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FIM702: lecture 9

  1. 1. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e S´eance 14 : Aspects dynamiques de la gestion de portefeuille Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD alexander.surkov@usherbrooke.ca Facult´e d’Administration Universit´e de Sherbrooke Le 15 avril 2015
  2. 2. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Table de mati`ere Ex´ecution de d´ecisions d’investissement Coˆuts de mise en œuvre d’une d´ecision d’investissement Tactique d’ex´ecution d’une d´ecision d’investissement
  3. 3. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Table de mati`ere Ex´ecution de d´ecisions d’investissement Coˆuts de mise en œuvre d’une d´ecision d’investissement Tactique d’ex´ecution d’une d´ecision d’investissement
  4. 4. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Coˆuts explicites de n´egociation Commission du courtier Impˆots Frais
  5. 5. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Coˆuts implicites de n´egociation Spread bis-ask : Disons, 19.97 (bid) – 20.03 (ask), le prix est 20.00. En achetant pour 20.03, on obtient qqch qui coˆute 20.00. Impact sur le march´e : l’ex´ecution fait bouger les prix. Coˆuts d’opportunit´e d’une transaction manqu´ee : Disons, un ordre `a cours limit´e d’acheter l’actif pour 20.01 (ou mieux) expire quand le prix est 20.10. La diff´erence 20.10 − 20.03 = 0.07 est le coˆut d’opportunit´e. Coˆuts de d´elai li´es `a l’impossibilit´e d’ex´ecuter la transaction en raison de la liquidit´e insuffisante du march´e
  6. 6. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Mesure de coˆuts implicites Par rapport `a midquote Par rapport au prix moyen pond´er´e par le volume (VWAP, volume-weighted average price) peu efficace pour des transactions de grand volume En utilisant les prix d’ouverture / de fermeture du march´e Implementation shortfall : la diff´erence entre le rendement du portefeuille souhait´e et et le rendement r´ealis´e du portefeuille actuel : coˆuts explicites, profits/pertes r´ealis´e, coˆuts de d´elai, coˆuts d’opportunit´e d’une transaction manqu´ee.
  7. 7. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Implementation shortfall : exemple (1) J1 : le prix de fermeture est 10.00 J2 : la d´ecision d’acheter 1000 actions pour 9.95 ou mieux, l’ordre est expir´e, le prix de fermeture ´etant 10.05 J3 : achat de 800 actions pour 10.08 chacune, la commission ´etant 20 et le prix de fermeture ´etant 10.12 Portefeuille th´eorique : 1000 · (10.12 − 10.00) = 120 Portefeuille actuel : 800 · (10.12 − 10.08) − 20 = 12 Implementation shortfall est 108 pdb.
  8. 8. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Implementation shortfall : exemple (2) Les coˆuts explicites : 20/10 000 = 20 pdb Les profits/pertes r´ealis´es : (10.08 − 10.05)/10.00 · 800/1000 = 24 pdb Les coˆuts de d´elai : (10.05 − 10.00)/10.00 · 800/1000 = 40 pdb Les coˆuts d’opportunit´e d’une transaction manqu´ee : (10.12 − 10.00)/10.00 · 200/1000 = 24 pdb En utilisant β pour l’actif en question, implementation shortfall peut ˆetre ajust´e pour exclure la contribution du rendement de march´e pour les p´eriodes o`u il n’y a pas d’exposition au risque de march´e.
  9. 9. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Facteurs d´eterminant les coˆuts Liquidit´e (la capitalisation, le prix, la fr´equence de transactions, le volume, la participation dans un indice, le spread bid-ask) Risque (volatilit´e du rendement) Volume de la transaction par rapport `a la liquidit´e (la taille de l’ordre par rapport au volume quotidien) Momentum (plus difficile d’acheter dans le march´e croissant) Style (ordre au march´e sont plus couteux que ceux `a cours limit´e) Un mod`ele ´econom´etrique pourrait ˆetre construit pour pr´edire les coˆuts.
  10. 10. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Table de mati`ere Ex´ecution de d´ecisions d’investissement Coˆuts de mise en œuvre d’une d´ecision d’investissement Tactique d’ex´ecution d’une d´ecision d’investissement
  11. 11. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Ex´ecution optimale Disons, on a besoins d’acheter un bloc d’actions de la taille ¯S pendant la p´eriode [0, T]. Acheter tout tout de suite n’est pas optimal, il faut trouver une fa¸con de le faire graduellement : E1 T t=1 PtSt → min {St } , T t=1 St = ¯S Une contrainte suppl´ementaire St ≥ 0. Le processus de prix : Pτ = fτ (Pτ−1, Sτ , ετ , . . . ) La forme de solution : S∗ τ = hτ Pτ−1, ¯S − τ−1 t=1 S∗ t , . . .
