Le document traite de l'aide à la décision multicritère, qui intègre des méthodes et techniques pour optimiser les choix en tenant compte de plusieurs critères d'évaluation. Il explique comment modéliser les préférences du décideur et aborde divers algorithmes et méthodes, tels que l'optimisation multicritère et l'Analyse Hierarchique Analytique. La conclusion insiste sur l'importance de la prise en compte des préférences du décideur dans la démarche d'aide à la décision.

1. L’Aide à la Décision Multicritère Enjeux, Méthodes et Exemples Vincent T’KINDT Laboratoire d’Informatique (EA 2101) Dépt. Informatique - Polytech’Tours Université François-Rabelais de Tours – France [email_address]

2. Préambule « Aide qu’un Homme d’Etudes peut apporter pour permettre à un Décideur de prendre une décision en fonction de plusieurs critères d’évaluation » Vincent T’kindt Modélisation Résolution Qu’entend-on par Aide à la Décision Multicritère ? « Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision sont deux faces indissociables d’une même médaille » [Roy, 2006] Techniques mathématiques et informatiques permettant de résoudre des problèmes d’optimisation Techniques permettant de formaliser un problème, les préférences du Décideur et les décisions qu’il peut être amené à prendre Aide à la Décision Multicritère Aide à la Décision Multicritère Recherche Opérationnelle

3. Préambule Vincent T’kindt Anna est proche de son argent Bob aime le bon vin Problème : Comment choisir le vin ? Qu’est-ce qui compte pour vous ? Anna => le prix, Bob => la qualité. Quel est le prix maximum que vous souhaitez y mettre ? Anna => au plus 10 euros, Bob => plutôt 30 euros, Anna => ok pour 20 euros. Le Décideur L’Homme d’Etudes Le problème de décision Modélisation des préférences

4. Préambule Vincent T’kindt Voici ce que propose notre carte (vins blancs): Carbonnieux (Graves), 1993 Haut-Brion (Graves), 1992 Meurseault Drouhin, 1992 Gaston Huet (Vouvray), 1990 Z 1 =15 euros et Z 2 =3 Z 1 =20 euros et Z 2 =3 Z 1 =18 euros et Z 2 =5 Z 1 =12 euros et Z 2 =4

5. Préambule Vincent T’kindt Un processus d’Aide à la Décision implique forcément un Décideur et un Homme d’Etude, Il n’existe pas forcément une solution optimale unique… voir pas de solution optimale, L’important est de pouvoir obtenir les préférences du Décideur.

6. Contenu Vincent T’kindt Les concepts fondamentaux de l’Aide à la Décision Multicritère, L’Optimisation Multicritère, Exemples.

7. Concepts fondamentaux Vincent T’kindt L’Aide à la Décision Multicritère propose un cadre général pour conduire l’Homme d’Etude dans son travail de « conseil », L’ « Homme d’Etude » peut être un acteur humain ou un logiciel d’Aide à la Décision,

8. Concepts fondamentaux Vincent T’kindt Les problématiques d’Aide à la Décision peuvent être séparées en quatre catégories, Le choix d’une meilleure décision Tracé 1 Tracé 2 Tracé 3 Tracé 4 Choix d’un tracé d‘autoroute Tracé 2

9. Concepts fondamentaux Vincent T’kindt Les problématiques d’Aide à la Décision peuvent être séparées en quatre catégories, Le tri de décisions Tracé 1 Tracé 2 Tracé 3 Tracé 4 Tri des tracés d‘autoroute Tracés à faible coût Tracés écologiques Tracé 1 Tracé 4 Tracé 2 Tracé 3

10. Concepts fondamentaux Vincent T’kindt Les problématiques d’Aide à la Décision peuvent être séparées en quatre catégories, Le rangement de décisions Tracé 1 Tracé 2 Tracé 3 Tracé 4 Rangement des tracés d‘autoroute Tracés consensuels Tracé 1 Tracé 4 Tracé 2 Tracé 3 Plus Moins

11. Concepts fondamentaux Vincent T’kindt Les problématiques d’Aide à la Décision peuvent être séparées en quatre catégories, La description des décisions Qu’est-ce qu’un tracé d’autoroute ? Quels sont les impacts d’un tracé ? Impact économique, Impact sociétal, Impact écologique, …

