Gab

PANTHEON - SORBONNE
UNIVERSITE DE PARIS I
DEA Finance de Marché
Gabriel GARCIA-PRIETO
Pricing de produits dérivés
climatiques
Année 2 000-2 001 Mémoire dirigé par
M le ProfesseurConstantin MELLIOS

Pricing de produits Dérivés climatiques
Gabriel GARCIA - PRIETO 2 / 118 Mémoire du DEA Finance de Marché
L’Université n’entend donner aucune approbation ni improbation aux opinions
émises dans ce mémoire ; ces opinions doivent être considérées comme propres à
leur auteur.

RRReeemmmeeerrrccciiieeemmmeeennntttsss
Je tiens avant tout à vous remercier, M PONCET, pour m’avoir donné les
connaissances fondamentales en pricing d’options, mais surtout pour m’avoir donné
l’envie d’aller de l’avant tout au long de cette année.
Merci à vous M MELLIOS de m’avoir encouragé pour ce sujet, d’avoir su
diriger mes recherches et de m’avoir soutenu durant cette étude.
Je remercie aussi très chaleureusement Mme FAZILLEAU pour sa
disponibilité et sa gentillesse.
Mes remerciements vont au broker Speedwell Derivatives par qui j’ai pu
obtenir les données climatiques à Paris de 1959 à 2001 via leur site internet.
Merci enfin aux personnes responsables des bibliothèques de recherche de
Dauphine et de l’INSEAD pour leur compétence et leur gentillesse sans, qui je
n’aurais pu obtenir les articles servant de base à ce travail.
A tous, merci.

SSSooommmmmmaaaiiirrreee
SSSOOOMMMMMMAAAIIIRRREEE......................................................................................................................................................................4
IIINNNTTTRRROOODDDUUUCCCTTTIIIOOONNN......................................................................................................................................................8
1. LE MARCHE DES PRODUITS DERIVES CLIMATIQUES..........................11
1.1. HISTORIQUE DU MARCHE...............................................................................................................................11
1.2. MARCHES FINANCIERSET COMPAGNIES D’ASSURANCE....................................................................13
1.3. LES INDICES DE REFERENCE.........................................................................................................................14
1.3.1. Indices Heating Degree Day (HDD)..............................................................................................................16
1.3.2. Indices Coolind Degree Day (CDD)...............................................................................................................16
1.3.3. Autres indices ...................................................................................................................................................17
1.4. LES DIFFERENTS TYPES DE PRODUITS DERIVES CLIMATIQUES.....................................................17
1.4.1. Contrats standards...........................................................................................................................................17
1.4.1.1. Le Cap .....................................................................................................................................................18
1.4.1.2. Le Floor ..................................................................................................................................................19
1.4.1.3. Le Collar .................................................................................................................................................19
1.4.1.4. Le Swap...................................................................................................................................................20
1.4.1.5. Éléments contractuels ...........................................................................................................................21
1.4.2. Contrats non standards....................................................................................................................................21
1.4.2.1. Coumpound...........................................................................................................................................21
1.4.2.2. Digitale....................................................................................................................................................22
1.4.2.3. Obligations indexées sur le climat........................................................................................................22
1.5. CONTRATS COTES AU CHICAGO MERCHANTILE EXCHANGE........................................................23
1.6. EXEMPLES D’APPLICATION............................................................................................................................26
1.6.1. Comment une entreprise de cinéma se protège contre les risques d’un été plus chaud que la normale avec un Call? .....26
1.6.2. Comment un fabricant de vestes polaires utilise un Put pour se protéger contre les risques d’un hiver doux? ...............27
1.6.3. Comment un parc d’attraction utilise un Collar pour garantir une stabilité de ses revenus ?......................................28
1.6.4. Exemple de couverture avec les contrats du CME..................................................................................................29

1.7. LES ACTEURS DU MARCHE..............................................................................................................................30
1.7.1. Les clients .........................................................................................................................................................30
1.7.1.1. Entreprises de transmission et de distribution d’énergie ..................................................................31
1.7.1.2. Générateurs de puissance .....................................................................................................................32
1.7.1.3. Agriculture et agrochimie......................................................................................................................33
1.7.1.4. Viticulture...............................................................................................................................................34
1.7.1.5. Industrie vestimentaire..........................................................................................................................35
1.7.1.6. Construction...........................................................................................................................................35
1.7.1.7. Loisirs......................................................................................................................................................35
1.7.2. Les contrepartistes.............................................................................................................................................36
2. PRICING DE PRODUITS DERIVES CLIMATIQUES STANDARDS.38
2.1. CHOIX DU PROCESSUS......................................................................................................................................38
2.1.1. Présentation des processus.................................................................................................................................39
2.1.1.1. Processus Mean Reverting....................................................................................................................39
2.1.1.2. Processus AutoRegressif.......................................................................................................................41
2.1.2. Estimation et comparaisons numériques..........................................................................................................42
2.1.2.1. Processus Mean Reverting....................................................................................................................42
2.1.2.2. Processus AutoRegressif.......................................................................................................................44
2.1.3. Conclusion.........................................................................................................................................................46
2.2. LE MODELE DE BLACK – SCHOLES : TOUJOURS APPLICABLE ?......................................................47
2.2.1. Black – Scholes won’t do.................................................................................................................................47
2.2.2. Black – Scholes will do....................................................................................................................................48
2.2.2.1. Pricing .....................................................................................................................................................48
2.2.2.2. Hedging...................................................................................................................................................50
2.2.2.3. Critique ...................................................................................................................................................50
2.3. THE DISCHEL D1 STOCHASTIC TEMPERATURE MODEL..................................................................51
2.3.1. Le modèle théorique..........................................................................................................................................51
2.3.2. Application numérique.....................................................................................................................................54
2.3.3. Hedging.............................................................................................................................................................56
2.3.4. Critique.............................................................................................................................................................57
2.4. LE CHOIX DES DONNEES................................................................................................................................58
2.4.1. Nécessité de fiabilité..........................................................................................................................................58
2.4.2. Le problème du choix de la taille de l’échantillon............................................................................................59
2.5. METHODE DES PAIEMENTS HISTORIQUES..............................................................................................63
2.5.1. Présentation.......................................................................................................................................................63
2.5.2. Critique.............................................................................................................................................................64

2.6. LE MODELE DE DORNIER & QUERUEL (BAREP ASSET MANAGEMENT)...................................66
2.6.1. Non applicabilité du processus Mean Reverting standard...............................................................................66
2.6.2. Illustration numérique......................................................................................................................................68
2.6.3. Apport des auteurs...........................................................................................................................................69
2.6.4. Critique.............................................................................................................................................................71
2.7. MODELE PAR PROCESSUS AUTOREGRESSIF (WEI & CAO)................................................................72
2.7.1. Variable de température...................................................................................................................................72
2.7.2. Evaluation des dérivés......................................................................................................................................74
2.7.3. Critique.............................................................................................................................................................75
2.8. HEDGING AVEC CONTRATS CME..............................................................................................................76
2.8.1. Par minimisation de variance...........................................................................................................................76
2.8.2. Par construction d’un portefeuille sans risque ..................................................................................................77
3. PRICING DE PRODUITS STRUCTURES.........................................................................80
3.1. WEATHER LINKED BONDS............................................................................................................................80
3.1.1. Modèle de Briys (Lehman Brothers)................................................................................................................80
3.1.1.1. Hypothèses et évaluation ......................................................................................................................80
3.1.1.2. Evaluation du spread entre deux bonds..............................................................................................82
3.1.1.3. Elasticité et Duration.............................................................................................................................83
3.1.1.4. Weather bonds et Treasury bonds.......................................................................................................84
3.1.1.5. Critique ...................................................................................................................................................85
3.1.2. Modèle de Sankaran........................................................................................................................................85
3.1.2.1. Simulations historiques .........................................................................................................................86
3.1.2.2. Simulations de Monte - Carlo...............................................................................................................87
3.1.2.3. Evaluation de l’obligation .....................................................................................................................87
3.2. STRIP D’OPTIONS................................................................................................................................................88
3.2.1. Problématique...................................................................................................................................................88
3.2.2. Evaluation par modèle polynomial...................................................................................................................88
3.2.3. Application numérique au strip.......................................................................................................................90
3.3. OPTION DIGITALE.............................................................................................................................................91
3.4. APPLICABILITE A D’AUTRES RISQUES CLIMATIQUES ?........................................................................92
3.4.1. Particularités.....................................................................................................................................................92
3.4.2. Analyses et comparaisons pluviométriques.......................................................................................................93
3.4.3. Processus d’évolution.........................................................................................................................................95
3.4.3.1. Fréquence ...............................................................................................................................................95
3.4.3.2. Magnitude...............................................................................................................................................97
3.4.4. Conséquences pour le pricing.............................................................................................................................98

4. ESTIMATION EMPIRIQUE..........................................................................................................100
4.1. METHODE DES PAIEMENTS HISTORIQUES (BURN ANALYSIS).......................................................101
4.2. BLACK SCHOLES WILL DO !.........................................................................................................................104
4.3. LE MODELE DE BOB DISCHEL...................................................................................................................107
4.4. COMPARAISON DES MODELES....................................................................................................................110
CCCOOONNNCCCLLLUUUSSSIIIOOONNN..........................................................................................................................................................112
BBBIIIBBBLLLIIIOOOGGGRRRAAAPPPHHHIIIEEE..................................................................................................................................................115

IIInnntttrrroooddduuuccctttiiiooonnn
« Weather is big business. [It] is
not just an environmental issue – it is a
major economic factor… One seventh of
our economy, about $1 trillion a year, is
weather sensitive ».
William M. Daley,
U.S. Secretary of Commerce
Aujourd’hui, on estime que 20% de l’économie américaine est concernée par
le temps qu’il fait : le risque climatique affecte non seulement la vie des particuliers,
mais aussi l’activité générale des entreprises. Les revenus des entreprises peuvent
donc être très fortement influencés par un été plus chaud que la normale ou un hiver
plus doux que prévu.
Bien que les travaux des centres de recherche météorologiques soient de plus
en plus avancés et que les prévisions se fassent sur des durées toujours plus
longues, il nous est tous arrivés de s’encombrer d’un parapluie pour rien ou d’avoir
prévu un maillot de bain alors qu’un pull se serait révélé plus adéquat. La
météorologie n’est pas une science exacte, d’où l’existence de risque.
La plupart des entreprises incluent dans leurs états financiers annuels un
paragraphe expliquant leur stratégie en matière de gestion des risques. Elles sont
ainsi souvent amenées à utiliser des produits financiers dérivés pour se couvrir
contre leur risque de taux d’intérêt ou leur risque de change. Les produits dérivés
climatiques résultent de la même problématique afin de couvrir un risque immuable.
Citons à titre d’exemple les risques contre lesquels une entreprise voudrait se
couvrir :
 Température
 Précipitation (pluie ou neige)
 Vitesse du vent
 Chaleur et humidité

Le marché des produits dérivés climatiques s’est développé parallèlement aux
marchés de l’énergie. En effet, les mouvements de dérégulations sur les matières
premières d’énergie dans le monde entier ont entraîné des risques de prix, que
les risk managers peuvent facilement couvrir avec des contrats standardisés ou
produits OTC; mais aussi risques volumétriques, dus aux fluctuations de
température. La faible corrélation existant entre prix de l’énergie et volume
d’utilisation tend à prouver que les outils financiers traditionnels de gestion du
risque de matière première apparaissent inadaptés au risque lié aux quantités.
Ainsi, le fournisseur de gaz britannique Centrica a reporté une chute de £462
Millions en raison de conditions climatiques défavorables en 1997. Pour les
consommateurs d’énergie, la facture peut donc varier de plus de 30% d’une année
sur l’autre ! Durant l’hiver 1995 – 1996, Indianapolis a enregistré une hausse de 13%
du nombre d’HDD (que nous allons définir) par rapport au niveau moyen depuis 10
ans : l’effet immédiat au début 1996 fut une hausse du prix du gaz à $3.25 par million
de mètres cubes (mcf) comparé au niveau habituel de $2 / mcf
Le graphique suivant illustre la forte corrélation existant entre consommation
d’énergie en volume et température.

C’est pourquoi les produits dérivés les plus traités aujourd’hui sont écrits sur
température.
Toutefois, se traitent aujourd’hui sur les marchés OTC des contrats indexés
sur température, chute de neige et de pluie, ou encore deals combinant plusieurs
indices. Aujourd’hui, le marché des produits dérivés climatiques est estimé à
plus de 5 Milliards de $ et près de 5 000 deals OTC. Alors que les produits dérivés
climatiques étaient au départ destinés avant tout aux compagnies de fourniture
d’énergie et agriculteurs de taille importante, ce marché concerne aujourd’hui
presque tous les secteurs d’activité.
Jack COGEN, président de Natsource pose cinq conditions à la réussite d’un
marché de produits financiers :
 Un large panel de participants
 Un indice de référence fiable
 Peu ou pas de possibilité de manipulation des prix
 Une certaine volatilité
 Existence de produits de couverture et de partage des risques
Le marché des produits dérivés climatiques satisfait les cinq. Il représente
aujourd’hui le marché de produits dérivés en plus forte croissance.
Dans une première partie, nous essaierons de présenter le risque climatique
inhérent à l’activité de nombreuses entreprises, et donc la nécessité de le couvrir par
recours à des produits financiers. Nous nous intéresserons pour cela à certains cas
concrets et essaierons d’élaborer des stratégies de hedging comme pourrait le faire
un market maker. Dans les deux parties suivantes, nous nous intéresserons plus
particulièrement aux méthodes de pricing de ces produits : tout d’abord produits
considérés comme standards sur le marché du risque climatique, et enfin produits
plus exotiques ou composés à partir de plusieurs produits plain vanilla. Nous
présenterons donc les principales méthodes d’évaluation utilisés par les acteurs du
marché, mais aussi modèles théoriques en les analysant et les comparant d’un point
de vue critique.

1. Le marché des produits dérivés climatiques
1.1. Historique du marché
La première transaction donnant naissance au marché des produits dérivés
climatiques s’effectua en 1997, lorsqu’ Aquila Energy inclut une option indexée sur le
climat à l’intérieur d’un contrat sur énergie.
El Niño est un phénomène périodique de réchauffement de l’océan Pacifique
durant l’hiver qui affecte le climat dans le monde entier. Ses conséquences
immédiates en sont une augmentation des précipitations dans le sud des Etats –
Unis et une sécheresse dans le Pacifique ouest. Les températures hivernales dans le
Nord des Etats – Unis sont particulièrement douces, et plus froides que la normale
aux sud – est et sud – ouest du pays. Toutefois, ses effets en dehors du Pacifique
tropical sont imprévisibles. L’importance du phénomène - très largement relayé
par les médias américains - en 1997 a largement contribué à la prise de
conscience générale de l’impact du risque climatique sur le résultat des
entreprises et donc la nécessité d’introduction de produits financiers
permettant de se couvrir contre les aléas de température.
La Niña est un refroidissement périodique dans l’Océan Pacifique Tropical.
C’est le phénomène inverse d’El Niño pouvant apparaître après celui – ci.

Sur cette carte, on voit les effets produits par le phénomène sur 10 hivers dont
les températures étaient éloignées de la normale. Les régions en jaune et rouge
indiquent des températures plus chaudes que la normale ; celles en vert et bleu, plus
froides.
En janvier 1998, pour la première fois est traitée une transaction ne portant
pas sur des indice de température.
C’est en septembre 1998, soit environ un an après la création du marché,
qu’eut lieu le premier deal avec une contrepartie non américaine : fournisseur
d’énergie européen qui voulait se protéger contre les risques d’un hiver plus doux
que la normale et est donc entré dans un swap sur HDD.
Le 22 Septembre 1999, les premiers contrats indexés sur le climat (HDD
et CDD de températures) ont été côtés au Chicago Merchantile Exchange. Ceci
dans le but de permettre à toutes les entreprises de se couvrir contre leur risque
climatique et transférer leurs risques, afin de ne plus dépendre comme pour les
marchés OTC des exigences de la contrepartie.
Devant ce développement de plus en plus intense des dérivés climatiques en
terme de notoriété et de liquidité, les principales banques d’affaire se sont aussi

largement intéressées à ce marché : en octobre 1999, Goldman Sachs s’occupa du
placement de $50 millions d’obligations à haut rendement - high yield - dans
lesquelles la taille des coupons et le remboursement du principal étaient indexées
sur la performance de plusieurs dérivés climatiques.
Aujourd’hui, de plus en plus de market makers proposent à tous les
intervenants (aussi bien entreprises que particuliers) de traiter directement sur
des produits dérivés climatiques via Internet. Ainsi, en janvier 2000, Enron inclue
dans sa base de trading EnronOnline des swaps sur HDD et CDD. Le résultat
immédiat fut une hausse de la transparence du marché : alors qu’auparavant le
bid / ask spread pour un swap OTC pouvait être de 100 à 200 jours de degré,
aujourd’hui, il n’est plus que de 3 jours de degré !
Les produits dérivés climatiques sont nés aux Etats – Unis, mais le marché
tend aujourd’hui à devenir véritablement mondial puisque des deals ont
récemment été effectués dans des pays aussi divers que le Japon, l’Australie ou
encore la Norvège, ceci en raison de la mondialisation du phénomène de
dérégulation sur le marché de l’énergie.
1.2. Marchés financiers et compagnies d’assurance
Le marché du risque climatique est une évolution directe de l’activité principale
des compagnies d’assurance : en effet, celles – ont acquis le savoir faire pour
évaluer la probabilité de réalisation de tel ou tel événement naturel, et possèdent un
nombre important de données historiques si importantes dans le processus de
pricing. De plus en plus, les marchés financiers et les compagnies d’assurance sont
amenées à œuvrer dans le même sens. Le risque climatique peut être facilement
titrisé car il est quantifiable et il existe une quantité importante de données
historiques fournies par un organisme d’état.
En fait, les possibilités de couverture du risque climatique par produits dérivés
et par recours aux compagnies d’assurance apparaissent non pas en rivalité mais
bien complémentaires. 2 différences majeures apparaissent :
 Alors que les assureurs s’intéressent surtout aux conditions climatiques
extrêmes à faible probabilité de réalisation: tempêtes, ouragans,
inondations,… le niveau de protection des produits dérivés climatiques se
situe plus proche de moyennes climatiques, et donc à forte probabilité; il
est fixé contractuellement avec la contrepartie. Ainsi, les compagnies
d’assurance s’intéressent avant tout aux valeurs extrêmes de la loi de
distribution normale des données climatiques.

