Le document traite des algorithmes et structures de données, se concentrant sur les arbres binaires, leur définition, leurs types (comme les arbres binaires de recherche et les arbres-tournoi), et leur représentation graphique. Il aborde également des concepts associés tels que la taille et la hauteur des arbres ainsi que les algorithmes liés à la génération et à la classification des arbres. Enfin, il explore des notions comme le nombre de Catalan qui determine le nombre d'arbres binaires avec un certain nombre de nœuds.

1. 1 de 1
Algorithmique
Les arbres
Florent Hivert
Mél : Florent.Hivert@lri.fr
Page personnelle : http://www.lri.fr/˜hivert

2. 2 de 1
Algorithmes et structures de données
La plupart des bons algorithmes fonctionnent grâce à une méthode
astucieuse pour organiser les données. Nous allons étudier quatre
grandes classes de structures de données :
Les structures de données séquentielles (tableaux) ;
Les structures de données linéaires (liste chaînées) ;
Les arbres ;
Les graphes.

3. 3 de 1
Problème de la recherche
On aimerai avoir une structure de donnée où l’insertion et la
recherche sont efficace.
Pour les tableaux : insertion en O(n), recherche en O(log(n))
Pour les listes : insertion en O(1), recherche en O(n)

4. 4 de 1
Représentations graphiques d’arbres binaires et vocabulaire
15
4
33
3
9
11
28
7
21
25
12
29
15
7
6
5
nœuds
branches
une branche gauche
une branche droite
valeurs
Ici :
arbre, nœuds, branches ;
arbre binaire, branches gauches, branches droites ;
valeurs (ou étiquettes) des nœuds.

5. 4 de 1
Représentations graphiques d’arbres binaires et vocabulaire
15
4
33
3
9
11
28
7
21
25
12
29
15
7
6
5
nœuds
branches
une branche gauche
une branche droite
valeurs
Ici :
arbre, nœuds, branches ;
arbre binaire, branches gauches, branches droites ;
valeurs (ou étiquettes) des nœuds.

6. 4 de 1
Représentations graphiques d’arbres binaires et vocabulaire
15
4
33
3
9
11
28
7
21
25
12
29
15
7
6
5
nœuds
branches
une branche gauche
une branche droite
valeurs
Ici :
arbre, nœuds, branches ;
arbre binaire, branches gauches, branches droites ;
valeurs (ou étiquettes) des nœuds.

7. 5 de 1
Définition récursive
15
4
33
3
9
11
28
7
21
25
12
29
15
7
6
5
nœud-racine
arbre vide
sous-arbre gauche
sous-arbre droit
Ici :
(nœud-)racine, sous-arbre gauche, sous-arbre droit ;
l’arbre vide, notion récursive d’arbre binaire valué (ou
étiqueté) ;
notion récursive de sous-arbre.

8. 5 de 1
Définition récursive
15
4
33
3
9
11
28
7
21
25
12
29
15
7
6
5
nœud-racine
arbre vide
sous-arbre gauche
sous-arbre droit
Ici :
(nœud-)racine, sous-arbre gauche, sous-arbre droit ;
l’arbre vide, notion récursive d’arbre binaire valué (ou
étiqueté) ;
notion récursive de sous-arbre.

9. 5 de 1
Définition récursive
15
4
33
3
9
11
28
7
21
25
12
29
15
7
6
5
nœud-racine
arbre vide
sous-arbre gauche
sous-arbre droit
Ici :
(nœud-)racine, sous-arbre gauche, sous-arbre droit ;
l’arbre vide, notion récursive d’arbre binaire valué (ou
étiqueté) ;
notion récursive de sous-arbre.

10. 6 de 1
Arbres binaires étendus
a
15
v
4
e
33
c
3
-
9
d
11
e
28
s
7
-
21
f
25
e
12
u
29
i
15
l
7
l
6
e
5
s
feuilles
Ici :
feuilles ;
notion récursive d’arbre binaire étendu.

