Chapitre III
Contenu
III. Généralité sur les moteurs à air chaud.............................................................
III. Généralité sur les moteurs à air chaud
Définition : Le moteur Stirling est un moteur à énergie externe. Le fluide pri...
énergie solaire, énergie géothermique, énergie nucléaire, chaleur rejetée par les usines, etc.
Dans une perspective écolog...
compresse le gaz : puisque compresser un gaz à basse pression demande moins d'énergie que
ce que la dilatation d'un gaz à ...
Détente isotherme: Le gaz est maintenant à
son volume maximal. L'expansion du gaz ne
peut plus se faire vers la gauche (pi...
déplacement, sont parfaitement étanches. Ces pistons combinent un mouvement relatif lors du
changement de volume du gaz av...
Compression isotherme: Le gaz est
comprimé en restant dans la zone de la
source froide.
 Le piston moteur monte.
 Le dép...
Détente isotherme :
 Le déplaceur bouge peu,
 Le piston moteur effectue
plus de 70% de sa course, il
récupère l'énergie ...
Pour notre projet nous réaliserons un moteur du type Béta.
III.4 Déterminons la puissance mécanique utile que doit fournie...
thermique par rapport à l'air comme le montre les indications la figure (III.1) et figure (III.2)
respectivement.
Les pert...
Figure III.3. Viscosité des fluides de travail en fonction de la température
Figure III.4. Densités des fluides de travail...
Figure II.5.: Repérage et paramétrage
Notations:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Rayon de la manivelle
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Avec L la longueur constante d...
III.7. Etude thermodynamique du moteur Stirling
III .7.1. Cycle thermodynamique
Le cycle théorique est défini par quatre p...
Figure III.6: Cycle idéal du moteur Stirling
Les quatre phases du cycle théorique correspondent aux quatre étapes qui ont ...
Tableau III.4: Bilan énergétique d’un cycle Stirling idéal
Premier principe de la thermodynamique :
(1)
Pour un régénérate...
( ) ( ) ( ) (4)
L’énergie d’un gaz parfait ne dépend que de la température. Au cours d’une transformation
isotherme, l’éne...
lorsque le gaz de travail entre dans une des chambres à la température de la source
correspondante, il n’est en général pa...
: Amplitude maximale du piston
: Retard de phase du piston au déplaceur
Le mouvement étant sinusoïdale on a :
Notation :
B...
Le volume balayé par le déplaceur est égale la surface de base du déplaceur multiplié par la
course de ce dernier.
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III.8.1.1 Expression de la pression instantanée
En écrivant la loi des gaz parfaits pour chaque volume isotherme on a :
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Ainsi
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L’équation (11) devient :
A la température d’équilibre on a :
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- Pression moyenne :
√
- Pression maximale : √
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- Echange dans le volume froid : Et
(14a)
* + (14b)
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Avec ∫
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III.8.1.4.2 Energie mécanique échangée par le gaz f...
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III.8.1.4.3 Energie totale échangé par le gaz
En remplaçant par leurs expressions on a :
[ ] (
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Sachant que l’éner...
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A base des équations (18) on vérifie bien que : Ceci confirme que le fait que le
rendement est égal au cycle rendemen...
III.8.1.4.5 Déterminons les puissances moyennes échangées
Les puissances moyennes se déduisent des énergies sur un cycle e...
III.8.2 Modélisation du second ordre
A partir de la géométrie et de la cinématique du moteur, de la pression moyenne et de...
(23)
III.8.3 Evaluation des pertes dans le moteur
III.8.3.1 Défaut d’efficacité du régénérateur
La perte d’énergie entrain...
Figure III.7: Pertes mécaniques en fonction de la vitesse de rotation du moteur utilisant
l’hydrogène comme gaz de travail...
NON
OUI
OUI
FIN
Figure III.8 : organigramme du de la programme de modélisation du deuxième ordre
Choix de la puissance
méc...
III.8.5.Dimensionnement du moteur
III.8.5.1 Choix des paramètres de base
- La puissance nette fournie par le piston =7.4 K...
- Le diamètre du régénérateur : 4.54 cm
Echangeur chaud
- Volume mort chaud : 144.22cm2
- Longueur de l’échangeur : 8.88 c...
