Modelling strategies in market finance Lecture 8: Dynamic aspects of portfolio management (in French)

1. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Mod´elisation de strat´egies en finance de
march´e
S´eance 14 : Aspects dynamiques de la gestion de
portefeuille
Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD
alexander.surkov@usherbrooke.ca
´Ecole de gestion
Universit´e de Sherbrooke
Le 19 avril 2017

2. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Table de mati`ere
Ex´ecution de d´ecisions d’investissement
Coˆuts de mise en œuvre d’une d´ecision d’investissement
Tactique d’ex´ecution d’une d´ecision d’investissement

3. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Table de mati`ere
Ex´ecution de d´ecisions d’investissement
Coˆuts de mise en œuvre d’une d´ecision d’investissement
Tactique d’ex´ecution d’une d´ecision d’investissement

4. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Coˆuts explicites de n´egociation
Commission du courtier
Impˆots
Frais

5. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Coˆuts implicites de n´egociation
Spread bis-ask :
Disons, 19.97 (bid) – 20.03 (ask), le prix est 20.00.
En achetant pour 20.03, on obtient qqch qui coˆute
20.00.
Impact sur le march´e : l’ex´ecution fait bouger les prix.
Coˆuts d’opportunit´e d’une transaction manqu´ee :
Disons, un ordre `a cours limit´e d’acheter l’actif pour
20.01 (ou mieux) expire quand le prix est 20.10.
La diff´erence 20.10 − 20.03 = 0.07 est le coˆut
d’opportunit´e.
Coˆuts de d´elai li´es `a l’impossibilit´e d’ex´ecuter la
transaction en raison de la liquidit´e insuffisante du
march´e

6. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Mesure de coˆuts implicites
Par rapport `a midquote
Par rapport au prix moyen pond´er´e par le volume
(VWAP, volume-weighted average price)
peu efficace pour des transactions de grand volume
En utilisant les prix d’ouverture / de fermeture du
march´e
Implementation shortfall : la diff´erence entre le
rendement du portefeuille souhait´e et et le rendement
r´ealis´e du portefeuille actuel :
coˆuts explicites,
profits/pertes r´ealis´e,
coˆuts de d´elai,
coˆuts d’opportunit´e d’une transaction manqu´ee.

7. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Implementation shortfall : exemple (1)
J1 : le prix de fermeture est 10.00
J2 : la d´ecision d’acheter 1000 actions pour 9.95 ou
mieux, l’ordre est expir´e, le prix de fermeture
´etant 10.05
J3 : achat de 800 actions pour 10.08 chacune, la
commission ´etant 20 et le prix de fermeture ´etant 10.12
Portefeuille th´eorique : 1000 · (10.12 − 10.00) = 120
Portefeuille actuel : 800 · (10.12 − 10.08) − 20 = 12
Implementation shortfall est 108 pdb.

8. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Implementation shortfall : exemple (2)
Les coˆuts explicites : 20/10 000 = 20 pdb
Les profits/pertes r´ealis´es :
(10.08 − 10.05)/10.00 · 800/1000 = 24 pdb
Les coˆuts de d´elai :
(10.05 − 10.00)/10.00 · 800/1000 = 40 pdb
Les coˆuts d’opportunit´e d’une transaction manqu´ee :
(10.12 − 10.00)/10.00 · 200/1000 = 24 pdb
En utilisant β pour l’actif en question, implementation
shortfall peut ˆetre ajust´e pour exclure la contribution du
rendement de march´e pour les p´eriodes o`u il n’y a pas
d’exposition au risque de march´e.

9. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Facteurs d´eterminant les coˆuts
Liquidit´e (la capitalisation, le prix, la fr´equence de
transactions, le volume, la participation dans un indice,
le spread bid-ask)
Risque (volatilit´e du rendement)
Volume de la transaction par rapport `a la liquidit´e (la
taille de l’ordre par rapport au volume quotidien)
Momentum (plus difficile d’acheter dans le march´e
croissant)
Style (ordre au march´e sont plus couteux que ceux `a
cours limit´e)
Un mod`ele ´econom´etrique pourrait ˆetre construit pour
pr´edire les coˆuts.

10. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Table de mati`ere
Ex´ecution de d´ecisions d’investissement
Coˆuts de mise en œuvre d’une d´ecision d’investissement
Tactique d’ex´ecution d’une d´ecision d’investissement

11. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Ex´ecution optimale
Disons, on a besoins d’acheter un bloc d’actions de la
taille ¯S pendant la p´eriode [0, T].
Acheter tout tout de suite n’est pas optimal, il faut
trouver une fa¸con de le faire graduellement :
E1
T
t=1
PtSt → min
{St }
,
T
t=1
St = ¯S
Une contrainte suppl´ementaire St ≥ 0.
Le processus de prix :
Pτ = fτ (Pτ−1, Sτ , ετ , . . . )
La forme de solution :
S∗
τ = hτ Pτ−1, ¯S −
τ−1
t=1
S∗
t , . . .

12. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Programmation dynamique
Les variables d’´etat pour le moment τ
Le prix observ´e Pτ−1
Le nombre restant des actions :
Wτ = Wτ−1 − Sτ−1, W1 = ¯S, WT+1 = 0
La solution {S∗
1 , S∗
2 , . . . , S∗
T } doit ˆetre optimal pour
n’importe quel moment τ = 1, 2, . . . , T.
La valeur optimale du probl`eme
Vτ (Pτ−1, Wτ ) ≡ min
{St }
Eτ
T
t=τ
PtSt,
T
t=τ
St = Wτ
L’´equation de Bellman
Vτ (Pτ−1, Wτ ) ≡ min
Sτ
Eτ [Pτ Sτ + Vτ+1 (Pτ , Wτ+1)] ,

13. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Impact lin´eaire (1)
Supposons que Pτ suit le mouvement brownien
arithm´etique avec l’effet lin´eaire de transactions :
Pτ = Pτ−1 + θSτ + ετ , θ > 0
Cette hypoth`ese est peu r´ealiste, mais instructive.
Pour τ = T, S∗
T = WT , car il faut acheter tout ce qu’il
reste `a acheter.
VT (PT−1, WT ) = min
ST
ET PT WT = (PT−1 + θWT ) WT

14. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Impact lin´eaire (2)
Pour τ = T − 1 :
VT−1 (PT−2, WT−1)
= min
ST−1
ET−1 [PT−1ST−1 + VT (PT−1, WT )]
= min
ST−1
ET−1 [(PT−2 + θST−1 + εT−1) ST−1
+VT (PT−2 + θST−1 + εT−1, WT−1 − ST−1)]
La solution
S∗
T−1 =
WT−1
2
Pour τ = T − k :
S∗
T−k =
WT−k
k + 1
, S∗
1 =
W1
T

15. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Impact lin´eaire (3)
´Etant donn´e que W1 = ¯S
S∗
1 =
¯S
T
´Etant donn´e que W2 = W1 − S∗
1
W2 = ¯S 1 −
1
T
, S∗
2 =
W2
T − 1
=
¯S
T
, . . .
La solution
S∗
1 = S∗
2 = · · · = S∗
T =
¯S
T
ne d´epend pas des prix observ´e.
Ceci est en raison de l’effet lin´eaire et permanent de
transactions sur les prix.

16. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Impact lin´eaire avec l’information
Supposons que Pτ est influenc´e par l’information Xτ
connue lors de la p´eriode τ :
Pτ = Pτ−1 + θSτ + γXτ + ετ , θ > 0
Xτ = ρXτ−1 + ητ , X0 = 0
La solution compte tenu de l’information
S∗
T−k = δW
k WT−k + δX
k XT−k
δW
k =
1
k + 1
, δX
k =
ρbk−1
2ak−1
ak =
θ
2
1 +
1
k + 1
, a0 = θ
bk = γ +
θρbk−1
2ak−1
, b0 = γ

17. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Exemple num´erique
Supposons que 105 actions avec le prix courant de
P0 = 50$ devraient ˆetre achet´ees pendant T = 20
p´eriodes.
θ = 5 · 10−5
, γ = 5, ρ = 0.5, σε = 0.125, ση = 0.032
Le coˆut sans effet est 5 · 106$, le coˆut de l’achat
imm´ediat ´etant 5.5 · 106$.
L’´ecart-type de la composante informationnelle
γση
1 − ρ2
≈ 0.18
Simulation :
Le coˆut moyen de la strat´egie optimale : 5 254 820.69$.
Le coˆut moyen de la strat´egie na¨ıve : 5 259 453.09$.
La diff´erence : 4.6 cents par action.

18. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Strat´egie optimale
0
5
10
S=;W=
#104
5 10 15 20
=
-0.1
0
0.1
X=

19. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Coˆuts de la strat´egie optimale
4.9 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
VT #106
0
20
40
60
80
No.d'obs.,Nsim=500

20. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Strat´egie na¨ıve
0
5
10
S=;W=
#104
5 10 15 20
=
-0.1
0
0.1
X=

21. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Coˆuts de la strat´egie na¨ıve
4.9 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
VT #106
0
20
40
60
80
No.d'obs.,Nsim=500

22. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Matlab : initialisation
T = 20; Nsim = 500; P0 = 50; W0 = 1e5;
s_eps = 0.125;
eps = normrnd(0, s_eps, Nsim, T);
s_eta = sqrt(0.001);
eta = normrnd(0, s_eta, Nsim, T);
P = ones(Nsim,1) * P0; X = zeros(Nsim,1);
W = ones(Nsim,1) * W0; V = zeros(Nsim,1);
gamma = 5; rho = 0.5; theta = 5e-5;

23. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Matlab : simulation
for t = 1:T
X = rho * X + eta(:, t);
S = h(W, X, t, T, gamma, rho, theta);
P = P + theta * S + gamma * X + eps(:, t);
V = V + P .* S;
W = W - S;
end

24. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Matlab : fonctions (1)
function S = h1(W, X, t, T, gamma, rho, theta)
k = T - t;
S = W / (k + 1) + dx(k, gamma, rho, theta) * X;
end
function d = dx(k, gamma, rho, theta)
if k == 0
d = 0;
else
d = rho / 2 / ak(k - 1, theta) ...
* bk(k - 1, gamma, rho, theta);
end
end

25. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Ex´ecution
Coˆuts
Tactique
Matlab : fonctions (2)
function a = ak(k, theta)
if k == 0
a = theta;
else
a = ( 1 + 1 / (k + 1) ) * theta / 2;
end
end
function b = bk(k, gamma, rho, theta)
if k == 0
b = gamma;
else
b = gamma + theta * rho / ak(k - 1, theta) ...
* bk(k - 1, gamma, rho, theta) / 2;
end
end