以前做的線性代數筆記整理 以電腦圖學相關的領域角度去談

1. 單元 1
矩陣 – 基本
作者：王聖川
矩陣(Matrix)代表一群數字的集合，一般以二維陣列的形式來存取集合中的
數字元素，一個矩陣通常以 m-by-n Matrix 或 Matrix(m, n)來表示，其中 m 為行數
(row)、n 為列數(column)，如下圖。
而 Matrix[I, j]或 Matrixi, j 可用來表示矩陣中第 i-th row 中的第 j-th column 的數
字元素。因為在電腦圖學(Computer Graphics)領域中，常用到的矩陣只有 4-by-4
Matrix 與 4-by-1 Vector-Matrix 此二種形式矩陣，所以接下來介紹的矩陣相關資訊
都將只討論此二種類型矩陣之間的運算方式
註 1。
4-by-4 Matrix 矩陣可表示如下
[
A1,1 A1,2 A1,3 A1,4
A2,1 A2,2 A2,3 A2,4
A3,1 A3,2 A3,3 A3,4
A4,1 A4,2 A4,3 A4,4]
4-by-1 Vector 向量可表示如下
[
A1,1
A2,1
A3,1
A4,1]
接下來簡單說明幾個基本的矩陣計算方式。就像數字的運算有加、減、乘、除一

2. 樣，矩陣是一群數字的集合，一樣有對應的加法、乘法等運算方式，來達到每個
數字元素的計算。
加法：
矩陣加法必須在兩個有相同行列數的矩陣上才能運算，計算方式就是每個對應的
數字做加法運算，下面公式表式兩個矩陣的相加 A(4,4) + B(4,4)，其中每個對應元
素的計算方式為(A + B)I,j = Ai,j + Bi,j
[
A + B1,1 A + B1,2 A + B1,3 A + B1,4
A + B2,1 A + B2,2 A + B2,3 A + B2,4
A + B3,1 A + B3,2 A + B3,3 A + B3,4
A + B4,1 A + B4,2 A + B4,3 A + B4,4]
=
[
A1,1 + B1,1 A1,2 + B1,2 A1,3 + B1,3 A1,4 + B1,4
A2,1 + B2,1 A2,2 + B2,2 A2,3 + B2,3 A2,4 + B2,4
A3,1 + B3,1 A3,2 + B3,2 A3,3 + B3,3 A3,4 + B3,4
A4,1 + B4,1 A4,2 + B4,2 A4,3 + B4,3 A4,4 + B4,4]
純數乘矩陣：
矩陣可以整體乘上一個單一純數，也就是每個元素數字都做該純數的乘法，及計
算結果如下。
[
A1,1 ∗ scale A1,2 ∗ scale A1,3 ∗ scale A1,4 ∗ scale
A2,1 ∗ scale A2,2 ∗ scale A2,3 ∗ scale A2,4 ∗ scale
A3,1 ∗ scale A3,2 ∗ scale A3,3 ∗ scale A3,4 ∗ scale
A4,1 ∗ scale A4,2 ∗ scale A4,3 ∗ scale A4,4 ∗ scale]
矩陣相乘：
兩個矩陣的乘法必須符合一個條件：左運算元矩陣的列數(column)與右運算元矩
陣的行數相等(row)，其對應數字元素之乘法運算過程為
A(m, n) ∗ B(n,m) → A ∗ B[i, j] = ∑ Ai,r
𝑛
𝑟=1
∗ Br,j
A 矩陣的第 i 行(i-th row)與 B 矩陣的第 j 列(j-th column)做內積運算(dot product)，
所得結果便是 A 矩陣乘上 B 矩陣之[I,j]元素數字乘法結果。A(m1,n)與 B(n,m2)兩
矩陣相乘會得到新的矩陣 C(m1,m2)。

3. 如上圖，C(4,3) = A(4,2) * B(2,3)，其中 C[2,3] = ∑ A2,r ∗ Br,3
2
r=1
矩陣向量相乘：
矩陣乘上向量其實就等於是 A(4,4) * B(4.1) = B’(4,1) 的一個矩陣相乘運算。
A
[
A1,1 A1,2 A1,3 A1,4
A2,1 A2,2 A2,3 A2,4
A3,1 A3,2 A3,3 A3,4
A4,1 A4,2 A4,3 A4,4]
∗ B
[
B1,1
B2,1
B3,1
B4,1]
=
B′
[
A1,1 ∗ B1,1 + A1,2 ∗ B2,1 + A1,3 ∗ B3,1 + A1,4 ∗ B4,1
A2,1 ∗ B1,1 + A2,2 ∗ B2,1 + A2,3 ∗ B3,1 + A2,4 ∗ B4,1
A3,1 ∗ B1,1 + A3,2 ∗ B2,1 + A3,3 ∗ B3,1 + A3,4 ∗ B4,1
A4,1 ∗ B1,1 + A4,2 ∗ B2,1 + A4,3 ∗ B3,1 + A4,4 ∗ B4,1]
轉置矩陣：
轉置(Transpose)也是常用的一種矩陣運算，該運算便是讓矩陣的列與行彼此互換。
Ai,j
T
= Aj,i
[
A1,1 A1,2 A1,3 A1,4
A2,1 A2,2 A2,3 A2,4
A3,1 A3,2 A3,3 A3,4
A4,1 A4,2 A4,3 A4,4]
Transpose
=
[
A1,1 A2,1 A3,1 A4,1
A1,2 A2,2 A3,2 A4,2
A1,3 A2,3 A3,3 A4,3
A1,4 A2,4 A3,4 A4,4]
註 1：在 Computer Graphics 領域中，常把向量資料定義為 4 個數字的向量(4-by-1
Matrix)，如座標(X,Y,Z,W)與顏色(R,G,B,A)等，而之後在做一些轉換運算時，將轉換
所需要的矩陣運算都推導為 4-by-4 Matrix 的型式，如此便能統一整個繪圖流程
(Rendering Pipeline)的運算過程，都是 4-by-4 的矩陣乘矩陣或是矩陣乘向量之運
算。因此顯示卡晶片(Graphics Processor Unit, GPU)中 Register 常設計為 32bit 或
128bit，所以適合用來儲存 4 個數字(浮點數)的向量資料，並且會針對上述提到
的矩陣與向量之間的運算做特別設計，達到矩陣運算加速的目的。
註 2：事實上在 Computer Graphics 的繪圖流程中，所有的處理對象都是矩陣。螢

4. 幕顯示畫面為一個 width-by-height 的矩陣所代表的記憶體空間(Frame Buffer)，而
畫面上每個像素(Pixel)也是一以向量資料來表示顏色[Red, Green, Blue, Alpha]；空
間中的每個頂點座標可以如此表示[X, Y, Z, 1]，空間中的方向則可如此表示[X, Y, Z,
0]，頂點或方向的變化要靠各種轉換矩陣的相乘運算達成(Transformation Matrix)。
這也是當初電影駭客任務命名(The Matrix)的由來之一，電影表示未來人類都活在
電腦族群由 Matrix(母體)運算出來的模擬世界夢境中。
部份圖文參考網站：
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)