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  1. 1. Chapitre III Contenu III. Généralité sur les moteurs à air chaud.................................................................................. 2 III.1. Historique du moteur Stirling............................................................................................ 2 III.2 Principe de fonctionnement............................................................................................... 3 III.3 Les différents types de moteur Stirling .............................................................................. 4 III.3.4. Choix du type de moteur à réaliser................................................................................. 8 III.4 Déterminons la puissance mécanique utile que doit fournie le moteur.............................. 9 III .5. Choix du gaz de travail..................................................................................................... 9 III.6. Analyse cinématique du moteur...................................................................................... 11 III.7. Etude thermodynamique du moteur Stirling .................................................................. 13 III.8. Modélisation du moteur................................................................................................... 17 III.8.1.1 Expression de la pression instantanée ....................................................................... 20 III.8.1.2 Expression des échanges élémentaires de travail et de chaleur.................................. 22 III.8.1.4.5 Déterminons les puissances moyennes échangées .................................................. 27 III.8.2 Modélisation du second ordre ....................................................................................... 28 III.8.3.3 Bilan de puissance.................................................................................................... 30 III.8.4. Programme numérique de dimensionnement du moteur.............................................. 30 III.8.5.Dimensionnement du moteur ........................................................................................ 32
  2. 2. III. Généralité sur les moteurs à air chaud Définition : Le moteur Stirling est un moteur à énergie externe. Le fluide principal est un gaz soumis à un cycle comprenant 4 phases : chauffage isochore (à volume constant), détente isotherme (à température constante), refroidissement isochore puis compression isotherme. On l'appelait au début moteur à air chaud. III.1. Historique du moteur Stirling Au début du XIXe siècle, les chaudières à vapeur explosaient assez souvent. Pour répondre à ce problème, Robert Stirling imagina un moteur sans chaudière soumise à de trop fortes pressions. La chaleur est apportée de l’extérieur de la machine, ce qui réduit les risques d’explosions, car il est inutile de faire chauffer l’eau dans une chaudière à haute pression, puisque chauffer l’air ambiant par combustion suffit pour alimenter ce moteur en énergie. C'est ainsi que Stirling déposa son brevet le 27 septembre 1816. Également, la mise en place d’un régénérateur dans la tuyauterie du moteur a permis d’éviter trop de pertes d’énergie, améliorant son rendement. En 1843, son frère James « industrialisa » ce moteur, pour une utilisation dans l'usine où il était ingénieur. Toutefois, en raison d’une puissance trop faible par rapport à la machine à vapeur et, plus tard, au moteur à combustion interne, le moteur à air chaud de Stirling n’obtint pas le succès escompté. Le moteur Stirling ne fut alors plus qu’un objet d’étude pour les physiciens, qui comprendront le fonctionnement du moteur Stirling, bien après son invention, avec l’avènement de la thermodynamique. En 1871, les progrès de la thermodynamique accomplis au XIXe siècle permettent à Gustav Schmidt de décrire mathématiquement le cycle de Stirling. Il faut toutefois attendre les recherches de la compagnie néerlandaise Philips, dans les années 1930, pour que le moteur Stirling soit de nouveau étudié sérieusement et que son application dans toutes sortes de technologies soit testée : en 1938, un moteur Stirling de plus de 200 chevaux, avec un rendement supérieur à 30 % (comparable aux moteurs à essence actuels), y est créé. Cependant, cette technologie n’a des applications qu’en cryogénie. Ce n’est que dans les dernières décennies que les développements du moteur ont commencé à être intéressants pour l’industrie, à cause du besoin sociétal croissant pour les sources d’énergie alternatives. Effectivement, ce n’est pas parce que Robert Stirling utilisait la combustion pour alimenter son moteur en énergie thermique qu’il n’est pas possible d’utiliser d’autres sources d’énergie :
  3. 3. énergie solaire, énergie géothermique, énergie nucléaire, chaleur rejetée par les usines, etc. Dans une perspective écologique, c’est extrêmement intéressant, d’autant plus que le régénérateur, parce qu’il préchauffe et pré refroidit le gaz, permet littéralement de recycler de l’énergie. Ainsi, les avancées en sciences des matériaux permettent maintenant d’utiliser des matériaux qui supportent des écarts de température très importants et des composites qui améliorent le transfert de chaleur au sein du régénérateur. La situation est telle que les moteurs Stirling sont couplés avec des paraboles solaires et utilisent l’énergie solaire avec un rendement supérieur aux cellules photovoltaïques. Il a d'ailleurs battu, en 2008, le record de conversion de l'énergie solaire, avec un taux de conversion de 31,25 %, grâce à l'utilisation de miroirs paraboliques comme concentrateurs solaires. Depuis quelques décennies maintenant, le moteur Stirling revient et s’avère, dans le contexte énergétique et technologique actuel, une technologie qui a beaucoup d’intérêt. Il peut fonctionner avec toutes les sources de chaleur tant fossiles (gaz, charbon, nucléaire…) que renouvelables (biogaz, biomasse, géothermie, rayonnement solaire,…). La technologie actuelle permet au moteur Stirling d’atteindre