Espace de Probabilité

Introduction
Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
Probabilités pour ingénieurs
Chapitre 1 : Espace de Probabilté
I. MEDARHRI
ENSMR, École Nationale Supérieure des Mines de Rabat
2019-2020
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

Introduction
Probabilités
Le paradoxe des anniversaires

Introduction
Probabilités
Le paradoxe des anniversaires est une estimation probabiliste du
nombre de personnes que l’on doit réunir pour avoir une chance
sur deux que deux personnes de ce groupe aient leur anniversaire le
même jour. Il se trouve que ce nombre est 231, ce qui choque un
peu l’intuition. À partir d’un groupe de 57 personnes, la probabilité
est supérieure à 99 %.
Cependant, il ne s’agit pas d’un paradoxe dans le sens de
contradiction logique ; c’est un paradoxe, dans le sens où c’est une
vérité mathématique qui contredit l’intuition : la plupart des gens
estiment que cette probabilité est très inférieure à 50 %.
p(n) =
365!
(365 − n)!
·
1
365n
p(n) = 1 − p(n)
Cette étude est due à Richard von Mises.
Problème de Monty-Hall : Wikipedia, Jeu interactif

Introduction
Probabilités
Plan
1 Introduction
Domaines d’application des probabilités
Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
2 Quelques concepts de base
Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
3 Probabilités
La probabilité d’un événement
Propriétés de la probabilité d’un événement
Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes

Introduction
Probabilités
Comment les probabilités interviennent-elles dans la vie de tous les
jours ?

Introduction
Probabilités
les probabilités

Introduction
Probabilités
les probabilités
Économie

Introduction
Probabilités
les probabilités
Économie
Biologie

Introduction
Probabilités
les probabilités
Économie
Biologie
Psychologie

Introduction
Probabilités
les probabilités
Économie
Biologie
Psychologie
Les sciences
de l’ingénieur

Introduction
Probabilités
Probabilité en Science de l’Ingénierie
La théorie des systèmes et le traitement du signal
L’ingénierie des procédés chimiques
La production mécanique
L’aéronautique et le domaine des transports
L’informatique
La géologie et la construction
Les télécommunications
L’ingénierie biomédicale,....

Introduction
Probabilités
La théorie des probabilités a mis beaucoup de temps à
émerger
Très certainement d’origine arabe: az-zahr: le dé.
En Inde, 4ème siècle,existence d’une science du dé et
connaissance de ses rapports étroits avec une évaluation de
type sondage. (Le Mahabharata)
En Europe, aux 16-17èmes siècles, émergence d’une science
du jeu de dé.Cardan, Kepler, Galilée.
Théorie rigoureuse: Pascal.
Résolution de controverses juridiques (Fermat, Leibniz).
Autre impulsion motivée par des problèmes d’assurance
(tables de mortalité et rentes viagères).
Développement des Statistiques: outil puissant pour les
organismes de décision...

Introduction
Probabilités
Les développements mathématiques
Les probabilités sont un outil privilégié de modélisation des
comportements humains, mais deviennent aussi un grand champ
de développement des Mathématiques.
19ème siècle et début 20ème siècle: Essor des probabilités
grâce aux méthodes d’analyse.
Calcul intégral et différentiel (Laplace, Gauss)
Théorie de la mesure (Borel, Lebesgue).

Introduction
Probabilités
Les développements mathématiques
Les probabilités sont un outil privilégié de modélisation des
comportements humains, mais deviennent aussi un grand champ
de développement des Mathématiques.
19ème siècle et début 20ème siècle: Essor des probabilités
grâce aux méthodes d’analyse.
Calcul intégral et différentiel (Laplace, Gauss)
Théorie de la mesure (Borel, Lebesgue).
A partir du 20ème siècle: Etude de phénomènes aléatoires qui
évoluent au cours du temps.Processus de Markov
Problèmes de Physique statistique, Mouvement Brownien.
Problèmes de démographie. Processus de branchement,
Processus de Poisson.
Théorie statistique, biométrie

Introduction
Probabilités
Aujourd’hui
Le modèle probabiliste actuel: Kolmogorov - 1933.
Calcul stochastique: Itô, à partir de 1945. Calcul intégral lié
au mouvement brownien.

Introduction
Probabilités
Aujourd’hui
Très grand essor dans la deuxième moitié du 20ème siècle.