11. 6 de 1
Arbres binaires étendus
a
15
v
4
e
33
c
3
-
9
d
11
e
28
s
7
-
21
f
25
e
12
u
29
i
15
l
7
l
6
e
5
s
feuilles
Ici :
feuilles ;
notion récursive d’arbre binaire étendu.

12. 7 de 1
Vocabulaire
h
a
u
t
e
u
r
taille
Ici :
structure d’arbre binaire ;
dimensions : taille, hauteur ;
équilibre ;
chemin issu de la racine, longueur d’un chemin.

13. 7 de 1
Vocabulaire
h
a
u
t
e
u
r
taille
Ici :
structure d’arbre binaire ;
dimensions : taille, hauteur ;
équilibre ;
chemin issu de la racine, longueur d’un chemin.

14. 7 de 1
Vocabulaire
h
a
u
t
e
u
r
taille
Ici :
structure d’arbre binaire ;
dimensions : taille, hauteur ;
équilibre ;
chemin issu de la racine, longueur d’un chemin.

15. 7 de 1
Vocabulaire
h
a
u
t
e
u
r
taille
Ici :
structure d’arbre binaire ;
dimensions : taille, hauteur ;
équilibre ;
chemin issu de la racine, longueur d’un chemin.

16. 8 de 1
Arbre binaire de recherche
3
4
6
7
9
11
12
15
22
25
28
29
30
31
33
48
croissance stricte
Ici :
arbre binaire de recherche (ou ordonné) ;
parcours infixe (ou symétrique) ;
recherche, insertion, suppression.

17. 8 de 1
Arbre binaire de recherche
3
4
6
7
9
11
12
15
22
25
28
29
30
31
33
48
croissance stricte
Ici :
arbre binaire de recherche (ou ordonné) ;
parcours infixe (ou symétrique) ;
recherche, insertion, suppression.

18. 8 de 1
Arbre binaire de recherche
3
4
6
7
9
11
12
15
22
25
28
29
30
31
33
48
croissance stricte
Ici :
arbre binaire de recherche (ou ordonné) ;
parcours infixe (ou symétrique) ;
recherche, insertion, suppression.

19. 9 de 1
Arbre Tournoi
6
5
21
25
12
15
11
48
3
7
9
28
15
7
4
29
c
r
o
i
s
s
a
n
c
e
l
a
r
g
e
Ici :
arbre tournoi ;
minimum, insertion, suppression du minimum.

20. 9 de 1
Arbre Tournoi
6
5
21
25
12
15
11
48
3
7
9
28
15
7
4
29
c
r
o
i
s
s
a
n
c
e
l
a
r
g
e
Ici :
arbre tournoi ;
minimum, insertion, suppression du minimum.

21. 10 de 1
Termes anglo-saxons
binary tree ;
node, branch, value, label, root, subtree, leaf ;
size, height, distance ;
balanced tree ;
path from the root, length of a path ;
infix traversal ;
valued binary tree, label(l)ed binary tree, extended binary tree,
binary search tree, ordered binary tree, tournament tree.

22. 11 de 1
Applications des arbres
Classifications : par questionnaire binaire :
nœud = question, feuille = réponse ;
branche gauche étiquetée par FAUX, branche droite par VRAI.
Recherche : par arbres binaires de recherche.
Files de priorité : par arbres-tournoi : gestion des tampons
avec priorité.

23. 12 de 1
Spécification formelle
Définition (Type abstrait ABin)
Opérations :
Vide : {} → ABin
Noeud : ABin × ABin → ABin
EstVide : ABin → Booleen
SAG, SAD : ABin → ABin
Préconditions :
SAD(t), SAG(t) défini seulement si non EstVide(t)
Axiomes :
EstVide(Vide()) = VRAI EstVide(Noeud(g, d)) = FAUX
SAG(Noeud(g, d)) = g SAD(Noeud(g, d)) = d
Noeud(SAG(t), SAD(t)) = t si non EstVide(t).

