Le document traite des codes de convolution, une méthode d'encodage binaire permettant de générer des codes en ligne à l'aide de registres à décalage. Il couvre les propriétés, le fonctionnement temporel, les méthodes de représentation, ainsi que les techniques de décodage, notamment l'algorithme de Viterbi pour la correction des erreurs. Les concepts clés incluent la représentation graphique des états, le calcul de la distance de Hamming et le décodage par maximum de vraisemblance.

1. Théorie de l’information
Chap : Codes de Convolution
Rhouma Rhouma
École Supérieure d’Économie Électronique
Avril 2015
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2. Plan
1 Propriétés
2 Fonctionnement temporel
3 Méthode polynomiale
4 Représentation Graphique
5 Treillis du code
6 Diagramme d’état
7 Décodage par Maximum de Vraisemblance
8 Algorithme de Viterbi
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3. Propriétés
Plan
1 Propriétés
2 Fonctionnement temporel
3 Méthode polynomiale
4 Représentation Graphique
5 Treillis du code
6 Diagramme d’état
7 Décodage par Maximum de Vraisemblance
8 Algorithme de Viterbi
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4. Propriétés
Les codes de convolution sont des codes binaires qui constituent
une alternative aux codes de blocs par leur simplicité de
génération grâce à quelques registres à décalage.
Introduits par Elias (1955)
Ils permettent de générer en ligne le code sans passer par une
bondérisation préalable comme c’est le cas avec les codes BCH
ou RS.
g(i) = 0 =⇒ connexion absente et g(i) = 1 =⇒ connexion
présente
C(j) =
PK−1
i=0 g(i) · m(j − i)
l’opération de convolution est aussi décrite polynomialement :
C(x) = g(x) · m(x)
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5. Propriétés
Propriétés
K est appelé la longueur de contrainte du code : elle renseigne sur
le nombre de fois qu’un bit participe à l’élaboration des bits de
parités
K est égale au nombre de bascules +1
les coefficients gi forment un polynôme générateur g(x).
On peut générer simultanément des bits parités de deux
générateurs différents g1(x) et g2(x) ou plus
les sorties vont être entrelacés
le rapport de code r est égal à 1/n avec n est le nombre de
sorties entrelacés
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6. Propriétés
Exemple
soit un code avec r=1/2 de longueur de contrainte K=3 et
g1 = [g1(0) g1(1) g1(2)] = [0 0 1] et
g1 = [g2(0) g2(1) g2(2)] = [1 1 1]
les codes de chaque sortie est :
C1(j) =
K−1
X
i=0
g1(i) · m(j − i)
et
C2(j) =
K−1
X
i=0
g2(i) · m(j − i)
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7. Fonctionnement temporel
Plan
1 Propriétés
2 Fonctionnement temporel
3 Méthode polynomiale
4 Représentation Graphique
5 Treillis du code
6 Diagramme d’état
7 Décodage par Maximum de Vraisemblance
8 Algorithme de Viterbi
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8. Fonctionnement temporel
Fonctionnement temporel
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9. Fonctionnement temporel
Avec le message m = [m(0) m(1) m(2) . . . m(L − 1)] = [1 0 0 1 1]
le mot de code final est donc : C = [01 01 11 01 00 10 11]
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10. Méthode polynomiale
Plan
1 Propriétés
2 Fonctionnement temporel
3 Méthode polynomiale
4 Représentation Graphique
5 Treillis du code
6 Diagramme d’état
7 Décodage par Maximum de Vraisemblance
8 Algorithme de Viterbi
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11. Méthode polynomiale
Méthode polynomiale
Chaque mot binaire est définit avec un polynôme.
