 IK − espace 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙, 𝑒𝑡 𝑠𝑜𝑖𝑡 F 𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑑𝑒 E 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∶

2. F 𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑑𝑒
F 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙′𝑎𝑑𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 ∶ ∀𝑢; 𝑣 ∈ 𝐹: 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝐹
F 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 ∶ ∀𝛼 ∈ 𝐼𝐾; ∀𝑢 ∈ 𝐹: 𝛼. 𝑢 ∈ 𝐹
𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒 F ,𝑚𝑢𝑛𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑙𝑜𝑖𝑠, 𝑎 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑒IK − espace 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙:
𝐹 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙é𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 E .
Preuve
𝐿𝑎 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝐹 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑙𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑛𝑖𝑟 𝑐𝑒𝑡 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑙𝑜𝑖 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒 𝑒𝑡
𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑙𝑜𝑖 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒 à 𝑜𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑎 , 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑖𝑔𝑛𝑎𝑛𝑡 à 𝐼𝐾 𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑠
𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐸 .
𝐿𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖é𝑡é𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é 𝑒𝑡 𝑑′𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝑙′𝑎𝑑𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛, 𝑎𝑖𝑛𝑠𝑖 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑥𝑖𝑜𝑚𝑒𝑠
𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓𝑠 à 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑖 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖é𝑠, 𝑐𝑎𝑟 𝑖𝑙𝑠 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐸 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑖𝑒𝑟 𝑑 ,
𝑞𝑢𝑖 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐸 .
𝐼𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑒 à 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑙′𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑑′𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑒, 𝑒𝑡 𝑑′𝑢𝑛 𝑠𝑦𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 :
𝐿′𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝐸 𝑝𝑜𝑠𝑠è𝑑𝑒 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑒 0 .
𝐶𝑒𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝐹 𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 (𝑙′ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡ℎè𝑠𝑒 𝐹 𝑛𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑐𝑖 𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒) 0𝐸
𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝐹 (𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝐹 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑖 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒), 𝑜𝑟 0. 𝑢 = 0𝐸 𝑑𝑜𝑛𝑐 0𝐸 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à F .
𝐷𝑒 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝐹 é𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠 𝑑 , 𝑐𝑒𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑒𝑠𝑡 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∶ ∀𝑢 ∈ 𝐹: 𝑢 + 0𝐸 = 0𝐸 + 𝑢 .
L'élément neutre de l'addition dans F est donc 0 .
De même F étant inclus dans E , pour tout élément u de F , il existe un élément de E ,
𝑛𝑜𝑡é − , 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑢 + (−𝑢) = 0𝐸 ; 𝑖𝑙 𝑓𝑎𝑢𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 − 𝑢 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝐹 .
𝑢 é𝑡𝑎𝑛𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛 , (−1)𝑢 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝐹 , 𝑑′𝑎𝑝𝑟è𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝐹 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑖 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒.
𝑂𝑟 . (−1)𝑢 = −𝑢
𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑢 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐹 𝑒𝑠𝑡 é𝑔𝑎𝑙 𝑎𝑢 𝑠𝑦𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑢 𝑑 .
𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 é𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑎𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑜𝑢𝑝𝑒, 𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑛𝑜𝑡𝑒𝑟 𝑖𝑐𝑖 𝑞𝑢𝑒 (𝐹, +) 𝑒𝑠𝑡
𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑔𝑟𝑜𝑢𝑝𝑒 𝑑𝑒 (𝐸, +)
Remarque
𝑈𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑛é𝑐𝑒𝑠𝑠𝑎𝑖𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 0 .
𝐶𝑒𝑐𝑖 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑒 𝑚é𝑡ℎ𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟 𝑞𝑢′𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑛′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠
𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 ∶ 𝑠𝑖 0𝐸 𝑛′𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑠 à 𝐹 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐹 𝑛′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠
𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 .
𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆
𝐸 é𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑢𝑛 𝐼𝐾 − 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙, 𝑒𝑡 𝑢 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑐𝑜𝑛𝑞𝑢𝑒 ,
𝑙′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝐹 = {𝛼𝑢/𝛼 ∈ 𝐼𝐾} 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 𝑒𝑛𝑔𝑒𝑛𝑑𝑟é 𝑝𝑎𝑟 {𝑢}.
𝐼𝑙 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑜𝑢𝑣𝑒𝑛𝑡 𝑛𝑜𝑡é 𝐼𝐾𝑢.
Théorème : Structure de l'intersection de deux sous-espaces
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐸 𝑢𝑛 𝐼𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 ; 𝑙′𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝑑𝑒 𝐸
𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 .

3. Preuve
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐹1 𝑒𝑡 𝐹2 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 .
𝐿′𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐹1 ∩ 𝐹2 𝑛′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟 0𝐸 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝐹1 𝑒𝑡 𝐹2
(𝑐𝑎𝑟 𝑐𝑒 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 ).
𝐼𝑙 𝑠𝑢𝑓𝑓𝑖𝑡 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐹1 ∩ 𝐹2 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 ∶
𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑢 𝑒𝑡𝑣 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝐹1 ∩ 𝐹2 𝑒𝑡 𝛼, 𝛽 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠.
𝑢 𝑒𝑡 𝑣 𝑠𝑜𝑛𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒 𝐹1 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 ,
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝐹1 .
𝐷𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝐹2 .𝐿𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 à 𝐹1 ∩ 𝐹2 .
Exemple 1
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐹 𝑙𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝐼𝑅3 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖 𝑝𝑎𝑟 ∶ 𝐹 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝐼𝑅3: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 𝑒𝑡 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0}
𝐿′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝐹 𝑒𝑠𝑡 𝑙′𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐹1 𝑒𝑡 𝐹2 , 𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐼𝑅3 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑟 ∶
𝐹1 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝐼𝑅3: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0}et 𝐹2 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝐼𝑅3: 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0}
𝐶𝑒 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐼𝑅3 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐹 = 𝐹1 ∩ 𝐹2 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 .
Cas général
Structure de l'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces
𝐿′𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑐𝑜𝑛𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝑑𝑒 𝐸 𝑒𝑠𝑡
𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 .
Preuve
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑆 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝑑𝑒 E , 𝑙′𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑠 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒
𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑡é𝑒 ⋂ 𝐹
𝐹∈𝑆
. 𝑆𝑖 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒, 𝛽 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑥é𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑙′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑′𝑖𝑛𝑑𝑖 , 𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡
𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 .
Définition : Structure de la réunion de deux sous-espaces
𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝐸 𝑢𝑛𝐼𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙, 𝐹 𝑒𝑡 𝐺 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝑑𝑒 𝐸 .
𝐿𝑎 𝑟é𝑢𝑛𝑖𝑜𝑛 𝐹 𝖴 𝐺 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝐹 , 𝑛′𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 𝑞𝑢𝑒
𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑢𝑥 𝐹 𝖴 𝐺 = 𝐹 𝑜𝑢 𝐹 𝖴 𝐺 = 𝐺 𝑐′𝑒𝑠𝑡 − à − 𝑑𝑖𝑟𝑒𝐹 𝖴 𝐺 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒
𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝐹 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐺 𝑜𝑢 𝐺 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐹 .
𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑛𝑜𝑡é𝑒 𝑆 = {𝐹𝑖}∈𝐼 𝑒𝑡 𝑙′𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑠 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒 S 𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑡é𝑒 ⋂ 𝐹𝑖 .