24. 13 de 1
Voici la liste de tous les arbres jusqu’à la taille 3 :

25. 13 de 1
Voici la liste de tous les arbres jusqu’à la taille 3 :

26. 14 de 1
Voici la liste de tous les arbres de taille 4 :

27. 15 de 1
Liste de tous les arbres à n Nœuds
Algorithme
Entrée : un entier positif ou nul n
Sortie : une liste d’arbres
res <- listeVide()
si n = 0 alors
ajoute(res, arbreVide())
retourner res
pour i de 0 à n-1 faire
lg <- ALGO(i); ld <- ALGO(n-1-i)
pour g dans lg faire
pour d dans ld faire
ajoute(res, Noeud(g,d))
retourner res

28. 16 de 1
Nombre de Catalan
Proposition
Le nombre d’arbres binaires à n nœuds est appelé n-ième nombre
de Catalan noté Cn. Les nombre de Catalan vérifient la récurrence :
C0 = 1 Cn =
n−1
X
i=0
Ci Cn−1−i .
On en déduit
Cn =
(2n)!
n!(n + 1)!
.
Voici les premières valeurs :
C0 = 1, C1 = 1, C2 = 2, C3 = 5, C4 = 14, C5 = 42, c6 = 132 .

29. 17 de 1
taille et hauteur
Définition
On définit deux fonctions sur les arbres binaires :
Le nombre de noeuds appelé Taille :
Taille(Vide) = 0
Taille(Noeud(a0, a1)) = 1 + Taille(a0) + Taille(a1)
Le nombre de noeuds du plus long chemin appelé Hauteur :
Hauteur(Vide) = 0
Hauteur(Noeud(a0, a1)) = 1+max{Hauteur(a0), Hauteur(a1)}

30. 18 de 1
Comparaison taille/hauteur
Proposition
Pour tout arbre binaire de taille n et de hauteur h :
h 6 n 6 2h
− 1 .

31. 19 de 1
Noeuds
Retenir
Un noeud est dit interne s’il a deux fils non vide. Sinon il est dit
externe.
internes
externes

32. 20 de 1
Retenir
Une branche relie un noeuds à l’un des deux sous-arbres. Une
branche est soit la branche gauche soit la branche droite d’un
nœud.
Une branche est interne lorsqu’elle relie deux nœuds ; elle est
externe dans le cas contraire.
internes
externes
En conséquence de quoi :
un nœud interne possède deux branches internes ;
un nœud externe possède au moins une branche externe.

33. 21 de 1
Nombre de branches
Proposition
Tout arbre binaire de n nœuds possède 2n branches.
Plus précisément, lorsque n > 1, il possède n − 1 branches internes
et n + 1 branches externes.

34. 22 de 1
Retenir
Un chemin de longueur k issu de a est un couple de la forme :
(a, hb1, b2, . . . , bk i)
pour lequel il existe t1, t2, . . . , tk tels que :
en posant t0 = a, tj est le sous-arbre gauche ou droit de a0
j−1 selon
que le bit de direction bj vaut 0 ou 1.
On dit d’un tel chemin qu’il mène de a à tk .
Le chemin de longueur nulle (a, hi) mène de a à lui-même.
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
chemin (a, h0, 1, 0, 0i)
a = t0
t1
t2
t3
t4
Un chemin est interne lorsqu’il mène à un nœud ; il est externe sinon.

35. 22 de 1
Retenir
Un chemin de longueur k issu de a est un couple de la forme :
(a, hb1, b2, . . . , bk i)
pour lequel il existe t1, t2, . . . , tk tels que :
en posant t0 = a, tj est le sous-arbre gauche ou droit de a0
j−1 selon
que le bit de direction bj vaut 0 ou 1.
On dit d’un tel chemin qu’il mène de a à tk .
Le chemin de longueur nulle (a, hi) mène de a à lui-même.
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
chemin (a, h0, 1, 0, 0i)
a = t0
t1
t2
t3
t4
Un chemin est interne lorsqu’il mène à un nœud ; il est externe sinon.