Avec le même exemple : g1(x) = x2
et g2(x) = 1 + x + x2 et m(x) = 1 + x3 + x4
on a C1(x) = m(x) · g1(x) = x2 + x5 + x6
et C2(x) = m(x) · g2(x) = 1 + x + x2 + x3 + x6
avec la notation binaire C1 = [0 0 1 0 0 1 1]
et C2 = [1 1 1 1 0 0 1]
d’où C = [01 01 11 01 00 10 11]
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12. Représentation Graphique
Plan
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3 Méthode polynomiale
4 Représentation Graphique
5 Treillis du code
6 Diagramme d’état
7 Décodage par Maximum de Vraisemblance
8 Algorithme de Viterbi
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13. Représentation Graphique
état suivant - état présent
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14. Représentation Graphique
Graphes d’états
à la base de la table précédente, on peut dessiner les graphes
d’états avec comme convention :
mj = 0 =⇒ déplacement vers le haut
et mj = 1 =⇒ déplacement vers le bas
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15. Représentation Graphique
Arbre du code
l’arbre du code représente la succession des états possibles. Les
Conventions usuelles :
L’évolution temporelle est représentée de la gauche vers la droite
chaque nouveau bit entré provoque un déplacement vers le haut s’il
s’agit d’un "0" et vers le bas s’il s’agit d’un "1"
sur chaque branche est porté le résultat de l’encodage (la sortie)
conformément à la table de convolution
Pour le msg m = [m0 m1 m2 . . . mL−1] = [10011] nous vérifions
bien l’obtention du mot de code :
C = [01 01 11 01 00 10 11]
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16. Représentation Graphique
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17. Treillis du code
Plan
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2 Fonctionnement temporel
3 Méthode polynomiale
4 Représentation Graphique
5 Treillis du code
6 Diagramme d’état
7 Décodage par Maximum de Vraisemblance
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18. Treillis du code
Treillis de code
Par convention la représentation du treillis du code utilise les
normes suivantes :
Le passage d’un état à un autre par la prise en compte d’un bit "0"
est représenté en trait continu.
Le passage d’un état à un autre par la prise en compte d’un bit "1"
est représenté en trait pointillé.
Sur le trait, est indiquée la sortie générée c’est à dire la portion du
mot de code correspondante.
Dans le Treillis, on définit :
Cellule élémentaire
Phase initiale
Phase finale
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19. Treillis du code
Cellule élémentaire
En utilisant soit l’arbre du code soit les éléments de base
constitutifs on peut dessiner une cellule élémentaire du treillis
reliant l’instant t à l’instant t+1.
Cette cellule comporte 2K−1 entrées et sorties.
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20. Treillis du code
Phase initiale
Pendant M = K-1 instants, une partie de l’état des bascules est
constitué des "0" d’initialisation.
Pendant tous ces instants, toutes les combinaisons ne sont pas
possibles et tous les états ne sont pas accessibles.
Le treillis comporte donc à l’origine M (ici M=2) cellules
correspondant à cette phase initiale.
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21. Treillis du code
Phase Finale
A la fin du codage nous sommes amenés à introduire des "0" de
queue.
De ce fait, seules les transitions en trait plein deviennent possibles
et le treillis se résume à M (ici M=2) cellules ne comportant que
ces transitions.
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22. Treillis du code
Avec ce treillis nous vérifions que le message
m = [m0 m1 m2 . . . mL−1] = [1 0 0 1 1] génère le mot de code :
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23. Diagramme d’état
Plan
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2 Fonctionnement temporel
3 Méthode polynomiale
4 Représentation Graphique
5 Treillis du code
6 Diagramme d’état
7 Décodage par Maximum de Vraisemblance
8 Algorithme de Viterbi
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24. Diagramme d’état
Diagramme d’état
un sommet représente un état interne
un arc orienté représente une transition. En trait plein pour celles induites par un "0" et en
trait pointillé pour celles induites par un "1"
la sortie ou portion de code généré est porté sur l’arc correspondant.
Avec ce graphe nous vérifions que le message m = [m0 m1 m2 . . . mL−1] = [1 0 0 1 1]
donne le mot de code : C = [01 01 11 01 00 10 11] sans oublier les bits de queue.
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25. Décodage par Maximum de Vraisemblance
Plan
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7 Décodage par Maximum de Vraisemblance
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26. Décodage par Maximum de Vraisemblance
Maximum de Vraisemblance
m : vecteur message et b
m : estimation du vecteur message
C : Mot de code émis et b
C : mot de code estimé
R : Mot de code reçu et e : erreur de transmission
Effet de la transmission+codage : m → C → R = C + e
role du décodeur : R → b
C → b
m
décodage : connaissant R, l’estimation b
C est optimale si la probabilité
d’effectuer une erreur de décodage est minimale.