𝑖∈𝐼
𝐿𝑎 𝑑é𝑚𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑟é𝑐é𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒 𝑎𝑖𝑠é𝑚𝑒𝑛𝑡. ⋂ 𝐹𝑖 𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟, 𝑝𝑜𝑢𝑟
𝑖∈𝐼
𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑖 , 0𝐸 𝑒𝑠𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 . 𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑢, 𝑣 𝑑𝑒𝑠 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒 ⋂ 𝐹𝑖
𝑖∈𝐼
𝑒𝑡 𝛼 , 𝑑𝑒𝑢𝑥
𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠; 𝑜𝑛 𝑎, 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑖 𝑑𝑒 𝐼 : 𝑢 𝑒𝑡 𝑣 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑛𝑒𝑛𝑡 à 𝐹𝑖; 𝐹𝑖 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒
𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à .
𝑃𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à ⋂ , 𝑒𝑡 𝑜𝑛 𝑎 𝑎𝑖𝑛𝑠𝑖 é𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖 𝑞𝑢𝑒 ⋂ 𝐹𝑖 𝑒𝑠𝑡
𝑖∈𝐼 𝑖∈𝐼

4. Preuve
𝑆𝑖 𝐹 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐺 , 𝐹 𝖴 𝐺 = 𝐺 𝑒𝑠𝑡 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 .
𝐷𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 𝑠𝑖 𝐺 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢 𝑑 .
𝑴é𝒕𝒉𝒐𝒅𝒆 ∶ 𝑹é𝒄𝒊𝒑𝒓𝒐𝒒𝒖𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕
𝑆𝑖 (𝑃) 𝑑é𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖é𝑡é"𝐹 𝖴 𝐺 = 𝐺 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 ",
𝑠𝑖 (𝑄) 𝑑é𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖é𝑡é " 𝐹 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐺 "(𝑅) 𝑑é𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖é𝑡é "𝐺 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐹 ",
𝑙𝑒 𝑠𝑐ℎé𝑚𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑙′é𝑛𝑜𝑛𝑐é 𝑒𝑠𝑡: "(𝑃) 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 (𝑄) 𝑜𝑢 (𝑅) ".
𝐼𝑙 𝑒𝑠𝑡 é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑑é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 "𝑛𝑜𝑛 (𝑄) 𝑒𝑡 𝑛𝑜𝑛 (𝑅) 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡 𝑛𝑜𝑛 (𝑃) " ∶
𝑐′𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝒓𝒂𝒊𝒔𝒐𝒏𝒏𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒑𝒂𝒓 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒑𝒐𝒔é𝒆.
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐹 𝑒𝑡 𝐺 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐹 𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐺 , 𝑒𝑡 𝐺 𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐹 .
𝑃𝑢𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 𝐹 𝑛′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢 𝑑 , 𝑖𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 , 𝑛𝑜𝑡é 𝑎 , 𝑞𝑢𝑖 𝑛′𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑠 à 𝐺 .
𝐶𝑜𝑚𝑚𝑒 𝐹 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐹 𝖴 𝐺 𝑎 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖 à 𝐹 .
𝐸𝑡 𝑑𝑒 𝑚ê𝑚𝑒, 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 𝐺 𝑛′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢 𝑑 , 𝑖𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐺 , 𝑛𝑜𝑡é 𝑏 , 𝑞𝑢𝑖 𝑛′𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡
𝑝𝑎𝑠 à . 𝐶𝑜𝑚𝑚𝑒 𝐺 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐹 , 𝑏 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖 à 𝐹 .
𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙′é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑎 + 𝑏 𝑛′𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑛𝑖 à 𝐹 𝑛𝑖 à 𝐺 : 𝑒𝑛 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑡 𝑠′𝑖𝑙 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑛𝑎𝑖𝑡 à ,
𝑙′é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑏 = (𝑎 + 𝑏) − 𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑎𝑖𝑡 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐹 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 𝐹 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙,
𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑖 𝑒𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑜𝑖𝑥 𝑑𝑒 𝑏 ; 𝑑𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 𝑎 + 𝑏 𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑛𝑖𝑟 à ,
𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛 𝑎 = (𝑎 + 𝑏) − 𝑏 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑟𝑎𝑖𝑡 à . 𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 𝐹 𝖴 𝐺 𝑛′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙′𝑎𝑑𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛, 𝐹 𝖴 𝐺
𝑛′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 .
3°Somme de deux sous-espaces vectoriels :
Définition : Définition de la somme de deux sous-espaces
𝑆𝑖 𝐹𝑒𝑡 𝐺 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝑑′𝑢𝑛 𝐼𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝐸 ,
𝑙′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑢𝑠 𝑙𝑒𝑠 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑥 + 𝑦 𝑜ù 𝑥 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹
𝑒𝑡 𝑦 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 G , 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙é 𝒔𝒐𝒎𝒎𝒆 𝒅𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒖𝒔 − 𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒆𝒔 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒆𝒍𝒔 𝑭 𝒆𝒕 𝑮 .
𝐶𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑡é𝑒 𝐹 + 𝐺 :
F + G = {𝑢 ∈ 𝐸/∃𝑥 ∈ 𝐹𝑒𝑡 ∃𝑦 ∈ 𝐺: 𝑢 = 𝑥 +y }
Remarque
𝐿′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝐹 + 𝐺 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝐹 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝐺 : 𝑒𝑛 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑡 𝑡𝑜𝑢𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑥 𝑑𝑒 𝐹 𝑠′é𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑥 = 𝑥 + 0
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑥 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡 à 𝐹 𝑒𝑡 0 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡 à 𝐺 (𝑝𝑢𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 𝐺 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙),
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑥 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝐹 + . 𝐷𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 G .
Théorème de structure de la somme de deux sous-espaces vectoriels
𝑆𝑖 𝐹 𝑒𝑡 𝐺 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝑑𝑢 𝐼𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝐸 , 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐹 + 𝐺 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛
𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 . 𝐿𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝐹 + 𝐺 𝑑𝑒 𝐸 , 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠
𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝐹 𝑒𝑡 𝐺 𝑑𝑒 E , 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 𝑒𝑛𝑔𝑒𝑛𝑑𝑟é 𝑝𝑎𝑟 𝐹 𝖴 𝐺 ,
𝑟é𝑢𝑛𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐹 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝐺 ; 𝑐′𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑒 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡 𝐹 𝑒𝑡 𝐺

5. Preuve : Preuve du 1 : F+G est un sous-espace vectoriel
𝐼𝑙 𝑠𝑢𝑓𝑓𝑖𝑡 𝑑𝑒 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐹 + 𝐺 𝑛′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑡 𝑞𝑢𝑒𝐹 + 𝐺 𝑝𝑜𝑠𝑠è𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖é𝑡é ∶
∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝐹 + 𝐺, ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐼𝐾: 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢′ ∈ 𝐹 + 𝐺
𝐿′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝐹 + 𝐺 𝑛′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟 𝑖𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝐹 𝑒𝑡 𝑖𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝐺 .
𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑢 𝑒𝑡 𝑢′ 𝑑𝑒𝑠 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒 𝐹 + , 𝑖𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑢𝑥 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 , 𝑥 𝑒𝑡 𝑥′ ,
𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 , 𝑦 𝑒𝑡 𝑦′ , 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑢 = 𝑥 + 𝑦 𝑒𝑡 𝑢′ = 𝑥′ + 𝑦′ .
𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝛼 𝑒𝑡 𝛼′ 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠. 𝐸𝑛 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑥𝑖𝑜𝑚𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠, 𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 ∶
𝛼𝑢 + 𝛼′𝑢′ = 𝛼(𝑥 + 𝑦) + 𝛼′(𝑥′ + 𝑦′) = (𝛼𝑥 + 𝛼′𝑥′) + (𝛼𝑦 + 𝛼′𝑦′)
𝐶𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑒𝑡 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 ∶ 𝛼𝑥 + 𝛼′𝑥′ ∈ F et 𝛼𝑦 + 𝛼′𝑦′ ∈ G
donc 𝛼𝑢 + 𝛼′𝑢′ ∈ F + G
Preuve : Preuve du 2
𝐷′𝑎𝑝𝑟è𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑚𝑎𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑟é𝑐é𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑡 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒 1 𝑑𝑢 𝑡ℎé𝑜𝑟è𝑚𝑒,𝐹 + 𝐺 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡 𝐹 𝖴 𝐺 .
𝐼𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑒 à 𝑑é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡 𝐹 𝖴 𝐺 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖 𝐹 + .
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑é𝑟 , 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡 𝐹 𝖴 𝐺 , 𝑒𝑡 𝑢 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡
𝑞𝑢𝑒𝑙𝑐𝑜𝑛𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝐹 + 𝐺 . ∀𝑢 ∈ 𝐹 + 𝐺 ∃𝑣 ∈ 𝐹 𝑒𝑡 ∃𝑤 ∈ 𝐺 ∶ 𝑢 = 𝑣 + 𝑤
𝐿′é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑢 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑′𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑣 𝑑𝑒 𝐹 𝑒𝑡 𝑑′𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑤 .
𝐿𝑒𝑠 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑣 𝑒𝑡 𝑤 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑛𝑒𝑛𝑡 à 𝐹 𝖴 , 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑖𝑙𝑠 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑛𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖 à ,
𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑒 𝐻 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙, 𝑙′é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑣 + 𝑤 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝐻
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑢 = 𝑣 + 𝑤 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 . 𝐷𝑜𝑛𝑐 𝐻 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝐹 + 𝐺 .
Propriété : Propriété de génération de la somme
𝑆𝑖 𝐹 = {𝑣1; 𝑣2 … … … . 𝑣𝑝} 𝑒𝑡 𝐺 = {𝑤1; 𝑤2; … … … … 𝑤𝑛}
𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐹 + 𝐺 = {𝑣1; 𝑣2 … … … . 𝑣𝑝; 𝑤1; 𝑤2; … … … … 𝑤𝑛}
Exemple 1
𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑛𝑠 𝐹 + 𝐺 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑜ù 𝐹 𝑒𝑡𝐺 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝑑𝑒 𝐼𝑅3 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑠 ∶
𝐹 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝐼𝑅3: 𝑥 = 𝑧 = 0} 𝑒𝑡 𝐺 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝐼𝑅3: 𝑦 = 𝑧 = 0}
𝑈𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑢 𝑑𝑒 𝐹 + 𝐺 𝑠′é𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑢 = 𝑣 + 𝑤 𝑜ù 𝑣 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 𝑒𝑡 𝑤 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐺 ;
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑖𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑟é𝑒𝑙𝑠 𝑥 𝑒𝑡 𝑦 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑣 = (𝑥; 0; 0) 𝑒𝑡 𝑤 = (0; 𝑦; 0) : 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑢 = (𝑥; 𝑦; 0) .
𝑅é𝑐𝑖𝑝𝑟𝑜𝑞𝑢𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑢𝑛 𝑡𝑒𝑙 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑢 = (𝑥; 𝑦; 0) 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑e (𝑥; 0; 0) 𝑒𝑡 𝑑𝑒 (0; 𝑦; 0)
𝐷𝑜𝑛𝑐 𝐹 + 𝐺 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧)} ∈ 𝐼𝑅3: 𝑧 = 0
𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆 𝟐
𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝐹′𝑒𝑡 𝐺′𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝑑𝑒 𝐼𝑅3 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑠 ∶
𝐹′ = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝐼𝑅3: 𝑥 = 0} 𝑒𝑡 𝐺′ = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝐼𝑅3: 𝑦 = 0}
𝐷𝑎𝑛𝑠 𝑐𝑒𝑡 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒, 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐹′ + 𝐺′ = 𝐼𝑅3 .
𝑃𝑎𝑟 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐹′ + 𝐺′ ⊂ 𝐼𝑅3 , 𝑡𝑜𝑢𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹′ + 𝐺′ 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐼𝑅3
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑟é𝑐𝑖𝑝𝑟𝑜𝑞𝑢𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑢 = (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑐𝑜𝑛𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝐼𝑅3 :

6. 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑢 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝐹′ + 𝐺′
𝑢 = (𝑥; 𝑦; 𝑧) = (0; 𝑦; 𝑧) + (𝑥; 0; 0)
3°Somme directe de deux sous-espaces vectoriels
Définition :
𝐸𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑠 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝐹 𝑒𝑡 𝐺 𝑑𝑒 E , 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝐹 + 𝐺
𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝐹 𝑒𝑡 𝐺 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑡𝑒 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒆 𝑒𝑡 𝑠′é𝑐𝑟𝑖𝑡 𝐹⨁G 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖
𝑡𝑜𝑢𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 + 𝐺 𝑠′é𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑖è𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒
𝑑′𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 𝑒𝑡 𝑑′𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 G . 𝐿𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝐹⨁G 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙é𝑒 𝒔𝒐𝒎𝒎𝒆 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒆 𝑑𝑒 𝐹 𝑒𝑡 G .
Propriété : Propriété caractéristique
𝑈𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑛é𝑐𝑒𝑠𝑠𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑒𝑡 𝑠𝑢𝑓𝑓𝑖𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠
𝐹 𝑒𝑡 𝐺 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑙′𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐹 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝐺 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑟é𝑑𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑎𝑢 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑛𝑢𝑙.
𝐹 + 𝐺 = 𝐹⨁G ⟺ F ∩ G = {0𝐸}
Preuve
𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐹 + 𝐺 = 𝐹⨁G .
𝑆𝑖 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑐𝑜𝑛𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 F ∩ G 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑠′é𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑚𝑎𝑛𝑖è𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠,
𝑐𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑′𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 𝑒𝑡 𝑑′𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐺 : 𝑢 = 0 + 𝑢 𝑒𝑡 𝑢 = 𝑢 + 0
𝐿′é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 é𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 F ∩ G ,𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 + 𝐺 ;
𝑑′𝑎𝑝𝑟è𝑠 𝑙′𝑢𝑛𝑖𝑐𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝑙′é𝑐𝑟𝑖𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑑′𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 + , 𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎î𝑛𝑒 ∶ 𝑢 = 0 . 𝐷𝑜𝑛𝑐 F ∩ G = {0𝐸}
𝑅é𝑐𝑖𝑝𝑟𝑜𝑞𝑢𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠 F ∩ G = {0𝐸} .
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑢 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 + . 𝑆𝑖 𝑢 𝑠′é𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑚𝑎𝑛𝑖è𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑′𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 𝑒𝑡
𝑑′𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐺: 𝑢 = 𝑣 + 𝑤 𝑒𝑡 𝑢 = 𝑣′ + 𝑤′ , 𝑜ù 𝑣 𝑒𝑡 𝑣′ 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠
𝑑𝑒 𝐹 𝑒𝑡 𝑤 𝑒𝑡 𝑤′ 𝑑𝑒𝑠 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 , 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑣 − 𝑣′ = 𝑤′ − 𝑤 ;
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣 − 𝑣′ 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 𝑒𝑡𝑤′ − 𝑤 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐺
(𝑝𝑢𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 𝐹 𝑒𝑡 𝐺 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠)𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑣 − 𝑣′ = 𝑤′ − 𝑤 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡
𝑑𝑒 𝐹 ∩ , 𝑐′𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑙′é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑛𝑢𝑙, 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑣 = 𝑣′𝑒𝑡 𝑤 = 𝑤′ 𝑒𝑡 .
