representation numerique de l'information

1. Formation ISN 2017-2018
David Langlois
david.langlois@univ-lorraine. fr
Représentation numérique de
l’information numérique et textuelle

2. Objectifs du cours
 Montrer comment est représentée/manipulée
l’information dans un ordinateur
 Etude du codage binaire pour :
 Les valeurs numériques
 Les caractères
 Autres natures de données
 Les fichiers sons : voir version étendue de ce
support
 Les images ? Voir un cours à suivre
2

3. Information
 Un ordinateur manipule des informations de natures
diverses
 Valeurs numériques : naturels, réels, irrationnels (?), fractions,
complexes...
 Données textuelles : texte brut, texte enrichi, texte avec format
 Images : dessin libre, figures géométriques, photos
 Sons : bruit, musique, parole
 Vidéos : suite d’images + bande sonore
 Ces informations sont stockées sous des formats très
divers
 Ex : image  BMP, DXF, EPS , GIF, Jpeg, Photo CD, PCX,
PICT, PS, TIFF, WPG
 Ces informations sont :
 Stockées
 Manipulées
 Calculées
 Quels codages de ces informations ?
3

4. Ordinateur, c’est quoi ?
 Une machine manipulant de l’information, seul
(calcul de trajectoire de météorite), ou en
interaction avec l’utilisateur
 Quand je dessine à l’ordinateur, l’ordinateur
manipule-t-il un dessin ?
 Même réponse que pour la question « quand je joue au
tennis contre un mur, le mur joue-t-il au tennis du fait qu’il
me renvoie la balle ? »
 Une machine permettant d’exécuter des
programmes
 Une machine capable de lire des registres
mémoire, d’opérer des calculs sur ces registres et
de modifier les valeurs des registres
4

5. Ordinateur, c’est quoi ?
 Utilisateur : niveau numérique et symbolique
 Ordinateur : niveau purement électrique
 Comment est construit le lien entre les deux
niveaux ?
5

6. Transistor
 Un composant électronique dôté de :
 Deux entrées e1 et e2
 Une sortie s
 e2 est l’alimentation du transistor
 Deux états :
 Pas de courant en e1 + courant en e2  courant
en s
 Courant en e1 + courant en e2  pas de courant
en s
 Quel intérêt ?
 Présence/absence de tension : facile à mesurer
 Mesure robuste aux interférences
 Simule une porte logique NON  calcul logique
NON
e2=
1 e
1
s
TRANSISTO
R
e2
e
1
s
ATTENTION
: vision
schématique
6

7. Logique et binaire
 Logique et binaire : une correspondance bijective
 Logique : deux valeurs VRAI/FAUX
 Binaire : deux valeurs 0/1
 Possibilité de représenter les calculs numériques
binaires à l’aide des portes logiques
 Binaire = représentation efficace de l’information
de toute nature.
7

8. Codage binaire d’un nombre
 Codage en base 10 : utilisation de
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 pour coder les valeurs
numériques
 Codage en base 2 : utilisation de 0,1 pour coder
les valeurs numériques
 Tout entier en base n peut être codé en binaire.
 Exemple
 510 = 1012 car 5 = 1*22+0*21+1*20
 En général
 X10 = bnbn-1bn-2....b2b1b0 si et seulement si :
2
0
i
n
i
i
b
X 
 

8

9. Fabriquer un NON logique
(rappel)
NON
e2=1
e1=A
NON A
NON
A NON A
VRAI FAUX
FAUX VRAI
9

10. NON A
Fabriquer un ET logique
 = Brancher plusieurs transistors
NON
e1 = A
ET
A B A ET B
VRAI VRAI VRAI
VRAI FAUX FAUX
FAUX VRAI FAUX
FAUX FAUX FAUX
NON
e1 = B
NON
NON B NON A OU NON B
NON (NON A OU NON B )
= A ET B
Distribution du NON
alimentation = 1
10

11. Autres opérations logiques
 NON et ET suffisants pour :
 A OU B = NON ((NON A) ET (NON B))
 A NON-OU B = NON (A OU B)
 A OU-EXCLUSIF B = (A ET NON B) OU (NON A ET
B)
OU
A B A OU B
VRAI VRAI VRAI
VRAI FAUX VRAI
FAUX VRAI VRAI
FAUX FAUX FAUX
NON-OU
A B A NOR B
VRAI VRAI FAUX
VRAI FAUX FAUX
FAUX VRAI FAUX
FAUX FAUX VRAI
OU-EXCLUSIF
A B A XOR B
VRAI VRAI FAUX
VRAI FAUX VRAI
FAUX VRAI VRAI
FAUX FAUX FAUX
11