 Pour recevoir le paiement de l’assurance, le client doit lui même prouver le
sinistre, alors que le porteur d’un dérivé se voit immédiatement
remettre la somme d’argent convenue dès que les conditions
climatiques sont en sa faveur.
Ainsi, c’est au niveau des événements extrêmes que les deux marchés
peuvent apparaître en concurrence. Toutefois, les compagnies tendent aussi à se
rapprocher des valeurs proches des normales et pourraient ainsi à leur tour
concurrencer les produits dérivés : ceci ne peut être que bénéfique en terme de
transparence des prix.
Par ailleurs, les compagnies d’assurance elles mêmes sont des acteurs
majeurs sur les marchés de dérivés climatiques puisque ces produits leur permettent
de gérer directement leur propre risque climatique.
Les produits dérivés OTC, de même que le recours aux compagnies
d’assurance induisent un risque de contrepartie. En cela, le développement de
contrats standardisés avec existence d’une chambre de compensation, peut apporter
une sécurité supplémentaire intéressante.
1.3. Les indices de référence
Un jour de degré représente la mesure par laquelle la température
moyenne d’une journée va dévier d’un référentiel de 65° Fahrenheit (18°
Celsius).
La température moyenne d’une journée est calculée en prenant la moyenne
des températures maximales et minimales sur une base de minuit à minuit.
On considère la référence de 65° Fahrenheit (ou 18° Celsius) car auparavant,
c’était la température à partir de laquelle les fourneaux étaient activés. Aujourd’hui
encore on considère qu’en dessous de ce seuil les consommateurs utiliseront plus
d’électricité pour se chauffer ; et au dessus de ce seuil, plus d’air conditionné sera
utilisé. Ceci sert de base théorique à tous les contrats : toutefois, il est certain qu’il
faut aussi prendre en compte les sensibilités régionales : un résident de Los Angeles
peut considérer cette température comme proche du zéro absolu, alors qu’elle
apparaîtrait tropicale à un minnesotan.
Les « degree days » sont déterminés officiellement par le National Weather
Service (NWS) et officiellement archivés par le National Climatic Data Center

(NCDC), d’où l’assurance pour les clients que les données ne peuvent pas être
manipulées.
Le marché du risque climatique s’intéresse aux prévisions de l’ordre de
quelques jours à plusieurs mois. De nombreuses différences existent en fonction de
l’horizon de prévision désiré.
Les prévisions à court terme utilisées par tous les particuliers pour savoir,
par exemple, s’il faut prendre un pull ou non pour le lendemain, concernent les
prévisions à horizon inférieure à une semaine. Elles sont très liées aux températures
observées le jour même. Dans une optique de pricing des produits dérivés
climatiques, elles ne sont pas très utilisées puisque ces options sont en général de
moyen terme (environ 6 mois).
Les prévisions à long terme s’intéressent aux périodes supérieurs à un mois
jusqu’à quelques années. Elles sont déterminées en fonction de facteurs comme les
mouvements des océans et interactions planétaires. Ces prévisions estiment
seulement le temps moyen, et non les événements climatiques : c’est pourquoi, on
parlé généralement de « temps plus chaud ou plus froid que la normale ». Il n’est pas
rare que les prévisions météorologiques du jour au lendemain se révèlent
particulièrement inexactes, d’où une fiabilité plus que relative pour les prévisions
à long terme.
Exemple de prévisions à 3 mois aux Etats – Unis :

1.3.1. Indices Heating Degree Day (HDD)
Un HDD mesure la fraîcheur d’une journée par rapport au standard de 65°
Fahrenheit durant la saison hivernale (de novembre à mars).
Mathématiquement, on a
HDD Journalier = MAX [0, 65°F – Température moyenne journalière]
Une température moyenne de 45° donne donc 20 HDD. Une température de
68° donne 0 HDD.
Ces résultats journaliers peuvent être accumulés pour former des périodes
diverses : 1 semaine (Noël – Nouvel An = 80.5 HDD), 1 mois (ventes d’hiver = 345
HDD), un trimestre (saison des vacances = 1035HDD).
Dans ce cas, on parle d’HDD cumulés tels que avec n = date de fin du contrat:




ni
i
sjournalierHDDHDDCum
1
1.3.2. Indices Coolind Degree Day (CDD)
Un CDD mesure l’intensité de la chaleur d’une journée par rapport au
standard de 65° Fahrenheit durant la saison estivale(d’avril à septembre).
CDD Journalier = MAX [0, Température moyenne journalière - 65°F]
Une température moyenne de 77° Fahrenheit donne un CDD journalier de 12.
Une température moyenne de 55 donne 0 CDD.
De même que pour les HDD, les CDD peuvent être accumulés sur une
période bien spécifiée : 2 semaines (Tournoi de Wimbledon = 63 CDD), 2 mois
(période des récoltes = 274.5 CDD), 6 mois (période des crèmes glacées = 873
CDD)
Là aussi, on parle de CDD cumulés:




ni
i
sjournalierCDDCDDCum
1

1.3.3. Autres indices
En plus des indices standards, d’autres indices peuvent parfois servir de base
à certains contrats.
Indice journalier Description
Tmin, Tmax, Tmoyen Minimum, Maximum, Température moyenne
EDD Energy Degree Day = HDD + CDD
GDD Growing Degree Day, degrés entre 50 et 86
VDD Variable Degree Day, autre base de référence que 65°F
Précipitation Pouces de pluie
Neige Pouces de neige
Autres Défini contractuellement, pouvant être combinaison des indices
cités
1.4. Les différents types de produits dérivés climatiques
1.4.1. Contrats standards
Quatre sortes de produits financiers apparaissent parfaitement adaptés dans la cas
de la gestion du risque climatique :
 Le Cap
 Le Floor
 Le Collar
 Le Swap

1.4.1.1. Le Cap
Encore appelé option d’achat – call option – le Cap donne à l’acheteur un
payout non -linéaire basé sur la différence entre la valeur spot du sous – jacent et le
prix d’exercice défini contractuellement.
L’acheteur de Cap paie une prime au vendeur afin de posséder ce droit au
payout.
Si le prix spot est supérieur au strike, le vendeur va payer la différence de prix
à l’acheteur ; dans le cas contraire, aucun versement n’est effectué.
Le montant à payer est calculé comme la différence entre le prix spot et le
strike, multiplié par un certain prix par unité d’indice, majoré par un certain montant.
Le cap permet à l’acheteur de s’assurer une protection contre des conditions
climatiques qui lui seraient défavorables, tout en bénéficiant de conditions plus
favorables.
Notons enfin qu’à l’image des contrats de réassurance où le réassureur
« achète » à l’assureur ses sinistres au – dessus d’un certain niveau et jusqu’à une
certaine limite (contrats en « excess of loss »), le pay-off en T est limité dans tous les
cas (contractuellement) par un montant B, ce qui donne
CSP (T) = min (B, C(T)), soit
CSP (T) = min [B, A max [0, 

n
j
j k
1
)65,0max(  ]]
L’instrument décrit par le cash – flow terminal peut aussi bien être appelé
« capped call » que « cal spread » car il correspond à la détention en position longue
d’un call de strike k et en position courte d’un call de strike B / A.

1.4.1.2. Le Floor
Encore appelé option de vente – put option – le Floor donne à l’acheteur un
payout non - linéaire basé sur la différence entre le prix d’exercice défini
contractuellement et la valeur spot du sous – jacent.
L’acheteur de Floor paie une prime au vendeur afin de posséder ce droit au
payout.
Si le prix spot est inférieur au strike, le vendeur va payer la différence de prix à
l’acheteur; dans le cas contraire, aucun versement n’est effectué.
Le floor, de même que le cap, permet à l’acheteur de s’assurer une protection
contre des conditions climatiques qui lui seraient défavorables, tout en bénéficiant de
conditions plus favorables.
1.4.1.3. Le Collar
Le Collar résulte de la combinaison d’un achat de Cap & d’une vente de
Floor. Les prix d’exercice peuvent être définis de telle sorte que cette opération
n’entraîne aucun paiement de prime.
Par exemple, un distributeur de fuel domestique peut désirer une protection de
ses revenus contre un hiver plus chaud que la normale. Il aimerait donc acheter un
Floor HDD mais voudrait réduire, voire éliminer la prime à payer aujourd’hui. Dans ce
cas, il va vendre un Cap HDD. Ainsi, il va échanger les bénéfices d’un hiver plus
froid que la normale contre la protection d’un hiver chaud. Si la prime du Cap
est exactement égale à celle du Floor, on parle de Costless Collar ( Collar à coût
nul).

1.4.1.4. Le Swap
Le swap est un contrat dans lequel deux contreparties acceptent
d’échanger leurs risques, afin d’obtenir un cash flow plus stable lorsque les
conditions climatiques apparaissent volatiles.
Il résulte de la combinaison d’un Cap et d’un Floor de même prix
d’exercice.
Si le cours spot du sous – jacent est supérieur au taux du swap, le vendeur de
swap va payer l’acheteur de la différence.
Aucune prime n’est versée pour entrer dans un swap.
Un fabricant de piscines peut entrer dans un swap afin de se protéger contre
un été froid, en acceptant de renoncer à tout bénéfice supplémentaire dû à un été
chaud.

1.4.1.5. Éléments contractuels
Dans les contrats climatiques doivent figurer :
 Le type de contrat : cap, floor, collar, swap
 Le lieu de mesure considéré, devant être un site spécifié par la National
Weather Service
 Les unités climatiques : HDD, CDD ou unités plus exotiques
 Index climatique :HDD cumulés durant la ou les périodes considérées
 Dates de début et d’éxpiration
 Prix d’exercice déterminé en HDD ou autres
 Montant à payer par HDD
 Limite du payout
 Prime à payer par l’acheteur
 Modalités de règlement, déterminées contractuellement
1.4.2. Contrats non standards
1.4.2.1. Coumpound
Cette structure permet à l’acheteur de l’option d’acheter ou de vendre des
contrats à une date future prédéterminée. Cette date doit être antérieure à la date de
départ du contrat sous – jacent.
De même que pour le cap ou le floor, l’achat d’une option composée entraîne
le paiement d’une prime. Si l’acheteur exerce l’option, un second paiement est
alors nécessaire.
L’avantage essentiel de l’option composée est qu’elle permet à l’acheteur
d’acheter un contrat climatique à un prix fixé par les conditions du marché

aujourd’hui, mais lui permet aussi d’annuler l’achat du contrat si la protection
n’est plus nécessaire.
Par exemple, un distributeur de fuel domestique peut désirer une protection
contre un hiver chaud, mais souhaite aussi une flexibilité lui permettant
d’annuler l’achat dans le cas de prévisions météorologiques contraires. Dans
ce cas, une option sur Floor HDD paraît intéressante. La date d’expiration de l’option
pourrait être le 31 Octobre de manière à ce que le distributeur puisse décider au
début de l’hiver si l’achat du contrat HDD est nécessaire.
1.4.2.2. Digitale
Les contrats climatiques ont des payouts linéaires : un certain nombre de
dollars par degré de température. Une option digitale est une structure offrant un
certain nombre de dollars fixés si un certain événement – ou une série
d’événements – se produisent.
Dans le cas de non – événement, il n’y a pas de payout, c’est pourquoi cette
option est souvent appelée on / off ou encore contrat binaire.
1.4.2.3. Obligations indexées sur le climat
Les obligations indexées sur le climat – Weather linked bonds – ne sont en fait
qu’une extension des obligations indexées sur les catastrophes naturelles –
Catastrophe bonds – (ouragans, tempêtes, inondations).
De telles obligations permettent aux compagnies d’assurance, par exemple,
de partager les risques climatiques inhérents à leur activité avec des investisseurs
espérant pour cela un rendement supplémentaire. Ainsi, les compagnies d’assurance
peuvent proposer des obligations où le coupon et le remboursement du capital à
maturité, i.e. Yield to Maturity, dépendent de certains facteurs climatiques.
 Dans le cas où les conditions climatiques définies contractuellement
ne se réalisent pas, l’investisseur touche le coupon plein, i.e.
rendement supérieur à celui qu’il pourrait obtenir sur le marché pour des
contreparties de même rating

 Si les conditions climatiques se réalisent, son coupon est diminué du
montant que l’assureur aura dû payer pour la partie réelle.
Pour les investisseurs, ces obligations peuvent représenter un produit de
niche leur permettant d’obtenir un rendement supplémentaire à celui des
obligations d’état et des entreprises de bonne notation, mais n’étant pas aussi risqué
que les obligations high yield.
1.5. Contrats côtés au Chicago Merchantile Exchange
Le CME côte des futures sur HDD et CDD, et options sur futures pour 10 villes
des Etats – Unis. Ces villes ont été choisies en fonction de l’importance du risque
climatique, taille de la population, activité sur les marchés OTC, on peut ainsi citer
New York, Chicago, Atlanta, Cincinnati, ...
Toutefois, le fait que les lieux de mesure soient standardisés induit un risque
puisque le lieu exact de couverture peut en être plus ou moins éloigné, et peut être
soumis à différents mouvements climatiques (vents, océans,…). Ce risque est
appelé risque de base. Pour les dérivés climatiques, ce risque est encore
malheureusement peu pris en compte car très dur à quantifier.
Pour limiter ce risque, certains market makers proposent actuellement des
contrats où l’indice de référence n’est plus mesuré sur un seul site mais calculé
comme une moyenne pondérée de plusieurs mesures sur différents sites.
Si on représente dans le repère Espérance – Variance propre à Markowitz,
les points des revenus non couverts (FFFC), couverts par swap OTC (FFFC +FF) et
couvert par contrat CME (FFFC + ORD), on s’aperçoit que le contrat CME réduit le
risque et donc le rendement par rapport à une position ouverte, mais moins que le
contrat OTC puisque le porteur de contrat standardisé accepte de courir un risque
supplémentaire : le risque de base pour lequel il doit être rémunéré.

En plus de cette activité, le CME propose des informations sur les données
climatiques :
 Données de température journalières, actualisées deux fois par jour, pour les
10 villes considérées
 Prévisions sur 5 jours pour les 10 villes, actualisées chaque jour
 Données historiques journalières depuis 1979 pour chaque station, actualisées
chaque année
 Données historiques mensuelles agrégées pour les 10 villes depuis 1979,
actualisées chaque année
L’indice HDD du CME représente l’accumulation d’HDD journaliers sur un
mois calendaire avec un montant de $100 par HDD. Le tick est de 1 HDD ou
CDD. A chaque date, 12 échéances mensuelles des contrats sont proposées.
La valeur nominale d’un contrat est donc donnée par :

30
1
100$*
i
jounaliersHDD
De même pour l’indice CDD

Les principaux avantages des contrats côtés sur un marché réglementé sont
la liquidité (possibilité de revente facile) ainsi que la transparence dans le pricing
assurée par la fréquence des échanges. La présence d’une chambre de
compensation permet à chaque participant de ne plus avoir à se soucier du risque de
crédit inhérent à sa contrepartie.
Le CME a décidé de coter de tels produits face à l’importance sans cesse
grandissante du marché OTC. Caractéristiques des contrats :
Futures Contract Options on
Futures Contract
Contract Size: $100 times the CME Degree Day Index One Futures
Contract
Quotation: The CME Degree Day Index (HDD/CDD) points Premium
Minimum Tick
Size:
1.00 Degree Day Index (HDD/CDD) Point ($100) 1.00 Degree Day
Index Point ($100)
Contract Month: HDD: 7 months (Oct–Apr)
CDD: 7 months (Apr–Oct)
HDD: 5 months
(Nov–Mar)
CDD: 5 months
(May–Sep)
Termination Day
and Final
Settlement Day:
Futures trading shall terminate and contracts will settle at
9:00 a.m. Chicago time on the first exchange business day
which is at least 2 calendar days following the last day of
the contract month.
Same as futures
Final Settlement
Price:
The Exchange will settle the contract to the CME Degree
Day Index of the contract month calculated by EarthSat
Na
Position Limits:
10,000 futures contracts
(Futures-
equivalents)
10,000 contracts
Exercise: Na European Style
Regular Strike
Intervals:
Na HDD: 50 Index
points
CDD: 25 Index
points
Initial Strike
Range:
Na At-the-money and
3 strikes up & 3
strikes down
Trading Hours:
GLOBEX®
3:45 p.m. to 3:15 p.m. (next day) Same as futures
*TheCMEDegree Day Index is the cumulative total of daily Heating Degree Days (HDDs) or Cooling Degree Days
(CDDs) over a calendar month. The daily HDD equals to zero, or 65F minus the daily average temperature, which ever is
bigger. Mathematically, HDD=max {0, 65-T}. The daily CDD equals to zero, or the daily average temperatureminus 65F,
whichever is bigger. Mathematically, CDD=max {0, T-65}.