36. 22 de 1
Retenir
Un chemin de longueur k issu de a est un couple de la forme :
(a, hb1, b2, . . . , bk i)
pour lequel il existe t1, t2, . . . , tk tels que :
en posant t0 = a, tj est le sous-arbre gauche ou droit de a0
j−1 selon
que le bit de direction bj vaut 0 ou 1.
On dit d’un tel chemin qu’il mène de a à tk .
Le chemin de longueur nulle (a, hi) mène de a à lui-même.
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
chemin (a, h0, 1, 0, 0i)
a = t0
t1
t2
t3
t4
Un chemin est interne lorsqu’il mène à un nœud ; il est externe sinon.

37. 22 de 1
Retenir
Un chemin de longueur k issu de a est un couple de la forme :
(a, hb1, b2, . . . , bk i)
pour lequel il existe t1, t2, . . . , tk tels que :
en posant t0 = a, tj est le sous-arbre gauche ou droit de a0
j−1 selon
que le bit de direction bj vaut 0 ou 1.
On dit d’un tel chemin qu’il mène de a à tk .
Le chemin de longueur nulle (a, hi) mène de a à lui-même.
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
chemin (a, h0, 1, 0, 0i)
a = t0
t1
t2
t3
t4
Un chemin est interne lorsqu’il mène à un nœud ; il est externe sinon.

38. 23 de 1
Proposition
Pour tout nœud a0 d’un arbre binaire non vide a, il existe un
unique chemin menant de la racine a de l’arbre au nœud a0.
Proposition
La hauteur d’un arbre binaire a est la longueur du plus long chemin
issu de la racine a.
Proposition
Tout arbre binaire de n nœuds possède 2n + 1 chemins distincts
issus de sa racine. Parmi ceux-là, n sont internes et n + 1 sont
externes.

39. 24 de 1
Définition
Soit (a, hb1, b2, . . . , bki) le chemin menant de a à a0.
Le numéro de a0 relativement à a, noté Numa(a0), est
[1b1b2 . . . bk]2, l’entier dont l’écriture en base 2 est 1 b1 b2 . . . bk.
Autrement dit :
racine : 1 ;
vers la gauche : ×2, +0 ;
vers la droite : ×2, +1.
below:8
15
above:4
below:9
4
above:2
below:40
33
above:20
below:82
3
above:41
below:83
9
above:10
below:42
11
above:21
below:43
28
above:5
below:22
7
above:11
below:23
21
above:1
below:12
25
above:6
below:52
12
above:26
below:212
29
above:106
below:213
15
above:53
below:107
7
above:13
below:27
6
above:3
below:14
5
above:7
below:15

40. 24 de 1
Définition
Soit (a, hb1, b2, . . . , bki) le chemin menant de a à a0.
Le numéro de a0 relativement à a, noté Numa(a0), est
[1b1b2 . . . bk]2, l’entier dont l’écriture en base 2 est 1 b1 b2 . . . bk.
Autrement dit :
racine : 1 ;
vers la gauche : ×2, +0 ;
vers la droite : ×2, +1.
below:8
15
above:4
below:9
4
above:2
below:40
33
above:20
below:82
3
above:41
below:83
9
above:10
below:42
11
above:21
below:43
28
above:5
below:22
7
above:11
below:23
21
above:1
below:12
25
above:6
below:52
12
above:26
below:212
29
above:106
below:213
15
above:53
below:107
7
above:13
below:27
6
above:3
below:14
5
above:7
below:15

41. 24 de 1
Définition
Soit (a, hb1, b2, . . . , bki) le chemin menant de a à a0.
Le numéro de a0 relativement à a, noté Numa(a0), est
[1b1b2 . . . bk]2, l’entier dont l’écriture en base 2 est 1 b1 b2 . . . bk.
Autrement dit :
racine : 1 ;
vers la gauche : ×2, +0 ;
vers la droite : ×2, +1.
below:8
15
above:4
below:9
4
above:2
below:40
33
above:20
below:82
3
above:41
below:83
9
above:10
below:42
11
above:21
below:43
28
above:5
below:22
7
above:11
below:23
21
above:1
below:12
25
above:6
below:52
12
above:26
below:212
29
above:106
below:213
15
above:53
below:107
7
above:13
below:27
6
above:3
below:14
5
above:7
below:15