𝐿′é𝑐𝑟𝑖𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑢 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑′𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 𝑒𝑡 𝑑 ′𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐺 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒.
Somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels
Définition de la somme directe de n sous-espaces vectoriels
𝐿𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝐹1; 𝐹2 … … 𝐹𝑛 𝑑′𝑢𝑛 𝐼𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝐸 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑒
𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑡𝑜𝑢𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹1 + 𝐹2 + ⋯ … +𝐹𝑛 𝑠′é𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑖è𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒
𝑑′é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒 𝐹1; 𝐹2 … … . 𝐶𝑒 𝑞𝑢𝑖 𝑠′é𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 ∶
∀𝑥 ∈ 𝐹1 + 𝐹2 + ⋯ … +𝐹𝑛; ∃! (𝑥1; 𝑥2; …… 𝑥𝑛) ∈ 𝐹1 × 𝐹2 × … … × 𝐹𝑛: 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ … + 𝑥𝑛 :
𝐿𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐹1;𝐹2 … …𝐹𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑡é𝑒 : 𝐹1⨁𝐹2⨁ …… ⨁𝐹𝑛
Propriété : Propriété caractéristique

7. 𝐿𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝐹1;𝐹2 …… 𝐹𝑝 𝑑′𝑢𝑛 𝐼𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝐸 𝑒𝑠𝑡 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒆
𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖é𝑡é 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖é𝑒 ∶
∀𝑝 ∈ 𝐼𝑁, 2 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛, (𝐹1 + 𝐹2 + ⋯ … +𝐹𝑝−1) ∩ 𝐹𝑝 = {0𝐸}
4°Sous-espaces vectoriels supplémentaires
Définition :
1) 𝐷𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝐹𝑒𝑡𝐺 𝑑′𝑢𝑛 𝐼𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝐸 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝒔𝒐𝒖𝒔 − 𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒆𝒔
𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒆𝒍𝒔 𝒔𝒖𝒑𝒑𝒍é𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒊𝒓𝒆𝒔 𝑑𝑒 𝐸 𝑠𝑖 𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑒 𝑒𝑡 𝑒𝑠𝑡 é𝑔𝑎𝑙𝑒 à 𝑙′𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 .
𝐸 = 𝐹⨁G.
2) 𝑆𝑖 𝐹 𝑒𝑡 𝐺 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 𝑑′𝑢𝑛 𝐼𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 ,
𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝐹 𝑒𝑠𝑡 𝒖𝒏 𝒔𝒖𝒑𝒑𝒍é𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒊𝒓𝒆 𝑑𝑒 G , 𝑜𝑢 𝑞𝑢𝑒 𝐺 𝑒𝑠𝑡 𝒖𝒏 𝒔𝒖𝒑𝒑𝒍é𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝐹 .
Propriété : Propriétés caractéristiques
1 -𝐷𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝐹 𝑒𝑡 𝐺 𝑑′𝑢𝑛 𝐼𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝐸 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝒔𝒐𝒖𝒔 − 𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒆𝒔
𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒆𝒍𝒔 𝒔𝒖𝒑𝒑𝒍é𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒊𝒓𝒆𝒔 𝑑𝑒 𝐸 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑡𝑜𝑢𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐸
𝑠′é𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑖è𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑′𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒𝐹 𝑒𝑡 𝑑′𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 G .
2-𝐷𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝐹 𝑒𝑡 G 𝑑′𝑢𝑛 𝐼𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝐸 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝒔𝒐𝒖𝒔 − 𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒆𝒔 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒆𝒍𝒔
𝒔𝒖𝒑𝒑𝒍é𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒊𝒓𝒆𝒔 𝑑𝑒 𝐸 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝐸 = 𝐹 + 𝐺 𝑒𝑡 𝐹 ∩ 𝐺 = {0𝐸}
Exemple 3
𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝐹 𝑒𝑡 𝐺 𝑑𝑒 𝐼𝑅3 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑠 ∶
𝐹 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝐼𝑅3: 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0} 𝑒𝑡 𝐺 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝐼𝑅3: 𝑦 = 𝑧 = 0}
𝐿𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝐹 𝑒𝑡 𝐺 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐼𝑅3 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠.
𝑷𝒓𝒆𝒖𝒗𝒆
1) 𝐼𝑙 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑚𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑡 𝑑𝑒 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐹 ∩ 𝐺 = {0𝐸}
𝐸𝑛 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑡 𝑠𝑖 𝑙′é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑢 = (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝑙′𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐹 𝑒𝑡 , 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠
𝑑𝑒 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑛𝑡 ∶ 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 (𝑐𝑎𝑟 𝑢 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à ), 𝑒𝑡 𝑦 = 𝑧 = 0 (𝑐𝑎𝑟 𝑢 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝐺 ),
𝑑𝑜𝑛 𝑥 = 𝑦 + 𝑧 = 0 𝑒𝑡 𝑢 = (0; 0; 0) .
2) 𝐼𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑒 à 𝑑é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐹 + 𝐺 = 𝐼𝑅3 .
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑢 = (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑐𝑜𝑛𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝐼𝑅3 ; 𝑖𝑙 𝑓𝑎𝑢𝑡 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠
é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑢1 𝑑𝑒 𝐹 𝑒𝑡 𝑢2 𝑑𝑒 𝐺 𝑑𝑜𝑛𝑡 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑠𝑜𝑖𝑡 é𝑔𝑎𝑙𝑒 à 𝑢 = 𝑢1 + 𝑢2 .
𝐿′é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑢1 𝑑𝑜𝑖𝑡 ê𝑡𝑟𝑒 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑢1 = (𝑥1; 𝑦1; 𝑧1) 𝑎𝑣𝑒𝑐 : 𝑥1 − 𝑦1 − 𝑧1 = 0

8. 𝑒𝑡 𝑙′é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑢2 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑢2 = (𝑥2; 𝑦2; 𝑧2) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑦2 = 𝑧2 = 0 .
𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒 (𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑦 + 𝑧; 𝑦; 𝑧) + (𝑥 − 𝑦 − 𝑧; 0; 0) 𝑜ù (𝑦 + 𝑧; 𝑦; 𝑧) ∈ F et (𝑥 − 𝑦 − 𝑧; 0; 0) ∈ G .
Exemple dans l'espace des fonctions
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑙′𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝔽(𝐼𝑅; 𝐼𝑅) 𝑑𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝐼𝑅 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐼𝑅 . 𝐿𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝔗 𝑑𝑒𝑠
𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑡 𝑙𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝔍 𝑑𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑢𝑠 −
𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠. 𝔽(𝐼𝑅; 𝐼𝑅) = 𝔗⨁𝔍
Preuve
𝑆𝑖 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑐𝑜𝑛𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 (𝐼𝑅; 𝐼𝑅) , 𝑖𝑙 𝑓𝑎𝑢𝑡 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑔 𝑒𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒 ℎ 𝑑𝑜𝑛𝑡 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑠𝑜𝑖𝑡 é𝑔𝑎𝑙𝑒 à .