Les contrats CDD et HDD permettent d’acheter ou de vendre la valeur de
l’indice CDD ou HDD à une certaine date future. Les contrats sont réglés en cash, de
même que les autres contrats du CME (tels que Eurodollar, futures sur S&P 500,.. ).
Pas de livraison physique, donc le paiement final résulte d’une dernière opération de
marking to market.
1.6. Exemples d’application
1.6.1. Comment une entreprise de cinéma se protège contre les risques d’un
été plus chaud que la normale avec un Call?
Le management de l’entreprise de cinéma « Really Good Films » est inquiète
pour ses revenus de l’année prochaine. En effet, l’entreprise sera concurrencée par
des activités de plein air dans le cas où l’été se révèle particulièrement chaud. Elle
souhaite alors se prémunir contre des chutes de ses revenus comme ce fut le cas les
années précédentes.
Après contact avec un market maker et examen des données des ventes sur
12 ans, on observe une forte corrélation pour les mois de mai à septembre entre
les ventes en volume et les données climatiques fournies par le Met Office. Ceci
illustre parfaitement l’idée que quand il fait chaud, les gens ne vont pas au
cinéma.
Des études plus approfondies montrent que les jours les plus sensibles sont
vendredi, samedi et dimanche. Il y a 65 vendredi, samedi et dimanche pour les mois
de mai à septembre, soit 18% des jours représentant près de 50% des ventes. Ce
sont ces jours – là que l’entreprise doit se protéger.
Une analyse historique des données sur les 12 dernières années menée par
le market maker montre que sur les 65 jours, 20 en moyenne affichent des
températures supérieures à 23° Celsius et que pour chacun de ces jours, l’entreprise
enregistre une perte de £10 000.
Le management décide d’accepter une année où 22 jours critiques peuvent
dépasser 23°, mais pas plus. Le market maker trouve alors une contrepartie, i.e. un
vendeur de Call qui accepte de payer £10 000 à Really Good Films pour chaque
jour critique à partir du 23ème où la température sera supérieure à 23°.

Ainsi, peu importe la chaleur de l’été, Really Good Films est certain
d’avoir un revenu fixe et équivalent à celui d’un été moyennement chaud.
Si l’été se révèle plus froid que la normale, l’entreprise ne perd que la prime
payée pour le dérivé climatique et peut en revanche bénéficier de conditions
climatiques favorables à ses ventes.
Graphiquement, le pay off :
1.6.2. Comment un fabricant de vestes polaires utilise un Put pour se protéger
contre les risques d’un hiver doux?
ABC Jacket, entreprise située dans le nord de l’Angleterre a enregistré une
chute au troisième trimestre de ses ventes de 12% comparées à celle de l’année
précédente, ceci en raison principalement d’un hiver plus doux que la normale.
Le management décide donc d’acheter un produit dérivé climatique afin de se
protéger contre d’éventuelles pertes futures mais aussi de profiter à plein de
conditions climatiques plus favorables.
Une étude des données historiques montre une corrélation de 91% des ventes
d’ABC et des données météorologiques. En prenant une référence de 18°C, le
nombre moyen d’HDD sur les 35 dernières années pour la période 1er Novembre –

31 Mars est 1950 HDD. ABC sait que pour ce nombre d’HDD, le revenu moyen est
de £10 millions. ABC estime, avec l’aide du market maker que chaque HDD en
moins réduit les revenus de £5700.
Si la température est 9% plus chaude que la moyenne, les revenus vont
chuter de 10%. En d’autres termes, si le nombre d’HDD cumulés sur la période est
de 1774.5 : 1950 * (1 - 0.09), alors les revenus seront de £9 M ou moins :
£10 M * (1 - 0.09).
ABC va donc acheter un put de strike 1774.5 HDD. Pour chaque HDD de
moins, le vendeur de l’option paiera £5700.
Ainsi, ABC s’est assuré un revenu minimum égal au nombre d’HDD cumulés
sur la période diminué de la prime.
1.6.3. Comment un parc d’attraction utilise un Collar pour garantir une
stabilité de ses revenus ?
XYZ est un parc à thème situé dans le sud de l’Angleterre. A cause de
concurrence exacerbée, XYZ envisage des investissements supplémentaires en
attractions. Toutefois, le management est conscient du risque climatique encouru par
la société. XYZ voudrait donc s’assurer une stabilité de ses revenus sans avoir
à débourser de cash.

Une régression menée entre les ventes et les données de température sur les
20 dernières années montre que chaque variation de CDD d’avril à septembre
affecte les revenus de £15 000. Sur la période, le nombre moyen de CDD est de 300
pour une température de référence de 18°C.
XYZ achète donc un collar qui va :
 Lui assurer une protection en dessous de 285 CDD, i.e. 5% en dessous de la
moyenne pour un montant de £15 000 par CDD
 L’obliger à payer au delà de 315 CDD, i.e. 5% au dessus de la moyenne
Ainsi, pour un coût initial nul, XYZ s’est protégé contre les risques d’un été
frais, mais renonce à tout gain supplémentaire dû à un été plus chaud que la
normale.
1.6.4. Exemple de couverture avec les contrats du CME
L’entreprise ABC vend de l’électricité à Chicago. Pour un prix fixé à $0.08 /
Kilowatt heure, les ventes lors d’un hiver normal sont prévues à 1 Milliard kWh. Le
revenu attendu est alors de $80 Millions.
ABC craint un hiver doux. Leur département d’étude montre que les ventes en
volume sont corrélées positivement avec l’indice HDD du CME avec un coefficient
de 0.9.

Pour stabiliser ses revenus en hiver, ABC va vendre le contrat Janvier du
CME côté 1250. Rigoureusement, la couverture sur toute la période hivernale
supposerait la vente d’un strip de contrats, par exemple Octobre à Mars. Nous y
reviendrons.
Intéressons nous au nombre de contrats à vendre, encore appelé ratio de
couverture. Une baisse de 1% de l’indice HDD équivaut à $1250 : 0.01 * 1250 HDD *
$100 par HDD tick). D’où une baisse de 0.9% des revenus, soit $720 000.
Ratio de couverture =
contratduvaleurdeVariation
revenudeVariation
576 contrats =
2501$
000720$
Le 1er octobre, ABC vend donc 576 contrats Janvier au prix de 1250.
 Si l’hiver est réellement doux, début février, le contrat Janvier côte 1150. Les
ventes d’ABC en volume se sont effectivement réduites de 72 Millions kWh : 1
Milliard * 0.9 * (1250 – 1150) / 1250, soit en valeur $5.76 Millions ; ceci est
compensé par le gain de $5.76 Millions sur la vente de contrats
 Si l’hiver est froid, le contrat Janvier côte 1400. Les ventes ont alors augmenté
de 108 Millions kWh, soit une hausse en valeur de $8.64 Millions, annulée par la
perte sur les contrats.
1.7. Les acteurs du marché
1.7.1. Les clients
La plupart des transactions de Dérivés Climatiques concernent les entreprises
d’énergie. On estime aujourd’hui qu’environ 70 à 80 % des deals ont au moins
une entreprises de fourniture d’énergie comme contrepartie, ce qui est assez
prévisible puisque les indices Heating Degree Days (HDD) et Cooling Degree Days
(CDD) sur lesquels environ 95% des transactions de Dérivés climatiques sont
indexées, ont été créés dans l’esprit des entreprises de fourniture d’énergie.

1.7.1.1. Entreprises de transmission et de distribution d’énergie
Les entreprises de transmission et de distribution de gaz naturel, propane et
fuel domestique sont extrêmement exposées aux variations climatiques en hiver.
Sans hivers raisonnablement froids, ces compagnies ne peuvent tenir leurs
objectifs de profit.
En raison du coût du capital élevé dans ce secteur d’activité, des hivers
successivement chauds, comme ce fut le cas en 1997 et 1998, peuvent menacer
le remboursement des dettes de ces entreprises et le paiement de dividendes.
Par exemple, beaucoup d’entreprises de propane aux Etats – Unis furent
obliger de rompre les facilités de paiement consenties par leurs banques en 1999, et
donc durent recourir par la suite à des emprunts à des taux plus élevés, de l’ordre
d’au moins 100 points de base supérieurs que les taux précédents. De plus, le coût
d’émission d’obligations à long terme a augmenté parallèlement puisque leur note de
financement s’était dégradée.

1.7.1.2. Générateurs de puissance
Ces entreprises doivent affronter des pertes de revenus lorsque l’été est
froid et que l’hiver est chaud.
Pour y remédier, les entreprises génératrices d’énergie peuvent par exemple
acheter des Put HDD ou CDD, collars, ou swaps pour s’assurer des cash flows fixes.
Parallèlement, elles encourent deux risques additionnels :
 risque de surcapacité. Des actifs sous utilisés réduisent les principaux ratios
financiers tels que le Return on Assets (ROA) ; aujourd’hui, la réglementation
et / ou la peur de se voir exposé au marché volatile de l’énergie, poussent
beaucoup d’entreprises de service public à garder une certaine marge d’actifs en
anticipation de périodes d’intense activité.
Les générateurs d’énergie ayant une surcapacité peuvent ainsi la monnayer
en vendant par exemple des options d’achat sur énergie et / ou des Calls CDD ou
HDD.
 risque de coût lorsqu’elles manquent de capacité de production requise
pendant par exemple des périodes très chaudes et sont obligées d’acheter de
l’énergie à prix élevés.
Dans ce cas, des consultants en Dérivés climatiques peuvent leurs conseiller
d’acheter des Calls CDD dans la monnaie lorsque le prix spot de l’énergie est très
élevé, ou encore d’acheter des options d’achat digitales sur température maximale
pour couvrir le coût d’achat d’énergie à prix élevé.

De manière plus générale, toute entreprise dont les recettes peuvent être
affectées par les aléas climatiques a un besoin potentiel de produits de
couverture de ce risque. Citons ainsi parmi les secteurs d’activité cibles :
1.7.1.3. Agriculture et agrochimie
Malgré les nombreuses avancées technologiques dans le secteur agricole,
telles que les engrais de semence permettant des cultures à haut rendement, le
temps météorologique reste un risque majeur. Pendant la période allant des
semences à la moisson, l’ensoleillement, la température, les précipitations et le
vent peuvent affecter à la fois la qualité et la quantité de la récolte.
La relation entre le climat et les récoltes est assez complexe. Ainsi, une
période de sécheresse va affecter les plantations demandant de l’eau pour leur
croissance ; mais en même temps, des pluies excessives peuvent inonder le sol, et
donc diminuer l’absorption d’oxygène par les racines et une plus grande probabilité
de maladies.
Les fongicides apparaissent essentiels en ce qu’ils protègent les récoltes, et
pour l’industrie agrochimique, les années pluvieuses sont synonymes de revenues
élevés, ceci venant du fait que les spores se développent plus facilement dans des
conditions humides.
L’usage de pesticide est aussi très dépendant des conditions
climatiques. On peut ici citer l’exemple du charançon de boule de coton, qui coûte
aux producteurs de coton en moyenne 300 Millions de $ aux Etats – Unis. Leur
quantité d’utilisation est très variable chaque année, ceci en raison de la sévérité de
l’hiver, et lors d’hivers très froids, leur utilisation est presque nulle, d’où des risque
très importants pour les entreprises d’agrochimie.
Les fermiers céréaliers ont besoin de combinaisons spécifiques de
température et de précipitation pour maximiser leurs récoltes :
 Nombre maximal de Growing Degree Days durant la saison
 Température appropriée durant la phase de maturation
 Protection contre les gelées de début et de fin de saison
 Précipitations convenables

 Protection contre vents et pluies durant la saison des récoltes
 Température appropriée pour un stockage « humide » du grain
Le climat oblige les agriculteurs à mener des actions coûteuses de protection
des récoltes :
 Irriguer
 Ré appliquer insecticides, herbicides, fongicides
 Sur fertiliser dans une tentative coûteuse et inefficiente de s’assurer que la
fertilisation des récoltes se passe de façon adéquate, puisqu’un climat optimal
peut faire défaut
1.7.1.4. Viticulture
Un manque d’exposition au soleil et de froides températures pendant les
étapes allant de l’éclosion à la maturation peuvent significativement affecter la
qualité des grappes et donc la qualité du vin lui même. En 1998, la production
de grappes de raisin en Californie chuta de près de 30% en raison d’un
printemps froid et pluvieux, suivis de mois de Juillet et Août très chauds. De même ,
des pluies supérieures à la moyenne en été peuvent affecter la maturation des
grappes et donc retarder la récolte.

1.7.1.5. Industrie vestimentaire
La mode n’est bien sûr pas la seule déterminante des habits que nous
portons : difficile pour les boutiques de vêtement de plage de faire des profits si le
temps est froid et pluvieux. Toutefois des phénomènes plus complexes apparaissent
dans les processus de consommation: durant des périodes de forte chaleur en été,
les consommateurs pensent qu’il fait trop chaud pour aller faire du shopping ; de
même, pendant les périodes de grand froid en hiver, personne n’a vraiment envie de
sortir de chez lui.
D’où des risques de coût de stockage élevés pour les vendeurs, et le
risque que le vêtement qui était cette année à la mode, ne le soit plus à la
saison suivante.
1.7.1.6. Construction
Dans ce secteur, de fortes pénalités financières sont fréquentes lorsque les
délais de travail sont dépassés. Le temps qu’il fait peut largement influencer ceux –
ci.
Des vents violents empêchent de travailler à haute altitude et ainsi, le
travail des grues se voir suspendu pour des raisons de sécurité.
La plus grande menace est sans doute l’apparition de périodes
pluvieuses suivies par des températures givrantes. Ainsi, si l’eau se trouve
coincée dans les matériaux et se met à givrer, cela entraîne fissures et autres
craquements, et donc une qualité déplorable de la construction. De même, la glace
rend la terre très dure et donc impossible à creuser.
1.7.1.7. Loisirs
Les revenus des stations de ski sont fonction du nombre de skieurs utilisant
les prestations de la station : citons entre autres les ventes de ticket de tire – fesses,
la consommation de boissons et nourriture, les ventes d’accessoires et
d’équipement.

Les consommateurs peuvent être éloignés des stations par :
 Temps très froid : moins de 10 degrés fahrenheit
 Vents et neige extrêmes
 Temps chaud sans une bonne base de neige
Dans beaucoup de pays, les parcs à thème sont ouverts toute l’année, bien
que leur période de forte activité soit les mois estivaux. Ce métier est bien sûr lié à
des mois ensoleillés et chauds : bien que certains aient planifié leur journée d’arrivée
aux parcs, beaucoup ne s’y rendent que si le climat leur permet d’en profiter au
maximum.
Ainsi, les Dérivés climatiques peuvent toucher de larges clients potentiels
autres que les entreprises de fourniture d’énergie. Des deals ont été récemment
conclu, comme c’est le cas de Bombardier, entreprise canadienne de matériels de
glisse qui a proposé à ses clients durant l’hiver 1998 un rabais de 1000$ à ses
clients dans le Midwest américain si une certaine quantité de neige définie au
départ ne tombait pas pendant la saison. Ceci entraîna une hausse des ventes
de 38% sur la période !
1.7.2. Les contrepartistes
Les produits financiers indexés sur le temps sont parmi les plus innovants
dans le domaine de la gestion des risques aujourd’hui, mais de nombreuses

confusions sont présentes sur certains segments de marché. La Weather Risk
Management Association (WRMA) a été crée pour doter cette industrie d’un forum
de discussion des dernières innovations et conduire le développement du marché. Y
adhèrent des entreprises soucieuses de leurs risques climatiques, ainsi que les
principaux market makers sur dérivés climatiques.
Citons parmi les principaux :
 Aquila Energy, leader en Amérique du Nord en marketing de gaz, énergie
 Castlebridge, créé en Octobre 1996 opère sur le marché des dérivés climatiques
aux Etats – Unis
 Enron est un des leader sur le marché de l’électricité et du gaz naturel. Elle
détient environ 33 Milliards de dollars en biens énergétiques, produit de
l’électricité et du gaz naturel, développe, construits et opère des opérations dans
le monde sur ces produits, délivre physiquement les commodités et propose des
services financiers de gestion des risques à ses clients.
 Koch Energy Trading emploie près de 16 000 personnes dans le monde est est
présent dans toutes les phases de l’industrie du pétrole et du gaz, produits de
technologie chimique et environnementale, asphalte, métaux et minéraux,
agriculture.
 Southern Company Energy Marketing, joint venture entre Southern Company,
plus grand producteur d’électricité aux Etats – Unis, et Vastar resources, un des
leader de l’exploration et de la production de pétrole et gaz. Southern Company
Energy Marketing offre un large portefeuille de matières premières d’énergie et
de produits financiers en Amérique du Nord
 Swiss Re New Markets, division de Swiss Re propose des solutions de gestion
des risques à un large panel d’entreprises et assureurs
Par ailleurs, les principales banques d’affaires s’intéressent de plus en
plus au marché des Dérivés climatiques : ainsi, la Société Générale consacre un
site entier à cette activité : www.sgweather.com. L’activité dérivés climatiques est en
générale rattachée à la division Fixed Income ; les métiers de Trading et de
recherche sont focalisés pour l’essentiel sur Londres, New York et Chicago.

