theories des jeux.pptx

La Théorie des
Jeux
Travail effectué par:
EL ADSSI Abderrahman
AMARHYOUZ Mohammed
GUENNOUN Zakaria
Sous la direction de:
Pr. Mounia BETTAH
Mr. Idriss EL ABBASSI

Introduction
De plus en plus de Français s’équipent d’un climatiseur
pour assurer le confort thermique de leur foyer tout au
long de l’année. La climatisation split fait partie
des systèmes actuellement disponibles sur le marché des
climatiseurs réversibles. Comment fonctionne ce type de
climatiseur ? Quels sont ses atouts ? De quel entretien
doit-il faire l’objet ?

Plan
Introduction à la théorie des jeux
01
La recherche de l’équilibre des jeux 02
Cas particuliers (les jeux séquentiels, les
jeux en information incomplète) 03
Les applications de la théorie de jeux. 04

 La théorie des jeux ne constitue pas une branche
de la microéconomie contemporaine.
 Il s’agit d'un outil mathématique suivant
l’ouvrage fondateur de John Von Neumann et
Morgenstern en 1944 « theory of Games and
economic behavior », mais c’est surtout à partir
des années 1980 qu’elle a connu des
développements importants : elle montre
comment les individus rationnels maximisent
leurs satisfactions dans un cadre logique.
 La théorie des jeux ne se limite pas seulement au
domaine de l’économie, mais peut également
trouver d’autres domaines d’application comme
la sociologie, les sciences politiques et le
domaine militaire...
01 Introduction la théorie des jeux

1-Les joueurs
3-Les actions
4-Les gains
Les composantes d’un jeu
2-Les règles
02 Les éléments du jeu

01
02
04
03
I={1,2……n} chaque joueur
I peut prendre une action ai
au sein d’un ensemble
d’actions possibles
𝞹𝒊 une fonction de gain
propre au joueur i est
associée à chaque
réalisation 𝞹(ai)
Il est nécessaire de
connaitre précisément
l’ordre d’intervention des
joueurs et l’information
disponible pour chacun
C’est-à-dire un ensemble
de décisions prises par les
joueurs que l’on note
a={a1,a2….an}

03 Les differents types de jeux
Jeu à somme nulle
Jeu à somme non nulle
Jeu non coopératif
Jeu coopératif
Jeu en information complète /
incomplète
Jeu en information parfaite /
imparfaite
Jeu répété
Jeu séquentiel

Jeu à
somme
nulle
Jeu à
somme
non nulle
Jeu non
coopératif
Jeu
coopératif
Jeu
simultané
/ statique
La somme des
gains de paiement
de tous les joueurs
est nulle. C’est le
cas où l’un gagne
et l’autre perd.
La somme n’est
pas nulle et
chaque joueur
gagne selon sa
propre stratégie.
Les agents ne
coopèrent jamais et
les décisions sont
prises sans
concertation avec
les autres.
Les agents se
coopèrent et les
décisions avec une
forte concertation
avec les autres
agents.
Les décisions
sont prises en
même temps.

Jeu en
information
complète
Jeu en
information
parfaite
Jeu
répété
Jeu
séquentie
l
Lorsque chaque joueur, lors
de sa prise de décision,
connait ses possibilités
d’action et celles des autres
joueurs (Hypothèse de
connaissance commune).
Lorsque chaque joueur a
connaissance de toutes les
actions effectuées avant son
choix. Sinon, on parle d’un
jeu en information
imparfaite.
Jeu répété soit n
fois, soit
infiniment
Le cas dans
lequel les joueurs
prennent leurs
décisions à des
moments
différents.
Jeu
dynamique
Les décisions ne sont
pas prises en même
temps (voir en horizon
infini).

Les formes de jeux
04
Un jeu sous la forme normale correspond au
cas où tous les joueurs jouent en même temps.
Prenant l’exemple communément connu sous le
nom du « dilemme du prisonnier » proposé par
Al Tucker en 1950.
Un jeu sous une forme extensive lorsque les
joueurs ne jouent pas simultanément alors que A
joue en premier, B observe et joue ensuite, la
représentation usuelle d’un jeu séquentiel
s’effectue en utilisant une représentation
« arborescente ».c’est la forme extensive.