42. 25 de 1
Notion de parcours
Retenir
Un parcours est un algorithme qui appelle une fonction,
méthode où procédure sur tous les noeuds (ou les sous arbres)
d’un arbre.
L’ordre sur les nœuds dans lequel la procédure est appelée
doit être fixé. Il y a de nombreux choix possibles.
Exemple de fonctions : affichage, liste des valeurs, accumulation. . .
Retenir
Un parcours est dit en profondeur lorsque, systématiquement, si
l’arbre n’est pas vide, le parcours de l’un des deux sous-arbres est
terminé avant que ne commence celui de l’autre.

43. 25 de 1
Notion de parcours
Retenir
Un parcours est un algorithme qui appelle une fonction,
méthode où procédure sur tous les noeuds (ou les sous arbres)
d’un arbre.
L’ordre sur les nœuds dans lequel la procédure est appelée
doit être fixé. Il y a de nombreux choix possibles.
Exemple de fonctions : affichage, liste des valeurs, accumulation. . .
Retenir
Un parcours est dit en profondeur lorsque, systématiquement, si
l’arbre n’est pas vide, le parcours de l’un des deux sous-arbres est
terminé avant que ne commence celui de l’autre.

44. 25 de 1
Notion de parcours
Retenir
Un parcours est un algorithme qui appelle une fonction,
méthode où procédure sur tous les noeuds (ou les sous arbres)
d’un arbre.
L’ordre sur les nœuds dans lequel la procédure est appelée
doit être fixé. Il y a de nombreux choix possibles.
Exemple de fonctions : affichage, liste des valeurs, accumulation. . .
Retenir
Un parcours est dit en profondeur lorsque, systématiquement, si
l’arbre n’est pas vide, le parcours de l’un des deux sous-arbres est
terminé avant que ne commence celui de l’autre.

45. 26 de 1
Parcours préfixe, infixe, postfixe
Parcours en profondeur de gauche à droite (on applique F sur tous
les sous-arbres) :
Préfixe :
1 application de F à la racine,
2 parcours préfixe du sous-arbre gauche,
3 parcours préfixe du sous-arbre droit.
Infixe (ou symétrique) :
1 parcours infixe du sous-arbre gauche,
2 application de F à la racine,
3 parcours infixe du sous-arbre droit.
Postfixe :
1 parcours postfixe du sous-arbre gauche,
2 parcours postfixe du sous-arbre droit,
3 application de F à la racine.
Les parcours droite-gauche se déduisent par symétrie.

46. 26 de 1
Parcours préfixe, infixe, postfixe
Parcours en profondeur de gauche à droite (on applique F sur tous
les sous-arbres) :
Préfixe :
1 application de F à la racine,
2 parcours préfixe du sous-arbre gauche,
3 parcours préfixe du sous-arbre droit.
Infixe (ou symétrique) :
1 parcours infixe du sous-arbre gauche,
2 application de F à la racine,
3 parcours infixe du sous-arbre droit.
Postfixe :
1 parcours postfixe du sous-arbre gauche,
2 parcours postfixe du sous-arbre droit,
3 application de F à la racine.
Les parcours droite-gauche se déduisent par symétrie.

47. 27 de 1
Exemple
Pour l’arbre :
les ordres de traitement des nœuds sont, selon les parcours :
1
2 3
4
5
2
1 5
4
3
5
1 4
3
2
préfixe infixe postfixe

48. 28 de 1
Parcours en largeur
Retenir
Un parcours est dit en largeur lorsqu’il procède en croissant selon
les niveaux.
Voici un parcourt en largeur de gauche à droite :
1
2 3
4 5 6
7

49. 29 de 1
Algorithme de parcours en largeur
Idée : on remplace la pile d’appels par une file d’attente dans
l’algorithme de parcours préfixe.
Algorithme
Entrée : un arbre binaire a, une procédure f
Effet : appelle f sur tous les sous arbres
p <- FileVide()
p <- Enfile(p, a)
tant que non EstVideFile(p) faire
ssa, p <- Defile(p)
si non EstVide(ssa)
f(ssa)
p <- Enfile(p, SAG(ssa))
p <- Enfile(p, SAD(ssa))