12. Concepts fondamentaux Définition des préférences du Décideur Définition des conséquences puis des critères d’évaluation, Vincent T’kindt Pour une problématique donnée, Définition de l’ensemble des décisions possibles, Le problème est posé et on sait comment prendre en compte les préférences du Décideur Quels sont les impacts d’un tracé ? Impact économique, Impact sociétal, Impact écologique, … Tracé 1 Tracé 2 Tracé 3 Tracé 4 Critère environnemental Le système relationnel de préférences Tracé 1 Tracé 2 Tracé 3 Tracé 4

13. Concepts fondamentaux Déduction à partir du système relationnel de préférence de solutions de meilleurs compromis. Vincent T’kindt Pour une problématique donnée, Mise au point d’un algorithme de résolution, OU Dépend du nombre de décisions Si ce nombre est « trop grand » alors on se dirigera plus vers l’utilisation de techniques de Recherches Opérationnelles Dans tous les cas, c’est le Décideur qui choisit au final, pas l’algorithme de résolution.

14. Concepts fondamentaux Vincent T’kindt Quelques méthodes d’Aide à la Décision Multicritère, MAUT ([Von Neumann et Morgenstern, 1954]) UTA ([Jacquet-Lagrèze et Siskos, 1982]), Analytic Hierarchy Process ([Saaty, 1986]), Les méthodes Electre, Promethee, Méthodes de l’optimisation multicritère, … [Figueira et al., 2005] J. Figueira, S. Greco et M. Erghott. Multiple Criteria Decision Analysis: State-of-the-art surveys, International Series on Operations Research and Management Sciences, Springer.

15. L’Optimisation Multicritère Vincent T’kindt Un Problème d’Optimisation Multicritère (POM) peut être défini comme suit : Minimiser Z 1 (x) Minimiser Z 2 (x) … Minimiser Z K (x) Sous contrainte x  S Trouver « une solution » (décision) qui minimise K critères d’évaluation Z i . Cette solution existe-t-elle ? [T’kindt et Billaut, 2006] V. T’kindt et JC Billaut. Multicriteria Scheduling: Theory, Models and Algorithms, 2 nde édition, Springer.

16. L’Optimisation Multicritère Vincent T’kindt Un Problème d’Optimisation Multicritère (POM) peut être défini comme suit : Carbonnieux (Graves), 1993 Haut-Brion (Graves), 1992 Meurseault Drouhin, 1992 Gaston Huet (Vouvray), 1990 Z 1 =15 euros et Z 2 =3 Z 1 =20 euros et Z 2 =3 Z 1 =18 euros et Z 2 =5 Z 1 =12 euros et Z 2 =4

17. L’Optimisation Multicritère Vincent T’kindt Notion d’optimalité : les optima de Pareto, Z 2 Une solution x est un optimum de Pareto strict ssi il n’existe pas une autre solution y telle que Z i (y) ≤Z i (x),  i=1, … ,K, avec au moins une inégalité stricte. Z 1

18. L’Optimisation Multicritère Vincent T’kindt Deux questions fondamentales : Comment calculer un optimum de Pareto (de préférence strict) ? Quel est le « meilleur » optimum de Pareto pour le Décideur ?  Cela dépend des préférences du Décideur ! Comment s’expriment ses préférences ? Avec quelle fiabilité peut-il les exprimer ?  Nous sommes en plein dans la problématique d’Aide à la Décision Multicritère…

19. L’Optimisation Multicritère Vincent T’kindt Les préférences peuvent s’exprimer… pour chaque critère Z i , sous forme de poids  i , sous forme d’objectif à atteindre (ex: Z i  [A;B]), sous forme de bornes à ne pas dépasser, ou sous forme d’un ordre absolu entre les critères. Exemples : Si les préférences s’expriment uniquement par des poids : Minimiser  i  i Z i Si les préférences s’expriment par des poids et des bornes : Minimiser  i  i Z i sous contrainte Z i  b i Les solutions optimales sont des optima de Pareto

20. L’Optimisation Multicritère Vincent T’kindt La fiabilité des préférences influence le type d’algorithme à mettre en place,

21. L’Optimisation Multicritère Vincent T’kindt La fiabilité des préférences influence le type d’algorithme à mettre en place, Minimiser  Z 1 (s)+  Z 2 (s) Sous contrainte Z 1 (s) ≤ b 1 Z 2 (s) ≤ b 2 s  S Décideur Optimum de Pareto Préférences (poids, bornes) Homme d’Etudes Module d’AD Module Optim