un rendement de 40% ou plus. Et la production électrique associée peut atteindre quelques dizaines de kW. Le moteur Stirling à piston libre cumule également d’autres avantages que nous allons préciser dans la suite de cette partie. III.2 Principe de fonctionnement Le moteur Stirling fonctionne par chauffage et refroidissement alternés du gaz de travail (passant éventuellement par un régénérateur) ce qui provoque une évolution périodique de la pression qui, conjugué à la variation déphasée du volume permet d’obtenir du travail. L'objectif est de produire de l'énergie mécanique à partir d'énergie thermique. Au début du cycle, le gaz à l'intérieur du moteur est déplacé vers un lieu chauffé par une certaine source d'énergie : sa température et sa pression augmentent. Par la suite, on permet au gaz dans le piston de se dilater. Le gaz a par conséquent transformé son énergie thermique en énergie mécanique. En réalité, un gaz à haute pression qui se dilate sert à apporter énormément d'énergie mécanique. Cependant, le gaz ne peut pas se dilater illimitement : il faut compresser le gaz dans le piston jusqu'à son état d'origine (pour qu'il puisse se dilater de nouveau plus tard) en utilisant le moins d'énergie envisageable (car compresser un gaz demande de l'énergie mécanique). Pour ce faire, il faut déplacer le gaz du côté chaud au côté froid du moteur, diminuant ainsi la pression. En utilisant l'énergie mécanique auparavant apportée, on
  4. 4. compresse le gaz : puisque compresser un gaz à basse pression demande moins d'énergie que ce que la dilatation d'un gaz à haute pression apporte, on récolte un surplus d'énergie mécanique à chaque fois qu'on répète le cycle de dilatation à haute pression - compression à basse pression. Bien sûr, il faut constamment alimenter le moteur en énergie thermique. On appelle ce cycle thermodynamique le cycle de Stirling (bien que ce ne soit pas Stirling qui l'ait décrit). III.3 Les différents types de moteur Stirling De par leur configuration géométrique on distingue trois types de moteur Stirling : Alpha, Béta et Gamma. III.3.1 Le Moteur Alpha Le moteur alpha est un moteur ayant deux cylindres dans lesquels se déplacent deux pistons ; ce qui permet de séparer la source froide et la source chaude. Au cours du cycle le gaz de travail passe d’un piston à un autre. Les pistons sont placés avec un angle de 90° afin que le piston de la source froide soit en retard de 1/4 de tour sur le piston de la source chaude. Figure Description du cycle Chauffage isochore: Le gaz de travail est en contact avec la paroi chaude (en rouge) du cylindre de la partie chaude. Il est chauffé et voit donc son volume augmenter. L'expansion du gaz pousse le piston chaud au fond de sa course dans le cylindre. Le piston chaud pousse grâce à la bielle le piston froid (en bleu) vers le haut, ce qui concentre le gaz dans la partie chaude
  5. 5. Détente isotherme: Le gaz est maintenant à son volume maximal. L'expansion du gaz ne peut plus se faire vers la gauche (piston chaud en bout de course), et se fait maintenant vers le cylindre froid (en bleu). Le piston chaud envoie la plus grande partie du gaz vers le piston froid. Le piston bleu redescend, et par la bielle, pousse le piston rouge vers le haut, contribuant à la circulation du gaz vers le piston bleu. Dans le piston froid, la température baisse, et le volume du gaz diminue Refroidissement isochore: Presque tout le gaz est maintenant dans le piston froid et le refroidissement du gaz continu. La pression du gaz est à son minimum. Le piston froid, alimenté par l'inertie des pistons, commence à remonter en re-compressant le gaz. Ainsi la pression du gaz recommence à augmenter Compression isotherme: Poussé par l'inertie des pistons en mouvement, le gaz retourne vers le cylindre chaud (à gauche) où il sera chauffé une fois de plus, recommençant le cycle. Tableau III.1: Phase de fonctionnement d’un moteur Alpha III.3.2 Le Moteur Béta Le moteur Beta présente une différence radicale avec le moteur alpha, il ne possède qu’un seul cylindre combinant la source chaude et la froide. De plus les deux pistons, moteur et
  6. 6. déplacement, sont parfaitement étanches. Ces pistons combinent un mouvement relatif lors du changement de volume du gaz avec un mouvement commun qui déplace ce volume de la partie chaude à la partie froide, et vice-versa Le moteur Beta est monocylindrique. Son seul cylindre contient la chambre froide et la chambre chaude. Ce moteur est composé d’un piston moteur et d’un déplacer qui déplace le volume du gaz de la partie froide à la partie chaude. Figure Description Chauffage isochore: Le gaz est transféré de la partie froide vers la partie chaude.  Le piston moteur est quasi immobile.  Le déplaceur descend Détente isotherme: Le gaz est détendu en restant dans la zone de la source chaude.  Le piston moteur descend.  Le déplaceur l’accompagne Refroidissement isochore: Le gaz est transféré de la partie chaude vers la partie froide. le piston moteur est quasiimmobile. Et le déplaceur monte
  7. 7. Compression isotherme: Le gaz est comprimé en restant dans la zone de la source froide.  Le piston moteur monte.  Le déplaceur est quasi- immobile en partie supérieure Tableau III.2. Phase fonctionnement du moteur Beta III.3.3 Le moteur Gamma Le moteur gamma est un mélange entre le moteur alpha et le moteur bêta. Dans un cylindre le piston déplaceur joue son rôle, dans l'autre le piston moteur fait varier le volume global et récupère l'énergie. Ce type de moteur est fréquemment utilisé dans le cas de faibles écarts de température entre source froide et source chaude Ce moteur est bicylindre, il est composé d’un piston et d’un déplaceur. Le déplaceur déplace le gaz d’une zone à une autre). Le gaz subit des variations de températures qui engendrent à leur tour des variations de pression qui mettent en mouvement le piston moteur. Figures Descriptions Chauffage isochore: Le volume global est minimal, le gaz se réchauffe.  Le piston moteur bouge peu,  Le déplaceur effectue une longue course.