50. 30 de 1
Définition (Type abstrait arbre binaire valué ABinV(T))
Opérations :
Videval : {} → ABinV(T) EstVideval : ABinV(T) → Booleen
Noeudval : T × ABinV(T) × ABinV(T) → ABinV(T)
SAGval , SADval : ABinV(T) → ABinV(T)
Val : ABinV(T) → T
Préconditions :
SAD(t), SAG(t), Val(t) défini seulement si non EstVide(t)
Axiomes :
EstVide(Vide()) = VRAI EstVide(Noeud(v, g, d)) = FAUX
SAG(Noeud(v, g, d)) = g SAD(Noeud(v, g, d)) = d
Val(Noeud(v, g, d)) = v
Noeud(Val(t), SAG(t), SAD(t)) = t si non EstVide(t).

51. 31 de 1
Arbres valués et non valués
Retenir
Les définitions de taille, hauteur, chemin, interne, externe et
numéro s’applique également pour les arbres binaires valués.
Définition (Forme d’une arbre binaire valués)
On défini récursivement la forme d’un binaire valués par
Forme : ABinV(T) → ABin ;
Forme(Videval ()) = Vide() ;
Forme(Noeudval (v, g, d)) = Noeud(Forme(g), Forme(d)).

52. 32 de 1
Arbres binaires de recherche
Définition
Un arbre binaire de recherche (ABR ; ou arbre binaire ordonné,
ABO) est un ABV qui, s’il n’est pas vide, est tel que :
ses sous-arbres gauche et droit sont des ABR ;
les valeurs des nœuds du sous-arbre gauche sont strictement
inférieures à la valeur du nœud-racine de l’arbre ;
les valeurs des nœuds du sous-arbre droit sont strictement
supérieures à la valeur du nœud-racine de l’arbre.
Les valeurs des nœuds dans un ABR sont donc deux à deux
distinctes. Autrement dit, la qualitificatif « ordonné » est à prendre
au sens strict.

53. 32 de 1
Arbres binaires de recherche
Définition
Un arbre binaire de recherche (ABR ; ou arbre binaire ordonné,
ABO) est un ABV qui, s’il n’est pas vide, est tel que :
ses sous-arbres gauche et droit sont des ABR ;
les valeurs des nœuds du sous-arbre gauche sont strictement
inférieures à la valeur du nœud-racine de l’arbre ;
les valeurs des nœuds du sous-arbre droit sont strictement
supérieures à la valeur du nœud-racine de l’arbre.
Les valeurs des nœuds dans un ABR sont donc deux à deux
distinctes. Autrement dit, la qualitificatif « ordonné » est à prendre
au sens strict.

54. 33 de 1
Exemple d’arbre binaire de recherche
3
4
6
7
9
11
12
15
22
25
28
29
30
31
33
48
croissance stricte

55. 34 de 1
ABR et ordre infixe
Théorème (caractérisation rapide des ABR)
Un ABV est un ABR si seulement si la liste des valeurs des nœuds
établie dans l’ordre infixe est strictement croissante.
Exemple
Avec
T = Naturel,
l’ABV :
2
4
7
12
20
est un ABR. La liste des
valeurs de ses nœuds,
établie dans l’ordre
infixe, est strictement
croissante :
h2, 4, 7, 12, 20i.

56. 34 de 1
ABR et ordre infixe
Théorème (caractérisation rapide des ABR)
Un ABV est un ABR si seulement si la liste des valeurs des nœuds
établie dans l’ordre infixe est strictement croissante.
Exemple
Avec
T = Naturel,
l’ABV :
2
4
7
12
20
est un ABR. La liste des
valeurs de ses nœuds,
établie dans l’ordre
infixe, est strictement
croissante :
h2, 4, 7, 12, 20i.