Introduction
Probabilités
Aujourd’hui
Très grand essor dans la deuxième moitié du 20ème siècle.
Les probabilités interviennent dans de nombreux
développements mathématiques récents

Introduction
Probabilités
Probabilité vs Statistique
Probabilités :
Modèle est complètement spécifié
But est d’exploiter le modèle pour prendre des décisions

Introduction
Probabilités
Probabilités :
Raisonnement déductif

Introduction
Probabilités
Probabilités :
Statistique :
Modèle est inconnu, mais on dispose d’observations
But est de compléter le modèle à l’aide des observations

Introduction
Probabilités
Probabilités :
Statistique :
Raisonnement inductif

Introduction
Probabilités
Probabilités :
Statistique :
Dans de nombreuses applications, on peut très bien
utiliser le calcul des probabilités sans faire appel à la
statistique.

Introduction
Probabilités
Probabilités :
Statistique :
Dans de nombreuses applications, on peut très bien
utiliser le calcul des probabilités sans faire appel à la
statistique.
Il est presque impossible de faire de la statistique sans
faire appel au calcul des probabilités.

Introduction
Probabilités
Problème de prédiction:
On cherche à établir les conséquences probables d’un certain
nombre de choix, sachant que les conséquences peuvent aussi
être influencées par des facteurs aléatoires exogènes.

Introduction
Probabilités
Problème de diagnostic :
On veut inférer les causes probables d’un phénomène observé
à partir de l’observation de ses conséquences.

Introduction
Probabilités
Problème de diagnostic :
On veut inférer les causes probables d’un phénomène observé
à partir de l’observation de ses conséquences.
Problème de décision séquentielle :
On cherche à établir une stratégie permettant d’adapter son
comportement à des informations qui seront collectées
ultérieurement.

Introduction
Probabilités
Exemple de problème de prédiction
Il faut décider s’il est intéressant d’investir dans la construction
d’une ligne électrique pour relier deux villes (ou deux pays, ou deux
ı̂les, ou deux continents...).

Introduction
Probabilités
Exemple de problème de prédiction
Il faut décider s’il est intéressant d’investir dans la construction
d’une ligne électrique pour relier deux villes (ou deux pays, ou deux
ı̂les, ou deux continents...).
Il faut prédire la probabilité de défaillance, et la quantité moyenne
d’énergie non desservie, dans deux hypothèses : sans la ligne, et
avec la ( les) ligne(s) en place, puis arbitrer en fonction du coût de
construction d’une ligne.

Introduction
Probabilités
Exemple de problème de diagnostic
Ayant l’information que la voiture ne démarre pas, et sachant
qu’on a fait récemment le plein et que la radio fonctionne encore,
on cherche l’explication la plus probable de la panne (noeuds
entourés en rouge).

Introduction
Probabilités
Exemple de problème de décision séquentielle
Malgré l’incertitude sur les conditions du marché de l’électricité du
lendemain, il faut planifier la veille quelles centrales électriques
seront en service le lendemain, sachant qu’il est possible d’ajuster
le lendemain le niveau de production de ces centrales. On souhaite
maximiser le bénéfice économique.

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Motivation
Pour formaliser un problème dans lequel le hasard intervient, on
doit construire un modèle probabiliste, choisi en fonction du but
que l’on poursuit. Ce modèle est constitué d’un
ensemble fondamental, d’une tribu d’événements et d’une
probabilité. Le choix de l’ensemble fondamental est très important
pour le calcul ultérieur des probabilités des événements. Nous
introduirons aussi les notions de probabilité conditionnelle et
d’indépendance. La formule de Bayes est souvent très utile pour le
calcul de probabilités conditionnelles.

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Construire l’espace de probabilité consiste à :
Définir:
• Expérience aléatoire, espace échantillonnal, événement.
Comprendre:
• Ensemble vide, réunion, intersection, complémentaire.
Présenter:
• Diagramme de Venn.

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Definition
On appelle expérience aléatoire une expérience E qui, reproduite
dans des conditions identiques, peut conduire à plusieurs résultats
possibles, et dont on ne peut prévoir le résultat par avance. et
dans des conditions fixées:
1 Connaı̂t l’ensemble des résultats possibles;

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Definition
On appelle expérience aléatoire une expérience E qui, reproduite
dans des conditions identiques, peut conduire à plusieurs résultats
possibles, et dont on ne peut prévoir le résultat par avance. et
dans des conditions fixées:
1 Connaı̂t l’ensemble des résultats possibles;
2 On ne peut prédire avec certitude le résultat que l’on
obtiendra.
Les éléments ou sous-ensembles de cet ensemble doivent vérifier les
conditions suivantes :
• Mutuellement exclusif.
• Collectivement exhaustif.

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Definition
L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience
aléatoire constitue l’espace échantillonnal (ou l’Univers) de
l’expérience; noté traditionnellement par Ω ou S.
Un espace échantillonnal peut être fini, infini dénombrable, infini
(non dénombrable), ou un mélange de plusieurs types.

