Hydraulique

INTRODUCTION.....................................................................5
GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS ...
Hydraulique

Vérin hydraulique...............................................................................................
Hydraulique

LES DIFFÉRENTS RÉGIMES D'ÉCOULEMENT......................................... 34
Expérience de Reynolds..........
Hydraulique

CALCUL DE RÉSEAUX MAILLÉ ........................................................ 41
Conduite en parallèle......
Hydraulique

Introduction
Hydraulique

Mécanique des fluides

Mécanique

Physique

Hydrostatique
Cinématique
Dynamique

Fl...
Hydraulique
18ème siècles :

Théorie :

Bernoulli :
Euler :

Hydraulique appliquée :

Equation de conservation de l’énergi...
Hydraulique
Relation :

Poids = Masse X Accélération

Champs terrestre :

Poids = Masse X g
Poids = Masse X g
Volume
Volum...
Hydraulique

Vitesse de propagation d'une onde de pression
c=

E (isotherme)
ρ

ceau = 1470 m/s
cair = 300 m/s

Viscosité
...
Hydraulique
Tension superficielle : capillarité
A la surface d'un liquide, pas d'équilibre de la particule (dissymétrie de...
Hydraulique

Hydrostatique
Définition
Science qui étudie les conditions des fluides au repos :

- pression
- force de pres...
Hydraulique
Equation fondamentale de l'hydrostatique
Equilibre d'un cylindre à axe vertical :
équilibre des forces et proj...
Hydraulique
Différence de pression entre 2 points
pA + ρ ⋅ g ⋅ zA = pB + ρ ⋅ g ⋅ zB
pB - pA = ρ ⋅ g ⋅ (zA - zB)
d'où pB > ...
Hydraulique
Changement de référentiel de pression
pression absolue : pression avec le vide comme référence

vide = 0

pres...
Hydraulique
Tube en U

Egalité de pression : 1 pB = pA
(on peut passer de A à B sans changer de pression)

pA = pATM +

ρ ...
Hydraulique
Changement de référentielle
- surface de référence : la surface libre du liquide
- pression de référence : pAT...
Hydraulique
Paroi plane verticale, de profondeur B = cste

F=

=

∫ dF = ∫ ( ρ ⋅ g ⋅
ρ ⋅g⋅ B

h2

∫

h) ⋅ ds

ds = (B ⋅ dh...
Hydraulique
b) direction de la force
- toutes les dF sont perpendiculaire au plan de la surface
- donc elles sont parallèl...
Hydraulique

Paroi rectangulaire : hauteur h, largeur B

ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ (B ⋅ h)
2
1 ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ h2
=
2

Force :

F = pG ⋅ S =...
Hydraulique
Crève tonneau de Pascal
Liquide :
10-2 [dm2] ⋅ 100 = 1 [dm3] = 1 litre
Augmentation de pression :

ρ ⋅ g ⋅ ∆h ...
Hydraulique
Poussée sur une surface gauche (non plane)
Les dF ne sont plus // entre elles.
La somme des dF ne donne pas (e...
Hydraulique
Paroi de ¼ de cylindre (profondeur B = 1m.)
2

FX =

ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ (R ⋅ B) = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ B
2
...
Hydraulique

Force d'Archimède
Principe d'un corps immergé de forme cylindrique

On circonscrit au corps immergé un cylind...
Hydraulique
Application
Masse volumique d'un corps
Un objet pèse :

dans l'eau, 540N
dans l'air, 240N

Volume ?
P = FA + T...
Hydraulique
Equilibre des corps immergés

Equilibre : FA = P

et colinéaire

P : passe par le centre de gravité du solide
...
Hydraulique

Equation de Bernouilli
Rappel des hypothèses fondamentales

Fluide compressible :

ρ = cste
∂V = 0
∂t

Ecoule...
Hydraulique
Interprétation énergétique
Energie de vitesse
(cinétique)

Résultat d'intégration :

2

ρ ⋅ g ⋅ z + P + ρ ⋅ V ...
Hydraulique

Tube de Pilot (vue en plan)

ρ ⋅ g ⋅ ∆H

1. réaction hydrostatique : p1 – p2 =

2

2

= z2 + P2 + V 2
ρ ⋅g 2⋅...
Hydraulique

Généralisation de l'équation de Bernouilli avec machine hydraulique

2

Rappel : EE sans machine : z1 + P1 + ...
Hydraulique

Théorème des quantités de mouvement
Rappel mécanique : Théorème d'Euler = 2ème loi de Newton

∑F

ext

= m⋅a ...
Hydraulique
Effort exercé par un coude de canalisation (coude horizontal d'où Poids = 0)
k2
Donnée :

- déviation α
- débi...
Hydraulique
Exemple : trouver la puissance d'une turbine Pelton

S = 10 cm2
direction = 150 °

u = 20 m/s
V = 45 m/s

vite...
Hydraulique

Equation fluide parfait généralisé
Equation de conservation d'énergie (intégrée par une ligne de courant)

2
...
Hydraulique

F = V ⋅S ⋅ K
e

mais

avec les dérivées : ∂F = ∂V ⋅ ∂S ⋅ K

∂y

∂F c'est aussi la contrainte tangentielle :
∂...
Hydraulique

Equation de Navier-Stokes
Rappel :

fluide parfait :

ρ ∂V = ρ ⋅ F - grad p

forces de surface
(presion)

∂t
...
Hydraulique

Ecoulement laminaire
Intégration de Navier-Stokes

Ecoulement turbulent
Généralité
La vitesse près de la paro...
Hydraulique

Formule de pente de charges linéaires (de Chézy)

Hypothèse :

α

2

V1
2⋅g

P1
ρ ⋅g

2

V2
2⋅g

- α et θ son...
Hydraulique

Equation de Darcy-Weissbach (hR)

2

2

hR = λ ⋅ L ⋅ V
D 2⋅g

λ

ou

Q
hR = λ ⋅ L ⋅
D 2 ⋅ g ⋅ S2

est sans di...
Hydraulique
Formule de Strickler

V = KS ⋅ RH2/3 ⋅ J1/2

pente de la ligne de charge
Rayon hydraulique

hR = J
L

section
...
Hydraulique

Calcul de réseaux (principe et technique)

Conduite entre 2 réservoirs

E.E.1-2 :

2
2
z1 + P1 + V1 = z2 + P2...
Hydraulique

Conduite en série

E.C.

: Qi = cste

E.E.1-2 : z1 - z2 = ∆H = hR1 + hR2 + hR3 + hS1 + hS2

∆H = ∑ hRi + ∑ hS...
Hydraulique
Recherche de D

K = ? et Re = V ⋅ D = ?
D
ν

hR, L, K et ν connus

1

D – W + E.C. = D 5

2

Technique :

Re +...
Hydraulique
Calcul d'une maille
But : trouver la répartition des débits dans les différents itinéraires
2

Q
2
hR = λ ⋅ L ...
Hydraulique

Cas de plusieurs mailles
Pour la maille 1 : terme correcteur de ∆q1
Pour la maille 2 : terme correcteur de ∆q...
Hydraulique

Equations fondamentales (tjs les mêmes, mais adaptées)
Equation de continuité
Q = V⋅ S

où S n’est plus donné...
Hydraulique

Equation de quantité de mouvement (tjs valable)

∑F

ext

= ρ ⋅ Q ⋅ (V2 - V1)

équation de quantité de mouvem...
Hydraulique

Ecoulement uniforme
Dans un lit prismatique (profil en travers constant)
V = cste d’une section à l’autre
E.C...
Hydraulique

2. Formule de Bazin
Formule de Chezy + explication de « c »

87

c=

1+

γ

où γ dépend de la nature de la pa...
Hydraulique
Cas particulier :

a) canal rectangulaire, infiniment large

RH =

Q = KS ⋅ S ⋅ RH 2/3 ⋅ J1/2

B⋅t
=t
B+ 2⋅t

...
Hydraulique

Ecoulement graduellement varié
Définition

- graduellement

∂t
est petit, donc perte de charge faible
∂L

- b...
Hydraulique
2
Q ⋅B
= nobre de Froude FR
g ⋅ S3

1 - FR = 0
FR = 1

Donc un minimum pour :

La valeur de « t » qui correspo...
Hydraulique

Courbes de remous
Équations fondamentales
2
2
⎛ 2 ⎞
⋅ ∂L + t + V = t + ∂t + V + ∂⎜ V ⎟ + J ⋅ ∂L
⎜ 2⋅g ⎟
2⋅g
2...
Hydraulique

Etude qualitative et classification des lignes d’eau

a) rappel :

Si FR > 1
Si FR < 1

t < tCR
t > tCR

b)

...
Hydraulique

Illustrations en torrent

Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation

Pag...
to <=> tcr

Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation

Page 54

0

∞

contre pente
(t...
Cours hydraulique 2_annee_6
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