2. Pricing de produits dérivés climatiques standards
Alors que pour les marchés d’Equities, le modèle de Black – Scholes – Merton
est reconnu et utilisé par tous les professionnels et théoriciens comme modèle de
référence ; il n’existe pas à proprement parler aujourd’hui de consensus de
pricing pour les produits dérivés climatiques.
Il y a encore un ou deux ans, sur les marchés Over The counter, il n’était pas
rare d’avoir des bid / ask spreads de l’ordre de 100 à 200% ! Aujourd’hui la
possibilité donnée par de nombreux market makers de traiter directement via Internet
sur le marché des produits dérivés climatiques et donc d’avoir accès à une cotation
en continu de ces produits permet de réduire cet écart. Par ailleurs, la création d’un
marché réglementé de produits dérivés climatiques à Chicago permet une meilleure
transparence des prix.
Les principaux produits traités étant, comme on l’a vu, des produits indexés
sur la température, nous traiterons comme modèles standards des modèles
d’évaluation de produits dérivés sur HDD et CDD. Dans la troisième partie, nous
discuterons de leur pertinence pour les produits indexés sur d’autres variables :
température, neige,…
Le choix du processus stochastique modélisant l’évolution du sous –
jacent, et notamment la modélisation de la tendance apparaissent aujourd’hui au
cœur des problèmes de méthodologie de valorisation.
2.1. Choix du processus
Des recherches météorologiques passées ont montré que les processus
Auto Régressif et processus de retour à la moyenne étaient pertinents pour
modéliser les évolutions de température. Nous allons essayer ici de les comparer en
utilisant des données provenant de Paris – Orly, et essayer de déterminer si l’un des
deux processus peut servir de référence pour l’évaluation d’options.
Alors que les températures sont mesurées en continu, les valeurs servant
de base au calcul des jours de degré sont discrètes (en général journalières).
Ainsi, nous pouvons soit utiliser un processus en temps continu et le discrétiser par
la suite, soit utiliser directement un processus discret.

2.1.1. Présentation des processus
2.1.1.1. Processus Mean Reverting
Les températures moyennes quotidiennes Ti peuvent être vues comme des
séries temporelles :
Building first property of Ti
La température Ti+1 à la date i+1 peut être déterminée à partir des hypothèses
suivantes :
 Elle dépend de la température Ti
 Elle dépend de la hausse ou de la baisse de la température moyenne entre les
dates i et i+1
Le processus déterministe peut alors s’écrire :
Ti+1 = Ti + (i+1 - i) (1)
avec i : moyenne de température à la date i
Le processus présenté est uniquement déterministe. Pour introduire un aléa,
on ajoute un bruit i à chaque date i.

En ajoutant une incertitude sur Ti+1
Le processus est alors réécrit comme :
Ti+1 = Ti + (i+1 - i) + i (2)
sans condition particulière sur i dans ce cas général
Mais, nous devons aussi tenir compte d’une des plus importantes propriétés
des distributions de température : elles retournent toujours vers leur moyenne
globale, i. e le bruit i est conditionnel au passé et pourrait s’écrire comme
i =  (i-1 - Ti-1) + i (3)
avec  constant et ibruit « complémentaire »
Enfin, en regroupant les résultats trouvés, nous pouvons in fine expliciter le
processus :
Ti+1 = Ti + (i+1 - i) +  (i - Ti) + i (4)
Ce processus généralise la discrétisation du fameux processus
dTt =  (t - Tt ) dt + t dWt
avec Wt processus de Wiener, et t fonction déterministe
Ainsi, si nous restreignons i à un bruit blanc gaussien, nous obtenons le
processus utilisé par Dornier & Queruel, comme nous allons le voir.

2.1.1.2. Processus AutoRegressif
Le processus étudié ici est fondé sur la méthode des différences : l’équation
(2) peut se réécrire
(Ti+1 - Ti) - (i+1 - i) = i (5)
Carmona propose alors de simuler le processus en utilisant l’hypothèse
suivante :
Ti+1 = i+1 + AR (p) (6)
Le processus Auto Régressif d’ordre p tient alors bien compte de la
« mémoire » présente dans les données de température
Le processus AR(p) peut donc s’écrire : AR (p) = (Ti - Ti ) + i

2.1.2. Estimation et comparaisons numériques
2.1.2.1. Processus Mean Reverting
Supposons que le processus de température est donné par (4). L’estimation
du bruit i est faite comme suit
Les données utilisées sont des moyennes de température à Paris – Orly sur
30 ans. Nous supposons pour l’instant  constant et nous n’imposons pas de
distribution particulière pour le bruit. Nous cherchons la valeur de  en utilisant la
méthode des moindres carrés. Nous déterminons alors les résidus.

On peut donc conclure à partir de là que le processus modélise relativement
bien les données. Toutefois, vu le biais remarquable par le graphique n°5, le bruit
blanc gaussien pourrait être remplacé par un autre bruit avec une distribution

asymétrique (on pourrait alors suggérer une distribution de Pearson). Par ailleurs, il
serait intéressant d’introduire une volatilité saisonnière, et on pourrait choisir (t) de
forme sinusoïdale.
2.1.2.2. Processus AutoRegressif
On a vu précédemment que la modélisation par processus Mean Reverting
donne dans l’ensemble de bons résultats. Ici, nous allons tester le processus simple
AR afin de comparer les résultats.
Tout d’abord, nous présentons la fonction d’auto corrélation de la différence
Ti+1 - i+1
Grâce à cette information, nous décidons de modéliser la température par un
processus Auto Régressif d’ordre 6.

Après avoir estimé le processus, nous montrons que les nouveaux résidus ne
sont pas corrélés et sont normalement distribués.
Là encore, le processus AR(p) modélise très bien les données.

2.1.3. Conclusion
Comme on l’a vu les deux processus étudiés modélisent assez bien les
données de température sans qu’il soit aisé de déterminer quel processus apparaît
le mieux adaptés.
Toutefois, comme nous allons le voir, le processus Mean reverting est celui
qui est le plus largement utilisé dans les modèles de température ; les auteurs se
justifiant par le fait que, comme pour les taux d’intérêt, les températures ne peuvent
évoluer vers plus ou moins l’infini et sont toujours rappelées vers des valeurs
moyennes en fonction de cycles annuels, saisonniers et mêmes journaliers.
Ainsi, lorsque la température évolue de 35 °F à 70 °F, elle ne double pas mais
augmente simplement de 35 °F. C’est pourquoi la température doit être pensée en
terme de température absolue. Rappelons que :
Tabsolue = 253.7 +
9
5
T°F
Pour le pricing, ce processus est sans doute plus simple puisqu’il permet de
reprendre des méthodes de travail répandues pour l’utilisation de produits dérivés de
taux.

2.2. Le modèle de Black – Scholes : toujours applicable ?
2.2.1. Black – Scholes won’t do
Bob Dischel, consultant en météorologie agréé par l’American Meteorological
Society, expose pourquoi, selon lui, le modèle de Black – Scholes – Merton, bien
qu’utilisé en certaines variantes pour des produits financiers autre que les Equities
(contrats futures de matières premières, option sur devises, voire options avec taux
stochastiques) ne peut être appliqué aux produits dérivés climatiques.
La première raison est qu’une des hypothèses inhérentes au modèle de
Black – Scholes – Merton est que le support de l’option à pricer doit être un produit
financier ou une matière première livrable côtés sur un marché réglementé. Or, le
temps n’a pas de prix !
De plus, le payoff d’un dérivé climatique est basé sur une série d’événements
climatiques et non pas sur un prix de sous – jacent. Par exemple, chaque jour plus
froid que la normale s’accumule aux CDD précédents pour former un total à
l’échéance. Ce mode de détermination du prix du sous – jacent pourrait donc se
rapprocher de celui des options asiatiques, où le payout est basé sur la valeur
moyenne des cours du sous – jacent pendant la période de référence de vie de
l’option.
En revanche, on peut modéliser par un processus stochastique une
variable sous – jacente qui n’est pas forcement cotée, c’est ce qui est fait
habituellement pour les options sur taux d’intérêt. Dans ce cas, des simulations
comme celles de Monte Carlo peuvent être utilisées pour pricer les produits
dérivés climatiques.
Le modèle de Black – Scholes part de l’idée que l’on peut construire un
portefeuille d’arbitrage composé d’une certaine quantité d’actifs sous – jacents et
d’une option écrite sur ce sous – jacent. Ce portefeuille peut être risque neutre pour
des quantités et des sens déterminés pour les deux actifs considérés. Le temps ne
pouvant être titrisé, il est impossible de construire un tel portefeuille dans le cas
des produits dérivés climatiques. Ce sont donc des produits financiers ne pouvant
répondre aux travaux de Fischer Black, Myron Scholes et Robert Merton.

2.2.2. Black – Scholes will do
2.2.2.1. Pricing
En réponse à cet article, Ross McIntyre écrit en 1999 : « Black – Scholes will
do ! ». Selon lui, les analystes croyant que le modèle traditionnel de valorisation des
options financières serait inapplicable au cas des Weather Derivatives ont tort. Un
simple modèle analytique dérivé du modèle fondateur de 1973 donne des prix
rapides et proches des prix de marché des dérivés climatiques sur température :
beaucoup plus simple à utiliser que les lourdes simulations numériques.
McIntyre propose un modèle simple de pricing des options sur Degree Days
en prenant l’hypothèse que les jours de degré cumulés ont une distribution
normale. Ainsi, si on prend les données fournies par le Meteorological Office des
températures relevées à l’aéroport d’Heathrow (Londres), on voit que les données
statistiques se rapprochent assez bien d’une loi normale : l’hypothèse apparaît donc
assez réaliste.
On voit bien que la modélisation par un loi normale est plus réaliste ici que la
loi lognormale utilisée dans le modèle de Black & Scholes.
Soit X le payoff d’une option, variable aléatoire suivant une loi normale.

Si on note V la valeur de l’option, on a
V = E [X], i.e. V = 


dssPX )(
avec P(s) =
²2
)²(
2
1 

ms
e


en prenant s : nombre de jours de degré cumulés
m : moyenne
 : écart type ou volatilité
Pour les options européennes, le payoff s’écrit X = Max [ (S-K), o] ; K étant le strike
et  = + / - 1 pour le call et le put respectivement..
Nous pouvons maintenant discuter des solutions analytiques des principales
options météorologiques traitées sur le marché. En reprenant des résultats connus
d’algèbre linéaire, on peut écrire pour les options de type européennes:
VE =  (m - K)  




 

 )( Km
+  ² P (K)
Où  (x) est la loi normale
Le pricing d’option financière pose l’existence d’une mesure de probabilité dite
risque neutre sous laquelle les prix de tous les actifs financiers actualisés au taux
sans risque sont martingales. Le seul paramètre inconnu dans le pricing d’options
financières est la volatilité.
Dans le cas des options climatiques, la moyenne et la volatilité sont
inconnues. La moyenne des options climatiques est similaire au forward des options
financières. La moyenne implicite du sous jacent d’une option climatique indique
l’espérance du prix de marché des observations futures et tient donc compte des
prévisions et tendances les plus récentes.
Les moyenne et volatilité implicites représentent toutes les deux le
risque et sont donc déterminantes du prix de l’option. A partir de là, on peut
donc facilement déterminer le prix de l’option.
Par exemple, si on reprend l’exemple mentionné plus haut de l’entreprise ABC
Jacket se couvrant par achat d’un put, avec une moyenne de 2000 HDD, un strike de

1800 HDD et une volatilité de 150 HDD, en remplaçant dans la formule analytique
trouvée pour  = -1, on trouve un prix de 6 HDD, soit £ 30 000.
2.2.2.2. Hedging
Une institution financière vendant une option OTC à un client se voit
confrontée au problème de la gestion du risque de variation de la valeur de l’option
en fonction des variations de l’espérance et de la volatilité. Comme pour les options
financières, les opérateurs sont donc amenés à construire un portefeuille dont la
valeur serait indépendante de petites variations de l’espérance: c’est la technique de
couverture au delta neutre.

md
Vd E
 




 

 )( Km
De même, conformément à Black & Scholes, on peut déterminer les
expressions de Gamma et Véga.
2.2.2.3. Critique
Bien qu’assez simple – puisqu’il reprend des résultats connes de pricing
d’options financières – ce modèle est très peu utilisé par les professionnels. En effet,
l’hypothèse de normalité des jours de degré cumulés se révèle assez forte, et surtout
ne prend pas en compte les particularités régionales des différents centres
d’observations météorologiques.
Par ailleurs, cette hypothèse de modélisation n’exclut pas de valeurs
négatives, ce qui est contraire à la construction même des données HDD et CDD.

2.3. The Dischel D1 Stochastic Temperature Model
2.3.1. Le modèle théorique
Pour résoudre le problème de détermination du prix de l’option, l’auteur
suggère de se référer aux données météorologiques passées pour prévoir les
données futures, mais seulement pour la détermination de la volatilité. Il pense
que par un modèle stochastique, on est plus à même de décrire des données qu’en
calculant simplement une moyenne et une variance à partir de données historiques
de court terme.
Bien que ce modèle serve avant tout à pricer une option sur température,
l’auteur suggère qu’il peut être parfaitement appliqué à d’autres facteurs climatiques.
Les séries temporelles recherchées ne peuvent se trouver dans les données
passées de prix payés pour les dérivés car de nombreuses informations y sont
perdues et des séquences météorologiques masquées. Pour cela , on va utiliser les
valeurs climatiques journalières, comme les jours de degré.
L’idée de ce modèle est de simuler le plus de scénarios possible afin de
quantifier les températures potentielles futures, et en attribuant à chacune une
probabilité de réalisation. On calcule pour chaque scénario le prix du dérivé. Le prix
théorique aujourd’hui est alors la somme des prix probabilisés selon chaque
scénario.
L’auteur dit avoir testé son modèle durant le printemps 1998 pour une dizaine
de produits financiers et sur une dizaine de sites différents. Les prix calculés se
révèlent très proches des prix de marché, selon l’auteur.
Sur certains sites, le climat change radicalement ces dernières années, d’où
une nécessité de retravailler les données.
Le processus stochastique utilisé est donné par
dT = [ (t) *  (t) -  T(t)] dt +  dm1 +  dm2 (1)
Le paramètre T est une variable climatique : température, précipitation,… qui
varie selon le temps t

 est la moyenne historique variant avec le temps, et représente le centre de
gravité vers lequel le paramètre revient
 et  sont deux coefficients constants
m1 et m2 sont des distributions de probabilité quelconques : alors que dans le
modèle initial, Bob Dischel posait deux processus de Wiener, il lève dans le modèle
final l’hypothèse de normalité. La distribution est simplement déterminée à partir
des données statistiques passées. Ceci se révèle en fait très intéressant puisque
l’expérience montre que les distributions peuvent être totalement différentes
d’un site à l’autre et d’une période sur l’autre.
On a en fait un processus mean revering (Ornstein – Uhlenbeck) avec deux
paramètres : température et variations journalières de température. Bob Dischel
propose un modèle à deux paramètres sur la croyance que :
 les distributions des températures et de ses variations journalières sont
différentes. Les moyennes et écart types évoluent différemment en fonction du
temps (elles sont toutes les deux hétéroscédatistiques et non en phase)
 les changements de température ne sont pas liés à la température elle même :
les variations de température ne sont pas corrélés avec la température
Nous utilisons en fait un processus largement répandu pour les taux
d’intérêt (modèle de Vasicek,…). Toutefois, nous prenons aussi en compte
certaines particularités des données météorologiques :
 Le temps change avec la saison : ainsi, la moyenne doit varier avec t
 De même, pour la volatilité. Dans beaucoup de villes (Chicago, par exemple), le
climat est plus volatile en hiver qu’en été
 Il existe une « tendance naturelle climatique » : si nous sommes au printemps et
que la température est exactement égale à la moyenne attendue, on peut penser
que les jours suivants (été) seront plus chauds.
Le modèle que nous utilisons en pratique est un modèle de température à un
paramètre donnant de bons résultats et plus simple d’utilisation. Par exemple, nous
pouvons retenir le caractère aléatoire de variations de température journalières

Après discrétisation, nous obtenons:
Tˆ signifie que la valeur de la variable est simulée ou projetée.
Les valeurs de , , et  sont déterminées par un algorithme d’optimisation à
partir des données passées (calibrage du modèle). Après simulation de plusieurs
centaines de saison , nous trouvons pour  +  = 1 et  proche de 1 que les données
simulées sont particulièrement proches des données historiques.
Nous pouvons dès lors calculer la moyenne  pour toutes les dates qui nous
intéressent. Les deux paramètres suivants qui nous intéressent sont n+1, et T.
annéesdNombre
T
année
dateannée
date
'
,

Grâce à ces trois paramètres : Tn,  et un T pris au hasard, nous pouvons
simuler des saisons entières de données par itérations successives.
Nous répétons la séquence afin d’avoir une saison entière. Après cela, nous
répétons le processus complet, en commençant d’un point 0 différent pour avoir une
nouvelle saison simulée.

2.3.2. Application numérique
Appliquons le au cas de valorisation d’un Put sur CDD.
Nous partons des données de température fournies à New York City Central
Park pour plus de 4500 observations journalières.
Températures journalières (°F)
1968 1969 1970 1971 1972 1973
30/10 37.5 42.0 49.5 61.5 34.0 47.5
31/10 39.5 48.5 53.5 62.0 33.5 49.0
1/11 50.0 57.5 56.0 51.5 42.5 46.0
2/11 53.5 58.5 55.0 59.0 54.0 48.5
3/11 45.5 49.5 49.0 47.0 47.5 42.
4/11 44.0 44.5 43.5 40.5 42.5 39.0
5/11 45.5 39.5 40.5 45.0 40.0 35.0
6/11 42.0 37.0 43.0 45.5 47.5 33.0

A partir desquelles on peut simuler des valeurs de température que l’on peut
représenter graphiquement :
Nous pouvons dès lors construire l’histogramme de distribution des payoffs
possibles pour le Put

Le prix théorique du dérivé est donc la somme de tous les prix trouvés pour
chaque scénarios et pondérés par leurs probabilités de réalisation.
2.3.3. Hedging
Alors que sur les produits d’action, les market makers peuvent se couvrir par
techniques de delta hedging ; pour les produits dérivés climatiques, le sous – jacent
n’est bien sûr pas traitable. Les professionnels « se couvrent » en essayant de
respecter les principes suivants :
 Limiter la perte potentielle sur une option. Tous les produits dérivés
climatiques possèdent un certain paiement maximal fixé (comme on a pu le voir
sur les payoffs graphiques), ce qui les diffère des options classiques sur equities
ou taux
 Posséder un portefeuille d’options dynamique et bien diversifié : options sur
HDD et CDD et diversifié géographiquement de telle sorte que les pertes
potentielles sur une option soit compensé par des gains sur d’autres
 Ne vendre que des options indexées sur longue durée, car si le temps peut
être très anormal sur un jour, il est beaucoup moins probable qu’il le soit sur 6
mois. Ainsi, le durée réduit dans ce cas la variabilité propre aux conditions
climatiques
Comme pour les produits de taux, les acteurs du marché de produits dérivés
climatiques peuvent se couvrir avec des swaps.
Ainsi, la couverture sur le marché des dérivés climatiques relève plus du bon
sens de gestion de portefeuille que de règles mathématiques rationnelles. Par
ailleurs, une couverture dynamique serait très difficile à mettre en place compte tenu
de la faible liquidité du marché.

