Les mathématiques au service du transport de l’information

LES MATHÉMATIQUES AU SERVICE DU
TRANSPORT DE L’INFORMATION

QU’APPELLE T-ON INFORMATION ?
3
• Information = Ce qui donne une forme à l'esprit, du latin informare qui signifie « donner
forme à » ou « se former une idée de ».
• Information = « Elément de connaissance susceptible d'être représenté à l'aide de
conventions pour être conservé, traité ou communiqué » (B.O.E.N., 26 févr. 1981, no8).
• La connaissance n’a pas de forme, mais peut être écrite sur des supports divers : pierre,
parchemin, papier, bande magnétique, disque optique (CD, DVD, Blu-ray…), disque dur,
etc. pour être conservée et communiquée.
• Avec l’informatique, il est devenu important de distinguer l'information en tant que
connaissance et les supports de l’information qui font intervenir un objet physique sur
lequel on écrit , associés à un protocole d’écriture. Il est aussi devenu important de
faciliter le transport de l’information pour communiquer plus facilement.

4
Information
(élément de connaissance)
Ecriture sur un
support physique
Conservation
Alphabet
+
protocole d’écriture
Traitement Communication

5
Information
« Texte »
Ecriture sur un cahier
ou un livre
Conservation
dans une bibliothèque
Alphabet = Alphabet latin, 26 lettres
Protocole = langue française
Traitement
Métadonnées : titre,
auteur, résumé, ISBN…
Communication
Prêt, transport du livre,
envoi par la poste
Exemple d’un livre

UN MONDE NUMÉRIQUE
6
Pierre ou papier ? Les supports comme la pierre ou le papier sont de plus en plus délaissés car
peu adaptés à la copie et aux échanges. Aujourd’hui, on aime transporter l’information (texte,
image, son, vidéo) instantanément, ce qui demande des appareils et des protocoles efficaces.
Un ordinateur fonctionne en binaire. Une porte ne peut être qu’ouverte ou fermée, une mémoire
d’ordinateur ne peut être que chargée ou déchargée. Cela explique que la langage de l’ordinateur
soit le binaire formé de symboles 0 ou 1 (fermé ou ouvert).
Un cerveau qui ne comprend que les 0 et les 1. Le processeur (CPU = Central Processing Unit)
est le cerveau de l'ordinateur. Il ne manipule que des chiffres 0 ou 1 et peut exécuter des
instructions stockées en mémoire.

L’INFORMATION PEUT PRENDRE
PLUSIEURS FORMES :
7
TEXTE
• txt
• doc
• odt
• pdf…
IMAGE
• bmp
• jpg
• png
• gif
• tiff…
SON
• wav
• mp3
• AC3
• ogg…
VIDEO
• avi
• mp4
• xvid
• wmv
• flv…

OÙ SONT LES MATHS ?
8
Les mathématiques participent de façon essentielle au traitement de l’information,
par exemple pour :
 Converser avec l’ordinateur
 Coder des sons et des images
 Compresser des fichiers
 Dessiner des polices de caractères
 Transmettre des données (codes correcteurs d’erreurs)
 Protéger les données (cryptographie)
(liste non exhaustive)
NB : nous n’aborderons pas la CRYPTOGRAPHIE dans cet exposé,
celle-ci ayant fait déjà l’objet d’une conférence en mars 2014.

9
CONVERSER AVEC UN ORDINATEUR

BINAIRE & HEXADÉCIMAL
10
Le langage machine est le seul langage qu'un ordinateur puisse exécuter. Il s’agit d’un texte
utilisant uniquement deux symboles : 0 ou , appelés « bits » pour « binary digits ». En maths,
on parle de nombres écrits dans le système binaire, comme :
10110000 01100001
Ces nombres sont difficiles à manipuler par des humains. On utilise l’Assembleur, un langage
proche du langage machine qui utilise le système hexadécimal (base 16). Pour un processeur
x86, l’instruction ci-dessus est remplacée par :
movb $0x61,%al
10110000 = movb %al
01100001 = $0x61 = 61 en hexadécimal = 97 en décimal
Ce qui signifie :
« écrire le nombre 97 dans le registre AL ».
Des compilateurs-optimiseurs
transforment du langage de haut
niveau en code !
Des maths !
Numération en base a

SYSTÈME BINAIRE
11
011000012 = 6116 = 9710
01100001 = 26 + 25 + 1 = 64 + 32 + 1 = 97
Base 2
(binaire)
Base 10
(décimale)

12
Transformer une écriture décimale en écriture binaire
Nombre en
base 2
Divisions
successives
De l’arithmétique !

OPERATIONS EN BINAIRE
13
Encore de
l’arithmétique !