Cours hydraulique 2_annee_6

17 981 vues

Publié le

3 commentaires
21 j’aime
Statistiques
Remarques
Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
17 981
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
60
Actions
Partages
0
Téléchargements
2 561
Commentaires
3
J’aime
21
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

Cours hydraulique 2_annee_6

  1. 1. Hydraulique INTRODUCTION.....................................................................5 GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS DES FLUIDES ......................................... 5 HISTORIQUE .............................................................................. 5 SYSTÈME D'UNITÉ ........................................................................ 6 PROPRIÉTÉ DES FLUIDES ............................................................... 6 Définition : solides - fluides........................................................................................................6 Masse volumique, poids volumique et densité ...........................................................................6 Pression......................................................................................................................................7 Compressibilité ...........................................................................................................................7 Viscosité .....................................................................................................................................8 Tension superficielle : capillarité.................................................................................................9 La pression de vapeur saturante ................................................................................................9 HYDROSTATIQUE ................................................................10 Définition...................................................................................................................................10 Pression en un point.................................................................................................................10 Equilibre d'un prisme ................................................................................................................10 Equation fondamentale de l'hydrostatique................................................................................11 Utilisation ..................................................................................................................................11 Différence de pression entre 2 points.......................................................................................12 Pression absolue ou relative ....................................................................................................12 Changement de référentiel de pression ...................................................................................13 Application ................................................................................................................................13 Tube en U.................................................................................................................................14 Différence de pression entre 2 réservoir ..................................................................................14 Changement de référentielle ....................................................................................................15 FORCE DE PRESSION .................................................................. 15 Poussée sur une surface plane ................................................................................................15 Crève tonneau de Pascal .........................................................................................................19 Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 1 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  2. 2. Hydraulique Vérin hydraulique......................................................................................................................19 Poussée sur une surface gauche (non plane)..........................................................................20 FORCE D'ARCHIMÈDE .................................................................. 22 Principe d'un corps immergé de forme cylindrique...................................................................22 Application ................................................................................................................................23 Un iceberg flottant dans l'océan ...............................................................................................23 Equilibre des corps immergés ..................................................................................................24 Equilibre des corps flottants .....................................................................................................24 EQUATION DE BERNOUILLI ........................................................... 25 Rappel des hypothèses fondamentales ...................................................................................25 Application de l'équation de bernouilli ......................................................................................26 Généralisation de l'équation de Bernouilli avec machine hydraulique......................................28 THÉORÈME DES QUANTITÉS DE MOUVEMENT ...................................... 29 Cas de l'hydraulique .................................................................................................................29 Effort exercé par un coude de canalisation (coude horizontal d'où Poids = 0).........................30 Force d'un jet sur un aubage mobile ........................................................................................30 Cas d'embouchement...............................................................................................................31 EQUATION FLUIDE PARFAIT GÉNÉRALISÉ ........................................... 32 Equation de conservation d'énergie (intégrée par une ligne de courant) .................................32 Equation de quantité de mouvement........................................................................................32 HYDRODYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS .............................32 GÉNÉRALITÉ SUR LA VISCOSITÉ ..................................................... 32 Expérience de couette (viscosité dynamique et cinématique)..................................................32 Fluide Newtoniens en non-Newtoniens ....................................................................................33 Variation de la viscosité............................................................................................................33 EQUATION DE NAVIER-STOKES ...................................................... 34 Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 2 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  3. 3. Hydraulique LES DIFFÉRENTS RÉGIMES D'ÉCOULEMENT......................................... 34 Expérience de Reynolds...........................................................................................................34 Le nombre de Reynolds ...........................................................................................................34 ECOULEMENT LAMINAIRE ............................................................. 35 ECOULEMENT TURBULENT ........................................................... 35 Généralité .................................................................................................................................35 Equations de Reynolds.............................................................................................................35 HYDRAULIQUE DES CONDUITES (ÉCOULEMENT EN CHARGE) .35 Généralité .................................................................................................................................35 Equation de conservation d'énergie .........................................................................................35 Formule de pente de charges linéaires (de Chézy)..................................................................36 EQUATION DE DARCY-WEISSBACH (HR) ............................................ 