2.3.4. Critique
Le processus Mean reverting retenu dans le modèle de Bob Dischel
apparaît assez réaliste, puisque de même que pour les taux d’intérêt, les
températures ne peuvent s’éloigner énormément d’une certaine de référence : une
température de 40°Celsius à Paris en été serait un grand maximum.
De plus, le fait de ne pas imposer de forme de distribution aux données
statistiques (absence d’hypothèse de normalité) permet de mieux « coller » au climat
réel et de prendre en compte les différences induites par les localisations et par les
périodes d’observation.
Toutefois, la méthode des simulations à partir de laquelle est calculé le prix
du dérivé reste assez lourde et longues à faire tourner en raison des nombreuses
itérations successives.
Par ailleurs, la formulation du  suppose qu’en moyenne, la température à la
date n+1 sera la moyenne des températures observées à cette même date. Ceci ne
tient donc pas compte d’un phénomène bien connu des météorologistes : le global
warming.
Cette méthode ne se révélerait donc valable que si on pouvait effectuer un
retraitement des données, notamment par une régression linéaire du type :
n
i
n
i
n ba 

2.4. Le choix des données
2.4.1. Nécessité de fiabilité
Le fait d’essayer de prévoir le futur à partir des données passées est
finalement assez classique dans les disciplines scientifiques et sur les marchés
financiers : ceci ne fait qu’illustrer l’idée qu’aujourd’hui est le meilleur indicateur de
demain. Pour cela, il faut parfaitement connaître les données historiques.
Comme on l’a vu la détermination de la tendance dans les modèles de pricing
de produits dérivés climatiques apparaît primordiale. Or celle –ci est en générale
calculée à partir de données historiques, d’où l’importance pour les différents
acteurs du marché du risque climatique de pouvoir posséder des données
météorologiques exhaustives, fiables, et ne pouvant être manipulées.
Aux Etats – Unis, il est facile de se procurer des données météorologiques,
grâce par exemple au National Climatic Data Center sur leur site
www.ncdc.noaa.gov, ou grâce à la Weather Risk Management Association. Ces
données sont officielles car venant d’un organisme d’Etat, et parfaitement gratuites.
Ces données sont archivées sur une centaine d’années environ.
En Europe, le Met Office, service britannique national de météorologie, joue
un rôle central. Via leur site internet, les données de température de plus de 8
centres de mesure en Europe (Heathrow Airport, Paris, Bruxelles, Oslo, …) sont
disponibles sur plus de 40 ans.
Bien que ces données soient archivées sur de longues périodes et
parfaitement fiables, elles ne peuvent être utilisées comme telles et doivent être
retraitées afin de déterminer une tendance, identifier les événements climatiques
remarquables, combler et rectifier d’éventuelles données manquantes, gaps, ou
erreurs ; par ailleurs, il faut tenir compte du risque de base (entre lieu de mesure et
lieu de couverture), de même que l’heat island effect.

2.4.2. Le problème du choix de la taille de l’échantillon
Prenons les données de température à New York City de 1876 à 1997.
On observe globalement une baisse des HDD (période hivernale) induisant
une demande supplémentaire de chauffage, et une hausse des CDD (période
estivale) de hausse de la demande d’air conditionné.
Cela s ‘explique par l’effet combiné du réchauffement global de la planète
- Global Warming -, et de l’effet d’îlot induit par les grandes métropoles - Heat island
effect –
Le processus de Global Warming est anticipé par beaucoup de scientifique
puisque la combustion d’essences fossiles entraîne une augmentation de
concentration de dioxyde de carbone dans l’atmosphère. C’est ce qui pourrait être la
cause d’une menace importante de réchauffement de la planète. Des études
récentes ont montré que durant les 50 dernières années, de nombreuses régions du
monde entier montrent des signes de ce phénomène. Toutefois, ce phénomène est à
relativiser : sur le siècle prochain, la hausse des températures devrait être de 1 à
3.5° Celsius en moyenne. Par ailleurs certains endroits de la planète pourraient en
revanche se refroidir en raison de l’interaction avec certains phénomènes
océaniques complexes.
L’Heat island effect apparaît avant tout en hiver lorsque la température est
particulièrement élevée dans les principales agglomérations du monde. Ce
phénomène se produit lorsque la ville manque d’espaces verts et donc affiche trop
de bitume et asphalte qui absorbent davantage de rayons solaires sans les rejeter.

Ce phénomène d’origine humaine est combiné avec la consommations d’essences
et d’électricité.
Devant l’importance des données historiques dans la détermination du prix du
dérivé et face au phénomène général de réchauffement de la planète, une question
essentielle s’impose : quelle durée choisir pour la sélection des données ? Ce
qui, statistiquement, revient à poser le problème de la taille de l’échantillon.
Des périodes de temps passées affichent des volatilités différentes de
données climatiques, d’où l’extrême difficulté de trouver un consensus de prix
unique.
Certains analystes pensent que les données récentes sont les plus fiables et
n’utilisent donc que des données sur 10 ou 20 ans.
D’autres pensent que plus on peut posséder d’observations, plus précises
seront les estimations, et dans ce cas utilisent toutes les données disponibles (soit
plus de 100 ans).
Pour estimer l’influence de cette tendance et le hasard inhérent dans les
petites tailles d’échantillon, nous calculons les moyennes et écart type pour les
quatre saisons en partant de la date présente et en remontant le passé pour des
échantillons toujours plus grand : de 1997 à 1988 (10 ans), puis de 1997 à 1987 (11
ans), … jusqu’à 122 ans.

On voit immédiatement que les périodes courtes se révèlent inadéquates
puisqu’ affichent de larges intervalles de confiance.
Les moyennes sur longues périodes se lissent puisque de plus en plus de
données sont prises en compte.
Aux alentours de 22 ans, on observe un pic de volatilité, ceci en raison de
deux saisons particulièrement froides à la fin des années 1970. Or, si deux saisons
peuvent à elles seules influencer de telle manière la volatilité, ceci implique que
l’intervalle de 20 ans est encore trop court.
La volatilité des périodes entre 40 et 60 ans apparaît minimale pour les
quatre saisons, c’est donc la taille de référence d’échantillon qui semble
optimale pour New York City.
Bob Dischel calcule le prix d’une option sur température en utilisant
quatre taille d’échantillon différentes: il peut ainsi mesurer la sensibilité du prix de
l’option à la longueur de sélection des données. Soient les quatre durées : 10 ans, 30
ans, 50 ans et 122 ans. Pour chacune, plus de 1000 scénarios sont simulés pour
déterminer une correcte valeur du dérivé. On arrive aux résultats suivants :

Tout d’abord, on retrouve par le nombre de CDD croissants au cours du temps
et le nombre d’HDD décroissants, le phénomène de réchauffement de la planète
évoqué.
Par ailleurs, la volatilité est plus importante pour les périodes de 10 ans et 122
ans plutôt que 30 ou 50 ans. La période de 10 ans est trop courte pour être
réellement stable en matière de température ; la période de 122 ans subit de
manière excessive le Global Warming, et donc un calcul de volatilité suspect. La
période de 50 ans apparaît la plus intéressante car elle tient compte des
phénomènes climatiques remarquables et ne montre pas pour autant de volatilité
excessive.
Ainsi, différentes acteurs de marché pourraient arriver comme nous l’avons
montré à des prix très différents bien qu’ayant tous utilisé le même modèle. A
travers les prix calculés on voit l’importance de la taille de l’échantillon
puisque, pour le même produit, les prix peuvent varier de plus de 100%.
S’il existait un consensus de marché pour le choix de la taille
d’échantillon de référence, on pourrait arriver à une fair value qui permettrait
de comparer les prix entre eux. Aujourd’hui, on ne peut explicitement définir une
règle de détermination d’une durée optimale, qui de plus serait différente selon les
sites d’observation. toutefois, certains conseils méthodologiques apparaissent assez
pratiques à mettre en œuvre :
 Utiliser toutes les données pour estimer la volatilité car chaque donnée possède
de l’information qui ne doit pas être négligée

 Choisir la période de calcul de la moyenne qui pourrait le mieux refléter les
degree days dans le futur : prendre en compte les diverses tendances à court et
long terme
Nous sommes dès lors amenés à « déconstruire le passé », puis à le
reconstruire.
2.5. Méthode des paiements historiques
2.5.1. Présentation
Cette méthode, encore appelée burn analysis, est certainement la plus simple
conceptuellement pour évaluer les produits dérivés climatiques, et très facile à mettre
en œuvre. Elle revient à se poser la question suivante : « Qu’aurait été le cash reçu
par le porteur d’une telle option pour les années passées dont nous possédons
des données statistiques ? ».
La moyenne des paiements trouvés est une indication pour le pricing de
l’option.
Prenons l’exemple de Tucson, Arizona pour des données sur 50 ans. On a
une moyenne de 2408 CDD, un écart type de 157 CDD. Le strike d’un swap pourrait
être de 2400 CDD et les calls et puts découlant de ce swap :
Call Put
Strike in degree days (1/2 standard deviations off the
average)
2 475 2 325
Payment rate( $ per degree day) 10 000 10 000
Payment cap ($) 1.5 millions 1.5 millions

Nous pouvons alors présenter graphiquement quels auraient été les
paiements dus aux calls et puts sur 50 ans :
On voit ainsi que sur la période 1979 – 1988, seul le put paye ; en revanche,
sur les 10 dernières années, seul le call paye. D’où comme nous l’avons vu déjà,
l’importance du choix de la période de prise en compte des données.
Les fair prices seraient alors :
5 year 10 year 20 year 30 year 50 year
Call fair price ($) 350 000 325 000 162 500 108 333 65 000
Put fair price ($) 0 0 169 000 475 333 596 800
2.5.2. Critique
D’une part, cette méthode néglige les effets d’offre et de demande propres à
tout marché, et surtout plus grave toute opinion et prévision climatique.

Toutefois cette méthode présente une importante lacune lorsque la
température varie autour de la référence de 65°F comme c’est le cas dans les mois
charnières de mars ou septembre.
Prenons un exemple numérique d’une option écrite sur 3 jours : 3, 4 et 5
février 2000. Les données historiques sur 4 ans sont :
 Ville A
3 Février 4 Février 5 Février
1996 64 64 64
1997 66 66 66
1998 64 64 64
1999 67 67 67
 Ville B
3 Février 4 Février 5 Février
1996 64 64 64
1997 96 96 96
1998 64 64 64
1999 97 97 97
Il est évident de remarquer que ces deux villes montrent des profils
climatiques très différents. Pourtant, les deux affichent le même nombre d’HDD
et la méthode des paiements historiques conduirait donc à une même valorisation
d’un dérivé !
En effet, les paiements historiques ne révèlent que très partiellement la
tendance climatique : quand les CumHDD se situent au dessus du strike, le payoff
du put est nul, quelque soit le niveau de CumHDD : beaucoup d’information
climatique est donc perdue par cette méthode.
Ainsi, il paraît préférable pour valoriser le produit dérivé de ne
s’intéresser non pas à ses propres flux dégagés, mais à la modélisation même
du support, i.e. les jours de degré.

2.6. Le modèle de Dornier & Queruel (Barep Asset
Management)
2.6.1. Non applicabilité du processus Mean Reverting standard
Reprenons la dynamique Mean Reverting utilisée dans la plupart des modèles
Mean Reverting
dT = [ (t) *  (t) - T(t)] dt + t dWt
avec , moyenne fonction du temps
Les auteurs montrent alors que ce processus n’a pas en fait pour espérance la
moyenne , i.e. E [Tt]  t. Nous en verrons par la suite les impacts énormes sur le
Fair Price de l’option.
Soit le processus
)(0
tt
dsa
t TeZ
t
s


 
avec Tt suivant le processus Stochastique défini. Ainsi,
))(*( '0
ttttt
dsa
t TadTdteZ
t
s


 
))()(*( '0
dtTadWdtTadte ttttttttt
dsa
t
s


 
)( '0
ttt
dsa
dWdte
t
s
 


avec ’ dérivée de  par rapport au temps
On peut résoudre cette Equation Différentielle Stochastique puisque le
terme de droite ne dépend pas de Zt.






t
s
dua
s
duat
st dWedseZZ
s
u
s
u
00
'
0
00

Par intégration par parties pour le second terme et en remplaçant Zt par
son expression, on a







 t
s
dua
s
duaduat
ss
duadua
t dWeedseeeTT
s
u
t
u
s
u
t
u
t
u
00
0
00000

Le dernier terme est simplement gaussien de moyenne nulle. En passant à
l’espérance, on a donc
dseeeTTE
s
u
t
u
t
u duat
ss
duadua 


 

000
0
0][ 
Il n’y a alors aucune raison pour que cette expression soit égale ou même
proche de la moyenne attendue t
Si on avait E [Tt] = t, on aurait
dseTe
s
u
t
u duat
ss
dua
t



  00
0
0 
En dérivant cette expression, on obtient 0'
t .
Avec ce modèle, la seule possibilité d’avoir une moyenne de t est de
prendre t contant, ce qui est bien le cas dans le modèle de Vasicek. Pour les
produits dérivés climatiques, cette restriction s’avère aberrante.
Analysons l’erreur de ce modèle en supposant  fonction de la
saisonnalité et d’une tendance linéaire :
t = S * t + C + E * sin (wt)

avec S, C et E constants, et w =
365
2
a, paramètre de force de retour à la moyenne est supposé constant.
Nous voulons l’espérance de Tt avec la même tendance et les mêmes
oscillations que t
. Pour T0 = 0 = C, on a
])([cos
²²
)(sin
²²
²
)1(][ atatat
tt ewt
wa
aw
Ewt
wa
w
EeCe
a
S
TE 





Lorsque t est grand, on peut éliminer e-at, mais il reste un biais
)(cos
²²
)(sin
²²
²
1 wt
wa
aw
Ewt
wa
w
E
a
S




Il reste, dans ce modèle, des parasites qui influencent l’amplitude et la phase
de la moyenne réelle. Le processus est bien Mean Reverting, mais pas vers t
a doit être choisi en fonction des données historiques par technique de
maximum de vraisemblance, par exemple.
2.6.2. Illustration numérique
Illustrons ces résultats avec des données sur 20 ans à Chicago.
Nous discrétisons le processus
Tn+1 – Tn = a * (n - Tn) +  * n
a et  > 0 et constants, n bruit gaussien standard
n est estimé à partir de données historiques
Biais du à la
pente de la
tendance
Biais du à la
moyenne de
la température
Biais du à la
saisonnalité

On trouve alors
a 299.0
 189.6
On peut remarquer ici que comme le paramètre a est assez petit, le bruit
explicité va être assez grand.
On peut alors simuler les espérances par
E [Tn+1]– E [Tn] = a * (n – E [Tn])
Le graphe n°2 montre les variations de E [Tn] - n
On voit que cette différence ne tend pas vers 0, mais au contraire possède
des valeurs extrêmes de 5 °F à – 6 °F.
2.6.3. Apport des auteurs
Les auteurs sont parfaitement d’accord sur le concept que les températures
journalières tendent vers une moyenne ajustée quotidiennement de référence. Selon
eux, c’est simplement la formulation mathématique qui est mauvaise.
Ils proposent alors une dynamique
dTt = dt + at (t – Tt) dt + t dWt

C’est alors le processus Tt – t qui suit le processus d’Ornstein Uhlenbeck de
moyenne nulle.
On peut alors simuler les trajectoires de la température attendue Tt avec le
processus discrétisé, en utilisant des techniques de maximum de vraisemblance
pour estimer a et , et des simulations de Monte Carlo.
Tn+1 – Tn = n+1 - n + a * (n - Tn) +  * n
En passant à l’espérance
E [Tn+1]– n+1 = (1 – a) * (E [Tn] - n )
Les erreurs entre la moyenne de Tn et n diminuent géométriquement pour
0 < a < 2.
Dans ce cas, Tn est réellement Mean Reverting vers n et le modèle est correct
pour les estimateurs :
a 296.0
 356.6
Essayons de valoriser le call suivant :
Produit : Call HDD
Lieu de mesure : Chicago
Période : 1er Novembre – 31 Mars
Nominal : $10 000 par HDD

Simulons les températures avec la dynamique initiale puis avec la dynamique
proposée par les auteurs .
1er modèle 2ème modèle
Moyenne 4 867.713 4 885.170
Maximum 5 906.427 6 075.428
Minimum 3 884.073 3 792.917
Ecart type 250.294 260.826
Skewness 0.011 0.007
Kurtosis 2.961 3.010
En moyenne, on trouve une différence de 18 HDD, soit $180 000 !
Strike ($) Prix 1er modèle
($)
Prix 2ème
modèle ($)
Ecart type 1er
modèle ($)
Ecart type 2ème
modèle ($)
4 850 748 907 806 514 860 155 875 873
4 900 607 481 666 048 814 836 840 488
4 950 479 610 536 946 754 003 788 836
5 000 368 254 422 186 681 139 723 418
5 050 274 291 323 421 600 677 648 726
5 100 198 154 240 440 516 656 568 450
2.6.4. Critique
Ce modèle apparaît assez intéressant en ce qu’il montre que la dynamique
standard des produits de taux de ne peut être appliquée telle qu’elle aux dérivés
climatiques, et ils proposent une dynamique tenant, selon eux, davantage compte
des spécificités des températures.
Toutefois, des améliorations peuvent encore y être apportées puisque les
services de recherche de la Barep travaillent sur des processus plus complexes tels
qu’AutoRégressif d’ordres supérieurs – température ne dépendant pas seulement du
jour précédent mais aussi des jours antérieurs – et des modèles à volatilité
dépendant de la saisonnalité.