12. Le calcul binaire et le calcul logique
 1 bit = 0 ou 1
 Opération sur les bits : complémentaire, somme,
multiplication
 Convention
 1 pour VRAI
 0 pour FAUX
12

13. Et les supports de stockage ?
 Disque dur
 Surface magnétique constituée de très petits
éléments
 Deux valeurs +/-
 Têtes de lecture/écriture génèrent un champ
magnétique capable de changer la polarité
  code binaire
 Mémoire flash
 basée sur des semi-conducteurs à deux états
 Passage du courant  passage d’un état à l’autre
  code binaire
13

14. Et les supports de stockage ?
 CD-ROM
 Lecture laser : la surface réfléchissante renvoie le
laser
 Vierge = surface opaque = laser non renvoyé
 Ecriture = percer un trou minuscule dans la surface
opaque = la lumière laser est renvoyée
 Deux états : lumière renvoyée ou non  codage
binaire
 CD-RW : couche d’éléments pouvant devenir
transparents/opaques suivant la chaleur imposée
 binaire
 Conclusion : les supports de stockage utilisent le
binaire
14

15. Mesure de la taille des données
 1 octet = 8 bits
 1 Ko = 1024 octets (~1000)
 1 Mo = 1024 Ko (~1000)
 1 Go = 1024 Mo (~1000)
 1 To = 1024 Go (~1000)
15

16. Conclusion
 L’ordinateur gère tout sous forme binaire
 Les supports de stockage aussi
 Le binaire en plus d’être adapté à la structure
même d’un ordinateur a d’autres avantages
 Souplesse pour coder les éléments du monde
 Opérations courantes (multiplication par 2) 
simplicité + efficacité en machine
 Donc tout doit être représenté sous cette forme
 Etudions les codages en binaire de l’information
sous toutes ses formes
16

17. Coder les nombres en binaire

18. Les entiers (rappel)
 Codage en base 10 : utilisation de
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 pour coder les valeurs
numériques
 Codage en base 2 : utilisation de 0,1 pour coder
les valeurs numériques
 Tout entier en base n peut être codé en binaire.
 Exemple
 510 = 1012 car 5 = 1*22+0*21+1*20
 En général
 X10 = bnbn-1bn-2....b2b1b0 si et seulement si :
2
0
i
n
i
i
b
X 
 

18

19. Opérations binaires
 Complémentaire à 2 sur n bits
 Si A est un nombre binaire, alors le
complémentaire c(A) est tel que :
 c(A) = 2n-A
 Remarque :
 c(A) = (2n-1)-A+1
 2n-1 en base 2 = que des 1
 Donc :
 (2n-1)-A : remplacer dans A les 1 par des 0 et les 0 par des
1
 c(A) : puis ajouter 1
 Calcul facile !
19

20. Complémentaire : exemple
 Si A = 10310, C(A) = 25610-10310 = 15310
 Retrouvons ce résultat avec la méthode de la
diapositive précédente
 A : code 011001112 (application de la
méthode classique)
 28-1-A : code 100110002 (on remplace les 1 par 0 et 0
par 1)
 28-1-A+1 : code 100110012 (on ajoute 1)
 Donc C(A) : code 100110012
 Finalement : 100110012 = 128+16+8+1 = 15310
 On retombe sur le résultat ! Mais bon on n’est pas
surpris puisqu’on a prouvé que ce serait le cas dans
la diapositive précédente.
20

21. Opérations binaires
Somme
Base 2 Base
10
R  1 1
1 0 1 5
1 1 1 7
1 1 0 0 12
Multiplication
Base 2 Base 10
1 0 1 5
1 1 1 7
R 1 1
1 0 1
1 0 1
1 0 1
1 0 0 0 1 1 35
Multiplier par 2 = décalage de tous les bits à gauche, dernier bit
à 0
Diviser par 2 = décalage de tous les bits à droite, perte du bit de
poids faible
21

22. Codage
 Chaque valeur est codée sur un nombre préfixé de
bits
 Exemples : 8, 16, 32, 64
 Notez les puissances de 2, qui simplifient ensuite les
calculs
 Note : 8 bits = 1 octet
 1 bit = 2 valeurs possibles
 2 bits = 4 valeurs possibles
 ...
 n bits = 2n valeurs possibles
 Un entier sur 8 bits peut coder 256 valeurs différentes
  constante importante : un ordinateur a toujours des
limites finies.
22

23. Codage
 2n valeurs, d’accord, mais lesquelles ?
 Tout dépend du codage choisi !!
 C’EST UN CHOIX
 TOUT LE MONDE EST D’ACCORD SUR CE
CHOIX  NORMALISATION
23