  8. 8. Détente isotherme :  Le déplaceur bouge peu,  Le piston moteur effectue plus de 70% de sa course, il récupère l'énergie motrice. Refroidissement isochore : Le gaz est refroidi.  Le déplaceur effectue une grande partie de sa course,  Le piston moteur bouge peu Compression isotherme: Le gaz est globalement froid.  Le déplaceur reste en partie supérieur.  le piston moteur effectue la majorité de sa course : il comprime le gaz en cédant de l'énergie mécanique Tableau III.3: phase de fonctionnement du moteur Gamma III.3.4. Choix du type de moteur à réaliser Un inconvénient du moteur de type Alpha est que : l’un des pistons de puissance est en contact avec le fluide chaud, ce qui pose un des problèmes d’étanchéité à haute température. Concernant le moteur de type Gamma il est utilisé pour d très petites puissances (de l’ordre du Watts).
  9. 9. Pour notre projet nous réaliserons un moteur du type Béta. III.4 Déterminons la puissance mécanique utile que doit fournie le moteur La puissance électrique souhaitée par le générateur et la puissance mécanique fournie par le moteur sont liées par l’expression du rendement de la génératrice. D’après une étude de spécialistes, réalisée au sein de SEI, le rendement global d’une génératrice varie peu selon la puissance et est évalué entre 82.5% et 87.3/9%. En tenant compte d’un facteur d’auto consommation de puissance électrique. Ce facteur est raisonnablement estimé entre 5% et 15%.. La puissance électrique brute à produire sera : La puissance mécanique requise pour entrainer la génératrice s’exprimera : La puissance électrique que l’on souhaite produire est : Fixons un rendement de 82.5% et un facteur d’auto consommation de 15% Ainsi la puissance mécanique requise pour entrainer la génératrice est de : III .5. Choix du gaz de travail Les fluides de travail couramment utilisés dans des moteurs Stirling se composent de l'air, de l'hélium, ou de l'hydrogène. La sélection d'un fluide de travail particulier est basée sur les propriétés des fluides suivantes : conductivité thermique, chaleur spécifique, densité, et viscosité. Un fluide de travail avec une plus grande conductivité thermique, une densité et une chaleur spécifique plus élevée permettra d'améliorer les capacités de transfert de chaleur du gaz et l'efficacité des échangeurs de chaleur. Un fluide de travail avec une plus faible densité et une viscosité réduira la chute de pression à travers le régénérateur, l'aire de travail, et l'espace vide et il améliorera par conséquent le rendement du moteur. Le fluide de travail pour des moteurs Stirling d’une haute performance est souvent l’hydrogène ou l’hélium puisqu'ils ont une plus grande conductivité thermique et une capacité
  10. 10. thermique par rapport à l'air comme le montre les indications la figure (III.1) et figure (III.2) respectivement. Les pertes de pression dans les aires de travail et le régénérateur dépendent de la viscosité et de la densité du fluide de travail. Un fluide de travail avec une faible viscosité et une faible densité aura comme conséquence une augmentation du rendement thermique. Une comparaison des viscosités et des densités pour les fluides de travail est donnée sur les figures (III.3) et (III.4) respectivement. Dans l'ensemble, l'hydrogène est le premier choix pour le fluide de travail, car il a les propriétés de transport les plus efficaces pour améliorer les performances du moteur Stirling Figure III.1. Conductivités thermiques des fluides de travail en fonction de la température (THESE_KADDOUR_ABDELMADJID)
  11. 11. Figure III.3. Viscosité des fluides de travail en fonction de la température Figure III.4. Densités des fluides de travail en fonction de la température III.6. Analyse cinématique du moteur
