1. Résumé
Ce mémoire a pour objectif l’étude des propriétés statistiques des membranes bi-
ologiques, au contact d’une paroi solide, supposée plane. Nous supposons que celle-ci
développe un potentiel extérieur à un corps, qui est ressenti par la membrane. Pour
mener les calculs, le point de départ est un Hamiltonien de Cahnam-Helfrich étendu.
Ce dernier tient compte de la présence du potentiel développé par la paroi plane.
Aussi, nous choisissons comme potentiel, celui d’Helfrich-van der Waals, qui est la
somme d’un potentiel répulsif et d’un potentiel attractif (de type van der Waals).
En premier lieu, nous étudions toutes les propriétés analytiques du potentiel
considéré. En particulier, nous montrons l’existence de deux situations, selon les
valeurs relatives des amplitudes des parties répulsive et attractive du potentiel :
Une situation où le potentiel total est une fonction décroissante de la distance (forces
répulsives dominantes), et une autre où le potentiel présente un minimum (forces
attractives dominantes).
En second lieu, le potentiel d’interaction est développé autour de son minimum
(lorsqu’il existe), et l’on obtient un nouveau Hamiltonien, quadratique dans l’écart

2. Résumé. 2
de la fonction hauteur à la position moyenne de la membrane.
En troisième lieu, à l’aide de ce nouveau Hamiltonien, nous déterminons l’ex-
pression de la fonction de corrélation hauteur-hauteur, d’où est extraite l’amplitude
des fluctuations de la membrane.
Enfin, nous signalons que ces mêmes démarches s’appliqueraient à d’autres types
de potentiels, et au cas où les membranes sont confinées entre deux plans parallèles
interagissants.
Mots clés : Membranes biologiques - Potentiel extérieur - Propriétés statistiques.