24. Codage des entiers naturels (1/2)
 Sur n bits
 Valeurs de 0 à 2n-1
 Exemple sur 8 bits
 000000002 = 010
 000000012 = 110
 000000102 = 210
 ...
 111111102 = 25410
 111111112 = 25510
 Attention aux dépassements !
 111111112+000000012 = ???
 Réponse 000000002
 000000002-000000012 = ???
 Réponse 111111112
24

25. Codage des entiers naturels (2/2)
 Deux représentations possibles (selon les
machines, les programmes)
 Bit de poids faible à droite, bit de poids fort à
gauche
 Bit de poids faible à gauche, bit de poids fort à
droite
 Il faut le savoir et gérer en conséquence
25

26. Encodage/décodage des entiers
 Quelle méthode appliquer à la main ?
 Pour encoder de la base 10 à la base 2 ?
 Pour décoder de la base 2 à la base 10 ?
 Tester sur des exemples :
 210 = 102
 310 = 112
 1510 = 11112
26

27. De la base 2 vers la base 10
 x2 = 10110111
 x10 ?
 Appliquer la formule :
 1*27+0*26+1*25+1*24+0*23+1*22+1*21+1*20
 1*128+0*64+1*32+1*16+0*8+1*4+1*2+1*1
 128+32+16+4+2+1
 183
 Mais de tête, difficile de calculer toutes ces
puissances de 2
 Il vaut mieux énumérer les puissances de 2 en
partant de 1 (20) puis en multipliant par 2 à chaque
fois
 On lit alors les bits de droite à gauche
27

28. De la base 10 vers la base 2
(1/2)
 x10 = 183
 x2 ?
 On peut travailler sur la formule :
 Donc, on a le bit de poids faible, ensuite, il faut
décoder le reste de la division par 2 sans ce bit
2
2
2
2
6
0
1
0
1
7
1
0
7
1
0
7
0
2
2
j
j
j
i
i
i
i
i
i
i
i
i b
b
b
b
b
b
b
X 









 


 





28

29. De la base 10 vers la base 2
(2/2)
 Exemple avec 183
 bit=1, reste à décoder 183/2 = 91
 bit=1, reste à décoder 91/2 = 45
 bit=1, reste à décoder 45/2 = 22
 bit=0, reste à décoder 22/2 = 11
 bit=1, reste à décoder 11/2 = 5
 bit=1, reste à décoder 5/2 = 2
 bit=0, reste à décoder 2/2 = 1
 bit=1, reste à décoder 1/2 = 0
 Résultat : 10110111
2
2
2
2
6
0
1
0
1
7
1
0
7
1
0
7
0
2
2
j
j
j
i
i
i
i
i
i
i
i
i b
b
b
b
b
b
b
X 









 


 





29

30. Exercices
 Coder dans l’autre base (sur 8 bits)
 4910
 12610
 110100102
 010110112
 Les autres bases (souvent utilisées en informatique
par les humains)
 Base 8 : code avec 0,1,2,3,4,5,6,7
 Base 16 : code avec 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F
 Coder 267110 en base 16.
 Cet exercice est proposée dans la feuille d’exercices,
et donc corrigé dans la feuille de correction.
30

31. Codage des entiers relatifs (sol
1)
 Sur n bits
 1 bit pour le signe, n-1 bits pour la valeur
 (+) Simple
 (-) Dans les opérations, le bit de signe doit être géré
comme un cas particulier
 (-) existence de 2 0 (non conceptuellement
satisfaisant), deux cas à gérer
 Nombre de valeurs pouvant être codées : 2n-1 (et
pas 2n)
31

32. Codage des entiers relatifs (sol
2)
 Sur n bits
 Complément à 2
 Si x est positif, représentation habituelle,
 Si x est négatif, on code 2n-|x| (le bit de poids fort
est 1)
 Exemple sur 8 bits
 000001012 = 510
 100001012 = 13310=256-12310=28
10-12310 =>
codage de -12310
 (+) codage de 2n valeurs (un seul 0
00000000)
 (+) la somme des relatifs ne subit pas
32

33. Codage des entiers relatifs (sol
2)
 (-) codage moins évident que sol1
 (+) la somme des relatifs ne subit pas d’exception
Base 2 sur 8 bits Base 10
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1 0 0 4
1 1 1 1 1 1 0 1 253 = 28-|x|
 x = -3
0 0 0 0 0 0 0 1 1
33