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Definition
L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience
aléatoire constitue l’espace échantillonnal (ou l’Univers) de
l’expérience; noté traditionnellement par Ω ou S.
Un espace échantillonnal peut être fini, infini dénombrable, infini
(non dénombrable), ou un mélange de plusieurs types.
exemple 1
l’expérience (E) consistant à ”Lancer un dé et noter le résultat
obtenu” est une expérience aléatoire comportant 6 résultats;

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
exemple
1 On lance une pièce:

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
exemple
1 On lance une pièce: Ω = {P, F}, assimilé à Ω = {0, 1},
2 On lance un dé n fois :

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
exemple
2 On lance un dé n fois : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n
3 Romeo attend Juliette qui lui a promis d’arriver entre minuit
et une heure:

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
exemple
et une heure: Ω = [0; 1]
4 On étudie la durée de vie d’une bactérie:

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
exemple
4 On étudie la durée de vie d’une bactérie: Ω = [0; +∞]
5 On étudie la durée d’une communication téléphonique:

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
exemple
Ω = [0; +∞]
6 On envoie une fléchette sur une cible circulaire de 30 cm de
diamètre:

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
exemple
Ω = [0; +∞]
6 On envoie une fléchette sur une cible circulaire de 30 cm de
diamètre: Ω = {(x, y),
p
x2 + y2 6 15}

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Quelle information pouvons-nous tirer de
l’expérience?
Exemple : Le jeu de fléchettes
1 On s’intéresse à la chance de tomber dans une des couronnes
ou un des secteurs de la cible.
2 Les résultats du jeu peuvent se décrire à l’aide de parties du
disque.

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Definition
On appelle événement aléatoire (associé à l’expérience E) un
sous-ensemble de Ω dont on peut dire au vu de l’expérience s’il est
réalisé ou non.
Un événement aléatoire A est donc une partie de Ω
exemple
Pour l’expérience (E) consistant à lancer un dé une fois à six faces
on a S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
1 L’événement A : ”Le résultat du lancer est un nombre impair”

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Definition
On appelle événement aléatoire (associé à l’expérience E) un
sous-ensemble de Ω dont on peut dire au vu de l’expérience s’il est
réalisé ou non.
Un événement aléatoire A est donc une partie de Ω
exemple
Pour l’expérience (E) consistant à lancer un dé une fois à six faces
on a S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
1 L’événement A : ”Le résultat du lancer est un nombre impair”
2 L’événement B : ”Le résultat est un nombre plus grand que 2
mais différent de 5” .

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
exemple
1 Jet d’un dé, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A = {2, 4, 6} :

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
exemple
1 Jet d’un dé, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A = {2, 4, 6} : ”obtenir un nombre paire”
2 Le jet successif de n pièces de monaie, S={P, F}n ( pour
n = 2, on a S = {PP, PF, FP, FF} = {P, F}2),
A = {P} × {P, F}n−1 :

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
exemple
1 Jet d’un dé, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A = {P} × {P, F}n−1 : ”Le premier lancer est pile”.
3 La durée de vie d’une ampoule. S = R+
A = [100, +∞[:

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
exemple
1 Jet d’un dé, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A = {P} × {P, F}n−1 : ”Le premier lancer est pile”.
3 La durée de vie d’une ampoule. S = R+
A = [100, +∞[: ”l’ampoule fonctionne plus de cent
heures”

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Ensemble vide
Un événement d’un espace échantillonnal S qui ne contient aucun
résultat, est un ensemble vide, noté ∅. L’ensemble vide est
(l’événement impossible).

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Ensemble vide
Union
Si (Ai )16i6n sont des événements, alors ∪n
i=1Ai est l’événement qui
représente la réalisation d’au moins un des Ai , i = 1, 2, ..., n.

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Ensemble vide
Union
Intersection
Si (Ai )16i6n sont des événements, alors ∩n
représente la réalisation de tous les Ai , i = 1, 2, ..., n.

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Ensemble vide
Union
Intersection
Si (Ai )16i6n sont des événements, alors ∩n
représente la réalisation de tous les Ai , i = 1, 2, ..., n.
Complémentaire
Si A est un événement, alors A (A complément) est l’événement
qui représente la non réalisation de A. Autres notations : Ac.

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Règle de Morgan
Si A1, A2, ..., An sont des événements, alors
1 A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An.
2 A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An.

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Une manière de représenter l’information reliée à un problème de
probabilité est d’illustrer par un schéma : l’espace échantillonnal,
tous les événements impliqués et tous les sous-ensembles qui sont
formés quand des événements se recoupent. L’un des schémas les
plus utilisés pour représenter l’espace échantillonnal et les
événements est le diagramme de Venn.

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Figure: Diagramme de Venn.