37 En écoulement laminaire ..........................................................................................................37 En écoulement turbulent lisse .................................................................................................37 En écoulement turbulent rugueux.............................................................................................37 Régime turbulent de transition..................................................................................................37 Diagramme de Moody ..............................................................................................................37 Formule de Strickler .................................................................................................................38 Rayon hydraulique....................................................................................................................38 Perte de charges singulières ....................................................................................................38 CALCUL DE RÉSEAUX (PRINCIPE ET TECHNIQUE).................................. 39 Conduite entre 2 réservoirs ......................................................................................................39 Conduite crachant " à gueule bée " ..........................................................................................39 Conduite en série .....................................................................................................................40 TECHNIQUE DE RÉSOLUTION PAR RÉITÉRATION ................................... 40 Recherche de hR.......................................................................................................................40 Recherche de Q .......................................................................................................................40 Recherche de D........................................................................................................................41 Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 3 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  4. 4. Hydraulique CALCUL DE RÉSEAUX MAILLÉ ........................................................ 41 Conduite en parallèle................................................................................................................41 Les deux lois fondamentales de Kirchhoff................................................................................41 Calcul d'une maille ...................................................................................................................42 Cas de plusieurs mailles...........................................................................................................43 HYDRAULIQUE DES CANAUX (ÉC. EN NAPPE LIBRE) ..............43 GÉNÉRALITÉ ............................................................................ 43 Définitions.................................................................................................................................43 But de l’étude............................................................................................................................43 Classification des fluides ..........................................................................................................43 EQUATIONS FONDAMENTALES (TJS LES MÊMES, MAIS ADAPTÉES)............. 44 Equation de continuité ..............................................................................................................44 Equation de conservation d’énergie .........................................................................................44 Equation de quantité de mouvement (tjs valable) ....................................................................45 Nombre de Froude : FR............................................................................................................45 ECOULEMENT UNIFORME.............................................................. 46 Lois des pertes de charges : ....................................................................................................46 Profondeur normale..................................................................................................................47 Différents problèmes rencontrés ..............................................................................................48 ECOULEMENT GRADUELLEMENT VARIÉ .............................................. 49 Définition...................................................................................................................................49 Courbe d’égal débit « étude de la fonction Hs ».......................................................................49 Valeur de tCR en canal rectiligne ...............................................................................................50 COURBES DE REMOUS ................................................................ 51 Équations fondamentales .........................................................................................................51 Equations différentielles dans un canal prismatique ................................................................51 Etude qualitative et classification des lignes d’eau...................................................................52 Illustrations en rivière................................................................................................................52 Illustrations en torrent ...............................................................................................................53 Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 4 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  5. 5. Hydraulique Introduction Hydraulique Mécanique des fluides Mécanique Physique Hydrostatique Cinématique Dynamique Fluide parfait (viscosité nulle) Ecoulement en charge Ecoulement en nappe libre Fluide réel (écoulement permanent = indép. du temps) Généralités et propriétés des fluides Bibliographie : Hydraulique générale et appliquée (Carlier, éd. Eyrolles) Manuel d’hydraulique générale (Lencastre, éd. Eyrolle) Mécanique des fluides et hydraulique (R.V Gile) Fluid mechanics (V. Streeter anglais) Traité de génie civil (Gref et Altinater) Historique Haute antiquité dès 4’000 ans avant J.C en Mésopotamie en Egypte avec un barrage sur le nil. Le puits de Joseph au Caire de 90m de profondeur. Civilisation grecque : Ecole d’Alexandrie Archimède : 287 – 212 avant J.C Ctésibios : Pompe aspirante – refoulante Hydraule (orgue) Moyen âge : Rien Renaissance : 1452 – 1519 Léonard de Vinci : Equation de continuité Siècle des lumières : Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Vis d’Archimède Le principe d’Archimède Théorie des corps flottants Stevin (Hollande) Paradoxe de l’hydrostatique Louis 14 Torricelli Pascal (traité des liqueurs) Newton (liquide Newtoniens viscosité) Page 5 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  6. 6. Hydraulique 18ème siècles : Théorie : Bernoulli : Euler : Hydraulique appliquée : Equation de conservation de l’énergie Equation de quantité de mouvement Chézy (perte de charge) 19ème siècles : machine hydro : essai sur modèle : Temps moderne : école de Götting, Prandtl essai sur modèle Francis (turbine) Froude, Reynolds Système d'unité Cours de M. Métroz + brochure UBS Système légal : Système I international S.I. Unité encore tolérée : (pas dans le SI) - litre = 1 dcm3 Km/h Car heure au lieu de secondes KW h bar (pression) grade mm de mercure (Hg) Propriété des fluides Définition : solides - fluides Un fluide : milieu matériel continu déformable (sans rigidité) Liquide : occupe un volume déterminé, peu modifiable par la température et la pression séparation par "la surface libre" d'avec le gaz qui le surmonte Gaz : occupe tout l'espace à disposition, pas forcément uniforme, et le volume est fortement modifiable par la température et la pression Masse volumique, poids volumique et densité La masse volumique est la masse d'un corps par unité de volume et noté S.I. : masse Volume kg m3 Poids volumique : poids par unité de volume S.I. : Poids Volume Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation ρ [rhô] γ [gamma] N m3 Page 6 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  7. 