34. Codage des entiers relatifs (sol3)
 En excédent
 Représentation d’un intervalle [-i,+j] par les valeurs
décalées de i
 Exemple :
 Intervalle [-127,128] sur 8 bits
 [-127,128] contient bien 28=256 valeurs
 Décalage de 127
 Codage :
 -127 codé par 00000000
 -126 codé par 00000001
 ... ...
 -1 codé par 01111110
 0 codé par 01111111
 1 codé par 10000000
 .... ...
 127 codé par 11111110
 128 codé par 11111111
34

35. Exercices/solutions
 Coder -8910 sur 8 bits en :
 Bit de signe
 Complément à 2
 Excédent à 127
 Cet exercice fait partie de la feuille d’exercices, et
est donc corrigé dans la feuille de correction
35

36. Codage binaire des réels (1/3)
 Les réels sont considérés en notation scientifique
 x = +/- 0,a.10+/- b
 x peut être réprésenté par 2 entiers a et b
 (pour avoir 0,... il suffit d’adapter la valeur de b)
 En binaire :
 x = +/- 1,a.2+/- b
 le 1 à gauche est toujours là par convention (voir diapo
suivante)
 On ne représente pas 0,101.2-3 mais 1,01.2-4
 a et b sont en binaire
 Codage de la partie fractionnaire en puissances
négatives de 2
 Exemple :
 1,01011.22 = 101,011 = 1*22+0*21+1*20+0*2-1+1*2-2+1*2-
3
 1,01011.22 = 4+1+0,25+0,125 = 5,37510
36

37. Codage binaire des réels (2/3)
 Norme IEEE 754
 Un réel est représenté sur 32 bits :
 1 bit pour le signe
 8 bits en excédent à 127 pour l’exposant
 La mantisse est représentée sous la forme 1,a. 23 bits pour a, le 1 à gauche n’est pas
représenté
 Exemple pour 5,375
 510 = 1012
 Soit 1,01......*22
 a commence par 01
 b = 210; on représente 2+12710 = 100000012
 Reste 21 (23 moins les 2 de 01 à droite de la virgule dans 1,01) bits pour représenter
0,375
 Principe : si x = 0,b1b2... alors 2x = b1 + 0,b2...
 2*0,375 = 0,75  0
 2*0,75 = 1,5  1
 2*0,5 = 1  1
 5,37510 = 1,010112
 Sur 32 bits :
 010000001(1)01011000000000000000000 (le 1 est sous-entendu)
 01000000101011000000000000000000
37

38. Codage binaire des réels (3/3)
 Attention : seulement 232 valeurs possibles !
 Les valeurs spéciales
 Le zéro est représenté par 32 bits à 0.
 Infini : exposant rempli de 1 et mantisse à 0
 Code erreur (exemple résultat d’une division par 0) :
exposant rempli de 1 et mantisse différente de 0
38

39. Coder du texte en binaire
39

40. Codage binaire des caractères
 Problème : coder ‘a’,’b’, ‘c’, ‘A’, ‘B’, ‘?’, ‘.’, ‘€’, ‘©’, ‘’, ‘μ’, ‘ø’,
caractères cyrilliques, asiatiques, arabes........
 Plusieurs codages : voir la liste dans un traitement de texte
 ASCII : (American Standard Code for Information Interchange)
 7 bits = 128 valeurs, le 8ième bit utilisé pour vérification (lors des
échanges de données)
 Représentation de 128 caractères
 Pas assez pour toutes les langues
 ASCII étendu sur 8 bits (code ISO Latin-1)
 8 bits = 256 caractères différents, assez pour langues latines et
européennes
 Compatibilité avec le code ASCII (partage des 128 premiers
caractères)
 UNICODE sur 16 bits
 16 bits = 65536 caractères différents, assez pour tous les caractères
de toutes les langues
 Compatible avec le code ASCII.
 Problème : consommation mémoire + gestion un peu compliquée des
caractères sur 2 octets (voir en TD).
40

41. UTF-8 (1/2)
 Coder tous les caractères de la norme unicode
 Un octet ne suffit plus
 Coder sur n octets  gourmand en taille
  codage sur un nombre variable d’octets
 Codage Représentation binaire UTF-8 Signification
0xxxxxxx U+0000 à U+007F (ASCII)
110xxxxx 10xxxxxx U+0080 à U+07FF
1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx U+0800 à U+FFFF
11110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx
10xxxxxx
U+10000 à U+10FFFF
41

42. UTF-8 (2/2)
 (+) tous les caractères sont codables
 (+) : compatibilité totale avec l’ASCII sur 7 bits
 (-) taille variable  décodage plus complexe
 D’autres avantages/défauts plus techniques
 Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/UTF-8
42