laboration poutre en treillis d'un code avec logicial matlab

2. Chapitre 1
Utuisation pouter en treillis en génie civil

3. 1. DEFINITION DES SYSTEMES TREILLIS
1.1. Définition
Un système réticulé ( ou à treillis ) est un système composé de barres droites
articulées entre elles à leurs extrémités.
On appelle noeuds les points d'articulation communs à plusieurs barres.
Lorsque toutes les barres et les forces appliquées sont dans un même plan, le
système est un système réticulé plan.
Un système triangulé est un système réticulé particulier formé de triangles
juxtaposes
Un treillis, ou système triangulé, est un assemblage de barres verticales,
horizontales et diagonales formant des triangles, de sorte que chaque barre subisse
un effort acceptable, et que la déformation de l'ensemble soit modérée.
Cette structure est devenue courante en construction à partir de la révolution
industrielle, pour des ponts, avions… En effet, un tel assemblage allie résistance,
rigidité et légèreté, et permet d'utiliser des éléments normalisés (barres) ; par ailleurs,
le treillis peut éventuellement être préassemblé.
Lorsqu'un treillis est soumis à un effort, certaines parties de l'assemblage sont mises
en compression et d'autres parties en tension. Par exemple, dans le cas d'un pont, les
poutres supérieures sont comprimées, les poutres inférieures sont tendues, et les
pièces en diagonale évitent le vrillage des poutres principales.

4. Les axes des barres concourent en nœuds ; ce sont les points d'assemblage des
barres. D'un point de vue mécanique, les nœuds sont modélisés par des articulations
parfaites. Initialement, pour simplifier les calculs, les charges n'étaient appliquées
qu'aux seuls nœuds ; l'utilisation de la méthode des éléments finis permet de
s'affranchir de cette simplification.
1.2. Utilisation
Pourquoi l'utilisation de poutres de ce type ?
Ces poutres sont légères, économiques, leur inertie flexionnelle peut être adaptée
par variation de hauteur de la poutre, disons que la matière de part sa distribution est
bien utilisée. Cependant elles exigent des temps de main-d’œuvre importants pour le
découpage des éléments ainsi que la réalisation de nombreux assemblages qui ne les
rendent plus compétitives que pour :
• les grandes portées,
• les bâtiments légers standardisés, produits en grande série en usine.
Ces poutres sont constituées généralement de 2 membrures reliées par diagonales
(barres inclinées) et parfois des montants ( barres verticales ). La terminologie utilisée
est variable et spécifique du matériau utilisé (acier, bois, ... ).
Lorsque les membrures sont horizontales on utilise la dénomination : poutre
treillis. Les poutres treillis les plus utilisées sont du type :
 Poutres PRATT (N)
 Pouters en (k)
 Poutres HOWE (Z)
 Poutres WARREN (W)

5. . Lorsque les membrures supérieures sont inclinées les treillis sont généralement
dénommés : Ferme.
En ce qui concerne le comportement mécanique, en assimilant une poutre treillis à
une poutre prismatique on constate que les membrures supportent l'essentiel du
moment de flexion et les diagonales ainsi que les montants résistent à l'effort tranchant.
En règle générale, il faut faire coïncider les lignes moyennes aux noeuds afin d'éviter
l'introduction de moments secondaires parasites.
Les matériaux utilisés sont : l’acier, le bois, l’aluminium et plus rarement le béton
armé.
On peut aussi réaliser des poutres treillis spatiales pour des poutres de très grande
longueur, ainsi que des nappes spatiales horizontales ou formant une voûte.
Il existe d'innombrables utilisations pour le treillis en génie civil, Par exemple dans
l’utilisation des contreventement de parasismique ou vent , et les formes utilisées dans
la mise en œuvre de l'ingénierie futuriste
Comme les plongeoir , galeries , stades , bâtiments , usines , hangars, tours
(d’antenne ,control ,électricité,,,,) , ponts , tunnels, structure d’aéroports , off shore,
station spatiale ,ports et les grands consoles
1.3. Géométrie générale
Afin d’obtenir une bonne performance structurale, le rapport de la portée sur la hauteur
de la poutre doit être choisi dans un intervalle de 10 à 15
La conception architecturale du bâtiment détermine sa géométrie extérieure et elle
gouverne la ou les pentes de la membrure supérieure du treillis.
La destination de l’espace intérieur peut conduire, soit au choix d’une membrure
inférieure horizontale
Pour obtenir une disposition efficace des barres de treillis entre les membrures, il
convient de respecter les conseils suivants :
l’inclination des barres diagonales par rapport aux membrures doit être comprise entre
35° et 55°,
les charges ponctuelles doivent impérativement être appliquées aux nœuds,
l’orientation des barres diagonales doit être telle que les barres les plus longues soient
tendues (seules les plus courtes sont susceptibles d’être comprimées
1.4. Section des barres
Plusieurs solutions sont disponibles. Les critères principaux sont :
les sections doivent être symétriques pour une flexion hors du plan vertical du treillis,