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Le couple (Ω, P(Ω)) s’appelle un espace probabilisable. Même si Ω
est fini, le cardinal de P(Ω) peut être un nombre très grand et
dans ce cas on est amené alors à ne considerer qu’une famille
restreinte A de parties de Ω , A ⊂ P(Ω). Pour que le résultat des
opération ensemblistes (union, intersection, complémentaire) soit
encore un événement, il est nécessaire que la famille d’événements
qui a été retenue soit fermée, ou stable, vis-a-vis de ces opérations,
c’est-à-dire qu’il soit bien un élément de la famille. De plus, les
événements ”certain” Ω ”impossible” ∅ doivent également
appartenir à cet ensemble. Ainsi, on associera à une épreuve
aléatoire un ensemble non vide de parties de Ω , note A, qui
verifiera :

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
C1 Pour tout A ∈ A, alors A ∈ A;
C2 Pour tout A ∈ A et tout B ∈ A, alors A ∪ B ∈ A.
Il y a fermeture pour le complémentaire et l’union. Cet
ensemble A s’appelle une algèbre de parties de Ω . Grâce aux
régles de Morgan, on a une définition équivalente en
remplaçant la condition C2 par :
C0
2 Pour tout A ∈ A et tout B ∈ A, alors A ∩ B ∈ A

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Propriété d’une Algèbre
P1 La famille étant non vide, on en conclut que: ∅ ∈ A et ;
Ω ∈ A
P2 Si Ak ∈ A pour 1 ≤ k ≤ n, on démontre par récurrence que :
Sn
k=1 Ak ∈ A.
P3 Si Ak ∈ A pour 1 ≤ k ≤ n, on démontre par récurrence que :
Tn
k=1 Ak ∈ A.
Cependant, certaines expériences peuvent se dérouler indéfiniment
et on a donc besoin de renforcer la propriété P2 de fermeture pour
l’union finie par une condtion de fermeture pour l’union
dénombrable, soit:
C3 Si An ∈ A pour tout n ∈ N, alors
S∞
n=0 An ∈ A.

Introduction
Probabilités
Objectifs visés
Diagramme de Venn
Cette condition exprime que toute union dénombrable
d’événements est encore un événement. L’ensemble A auquel on
impose les conditions C1 et C3 s’appelle alors une σ-algèbre
ou Tribu d’événements.
Le couple formé de l’ensemble fondamental S et de la Tribu
d’événement associée A s’appelle unespace probabilisable.
exemple : Algèbre grossière d’événements
1 {∅, Ω} est une algèbre d’événements, appelée l’algèbre
grossière des événement.
2 Soit A une partie de Ω . Montrer que A = {∅, A, Ac, Ω} est
une tribu sur Ω (Algèbre de Bernoulli d’événements).

Introduction
Probabilités
Indépendance
Se familiariser avec la définition rigoureuse de la probabilité d’un
événement, les propriétés de cette probabilité et quelques
théorèmes utiles. Plus précisément:
• Définition et Propriétés de la probabilité d’un événement.
• Quelques théorèmes utiles.

Introduction
Probabilités
Indépendance
Fréquence empirique:
Figure: Comment savoir si la pièce est truquée?.

Introduction
Probabilités
Indépendance
1 Un lancé : 1 Pile - on ne peut rien dire.
2 3 lancés: 2 Pile, un face - on peut rien dire.
3 300 lancés: 200 Pile, 100 face - on commence à se poser des
questions.
4 3000 lancés: 2000 Pile et 1000 Face - il est presque certain
que la pièce est truquée.
C’est la répétition de l’expérience qui nous apporte l’information.
Fréquence empirique de l’événement ”Pile”: 2000
3000 = 2
3.
Cette fréquence nous donne un idée de la chance de réalisation de
”Pile” car le nombre de lancés est grand.

Introduction
Probabilités
Indépendance
1 Considérons une expérience aléatoire donnée E et un
événement A pour cette expérience.
2 Supposons que l’on répète n fois l’expérience E.
3 Notons nA le nombre de fois où A est réalisé.
La fréquence empirique de A est la fréquence de réalisation de
A sur ces n coups:
fn(A) =
nA
n
4 Nous avons les propriétés suivantes:
fn(A) ∈ [0, 1]; fn(Ω) = 1
Si A ∩ B = ∅, on a fn(A
S
B) = fn(A) + fn(AB)

Introduction
Probabilités
Indépendance
Approche intuitive d’une probabilité: associer à chaque événement
aléatoire A un nombre P(A) compris entre 0 et 1, qui représente la
chance (a priori) que cet événement soit réalisé.
Intuitivement,
P(A)= limite de fn(A) quand n tend vers +∞