14
SYSTÈME HEXADÉCIMAL
On travaille en base 16.
Les chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
97 = 6 x 16 + 1 donc 97 = &61
N = 19071 = 4 × 16³ + 10 × 16² + 7 × 16 + 15 donc 19071 = &4A7F
N = 4 × (2⁴)³ + 10 × (2⁴)² + 7 × 2⁴ + 15
= 4 × 2¹² + 10 × 2⁸ + 7 × 2⁴ + 15
= 2² × 2¹² + (2³ + 2) × 2⁸+ (2² + 2 + 1) × 2⁴ + (2³ + 2² + 2 + 1)
= 2¹⁴ + (2¹¹ + 2⁹) + (2⁶ + 2⁵ + 2⁴) + (2³ + 2² + 2 + 1)
= 2¹⁴ + 2¹¹ + 2⁹ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ + 2³ + 2² + 2 + 1
donc N = 100101001111111 = 19071 = &4A7F
Conversion hexadécimal
vers binaire facile !
& pour hexadécimal
Opérations sur
des puissances…
L’écriture hexadécimale utilise jusqu’à 4 fois moins de chiffres qu’en binaire,
ce qui facilite la tâche du programmeur et diminue la longueur des programmes.

CODE ASCII
15
American Standard Code for Information Interchange
Réf. http://www.cpptutor.com/ascii.htm Codé sur 7 bits : pas de place pour les lettres accentuées dans cette version…

17
Le son est une onde mécanique qui se propage dans l’air.
Il est modélisé par une courbe donnant la pression de l’air en fonction du temps.
Echantillonnage = prélever la valeur du signal à intervalles réguliers (au moins 40KHz)
Quantification = associer une valeur numérique à la valeur du signal.
Réf. http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~ioana/c7-sol.pdf

18
L’oreille humaine entend les fréquences comprises entre 20 Hz et 20 KHz.
Bande passante audible : environ 20 KHz.
L’échantillonnage minimum sera donc de 2 x 20 = 40 KHz.
Théorème d'échantillonnage de Nyquist
Le taux minimum d'échantillonnage nécessaire pour reconstituer le signal doit être
au moins deux fois plus élevé que la bande passante du signal analogique original.
Réf. de l’exercice : http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~ioana/c7-sol.pdf
Exercice - En vous appuyant sur le théorème de Nyquist, évaluez la taille d'un
enregistrement audio stéréo d'une heure avec un codage sur 16 bits (plage de fréquences de
22000 Hz) et celle d'un DVD quadriphonique de même durée avec un codage sur 16 bits (plage
de fréquences de 24000 Hz).
Solution - Pour une heure de musique numérisée sur 16 bits en stéréo, le calcul donne :
Fréquence d'échantillonnage : 22000 × 2 = 44000.
Soit pour chacune des deux voies : 44000 × 16 pour une seconde.
Soit pour une voie et une heure : 44000 × 16 × 3600.
Soit pour deux voies : 44000 × 16 × 3600 × 2 = 5 068 800 000 bits.
Cela fait 5068800000 / 8 = 633600000 octets, soit environ 634 Mo.
Pour le DVD quadriphonique, on obtient 48000 × 16 × 4 × 3600 = 11 059 200 000 bits,
soit 1 382 400 000 octets, c'est-à-dire environ 1,3 Go.

20
On numérise une image en échantillonnant dans les deux directions .
Les capteurs CCD des appareils photos ont une grille de capteurs espacés régulièrement.
Le code couleur de chaque pixel est retenu.