7. Hydraulique Relation : Poids = Masse X Accélération Champs terrestre : Poids = Masse X g Poids = Masse X g Volume Volume Par unité de volume : ce qui donne : γ = ρ x g Densité : rapport entre le poids d'un corps et le poids d'un corps de référence ayant le même volume - eau (4°) : ρ = 1000 kg/m3 γ = 9807 N/ m3 - air (20°): Quelques valeurs: ρ= 1.20 kg/m3 ρ diminue avec la température (portance des avions pays chaud) - mercure (0°) : - mercure (20°) : ρ= ρ= 13595 kg/m3 13546 kg/m3 Pression L'ensemble des phénomènes liés aux forces de contacts transmises d'un élément à un élément Pression : p = force de surface Surface [Pa] Contrainte : p = force Surface résistance des matériaux Unité tolérée : le bar [N] [m2] 1 bar = 105 Pa Compressibilité C'est la possibilité de se déformer, en présence de forces extérieures ∆ pression ∆ volume volume init. Module de compressibilité : E = Quelques valeurs : - eau (15°) : - air (15°) : E à une unité de pression (Pa, N/m2) E = 2.16 * 109 N/m2 E = 1.13 * 105 N/m2 E = 1.58 * 105 N/m2 (isotherme) (adiabatique) sans échange de chaleur Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 7 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  8. 8. Hydraulique Vitesse de propagation d'une onde de pression c= E (isotherme) ρ ceau = 1470 m/s cair = 300 m/s Viscosité Existence d'efforts tangentiels dans un fluide Viscosité dynamique : F = ∂v ⋅ ∂s ⋅ µ ∂x µ : coefficient de viscosité dynamique [Pa*s] si µ = 0 fluide parfait si µ = cste fluide newtonien (ex: l'eau) µ ρ Viscosité cinématique : υ= Quelques valeurs: - eau (15°) : µ = 1.14*10-3 Pa*s ν = 1.14*10-6 m2/s - air (15°): µ= ν= µeau νeau Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation > < ν [nû] = m2/s 1.78*10-5 Pa*s 1.55*10-5 m2/s µair νair Page 8 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  9. 9. Hydraulique Tension superficielle : capillarité A la surface d'un liquide, pas d'équilibre de la particule (dissymétrie des fores) σ= travail = force ⋅ déplacement [j] surface surface [m2] σ [sigma] = travail nécessaire pour rester à la surface Utilisation capillarité : h = 2 ⋅σ cos θ ρ ⋅g⋅r Loi de Jurin : h=k r Quelques valeurs: - mercure : - eau : k = cste en fonction du liquide r = diamètre du tube σ= θ= σ= θ= 0.514 N/m 140° k ≅ -14 mm2 0.0736 N/m 0° k ≅ 30 mm2 La pression de vapeur saturante Si la pression augmente, la température d'ébullition augmente. (stérilisation) Si la pression diminue, la transformation du liquide se fait à une chaleur inférieure. (ébullition à température ambiante) Cavitation : Si la vitesse augmente cela diminue la pression et on a une ébullition à une température ambiante. Lorsque que la vitesse diminue la pression ré augmente et il y a une implosion des bulles de vapeur, ce qui provoque une usure. Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 9 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  10. 10. Hydraulique Hydrostatique Définition Science qui étudie les conditions des fluides au repos : - pression - force de pression - principe d'Archimède Pression en un point Les différentes forces agissantes sur un élément : Forces intérieur : elles forment un système équivalent à zéro (aucune action) Forces extérieurs : - pour qu'elle soit significative, il faut que les éléments soient très proche l'un de l'autre (force de surface) - Force de volume, lié au champ : -pesanteur - magnétique - électromagnétique Equilibre d'un prisme Relation géométrique Dx = dl * cosα Dz = dl * sinα Poids : P = ½ * (dx * dy * dz) * g * ρ Condition d'équilibre : ∑F =0 Projection sur l'axe X . 0 + dF2 – dF3 * sinα + 0 = 0 p2 *(dz * dy) – p3 *sinα *(dz/sinα) = 0 p2 = p 3 Projection sur l'axe Y : DF1 + 0 – dF3 * cosα - P = 0 p1 *(dx * dy) – p3 *cosα *(dx/cosα) –(½ * (dx * dy * dz) * g * ρ) = 0 p1 = p 3 Infiniment petit donc négligé Conclusion : elles sont donc (dFi) toutes perpendiculaires à la surface, sinon la composante tangentielle entraînerait un glissement des particules. (donc mouvement d'où pas d'hydrostatique) les coefficients p (pression) sont les mêmes dans toutes les directions Forces de pression : Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation dF = p * ds Page 10 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  11. 11. Hydraulique Equation fondamentale de l'hydrostatique Equilibre d'un cylindre à axe vertical : équilibre des forces et projection sur l'axe Oz dF2 = p ⋅ ds dF1 = (p + ∂p ⋅ dz) ⋅ ds ∂z dF2 – dF1 – P = 0 ( p ⋅ ds ) – ( (p + ( P = g ⋅ ρ ⋅ dz ⋅ ds ∂p ⋅ dz) ⋅ ds ) – ( z ⋅ ρ ⋅ dz ⋅ ds ) = 0 ∂z ∂p ⋅ dz) - (z ⋅ρ ) = 0 ∂z Forme différentielle ∂p )- ρ ⋅x =0 ∂z ∂p ( )-ρ ⋅y =0 ∂z ∂p ( )- ρ ⋅z =0 ∂z ( Donc pression en point p 2 - p1 = ρ ⋅ g (z1 - z2) Utilisation Plan de charge = indication de la pression H= p ρ ⋅g H Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 11 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  12. 12. Hydraulique Différence de pression entre 2 points pA + ρ ⋅ g ⋅ zA = pB + ρ ⋅ g ⋅ zB pB - pA = ρ ⋅ g ⋅ (zA - zB) d'où pB > pA Principe de Pascal pB - p A = ρ ⋅ g (zA - zB) On modifie la pression en A de ∆ pA sans modifier l'équilibre du système donc la pression en B est modifiée de ∆ pB (pB + ∆ pB ) – (pA + ∆ pA )= ρ ⋅ g (zA - zB) ∆ pB = ∆ pA Dans un fluide incompressible au repos les va rations de pression se transmette intégralement en tout point de la masse du fluide. Pression absolue ou relative Expérience de Torricelli zA + p ρ A Hg = zB + p ρ pA = pATM pATM = ρ B Hg pB = vide = 0 Hg ⋅ g (zB - zA) A Yverdon : zB - zA = 0.72 m de Hg donc pATM = 0.72*9.81*13'600 = 96'000 Pa ρ Hg = 13'600 Kg/m3 Au niveau de la mer, latitude moyenne (45°) avec du mercure à 0° : zB - zA = 0.76 m de Hg donc pATM = 0.76*9.806*13'595 = 101'324 Pa = 1.013 bar 101'324 Pa = ρ eau ⋅ g ⋅ Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation ∆z ∆z = 10.33 m. correspond à la hauteur du tube remplis d'eau. Page 12 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  13. 13. Hydraulique Changement de référentiel de pression pression absolue : pression avec le vide comme référence vide = 0 pression relative : pression avec pATM comme référence pATM = 0 Application Liquides superposé (non miscible : pas mélangeable) ρ1 < ρ2 < ρ3 ρ1 ρ ρ en pression relative : pATM = 0 2 3 ρ 1 ⋅ g ( zA - zB) pB + ρ 2 ⋅ g ( zB - zC) p B + pC + ρ 3 ⋅ g ( zC - zD) Pression au point D : avec pA = 0 pB - p A = pC - p B = pD - p C = pD = ρ 1 ⋅ g (zA - zB) ρ 2 ⋅ g (zB - zC) ρ 3 ⋅ g (zC - zD) ρ 1 ⋅ g (zA - zB) + ρ Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation ρ 1 ⋅ g (zA - zB) pC = pB + ρ 2 ⋅ g (zB - zC) pD = pB + pC + ρ 3 ⋅ g (zC - zD) pB = 2 ⋅ g (zB - zC) + ρ 3 ⋅ g (zC - zD) Page 13 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  14. 14. Hydraulique Tube en U Egalité de pression : 1 pB = pA (on peut passer de A à B sans changer de pression) pA = pATM + ρ 1⋅g⋅ pB = pATM + ρ 2 ⋅ g ⋅ zB 1 ρ 1⋅g⋅ ρ 1⋅ zA = zA = zA ρ 2 ⋅ g ⋅ zB ρ 2 ⋅ zB Différence de pression entre 2 réservoir px - p y = ? 1 p 4 = p5 2 p 4 = px + 3 p 5 = py + 1 px + ρ x ⋅g⋅ ρ y ⋅g⋅ ρ x ⋅g⋅ px - p y = + pour des gaz, Lx Ly + Lx = p y + ρ y ⋅g⋅ Ly ρ ρ x et ρ ⋅ g ⋅ ∆h ρ y ⋅ g ⋅ Ly + ρ ⋅ g ⋅ ∆ h ρ x ⋅ g ⋅ L + ρ ⋅ g ⋅ ∆h x x sont petit face à px - p y = Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation ρ mercure ρ ⋅ g ⋅ ∆h Page 14 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  15. 15. Hydraulique Changement de référentielle - surface de référence : la surface libre du liquide - pression de référence : pATM = 0 - axe vertical 'h' : positif vers le bas Relation fondamentale p + ρ ⋅ g ⋅ z = cste , mais avec z = - h p - ρ ⋅ g ⋅ h = cste Entre A et B pA - ρ ⋅ g ⋅ hA = pB - ρ ⋅ g ⋅ hB pA - pB = ρ ⋅ g ⋅ (hA – hB) Entre A et C pA - ρ ⋅ g ⋅ hA = pC - ρ ⋅ g ⋅ hC hc = 0 pC = pATM = 0 pA = ρ ⋅ g ⋅ hA p = ρ ⋅g⋅ h h= p ρ ⋅g Force de pression Poussée sur une surface plane Paroi plane horizontale dF = p ⋅ ds = ( ρ ⋅ g ⋅ h) ⋅ ds ∫ dF = F ∫ ( ρ ⋅g⋅ h) ⋅ ds = ρ ⋅ g ⋅ h ∫ ds = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ S D'où F= Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation ρ ⋅g⋅ h ⋅ S Page 15 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  16. 