Introduction
Probabilités
Indépendance
Definition
Soit S un espace échantillon. On appelle probabilité P sur (Ω, A)
une application,P : A → [0, 1], P(.) qui à tout événement A de S
associe un nombre réel P(A) vérifiant:
1 0 ≤ P(A) ≤ 1 pour tout A ∈ Ω
2 P(S) = 1.
3 Si A1, A2, ..., sont des événement deux à deux disjoints
(Ai
T
Aj = ∅ si i 6= j), alors :
P(
[
i
Ai ) =
X
i
p(Ai ).
Le triplet (Ω, A, P) s’appelle un espace probabilisé

Introduction
Probabilités
Indépendance
Soit S un espace échantillon et A, B, C, ... des événements de S,
alors :
Propriétés
1) P(S) = 1, P(Ac) = 1 − P(A) et P(∅) = 0;
2) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B);
3) si A ⊆ B alors P(A) ≤ P(B);
3) P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩
C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C);

Introduction
Probabilités
Indépendance
On peut généraliser la règle précédente par le théorème de
Poincaré :
Theorem
P(
k
[
i=1
Ai ) =
k
X
i=1
P(Ai ) −
k
X
i<j=2
P(Ai ∩ Aj ) +
k
X
i<j<r=3
P(Ai ∩ Aj ∩ Ar )
+ . . . + (−1)r+1
X
i1<i2<...<ir
P(Ai1
∩ Ai2
∩ . . . ∩ Air
)
+ . . . + (−1)k+1
P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ak ).
Autrement,
P(
n
[
i=1
Ai ) =
n
X
i=1
(−1)k+1
X
16i1<i2<...<ik 6n
P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik
)

.

Introduction
Probabilités
Indépendance
exemple
Dans une école 75% des élevés travaillent bien en Info (I), 20% en
A. Numérique (A) et 40% en Proba (P), 15% en (I) et en (A),
30% en (I) et en (P), 10% en (A) et (P) et 5% travaille dans les
trois matières. On prend un élève au hasard.
1) Quelle est la probabilité qu’il travaille au moins dans une des
trois matières?
2) Quelle est la probabilité que l’élève choisi travaille uniquement
dans une des trois matières?

Introduction
Probabilités
Indépendance
exemple introductif
On jette deux dés parfaitement équilibrés et on désigne par
A :” la somme des résultats est supérieure ou égale à 10 ”.
Supposons que le point amené par le premier dé soit connu mais le
second dé soit encore à lancer.

Introduction
Probabilités
Indépendance
exemple introductif
On jette deux dés parfaitement équilibrés et on désigne par
A :” la somme des résultats est supérieure ou égale à 10 ”.
Supposons que le point amené par le premier dé soit connu mais le
second dé soit encore à lancer.
Pour cette expérience l’espace échantionnal S = {(1, 1), ..., (6, 6)}
et A = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}.
D’où P(A) = 1/6.
En présence de l’information concernant le premier dé, il n’est plus
possible d’attribuer la probabilité 1/6 à l’événement A.

Introduction
Probabilités
Indépendance
exemple introductif
I En effet, si le premier dé a amené le point 2,

Introduction
Probabilités
Indépendance
exemple introductif
A est devenu irréalisable.
I Si par contre le premier dé a amené le point 6,
A sera réalisé si le point amené par le second est au moins
égal à 4. Il y a donc 3 cas favorables à la réalisation de A et 6
cas possibles.

Introduction
Probabilités
Indépendance
exemple introductif
A est devenu irréalisable.
I Si par contre le premier dé a amené le point 6,
A sera réalisé si le point amené par le second est au moins
égal à 4. Il y a donc 3 cas favorables à la réalisation de A et 6
cas possibles.
On dit que 3/6 est la probabilité conditionnelle de A sachant que
le premier dé a amené le point 6.

Introduction
Probabilités
Indépendance
Une probabilité conditionnelle est la probabilité d’un
événement, étant donné qu’un autre événement a déjà lieu.
Au lieu de noter P(A), la probabilité d’un événement A donné,
on aurait pu écrire P(A|S) qui se lit : ”probabilité de A par
rapport à l’espace échantillonnal S”.
La probabilité conditionnelle de l’événement A, étant donné la
réalisation de l’événement B, se note P(A|B) ou (PB(A))
La probabilité conditionnelle de PB(.) est la restriction de
l’ensemble des résultats possibles S à B.