• La matrice des paiements
Une matrice qui décrit les stratégies du joueur 1
en lignes et le joueur 2 en colonnes et qui
représente les gains (paiements) du jeu sous la
forme normale (lorsque les joueurs jouent en
même temps)
• L’arbre du jeu
b1 b2
a1 (a1.b1) (a1.b2)
a2 (a2.b1) (a2.b2)
Lorsqu’on a un jeu séquentiel, les actions ne sont
plus simultanées mais séquentielles.
A
B
B
(a1.b1)
(a1.b2)
(a2.b1)
(a2.b2)
b1
b1
b2
b2
a1
a2
la figure 1
Le tableau 1

Les applications
05
La mise en situation du jeu:
Deux malfaiteurs sont arrêtés fortement soupçonnés de
cambriolage.
Ils sont interrogés séparément. Le juge donne deux
propositions à chaque suspect:
• Soit ne pas dénoncer son complice et obtenir une peine
d’emprisonnement.
• Soit dénoncer son complice et obtenir une réduction de
cette peine.
Le dilemme du
prisonnier
Application 1
05

Les éléments du jeu :
Les joueurs :
2 joueurs, les deux sont complices, appelons-les MOHAMMED et ALI : {M, A}
Les actions / stratégies :
2 actions possibles pour chaque joueur :
D = dénoncer ND = ne pas dénoncer.
Les résultats :
4 résultats possibles : {(D, D), (D, ND), (ND, D), (ND, ND)}
Les gains :
Le juge décide une peine de :
• (D, D) 2 ans de prison
• (ND, ND) 4 ans de prison
• (D, ND) (ND , D) 1 an de prison pour D et 5ans de prison pour ND
Les applications
05

Les applications
05
Dénoncer (D) Ne pas dénoncer
(ND)
Dénoncer (D) (– 2, – 2) (– 1, – 5)
Ne pas dénoncer
(ND)
(– 5, – 1) (– 4, – 4)
ALI (Joueur 2)
MOHAMED
(Joueur 1)
Matrice des paiements du jeu:
Lorsque le jeu est sous forme normale, on peut représenter
les gains des individus par une matrice des gains.
Représentation stratégique

Les points-clés :
La théorie des jeux : est un ensemble d’outils mathématiques visant à décrire et à prévoir le résultat des
actions d’un ensemble de joueurs, en interaction les uns avec les autres.
Un jeu : On peut décrire un jeu en indiquant les paiements dont bénéficient les différents joueurs pour les
divers types de choix stratégiques qu’ils peuvent effectuer.
Les types d’un jeu :
Jeux simultanés
Jeux séquentiels
Les représentations d’un jeu :
 Représentation stratégique dite aussi normale
 Représentation extensive dite aussi arborescente
Le passage de la représentation graphique à la représentation extensive: est possible en passant de la
matrice des paiements à l’arbre de jeu.

Chapitre II: La
recherche de
l’équilibre des jeux

01
La notion d’équilibre de Nash
02
L’équilibre de Nash au sens de Pareto
03
04
L’équilibre en stratégies dominantes
Les calculs des paiements et la fonction de la
meilleure réponse

01 L’équilibre en stratégies dominantes
• Dans les exemples précédents la question qui nous
intéresse est de trouver l’équilibre qui va satisfaire les
deux joueurs.
• Dans le cas du dilemme du prisonnier, on veut savoir si
les joueurs vont dénoncer ou non leur complice. Alors
on cherche la solution d’équilibre.
Est-ce qu’il y a une stratégie qui est toujours la meilleure
pour les agents quelque soit la décision des autres?
(ND)
Dénoncer (D) (– 2, – 2) (– 1, – 5)
Ne pas dénoncer
(ND)
(– 5, – 1) (– 4, – 4)
ALI (Joueur 2)
MOHAMED
(Joueur 1)

(ND)
Dénoncer (D) (– 2, – 2) (– 1, – 5)
Ne pas dénoncer
(ND)
(– 5, – 1) (– 4, – 4)
ALI (Joueur 2)
MOHAMED
(Joueur 1)
La méthode des stratégies dominantes
• Dans l’exemple du dilemme du
prisonnier :
• La stratégie dominante des deux
joueurs est de dénoncer (D.D). Donc,
(D,D) est le résultat strictement
dominant.
Quand est ce qu’on dit qu’une Stratégie Dominante représente un équilibre ?
Une stratégie est dite strictement dominante pour un joueur A, si, quelque soit l’action
des autres joueurs, elle lui permet de maximiser ses gains.