CODAGE DES COULEURS
21
Le codage couleur d'un pixel peut se faire en 3 octets, soit 24 bits. Ces octets définissent les
teintes primaires :
R = 8 bits pour le rouge
V = 8 bits pour le vert
B = 8 bits pour le bleu
Un dernier octet peut être adjoint pour préciser d’autres informations, comme la transparence.
Exemple : la couleur est codée ainsi :
R = 251 soit 11111011,
V = 208 soit 11010000,
B = 151 soit 10010111.
Son codage binaire est : 111110111101000010010111 soit &FBD097 en hexadécimal.
1 octet = 8 bits
Exemple : 01101011
Composantes RVB
28 = 256
256 x 256 x 256 = 16,7 millions de couleurs !

IMAGES BITMAP
22
• Définition = nombre de pixels dans l’image
• Résolution = nombre de pixels par unité de longueur
dpi = dot per inch = ppp = point par pouce
• Poids = nombre d’octets nécessaire pour décrire l’image
• Transparence
Pixel = picture element
1 inch = 2,54cm
On conserve seulement une description géométrique de l'images, par exemple une suite
d‘équations mathématiques qui définissent des courbes paramétrées, et des attributs (couleur,
transparence, nature et épaisseur du trait...).
IMAGES VECTORIELLES
Des matrices de pixels
pour jouer avec !
Des fonctions, des courbes
paramétrées, des tangentes et
des barycentres…

23
Réf. http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~ioana/c7-sol.pdf Un « A » en bitmap suivant la résolution.

POURQUOI COMPRESSER ?
25
Diagramme d’Eric Briantais sur http://fr.slideshare.net/briantais/standards-de-compression-audio-et-vido

COMPRESSION DE DONNÉES
26
• But : réduire le poids des fichier (son, audio, vidéo) sans trop perdre de qualité.
• Moyen : définir des couples CODEUR/DECODEUR (codec) et des normes.
• Dans la pratique, on exploite les :
• redondances spatiales (intra-images),
• redondances temporelles (inter-images),
• redondances subjectives liées à la perception d’un œil humain.
• Toutes les méthodes de compression utilisent des algorithmes mathématiques,
J’en était sûr !

ALGORITHME RLE
(RUN LENGHT ENCODING)
27
On remplace des chaînes de caractères identiques par un couple formé de la valeur du
caractère répété et du nombre de répétitions. Par exemple :
Exemple 1
Chaine à compresser : 000110010111111111001011000
Chaîne compressée : (0,3)(1,2)(0,2)(1,1)(0,1)(1,9)(0,2)(1,1)(0,1)(1,2)(0,3)
En binaire : 32211921123

ALGORITHME LZW (LEMPEL-ZIV-WELCH)
28
Exemple 2
Réf. [MAR]
(p, l, c)
p = distance entre le début du tampon de lecture et la position de répétition dans le tampon de recherche
l = longueur de la répétition
c = premier caractère du tampon de lecture différent du caractère correspondant dans le tampon de recherche
Tampon de recherche
Tampon de lecture

29
Exemple 2 (suite)
(p, l, c)
p = distance entre le début du tampon de lecture et la position de répétition dans le tampon de recherche
l = longueur de la répétition
c = premier caractère du tampon de lecture différent du caractère correspondant dans le tampon de recherche
p = 5
l = 2
c = d
Tampon de lecture
Tampon de recherche

30
Exemple 2 (suite)
Réf. [MAR]
Evidemment, il faut ensuite
écrire un algorithme et
l’implémenter, mais ça c’est
une autre histoire…

COMPRESSION JPG (AVEC PERTES)
Transformation discrète en cosinus (DCT)
Exemple 3
 C’est une transformation par blocs qui utilise des produits de matrices.
 Il existe une certaine continuité entre les valeurs des pixels. Les changements brusques
entre pixels voisins sont rares dans une photographie. L’image dépend donc d’un petit
nombre de pixels et le codage d’un pixel pourra être déduit des pixels voisins.
 Domaine mathématique utilisé : algèbre linéaire, analyse & transformée de Fourier.
Des maths de
terminale !
Coefficient (i,j) de la matrice DCT de taille N en fonction des pixels de la photo
Et encore des maths !
Formule relevée sur http://www-ljk.imag.fr/membres/Valerie.Perrier/SiteWeb/node9.html

32
Exemple d’une matrice de pixels et du résultat obtenue après multiplication par la matrice DCT :
Matrice DCT obtenue
Matrice DCT après quantification
Exemple 3 (suite)
Relevé sur [MAS]
Matrice de départ