  12. 12. Figure II.5.: Repérage et paramétrage Notations: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Rayon de la manivelle ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Avec L la longueur constante de la bielle ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Avec x la position variable du piston ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ La rotation de la manivelle ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ La rotation de la bielle III.6.1. Déterminons la position du piston moteur à tout instant La position maximale du point B par rapport à l’origine O est : La position du point B par rapport à l’angle est La position variable du piston est alors la différence entre ces deux distances: Or √ √ Pour et en faisant un développement en série on obtient finalement III.6.2. Déterminons la position du déplaceur à tout instant Pour le piston du déplaceur il convient de prendre en compte le déphasage entre les deux. L’équation ci-dessus devient alors pour le second piston :
  13. 13. III.7. Etude thermodynamique du moteur Stirling III .7.1. Cycle thermodynamique Le cycle théorique est défini par quatre paramètres qui peuvent être par exemple les deux températures chaude et froide et les deux pressions extrêmes. Dans un moteur réel le rapport entre pressions maximale et minimale est limité par les volumes morts (de l’ordre de 1.5 sur notre moteur). Nous n’avons donc que trois paramètres à définir : les deux températures et la pression maximale. III.7.1.1. Température chaude Choisissons une température chaude de sur l’hydrogène, suffisamment élevé pour atteindre un bon rendement mais compatible avec l’utilisation de l’acier réfractaires pour l’échangeur chaud (température maximale de l’acier : 900°) III.7.1.2 Température froide Nous avons choisis une température moyenne sur l’hydrogène III.7.1.3.Pression maximale Choix de la pression déterminera le volume du moteur, puisqu’en première approximation la puissance est proportionnelle au produit de la pression et du volume. III.7.2 Le Moteur Stirling idéal Le moteur de Stirling suit le cycle thermodynamique théorique suivant dans le plan (P-V)
  14. 14. Figure III.6: Cycle idéal du moteur Stirling Les quatre phases du cycle théorique correspondent aux quatre étapes qui ont été présentées Plus haut : 1→2 : Compression isotherme à la température froide ; 2→3 : Réchauffage isochore du gaz de volume ; 3→4 : Détente isotherme à la température chaude ; 4→1 : Refroidissement isochore du volume ; Toutefois, la réalisation technique du moteur rend plus floues les frontières entre les transformations thermodynamiques : le piston peut se déplacer légèrement pendant les phases de réchauffement ou de refroidissement qui ne sont pas parfaitement isochores ; la vitesse des transferts thermiques n'est pas infinie donc les isothermes ne sont pas non plus parfaites dans la réalité. III.7.2.1 Bilan énergétique du cycle Supposons que la totalité de l'énergie calorifique perdue par le gaz lors du refroidissement est récupérée par le régénérateur, pour être transmise à la source chaude (régénérateur parfait). On a : Phase du cycle Energie reçue par le gaz 1→2 2→3 3→4 4→1
  15. 15. Tableau III.4: Bilan énergétique d’un cycle Stirling idéal Premier principe de la thermodynamique : (1) Pour un régénérateur parfait, on a : → Le rendement du cycle est égal au rapport des travaux mécaniques du gaz et de l’énergie dépensée : (2) Compression isotherme : à la température de la source froide. On passe du volume au volume tel que: ∫ Loi des gaz parfaits : ∫ ( ) ( ) (3) Détente isotherme: à la température de la source froide. On passe du volume au volume tel que: ∫ ∫
  16. 16. ( ) ( ) ( ) (4) L’énergie d’un gaz parfait ne dépend que de la température. Au cours d’une transformation isotherme, l’énergie interne du gaz parfait ne varie pas : D’où De même, D’où Le rendement (5) On retrouve le même rendement que pour une machine de Carnot. Il est important de noter que pour obtenir un cycle théorique il faut faire des hypothèses suivantes : - Les volumes morts (volumes autres que ceux des chambres de compression et de détente) sont nuls. - Les chambres sont isothermes Ces conditions sont en fait irréalisables pratiquement. Le moteur Stirling idéal n’est qu’une abstraction permettant de bien comprendre le principe de base. III.7.3. Le moteur Stirling réel : Un moteur réel se différencie du moteur idéal sur les principaux points suivants : - Les volumes morts Dans la pratique, les volumes autres que ceux balayés par les pistons, les volumes résiduels des chambres en fin de corse des pistons représentent plus de 50% du volume total. - Les chambres non isothermes L’isothermie des chambres est pratiquement irréalisable, compte tenu des mauvais échanges thermiques entre le gaz et les parois. Lorsque les chambres sont de grandes dimensons (quelques dizaine de cm3, ), la détente et la compression sont adiabatiques. En conséquent,