16. Hydraulique Paroi plane verticale, de profondeur B = cste F= = ∫ dF = ∫ ( ρ ⋅ g ⋅ ρ ⋅g⋅ B h2 ∫ h) ⋅ ds ds = (B ⋅ dh) h ⋅ dh h1 = = ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ 1 h2 2 h2 h1 ρ ⋅ g ⋅ ( h1+h2 ) ⋅ B ⋅ (h2 - h1) 2 pression moyenne surface F = pmoyenne ⋅ S Paroi plane inclinée a) intensité de la force F= = ∫ dF = ∫ ( ρ ⋅ g ⋅ h) ⋅ ds = ∫ ρ ⋅ g ⋅ L ⋅ sinα ⋅ ds ρ ⋅ g ⋅ sinα ∫ L ⋅ ds définit la position du centre de gravité = ρ ⋅ g ⋅ sinα ⋅ LG ⋅ S = ρ ⋅ g ⋅ hG ⋅ S = pG ⋅ S F = pG ⋅ S Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation pression au centre de gravité de la surface S Page 16 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  17. 17. Hydraulique b) direction de la force - toutes les dF sont perpendiculaire au plan de la surface - donc elles sont parallèles entre elles - et donc F est perpendiculaire au plan de la surface c) point d'application de la force (F) : centre de poussée "c" ∫ dM = F ⋅ LC calcul de d'où ∫ dM = ∫ dF ⋅ L= = Donc LC = LC = ∫ ρ ⋅g⋅ ∫dM F L2 ⋅ sinα ⋅ ds ρ ⋅ g ⋅ sinα ⋅ ∫ L2 ⋅ ds ρ ⋅ g ⋅ sinα ⋅ ∫ L2 ⋅ ds = ρ ⋅ g ⋅ sinα ∫ L ⋅ ds IOO' IOO' S ⋅ LG = inertie de la surface par rapport à l'axe OO' IOO' = IGG + S ⋅ L2G LC = On montre que : IOO' = IGG + LG S ⋅ LG S ⋅ LG LC - L G = LC = L G + inertie par rapport à un axe passant par G et // à OO' IGG S ⋅ LG IGG S ⋅ LG LC - L G ≥ 0 La figure à un axe de symétrie // à l'axe 'L' et 'C' est sur une // à l'axe 'L' passant par 'G' Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 17 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  18. 18. Hydraulique Paroi rectangulaire : hauteur h, largeur B ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ (B ⋅ h) 2 1 ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ h2 = 2 Force : F = pG ⋅ S = Position : LC - L G = IGG S ⋅ LG B ⋅ h3 12 = (B ⋅ h) ⋅ h 2 = h 6 d'où C – A = h - h - h = 2 6 h 3 Vanne circulaire : Rayon R, centre O à la hauteur h de la surface, point O = G Force : F = pG ⋅ S = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ π ⋅ R2 Position : LC - LG = hC - hG = IGG S ⋅ LG = π ⋅ R4 ⋅ 1 4 π ⋅ R 2 ⋅ hG = R 4 ⋅ hG Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation 2 Page 18 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  19. 19. Hydraulique Crève tonneau de Pascal Liquide : 10-2 [dm2] ⋅ 100 = 1 [dm3] = 1 litre Augmentation de pression : ρ ⋅ g ⋅ ∆h ≅ 104 ⋅ 10 = 105 Pa Augmentation de force ∆p ⋅ S = 105 ⋅ 1 ⋅ 0.1 = 104 N Charge normale : ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ S = 104 ⋅ 0.5 ⋅ 0.1 = 250 KN Paradoxe de l'hydraulique (by Stevin) Vérin hydraulique 2 portions dans le même plan horizontal avec la pression p p= f = F s S d'où : F = S ⋅f s volume du fluide : s ⋅ l = S ⋅ L travail à gauche : f⋅ l = p⋅ s⋅ l conservation du travail travail à droite : F ⋅ L = p ⋅ s ⋅ S ⋅ L = p ⋅ s ⋅ l s Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 19 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  20. 20. Hydraulique Poussée sur une surface gauche (non plane) Les dF ne sont plus // entre elles. La somme des dF ne donne pas (en générale) une force unique. On définit une force dans une direction donnée Intensité de ces forces (composante horizontale et verticale) dFX = dF ⋅ cosα = dF = dFX dFZ ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ ds ⋅ cosα ds projeté sur le plan verticale = dSV FX = ∫ ∫ ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ dSV dFX = FX = = ρ ⋅ g ∫ hGV ⋅ dSV = ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = pGV ⋅ SV hGV : distance du centre de gravité de la projection de la hauteur sur un plan vertical jusqu'au plan de pression nul SV : surface projetée sur le plan vertical FX : passe par le centre de poussée de SV dFZ = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ ds ⋅ sinα ds projeté sur le plan horizontale = dSH FZ = ∫ dFZ = ∫ ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ dSH = ρ ⋅ g ∫ h ⋅ dSH = ρ ⋅ g ⋅ V FZ = ρ ⋅g ⋅ V = P V : volume compris entre la surface et le plan de pression nulle FX passe par le centre de poussée de SV Cas particuliers Si la surface S possède un centre de courbure fixe (cylindre ou sphère), toutes les forces (F) passent par ce centre et donc la résultante passe aussi par ce point. Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 20 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  21. 21. Hydraulique Paroi de ¼ de cylindre (profondeur B = 1m.) 2 FX = ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ (R ⋅ B) = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ B 2 2 FZ = ρ ⋅g⋅π ⋅R ⋅B F= 2 4 ρ ⋅ g ⋅ R2 ⋅ B ⋅ 1 + π tgα = 4 2 16 FZ = π FX 2 Vanne hydraulique, liquide à gauche (B =1m.) FX = 2 ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ B 2 FZ = ρ ⋅ g ⋅ B (R 2− π ⋅ R 2) = ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ 2 (1 − π ) R 4 4 1 ⎛ π + ⎜1 − F = ρ ⋅g⋅R ⋅B⋅ 4 ⎜ 4 ⎝ 2 tgα = ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 FZ = 2(1 − π ) FX 4 Vanne hydraulique, liquide à droite (B = 1m.) 2 FX = ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ (R ⋅ B) = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ B 2 2 FZ = ρ ⋅ g ⋅ B (R 2− π ⋅ R ) 2 4 = ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ R 2 (1 − π ) 4 La force FZ passe par le centre de poussée de SV et est dirigée vers le haut. Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 21 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  22. 22. Hydraulique Force d'Archimède Principe d'un corps immergé de forme cylindrique On circonscrit au corps immergé un cylindre d'axe vertical de hauteur H A : volume compris entre le solide et le cylindre, en bas : poids P1 B : volume compris entre le solide et le cylindre, en haut : poids P2 Forces agissant sur les volume A et B 1 - F1 - P1 + p1 ⋅ S = 0 2 F2 - P2 - p2 ⋅ S = 0 PAR DEFINITION : on appelle force d'Archimède FA, la différence entre les forces F1 et F2 FA = F1 – F2 Volume de FA = (- P1 + p1 ⋅ S) - (P2 + p2 ⋅ S) = S⋅ ρ ⋅ g ⋅ H - (P1 + P2) FA = ρ ⋅g ⋅ V V : volume immergé du solide Tout corps solide plongé dans un fluide subit une poussée égale et directement opposée au poids du volume de fluide déplacé. ATTENTION 1. pour un corps flottant, prendre le volume qui est immergé 2. la force d'Archimède passe par le centre de gravité du volume de fluide déplacé et dirigée vers le haut Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 22 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  23. 23. Hydraulique Application Masse volumique d'un corps Un objet pèse : dans l'eau, 540N dans l'air, 240N Volume ? P = FA + T FA = 540 – 240 = 300N FA = ρ ⋅g ⋅ V D'où V = FA = ρ ⋅g 300 = 0.031 m3 = 31 dm3 = 31 litres 1000 ⋅ 9.81 Masse volumique ? ρeau ⋅ g = 1800 kg/m3 ρ = masse = P ⋅ volume g FA Un iceberg flottant dans l'océan ρ glace : 912 kg/m3 ρ eau salée : 1025 kg/m3 partie visible : 600 m3 : V1 volume total de l'iceberg ? Condition : P = FA poids total (V1 + V2) ⋅ V2 = V1 ⋅ volume immergé ρ glace ⋅ g = V2 ⋅ ρ eau salée ⋅ g ρ glace = 4843 m3 ρ eau salée ⋅ ρ glace Volume iceberg = 4843 + 600 = 5443 m3 Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 23 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  24. 24. Hydraulique Equilibre des corps immergés Equilibre : FA = P et colinéaire P : passe par le centre de gravité du solide FA : passe par le centre de gravité du volume du fluide déplacé C et G sur une même verticale = équilibre stable C et G sur une même verticale = équilibre instable C et G confondu = équilibre indifférent Equilibre stable Equilibre des corps flottants Ex : une balle de ping pong. La position relative de C et G ne suffit pas pour déterminer l'équilibre. C'est le métacentre. Equilibre stable Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 24 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  25. 