57. 35 de 1
Opérations sur les ABR
On veux implanter les opérations suivantes :
recherche d’un élément : EstDansABR ;
insertion d’un élément : InsertABR ;
suppression d’un élément : SupprimeABR ;
rotation (rééquilibrage).
Note : il y a plusieurs manières d’insérer et de supprimer un
éléments. D’autre opérations plus complexes existent (fusion,
partition).

58. 35 de 1
Opérations sur les ABR
On veux implanter les opérations suivantes :
recherche d’un élément : EstDansABR ;
insertion d’un élément : InsertABR ;
suppression d’un élément : SupprimeABR ;
rotation (rééquilibrage).
Note : il y a plusieurs manières d’insérer et de supprimer un
éléments. D’autre opérations plus complexes existent (fusion,
partition).

59. 35 de 1
Opérations sur les ABR
On veux implanter les opérations suivantes :
recherche d’un élément : EstDansABR ;
insertion d’un élément : InsertABR ;
suppression d’un élément : SupprimeABR ;
rotation (rééquilibrage).
Note : il y a plusieurs manières d’insérer et de supprimer un
éléments. D’autre opérations plus complexes existent (fusion,
partition).

60. 36 de 1
Recherche d’un élément dans un ABR
Algorithme (EstDansABR)
Entrée : un ABR a et un élément e
Sortie : VRAI si e apparaît dans a, FAUX sinon
si EstVide(a) alors
retourner FAUX
sinon si e = Val(a) alors
retourner VRAI
sinon si e < Val(a) alors
retourner EstDansABR(SAG(A))
sinon
retourner EstDansABR(SAD(A))
⇒ Complexité : O(Hauteur(a)) ⊆ O(Taille(a)).

61. 37 de 1
Insersion aux feuilles
Algorithme (InsertABR)
Entrée : un ABR a et un élément e
Sortie : un ABR a0
si EstVide(a) alors
retourner Noeud(a, Vide(), Vide())
sinon si e = Val(a) alors
retourner a
sinon si e < Val(a) alors
retourner Noeud(Val(a), InsertABR(SAG(a)), SAD(a))
sinon
retourner Noeud(Val(a), SAG(a), InsertABR(SAD(a)))
⇒ Complexité : O(Hauteur(a)) ⊆ O(Taille(a)).

62. 38 de 1
Correction de InsertABR
Proposition
Soit a ∈ ABR(T) un ABR et e ∈ T un élément. Soit
a0 = InsertABR(a, e). Alors, pour tout x ∈ T on a
EstDansABR(a0
, x) = EstDansABR(a, x) ou (e = x) .
Autrement dit,
Valeurs(a0
) = Valeurs(a) ∪ {e}
où Valeurs(a) désigne l’ensemble des valeurs qui apparaissent dans
l’arbre a.

63. 39 de 1
Exemples d’insertions
Exemple
Insertions successives de 4, 20, 12, 2, 7, 3, 6, 0, 15, 1, 13, 14 dans
l’ABR vide :

64. 39 de 1
Exemples d’insertions
Exemple
Insertions successives de 4, 20, 12, 2, 7, 3, 6, 0, 15, 1, 13, 14 dans
l’ABR vide :
4

65. 39 de 1
Exemples d’insertions
Exemple
Insertions successives de 4, 20, 12, 2, 7, 3, 6, 0, 15, 1, 13, 14 dans
l’ABR vide :
4
20

66. 39 de 1
Exemples d’insertions
Exemple
Insertions successives de 4, 20, 12, 2, 7, 3, 6, 0, 15, 1, 13, 14 dans
l’ABR vide :
4
12
20

67. 39 de 1
Exemples d’insertions
Exemple
Insertions successives de 4, 20, 12, 2, 7, 3, 6, 0, 15, 1, 13, 14 dans
l’ABR vide :
2
4
12
20

68. 39 de 1
Exemples d’insertions
Exemple
Insertions successives de 4, 20, 12, 2, 7, 3, 6, 0, 15, 1, 13, 14 dans
l’ABR vide :
2
4
7
12
20