6. pour les barres comprimées, la résistance au flambement dans le plan vertical du treillis
doit être proche de celle hors-plan.
Une solution très courante, particulièrement pour les bâtiments industriels, est d’utiliser
des sections composées de deux cornières boulonnées sur des goussets verticaux et
de les relier entre elles en des points intermédiaires sur leur longueur, pour réaliser
aussi bien les membrures que les barres intérieures. C’est une solution très simple et
efficace.
Pour des efforts importants dans les barres, une bonne solution est d’utiliser :
des membrures constituées de profilés IPE, HEA ou HEB, ou une section constituée
de deux sections en U (UPE)
des diagonales formées de deux cornières jumelées.
1.5. Modélisation
Plusieurs questions se posent lors de la modélisation d’un treillis.
Il est toujours plus commode de travailler sur des modèles partiels. Pour un bâtiment
courant par exemple, il est habituel et le plus souvent justifié, de travailler sur des
modèles 2D (portique, poutre au vent de toiture, palées de stabilité) plutôt qu’un modèle
global 3D. Une ferme de toiture peut même être modélisée sans les poteaux qui la
supportent si elle est articulée sur ces mêmes poteaux.
Pour les fermes treillis, il est courant que le modèle le plus représentatif soit :
à membrures continues (et donc avec des tronçons de membrures rigidement liés à
leurs deux extrémités),
avec des barres de treillis (diagonales ou montants) articulées sur les membrures.
2. Hypothèses
 Pour déterminer les actions de liaison, on assimilera le système réticulé à un
système matériel rigide.
Par définition, un système matériel est constitué de solides au sens de la statique,
ces solides sont donc indéformables, les barres ont une longueur invariante quel que
soit l’intensité des efforts normaux et on néglige la déformation axiale des barres
provenant des sollicitations de traction ou compression. Par rigide, on entend que le
treillis est stable (isostatique ou hyperstatique).
 Les barres sont modélisées par leur ligne moyenne (ligne passant par le CDG
des sections droites).
 On suppose les barres articulées sans frottement aux nœuds (articulation
parfaite d’axe z perpendiculaire au plan du treillis).
En pratique, en construction métallique le nœud est constitué d’une plaque nommée
gousset sur laquelle les barres sont le plus souvent boulonnées ou soudées. De plus
certaines barres sont continues au passage d’un nœud. Parfois, lorsque les barres sont
des profils creux, elles sont soudées au niveau de leurs intersections. Néanmoins tant
que la longueur des barres reste grande devant les dimensions de l’assemblage, on

7. peut considérer sans grande erreur (quelques %) que cet assemblage se comporte
comme une articulation.
 On néglige le poids propre des barres devant les autres charges sollicitant le
treillis.
 Les forces extérieures sont toujours ponctuelles et appliquées au nœuds.
 Les calculs sont conduit exclusivement en élasticité.
 Les liaisons avec l’extérieur sont des appuis fixes ou des appuis mobiles
3. Sollicitations dans une barre quelconque
Conditions d’équilibres
La barre AB, soumise aux forces F et F' est à l’équilibre, si et seulement si F et F'
sont colinéaires à AB, de même normes et de sens opposés.
L : longueur initiale
S : section
E : module d’Young
Contrainte normale
𝜎 𝑁 =
𝐹
𝑆
Allongement
∆𝐿 =
𝐹𝐿
𝐸𝑆
Remarque : dans le cas de barres comprimées, il convient en pratique d’examiner
les risques de flambage.
B F '
F A
E, S, L
− F F
traction
− F F
Compression

8. 4. DETERMINATION DES EFFORTS NORMAUX DANS LES BARRES
Nous nous plaçons dans le cas des systèmes triangulés isostatiques. On dispose
de 2 méthodes :
 Méthode dite des noeuds, avec une solution analytique ou graphique, la plus
utilisée étant la solution graphique plus connue sous le nom d'Epure de
CREMONA.
 Méthode dite des coupures ou des sections, avec une solution analytique
ou graphique, la plus utilisée étant la solution analytique plus connue sous le
nom de Méthode de RITTER.
5. Calcul des déplacements
 Théorème de Castiglianoet de la charge fictive
La connaissance des efforts intérieurs et de liaison permet d'écrire l'expression de
l'énergie de déformation du système, ceci àl'aide de la relation (voir partie rappel). Au
noeud et dans la direction d'un effort extérieur, le déplacement est donnépar le
théorème de Castigliano.Pour tout autre déplacement, on a recours àl'introduction
d'une charge extérieure fictive (voir le théorème de la charge fictive).
 la méthode des déplacements,
uniquement utilisable par ordinateur,pour applequé cette methode dans ordinateur il
faut que utilisable d’analyse disponibles pour l’ingénieur se sont modifiés et accrus ,
surtout ceux utilisant les méthode numériques informatisées pour la modélisation
géométrique et la simulation du comportement
argyris publie en 1955 une approche unifiée de la méthode des forces et des
deplacements ;en 1956 tuener et clough publient une présentation systématique de la
méthode des déplacements.
Des éléménts de membrane,de coque ,de volume sont ensuite dévloppés dans le
domaine de calcul des structures discrétisées , ce sont mécaiciens qui ont utilisé en
premier les méthodes matricielles , et plus particulièrement la méthode des eléments
finis (MEF) ,pourl’analyse d’assemblages des poutres