22. L’Optimisation Multicritère Vincent T’kindt Comment résoudre le problème d’optimisation construit à partir des préférences du Décideur ? Minimiser  Z 1 (s)+  Z 2 (s) Sous contrainte Z 1 (s) ≤ b 1 Z 2 (s) ≤ b 2 s  S Décideur Optimum de Pareto Préférences (poids, bornes) Homme d’Etudes En utilisant la Recherche Opérationnelle : Etude de la complexité du problème, Mise au point d’algorithmes exacts (méthodes dédiées, procédures par séparation et évaluation, modèles mathématiques, …), Mise au point d’algorithmes heuristiques (méthodes par construction progressive, algorithmes évolutionnaires, méthodes par voisinage, …) Module d’AD Module Optim

23. Exemple : Cartographie statistique Vincent T’kindt Exemple prospectif : Sectorisation d’une zone géographique, Formulation du problème, Une zone géographique Une zone géographique est composée de parties, Une partie j est définie par des caractéristiques C i j Problème : trouver la meilleure sectorisation pour le Décideur. Sectorisation : ensemble de groupes de parties. Avec l’aimable autorisation d’Articques pour l’utilisation des cartes.

24. Exemple : Cartographie statistique Vincent T’kindt Modélisation du problème : Une partie j est définie par K caractéristiques C j i , Un secteur s est défini par un vecteur d’évaluation v(s),  Une sectorisation est évaluée par K critères Z i , Une partie est un pays, K=2, C j 1 = superficie et C j 2 =densité de population, Pour chaque secteur s, on peut poser : v(s)=[  j C j 1 ;  j C j 2 /P]  Z 1 : écart de superficie maximum, Z 1 =max p,q (v 1 (p)-v 1 (q)), Z 2 : écart de densité maximum, Z 2 =max p,q (v 2 (p)-v 2 (q)), Illustration : v(s 1 )=[10;30] v(s 2 )=[100;20] v(s 3 )=[2;25] Z 1 =max(100-10;100-2;10-2)=98 Z 2 =max(30-20;30-25;25-20)=5 Minimiser Z 1 et Z 2 .

25. Exemple : Cartographie statistique Vincent T’kindt Modélisation des préférences : Minimiser  Z 1 +  Z 2 , => peu pertinent en théorie. Minimiser Z 1 sous contrainte Z 2   Sous forme de poids uniquement ? Sous forme d’une borne ? (problème  -contraint) Illustration :  Sectorisation Z 1 Z 2 s 1 98 5 s 2 96 7 s 3 90 10 Z 1 Z 2 90 98 96 5 10 7

26. Exemple : Cartographie statistique Vincent T’kindt Modélisation des préférences : Le Décideur est peu certain de ce qu’il veut : approche interactive, Interactions sur la borne  (quit à considérer des pourcentages), Quelle fiabilité pour les préférences ? Illustration : Z 1  Z 2 Augmenter  pour diminuer l’écart maximum sur la superficie, Diminuer  pour diminuer l’écart sur la densité,

27. Exemple : Cartographie statistique Vincent T’kindt Résolution du problème : Comment calculer une sectorisation pour le problème  -contraint ? => nombre de secteurs et constitution des secteurs. Utilisation de méthodes de la Recherche Opérationnelle (heuristiques, algorithmes exacts). Note : ce problème peut-il également être vu comme un problème de classification non supervisée ?

28. Conclusions Vincent T’kindt Ce qu’il faut retenir : Une démarche d’ADM fait nécessairement intervenir le Décideur, Il n’existe pas de solution optimale unique, mais plutôt un ensemble de solutions « optimales », La prise en compte des préférences est une étape cruciale, La mise au point d’algorithmes efficaces nécessite une bonne connaissance des outils de la Recherche Opérationnelle et de l’Aide à la Décision.

29. Bibliographie Vincent T’kindt [Figueira et al., 2005] J. Figueira, S. Greco et M. Erghott. Multiple Criteria Decision Analysis: State-of-the-art surveys, International Series on Operations Research and Management Sciences, Springer. [Jacquet-Lagrèze et Siskos, 1982] E. Jacquet-Lagrèze et Y. Siskos. Assessing a set of additive utility functions for multicriteria decision making: the UTA method. European Journal of Operational Research, 10(2):151-164, 1982. [Roy, 2006] B. Roy. Regard historique sur la place de la RO-AD en France, Cahier du Lamsade, num. 237, Université Paris-Dauphine, mai 2006. [Saaty, 1986] T. Saaty. Axiomatic foundation of the Analytic Hierarchy Process, Management Science, 32(7):841-855, 1986. [Von Neumann et Morgenstern, 1954] J. Von Neumann et O. Morgenstern. Theory of games and economic behaviour, Wiley Edition, 1954.