(ND)
Dénoncer (D) (– 2, – 2) (– 1, – 5)
Ne pas dénoncer
(ND)
(– 5, – 1) (– 4, – 4)
ALI (Joueur 2)
MOHAMED
(Joueur 1)
Quand est ce qu’on dit qu’une Stratégie Dominante représente un équilibre ?
Un résultat est un équilibre en stratégies dominantes s’il représente la stratégie
dominante de chaque joueur i.
L’hypothèse de Multiplicité
d’équilibre ≠ L’unicité d’équilibre

02
Théorème de l’équilibre de Nash :
• Un résultat, est un équilibre de Nash si aucun joueur n’a intérêt à dévier
unilatéralement de sa stratégie quand les autres joueurs continuent à jouer.
• De manière générale, on peut montrer que tout équilibre en stratégies
dominantes est aussi un équilibre de Nash.
Est-ce que la réciproque est vraie?

Prenant l’exemple du dilemme du prisonnier :
Les stratégies dominantes:
Pour Bonnie: -2>-5 et -1>-4
Donc (D) domine strictement (ND).
Pour Clyde: -2>-5 et -1>-4
Donc (D) domine strictement (ND).
Alors (D.D) est un équilibre en SD.
02
(ND)
Dénoncer (D) (– 2, – 2) (– 1, – 5)
Ne pas dénoncer
(ND)
(– 5, – 1) (– 4, – 4)
ALI (Joueur 2)
MOHAMED
(Joueur 1)

03
L'équilibre de Nash est une solution aux jeux non coopératifs, dans lesquels chaque
joueur cherche à améliorer sa situation personnelle. Cependant, est-ce que cet
équilibre représente l’équilibre optimal/efficace ?
Pour répondre à cette question, nous utilisons la notion d'efficacité au sens de
Pareto.
Qu’est-ce qu’un équilibre au sens de Pareto?

03
Théorème de l’équilibre de Pareto :
Dans le dilemme du prisonnier,
(D, D) est un équilibre de Nash.
Mais, (ND, ND) est un équilibre
efficace au sens de Pareto.
(équilibre optimale)
Un résultat sera efficace au sens de Pareto
s’il n’existe pas d’autres résultats qui
permettent d’augmenter le gain d’au
moins un agent sans diminuer celui d’un
autre.
Dénoncer (D) Ne pas
dénoncer (ND)
Dénoncer (D) (– 2, – 2) (– 1, – 5)
Ne pas
dénoncer (ND)
(– 5, – 1) (– 4, – 4)
ALI (Joueur 2)
MOHAMED
(Joueur 1)

04
Les calculs des paiements et la fonction de la
meilleure réponse
Les stratégies mixtes
 Les stratégies que nous avons étudié jusqu’à maintenant sont des stratégies
dites pures, c’est-à-dire correspondant à des stratégies qui s’offrent aux
joueurs.
 Les stratégies mixtes sont une distribution de probabilité sur l’ensemble
des stratégies pures.

Les points-clés :
Une stratégie dominante : Une stratégie est dite strictement dominante pour un joueur A, si, quelque soit
l’action des autres joueurs, elle lui permet de maximiser ses gains.
Un équilibre avec stratégie dominante : est un ensemble de choix, tel que le choix de chaque joueur est optimal
quelque soit les choix des autres joueurs.
Un équilibre de Nash est un ensemble de choix, tel que le choix de chaque joueur est optimal compte tenu des
choix opérés par les autres joueurs.
Tout équilibre en stratégies dominantes est un équilibre de Nash. L’inverse n’est pas vrai.
L’équilibre de Pareto : est l’équilibre optimal qui permet d’améliorer la situation de chaque joueur sans
détériorer celle de l’autre.
Tout équilibre de Pareto est un équilibre de Nash. L’inverse n’est pas forcément vrai.
Le dilemme du prisonnier est un type de jeu particulier, dans lequel, le résultat efficace au sens de Pareto est
stratégiquement dominé par un équilibre inefficace.
La fonction de meilleur réponse : représente l'ensemble de stratégies qui produisent le résultat le plus favorable
au joueur considéré, étant données les stratégies des autres joueurs.