69. 39 de 1
Exemples d’insertions
Exemple
Insertions successives de 4, 20, 12, 2, 7, 3, 6, 0, 15, 1, 13, 14 dans
l’ABR vide :
2
3
4
7
12
20

70. 39 de 1
Exemples d’insertions
Exemple
Insertions successives de 4, 20, 12, 2, 7, 3, 6, 0, 15, 1, 13, 14 dans
l’ABR vide :
2
3
4
6
7
12
20

71. 39 de 1
Exemples d’insertions
Exemple
Insertions successives de 4, 20, 12, 2, 7, 3, 6, 0, 15, 1, 13, 14 dans
l’ABR vide :
0
2
3
4
6
7
12
20

72. 39 de 1
Exemples d’insertions
Exemple
Insertions successives de 4, 20, 12, 2, 7, 3, 6, 0, 15, 1, 13, 14 dans
l’ABR vide :
0
2
3
4
6
7
12
15
20

73. 39 de 1
Exemples d’insertions
Exemple
Insertions successives de 4, 20, 12, 2, 7, 3, 6, 0, 15, 1, 13, 14 dans
l’ABR vide :
0
1
2
3
4
6
7
12
15
20

74. 39 de 1
Exemples d’insertions
Exemple
Insertions successives de 4, 20, 12, 2, 7, 3, 6, 0, 15, 1, 13, 14 dans
l’ABR vide :
0
1
2
3
4
6
7
12
13
15
20

75. 39 de 1
Exemples d’insertions
Exemple
Insertions successives de 4, 20, 12, 2, 7, 3, 6, 0, 15, 1, 13, 14 dans
l’ABR vide :
0
1
2
3
4
6
7
12
13
14
15
20

76. 39 de 1
Exemples d’insertions
Exemple
Insertions successives de 4, 20, 12, 2, 7, 3, 6, 0, 15, 1, 13, 14 dans
l’ABR vide :
0
1
2
3
4
6
7
12
13
14
15
20

77. 40 de 1
Bilan
On a donc une structure de donnée pour laquelle les coût de
l’insertion et la recherche sont en O(Hauteur(a)) :
Retenir
Dans le pire des cas (arbre filiforme), le coût est en
O(Taille(a)).
En moyenne, le coût est en O(log(Taille(a))).
De plus, en utilisant la rotation (voir G.M. Adelson-Velskii et E.M.
Landis 1962, arbre AVL, arbre rouge-noir), on peut s’assurer que
Hauteur(a) reste inférieur à
logΦ(n + 2) − 1 ≈ 1.44 log2(n + 2) − 1
où Φ = 1+
√
5
2 est le nombre d’or et n = Taille(a).

78. 41 de 1
Arbres équilibrés
Définition
L’équilibre d’un arbre binaire est un entier qui vaut 0 si l’arbre est
vide et la différence des hauteurs des sous-arbres gauche et droit
de l’arbre sinon.
Un arbre binaire est équilibré lorsque l’équilibre de chacun de ses
sous-arbres non vides n’excède pas 1 en valeur absolue.

79. 41 de 1
Arbres équilibrés
Définition
L’équilibre d’un arbre binaire est un entier qui vaut 0 si l’arbre est
vide et la différence des hauteurs des sous-arbres gauche et droit
de l’arbre sinon.
Un arbre binaire est équilibré lorsque l’équilibre de chacun de ses
sous-arbres non vides n’excède pas 1 en valeur absolue.

80. 42 de 1
Exemple
L’équilibre de chacun des sous-arbres non vides est indiqué sur la
gauche ou la droite de son nœud-racine :
+1
−1
0
0
−1
+1
0
−1
0 −1
0
équilibré équilibré
+4
−3
+2
−1
0
+1
+2
−1
0
0
0 0
non équilibré non équilibré

81. 43 de 1
Rotations
a
b
A B
C
rotation droite
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
←
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
rotation gauche
a
b
A
B C
Proposition
Après une insertion où une suppression, il suffit de deux rotations
pour ré-équilibrer un arbre. Le maintient de l’équilibre est possible
en temps constant.