𝐿𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑔 𝑒𝑡 ℎ 𝑑𝑜𝑖𝑣𝑒𝑛𝑡 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 ∶ ∀𝑥 ∈ 𝐼𝑅; (−𝑥) = (𝑥) 𝑒𝑡 ℎ(−𝑥) = −ℎ(𝑥)
𝐶𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑓 𝑑𝑜𝑖𝑡 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥: (𝑥) = (𝑥) + ℎ(𝑥) ∗ ,
𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒 𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖 ∶ (−𝑥) = (−𝑥) + ℎ(−𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) ∗∗
𝐷𝑒𝑠 é𝑔𝑎𝑙𝑖𝑡é𝑠 (∗) (∗∗)é𝑐𝑜𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑔 𝑒𝑡 ℎ 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 ∶ 𝑔(𝑥) =
𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)
𝑒𝑡 ℎ(𝑥)
2
(𝑥) + (−𝑥)2
𝐶𝑒𝑐𝑖 𝑑é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑔 𝑒𝑡 ℎ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑔 𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑒𝑡 ℎ 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓 = 𝑔 + ℎ
𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑐𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑖 𝑝𝑟é𝑐è𝑑𝑒𝑛𝑡.
𝑅é𝑐𝑖𝑝𝑟𝑜𝑞𝑢𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑖𝑙 𝑒𝑠𝑡 𝑓𝑎𝑐𝑖𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡 , 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑔 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟
𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)
𝑡𝑜𝑢𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑥 𝑑𝑒 𝐼𝑅 𝑝𝑎𝑟 (𝑥) =
2
𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑒𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 ℎ 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟
𝑡𝑜𝑢𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑥 𝑑𝑒 𝐼𝑅 𝑝𝑎𝑟 ℎ(𝑥)
(𝑥) − (−𝑥)2
𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑒𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑓 = 𝑔 + ℎ .
𝐶𝑒𝑐𝑖 𝑑é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑢𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑠′é𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑖è𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑′𝑢𝑛𝑒
𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑒𝑡 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒.
𝑬𝒔𝒑𝒂𝒄𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒇𝒊𝒏𝒊
1°Combinaisons linéaires
𝑫é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐n .
𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝐸, +, . )𝑢𝑛 𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙. 𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑛 > 1 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 ∈ 𝐸𝑛 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝐸.
𝑈𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒
Exemple
𝑛
𝑢 = ∑ 𝛼𝑖𝑥𝑖 𝑜ù (𝛼𝑖)1≤𝑖≤𝑛 ∈ 𝐼𝐾𝑛.
𝑖=1
𝐶𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑢 = 𝑢1 + 𝑢2 , 𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑠 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑣𝑒𝑛𝑡 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟:
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2; 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 𝑦1(puisque 𝑦2 = 0); 𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1(puisque 𝑧2 = 0)
𝑒𝑡: 𝑥1 − 𝑦1 − 𝑧1 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 : 𝑥1 = 𝑦 + 𝑧
𝑑′𝑜ù 𝑥2 = 𝑥 − 𝑥1 = 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 𝑒𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑢1 = (𝑦 + 𝑧; 𝑦; 𝑧) 𝑢2 = (𝑥 − 𝑦 − 𝑧; 0; 0)
𝐶𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑛é𝑐𝑒𝑠𝑠𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑟 𝑒𝑡 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖 𝑠𝑢𝑓𝑓𝑖𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑢𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑑𝑒 𝐼𝑅3

9. 𝐿𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑢 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑠 𝑠𝑜𝑛𝑡 − 𝑖𝑙𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑢𝑖 ?
1. 𝐸 = 𝐼𝑅2 , 𝑢 = (1, 2), 𝑢1 = (1, −2), 𝑢2 = (2, 3);
2. 𝐸 = 𝐼𝑅3 , 𝑢 = (2, 5, 3), 𝑢1 = (1, 3, 2), 𝑢2 = (1, −1, 4);
3. 𝐸 = 𝐼𝑅3 , 𝑢 = (3, 1, 𝑚), 𝑢1 = (1, 3, 2), 𝑢2 = (1, −1, 4) (𝑑𝑖𝑠𝑐𝑢𝑡𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑚).
𝑫é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐸 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑟 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑠 𝐾 . 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑛 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 à 1
𝑒𝑡 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 ∈ 𝐸𝑛 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝐸 .
𝐿𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 𝒆𝒏𝒈𝒆𝒏𝒅𝒓𝒆𝒏𝒕 𝑬
𝑠𝑖 𝑡𝑜𝑢𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐸 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢 ,
𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑖 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑠′é𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑚𝑏𝑜𝑙𝑖𝑠𝑚𝑒 𝑚𝑎𝑡ℎé𝑚𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 ∶
2°Sous-espace engendré par une partie finie
Théorème de structure de l'ensemble des combinaisons linéaires
(𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑑′𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝐸 ,
𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛𝑠 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠
−𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 E ; 𝑐′𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸
(𝑎𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑙′𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛) 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 : 𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑖𝑡,
𝑖𝑙 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 .
𝐶𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙é 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑒𝑛𝑔𝑒𝑛𝑑𝑟é 𝑝𝑎𝑟 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 , 𝑖𝑙 𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑡é ∶ 𝑣𝑒𝑐𝑡((𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛)
𝑛
𝑢 ∈ ((𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛) ⟺ ∃(𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 … . . , 𝛼𝑛) ∈ 𝐼𝐾𝑛/𝑢 = ∑ 𝛼𝑖𝑥𝑖
𝑖=1
L′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙é𝑒 𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝐸 .
Preuve
𝑂𝑛 𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙𝑙𝑒 𝐹 𝑙′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛𝑠 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 .
𝐶𝑒𝑡 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑑𝑒, 𝑐𝑎𝑟 𝑖𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑖è𝑟𝑒 0𝑥1
; 0𝑥2
… … . ; 0𝑥𝑛
𝑞𝑢𝑖 𝑣𝑎𝑢𝑡0𝐸
𝑂𝑛 𝑝𝑒𝑢𝑡 é𝑔𝑎𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑛𝑒𝑛𝑡 à 𝐹 , 𝑒𝑛 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑘 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 1 𝑒𝑡 𝑛 ,
𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 (𝑖𝑙 𝑠𝑢𝑓𝑓𝑖𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑é𝑟𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑜ù 𝑡𝑜𝑢𝑠
𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑛𝑢𝑙𝑠 𝑠𝑎𝑢𝑓 𝑙𝑒 𝑘𝑖𝑒𝑚𝑒 𝑞𝑢𝑖 𝑣𝑎𝑢𝑡 1).
𝐼𝑙 𝑠′𝑎𝑔𝑖𝑡 𝑚𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐹 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠.
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑢 𝑒𝑡 𝑤 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝐹 𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠𝛼 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 .
𝛼𝑢 + 𝛽𝑤 = (𝛼𝜌1 + 𝛽 𝜇1)1 + (𝛼𝜌2 + 𝛽 𝜇2)2 + ⋯ … … … (𝛼𝜌𝑛 + 𝛽 𝜇𝑛)
𝐶′𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒𝐹 .
𝑆𝑖 𝐺 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑖𝑙 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 ;
𝑖𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑡𝑜𝑢𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 .
𝑃𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡 𝐹 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐺: 𝐹 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 .
𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆
𝑛
∀𝑢 ∈ 𝐸, ∃(𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 … . . , 𝛼𝑛) ∈ 𝐼𝐾𝑛/𝑢 = ∑ 𝛼𝑖𝑥𝑖
𝑖=1
𝐶𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑢 𝑒𝑠𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 , 𝑖𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 𝜌1, 𝜌2, … … … 𝜌𝑛 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑢 = 𝜌1𝑥1 + 𝜌2𝑥2 … … … . +𝜌𝑛𝑥𝑛
𝐷𝑒 𝑚ê𝑚𝑒, é𝑡𝑎𝑛𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 , 𝑖𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 𝜇1, 𝜇2, … … … 𝜇𝑛 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑤 = 𝜇1𝑥1 + 𝜇2𝑥2 … … … . +𝜇𝑛𝑥𝑛
𝐷′𝑜ù 𝛼𝑢 + 𝛽𝑤 = ( 1𝑥1 + 𝜌2𝑥2 … … … . +𝜌𝑛𝑥𝑛) + ( 1𝑥1 + 𝜇2𝑥2......................+𝜇𝑛𝑥𝑛)
𝐸𝑛 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑟è𝑔𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙, 𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 ∶

10. 𝐸 é𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑢𝑛 𝐼𝐾 − 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙, 𝑒𝑡 𝑢 𝑢𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑐𝑜𝑛𝑞𝑢𝑒 ,
𝑙′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝐹 = {𝛼𝑢/𝛼 ∈ 𝐼𝐾} 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 𝑒𝑛𝑔𝑒𝑛𝑑𝑟é 𝑝𝑎𝑟 {𝑢}.
𝐼𝑙 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑜𝑢𝑣𝑒𝑛𝑡 𝑛𝑜𝑡é 𝐼𝐾𝑢.
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐸 𝑙′𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝐼𝑅 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐼𝑅 𝑒𝑡 𝑃0, 𝑃1𝑒𝑡 𝑃2 𝑒𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟:
∀𝑥 ∈ 𝐼𝑅 ∈ /𝑃0(𝑥) = 1; 𝑃1(𝑥) = 𝑥; 𝑃2(𝑥) = 𝑥2
𝐿𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 𝑒𝑛𝑔𝑒𝑛𝑑𝑟é (𝑃0, 𝑃1, 𝑃2 ) 𝑒𝑠𝑡 𝑙′𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑛ô𝑚𝑒𝑠
𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑖𝑛𝑓é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 𝑜𝑢 é𝑔𝑎𝑙 à 2, 𝑐′𝑒𝑠𝑡 − à − 𝑑𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Méthode
𝑂𝑛 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑑é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢′𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑛𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑑𝑒 𝐹 𝑑′𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝐸 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒
𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸y
𝑒𝑛 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝐹 𝑒𝑠𝑡 é𝑔𝑎𝑙 à 𝑙′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛𝑠 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 𝑑′𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑖 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 .
Exemple
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐹 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐼𝑅3: 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0}.
𝑈𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒𝑡 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑒 𝐼𝑅3 𝑒𝑠𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 , 𝑐′𝑒𝑠𝑡 − à − 𝑑𝑖𝑟𝑒
𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑦 + 𝑧 . 𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑢 𝑒𝑠𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐹 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑢 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑠′é𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 ∶
𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 + 𝑧, 𝑦, 𝑧) = (1,1,0) + 𝑧(1,0,1)
𝐷𝑜𝑛𝑐 𝐹 𝑒𝑠𝑡 𝑙′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛𝑠 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 {(1,1,0); (1,0,1)} , 𝑐′𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒
𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 ∶ 𝑐′𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑔𝑒𝑛𝑑𝑟é 𝑝𝑎𝑟 {(1,1,0); (1,0,1)}
𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆 ∶
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑙𝑒 𝐼𝑅 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝐼𝑅2 𝑒𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑣 = (1; 0) 𝑒𝑡 = (1; 1) .
𝐿𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑣 𝑒𝑡 𝑤 𝑒𝑛𝑔𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑛𝑡 𝐸
𝑫é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏 ∶ 𝑫é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅′𝒖𝒏 𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒕𝒚𝒑𝒆 𝒇𝒊𝒏𝒊
𝑈𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑡 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑖 𝑠′𝑖𝑙 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠.
𝑫é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏
𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 (𝐸, +, . ) 𝑢𝑛 𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙. 𝑝𝑢𝑖𝑠 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑑’é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒 𝐸 .
𝐿𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑒𝑛𝑔𝑒𝑛𝑑𝑟é 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑒𝑛𝑔𝑒𝑛𝑑𝑟é 𝑝𝑎𝑟
𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛. 𝐼𝑙 𝑠𝑒 𝑛𝑜𝑡𝑒 𝑉𝑒𝑐𝑡 ((𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛).
𝑂𝑛 𝑑𝑖𝑡 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑐𝑡 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛
𝐷𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑖𝑒𝑟 𝑜ù (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 = 𝐸, 𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒
𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝐸
𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆.
𝑂𝑛 𝑚𝑢𝑛𝑖𝑡 𝐼𝑅3 𝑑𝑒𝑠 𝑜𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑢𝑠𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠.
𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝐹1 = {(𝛼, 𝛼, 𝛼), 𝛼 ∈ }, 𝐹2 = {(𝛼 − 3𝜇, 2𝜇, 𝛼 + 𝜇), (𝛼, 𝜇) ∈ 𝐼𝑅2}
𝐹3 = {(𝑥, 𝑦,𝑧) ∈ 𝐼𝑅3/𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0} 𝐹4 = {(𝑥,𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3/ 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0 𝑒𝑡 2𝑥 + 5𝑦 + 𝑧 = 0}
𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3 𝑒𝑡 𝐹4 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐼𝑅3 𝑒𝑡 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑢𝑟𝑛𝑖𝑟
𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑐ℎ𝑎𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒓𝒊é𝒕é𝒔 𝒅𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒖𝒔 − 𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒈𝒆𝒏𝒅𝒓é𝒔
𝑻𝒉é𝒐𝒓è𝒎𝒆.
𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝐸, +, . ) 𝑢𝑛 𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙.
1) 𝑎) ∀𝐴 ∈ (𝐸), 𝐴 ⊂ 𝑉(𝐴) 𝑒𝑡 𝑉𝑒𝑐𝑡(𝐴) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝐸.
𝑏) ∀𝐴 ∈ 𝑃(𝐸), 𝐴 = 𝑉𝑒𝑐𝑡(𝐴) ⇔ 𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝐸.
2) ∀𝐴 ∈ (𝐸), 𝑉(𝑉𝑒𝑐𝑡(𝐴)) = 𝑉𝑒𝑐𝑡(𝐴).
3) 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐹 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝐸. ∀𝐴 ∈ 𝑃(𝐸), 𝐴 ⊂ 𝐹 ⇔ 𝑉𝑒𝑐𝑡(𝐴) ⊂ 𝐹.
4) ∀𝐴, 𝐵 ∈ (𝐸), 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝑉(𝐴) ⊂ 𝑉𝑒𝑐𝑡(𝐵).
5) ∀𝐴, 𝐵 ∈ (𝐸), 𝑉(𝐴 𝖴 𝐵) = 𝑉𝑒𝑐𝑡(𝐴) + 𝑉𝑒𝑐𝑡(𝐵).
3°Familles libres. liées. Bases
𝑽𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓𝒔 𝒄𝒐𝒍𝒊𝒏é𝒂𝒊𝒓𝒆𝒔
𝑫é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏

11. 𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝐸, +, . ) 𝑢𝑛 𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙. 𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑢 𝑒𝑡 𝑣 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝐸.
𝑣 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 à 𝑢 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑢 = 0 𝑜𝑢 (𝑢 ≠ 0 𝑒𝑡 ∃𝛼 ∈ 𝐾/ 𝑣 = 𝛼 𝑢).
𝑫é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏 (𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑’𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑙𝑖é𝑒 𝑒𝑡 𝑑’𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒)
𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 (𝐸, +, . ) 𝑢𝑛 𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙. 𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑛 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑙 𝑝𝑢𝑖𝑠 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 ∈ 𝐸𝑛.