2.7. Modèle par processus autorégressif (Wei & Cao)
2.7.1. Variable de température
A partir des données sur 20 ans à Atlanta, Chicago, Dallas & Philadelphie sur
la période 1979 –1998, nous observons, en dehors des classiques cycles
saisonniers des phénomènes plus remarquables : les températures montrent de
fortes corrélations à court terme pour les trois premiers retards ; par ailleurs, elles
varient plus en hiver qu’en été.
Notons Yyr,t la température à la date t de l’année yr (t = 1…365, yr = 1…20).
La moyenne tY et l’écart type t sont définis comme :


20
1
,
20
1
yr
tyrt YY
)²(
20
1 20
1
, t
yr
tyrt YY  

Les objectifs recherchés par les auteurs dans l’élaboration de leur modèle :
 Il doit capter les cycles saisonniers
 Les valeurs doivent être proches de la moyenne
 Les prévisions météorologiques doivent jouer un rôle essentiel
 Il doit comporter un processus auto régressif (un jour chaud devrait être suivi par
un jour chaud…)
 Les variations doivent être plus importantes en hiver qu’en été
 Les températures simulées ne doivent pas sortir d’un certain intervalle
raisonnable : pas de température inconcevablement chaude ou froide

Un processus Mean Reverting apparaît inadapté pour deux raisons :
 Une diffusion à un facteur ne peut rendre compte des auto corrélations
 Le processus peut générer des valeurs différentes du passé ou irréalistes pour le
site considéré
C’est pourquoi un processus auto régressif discret est utilisé.
Soit Uyr,t la température journalière dont la moyenne et la tendance ont été
soustraites :
Uyr,t = Yyr,t - tyrY ,

(1)
U peut être décrit par un système auto régressif à k retards :
Uyr,t = tyrtyr
k
i
ityri U ,,
1
, * 

)
365
(sin1,





t
tyr
)1.0(, Niidtyr 
avec i coefficient d’auto corrélation du ième retard
tyrY ,

est simplement la prévision de température et considéré comme un input.
Nous estimons i , , 1et  par méthode de maximum de vraisemblance. Pour
déterminer k, nous procédons par itération : pour k=1, nous estimons 1 , , 1et  et
notons la valeur de la vraisemblance, de même pour k=2 pour 1 , 2 , , 1et .
Nous nous arrêtons lorsque la valeur de la vraisemblance n’augmente plus. On
trouve un nombre optimal pour k=3.

Tableau A
1 2 3  1  Log -
vraisem
blance
Atlanta 0.8833
(0.01170)
-0.3035
(0.01520)
0.0322
(0.01169)
7.5980
(0.12086)
5.0912
(0.14603)
-0.1881
(0.01067)
-20 626
Chicago 0.7989
(0.01170)
-0.2570
(0.01467)
0.0428
(0.01170)
7.8289
(0.13922)
3.1294
(0.18181)
-0.2014
(0.02316)
-23 130
Dallas 0.8158
(0.01170)
-0.2436
(0.01483)
0.0201
(0.01170)
8.9378
(0.14060)
6.3349
(0.16800)
-0.1418
(0.00953)
-21 381
New York 0.7558
(0.01169)
-0.263
(0.01433)
0.0463
(0.01169)
6.5372
(0.11241)
2.7035
(0.14520)
-0.2432
(0.02238)
-21 719
Philadelphia 0.7726
(0.01169)
-0.2595
(0.01446)
0.0473
(0.01169)
6.9034
(0.11957)
3.1654
(0.15360)
-0.2015
(0.01932)
-21 792
2.7.2. Evaluation des dérivés
Les auteurs montrent que le prix de marché du risque est insignifiant et que
l’évaluation en univers risque neutre peut donc être menée.
Considérons un contrat forward sur HDD dont la période d’accumulation
commence en T1 et se termine en T2


2
1
)0,65(),( 21
T
T
YMaxTTHDD


Le prix de ce contrat est simplement la valeur attendue des HDD cumulés sur
cette période. Avec les termes d’auto corrélation, il est difficile d’obtenir une formule
fermée. Si nous posons l’hypothèse de zéro auto corrélation, les prix forward sont
donnés par :
 ])
2
)²ˆ65(
[exp
2
)
ˆ65
(*]ˆ65[),,(
2
1
2
,
,,
,
,
,21 




T
T yr
uryr
yr
yr
yrHDD
YY
NYTTtF
 






 (3)

 ])
2
)²ˆ65(
[exp
2
)
65ˆ
(*]65ˆ[),,(
2
1
2
,
,,
,
,
,21 




T
T yr
uryr
yr
yr
yrCDD
YY
NYTTtF
 






 (4)
De là les expressions des calls et puts de strike X et de maturité T2. r est le
taux sans risque :
CHDD (t, T1, T2, X) =
)( 2 tTr
e 
Et [max (HDD(T1, T2) – X, 0)] (5)
PHDD (t, T1, T2, X) =
)( 2 tTr
e 
Et [X - max (HDD(T1, T2), 0)] (6)
Il est très difficile d’obtenir des solutions analytiques aux équations
précédentes en raison de la double présence de l’opérateur Max. Il faut alors
procéder par simulations.
2.7.3. Critique
Le modèle est intéressant car :
 Il tient compte des prévisions climatiques comme input
 Il permet d’évaluer des contrats sur température de différentes maturités et
pour différentes saisons puisqu’il se fonde sur la prévision des
températures quotidiennes, il requiert donc une estimation pas à pas ; à la
différence d’une modélisation de HDD ou CDD qui impliquerait une procédure
d’estimation propre à chaque contrat.
Toutefois, on peut y déceler une limite en ce sens que le modèle prend
comme input les prévisions météorologiques. Or, celles – ci bien qu’émises par
des centres de recherche d’état (National Weather Services aux Etats – Unis), ne
portent que sur des périodes relativement courtes et surtout ne se révèlent que très
peu fiables. Ainsi, même si les acteurs du marché des produits dérivés climatiques
s’entendaient pour prendre ce modèle comme référence, le large panel de prévisions
climatiques à horizon 6 mois entraînerait toujours d’importants bid / ask spreads.

2.8. Hedging avec contrats CME
2.8.1. Par minimisation de variance
Prenons l’exemple d’un fournisseur d’électricité.
Notons :
 P = variation de prix de future sur électricité durant la période de couverture
 Y = variation de prix de future sur température HDD ou CDD durant la période de
couverture
 R = variation de revenu de l’entreprise durant la période de couverture
P = écart type de  P
y = écart type de  Y
R = écart type de  R
PR = covariance entre  P et  R
YR = covariance entre  Y et  R
YP = covariance entre  Y et  P
hP = ratio de couverture de future sur électricité
hY = ratio de couverture de future sur température
Supposons que l’entreprise soit courte à la fois sur futures d’électricité et
climatique, les variations de valeur de l’entreprise seront
 R - hP  P - hY  Y

La variance, v, du changement de valeur de la position couverte est donnée par :
V = R² + hP² P² + hY² Y² - 2 hP PR- 2 hY YR+ 2 hP hY PY
Les ratios optimaux sont obtenus en minimisant la variance :
hP* = 222
2
YPYP
YRYPYPR




hY* = 222
2
YPYP
PRYPPYR




Ces ratios optimaux de couverture peuvent être estimés par régressions
en utilisant des données historiques pour les revenus, prix de futures
d’électricité et de température.
Si prix d’électricité et température ne sont pas corrélés, alors on a
hP* = 2
P
PR


hY* = 2
Y
YR


2.8.2. Par construction d’un portefeuille sans risque
Prenons l’exemple d’un fournisseur d’énergie qui, à cause de la dérégulation,
est obligé de fournir ses clients à prix fixe : ainsi, ces revenus ne dépendront que
des quantités vendues, qui elles mêmes ne dépendent que de la température notée
h.
Soit R le revenue R(h, t).

La quantité d’HDD est un facteur non traité suivant la dynamique
dh = m(h, t) dt + s(h, t) dz
L’entreprise subit aussi une fonction de coût C(p, h, t). Le prix de l’énergie achetée
est un actif traité de dynamique
dp = u(p, t) dt +  (p, t) dw
z et w sont deux processus de Wiener corrélés de coefficient 
On construit un portefeuille par n1 futures sur HDD pricés à F(h, t) et n2 futures de
gaz naturel pricés à f(p, t) pour couvrir les coûts et les revenus.
Les variations du portefeuille s’écrivent :
d = dR (h, t) – dC(h, p, t) + n1 dF(h, t) + n2 df(p, t)
En appliquant le lemme d’Itô :
d={ ),²(
²2
²
),( ths
h
R
thm
h
R
t
R








} dt + ),( th
h
R


dz
+ n1{[ ),²(
²2
²
),( ths
h
F
thm
h
F
t
F








]dt + ),( ths
h
F


dz }
– {[ ),²(
²2
²
),²(
²2
²
),(),(
²
),(),( tp
p
C
ths
h
C
tpths
ph
C
tpu
p
C
thm
h
C
t
C


















] dt
+ ),( ths
h
C


dz+ ),( tp
p
C



dw }+n2 {[ ),²(
²2
²
),( tp
p
f
tpu
p
f
t
f









]dt+ ),( tp
p
f



dw }
On veut un portefeuille sans risque, i.e.
0),(),(),( 1 








ths
h
C
ths
h
F
nths
h
R
et
0),(),( 2 





 tp
p
f
ntp
p
C


à partir desquels nous déterminons
 ),(/),(),(1 ths
h
F
ths
h
R
ths
h
C
n














),(/),(2 tp
p
f
tp
P
C
n 





On a ainsi construit un portefeuille immunisé au risque de prix et de
volume (risque climatique).

3. Pricing de produits structurés
On a vu que pour les produits dérivés climatiques standards, aucun modèle
d’évaluation n’apparaissait véritablement comme une référence, d’où des bid / ask
spreads importants.
Toutefois, face aux besoins parfois complexes des clients potentiels du risque
climatique, certains market makers n’hésitent pas à proposer des produits exotiques
écrits sur dérivés climatiques. De même, la recherche universitaire s’intéresse de
plus en plus au pricing des Weather linked bonds, produits découlant directement
des Insurance ou Catastrophe linked bonds.
Dans cette partie, nous allons voir les produits complexes se traitant
actuellement sur les marchés de dérivés climatiques, dans quelle mesure ils peuvent
intéresser les clients, et surtout comment les évaluer.
3.1. Weather Linked Bonds
Ce produit, proposé au départ par les deux principaux market makers du
risque climatique Koch Industries et Enron Corp, est apparu à la fin 1999 aux Etats –
Unis.
3.1.1. Modèle de Briys (Lehman Brothers)
Eric Briys propose d’évaluer les obligations indexées sur le climat, et de
valoriser le spread entre plusieurs bonds.
3.1.1.1. Hypothèses et évaluation
Bien que l’obligation climatique soit soumise aux risques climatiques et
risque de taux d’intérêt (comme toute obligation), nous supposerons ici des taux
constants pour ne se focaliser que sur le risque climatique.
Considérons un indice climatique de référence émis par un organisme
météorologique officiel, et notons le I(t).

On définit un niveau barrière actif durant toute la durée de vie de l’obligation.
Si la barrière est touchée par l’indice, l’émetteur de l’obligation est autorisé au
défaut. Notons K ce niveau.
L’obligation est une zéro – coupon de maturité T et de valeur faciale F. Si
l’indice ne dépasse pas la barrière durant la durée de vie, le porteur est sûr de
recevoir la valeur faciale F. Dans le cas contraire, le porteur perd une partie de la
valeur de l’obligation et ne reçoit que (1 - ) F.
L’indice est supposé suivre un processus stochastique continu : cette
hypothèse est assez réaliste pour les températures puisqu’aux Etats – Unis, le
National Weather Service mesure la température et les jours de degré en continu.
L’indice suit un mouvement brownien géométrique
dzdt
I
dI
 
z (t) étant un processus de Wiener
Soit TI, K le temps d’arrêt représentant le premier moment où l’indice touche le
niveau K.
TI, K = {Inf (t0, 0< t T I(t) = K) }
Certaines obligations climatiques ont un payout indexé sur des valeurs
agrégées ou valeurs moyennes d’indice, comme c’est le cas pour les CumCDD et
Cum HDD : dans ce cas, il faut définir un nouveau processus
A(t) = 
t
dssI
0
)(
Etant donné que notre sous – jacent n’est pas négocié sur un marché, nous
sommes obligé d’introduire le prix de marché du risque .
Les marchés financiers sont supposés complets et sans frictions. Il existe des
échanges en temps continu. Sous cette hypothèse, Harrison & Kreps (1979)
montrent qu’il existe une unique mesure de probabilité Q sous laquelle le prix de tous
les actifs financiers actualisés au taux sans risque soit martingale.

Nous allons alors essayer de changer le drift de I(t) de  à  =  - , et
ensuite faire comme si les investisseurs étaient risque neutre, pour avoir la valeur de
l’obligation.
Le prix à t = 0 de l’obligation climatique zéro – coupon est donnée par la
valeur actualisée de l’espérance des flux futurs sous cette probabilité « risque –
neutre ».
)]1)1(1([ ,,0 TKIKI TTT
rT
Q FFeEP 
 


On veut faire apparaître explicitement la probabilité du 1er passage de I(t) par
K :
P0 = e
-rT
F ( TKITQ 
 ,
1  )
On peut donc obtenir une formule fermée à l’obligation climatique :
))]()()((1[ 2
²
2
1
0
10 dN
K
I
dNeFP
r
rT 




avec
T
Tr
K
I
Ln
d


)
2
²
(0
1


T
Tr
K
I
Ln
d


)
2
²
(0
2


Lorsque K tend vers l’infini, le prix de l’obligation climatique se rapproche de
l’obligation sans risque équivalente.
3.1.1.2. Evaluation du spread entre deux bonds
Supposons que la valeur faciale soit de 1. Notons Y0, le taux de rendement de
l’obligation de maturité T :

00
1
PLn
T
Y 
En remplaçant le prix par son expression :
))]()()((1[
1
2
²
2
1
0
10 dN
K
I
dNLn
T
rY
r




Le spread S0 se définit comme la différence entre Y0 et le taux de rendement
d’une obligation zéro – coupon sans risque.
Il est donné par :
))]()()((1[
1
2
²
2
1
0
10 dN
K
I
dNLn
T
S
r




Cette formule permet de comparer le rendement d’une obligation climatique et
d’une obligation classique sans risque (obligation d’état ou d’entreprise AAA).
Toute chose égale par ailleurs, le spread est une fonction décroissante de la
maturité. C’est une fonction croissante du pourcentage  à risque : plus les
investisseurs peuvent perdre, plus ils demandent un rendement supplémentaire
3.1.1.3. Elasticité et Duration
Les concepts d’élasticité et de duration sont des indicateurs du risque de taux
pour une obligation.
L’élasticité est donnée par
r
P
P
n


 0
0
0
1
En appliquant cette formule à l’expression
P0 = e
-rT
F ( TKITQ 
 ,
1  )

On obtient
r
Q
Q
Tn TKI
TKI
T
T 


 

,
,
1
0


Si  = 0, on retombe sur la duration standard de Macaulay
Pour les obligations exposées au risque climatique, le signe dépend de la
dérivée de la probabilité risque neutre de premier passage par rapport au taux
d’intérêt
)()(
²
2
)(]))((')('[ 0²
2
1
0
2
²
2
1
0
21
,
K
I
Ln
K
I
dN
K
I
dNdN
T
r
Q rr
T TKI 




 
3.1.1.4. Weather bonds et Treasury bonds
Une obligation climatique peut s’analyser comme un portefeuille composé de
deux actifs :
 Une position longue sur une obligation de même risque de défaut
 Une position courte sur une option binaire
L’option binaire a un payout discontinu et paie un montant fixe si le sous –
jacent satisfait un certain niveau prédéterminé.
Le rendement moyen d’une obligation climatique est donné par :
E[RP0] = B E[RB] -D E[RD]
Avec E[RB] : taux de rendement attendu sur l’obligation sans risque équivalente
E[RD] : taux de rendement attendu sur l’option binaire
B : poids de l’obligation sans risque dans le portefeuille
D : poids de l’option binaire dans le portefeuille
Les poids de chaque composante peuvent être exprimés en terme de la
probabilité risque neutre de 1er passage.