33
En fait c’est plus compliqué !
Exemple 3 (suite)
Relevé sur [SER]

34
Exemple 3 (suite)
Réf. [SER]
On multiplie la matrice de pixels par la matrice DCT permettant de réduire l'écart entre les coefficients.
La matrice obtenue prépare les données en retenant les variation d'un pixel à l'autre.
Les coefficients sont ensuite réduits par division de chaque terme par le terme de même indice
d'une matrice de quantification. La matrice quantifiée est enfin lue en zigzag pour subir une
compression sans perte RLE suivie d'un codage Huffman.
Le parcours en zigzag augmente la probabilité d'obtenir une suite de coefficients identiques.

35
DESSINER DES POLICES DE CARACTÈRES

36
Bitmap (bmp) = Dessin donné par une matrice de pixels.
Polices crées à des tailles fixées et impossibles à redimensionner (crénelage).
Fichiers volumineux.
PostScript (ps) = Langage de programmation développé par Adobe pour décrire des pages, et
construit sur une description vectorielle des courbes (courbes de Bézier).
Permet de définir des polices de caractères « format Type 1 ».
Utilisation privilégiée dans l'industrie graphique.
Utilise 2 fichiers : l’un pour afficher la police à l'écran au format Bitmap, l’autre
pour décrire mathématiquement le dessin pour l'impression.
True Type (ttf) = Développé par Apple/Microsoft pour contrer Adobe.
Un seul fichier pour visionner et imprimer.
Utilise des courbes B-Splines carrés, similaires aux courbes de Bézier mais avec des points de
contrôle sur la courbe et non à l'extérieur : moins de points de contrôle = plus d’économies.
TROIS FORMATS IMPORTANTS

37
Les courbes de Bézier sont largement utilisées
en infographie dans tous les logiciels de dessin :
DAO (dessin assisté par ordinateur),
CAO (conception assistée par ordinateur)
CFAO (conception fabrication assistée par ordinateur).
Elles sont incontournables dans l'industrie pour créer
des pièces d'usine.
Elles permettent de générer des polices de caractères.
Elles permettent de créer des images de synthèse 3D et
sont utilisées dans les logiciels de morphing.
COURBES DE BÉZIER

38
Un changement d’échelle s’opère
facilement grâce à la description
mathématique des courbes utilisant
des points et des tangentes…
Des maths ! Fonctions, dérivation,
arcs paramétrés, tangentes, la totale,,,

39
COURBES DE BÉZIER
Le binôme de Newton !
Des coefficients binomiaux et des polynômes

41
COURBES DE BÉZIER
 M(t) est le barycentre des points Pi affectés des coefficients Bi,n(t).
 B(P₀,P₁,...,Pn) est indépendante du choix de O et de tout repère du plan.
 Elle ne dépend que des points de contrôle P₀, P₁, ..., Pn .
 Les coordonnées x(t) et y(t) de M(t) sont des fonctions polynomiales de degrés n en t.
 On obtient donc d'un chemin très « lisse » (de classe C∞) qui relie P₀ à Pn.
Des barycentres !
De l’analyse et de la géométrie !
Des vecteurs !

42
Des paraboles comme en seconde !
Liens entre dérivées et
tangentes à une courbe
Dérivation de fonctions vectorielles !
Ici t vaut 0, puis ¼, puis ½, puis 3/4

44
Les courbes de Bézier ont été inventées vers 1960 par Pierre Bézier (1910 - 1999), ingénieur français
à la régie Renault, pour concevoir des machines pour des lignes de fabrication d'automobiles
(modélisation de courbes en 2D et 3D). La solution devait être :
a) Ergonomique
L'interface doit être simple à prendre en main pour répondre rapidement aux besoins des dessinateurs.
Ici on place quelques points et la machine calcule une courbe polynomiale lisse qui approche en un
certain sens la ligne brisée formée par ces points . Bézier inventa aussi les poignées de contrôle.
b) Indépendante du choix du repère dans lequel on travaille
Utiliser des barycentres permet aux courbes de Bézier de ne dépendre que des points de contrôle.
c) Compatible avec les transformations affines
En DAO il est utile de pouvoir appliquer une transformation affine à une courbe en appliquant cette
transformation aux seuls points de contrôle. Les applications d'animation ou de morphing sont alors
plus faciles à réaliser.
Historique & intérêt