Introduction
Probabilités
Indépendance
Definition
Soient A et B deux événements d’un espace échantillon S. On
définit la probabilité conditionnelle de A sachant(où étant donné)
B par :
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
, si P(B) 0
Figure: Probabilité conditionnelle P(A|B)

Introduction
Probabilités
Indépendance
exemple d’application 2
Madame X a deux enfants, on considère les deux événements
suivants :
I Événement B : ”l’aı̂née est une fille”.
Quelle est la probabilité que l’événement A :” les deux enfants
sont des filles” se réalise?
I Événement C : ”Mme X a au moins une fille”.
Quelle est la probabilité que l’événement A se réalise?

Introduction
Probabilités
Indépendance
Diagramme en arbre
Figure: Arbre de probabilité.

Introduction
Probabilités
Indépendance
Les règles de calculs dans un arbre de probabilités :
Pour calculer la probabilité
d’un événement figurant au
bout d’une branche, on fait
le produit des probabilités
figurant sur les branches
conduisant à cet événement
(on parlera de la probabilité
du chemin). Cette règle
n’est autre que la propriété
des probabilités composées.
Par exemple ici
P(A ∩ E) = P(A) ∗ P(E|A)

Introduction
Probabilités
Indépendance
La probabilité d’un
événement est la somme des
probabilités des chemins
conduisant à cet événement.
Cette règle est la formule
des probabilités totales. Par
exemple ici P(E) =
P(A) ∗ P(E|A) + P(B) ∗
P(E|B) + P(C) ∗ P(E|C)

Introduction
Probabilités
Indépendance
La somme des probabilités
des branches ayant même
origine vaut 1. Ceci provient
du fait que sur les branches
figurent des probabilités et
que l’on a un système
complet d’événements. Par
exemple ici
P(E|A) + P(Ec|A) = 1

Introduction
Probabilités
Indépendance
Règle de multiplication
P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B)
= P(A) × P(B|A).
On peut généraliser cette règle à un nombre fini d’événements :
Régle de Multiplication : cas génèral
Soit (Ai )1≤i≤n une famille d’événement de S, on a
P(
n

i=1
Ai ) =
n
Y
i=1
P(Ai |
i−1

j=1
Aj ).

Introduction
Probabilités
Indépendance
Historique
En statistiques, on sait calculer la
probabilité qu’une cause ait tel
ou tel effet. Thomas Bayes (1702
- 1761), mathématicien
britannique et pasteur de l’Église
presbytérienne, s’est attaqué au
problème inverse, celui du
raisonnement par induction ou
inférence: connaissant les effets,
quelles en sont les causes
probables?. D’où l’utilité de la
formule de Bayes.

Introduction
Probabilités
Indépendance
Definition
Des événements B1, B2, ..., Bn forment une partition d’un espace
échantillon S si
a) Bi ∩ Bj = ∅ pour i 6= j;
b) B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bn = S.
Théorème des probabilités totales
Si B1, B2, ..., Bn forment une partition de S, alors, pour tout
événement A de S on a:
P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + . . . + P(A ∩ Bn)
=
n
X
i=1
P(Bi ) × P(A|Bi ).

Introduction
Probabilités
Indépendance
Si B1, B2, ..., Bn forment une partition de S, alors, pour tout
événement A de S on a:
P(Bk|A) =
P(BK ) × P(A|Bk)
Pn
i=1 P(Bi ) × P(A|Bi )
, k = 1, 2, . . . , n.
Figure: Le diagramme de Venn pour le théorème de Bayes.

Introduction
Probabilités
Indépendance
Exemple d’application
Soit l’événement A : ”Avoir un cancer des poumons”
et l’événement B : ”Être fumeur régulier”.
I La probabilité d’avoir un cancer des poumons est de 0, 2.
I La probabilité pour une personne atteinte d’un cancer des
poumons d’être un fumeur régulier est de 0, 8.
I La probabilité pour une personne non atteinte d’un cancer des
poumons d’être un fumeur régulier est de 0, 1
1- Quelle est la probabilité d’être un fumeur régulier et de
développer un cancer des poumons ?
2- Quelle est la probabilité d’être un fumeur régulier ?
3- Quelle est la probabilité chez les fumeurs régulier de
développer un cancer des poumons ?

Introduction
Probabilités
Indépendance
exemple 2
Trois machines produisent des pièces de voitures. La machine M1
produit 40% du total des pièces, M2 produit 25% etM3 produit
35%. En moyenne, les pièces non conformes aux critères imposés
sont 10% pour M1, de 5% pour M2 et de 1% pour M3.
Une pièce défectueuse est choisie au hasard dans la production
totale des trois machines.
Quelle est la probabilité qu’elle ait été produite par M1?

Introduction
Probabilités
Indépendance
exemple introductif
Une expérience aléatoire consiste à lancer trois fois de suite une
pièce de monaie biaisé, tel que P(P) = p et P(F) = 1 − p.
I Construisez un arbre pondéré en précisant les probabilités.