Supposons que là encore F = 1, et que  = 1, les poids sont alors
respectivement :
TT
B
KI
Q 

,
1
1

TT
T
D
KI
TKI
Q
Q

 
,
,
1

Une étude de AIG montre à partir de données historiques qu’un
investissement en Obligation climatique, après ajustement au risque associé,
surperforme un investissement en bons du Trésor.
3.1.1.5. Critique
Ce modèle se révèle relativement simple puisqu’il donne une formule fermée
à l’obligation climatique, d’où rapidité d’obtention du prix.
Par ailleurs, la méthodologie reprend celle utilisée pour les taux d’intérêt
(et notamment les travaux de Ambarish & Subrahmanyam (1989) sur le junk bonds),
et donc des résultats connus.
3.1.2. Modèle de Sankaran
Les obligations indexées sur les conditions climatiques paient un coupon
indexées sur le temps climatiques d’une certaine région de référence,
comparativement au climat historique de cette région. Pour l’entreprise émettrice, ce
produit lui permet de lisser son résultat vis à vis du risque climatique puisque les
saisons où le climat lui est moins favorable, elle générera moins de cash mais sera
amenée à verser moins d’intérêts aux porteurs des obligations.
La valorisation de ce produit implique prévisions sur la variable sous – jacente
déterminant la taille du coupon servi.
Ce modèle part d’un processus Mean Reverting discrétisé. 2 méthodes de
simulation sont utilisées pour les prévisions climatiques :

 Simulation « historique », i.e. collant aux données historiques
 Simulation par technique Monte Carlo avec correction des données situées en
dehors des limites de données historiques.
Par exemple, supposons que pour une station donnée les données climatiques du 1er
Mai se situent dans la fourchette 55 – 82 °F, si la valeur simulée sort de cet
intervalle, elle sera corrigée. Ainsi, on aura des valeurs simulées proches des
valeurs historiques, mais pas exactement collées à celles – ci.
Prenons le cas d’une obligation payant des coupons semi – annuels et de
maturité deux ans. Les coupons sont déterminés comme suit :
Température actuelle (65 °F) Taux nominal
>= 1 degré 11%
- 1 degré < température < 1 degré 10%
<= - 1 degré 9%
3.1.2.1. Simulations historiques
Dans cette méthode, le nombre de simulations est égal au nombre d’années
passées dont nous possédons des données historiques. La procédure est :
 Pour chaque jour calculer la température moyenne = (Max + Min ) / 2
 Calcul des jours de degré pour la première année = (Température – 65 °F)
 A la fin de chaque période de paiement (ici 6 mois), calcul de la moyenne des
valeurs trouvés. Classement dans les trois catégories du tableau
 Répétition de la procédure pour chaque période et calcul de la moyenne
 Détermination du coupon à partir de cette moyenne

3.1.2.2. Simulations de Monte - Carlo
Nous effectuons environ 10 000 simulations à partir du processus indiqué :
Tn - Tn-1 =  +  Tn-1 + 
Nous en calculons la moyenne et déterminons alors les jours de degré
correspondants. Nous classons les résultats trouvés parmi les trois catégories du
tableau, ce qui nous donne leurs probabilités de réalisation.
Résumons nos résultats trouvés dans le tableau :
Monte Carlo Simulation historique
Année 1er semestre 2ème semestre 1er semestre 2ème semestre
1ère
-0.298 5.4488 -0.4024 5.3883
2ème
0.2615 5.441 -0.4521 5.3598
3.1.2.3. Evaluation de l’obligation
A partir de là, on peut déterminer les taux nominaux servis :
Monte Carlo Simulation historique
Année 1er semestre 2ème semestre 1er semestre 2ème semestre
1ère
10% 11% 10% 11%
2ème
10% 11% 10% 11%
La valeur de l’obligation n’est alors plus que la somme actualisée des cash
flows. Pour les taux d’actualisation, nous nous basons sur la courbe des taux selon
les différences maturités.

Maturité Discount rate
6 mois 9.1979%
1 an 9.5066%
1.5 ans 10.2416%
2 ans 10.4482%
Pour une valeur nominale de $1 000, nous trouvons un prix d’obligation
de $1 187.378.
3.2. Strip d’options
3.2.1. Problématique
Comme on l’a vu en première partie, les nouveaux contrats standardisés
proposés par le CME sont de maturité 1 mois. Or, les clients cherchant à se couvrir
contre les risques climatiques ont en général des besoins sur une saison entière !
C’est pourquoi, le CME propose une solution de risk management par l’achat d’un
strip de contarts. Ainsi, pour le consommateur cette solution permet le même
niveau de couverture qu’une option de moyen ou long terme sur le marché OTC,
mais surtout n’entraîne aucun risque de crédit et la stratégie est plus facilement
modifiable sur le marché secondaire que sur le marché de gré à gré.
3.2.2. Evaluation par modèle polynomial
On peut obtenir une formule de pricing assez simple à partir des moyennes et
écart types dans le cas où les données d’HDD et CDD sont normalement distribuées.
Exprimons le strike en pourcentage de l’écart type par rapport à la moyenne. On peut
alors avoir le prix de l’option par :

Prenons l’exemple d’une option dont l’écart type est de 100 CDD, la moyenne
de 1 000 CDD, et définissons un strike de1 080 CDD avec un paiement de $5 000
par CDD. Le strke est alors de 0.8 écart types de la moyenne. Grâce à l’équation
précédente, on trouve une valeur de 0.125. Dans ce cas, le prix de l’option :
Prix de l’option ($) = $5 000 * 0.125 * 100 = $62 500
3.2.3. Application numérique au strip
Prenons une période de couverture de 2 mois : janvier et février, et essayons
de déduire le prix du strip des prix individuels des contrats janvier et février. Nous
possédons les données suivantes :
Moyenne Ecart type
HDD Janvier 400 100
HDD Février 300 80
Nous souhaitons nous protéger contre un hiver très froid : sur les deux mois,
un maximum de 790 HDD est accepté. Nous pouvons acheter un call HDD Janvier et
un call HDD Février.
Les strikes sont :
 450 HDD sur Janvier
 340 HDD sur Février
C’est à dire que les strikes correspondent à ½ écart type de la moyenne.
Qu’en serait – il si nous voulions acheter une seule options sur la période ?
 La moyenne sur la période globale est la somme des moyennes, i.e. 700 HDD.
 L’écart type est donné par :
SD (Jan + Fev) = )(*)(2²)(²)( FevSDJanSDrFevSDJanSD 

avec r = corrélation entre le nombre d’HDD en Janvier et le nombre d’HDD en
Février
Sous l’hypothèse que le nombre d’HDD en Février n’est pas corrélé avec celui
en Janvier (hypothèse pouvant être vérifiée à partir des données historiques), l’écart
type serait alors de 130 HDD.
L’option sur deux mois aurait alors son strike à 0.7 écart types de la
moyenne (strike de 790 HDD). Si nous voulons un paiement de $5 000 par HDD au
delà du strike, la valeur attendue de l’option est :
Prix de l’option Jan – Fev = 0.148 * 130 *$ 5 000 = $96 200
Alors que les valeurs individuelles des options sont :
Prix de l’option Jan = 0.201 * 100 *$ 5 000 = $100 500
Prix de l’option Fev = 0.201 * 80 *$ 5 000 = $80 400
Soit un coût total de $180 900
La différence de prix entre l’achat d’un strip et l’achat de plusieurs options
mensuelles reflète la probabilité associées aux anomalies potentielles sur les deux
mois ou sur chacun des mois pris séparément.
3.3. Option digitale
Une option digitale paie à son détenteur une certaine somme d’argent fixée
contractuellement si le sous – jacent se situe au dessus du strike pour un call ou en
dessous pour un put.
McIntyre, dans son article Black – Scholes will do !, donne une solution
analytique aux options climatiques standards sous l’hypothèse que les jours de
degré cumulés ont une distribution normale.
VE =  (m - K)  




 

 )( Km
+  ² P (k)

avec P(s) =
²2
)²(
2
1 

ms
e


Le prix d’une option digitale n’est autre que la probabilité d’expirer dans
la monnaie.
VD =  




 

 )( Km
On peut ainsi remarquer que le prix de la digitale est la valeur absolue du
delta d’une option standard.
3.4. Applicabilité à d’autres risques climatiques ?
Comme on l’a vu la plupart des modèles présentés servent à pricer des
produits financiers écrits sur température (indices HDD et CDD). Or, de plus en plus
de transactions sont effectuées aujourd’hui en vue de couvrir d’autres risques
climatiques : pluie, vitesse du vent, chute de neige,…
On pourrait dès lors se demander si les modèles étudiés peuvent être
utilisés pour l’évaluation de ces nouveaux produits ; en d’autres termes, les
processus stochastiques que nous avons vu peuvent – ils aussi décrire d’autres
phénomènes climatiques ?
Pour ce faire, on va s’intéresser au cas particulier du risque pluviométrique
en raison de l’importance des transactions qu’il engendre.
3.4.1. Particularités
De plus en plus d’entreprises se rendent aujourd’hui compte du risque qu’elles
encourent vis à vis du volume de pluie journalier :citons en premier lieu les
agriculteurs ou les générateurs hydroélectriques, mais aussi dans des cas
extrêmes l’industrie automobile. Peugeot estime qu’en temps de pluie, la fréquence
d’accidents est doublée et peut être multipliée par 7 en cas de conditions extrêmes !
D’où des possibilités supérieures de vente…au détriment des assureurs.

La plus grande difficulté dans l’analyse du risque pluviométrique réside
dans le fait que la magnitude et la fréquence de pluie dépend très fortement du
lieu de mesure alors que la température est un phénomène plus diffus : il n’est pas
rare qu’il pleuve à l’ouest de Paris et pas à l’est. Nous allons étudier ce phénomène
par l’exemple de deux sites de mesure londoniens : Heathrow Airport et Central
London (St James’ Park).
Les entreprises fournisseurs d’eau doivent gérer leurs ressources afin
qu’il y ait une offre constante pour le consommateur. Dans des cas extrêmes,
l’entreprise est parfois amenée à devoir acheter de l’eau d’une autre entreprise, donc
un impact important sur ses résultats. Pour cela, elle peut se couvrir par achat d’un
contrat sur chute de pluie. Le montant annuel de pluie est une mesure importante
pour leurs prévisions de stockage. La récupération d’eau se fait en fonction de la
magnitude des différents sites de mesure. C’est pourquoi, ces entreprises ont besoin
de savoir si une seule référence est suffisante.
3.4.2. Analyses et comparaisons pluviométriques
L’aéroport d’Heathrow est très près du centre de Londres (ils ne sont séparés
que d’une vingtaine de miles), et encore plus important, les deux sites sont situés sur
la même latitude (51 30 N – 0 10 W).
L’étude se fait à partir de données historiques de 1963 à 2000. Le Met Office
mesure les chutes de pluie tous les 0.1 mm.

En moyenne, il pleut 16 mm de plus par an à St James’ qu’à Heathrow. Le
différentiel le pus grand (1964) est supérieur à 11%, soit environ un mois
pluvieux !
Comme on peut le voir, la corrélation entre les deux sites est forte mais pas
parfaite. Avec un degré de signification de 97%, on peut dire que sur des données
annuelles le risque de base est très faible.
En pratique, les entreprises peuvent n’être sensibles au risque
pluviométrique que durant certaines périodes de l’année : par exemple, les
producteurs de blé ne sont vraiment exposés que durant les mois de juin et juillet.
Etudions alors les différences de chute de pluie sur les deux sites considérés, mais
e, prenant des données mensuelles.

Il y a à peu près égalité en moyenne. En revanche, si on considère chaque
mois pris séparément, on voit une grande différence dans les corrélations.
En hiver, les corrélations sont fortes, alors qu’en été elles sont
inférieures à 85%. Cela peut s’expliquer par la nature même des pluies durant les
différents mois de l’année. En hiver, les chutes de pluie sont en général continues
mais faibles, alors qu’en été, elles sont rares mais très intenses.
Dans ce cas, une entreprise souhaitant se couvrir contre le risque de pluie
peut, si elle est exposée en hiver, prendre un site de mesure légèrement éloigne ; en
revanche, en été, un proxy ne peut être utilisé avec suffisamment de sécurité. Le
plus grand différentiel mesuré en été est supérieur à 100% ! Dans ce cas,
l’entreprise peut considérer plusieurs sites de mesure autour du lieu de couverture et
faire une moyenne des résultats trouvés.
3.4.3. Processus d’évolution
3.4.3.1. Fréquence
Nous avons pu, grâce à des mesures statistiques, caractériser certaines
particularités des chutes de pluie, comparativement aux processus de température.
Maintenant, nous allons essayer de modéliser les concepts dégagés.

Si on représente sur un graphique la fréquence de pluie sur une année, on
s’aperçoit qu’il pleut plus souvent en hiver qu’en été (ce dont on pouvait s’attendre
intuitivement). La distribution n’est toutefois pas symétrique et une fonction
sinusoïdale apparaît inadéquate pour la modélisation.
Par ailleurs, on peut s’apercevoir qu’il existe un phénomène de mémoire entre
les jours pluvieux et les jours secs : un jour sec est généralement suivi d’un jour sec,
et vice versa. La probabilité de pluie est donc conditionnelle au passé.
Notons Xt l’événement « il pleut à la date t ». Xt suit une loi de Bernoulli
Xt = 0 de probabilité 1- pt
1 de probabilité pt
1 = « il pleut »
Nous connaissons la moyenne historique de Xt. C’est toutefois insuffisant pour
modéliser les séries temporelles Xt. Supposer l’indépendance des Xi revient à avoir
E [Xt / Xt-1, Xt-2, Xt-3] = E [Xt] = pt
Ce qui est différent de EH [Xt] (opérateur d’espérance historique).
Ainsi, la probabilité pt a une espérance dépendant du passé et est
conditionnelle à Xt-1, Xt-2, Xt-3,…
Nous sommes amenés à raisonner par récurrence pour déterminer le
degré de retard.
La probabilité pt est donnée par : pt = P (Xt =1 / Xt-1, Xt-2, Xt-3,…, Xt-k)
L’objectif est de déterminer la valeur minimale de k qui modélise au mieux la
distribution sur la période considérée.
Pour une année de 365 jours, on suppose E [pt] = E [pt+365], ce qui suppose
que le climat ne varie pas d’une année sur l’autre, i.e. il pleuvra toujours plus
fréquemment en hiver qu’en été.
Nous estimons tout d’abord les probabilités conditionnelles pour k = 1,
simulons le processus et comparons distribution simulée avec la distribution
historique. Nous reprenons la méthode pour plusieurs valeurs de k. La valeur la plus
petite estimant au mieux les données historiques est retenue..

k = 1 apparaît valeur optimale
3.4.3.2. Magnitude
Maintenant que nous connaissons la période pluvieuse, nous devons
déterminer l’amplitude de chute de pluie.
A partir des données historiques nous pouvons voir qu’il existe une
dépendance journalière dans l’intensité des chutes de pluie.
Sous l’hypothèse k = 1, seuls 4 événements peuvent être décrits pour un jour
pluvieux t :
 Rt-1 / Rt / Rt+1
 NRt-1 / Rt / Rt+1
 Rt-1 / Rt / NRt+1
 NRt-1 / Rt / NRt+1
NRt représentant un jour non pluvieux
4 estimations pour chaque jour doivent être estimés

On a les résultats suivants :
ou encore
Rt-1 / Rt / Rt+1 NRt-1 / Rt / Rt+1 Rt-1 / Rt / NRt+1 NRt-1 / Rt / NRt+1
Minimum 0.10 0.10 0.10 0.10
Maximum 35.60 27.80 24.50 9.90
Moyenne 3.96 2.86 2.48 1.53
Ecart type 4.27 4.05 4.07 2.34
Comme on peut le voir, les quatre distributions sont très différentes. On peut
en conclure que la distribution de la magnitude dépend des passés et futurs
immédiats.
3.4.4. Conséquences pour le pricing
Comme on a pu le voir, le phénomène de chute de pluie est très différent du
processus de température, notamment à cause de l’importance du risque de base.
Les modèles standards d’évaluation de produits dérivés sur température ne peuvent
donc être directement appliqués de par le fait même que la chute de pluie n’est pas
un phénomène continu mais plutôt un processus à saut. Etant donné que la

valorisation d’un produit dérivé sur pluie nécessite beaucoup de données historiques,
les market makers sont donc obligés de faire supporter ce risque de base à leur
client : c’est pourquoi ces produits sont encore aujourd’hui très peu traités.