𝐿𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 ∈ 𝐸𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖é𝑒 (𝑜𝑢 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 ∈ 𝐸𝑛, 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑠)
𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠𝑖
𝑛
∃ (𝛼𝑖)1≤𝑖≤𝑛 ∈ 𝐾𝑛
/ ∑ 𝛼𝑖𝑥𝑖
𝑖=1
= 0 (𝛼1, 𝛼2, … . . , 𝛼𝑛) ≠ (0, . . . , 0)
𝐿𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 (𝑜𝑢 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛, 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑠)
𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠𝑖
𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆.
𝑂𝑛 𝑚𝑢𝑛𝑖𝑡 𝐸 = 𝐼𝑅3 𝑑𝑒𝑠 𝑜𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑢𝑠𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠.
1) 𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑢 = (1, 0, 1), 𝑣 = (0, 1, 1) 𝑒𝑡 𝑤 = (3, 5, 5). 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑢, 𝑣, 𝑤) 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒.
2) 𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑢 = (1, −1, 1), 𝑣 = (14, −2, 5) 𝑒𝑡 𝑤 = (4, 0, 1). 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑢, 𝑣, 𝑤) 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖é𝑒
Solution.
1) 𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ 𝐼𝑅3.
𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 + 𝑐𝑤 = 0 ⇒ {
𝑎
𝑏
+ 3𝑐 = 0
+ 5𝑐 = 0 ⇒ {
𝑎 =
𝑏 =
−3𝑐
−5𝑐 ⇒
𝑎 = 0
{𝑏 = 0
𝑎 + 𝑏 + 5𝑐 = 0 −3𝑐 − 5𝑐 + 5𝑐 = 0 𝑐 = 0
𝐴𝑖𝑛𝑠𝑖, ∀(𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ 𝐼𝑅3, (𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 + 𝑐𝑤 = 0 ⇒ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0). 𝐷𝑜𝑛𝑐, 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑢, 𝑣, 𝑤) 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒
2) 𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ 𝐼𝑅3.
𝑎 + 14𝑏 + 4𝑐 = 0 𝑎 = −
2
𝑏 𝑎 = −2𝑏
𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 + 𝑐𝑤 = 0 ⇔ { −𝑎 − 2𝑏 = 0
𝑎 + 5𝑏 + 𝑐 = 0
- {−2𝑏 + 14𝑏 + 4𝑐 = 0 ⇔ {
𝑐 = −3𝑏
−2𝑏 + 5𝑏 + 𝑐 = 0
𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑏 = 1, 𝑎 = −2 𝑒𝑡 𝑐 = −3. 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑐𝑒 𝑐ℎ𝑜𝑖𝑥 𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 𝑒𝑡 𝑐,
𝑜𝑛 𝑎 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 + 𝑐𝑤 = 0 𝑒𝑡 (𝑎, 𝑏, 𝑐) ≠ (0, 0, 0). 𝐷𝑜𝑛𝑐, 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚(𝑢, 𝑣, 𝑤)𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖é𝑒.
𝑂𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑙’𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑣 = 2𝑢 + 3𝑤
𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆.
𝑂𝑛 𝑠𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐸 = 𝐼𝑅 𝑚𝑢𝑛𝑖 𝑑𝑒𝑠 𝑜𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑢𝑠𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠.
1) 𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑓1 ∶ 𝑥 → (𝑥), 𝑓2 ∶ 𝑥 → 𝑠𝑖(𝑥) 𝑒𝑡 𝑓3 ∶ 𝑥 → 𝑐𝑜𝑠(2𝑥).𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 (𝑓1, 𝑓2, 𝑓3) 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒.
2) 𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑓1 ∶ 𝑥 → cos2(𝑥) , 𝑓2 ∶ 𝑥 → sin2(𝑥) 𝑒𝑡 𝑓3 ∶ 𝑥 → 1.𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 (𝑓1, 𝑓2, 𝑓3) 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖é𝑒
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒓𝒊é𝒕é𝒔 𝒅𝒆𝒔 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒍𝒆𝒔 𝒍𝒊𝒃𝒓𝒆𝒔 (𝒐𝒖 𝒍𝒊é𝒆𝒔)
𝑻𝒉é𝒐𝒓è𝒎𝒆
𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝐸, +, . ) 𝑢𝑛 𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙.
1) 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑢 ∈ 𝐸. (𝑢) 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑢 ≠ 0.
2) 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐸. (𝑢, 𝑣) 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑢 𝑒𝑡 𝑣 𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠
𝑻𝒉é𝒐𝒓è𝒎𝒆
𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝐸, +, . ) 𝑢𝑛 𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑒𝑡 𝑠𝑜𝑖𝑡 (𝑥𝑖)𝑖∈𝐼 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝐸.
𝑆𝑖 𝑙’𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑥𝑖)∈𝐼 𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑢𝑙, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑥𝑖)𝑖∈𝐼 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖é𝑒.
𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑥𝑖)𝑖∈𝐼 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑡𝑜𝑢𝑠 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑛𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑙𝑠.
𝑻𝒉é𝒐𝒓è𝒎𝒆
𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝐸, +, . )𝑢𝑛 𝐼𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑒𝑡 𝑠𝑜𝑖𝑡 (𝑥𝑘)𝑘∈𝐼 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝐸.
𝑆𝑖 𝑖𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑖 𝑒𝑡 𝑗 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑖 ≠ 𝑗 𝑒𝑡 𝑥𝑖 𝑒𝑡 𝑥𝑗 𝑠𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠,
𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑥𝑘)∈𝐼 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖é𝑒.
𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑥𝑘)∈𝐼 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 à 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑛𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠.
𝑛
∀ (𝛼𝑖)1≤𝑖≤𝑛 ∈ 𝐾𝑛 / ∑ 𝛼𝑖𝑥𝑖 = 0 ⇒ ∀𝑖 ∈ ⟦1; 𝑛⟧ 𝛼𝑖 = 0
𝑖=1

12. 𝑻𝒉é𝒐𝒓è𝒎𝒆
𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝐸, +, . ) 𝑢𝑛 𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑒𝑡 (𝑥𝑖)𝑖∈𝐼 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝐸 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢é𝑒
𝑑’𝑎𝑢 𝑚𝑜𝑖𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠. 𝐿𝑎 𝑓𝑎𝑚(𝑥𝑖)𝑖∈𝐼 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖é𝑒 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑖𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒
𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑖 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒.
𝐿𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑥𝑖)∈𝐼 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑎𝑢𝑐𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑛’𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒
𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒
𝑻𝒉é𝒐𝒓è𝒎𝒆
𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝐸, +, . ) 𝑢𝑛 𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙. 𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑛 ∈ 𝐼𝑁∗ 𝑝𝑢𝑖𝑠 (𝑢1, . . . , 𝑢𝑛, 𝑢) ∈ 𝐸𝑛+1.
𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑢1, . . . , 𝑢𝑛, ) 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑡 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑢1, . . . , 𝑢𝑛, 𝑢) 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖é𝑒, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑢 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒
𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑢1, . . . , 𝑢𝑛, ) .
𝑻𝒉é𝒐𝒓è𝒎𝒆
𝑇𝑜𝑢𝑡𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑑’𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒. 𝑇𝑜𝑢𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑟 − 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑑’𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑙𝑖é𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖é𝑒.