25. Hydraulique Equation de Bernouilli Rappel des hypothèses fondamentales Fluide compressible : ρ = cste ∂V = 0 ∂t Ecoulement permanent : Force de volume due à l'apesanteur x=0 y=0 z=0 F hypothèse supplémentaire : intégrale de l'équation intrinsèque le long de la ligne de courant 2 ρ ⋅ g ⋅ z + P + ρ ⋅ V = cste 2 Autre forme de l'équation : 2ème équation fondamentale de l'hydraulique Divisant par 2 z + P + V = cste ρ ⋅g 2⋅g ρ ⋅g : équation de Bernouilli ou équation de conservation d'énergie (E.E.) 2 2 = z2 + P2 + V 2 ρ ⋅g 2⋅g 2⋅g E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1 ρ ⋅g charge H2 charge H1 2 Plan de charge : z + 2 P +V ρ ⋅g 2⋅g La ligne piézométrique : z + c'est aussi : Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation V1 2⋅g P1 ρ ⋅g 2 V2 2⋅g P2 ρ ⋅g P ρ ⋅g 2 H- V 2⋅g Page 25 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  26. 26. Hydraulique Interprétation énergétique Energie de vitesse (cinétique) Résultat d'intégration : 2 ρ ⋅ g ⋅ z + P + ρ ⋅ V = cste 2 Energie potentielle Energie de pression (de hauteur) ! ! ! conservation de l'énergie totale ! ! ! par unité de volume Energie : Le Joule = Newton * mètres Alors que : P= Pa = Newton Mètre2 Application de l'équation de bernouilli Ecoulement par un orifice 2 2 = z2 + P2 + V 2 ρ ⋅g 2⋅g 2⋅g E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1 ρ ⋅g pATM pATM V1 très petit V1/2g = 0 E.E.1-2 : (z1 - z2) 2g = V22 V2 = ∆H 2g ⋅ ∆H formule de torriceli Débit : Q = V2 ⋅ S2 Equation de continuité (E.C.) Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 26 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  27. 27. Hydraulique Tube de Pilot (vue en plan) ρ ⋅ g ⋅ ∆H 1. réaction hydrostatique : p1 – p2 = 2 2 = z2 + P2 + V 2 ρ ⋅g 2⋅g 2⋅g 2. E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1 ρ ⋅g ∆H z1 = z2 = 0 car même altitude V1 = déviation à 90° = 0 (ATTENTION : uniquement plan horizontal) E.E.1-2 : P1 - P2 = V 2 ρ ⋅g donc : V2 = 2 d'où : ∆H = V 2 2⋅g 2 2⋅g 2 ⋅ g ⋅ ∆H Tube de Venturi 1. réaction hydrostatique : p1 – p2 = 2 2. E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1 ρ ⋅g E.E.1-2 : P1 - P2 = ρ ⋅g 2⋅g ρ ⋅ g ⋅ ∆H = z2 + P2 + V 2 ρ ⋅g 2⋅g 1 ( 2 − 2) 2 ⋅ g V2 V1 ou encore : (ATTENTION : uniquement plan horizontal) 2 ⋅ g ⋅ ∆H =V 22 −V 12 3. E.C. : Q = cste = V1 ⋅ S1 = V2 ⋅ S2 Q 2 Q 2 ) −( ) S2 S1 Si on cherche le débit : 2 ⋅ g ⋅ ∆H = ( 2 2 ⋅ g ⋅ ∆H = Q ( 1 2 − 1 2 ) S2 S1 2 V1 2⋅g 2 ∆H V2 2⋅g Q = ... P1 ρ ⋅g P2 ρ ⋅g Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 27 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  28. 28. Hydraulique Généralisation de l'équation de Bernouilli avec machine hydraulique 2 Rappel : EE sans machine : z1 + P1 + V 1 ρ ⋅g 2⋅g = z2 + P2 + V 2 ρ ⋅g 2⋅g = charge H1 charge H2 Avec machine ∆HP ∆HT 2 V1 2⋅g pompe : H1 turbine : H1 = = H3 - ∆HP H2 + ∆HT P1 ρ ⋅g 2 z1 + P1 + V 1 = z2 + P2 + V 2 ± ∆HT / P ρ ⋅g 2⋅g ρ ⋅g 2⋅g Puissance d'une turbomachine (pas de démo.) Relier la "puissance" de la machine aux grandeurs usuelles de l'hydraulique Puissance = Energie * 1 Temps = Déplacement * Force * 1 Temps Déplacement * accélération * masse * m. Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation P= m/s2 * kg/m3 ∆H puissance : * * g * ρ 1 Temps * 1/s * m3 * Q ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ ∆ HT / P [watts] Page 28 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  29. 29. Hydraulique Théorème des quantités de mouvement Rappel mécanique : Théorème d'Euler = 2ème loi de Newton ∑F ext = m⋅a = ∂(m ⋅ V) ∂t m ⋅ V : impulsion ou quantité de mouvement Cas de l'hydraulique Hypothèse : - mouvement permanent - fluide incompressible - filet liquide sur la section droite - pas d'écoulement à travers le "tube" de courant Ø = cste V = cste Démonstration : Volume initial ABCD ( à l'instant t) Volume devient A'B'C'D' ( à l'instant t + ∆t) - par continuité : ABB'A' = CC'DD' = Q * dt - pour écoulement permanent, quantité de mvt de A'B'CD reste le même - la variation de quantité de mvt sera : m1 = Q ⋅ ∂t ⋅ρ m2 = Q ⋅ ∂t ⋅ρ ∂(m ⋅ V) = m2 ⋅ V2 - m1 ⋅ V1 mais : ∂(m ⋅ V) = ρ ⋅ Q ⋅ ∂t ⋅ (V2 - V1) et comme ∑F ext = ρ ⋅ Q ⋅ (V2 - V1) ∑F ext = ∂(m ⋅ V) ∂t équation de quantité de mouvement (théorème d'Euler) forces de pesanteur F ext = P K (= force nécessaire pour maintenir le liquide à l'intérieur) force de réaction des parois sur le fluide R force de pression Rem. : c'est une équation vectorielle, donc pour l'utiliser, il faut faire les projections sur les axes. Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 29 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  30. 30. Hydraulique Effort exercé par un coude de canalisation (coude horizontal d'où Poids = 0) k2 Donnée : - déviation α - débit Q - section S1 et S2 k1 α Projection sur X : 0 + k1 - k2 ⋅ cosα - RX = ρ ⋅ Q(V2 ⋅ cosα- V1) 0 + (p1 ⋅ S1) - (p2 ⋅ S2) ⋅ cosα - RX = ρ ⋅ Q(V2 ⋅ cosα- V1) Projection sur Y : 0 + 0 - k2 ⋅ sinα + RY = ρ ⋅ Q(V2 ⋅ sinα - 0) 0 + 0 - (p2 ⋅ S2) ⋅ sinα + RY = ρ ⋅ Q(V2 ⋅ sinα ) 2 équations à 6 inconnues ( p1, p2, V1, V2, RX, RY) E.C. : Q = V1 ⋅ S1 Q = V2 ⋅ S2 E.E. : z1 + P1 + V 1 = z2 + P2 + V 2 ρ ⋅g 2⋅g ρ ⋅g 2⋅g et + 2 équations 2 + 1 équation 5 équations à 6 inconnues !!! pour résoudre, il faut une donnée en plus. Force d'un jet sur un aubage mobile Principe : - vitesse absolue du jet V - vitesse absolue périphérique de l'aubage u - vitesse relative du jet par rapport à l'aubage ( V - u ) - débit reçu par l'aubage Q = S ( V - u ) - puissance de la turbine P = RX ⋅ u Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 30 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  31. 31. Hydraulique Exemple : trouver la puissance d'une turbine Pelton S = 10 cm2 direction = 150 ° u = 20 m/s V = 45 m/s vitesse relative : 45 – 20 = 25 m/s α 25 ⋅ 0.0010 = 0.025 m /s 3 débit relatif : pression = pATM = 0 E.E. : ( V - u ) = cste le long de l'aubage - RX = ρ ⋅ Q(Vsortie - Ventrée ) E.M. : (V - u ) ⋅ cosα (V - u) - RX = ρ ⋅ Q(V - u ) ( cosα - 1) puissance : = 1167 KN P = 1167 ⋅ 20 = 23.3 KW Cas d'embouchement E.M. : ∑F ext = ρ ⋅ Q(Vsortie - Ventrée ) Il faut reprendre l'équation de base avec: ∑F ext Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation c'est faux d'utiliser cette équation ∂(m ⋅ V) = ρ [ ∑(Q ⋅ Vsortie) - ∑(Q ⋅ V Page 31 entrée )] WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  32. 32. Hydraulique Equation fluide parfait généralisé Equation de conservation d'énergie (intégrée par une ligne de courant) 2 2 z1 + P1 + α1 ⋅ U1 = z2 + P2 + α2 ⋅ U2 2⋅g 2⋅g ρ ⋅g ρ ⋅g U = vitesse moyenne = Q/S α = coefficient de Coriolis 1 < α < 2 Domaine usuel du G.C. : 1.05 < α < 1.10 Equation de quantité de mouvement ∑F ext = ρ ⋅ Q ⋅ (β2 ⋅ U2 - β1 ⋅ U1) U = vitesse moyenne = Q/S α = coefficient de Boussinesq Domaine usuel du G.C. : 1 < β < 1.35 β = 1.05 Hydrodynamique des fluides réels Généralité sur la viscosité Expérience de couette (viscosité dynamique et cinématique) Le cylindre extérieur tourne Le cylindre intérieur fixe grâce à une force F : force qui empêche le cylindre intérieur de tourner F : proportionnelle à la vitesse F : proportionnelle à la surface (2*π*R*H) F : inversement proportionnelle à "e" F : lié à la nature du fluide (K) Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 32 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  33. 33. Hydraulique F = V ⋅S ⋅ K e mais avec les dérivées : ∂F = ∂V ⋅ ∂S ⋅ K ∂y ∂F c'est aussi la contrainte tangentielle : ∂S τ = ∂V ⋅ K ∂y ou encore ∂F = ∂V ⋅ K ∂S ∂y K = coefficient de viscosité dynamique noté aussi µ τ = ∂V ⋅ µ ∂y aussi τ = grad. V ⋅ µ Viscosité cinématique : Par définition la viscosité cinématique : ν = µ ρ Unité de viscosité dans le S.I.: µ= Dynamique : τ ∂V ∂y µ ν= ρ Cinématique : [Pa*sec.] [m2/sec.] Fluide Newtoniens en non-Newtoniens (répartition de τ fonction de ∂V ) ∂y τ -µ=0 axe ∂V = fluide parfait - µ = cste droite passant par l'origine = fluide Newtonien (eau..) - µ ≠ cste courbe passant par l'origine (sang, encre, lait..) -µ= ∞ solide élastique = axe ∂y τ ∂V ∂y Variation de la viscosité Influence de la pression Influence de la température Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation : : très faible pour les liquides très importante température augmente viscosité diminue ex. : l'huile dans une poêle Page 33 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  34. 