45
Gros avantage des courbes de Bézier :
Encore une propriété
géométrique !

46
Exemples de polices TTF : que de courbes mathématiques !

47
CODES CORRECTEURS D’ERREURS

PROBLEME DU TRANSFERT DE DONNÉES
48
• L’échange d’information sur n’importe quel canal de transmission n’est possible que si le
message reçu est identique au message envoyé.
• Les conditions physiques de la liaison peuvent abîmer plus ou moins le message. Toutes
les communications sont touchées : téléphoniques, internet, ADSL, optique …
• Les bits peuvent être modifiés ou effacés. Un orage violent à proximité d’une ligne
téléphonique transforme un message binaire en une succession de 0, donc détruit
l’information. Un signal venant de Mars peut ne jamais arriver sur la Terre.
• Dans des conditions normales, la probabilité de faire une erreur sur un symbole est
connue. Elle dépend des modalités de transmission (matériel, distance…).

49
L’expéditeur envoie le message « 1 ». Ce message peut subir des dommages pendant sa
transmission, et le message reçu sera « 0 » ou « 1 ».
Message envoyé
1
Message reçu
1
Message envoyé
1
Message reçu
0
Orage magnétique
OK
DEUX QUESTIONS FONDAMENTALES :
1) Comment savoir si le message reçu contient des erreurs ?
2) Comment retrouver le message envoyé à partir du message reçu ?

50
On répète le même symbole
Message envoyé
11111
Message reçu
10110
CODE À RÉPÉTITION
Message à envoyer
1
Message décodé
1
Canal de transmission
Dans cet exemple on corrige 2 erreurs et on en détecte une.
Efficacité ? Le message expédié est 5 fois plus long que l’information qu’il contient.
Le taux de transmission est 1/5.

51
Il est naturel d'allonger un message pour le protéger.
Cela revient à éloigner les mots les uns des autres.
Exemple : l'alphabet phonétique de l'OTAN reconnu par l'UIT (Union Internationale des
Télécommunications) et utilisé dans l'aviation civile :

BIT DE PARITÉ
52
Très utilisé en informatique. A un message de 7 bits, par exemple 0010110, on
adjoint un dernier bit obtenu en additionnant les 7 bits précédents. Ici :
0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 = 1
Donc on transmet l’octet : 00101101
L'adjonction d'un bit de parité permet de détecter une erreur sans la corriger. Il suffit de
faire la somme des 8 bits reçus. Si l’on obtient 0, tout va bien. Si l’on obtient 1, il y a eu
une erreur et il faut redemander la transmission du message.

53
Un archer placé au centre O d’un cercle vise une cible A parmi des cibles disposées
à égales distances sur ce cercle. La flèche atteint le point X. Quelle cible visait-il ?
PROBLÈME DU TIREUR

PROBLÈME DU TIREUR
54
Si la flèche ne peut atteindre que des points régulièrement disposés sur le cercle, et si X=g,
alors l’archer visait A.
Distance entre les cibles = 6 Correction de 2 erreurs et détection de 5 erreurs

DISTANCE DE HAMMING
55
La distance de Hamming entre deux mots de même longueur est le nombre de lettres par
lesquelles ces deux mots différent. On démontre que d est une distance,
Exemple : a = 01100011001
b = 10100001001
donc : d(a,b) = 3
Si x = (x₁,...,xn) et y = (y₁,...,yn) alors :
d(x,y) = Card ( { i ∈ [[1,n]] / xi ≠ yi } ).
Des maths !

CODES PARFAITS
57
Un code C est parfait si l’ensemble formé par les boules centrées sur les mots de code et de
rayon la capacité de correction e du code, sont toutes disjointes entre elles deux à deux et
recouvrent parfaitement l’ensemble Qn des mots possibles à l’arrivée.
Mazette, encore
des maths !
Ce code est parfait si et seulement
si cette inégalité est une égalité !

CODES PARFAITS
58
Un exemple de code parfait dont les boules B(c,e) sont de rayon 2 :
En vert les mots de code
Les lignes vertes montrent
la limite des boules
Des boules carrées ? En maths on verra
des boules encore plus étonnantes
que celles-là !