Chapitre III: Cas particuliers (les
jeux séquentiels et les jeux en
information incomplète)

01 02 03 04 05
Les jeux
séquentiels et la
forme extensive
L’équilibre de
Nash parfait
en sous jeu
Les jeux
simultanés en
information
incomplète
Les jeux
séquentiels en
information
incomplète
La méthode de
l’induction à
rebours

Dans les jeux séquentiels, les joueurs
ne jouent pas simultanément mais
chacun d’entre eux a un ordre
d’intervention : Si A joue en premier,
B l’observe et joue après.
01 Les jeux séquentiels et la forme extensive
A
B
B
(a1.b1)
(a1.b2)
(a2.b1)
(a2.b2)
b1
b1
b2
b2
a1
a2
la figure 1
joueur
joueur
branche
Issu
Gain

Jusqu’à présent, nous avons envisagé des jeux dans lesquels les deux
joueurs agissaient de façon simultanée. Mais, dans de nombreuses
situations, un joueur doit jouer le premier et l’autre répond. C’est le cas
notamment du modèle de Stackelberg, dans lequel un joueur est « leader »
et l’autre un « follower ».
La question qui se pose est:
Comment on trouve l’équilibre dans un jeu séquentiel?
Qu’est ce que l’équilibre de Nash parfait en sous jeu?
Comment fonctionne la méthode d’induction à rebours (backward
induction)?

Exemple :
Le joueur A intervient en premier. S’il joue a2 le jeu se
termine et les paiements sont égaux à 2 pour les deux
joueurs. S’il joue a1, il donne l’occasion à B pour jouer.
Celui-ci peut jouer b1, et les paiements sont nuls, comme
il peut jouer b2 et gagner 1 alors que A gagne 3.
(0,0) (3,1)
A
B
(2,2)
a1
a2
b1 b2
On peut identifier deux équilibres de Nash dans ce
jeu : (a2 , b1) et (a1 , b2).

Sous-jeu : un extrait du jeu de référence ayant comme point de départ un des nœuds
intermédiaires et constitué par l’ensemble des nœuds qui lui succèdent. Notre
exemple possède deux sous-jeux :
02 L’équilibre de Nash parfait en sous jeu
A
(2,2)
a1
a2
(0,0) (3,1)
B
b1 b2
 Nous allons commencer par résoudre le premier sous-jeu dont l’équilibre est a2
alors B n’a pas d’occasion pour jouer.
 Le deuxième sous-jeu est résolu conditionnellement au résultat du premier.
 L’équilibre de Nash sélectionné par cette procédure est nommé : l’équilibre de
Nash parfait en sous jeux.

La deuxième méthode de la résolution des jeux séquentiels est la méthode d’induction
à rebours : Elle consiste à déterminer les choix des joueurs en partant des nœuds
terminaux, puis remonter progressivement jusqu’au nœud initial de l’arbre.
03 La méthode de l’induction à rebours
Définition :

03 La méthode de l’induction à rebours
A
(2,2)
a1
a2
(0,0) (3,1)
B
b1 b2
L’induction à rebours :

Dans les jeux étudiés jusqu’à maintenant, nous avons toujours supposé
que les gains de chaque joueur étaient connus de chacun d’entre eux,
dans ce cadre, on parle de jeux en information complète.
Dans le cas contraire, on parle des jeux en information incomplète.
C’est le cas où la matrice des paiements n’est pas complétement connue
par tous les joueurs.
04 Les jeux simultanés en information incomplète
Définition :