Introduction
Probabilités
Indépendance

Introduction
Probabilités
Indépendance
Definition
On dit que deux événements sont indépendants si P(A|B) = P(A)
La réalisation de A est indépendante de la réalisation ou non de B.
Autrement dit, sachant que B est réalisé ou pas l’événement A a la
même probabilité qu’il soit réalisé.

Introduction
Probabilités
Indépendance
Definition
On dit que deux événements sont indépendants si
P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Remarque
Si deux événements A et B sont indépendants alors :
- A et Bc sont indépendants;
- Ac et B sont indépendants;
- Ac et Bc sont indépendants.

Introduction
Probabilités
Indépendance
Remarque
Généralement, des événements A1, ...., An sont dits indépendants
si :
P(
n

i=1
Ai ) =
n
Y
i=1
P(Ai ).

Introduction
Probabilités
Indépendance
exemple
On jette deux dés non pipés et on considère les évènements
suivants :
A1 : ”le premier dé donne un nombre pair”
A2 : ”le deuxième dé donne un nombre pair”
A3 : ”la somme des deux lancers est paire”
I Est que les évènements A1, A2 et A3 sont indépendants dans
leur ensemble?

Introduction
Probabilités
Indépendance
solution
Le nombre d’événements élémentaires est :
card(Ω) = 36 (arrangements avec répétitions avec p = 2 et n = 6)
Les 3 évènements A1, A2 et A3 sont 2 à 2 indépendants mais ne
sont pas indépendants dans leur ensemble.
En effet: Les probabilités associées aux 3 évènements sont
I P(A1) = 1
2; P(A2) = 1
2; P(A3) = 1
2
I P(A1 ∩ A2) = 9
36 = P(A1)P(A2)
I P(A1 ∩ A3) = 9
36 = P(A1)P(A3)
I P(A2 ∩ A3) = 9
36 = P(A2)P(A3)
I (P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 1
4) 6=
(P(A1)P(A2)P(A3) = 1
8)

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui
étudie comment compter les objets. Elle fournit des méthodes de
dénombrements particulièrement utiles en théorie des
probabilités. Un exemple des applications intéressantes de cette
dernière est la démonstration du développement du binôme de
Newton utilisé dans le calcul des probabilités d’une loi binomiale.

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui
étudie comment compter les objets. Elle fournit des méthodes de
dénombrements particulièrement utiles en théorie des
probabilités. Un exemple des applications intéressantes de cette
dernière est la démonstration du développement du binôme de
Newton utilisé dans le calcul des probabilités d’une loi binomiale.
Notation
La cardinalité d’un ensemble Ω, notée card(Ω) = |Ω| = ]Ω, est le
nombre d’éléments contenus dans l’ensemble Ω.

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Principe de multiplication
Permet de compter le nombre de résultats d’expériences qui
peuvent se décomposer en une succession de sous-expériences.
Principe : suppose qu’une expérience est la succession de m
sous-expériences. Si la ième expérience a ni résultats possibles
pour i = 1, · · · , m, alors le nombre total de résultats possibles de
l’expérience globale est:
n =
m
Y
i=1
ni = n1n2 · · · nm

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Exemple
Vous achetez une valise à code 4 chiffres. On s’intéresse aux codes
composés des chiffres 0 et 1. Dans un premier temps, pour
visualiser et dénombrer tous ces codes, nous allons utiliser l’arbre
suivant :

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Figure: arbre des possibilités.

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Nombre de codes possible = nombre de chemins de cet arbre

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Nombre de codes possible = nombre de chemins de cet arbre
Solution
Le nombre total de code possible est 2.2.2.2 = 24.

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Exemple
Vous achetez une valise à code 4 chiffres. Combien de possibilités
avez-vous de choisir un code ?.

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Exemple
Vous achetez une valise à code 4 chiffres. Combien de possibilités
avez-vous de choisir un code ?.
Solution
m = 4 avec n1 = 10, n2 = 10, n3 = 10, n4 = 10, donc le nombre
total de code possible est 10.10.10.10 = 104.

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Permutation
Definition
Une permutation de n éléments distincts e1, · · · , en est un
réarrangement ordonné, sans répétition de ces n éléments.

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Permutation
Definition
Une permutation de n éléments distincts e1, · · · , en est un
réarrangement ordonné, sans répétition de ces n éléments.
Notation
La fonction ’factorielle’ est la fonction de domaine N = 0, 1, 2, · · ·
qui a tout n ∈ N associe n! = nx(n − 1)x · · · x3x2x1.

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Exemple
Quatre Américains, cinq Suisses et sept japonais doivent s’asseoir
sur un même banc, et doivent rester groupés par nationalité.
Combien y a-t-il de dispositions possibles ?