CODES PARFAITS
59
Un autre exemple :

IN THE REAL LIFE
60Tous les exemples des pages IN THE REAL LIFE sont traités en exercices dans [MER)
Les maths sont partout
présentes dans la vie réelle…

IN THE REAL LIFE
61
13 chiffres pour l’EAN 13
Des congruences !

IN THE REAL LIFE
62
Des congruences encore !

IN THE REAL LIFE
64ISBN 13
On adore les congruence !

IN THE REAL LIFE
65
Cela ne s’arrête jamais ?

IN THE REAL LIFE
66
De la géométrie et de l’algèbre !

CODES LINÉAIRES
69
Bon là on est en plein dedans !

CODES POLYNOMIAUX ET CODES CYCLIQUES
70

71

72

73

LRO = LUNAR RECONNAISSANCE ORBITER
74
Sonde spatiale de type orbiteur lancée par la NASA en 2009 pour étudier la Lune depuis son orbite.
Masse totale : 1916 kg. Sept instruments scientifiques embarqués. Orbite basse de 50 km. [NAS]

LRO = LUNAR RECONNAISSANCE ORBITER
75
To clean up transmission errors introduced by Earth’s atmosphere (left), Goddard scientists applied Reed-Solomon error correction (right),
which is commonly used in CDs and DVDs. Typical errors include missing pixels (white) and false signals (black). The white stripe indicates
a brief period when transmission was paused.

CODES DES SONDES VOYAGER
76
Photographies de Jupiter et Saturne en 1977
Images = 800 x 800 pixels avec des couleurs sur 8 bits
Données GSE (General Science and Engineering)
Utilise des codes de Golay
Diagramme : [MAR], p. 116

77
Un même principe pour les CD, DVD et les liaisons spatiales…

CD & DVD
78
Surface d’un CD agrandie : le faisceau
laser décode les cavités (pits) comme
des 1, et décode 0 sinon.
Photo : http://commons.wikimedia.org/wiki/File:REM_CD_GEPRESST.jpg
Les normes adoptées par Philips pour les CD audio
(sortis en 1982) demandent la correction d'une
rayure de 0,2 mm,
Le code CIRC permet de corriger des paquets
d'erreurs ou d'effacements de 4096 bits consécutifs,
ce qui correspond approximativement à une rayure
d'un millimètre.

80
On trouvera la présentation de cet exposé à cette adresse :
http://megamaths.perso.neuf.fr/irem/iremaccueil.html
Autre façon d’arriver au même endroit :
Taper « MégaMaths » dans Google,
puis choisir « Exposés IREM »

BIBLIOGRAPHIE
82
[COH] G. Cohen, J.-L. Dornstetter , P. Godlewski, Codes correcteurs d'erreurs, une introduction
au codage algébrique, Coll. Technique & Scientifique des Télécom, Masson, 1992.
[MAR] B. Martin, Codage, cryptologie et applications, Ed. Presses polytechniques et
universitaires romandes, Coll. Technique et scientifique des té́lé́communications, 2004.
(https://books.google.gp/books?id=SNYrhjDGlPsC)
[MAS] R. Massaoudi , Formats d’images,
ppt en http://fr.slideshare.net/rumibozu/formats-dimages
[MER] D.-J. Mercier, Codes correcteurs d’erreurs, CSIPP, 2014.
[NAS] http://lunarscience.nasa.gov/articles/nasa-beams-mona-lisa-at-the-moon/
[PAP] O. Papini & J. Wolfmann, Algèbre discrète et codes correcteurs, Springer-Verlag,
Mathématiques & Applications n⁰20, 1995.
[SER] C. Servin, Réseaux & télécoms, 4e édition, Dunod, 2013.
(Chap. 1 en http://inova.snv.jussieu.fr/ALF/servin_chapitre1_complet.htm)
[VNA] Van Lint, Introduction to Coding Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol.86,
Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, Springer, 1982.
[WEI] G. Weidenfeld & alii, Techniques de base pour le multimédia, coll. Enseignement de
l'Informatique, Masson, 1997.
[ZAN] J.P. Zanotti, Codage d'un signal audionumérique sur un support à lecture optique,
Erreurs au décodage et codes MDS, Mémoire de DEA, Université d'Aix-Marseille II, Faculté
des Sciences de Luminy, 1992.

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