  17. 17. lorsque le gaz de travail entre dans une des chambres à la température de la source correspondante, il n’est en général pas à la température du gaz de la chambre. Il va donc y avoir des pertes d’entropie par mélange. - Défaut d’efficacité du régénérateur La non perfection des échangeurs entrainent un défaut d’énergie stockée, que doit fournir la source chaude, et évacuer la source froide. L’efficacité du régénérateur est un des points clés du bon rendement d’un moteur Stirling. - Les pertes thermiques vers l’extérieur - Les fuites de gaz au niveau des étanchéités des pistons et déplaceur - Les pertes par frottement mécanique - III.8. Modélisation du moteur III.8.1 Modélisation du premier ordre C’est le modèle d’une machine parfaite du point de vue thermique et mécanique (absence de pertes). Il permet, à partir des caractéristiques géométriques, cinématiques et thermodynamique du moteur, de calculer les différentes puissances mécaniques et thermiques échangées avec l’extérieur. Méthode utilisée : - Méthode de Schmidt Mouvement du déplaceur Abscisse du déplaceur : Amplitude maximale du déplaceur Le mouvement étant sinusoïdale on a : Mouvement du piston Abscisse du piston
  18. 18. : Amplitude maximale du piston : Retard de phase du piston au déplaceur Le mouvement étant sinusoïdale on a : Notation : B : rapport des sections froides et chaudes du déplaceur C : rapport des cylindrées : Masse de gaz chaud (respectivement froid) : Masse de gaz dans le régénérateur : Masse de gaz de travail total P : Pression du gaz à l’instant t. : Pression moyenne du gaz de travail : Volume mort chaud : Volume mort froid : Volume du régénérateur : Rapport du volume balayé par le piston sur le volume moyen total : Rapport du volume balayé par le déplaceur sur le volume moyen total : Rapport du volume mort froid sur le volume moyen total : Rapport du volume mort chaud sur le volume moyen total Déterminons le volume balayé par le déplaceur
  19. 19. Le volume balayé par le déplaceur est égale la surface de base du déplaceur multiplié par la course de ce dernier. Posons → Déterminons le volume balayé par le piston Le volume balayé par le déplaceur est égale la surface de base du déplaceur multiplié par la course de ce dernier Posons → Déterminons le volume total de gaz chaud Le volume total de gaz chaud est égal au volume mort chaud additionné au volume de détente. Le volume de détente est : (6) Déterminons le volume total de gaz froid Le volume total de gaz froid est égal au volume mort froid additionné au volume de compression. - Le volume de compression coté déplaceur est : (7) - Le volume de compression coté piston est: (8) - Le volume de compression est : Le volume total moyen occupé par le gaz : ̅ ̅ (9) En substituant les équations (7) et (8) à l’équation (9) on obtient le volume de gaz froid: (10)𝑉𝑡 𝑉𝑚𝑐 𝑉𝑚𝑐 𝑉𝑟 𝐵 𝑉𝑑 𝜃 𝑉𝑝 𝜃 𝜑 𝑉𝑑 𝜃
  20. 20. III.8.1.1 Expression de la pression instantanée En écrivant la loi des gaz parfaits pour chaque volume isotherme on a : - Volume chaud : - Volume froid : - Volume chaud : En additionnant on a : ( ) ( ) En exprimant les volumes en fonction de l’angle , on obtient : [( ( ) ) ( ( ) ) ]= R (11) Posons: ( ( ) ) ( ) En utilisant les relations de trigonométrie on peut écrire : ( )
  21. 21. Ainsi *[ ( ) ] [ ] + L’équation (11) devient : A la température d’équilibre on a : ( ( ) )= (12) La pression a donc une variation pseudo-périodique En dérivant cette pression par rapport à on déduit : 𝑇𝑒 * 𝑣 𝑚𝑐 𝑇𝑐 𝑣 𝑚𝑓 𝑇𝑓 𝑣𝑟 𝑇𝑟 𝑣 𝑑 ( 𝑇𝑐 𝐵 𝑇𝑓 ) 𝑣 𝑝 𝑇𝑓 + 𝛿 𝑇𝑒 * 𝑣 𝑑 ( 𝑇𝑐 𝐵 𝑇𝑓 ) 𝑣 𝑝 𝜑 𝑇𝑓 + * 𝑣 𝑝 𝜑 𝑇𝑓 + a 𝜑 𝜑 𝐶 (𝐵 𝑇𝑓 𝑇𝑐 ) 𝑃 𝑀𝑅𝑇𝑒 𝑉𝑡 𝛿 𝜃