La résolution de ce type du jeu passe par sa transformation d’un jeu simultané en information
incomplète en un jeu séquentiel en information imparfaite suivant la procédure de Harsanyi.
b1 b2
a1 (1,1) (0,0)
a2 (0,0) (-1,1)
b1 b2
a1 (-1,1) (0,0)
a2 (0,0) (1,1)
Exemple :
Soit le jeu, dont le joueur B ne connait pas parfaitement la matrice des paiements, mais, il
sait qu’il n’y a que deux possibilités décrites par les figures suivantes :
(1) (2)

Le passage d’un jeu simultané en information incomplète en un jeu séquentiel en
information imparfaite se fait suivant la procédure de Harsanyi.
Avec : Pn : la probabilité que A soit de type à A1
1-Pn : la probabilité que A soit de type à A2
La procédure d’Harsanyi débouche sur ce qu’on appelle l’équilibre de Nash Bayésien.
Autrement dit, c’est l’équilibre de Nash quand B n’observe pas le choix de N et ignore le
type de A.
Procédure d’Harsanyi:
L’équilibre de Nash bayésien :

b1 b2
a1 (1,1) (0,0)
a2 (0,0) (-1,1)
b1 b2
a1 (-1,1) (0,0)
a2 (0,0) (1,1)
N
A1 A2
B B B B
(1,1) (0,0) (0,0) (-1,1) (-1,1) (0,0) (0,0) (1,1)
a1 a2 a1
a2
(1) Pn 1-Pn
La résolution de ce type de jeu passe par la détermination des
équilibres de Nash bayésiens.
(2)
(1)
(2)

05 Les jeux séquentiels en information incomplète
Jeux séquentiels en information incomplète:
Dans les jeux séquentiels en information incomplète, les
joueurs ne connaissent pas les types de leur adversaires mais,
ils peuvent observer les choix des joueurs qui les précèdent.
La résolution de ce type de jeu se fait principalement par
l’analyse des croyances de chaque joueur, en utilisant la règle
de Bayes, le concept d’équilibre de Nash bayésien parfait.

N
A1 A2
B B
(0,1) (2,4)
(1,0)
(0,1) (4,2)
a1 a2
(1,0)
On a le jeu suivant :
a1
a2

Pour compléter les données de ce jeu, il faut préciser les croyances de B concernant les
choix de A pour chacun des types possibles. Tous les croyances prennent la forme de
quatre probabilités conditionnelles.
𝑝𝐵 𝑎2/A = 𝐴1 =
1
3
croyance de B sur le choix de a2 par A lorsque celui-ci joue A1.
𝑝𝐵(𝑎1/A = 𝐴1) croyance de B sur le choix de a1 par A lorsque celui-ci joue A1.
𝑝𝐵 𝑎1/A = 𝐴2 croyance de B sur le choix de a1 par A lorsque celui-ci joue A2.
𝑝𝐵 𝑎2/A = 𝐴2 =
2
3
croyance de B sur le choix de a2 par A lorsque celui-ci joue A2.
Pour que B puisse résoudre son problème, il doit évaluer la probabilité que A soit du type
A1 ou A2

La formule de Bayes:
𝑝 𝐴 = 𝐴1/𝑎2 =
𝑝 𝑎2/A=𝐴1 ∗𝑝(𝐴=𝐴2)
𝑝 𝑎2/A=𝐴1 ∗𝑝 𝐴=𝐴1 +𝑝 𝑎2/A=𝐴2 ∗𝑝(𝐴=𝐴2)
Après le calcul des différentes probabilités qui représentent les données
du jeu, il est possible de calculer l’espérance des gains de B
conditionnellement au fait que A joue a2.
On constate alors que lorsque A joue a2 quelque soit le type du jeu, la
meilleure réponse que peut faire B et celle qui maximise l’espérance de
ses gains est b2.