34. Hydraulique Equation de Navier-Stokes Rappel : fluide parfait : ρ ∂V = ρ ⋅ F - grad p forces de surface (presion) ∂t forces de volume (poids) forces d'inertie fluide visqueux : on ajoute les forces de viscosités (efforts normaux et tangentielle) ρ ∂V = ρ ⋅ F - grad p - f ∂t forces de viscosités ∂V =F - 1 ⋅ grad p + ν ⋅ ∇2 ⋅ V ρ ∂t Les différents régimes d'écoulement Expérience de Reynolds "débit" faible "débit" augmente "débit" encore plus "débit" encore plus plus : le filet colorant ne se mélange pas : le filet oscille en forme de sinusoïde : la sinusoïde oscille : le filet explose et se mélange = écoulement laminaire = écoulement critique = écoulement turbulent Le nombre de Reynolds Le critère de passage d'écoulement laminaire à écoulement turbulent et inversement, c'est le nombre de Reynolds : Re = Zone critique pour Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation V⋅D ν avec D = diamètre et ν = viscosité cinématique 2'000 < Re < 5'000 Page 34 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  35. 35. Hydraulique Ecoulement laminaire Intégration de Navier-Stokes Ecoulement turbulent Généralité La vitesse près de la paroi change de répartition Equations de Reynolds On ajoute aux équations de Navier-Stokes les forces de turbulence f ': ρ ∂V = ρ ⋅ F - grad p - f - f ' ∂t Comme ce sont des vecteurs, on effectue ensuite la projection sur les axes. Hydraulique des conduites (écoulement en charge) Généralité Domaine d'étude : conduite entièrement remplie d'un seul fluide Hypothèse : fluide incompressible ρ = cste écoulement permanent champs d'apesanteur (X = 0; Y = 0; Z = -g) Equation de conservation d'énergie 2 2 z1 + P1 + α1 ⋅ U1 = z2 + P2 + α2 ⋅ U2 ± ∆HT / P + hR 2⋅g 2⋅g ρ ⋅g ρ ⋅g Perte d'énergie le long de la conduite Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 35 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  36. 36. Hydraulique Formule de pente de charges linéaires (de Chézy) Hypothèse : α 2 V1 2⋅g P1 ρ ⋅g 2 V2 2⋅g - α et θ sont petit d'ou cosα = 1 et cosθ =1 - sinα = tgα = J - sinθ = tgθ τ0 P2 ρ ⋅g V12 = z2 + P2 + V22 + h E.E.1-2 : z1 + P1 + R ρ ⋅g ρ ⋅g 2⋅g =0 1) θ 2⋅g =0 hR = (z1 - z2) + P1 - P2 ρ ⋅g E.M. projection l'axe du tuyau périmètre du tuyau (p1 ⋅ S1) - (p2 ⋅ S2) + G ⋅ sinθ - τ0 ⋅ P ⋅ ∆L = 0 avec ∆L = z1 - z2 sinθ ρ ⋅ g ⋅ ∆L ⋅ S en divisant ensuite par ρ ⋅g : 2) (z1 - z2) + P1 - P2 = ρ ⋅g d'où : 2 τ ⋅ P ⋅ ∆L = hR ρ ⋅g S 0 hR = V ⋅ ∆L g ⋅ K RH Formule de Chézy : Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation mais τ J= V ⋅ 1 g ⋅ K RH c= Page 36 0 2 hR = J ∆L V = c ⋅ J ⋅ RH 2 =V ρ K S = rayon hydraulique RH p En hydro : K ⋅ g = coefficient de Chézy WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  37. 37. Hydraulique Equation de Darcy-Weissbach (hR) 2 2 hR = λ ⋅ L ⋅ V D 2⋅g λ ou Q hR = λ ⋅ L ⋅ D 2 ⋅ g ⋅ S2 est sans dimension et fn(Re et rugosité relative) En écoulement laminaire λ Equation de Naver-Stockes : En écoulement turbulent lisse = 64 Re avec Re = V ⋅ D ν K=0 Equation de von Karman: 1 = - 2,0 ⋅ log ⎛ 2,51 ⎞ ⎟ ⎜ λ ⎝ Re ⋅ λ ⎠ En écoulement turbulent rugueux K ≠ 0 Equation de Nikuradge : 1 = - 2,0 ⋅ log ⎛ K ⎞ ⎜ 3,7 ⋅ D ⎟ ⎝ ⎠ λ Régime turbulent de transition ⎛ 2,51 Equation de Colebrook et White : 1 = - 2,0 ⋅ log ⎜ + λ ⎝ Re ⋅ λ K ⎞ ⎟ 3 ,7 ⋅ D ⎠ Diagramme de Moody Attention, question d'examen final Voir feuille annexe harpe de Nikuradge Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 37 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  38. 38. Hydraulique Formule de Strickler V = KS ⋅ RH2/3 ⋅ J1/2 pente de la ligne de charge Rayon hydraulique hR = J L section périmètre mouille Coefficient de Strickler [m1/3 / s] 30 < KS < 120 Vitesse moyenne de l'écoulement ATTENTION : pour le calcul de conduite en nappe libre !!! Rayon hydraulique RH = section périmètre mouillé Pour une conduite circulaire : RH = π ⋅ D2 ⋅ 1 = D 4 π⋅D 4 On peut toujours trouver RH pour une conduite quelconque. On remplace D par le diamètre équivalent = 4* RH. Ceci est satisfaisant quand la forme de la conduite s'approche d'un cercle. Perte de charges singulières Outre les pertes de charges linéaires, on trouve des particularité (singulières) dues : changement de section brusque changement de direction brusque ou de pente vannes, grille, crépine problème de joints : environ 2 à 5% de hR hS = 2 ζ V 2⋅g ζ est en fn de la géométrie et éventuellement du nombre Re Réf. Bibliographique : Mémento des pertes de charges, éd. Eyrolles Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 38 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  39. 39. Hydraulique Calcul de réseaux (principe et technique) Conduite entre 2 réservoirs E.E.1-2 : 2 2 z1 + P1 + V1 = z2 + P2 + V2 + hR ρ ⋅g 2⋅g ρ ⋅g 2⋅g =0 =0 =0 =0 hR = z1 - z2 = ∆H D-W : 2 hR = λ ⋅ L ⋅ V D 2⋅g ATTENTION : la ligne de charge est indépendante de la pente du tuyau !!! Conduite crachant " à gueule bée " E.E.1-2 : 2 2 z1 + P1 + V1 = z2 + P2 + V2 + hR ρ ⋅g 2⋅g ρ ⋅g 2⋅g =0 =0 =0 2 hR = V2 + ∆H 2⋅g 2 D-W : V2 2⋅g 2 hR = λ ⋅ L ⋅ V D 2⋅g Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 39 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  40. 40. Hydraulique Conduite en série E.C. : Qi = cste E.E.1-2 : z1 - z2 = ∆H = hR1 + hR2 + hR3 + hS1 + hS2 ∆H = ∑ hRi + ∑ hSi i hS = ζ ⋅ i 2 V 2⋅g Technique de résolution par réitération Recherche de hR Q, L, D, K et ν connus Rugosité rel. = K D Re = V⋅D ν diagramme Moody : λ D – W : hR Recherche de Q hR, L, D, K et ν connus calcul de la rugosité rel. = Choix de λ Re = Vitesse V V⋅D ν K D diagramme Moody : avec λ ' λ' λ' = λ ? si oui : stop si non 2 calcul de Q avec D – W : Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Q hR = λ ⋅ L ⋅ D 2 ⋅ g ⋅ S2 Page 40 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  41. 41. Hydraulique Recherche de D K = ? et Re = V ⋅ D = ? D ν hR, L, K et ν connus 1 D – W + E.C. = D 5 2 Technique : Re + E.C = Re et K' D 2 1 Q hR = λ ⋅ L ⋅ D 2 ⋅ g ⋅ S2 2 Re = Choix de λ 5 D =λ⋅ 8 ⋅ L ⋅ Q2 g ⋅ π 2⋅ hR V⋅D = 4⋅Q ⋅ 1 ν π ⋅ν D 2 calcul Re et K' D 1 calcul D Moody : λ' λ' avec λ ' = λ ? si oui : stop si non Calcul de réseaux maillé Conduite en parallèle Q = Q1 + Q2 A et B = noeuds Les deux lois fondamentales de Kirchhoff 1. pour un nœud : ∑Q entrant = ∑Q sortant convention de signe : les débits entrants et sortants sont de signe contraire. d'où : 2. pour une maille : ∑Q=0 la perte de charge est la même quel que soit l'itinéraire : hR (A-B) convention de signe pour un itinéraire complet (A a) = hR (A-B) b) A) : Q est > 0 s'il est choisi dans le sens positif et hR a le signe de Q d'où : Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation ∑Q=0 Page 41 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  42. 42. Hydraulique Calcul d'une maille But : trouver la répartition des débits dans les différents itinéraires 2 Q 2 hR = λ ⋅ L ⋅ = m⋅Q D 2 ⋅ g ⋅ S2 (1) (2) hR = m ⋅ Q Q Hyp. : Choix arbitraire des répartitions Qa et Qb Répartition exacte : Qa' = Qa + ∆q Avec cette répartion : Qb' = Qb - ∆q ∑ h '=0 R ma (Qa + ∆q) - mb (Qb - ∆q) = 0 2 Alors : 2 2 ⋅ ∆q (ma ⋅ Qa + mb ⋅ Qb) + ∆q 2 ( . . . ) = - ma ⋅ Qa + mb ⋅ Qb 2 2 2 = 0 car au carré devient très petit 2 Avec (1) : La formule 2 ma ⋅ Qa - mb ⋅ Qb 1 ∆q = ⋅ ma ⋅ Qa + mb ⋅ Qb 2 ∆q = - : Avec (2) : ∆q = - hRa - hRb ⋅ 1 hRa + hRb 2 Qa Qb ∑h 2⋅∑ h Q Ri Ri i Exemple : Q = 200 l/s K = 0.1 mm L1 = 500 m D = 30 cm ν = 1.3*10-6 m3/s L2 = 600 m D = 20 cm Tronçon AB BA Q choisis [l/s] + 140 - 60 hR [m] + 5.54 - 10.17 - 4.63 hR/Q 0.0396 0.1695 0.2091 ∆q [l/s] + 11.1 + 11.1 Q corrigé [l/s] + 151.1 - 48.9 200.0 AB BA + 151.1 - 48.9 + 6.37 - 6.82 - 0.45 0.0421 0.1395 0.1816 + 1.2 + 1.2 + 152.3 - 47.7 200.0 Contrôle : on calcule avec les nouveaux débits les hR jusqu'à ce qu'il soit identique. Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 42 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  43. 