𝑩𝒂𝒔𝒆𝒔. 𝑪𝒐𝒐𝒓𝒅𝒐𝒏𝒏é𝒆𝒔 𝒅’𝒖𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒅𝒂𝒏𝒔 𝒖𝒏𝒆 𝒃𝒂𝒔𝒆
𝑫é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏
𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝐸, +, . )𝑢𝑛 𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑛 𝑟é𝑑𝑢𝑖𝑡 à {0}.
𝑆𝑜𝑖𝑡(𝑒𝑖)𝑖∈𝐼 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝐸. 𝐿𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒(𝑒𝑖)𝑖∈𝐼 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝐸
𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚(𝑒𝑖)𝑖∈𝐼 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑡 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑜𝑢 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝐸 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛
𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒, 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑖è𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒, 𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑒𝑖)∈𝐼.
𝐷𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑜ù 𝐵 = (𝑒𝑖)∈𝐼 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝐸, 𝑠𝑖 𝑥 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝐸, 𝑥 𝑠’é𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒
𝑥 = ∑ 𝛼𝑖𝑒𝑖
𝑖∈𝐼
𝑜ù 𝑙𝑒𝑠 (𝛼𝑖)∈𝐼 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒 𝐾, 𝑛𝑢𝑙𝑠 𝑠𝑎𝑢𝑓 𝑝𝑒𝑢𝑡 − ê𝑡𝑟𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑖 𝑑’𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑢𝑥.
𝐿𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 (𝛼𝑖)∈𝐼 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵.
𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆.
𝑂𝑛 𝑚𝑢𝑛𝑖𝑡 𝐸 = 𝐼𝑅3 𝑑𝑒𝑠 𝑜𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑢𝑠𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠. 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑢 = (2, 0, −1), 𝑣 = (2, 1, 3) 𝑤 = (0, 1, 2).
𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑢, 𝑣, 𝑤)𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝐸.
𝑃𝑟é𝑐𝑖𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠 𝑑’𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒.
𝑫é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐸 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑦𝑝𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑖, 𝑒𝑡 𝑠𝑜𝑖𝑡 (𝑒𝑖)1≤𝑖≤𝑛 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝐸 à 𝑛 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠. 𝑙′𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛
𝑛𝑒 𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑 𝑝𝑎𝑠 𝑑𝑢 𝑐ℎ𝑜𝑖𝑥 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑥𝑖)1≤𝑖≤𝑛. 𝐶𝑒𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛 𝑠′𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐸 𝑒𝑡 𝑠𝑒 𝑛𝑜𝑡𝑒
𝑛 = 𝑑𝑖𝑚𝐾(𝐾) 𝑜𝑢 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑚(𝐸)
Exemple
dim(𝐼𝑅𝑛) = 𝑛
𝑻𝒉é𝒐𝒓è𝒎𝒆
𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝐸 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑒𝑡 𝐹 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐸 .
𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐹 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑒𝑡 𝑑𝑖𝑚 𝐹 ≤ 𝑑𝑖𝑚𝐸: 𝐷𝑒 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝐸 = 𝐹 ⇔ 𝑑𝑖𝑚𝐸 = 𝑑𝑖𝑚 𝐹
𝑻𝒉é𝒐𝒓è𝒎𝒆 (𝑇ℎé𝑜𝑟è𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛)
𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝐹1; 𝐹2 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑠 𝑑′𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝐸.
𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐹1 + 𝐹2 𝑒𝑡 𝐹1 ∩ 𝐹2 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑒𝑡
𝑑𝑖𝑚 (𝐹1 + 𝐹2) + 𝑑𝑖𝑚 (𝐹1 ∩ 𝐹2) = 𝑑𝑖𝑚 𝐹1 + 𝑑𝑖𝑚 𝐹2
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏
𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝐹1; 𝐹2 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑠 𝑑′𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝐸
𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒.
𝑆𝑖 𝐹1; 𝐹2 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐸, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑑𝑖𝑚 ( 1 + 𝐹2 ) = 𝑑𝑖𝑚𝐸.
𝑻𝒉é𝒐𝒓è𝒎𝒆 : 𝐶𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐸 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑛 𝑒𝑡 𝑆 = (𝑒1, . . . , 𝑒𝑝) 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝐸.
1. 𝑆 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝐸 𝑠𝑠𝑖 𝑆 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑡 𝑛 = 𝑝
2. 𝑆 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝐸 𝑠𝑠𝑖 𝑆 𝑒𝑠𝑡 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑒𝑡 𝑝 = 𝑛
𝟒°𝑹𝒂𝒏𝒈 𝒅’𝒖𝒏𝒆 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒍𝒆 𝒇𝒊𝒏𝒊𝒆 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓𝒔
𝑫é𝒇𝒊𝒏𝒊 .

13. 𝑆𝑜𝑖𝑡(𝐸, +, . )𝑢𝑛 𝐾 − 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒𝑙. 𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑛 > 1 𝑝𝑢𝑖𝑠 (𝑢1, . . . , 𝑢𝑛, ) 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝐸.
𝐿𝑒 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 (𝑢𝑖)1≤𝑖≤𝑛, 𝑛𝑜𝑡é 𝑟𝑔(𝑢𝑖)1≤𝑖≤𝑛, 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙’𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑒𝑛𝑔𝑒𝑛𝑑𝑟é
𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 (𝑢𝑖)1≤𝑖≤𝑛: 𝑟𝑔(𝑢𝑖)1≤𝑖≤𝑛 = 𝑑𝑖𝑚(𝑉𝑒𝑐𝑡(𝑢𝑖)1≤𝑖≤𝑛)
𝑻𝒉é𝒐𝒓è𝒎𝒆
𝐿𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖é𝑡é𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛𝑡 é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠:
𝑖. 𝐹 𝑒𝑡 𝐺 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠.
𝑖𝑖. 𝐹 + 𝐺 = 𝐸 𝑒𝑡 𝑑𝑖𝑚(𝐸) = 𝑑𝑖𝑚(𝐹) + 𝑑𝑖𝑚(𝐺).
𝑖𝑖𝑖. (𝐸) = 𝑑𝑖(𝐹) + 𝑑𝑖𝑚(𝐺) 𝑒𝑡 𝐹 ∩ 𝐺 = {0}.
𝑩𝒊𝒍𝒂𝒏 𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒇𝒇é𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒄𝒕é𝒓𝒊𝒔𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔 𝒅𝒆𝒔 𝒔𝒖𝒑𝒑𝒍é𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒊𝒓𝒆𝒔
1. 𝐷𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙 ∶
(𝑎) 𝐸 = 𝐹 ⊕ 𝐺 ⟺ {
𝐸 = 𝐹 + 𝐺
𝑙𝑎 𝑑´𝑒𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑’𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝐸 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒
(𝑏) 𝐸 = 𝐹 ⊕ 𝐺 ⟺ {
𝐸 = 𝐹 + 𝐺
𝐹 ∩ 𝐺 = {0𝐸}
2. 𝐸𝑛 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 ∶
(𝑎) 𝐸 = 𝐹 ⊕ 𝐺 ⇐⇒ 𝐵 = 𝐵𝐹 𝖴 𝐵
𝐺
(𝑏) 𝐸 = 𝐹 ⊕ 𝐺 ⟺ {
𝐸 = 𝐹 + 𝐺
dim 𝐹 + 𝑑𝑖𝑚𝐺 = 𝑑𝑖𝑚𝐸
(𝑐) 𝐸 = 𝐹 ⊕ 𝐺 ⟺ {
𝐹 ∩ 𝐺 = {0𝐸}
dim 𝐹 + 𝑑𝑖𝑚𝐺 = 𝑑𝑖𝑚𝐸