N
A1 A2
(1,0)
a1 a2 a1 a2
(1,0) (2,4) (4,2)
Le joueur A connait les croyances de B, on peut faire le même
raisonnement pour lui et le jeu se réduit et sera le suivant:

Les points-clés :
Un jeu sous forme extensive : est représenté par un arbre dont les branches correspondent aux
actions possibles, les nœuds précisent quel joueur joue et les gains sont représentés aux nœuds
terminaux.
Jeux séquentiels en information parfaite : jeux où chaque joueur connaît parfaitement les
choix de tous les autres joueurs jusqu’à son intervention.
Sous-jeu: un extrait du jeu de référence ayant comme point de départ un des nœuds
intermédiaires et constitué par l’ensemble des nœuds qui lui succèdent.
La méthode d’induction à rebours : permet d’obtenir un équilibre d’un jeu sous forme
extensive en déterminant chaque action optimale en partant des nœuds terminaux.
Jeux en information incomplète : sont les jeux où la matrice des paiements n’est pas
complétement connue par tous les joueurs.
La procédure de Harsanyi : procédure qui permet le passage d’un jeu simultané en information
incomplète en un jeu séquentiel en information imparfaite.

Chapitre IV: Les applications de la théorie des
jeux
01
Les jeux de
concurrence
Les jeux de
coordination
Les jeux de
coexistence
Les jeux
d’engagement

Il s’agit de jeux où les
paiements pour les joueurs
sont les plus élevés quand
ils peuvent coordonner
leurs stratégies.
Le problème, que dans la
pratique est de mettre au
point des mécanismes qui
permettent cette
coordination.
01 Les jeux de coordination
Définition:

Cas du dilemme du prisonnier :
Comment sortir
du dilemme du
prisonnier?
Le jeu du prisonnier, s’il est
répété un nombre infini de
fois, permet d’atteindre le
résultat coopératif.
Grâce à des stratégies qui
permettent de récompenser
la coopération et de punir le
manque de coopération lors
des actions futures.

 Les contrats coopératifs permettent d’atteindre beaucoup de résultats,
mais ils requièrent l’existence d’un cadre légal qui assure leur
application.
La stratégie de coopération :
Signer un contrat par lequel les deux parties s’engagent à appliquer la stratégie coopérative.
Il devra payer une amende ou sera
puni d’une façon ou d’une autre.

Considérons la course aux armements que se sont livrés les USA et URSS dans les années 1950.
Chaque pays pouvait:
Cas du jeu de l’assurance :
Construire des missiles nucléaires Ne pas construire de missiles nucléaires

 L'équilibres de Nash avec stratégies pures (Ne pas construire ; Ne pas construire) est meilleur pour
chacune des deux parties.
 Le problème est qu’aucun pays ne connait le choix que fera l’autre avant de décider de ne pas
construire de missiles nucléaires . Chaque partie souhaite avoir quelques assurances de l’autre.
URSS
Ne pas construire construire
USA
Ne pas construire (4,4) (1,3)
construire (3,1) (2,2)

Pour donner ce type d’assurance, l’un des joueurs peut faire le premier geste (geste unilatéral).
Si un joueur annonce qu’il ne déploiera pas de missiles nucléaires et qu’il donne suffisamment de preuves
de ce choix, il sera assuré que l’autre joueur renoncera également à déployer des missiles.
Cette coordination par la contractualisation conduira à l’équilibre de Nash au sens de Pareto (4 ; 4).

En somme :
Jeu de coordination simultané : est résolu par
la répétition
Jeu de coordination séquentiel : est résolu
par
la contractualisation

02
La stratégie
d’engagement
L’engament doit être à la
fois irréversible et
observable par l’autre
joueur
L’irréversibilité est
essentielle à l’engagement
L’observabilité est
fondamentale si l’autre
joueur doit être amené à
adapter son comportement
Les jeux d’engagement font une particularité des jeux avec choix séquentiel, ils se caractérisent
par une stratégie importante, ce que l’on appelle l’engagement.
Les jeux d'engagement

« Pour qui me prends-tu, scorpion ?? Je te connais,
tu vas me piquer !! »
« Mais non, grenouille ! Tu peux me faire confiance.
Si je te pique, je me noierai moi aussi ! »
La grenouille hésite mais finit par céder sous
les insistances du scorpion. Elle le fait monter
sur son dos et s’engage dans la rivière
Arrivés au milieu, le
scorpion plante son
dard profondément
dans le dos de la
grenouille.
Celle-ci est
paralysée et se met
à couler, entraînant
le scorpion avec elle.
« Mais enfin,
scorpion !
Pourquoi as-tu
fait ça ?? Nous
allons mourir
tous les
deux !! »
Exemple 1
Un scorpion, cherchant à traverser une rivière,
demande à une grenouille de le prendre sur son
dos.
02