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Exemple
Quatre Américains, cinq Suisses et sept japonais doivent s’asseoir
sur un même banc, et doivent rester groupés par nationalité.
Combien y a-t-il de dispositions possibles ?
Solution
3!4!5!7!.

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Permutations d’objets partiellement
indistinguables
Théorème
Il y a
n!
n1!n2! · · · nr !
permutations différentes de n objets parmi lesquels n1 sont
indistinguables entre eux, n2 autres entre eux également, ...,nr
entre eux.

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
exemple
Parmi les 10 participants à un tournoi d’échec, on compte 4 russes,
3 américains et 2 anglais et un brésilien. Si dans le classement du
tournoi on ne peut lire que la liste des nationalités des joueurs mais
pas leur identité, à combien de classements individuels différents
une telle liste correspond-elle ?

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
exemple
Parmi les 10 participants à un tournoi d’échec, on compte 4 russes,
3 américains et 2 anglais et un brésilien. Si dans le classement du
tournoi on ne peut lire que la liste des nationalités des joueurs mais
pas leur identité, à combien de classements individuels différents
une telle liste correspond-elle ?
Solution
Il y a
10!
4!3!2!1!
classements possibles

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Definition
Un arrangement est une permutation de p éléments pris parmi n
éléments distincts. Les éléments sont pris sans répétition et sont
ordonnés, on a alors :
Ap
n = n!
(n−p)! avec 1 ≤ p ≤ n

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Exemple
Combien de mots de 3 lettres peuvent être formés dans un
alphabet de 26 lettres ?

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Exemple
Solution
263
= 17576

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Exemple
Solution
263
= 17576
exemple
Combien de mots de 3 lettres distinctes peuvent être formés dans
un alphabet de 26 lettres ?

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Exemple
Solution
263
= 17576
exemple
Combien de mots de 3 lettres distinctes peuvent être formés dans
un alphabet de 26 lettres ?
Solution
(A26,3 =)A3
26 = (26)(25)(24) = 15600.

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
exemple
Un drapeau est constitué de trois bandes verticales de couleurs.
I De combien de façons peut-on peindre les trois bandes de
couleurs différentes, en utilisant trois des 6 couleurs
fondamentales : bleu, jaune, rouge vert, violet, orange ?

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
exemple
Un drapeau est constitué de trois bandes verticales de couleurs.
I De combien de façons peut-on peindre les trois bandes de
couleurs différentes, en utilisant trois des 6 couleurs
fondamentales : bleu, jaune, rouge vert, violet, orange ?
Solution
(A6,3 =)A3
6 = (6)(5)(4) = 120.

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Definition
Une combinaison de p éléments pris dans un ensemble à n éléments
distincts est un sous-ensemble à p éléments de cet ensemble. Les
éléments sont pris sans répétition et ne sont pas ordonnés.

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Definition
Une combinaison de p éléments pris dans un ensemble à n éléments
distincts est un sous-ensemble à p éléments de cet ensemble. Les
éléments sont pris sans répétition et ne sont pas ordonnés.
Notation
Le nombre de combinaisons de p parmi n est noté Cn,p(Cp
n ) ou

n
p

Cp
n = n!
(n−p)!p! avec 1 ≤ p ≤ n
qui est appelé coefficient binomial.

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
exemple
on a 15 médicaments et on veut tester leur compatibilité en groupe
de 4. Combien y a-t-il de groupes possibles ?

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
exemple
on a 15 médicaments et on veut tester leur compatibilité en groupe
de 4. Combien y a-t-il de groupes possibles ?
Solution
(C15,4 =)C4
15 = 15!
4!11! = 1365.

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
exemple
On veut former un comité comprenant 3 des 20 personnes d’un
groupe.
I Combien y a t-il de ces comités?

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
exemple
On veut former un comité comprenant 3 des 20 personnes d’un
groupe.
I Combien y a t-il de ces comités?
Solution
(C20,3 =)C3
20 = 20!
3!17! = 1140

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Formule de Pascal
si 0 ≤ p ≤ n − 1 alors Cp−1
n−1 + Cp
n−1 = Cp
n

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Formule de Pascal
si 0 ≤ p ≤ n − 1 alors Cp−1
n−1 + Cp
n−1 = Cp
n
Formule de Newton
La formule du binôme de Newton correspond à la décomposition
des différents termes de la puissances neme du binôme (a + b)
∀(a, b) ∈ R, n ∈ N, (a + b)n =
Pn
p=0 Cp
n an−pbp

Introduction
Probabilités
permutation
Arrangement
Figure: Résumé de type de tirage.

Espace de Probabilité

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

En vedette

En vedette (20)

Espace de Probabilité