43. Hydraulique Cas de plusieurs mailles Pour la maille 1 : terme correcteur de ∆q1 Pour la maille 2 : terme correcteur de ∆q2 ATTENTION tronçon commun AB affecte la maille 1 de - ∆q2 affecte la maille 2 de - ∆q1 Voir exemple sur feuille annexe Hydraulique des canaux (éc. En nappe libre) Généralité Définitions Il y a une surface de liquide avec un gaz (l’air à la pATM) But de l’étude - relation entre forme des frontières, débit, ligne d’eau transformation d’énergie potentiel / cinétique particularités d’écoulement dues à des obstacles Classification des fluides Ecoulement permanent : - écoulement uniforme : section transversalle (y.c. ligne d’eau) = cste - écoulement varié : - ec. graduellement varié : courbe de remous - ec. brusquement varié : ressaut hydraulique Ecoulement non permanent : - onde de transition - houle Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 43 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  44. 44. Hydraulique Equations fondamentales (tjs les mêmes, mais adaptées) Equation de continuité Q = V⋅ S où S n’est plus donné par le profil entier mais par la section d’eau Equation de conservation d’énergie Particule à la surface : 2 (z+t) hauteur + 0 V 2⋅g + pression + cinétique hR = cste perte de charge Hyp : V = cste dans une section transversale (α = coefficient de Coriolis = 1) Particule dans le liquide : ( z + t’ ) + 2 P ρ ⋅g V + + 2⋅g = t’’ (idem, si R est très grand) hR = cste or t’ + t’’ = t 2 (z+t) + V 2⋅g Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation + hR = cste = H Page 44 où H est la charge hydraulique WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  45. 45. Hydraulique Equation de quantité de mouvement (tjs valable) ∑F ext = ρ ⋅ Q ⋅ (V2 - V1) équation de quantité de mouvement (théorème d'Euler) P (poids) force de pression K (= force nécessaire pour maintenir le liquide à l'intérieur) force de réaction des parois sur le fluide R force de pesanteur F ext = Rem. : c'est une équation vectorielle, donc pour l'utiliser, il faut faire les projections sur les axes. Ec. en charge Ec. en nappe libre ρ ⋅g ⋅H p = cste p= Force de pression = p ⋅ S Force de pression = pG ⋅ S Nombre de Froude : FR V2 1 Force d' inertie masse ⋅ accél. vitesse 2 1 ⋅ = ⋅ = = = L g Force de gravité masse ⋅ g longêur g Q2 1 Q 2 ⋅ L' 1 Q 2 ⋅ L' 1 ⋅ = 2 ⋅ ⋅ = S2 ⋅ L g S3 g S ⋅ L ⋅ L' g FR = Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Q2 ⋅ B 1 ⋅ S3 g Page 45 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  46. 46. Hydraulique Ecoulement uniforme Dans un lit prismatique (profil en travers constant) V = cste d’une section à l’autre E.C. S = cste t = cste ∂H =0 ∂x E.E. : charge H = cste 2 H= z + t + V + h R 2⋅g V2 ∂( ) ∂H ∂z ∂t ∂hR 2⋅g = + + + = 0 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x J = pente de la ligne de charge -Jo = pente du lit du canal = -Jo + 0 + 0 + J = 0 D’où Jo = J Conclusion : les 3 lignes lit du canal ligne d’eau ligne de charge sont parallèles. Lois des pertes de charges : 1. Formule de Chézy : V = c ⋅ J ⋅ RH RH = Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation c = coefficient de Chézy [m1/2/s] V = vitesse moyenne de l’écoulement RH = rayon hydraulique J = pente de la ligne de charge 13 (rugueux) < c < 120 (lisse) Surface périmètre mouillé Page 46 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  47. 47. Hydraulique 2. Formule de Bazin Formule de Chezy + explication de « c » 87 c= 1+ γ où γ dépend de la nature de la paroi (0.06 (lisse) à 1.75 (rugeux)) RH 3. Formule de Strickler RH : rayon hydraulique J : pente de la ligne de charge V = KS ⋅ RH2/3 ⋅ J1/2 Ks : coefficient de Strickler [m1/3 / s] Q = KS ⋅ S ⋅ RH 2/3 ⋅ J1/2 rivière : béton : 23 75 < < Ks Ks < < 50 85 Profondeur normale Profondeur en écoulement uniforme : t0 Loi de Strickler : Q = KS ⋅ S ⋅ RH 2/3 ⋅ J1/2 en éc. uniforme J = J0 = cste S ⋅ RH2/3 en fonction de la profondeur Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 47 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  48. 48. Hydraulique Cas particulier : a) canal rectangulaire, infiniment large RH = Q = KS ⋅ S ⋅ RH 2/3 ⋅ J1/2 B⋅t =t B+ 2⋅t où 2 ⋅ t est négligé Q = KS ⋅ (B ⋅ t) ⋅ t 2/3 ⋅ J1/2 ⎛ ⎞ Q t =⎜ ⎜ KS ⋅ (B ⋅ t) ⋅ 1/2 ⎟ ⎟ J ⎠ ⎝ 3/5 b) canaux circulaire ou ovoïde (égouts) Q max = 1.6 * Q plein Différents problèmes rencontrés - rugosité non uniforme ⎡ ⎢ P Formule d’Einstein : K pondéré = ⎢ Pi ⎢ ∑ 3/2 ⎣ Ki ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ - lit mineur / majeur Q = ∑ Q partiels - lit avec méandres mais Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation J0 Majeur ≠ J0 Mineur Page 48 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  49. 49. Hydraulique Ecoulement graduellement varié Définition - graduellement ∂t est petit, donc perte de charge faible ∂L - brusquement ∂t est grand, donc perte de charge importante ∂L Charge spécifique Hs 2 2 V = t + Q Hs = t + 2⋅g 2 ⋅ g ⋅ S2 Courbe d’égal débit « étude de la fonction Hs » En fonction de t (Q = cste) ED(f) : [ 0 , ∞ ] 0 alors Hs ∞ t Minimum lorsque t ∞ alors Hs ∞ ∂Hs =0 ∂t 1+ 2 Q ⋅B =0 1g ⋅ S3 B : largeur libre du canal Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation 2 Q ⎛ 2 ⎞ ∂s ⋅⎜− ⎟⋅ = 0 2 ⋅ g ⎝ S3 ⎠ ∂t Page 49 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  50. 50. Hydraulique 2 Q ⋅B = nobre de Froude FR g ⋅ S3 1 - FR = 0 FR = 1 Donc un minimum pour : La valeur de « t » qui correspond à FR = 1 s’appelle : la profondeur critique « tCR » Asymptote : Hs t 1 pour t ∞ d’où asymptote de pente 1 Si « t » est petit ( < tCR ) FR > 1 : éc. torrentielle Si « t » est grand ( > tCR ) Finertie < Fgravité FR = Finertie > Fgravité FR < 1 : éc. fluvial Force d' inertie Force de gravité Remarque : « tCR » est indépendant de « Jo » et « Ks » Valeur de tCR en canal rectiligne FR = 1 2 2 Q ⋅B =1 g ⋅ t 3 ⋅ B3 CR t3 = CR Q g ⋅ B2 2 t CR = Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation 3 Q g ⋅ B2 Page 50 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  51. 51. Hydraulique Courbes de remous Équations fondamentales 2 2 ⎛ 2 ⎞ ⋅ ∂L + t + V = t + ∂t + V + ∂⎜ V ⎟ + J ⋅ ∂L ⎜ 2⋅g ⎟ 2⋅g 2⋅g ⎝ ⎠ 2 2 ⎛ V ⎞ ⎛ V ⎞ (Jo - J) ⋅ ∂L = ∂t + ∂⎜ ⎜ 2 ⋅ g ⎟ = ∂⎜ t + 2 ⋅ g ⎟ = ∂E ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ E.E1-2 = Jo énergie α θ ∂E = (Jo - J) Equation différentielle des écoulements graduellement variés ∂L Equations différentielles dans un canal prismatique Hyp. : - canal long (l’écoulement graduellement variés peut s’établir) l’écoulement est sensiblement rectiligne et // les vitesses en section transversale sont cste = Vmoyenne les pente J et J0 sont faible sinα = tgα = J , cosα = 1 sinθ = tgθ = J0 , cosθ = 1 (Jo - J) = ∂E ∂L J −J ∂t = 0 ∂L 1 − FR Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation (Jo - J) = ∂E ∂t ⋅ ∂t ∂L J J0 ∂t = J0 ⋅ 1 − FR ∂L 1− ou Page 51 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  52. 52. Hydraulique Etude qualitative et classification des lignes d’eau a) rappel : Si FR > 1 Si FR < 1 t < tCR t > tCR b) Si t > t0 Si t < t0 J < J0 J > J0 t0 > tCR t0 < tCR c) définitions : éc. torrentielle éc. fluvial le canal est une rivière le canal est un torrent d) convention de signe J0 > 0 (positif) pour un canal descendant e) conditions aux limites t t0 , J t tCR , FR t ∞ , FR t = tCR J0 1 0, J alors : ∂t ∂L ∂t alors : ∂L ∂t alors : ∂L alors : 0 0 profondeur normal est 1 asymptote ∞ tangente verticale pour la profondeur critique J0 ∂t = J0 ∂L Illustrations en rivière Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 52 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  53. 53. Hydraulique Illustrations en torrent Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 53 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  54. 54. to <=> tcr Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 54 0 ∞ contre pente (to < 0) t0 + t0 < tCR t0 > tCR t0 = tCR t0 < tCR torrent + condition descendant + t0 > tCR rivière Signe de Jo t <=> tCR t < tCR t > tCR t < tCR t > tCR t < tCR + + - t < t0 t < t0 t > t0 t > t0 t < t0 t < t0 t > tCR t > tCR + t > t0 t > t0 t > t0 t > tCR t < tCR + t < tCR - t < t0 - t > tCR - t < t0 t < t0 t < tCR + t < tCR + t > t0 t > t0 t > tCR Signe du num. t <=> t0 + - + - + - + - + - + - + - + Signe du dénomina. + - + - + + + - - + + - - + Signe de dt / dL Exhaussement Abaissement Exhaussement Abaissement Exhaussement Exhaussement Exhaussement Abaissement Exhaussement Exhaussement Abaissement Exhaussement Type de remous A-3 A-2 H-3 H-2 C-3 C-1 T-3 Impossible T-2 T-1 F-3 F-2 Impossible F-1 Appel abrégé Schéma Hydraulique WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004

×