  22. 22. - Pression moyenne : √ - Pression maximale : √ - Pression moyenne : √ Remarque : la pression moyenne est la moyenne géométrique des pressions maximum et minimum : et III.8.1.2 Expression des échanges élémentaires de travail et de chaleur Rappelons tout d’abord le premier principe de thermodynamique pour les systèmes ouverts : U étant l’énergie interne totale du système, on an : ∑ Avec : masses élémentaires reçues par le système, d’enthalpie - Echange dans le volume chaud ∑ Avec l’hypothèse des gaz parfaits, l’énergie interne spécifique ne dépend que de la température, donc , et : Et (13a) (13b)
  23. 23. - Echange dans le volume froid : Et (14a) * + (14b) - Echange dans le régénérateur : le volume et la température étant constants il n’y a pas d’échange de travail =0 et III.8.1.3 Expression du travail élémentaire totale ( ) * + En décomposant entre le travail échangé avec le déplaceur, et celui échangé avec le piston on a : ( ) III.8.1.4.Expression des énergies échangées sur un cycle III.8.1.4.1 Energie mécanique échangée par le gaz chaud ∫ En remplaçant par leurs expressions respectives (équations (11) et (13b)) on a : √ ∫ √ [ ]
  24. 24. Avec ∫ ∫ * √ a (√ a )+ ( √ ) D’où ( √ ) Comme dans un cycle alors (15) III.8.1.4.2 Energie mécanique échangée par le gaz froid ∫ En remplaçant par leurs expressions respectives (équations (11) et (15b)) on a : √ ∫ √ *[ ] [ ] + D’où [ ] ( √ ) (17) Comme dans un cycle alors 𝑊𝑐 𝑃𝑚𝑜𝑦 𝑉𝑑 𝜋 ( √ 𝛿 𝛿 ) 𝑄𝑐 𝑊𝑐
  25. 25. (16) III.8.1.4.3 Energie totale échangé par le gaz En remplaçant par leurs expressions on a : [ ] ( √ ) Sachant que l’énergie totale est aussi égale à la somme des énergies échangées avec le déplaceur et avec le piston on a : (17) On peut simplifier toutes ces équations en utilisant les expressions de et ( ( ) ) Les expressions des énergies échangées deviennent : (18) 𝑊𝑝 𝑃𝑚𝑜𝑦 𝜋[𝑉𝑝 𝜑 ] ( √ 𝛿 𝛿 ) 𝑊𝑑 𝑃𝑚𝑜𝑦[ 𝐵 𝑉𝑑 𝜋 ] ( √ 𝛿 𝛿 ) 𝑊𝑓 𝑃𝑚𝑜𝑦 𝜋[ 𝐵𝑉𝑑 𝑉𝑝 𝜑 ] ( √ 𝛿 𝛿 ) 𝑄 𝑓 𝑊𝑓 𝑊𝑐 𝑄𝑐 𝑃𝑚𝑜𝑦 𝜋 [ 𝑉𝑝 𝑉 𝑑 𝑉𝑡 𝑇𝑒 𝑇 𝑓 𝜑 ] ( √ 𝛿 𝛿 ) 𝑊𝑓 𝑄 𝑓 𝑃𝑚𝑜𝑦 𝜋 * 𝑉𝑝 𝑉 𝑑 𝑉𝑡 𝑇𝑒 𝑇𝑐 𝜑 + ( √ 𝛿 𝛿 )
  26. 26. (19) A base des équations (18) on vérifie bien que : Ceci confirme que le fait que le rendement est égal au cycle rendement de CARNOT entre et , quels que soient les volumes morts et le déphasage entre le déplaceur et le piston. III.8.1.4.4 Récapitulatif des énergies et travaux en fonction de Remarque: a) Vérifions que les énergies ont le bon signe : à la condition que (piston en retard par rapport au déplaceur) b) Le rendement utile, du point de vue du piston est donc : Avec 𝑊𝑓 𝑄 𝑓 𝛼𝑄𝑐 𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝛼 𝑄𝑐 𝑊𝑑 𝐵 𝑄𝑐 𝑊𝑝 𝐵 𝛼 𝑄𝑐 𝑊𝑃 𝑃𝑚𝑜𝑦 𝜋 * 𝑉𝑝 𝑉𝑑 𝑉𝑡 𝑇𝑒 𝑇𝑓 𝐵 𝛼 𝜑 + ( √ 𝛿 𝛿 ) 𝑊𝑑 𝑃𝑚𝑜𝑦 𝜋 [ 𝐵 𝑉𝑝 𝑉 𝑑 𝑉𝑡 𝑇𝑒 𝑇 𝑓 𝜑 ] ( √ 𝛿 𝛿 ) 𝑛 𝑢 𝑊𝑝 𝑄 𝑐 𝐵 𝛼 𝑛 𝐶𝐴𝑅𝑁𝑂𝑇 𝐵
  27. 27. III.8.1.4.5 Déterminons les puissances moyennes échangées Les puissances moyennes se déduisent des énergies sur un cycle en les multipliant par la fréquence. (21) La puissance mécanique moyenne cédée par le gaz au piston * + ( √ ) Dans la pratique , ce terme est quasiment constant La puissance mécanique maximale est : (22) La puissance est donc : - Proportionnelle à la fréquence de fonctionnement - Proportionnelle à la pression moyenne du gaz - Fonction croissante du rapport de température - Proportionnelle au volume balayé par le piston Le modèle du premier ordre permet d’effectuer un premier dimensionnement approximatif d’un moteur Stirling. 𝑞 𝑐 𝑓𝑄𝑐 𝑞 𝑓 𝑓𝑄 𝑓 𝑤 𝑑 𝑓𝑊𝑑 𝑤 𝑝 𝑓𝑊𝑝 𝑤𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑓𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑃 𝑚 𝑐𝑎 𝑚𝑎𝑥 𝑓𝑃𝑚𝑎𝑥 [𝐶𝑣 𝑝 𝑉𝑡 𝑇𝑒 𝑇 𝑓 𝐵 𝛼 ]
  28. 28. III.8.2 Modélisation du second ordre A partir de la géométrie et de la cinématique du moteur, de la pression moyenne et des températures chaude et froide du gaz, le modèle du premier ordre permet de calculer les puissances : thermique chaude , thermique froide , mécanique du déplaceur et mécanique du piston Hypothèse du modèle - Les volumes de gaz chaud et froid sont isothermes - La température dans le régénérateur est stationnaire - Les mouvements du piston et du déplaceur sont sinusoïdaux C’est le modèle qui permet d’estimer globalement chacune des puissances thermiques et mécaniques. Le modèle du deuxième ordre a comme base le modèle du premier ordre, qui permet de calculer ensuite les masses de gaz dans les différentes sections du moteur, de dimensionner les échangeurs, puis calculer toutes les pertes thermiques et mécaniques. - par frottement mécanique du piston et du déplaceur - défaut d’éfficacité des régénérateurs III.8.2.1 Déterminons la masse du gaz de travail dans le moteur : - Masse du gaz dans la partie froide → - Masse du gaz dans la partie chaude → - Masse du gaz dans le régénérateur → La masse totale du gaz est somme de toutes les masses contenues dans les différentes parties du moteur :