Le maximum de vraisemblance choisit l’estimation b
C qui maximise
prob(R/C). Soit b
C = {prob(R/C)}max
avec prob(R/C) est la probabilité conditionnelle d’avoir reçu R sachant
qu’on a envoyé C
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27. Décodage par Maximum de Vraisemblance
Maximum de Vraisemblance
La fonction log est une fonction monotone,
donc b
C = {log[prob(R/C)]}max
Si le canal binaire symétrique est sans mémoire, tous les bits de
message sont statistiquement indépendants et
prob(R/C) =
QN
i=1 prob(Ri /Ci ) donc
log[prob(R/C)] =
PN
i=1 log[prob(Ri /Ci )]
Pour le canal binaire symétrique, la prob d’erreur est p. Donc
prob(Ri /Ci ) = 1 − p Si Ri 6= Ci
prob(Ri /Ci ) = p if Ri = Ci
Si R et C sont différents de d bits (nb d’erreur =dans un mot de code de
n − bits) alors la distance de hamming entre C et R est égale à d.
donc
log[prob(R/C)] = d·log(p)+(N−d)·log(1−p) = d·log( p
1−p )+N·log(1−p)
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28. Décodage par Maximum de Vraisemblance
Maximum de Vraisemblance
la probabilité d’erreur vérifie généralement p 1/2, donc
d · log( p
1−p ) 0 et puisque N · log(1 − p) est constante,
log[prob(R/C)] est maximale, si d est minimale.
b
C est donc aussi choisit de manière à minimiser la distance de
Hamming entre b
C et R
Pour cela, C est bien sûr inconnu mais nous avons à notre
connaissance le treillis du code et, à la réception de R, nous
chercherons à minimiser la distance de Hamming entre le code
reçu et tous les codes possibles. Le plus proche de R
constituera l’estimation la plus vraisemblable.
Autrement dit : le décodeur compare le code reçu avec toute les
possibilités de C et choisit celle qui est la plus proche de R.
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29. Algorithme de Viterbi
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3 Méthode polynomiale
4 Représentation Graphique
5 Treillis du code
6 Diagramme d’état
7 Décodage par Maximum de Vraisemblance
8 Algorithme de Viterbi
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30. Algorithme de Viterbi
Algorithme de Viterbi
En utilisant le treillis nous réalisons les opérations suivantes :
1 nous examinons chaque portion de code reçue puis nous
calculons la distance entre cette portion de code et la sortie du
treillis pour toutes les possibilités.
2 Cette distance ajoutée à celle associée au nœud d’origine (état
présent) est portée sur le nœud ainsi atteint (état suivant). Un
nœud comportera deux indications puisqu’il y a deux façons de
l’atteindre.
3 Pour l’étape suivante, nous ne conservons pour un nœud que la
distance minimale ce qui revient à ne conserver qu’un certain
nombre de trajets probables : les survivants.
4 Nous recommençons l’opération 1 jusqu’à épuisement du code
reçu.
5 Le code le plus probable sera celui qui à la suite de ces
opérations correspondra à la distance totale la plus faible et le
message est reconstitué en interprétant la suite des pleins et
pointillés associés au trajet le plus probable
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31. Algorithme de Viterbi
Algorithme de Viterbi
Soit le mot de code reçu suivant Y = [01 01 01 01 00 10 11]
et recherchons la meilleure estimation grâce au treillis et aussi au
fait que nous savons qu’il existe une phase initiale et une phase
finale toutes les deux de longueur M = K-1. Ici M = 2.
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32. Algorithme de Viterbi
Algorithme de Viterbi
Phase initiale : elle dure deux coups. L’état initial est
nécessairement l’état interne 0 soit a dans notre exemple.
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33. Algorithme de Viterbi
Phase centrale : premiere cellule élémentaire
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34. Algorithme de Viterbi
Phase centrale : deuxième cellule élémentaire
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35. Algorithme de Viterbi
Phase centrale : troisième cellule élémentaire
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36. Algorithme de Viterbi
Phase finale : on sait que les M derniers blocs correspondent à la
phase finale pendant laquelle seuls les 0 (trait plein) sont
introduits.
Premier 0 de queue :
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37. Algorithme de Viterbi
Phase finale : deuxième 0 de queue.
Le dernier trajet survivant est le plus vraisemblable et correspond
au message [ 1 0 0 1 1 ] . L’erreur de transmission a ainsi été
corrigée.
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