Examinons cette fatale du point de vue de la théorie des jeux.
(0,0)
Choix de
la
grenouille
(5,3)
Choix
du
scorpion
(-10,5)
 (0,0) Si la grenouille refuse de porter le scorpion, ils n’obtiennent rien, l’un comme l’autre.
 (5,3) Si la grenouille transporte le scorpion, elle recevra l’utilité de 5 pour avoir fait le bien, et le
scorpion recevra un paiement de 3 pour avoir traversé la rivière.
 (-10,5) Si la grenouille est piquée elle recevra un paiement de -10, et le scorpion 5 représentant la
satisfaction qui découle du respect de ses instincts naturels.
02

02
(0,0)
Choix de
la
grenouille
(5,3)
Choix
du
scorpion
(-10,2)
Considérons pour commencer la dernière phase du jeu
Piquer représente une utilité supérieure pour
le scorpion parce qu’il est dans sa nature.
Dès lors, la grenouille devrait rationnellement
refuser de transporter le scorpion.
Une grenouille intelligente devrait trouver une façon d’amener le scorpion à s’engager à ne pas piquer.
Elle peut par exemple, engager une grenouille mercenaire chargée de représailles contre la famille du scorpion.
Le but est de modifier les paiements du scorpion de façon à ce que le fait de piquer soit plus coûteux et le fait de
ne pas piquer soit plus attractif.

Exemple 2
02
Épargne et sécurité sociale
L'épargne en vue de la retraite est un exemple intéressant et actuel.
Chacun reconnaîtra qu’épargner est une bonne chose. Malheureusement, peu de gens épargnent effectivement.
Une raison en est que les individus savent que la société ne les laissera pas mourir de faim de sorte qu’il y a de
fortes chances qu’ils bénéficient ultérieurement d’une aide.
Les stratégies de la génération plus
âgée:
Les stratégies de la génération plus
jeune:
Épargner
Dilapider
Aider
Ne pas aider

02
Jeune génération
Aider Ne pas aider
Génération plus
âgée
épargner (3,-1) (1,1)
Dilapider (2,-1) (-2,-2)
Deux équilibres de Nash:
Si les aînés choisissent d’épargner, le choix optimal pour les plus jeunes est de les négliger
Si les aînés décident de dilapider leurs revenus, le choix optimal pour les plus jeunes est de les aider
Toutefois, cette analyse ignore la structure temporelle du jeu

Un des avantages d’être vieux est que vous êtes amené à faire le premier pas.
02
(3,-1)
(2,-1)
(1,1)
(-2,-2)
 Si les aînés épargnent, les jeunes choisiront de les négliger de sorte que les aînés finiront avec un paiement de 1
 Si les aînés dilapident, ils savent que les jeunes ne pourront pas supporter de les regarder mourir de faim de sorte
que les aînés finiront avec un paiement de 2.
Donc les aînés ont intérêt à dilapider sachant qu’ils seront aidés pus tard

03 Les jeux de coexistence
La mise en situation du jeu :
03
La mise en situation du jeu :
Les jeux de coexistence
03

64
Faucon Colombe
Faucon (– 2, – 2) (4 , 0)
Colombe (0 , 4) (2, 2)
Chien 2
Chien 1
Les gains / paiements :
Si les deux chiens sauvages jouent à la colombe : Ils finiront avec (2, 2).
Si l’un joue au faucon et l’autre à la colombe : Le faucon gagnera tout (4, 0) ou (0, 4)
Si les deux joueurs jouent au faucon : Chaque chien sera blessé sérieusement. (-2 ,-2)