  29. 29. (23) III.8.3 Evaluation des pertes dans le moteur III.8.3.1 Défaut d’efficacité du régénérateur La perte d’énergie entrainée par le défaut d’efficacité du régénérateur est évaluée par la formule : (24) III.8.3.2 Déterminons les pertes mécaniques Nous déterminons les pertes mécaniques en utilisant des graphes issue d’une analyse faite par la NASA qui qui donne les pertes mécanique en fonction de la vitesse de rotation du moteur à une pression bien précise comme le montre la figure ci-dessous 𝑚 𝑟 𝑃𝑉𝑅 𝑅𝑇𝑅 𝑚 𝑐 𝑃𝑉𝑓 𝑅𝑇𝑓 𝑚 𝑐 𝑃𝑉𝑐 𝑅𝑇𝑐 𝑚 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑚 𝑓 𝑚 𝑐 𝑚 𝑟
  30. 30. Figure III.7: Pertes mécaniques en fonction de la vitesse de rotation du moteur utilisant l’hydrogène comme gaz de travail (déterminé de manière expérimentale par la NASA) III.8.3.3 Bilan de puissance - La puissance nette fournie par la source chaude est : - La puissance nette fournie par la source froide est : - La puissance nette fournie au générateur électrique est: - Puissance mécanique utile au générateur électrique : (25) III.8.4. Programme numérique de dimensionnement du moteur Un programme numérique a été conçu pour effectuer le dimensionnement du moteur avec un modèle du deuxième ordre. Du fait du bouclage des différentes équations il n’est pas possible de dimensionner le moteur de façon explicite pour une puissance utile donnée. Nous procéderons de manière itérative. La façon la plus rapide est d’itérer sur la puissance mécanique fournie par le piston 𝑃𝑢 𝑃𝑢 𝑃𝑢 𝑔 𝑞 𝑛 𝑓 𝑞 𝑓 𝑞 𝑟 𝑃 𝑚 𝑐𝑎 ; 𝑃𝑢 𝑃 𝑚 𝑐𝑎 𝑃 𝑚 𝑐𝑎 ; 𝑞 𝑛 𝑐 𝑞 𝑐 𝑞 𝑟
  31. 31. NON OUI OUI FIN Figure III.8 : organigramme du de la programme de modélisation du deuxième ordre Choix de la puissance mécanique 𝑃 𝑚 𝑐𝑎 Dimensionnement du 1er ordre : - Calcul de 𝑣 𝑝 𝑣 𝑑 𝑇𝑒 par (12) - Calcul de 𝑉𝑡 par (22) - Calcul de 𝑉𝑝 𝑉𝑑 𝑉𝑚𝑐 𝑉 𝑚𝑓 𝑉𝑟 Calcul des masses dans chaque partie du moteur par (23) Calcul des pertes thermique du au défaut du régénérateur 𝑞 𝑟 par (21) Evaluation des pertes mécanique par la figure III.7 Calcul de la puissance utile 𝑃𝑢 𝑃 𝑚 𝑐𝑎 𝑃 𝑚 𝑐𝑎 de 𝑃𝑢 (25) Impression des résultats 𝑃 𝑚 𝑐𝑎 𝑃 𝑚 𝑐𝑎 𝑃 𝑢 𝑃𝑢
  32. 32. III.8.5.Dimensionnement du moteur III.8.5.1 Choix des paramètres de base - La puissance nette fournie par le piston =7.4 KW - Fréquence : f=60 Hz - Le déphasage - Les courses du piston et du déplaceur : - Pression maximale : - Température chaude et froide : et - Les rapports de volume mort : - Le rapport de cylindre - le coefficient de la tige - L’efficacité du régénérateur Piston - Course : 10 cm - Diamètre du piston: 5.04 cm - Volume de cylindrée du piston : 199.58 cm3 Déplaceur - Course : 5cm - Volume de la cylindrée du déplaceur : 399.17 cm3 - Diamètre du déplaceur : 10.08cm - Diamètre du cylindre déplaceur : 10.09 cm - Diamètre de la tige : 2.67 cm - Longueur du cylindre déplaceur : 10.08 cm Régénérateur - Température du régénérateur : 611.5 K - Efficacité : 95% - Volume du régénérateur : 162.25 cm2 - Longueur du régénérateur : 10 cm
  33. 33. - Le diamètre du régénérateur : 4.54 cm Echangeur chaud - Volume mort chaud : 144.22cm2 - Longueur de l’échangeur : 8.88 cm Echangeur froid - Volume mort froid : 306.47 cm2 - Longueur de l’échangeur : 18.87 cm Bilan des masses contenues dans le moteur - Masse de gaz chaud : 1.19 g - Masse de gaz froid : 3.41 g - Masse de gaz dans le régénérateur : 0.53 g Bilan de puissance - Puissance thermique nette fournie par la source chaude : 11.54 KW - Puissance thermique nette cédée à la source froide : 8.42 KW - Puissance nette fournie par le moteur : 7.4KW - Puissance nette fournie au générateur électrique : 6 KW - Puissance thermique perdue : 5.44 KW - Puissance mécanique perdue : 1.4 KW

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