  12. 12. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Programmation dynamique Les variables d’´etat pour le moment τ Le prix observ´e Pτ−1 Le nombre restant des actions : Wτ = Wτ−1 − Sτ−1, W1 = ¯S, WT+1 = 0 La solution {S∗ 1 , S∗ 2 , . . . , S∗ T } doit ˆetre optimal pour n’importe quel moment τ = 1, 2, . . . , T. La valeur optimale du probl`eme Vτ (Pτ−1, Wτ ) ≡ min {St } Eτ T t=τ PtSt, T t=τ St = Wτ L’´equation de Bellman Vτ (Pτ−1, Wτ ) ≡ min Sτ Eτ [Pτ Sτ + Vτ+1 (Pτ , Wτ+1)] ,
  13. 13. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Exemple analytique (1) Supposons que Pτ (sans transactions) suit le mouvement brownien arithm´etique avec l’effet lin´eaire de transactions : Pτ = Pτ−1 + θSτ + ετ , θ > 0 Cette hypoth`ese est peu r´ealiste, mais instructive. Pour τ = T, S∗ T = WT , car il faut acheter tout ce qu’il reste `a acheter. VT (PT−1, WT ) = min ST ET PT WT = (PT−1 + θWT ) WT
  14. 14. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Exemple analytique (2) Pour τ = T − 1 : VT−1 (PT−2, WT−1) = min ST−1 ET−1 [PT−1ST−1 + VT (PT−1, WT )] = min ST−1 ET−1 [(PT−2 + θST−1 + εT−1) ST−1 +VT (PT−2 + θST−1 + εT−1, WT−1 − ST−1)] La solution S∗ T−1 = WT−1 2 Pour τ = T − k : S∗ T−k = WT−k k + 1 , S∗ 1 = W1 T
  15. 15. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Exemple analytique (3) ´Etant donn´e que W1 = ¯S S∗ 1 = ¯S T ´Etant donn´e que W2 = W1 − S∗ 1 W2 = ¯S 1 − 1 T , S∗ 2 = W2 T − 1 = ¯S T , . . . La solution S∗ 1 = S∗ 2 = · · · = S∗ T = ¯S T ne d´epend pas des prix observ´e. Ceci est en raison de l’effet lin´eaire et permanent de transactions sur les prix.
  16. 16. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Optimisation num´erique function [ Sstar, Vstar ] = sstar( Ns, P0, T ) % Nombre de trajectoires de prix Ntr = 1000; sigma = 0.02; eps = normrnd(0,sigma, T, Ntr); % Processus de prix f = @(x) V(P0, x, eps); % getrnd: le point de d´epart al´eatoire [Sstar, Vstar] = fmincon( f, getrnd(Ns, T),... [],[], ones(1,T), Ns, zeros( T, 1 ) ); end
  17. 17. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Fonction objectif function v = V( P0, S, eps ) theta = 5e-4; P = NaN( size(eps) ); v = 0; for t = 1:length(S) if t == 1 Ptm1 = P0; else Ptm1 = P(t-1, :); end % Mouvement brownien g´eom´etrique P(t, :) = Ptm1 .* exp( eps(t, :) ) *... ( 1 + theta * S(t) ); v = v + mean( P(t,:) ) * S(t); end end
  18. 18. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Calcul pour τ = 1 % Nombre de p´eriodes T = 10; % Nombre d’actions Ns = 1000; % Prix initial P0 = 100; [Sstar, Vstar] = sstar(Ns, P0, T);
  19. 19. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique R´esultat pour τ = 1 2 4 6 8 10 70 80 90 100 110 120 130 140 150 τ Sτ
  20. 20. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique τ = 1, Ntr = 1000 2 4 6 8 10 60 80 100 120 140 160 τ Sτ
  21. 21. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique τ = 1, Ntr = 10 000 2 4 6 8 10 60 80 100 120 140 160 τ Sτ
  22. 22. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Sc´enario de prix 0 2 4 6 8 10 98 100 102 104 106 108 τ Pτ
  23. 23. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Sc´enario na¨ıf, V = 135 980 0 2 4 6 8 10 100 120 140 160 180 τ Pτ
  24. 24. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Sc´enario optimal, V = 134 990 0 2 4 6 8 10 100 120 140 160 180 τ Pτ
  25. 25. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Sc´enario optimal 2 4 6 8 10 70 80 90 100 110 120 130 140 150 τ S∗ τ
  26. 26. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Calcul en Matlab eps = normrnd( 0,0.02, T, 1 ); theta = 5e-4; W = Ns; Val = 0; Sstar = NaN(T, 1); P = NaN(T, 1); for t = 1:T if t == 1 Ptm1 = P0; else Ptm1 = P(t-1); end res = sstar( W, Ptm1, T+1-t ); Sstar(t) = res(1); % Sstar(t) = Ns / T; P(t) = Ptm1 .* exp( eps(t) ) *... ( 1 + theta * Sstar(t) ); Val = Val + P(t) * Sstar(t); W = W - Sstar(t); end
  27. 27. Mod´elisation de strat´egies en finance de march´e Alexander Surkov Ex´ecution Coˆuts Tactique Extensions possibles du mod`ele Prise en compte d’information suppl´ementaire (conditions de march´e, r´esultats d’analyse) G´en´eralisation sur le portefeuille Fonction objectif p´enalisant pour le risque

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