La recherche de l’équilibre :
Supposons que :
p : La probabilité qu’un faucon rencontre un autre faucon
1-p : La probabilité qu’un faucon rencontre une colombe
Le paiement attendu pour un Faucon sera :
F = - 2p + 4 (1- p)
Le paiement attendu pour une colombe sera :
C = 2 (1- p)
L’équilibre :
F = C
- 2p + 4 (1- p) = 2 (1- p)
P = 1/2
03
Chien 2
Chien 1
Faucon Colombe
Faucon (– 2, – 2) (4 , 0)
Colombe (0 , 4) (2, 2)

P =
1
2 P >
1
2
Représentation graphique de l’équilibre :
Un mélange 50-50 de colombes de
faucons est un équilibre stable.
Cet équilibre le concept et stratégie
stratégie stable en terme d’évolution.
P <
1
2
Équilibre stable

La situation opposée à la coopération est la concurrence, le cas des jeux à somme nulle, le paiements
dont bénéficie un joueur est égal aux pertes de l’autre joueur.
On suppose le jeu suivant dont ces paiements sont illustrés au tableau ci-dessous:
Les jeux de concurrence
colonne
Plonger à gauche Plonger à droite
Ligne Tirer à gauche ( 50 ; -50 ) ( 80 ; -80 )
Tirer à droite ( 90; -90 ) ( 20 ; -20)
Tableau : un penalty au football.
Le jeu connu sous nom de penalty au football est purement un jeu à somme nulle. La question qui se pose
maintenant, c’est comment trouver l’équilibre de Nash de ce jeu?
04

04 Les jeux de concurrence.
Soit:
P la probabilité que ligne tire à gauche.
(1-P) la probabilité que celui tire à droite.
Les paiement seront:
50*P+90*(1-P) quand colonne plonge à gauche qu’est égal à 70 si p=0,5.
80*P+20*(1-P) quand colonne plonge à droite qu’est égal à 50 si p=0,5.
0 P=1
Succès
de
ligne
Probabilité que ligne tire à gauche
20
90
62
à l’équilibre: 50*P+90*(1-P) = 80*P+20*(1-P)
Alors P=0,7
Correspond à l’intersection des deux fonctions linéaire.
Alors on constate que ligne sait que colonne s’efforcera
toujours de minimiser le paiement attendu de son adversaire.
Des lors, pour toute valeur P, le meilleur paiement que ligne
peut espérer c’est le paiement minimum obtenu dans les deux
stratégies.

Soit :
q la probabilité que colonne plonge à gauche.
(1-q) la probabilité que colonne plonge à droit.
0 q=1
Succès
de
ligne
20
80
62
Les paiements seront:
50*q+80*(1-q) quand ligne tire à gauche qu’est égal à 65.
90*q+20*(1-q) quand ligne tire à gauche qu’est égal à 55.
A l’équilibre 50*q+80*(1-q) = 90*q+20*(1-q)
Alors que q=0,6
Correspond à l’intersection des deux fonctions linéaire que
nous avons trouvé.
90
50
Probabilité que colonne
plonge à gauche.

0,7
0,6
Meilleure réponse
de colonne
q
Meilleure réponse
de ligne
p
1
1
Les deux courbes de meilleur réponse, notons qu’elles se croisent en un point ou P=0,7 et q=0,6. Les courbes de
meilleure réponse sont intéressantes en ce qu’’elles disent à chaque joueur ce qu’ils doivent faire pour tout choix
fait par l’adversaire, que ce choix soit optimal ou pas. Le seul choix qui est une réponse optimale à un choix
optimal est celui qui correspond au point d’intersection des deux courbes c’est-à-dire l’équilibre de Nash.

Les points-clés :
Jeux de coordination : Il s’agit de jeux où les paiements pour les joueurs sont les plus
élevés quand ils peuvent coordonner leurs stratégies. Mais cela exige l’existence d’un
contrat et l’existence d’une punition venant sanctionner l’engagement préalable.
Jeux d’engagement : Jeux séquentiel qui se base sur une stratégie qui s’appelle
engagement.
Jeux de coexistence : L’idée de ce jeu est que les différents types de comportement
animal sont programmés de façon génétique et que l’évolution sélectionne les
compositions de la population.
Jeux de concurrence : (Jeux à somme nulle) (≠ jeux de coordination) : Jeux où les
paiements dont bénéficie un joueur sont égales aux pertes de l’autre.

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