4. Estimation empirique
Apres avoir présenté les différents modèles les plus utilisés par les
universitaires et professionnels des produits dérivés climatiques, nous allons
essayer de comparer les trois plus novateurs que sont la méthode des paiements
historiques, le modèle de Ross McIntyre présenté dans l’article Black Scholes Will
do, et enfin le modèle de Bob Dischel.
Pour cela, nous partons de données historiques de température journalière
obtenues à Paris du 1er janvier 1959 au 31 décembre 2000, soit plus de 30 ans de
données, i.e. environ 11 000 observations nous autorisant à croire à des résultats
relativement fiables.
Les observations sont fournies en annexe ; graphiquement on peut les
représenter comme suit :
Températures à Paris: 1/1/59 au 14/1/2001
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
01/01/59
01/01/61
01/01/63
01/01/65
01/01/67
01/01/69
01/01/71
01/01/73
01/01/75
01/01/77
01/01/79
01/01/81
01/01/83
01/01/85
01/01/87
01/01/89
01/01/91
01/01/93
01/01/95
01/01/97
01/01/99
01/01/01
Temperatures

Par ces trois modèles, nous allons pricer un Call CDD. Ce produit paie si les
températures estivales se vérifient supérieures à la moyenne (65° Fahrenheit ou
ici 18° Celsius). Ce produit pourrait par exemple intéresser une entreprise de
cinéma qui craindrait que si le temps se révèle trop ensoleillé, les gens n’aillent
« s’enfermer » dans une salle de cinéma mais plutôt aller à la plage,… La période à
couvrir est de 6 mois : du 1er avril au 30 septembre, le strike de 100 CDD. Selon les
standards de marché, le Call paie 10 000$ par CDD.
4.1. Méthode des paiements historiques (Burn analysis)
Bien que peu satisfaisante d’un point de vue théorique puisqu’on ne tient pas
compte de quelconque prévision météorologique, cette méthode se révèle en fait la
plus utilisée par les acteurs du marché des produits dérivés climatiques par sa
simplicité d’utilisation et par la relative pertinence des prix donnés.
L’idée est de se demander ce qu’aurait payé le produit financier les années
passées. Pour cela,
A partir des données historiques nous calculons pour chaque jour
Max [(Température– 18) ; 0]
Pour chaque année nous sommons les CDD trouvés afin de déterminer
Max [ (CumCDD - Strike) ; 0]

Les résultats trouvés se présentent de la forme :
Date Temp CDD
1-mai-59 16,75 0
2-mai-59 16,55 0
3-mai-59 16 0
4-mai-59 15,4 0
5-mai-59 14,5 0
6-mai-59 12,75 0
7-mai-59 12,5 0
8-mai-59 12 0
9-mai-59 16,6 0
10-mai-59 15 0
11-mai-59 14,7 0
12-mai-59 13,4 0
13-mai-59 12 0
14-mai-59 13,15 0
15-mai-59 14,95 0
16-mai-59 16,55 0
17-mai-59 18,95 0,95
18-mai-59 18,6 0,6
19-mai-59 17,5 0
20-mai-59 18,95 0,95
21-mai-59 16,45 0
22-mai-59 12,6 0
23-mai-59 13,65 0
24-mai-59 14,25 0
25-mai-59 14,25 0
26-mai-59 14,35 0
27-mai-59 15,9 0
28-mai-59 15,2 0
29-mai-59 15,25 0
30-mai-59 14,2 0
31-mai-59 15,25 0
Soit in fine pour chaque année :
CumCDD Strike S-K Paiement
144,95 100 44,95 $449 500,00

Sur toute la période d’observation, nous obtenons les paiements du Call
Pour déterminer le final price de l’option, nous calculons une moyenne
pondérée de prix théoriques selon différentes plages d’observation.

Les coefficients sont déterminés selon les pratiques des principaux market
makers : l’idée sous jacente est de donner la priorité aux données les plus
récentes et d’essayer de dégager toute tendance à moyen et long terme.
Data range Payment Coeff
5Y $1 106 600,00 30,00%
10Y $748 800,00 25,00%
20Y $675 725,00 20,00%
30Y $563 083,33 15,00%
40Y $485 950,00 10,00%
Soit un final price de $787 382,50
4.2. Black Scholes Will do !
Ross McIntyre, dans un article assez polémique, tente d’appliquer les
méthodes d’évaluation développées par Fisher Black et Myron Scholes aux produits
dérivés climatiques. Bine que les hypothèses inhérentes au modèle de 1973 ne
soient pas vérifiées (notamment le fait que le sous jacent n’est pas côté sur un
marché réglementé), l’auteur affirme que les prix trouvés sont assez satisfaisants
comparativement aux prix de marché. Sous l’hypothèse que ce modèle se réalise,
cela permettrait aux différentes acteurs du marché des options climatiques de
pouvoir évaluer les contrats selon une formule fermée relativement simple, et de
gérer leurs positions selon une stratégie dynamique de type delta neutre… ce qui
simplifierait grandement leur travail.
En réponse à cet article , Bob Dischel écrit Black Scholes won’t do. A partir
de nos données historiques, testons la véracité de ce modèle pour le cas de Paris.
En reprenant la méthodologie d’évaluation des options asiatiques, on arrive à
la formule fermée :
VE =  (m - K)  




 

 )( Km
+  ² P (K)

avec P(s) =
²2
)²(
2
1 

ms
e


en prenant s : nombre de jours de degré cumulés
m : moyenne
 : écart type ou volatilité
K : strike
La grande différence avec le modèle précédent est qu’ici ne sont pas
modélisés les paiements passés en unité monétaire mais bien les Cumulative
Degree Days, sous jacents de l’option, qui sont par hypothèse normalement
distribués.
Ici le risque vient à la fois de la moyenne et de l’écart type. Tentons de les
estimer.
Les CumCDD peuvent se représenter graphiquement comme suit :

A partir de là, on peut estimer moyenne et écart type empiriques selon
différentes tailles de période d’observation
Data range Average Std Dev
5Y 210,66 52,32608575
10Y 174,88 55,3297047
20Y 162,2625 76,93671164
30Y 149,3466667 71,04253332
40Y 138,76125 69,26492479
En appliquant la formule fermée et le standard de 10 000$ par CDD :
Data Range Price(CDD) Final price
5Y 110,9854351 $1 109 854,35
10Y 77,12876881 $771 287,69
20Y 71,36633733 $713 663,37
30Y 59,59585035 $595 958,50
40Y 51,23660433 $512 366,04
On voit donc que selon l’horizon d’observation le prix de l’option peut
varier très largement (du simple au double !), ce qui peut expliquer la tailles des
fourchettes de prix Bid / Ask trouvés sur les marchés. Par ailleurs, ceci illustre un
phénomène climatique bien connu qu’est le Global Warming (réchauufement de la
planète due à l’amincissement progressif de la couche d’ozone) puisque le Call paie
surtout sur les années récentes.
Si on cherche une moyenne pondérée des prix trouvés avec les mêmes
coefficients que pour la méthode des paiements historiques, on trouve un final price
de $809 141,28

4.3. Le modèle de Bob Dischel
The Dischel D1 Stochastic Temperature Model est mathématiquement le plus
abouti. On ne cherche pas à modéliser ici les Degree Days, et encore moins les
paiements passés mais bien les températures elles –mêmes ! Ainsi, la perte
d’information est minimale, et le modèle se veut non pas à vocation purement
financière mais permettrait aussi de prévoir globalement les températures futures.
Comme on l’a vu la dynamique utilisée est un processus Mean Reverting avec
deux sources de risque : température et variations de température :
dT = [ (t) *  (t) -  T(t)] dt +  dm1 +  dm2 (1)
 est la moyenne historique variant avec le temps, et représente le centre de
gravité vers lequel le paramètre revient
 et  sont deux coefficients constants
Le grand apport de ce modèle est que les processus m1 et m2 sont
quelconques, ce qui permet de lever l’hypothèse relativement lourde de normalité
imposée par les autres modèles.
En pratique, l’auteur propose de prendre une version discrétisée du processus
est de n’utiliséer qu’une seule source de risque : les variations de température.
Tˆ signifie que la valeur de la variable est simulée ou projetée.
 est la moyenne pour toutes les dates qui nous intéressent.
annéesdNombre
T
année
dateannée
date
'
,

La première étape consiste donc à déterminer les valeurs constantes  et 
sous l’hypothèse que  + = 1 et  = 1. Par un algorithme d’optimisation relativement

simple à partir des données passées on trouve les valeurs. Ici, on s’est proposé de
calculer des valeurs  et  différentes pour chaque jour, i.e. (i) et (i) pour i = 1..365
afin de mieux coller aux valeurs climatiques.
Les sources de risque T sont calculées pour chaque jour comme Ti - Ti-1. Ce
qui nous amène à un résultat sous forme matricielle de taille 365 x 30. Pour
déterminer les valeurs futures de température nous utilisons des simulations de type
Monte Carlo pour environ 10 000 tirages. Les résultats trouvés se présentent sous la
forme :

A partir de là, nous pouvons calculer les CDD pour la période de couverture :
1er avril – 30 septembre. Nous répétons la procédure là encore pour les périodes 5
ans, 10, 20 et 30. Les résultats nous donnent :
Data Range Seed (1er janv) Price(CDD) Final price
5Y 3,120000124 49,57908663 $495 790,87
10Y 2,470000029 75,66123507 $756 612,35
20Y 3,352499723 356,4195501 $3 564 195,50
30Y 2,675000191 153,170451 $1 531 704,51
Là encore, on voit que selon les tailles considérées pour la prise en compte
des données historiques, le prix du dérivé trouvé varie très ostensiblement !
Globalement, on peut dire que ce modèle a tendance à surestimer les prix du
dérivé, et surtout, le prix du dérivé est croissant de la taille d’observation des
données historiques. Ce résultat est assez surprenant puisqu’il va à l’encontre du
phénomène climatique de Global Warming ! Dans ses articles, Bob Dischel ne fait en
rien mention de ce problème ; pour réellement le mettre en lumière, il faudrait sans
doute tester le modèle sur d’autres villes montrant des tendances climatiques et des
volatilités différentes de celle de Paris.
Pour essayer de comprendre ce problème, nous avons essayer de faire des
simulations de température en changeant de graine. Alors qu’auparavant on
simulait des températures sur l’ensemble de l’année, nous n’allons ici simuler des
températures que pour la période de couverture : la valeur initiale simulée est donc la
moyenne des températures au 1er avril. Nous trouvons dès lors :
Data Range Seed (1er avril) Price(CDD) Final price
5Y 11,32999992 370,5637748 $3 705 637,75
10Y 10,44999981 241,1783801 $2 411 783,80
20Y 9,920000076 913,7457792 $9 137 457,79
30Y 9,451668739 304,5031076 $3 045 031,08
La première remarque est que les prix trouvés diffèrent très largement de ceux
trouvés auparavant et les surestiment très fortement ! Le pic pour la période de 20
ans se retrouve dans les deux cas.
Comparons alors les températures trouvés au 1er avril selon les simulations
avec graine 1er janvier, et la moyenne empirique :

Data Range Simulated value Empirical average
5Y 13,53030382 11,32999992
10Y 10,49936332 10,44999981
20Y 10,03320084 9,920000076
30Y 10,70576009 9,451668739
On voit étonnamment que c’est la première méthode qui tend à donner des
valeurs climatiques supérieures alors que le prix du dérivé est lui inférieur. La
différence entre les deux méthodes vient donc des T : on peut donc croire que le
fait de simuler les températures uniquement sur la période de couverture nous fait
perdre de l’information climatique et nous donne une volatilité biaisée.
4.4. Comparaison des modèles
Résumons les prix trouvés :
Data range Burn analysis Black Scholes Dischel (seed 1er
Janv)
Dischel (seed 1er
Avril)
5Y $1 106 600,00 $1 109 854,35 $495 790,87 $3 705 637,75
10Y $748 800,00 $771 287,69 $756 612,35 $2 411 783,80
20Y $675 725,00 $713 663,37 $3 564 195,50 $9 137 457,79
30Y $563 083,33 $595 958,50 $1 531 704,51 $3 045 031,08
Le modèle de Bob Dischel avec graine 1er avril donne de toute évidence des
valeurs exagérément élevées car le fait de ne prendre en compte les données
climatiques uniquement pour la période à couvrir fausse vraisemblablement la
tendance climatique et surtout la volatilité, d'où des prix très différents de ceux des
autres modèles.
Par ailleurs, le point essentiel à relever est la disparité des prix trouvés pour
un même modèle selon la période de prise en compte des données
historiques : entre 5 et 30 ans, le prix peut varier du simple au double !
Les techniques de paiements historiques et la formule du type Black
Scholes donnent des résultats relativement proches, ce qui nous donnerait à
penser que les températures observées à Paris pourraient suivre une loi normale. Le
fait que le prix du dérivé considérant une période longue est inférieur à celui donné

sur une période courte illustre parfaitement le phénomène de réchauffement de la
planète, le fait que le modèle de Bob Dischel donne des résultats contraires est
difficilement justifiable.
Enfin, il est à noter qu’à horizon 10 ans les prix donnés par les 3 modèles
sont relativement proches. Dans un article, Bob Dischel étudie le cas de New York
city pour des données sur près d’un siècle et conclut qu’une période d’étude de 30
ans apparaît optimale. Dans notre cas, une période de 10 ans semblerait
intéressante pour Paris.
Toutefois, il est à noter que le prix de marché n’est en rien un prix théorique
donné par un quelconque modèle mais est le résultat d’une offre et d’une
demande. Ainsi, sont à prendre en compte des effets plus « commerciaux » : un
market maker aura tendance à faire un prix plus intéressant à un client
potentiellement important, de même s’il se voit en situation de concurrence sur un
deal.
Il n’y a donc pas de modèle référence pour les produits dérivés climatiques
comme peut l’être le modèle de Black Scholes Merton pour les produits d’Equity. Un
marketer pourrait donc faire un prix comme une moyenne pondérée de prix donnés
par différents modèles tout en tenant compte des effets de marché comme effet
liquidité, effet Bid / Ask spread, ou encore effet de taille.

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Comme on l’a vu, les produits dérivés climatiques sont apparus à la suite d’un
réel besoin de couverture du risque climatique inhérent aux entreprises. Les
compagnies d’assurance ne proposant que des contrats permettant de se couvrir
uniquement contre des conditions extrêmes (ouragans, tempêtes, sécheresses,…)
d’autres voies de couverture étaient alors obligatoires : d’où un recours aux
marchés financiers. Face à l’importance prise aujourd’hui par les marchés Over
The Counter, le Chicago Merchantile Exchange a décidé pour la première fois de
coter des contrats futures standardisés sur CDD et HDD.
Alors que ces produits étaient au départ destinés aux fournisseurs d’énergie
voulant s’immuniser contre le risque volumétrique, aujourd’hui toutes les entreprises
dont le chiffre d’affaire est soumis aux aléas de température apparaissent comme
des clients potentiels.
Le risque climatique est aujourd’hui de plus en plus reconnu. Aujourd’hui les
services de recherche Equity et analyses crédit le prennent en considération :
récemment un analyste de Moody’s a dégradé la note de plusieurs compagnies de
fourniture de propane pour la raison majeure que celles – ci étaient trop exposée aux
aléas climatiques.
Toutefois, il n’existe pas encore de modèle de référence pour l’évaluation
des produits financiers, et le choix des données historiques pour la détermination de
la tendance apparaît prépondérant. Ceci s’explique globalement par le fait que le
sous – jacent n’est pas échangeable sur un marché financier, et par le fait que les
contrats sur température sont mesurés à partir de l’accumulation des valeurs d’une
variable durant une période de référence.
Allan Roopan, gérant à la Société générale pense que la condition sine qua
none au développement et à la mondialisation du marché des produits dérivés
climatiques est le développement, la fiabilisation et surtout la facilité d’accès aux
données climatiques dans le monde entier. Aujourd’hui encore, le coût d’accès
aux données en Europe, et notamment sur le marché britannique reste prohibitif pour
beaucoup d’intervenants potentiels, d’où des risques importants d’illiquidité et donc
difficultés supplémentaires pour l’évaluation.
Avec les processus de dérégulation des principales sources d’énergie dans
le monde entier (électricité, gaz naturel), les produits dérivés climatiques auront de

plus en plus un rôle essentiel à jouer dans la gestion des risques des matières
premières.
Ces produits ont pour vocation première la couverture des risques. Leur
utilisation spéculative est quasi nulle en raison de la difficulté d’obtention
d’informations privilégiées et à la faible fiabilité des prévisions.
Les transactions standards restent aujourd’hui indexées sur des variables de
température, mais la plupart des professionnels voient des opportunités énormes
pour des produits qui permettraient aux entreprises de se couvrir contre d’autres
risques météorologiques. Ainsi, les deals indexés sur précipitation deviennent de
plus en plus populaires dans les régions d’Europe du Nord, dont l’économie est
dominée par des fournisseurs d’énergie hydro – électrique.
Toutefois, le frein au développement de tels marchés reste la difficulté de
mesure et notamment le risque de base. En développant un processus
mathématique adéquat (processus à sauts), ou en réalisant des paniers de mesure à
partir de plusieurs sites, les market makers pourraient se retrouver à nouveau au
cœur d’un marché énorme.
Les transactions sur HDD et CDD apparaissent aujourd’hui comme totalement
standards. Pour répondre au mieux aux attentes de leurs clients, les market makers
se penchent aujourd’hui de plus en plus sur la structuration de produits
complexes : ainsi, AIG Risk Finance, filiale du conglomérat de services financiers
AIG propose aujourd’hui un produit STORM composé d’un panier de produits dérivés
climatiques et autres dérivés sur matières premières. D’où une solution « clé en
main » couvrant à la fois risque de volume et risque de prix.
Aujourd’hui les cellules de recherche de Swiss Re ne parlent plus de produits
dérivés climatiques au sens où on l’a présenté, mais plutôt climat spatial. Selon eux,
les industries électroniques, télécommunications, énergie et aviation sont soumises
aux effets du climat spatial (par exemple, vents solaires provoqué par radiations
électromagnétiques provenant du soleil, particules atomiques durant le processus de
fusion nucléaire). Les compagnies aériennes sont ainsi soumises au dilemme de
voler à basse altitude afin de ne pas trop s’exposer aux radiations, mais en
supportant une consommation d’essence beaucoup plus importante ou réduire leurs
consommations énergétiques mais tenir « une position ouverte » sur risque solaire.
Depuis leur création, on a vu que les produits dérivés climatiques on suscité
un intérêt croissant non seulement chez les fournisseurs d’énergie, mais aussi chez
la plupart des entreprises soumises à l’alea climatique. Les grandes banques
d’affaire ont créé des desks entièrement dédiés à ces produits et de nombreux

brokers et market makers sont apparus pour satisfaire au besoin de traiter ces
produits. Dans leur histoire, les produits dérivés climatiques se retrouvent
actuellement face à une étape majeure : la faillite du géant de Houston Enron. En
effet, c’est ce courtier qui a véritablement créé puis démocratisé le principe de
produits financiers indexés sur le climat. Des chiffres récents montrent qu’Enron
assurait plus de 40% de la liquidité mondiale des produits dérivés climatiques !
Si le marché des dérivés climatiques arrive à absorber ce véritable crash
économique et financier à l’échelle mondiale, cela voudra dire que le temps
climatique est devenu une banale commodité.

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