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Chapitre Introductif
- 2. Le modélisateur dispose de son expérience et peut effectuer des études statistiques pour répondre à ces questions. C'est l'ingénieur lui seul qui connait le terrain, qui peut répondre à ces questions, avec le bon sens "probabiliste".
- 3. Quelle est la nature d'un modèle statistique? A partir d'une connaissance quelconque où il y a des mécanismes physiques en jeu, de sa propre expérience, le statisticien postule un modèle probabiliste pour le système considéré. Il anticipe la similitude du comportement probabiliste des caractéristiques d'intérêt du système et du modèle.
- 4. • A partir des données expérimentales, est-ce qu'un certain modèle semble raisonnable ou au moins pas particulièrement déraisonnable? il s'agit du domaine du "test de signification". Dans ce genre de test, le statisticien spécule sur la probabilité que de données similaires à celles observées puissent être générées par des expériences hypothétiques faites avec le modèle
- 5. • A partir des données expérimentales, est-ce qu'un certain modèle semble raisonnable ou au moins pas particulièrement déraisonnable? il s'agit du domaine du "test de signification". Dans ce genre de test, le statisticien spécule sur la probabilité que de données similaires à celles observées puissent être générées par des expériences hypothétiques faites avec le modèle • A partir des données expérimentales, comment exprimer une préférence entre plusieurs modèles postulés? Quand on fait le choix entre plusieurs modèles hypothétiques, il s'agit d'un test d'hypothèse.
- 6. • A partir des données expérimentales, est-ce qu'un certain modèle semble raisonnable ou au moins pas particulièrement déraisonnable? il s'agit du domaine du "test de signification". Dans ce genre de test, le statisticien spécule sur la probabilité que de données similaires à celles observées puissent être générées par des expériences hypothétiques faites avec le modèle • A partir des données expérimentales, comment exprimer une préférence entre plusieurs modèles postulés? Quand on fait le choix entre plusieurs modèles hypothétiques, il s'agit d'un test d'hypothèse. • Etant donné la forme d'un modèle postulé pour un système physique et de données expérimentales, comment employer les données pour établir les valeurs les plus souhaitables des paramètres du modèle?
- 8. Statistique Probabilité • Espace fondamental • Epreuve • Evènement élémentaire • Variable aléatoire • Epreuves répétées • Nombre de répétitions d’une épreuve • Probabilité • Loi de probabilité • Espérance mathématique • Variance mathématique
- 9. Statistique Probabilité • Espace fondamental • Epreuve • Evènement élémentaire • Variable aléatoire • Epreuves répétées • Nombre de répétitions d’une épreuve • Probabilité • Loi de probabilité • Espérance mathématique • Variance mathématique • Population • Tirage (d’un individu), expérimentation • Individu, observation • Variable, caractère • Echantillonnage • Taille de l’échantillon, effectif total • Fréquence observée • Distribution observée ou loi empirique • Moyenne observée • Variance observée
- 10. 1. Introduction • Définitions • Vocabulaire • Type de variables • Liens avec les concepts probabilistes Plan
- 11. 1. Introduction • Définitions • Vocabulaire • Type de variables • Liens avec les concepts probabilistes 2. Recueil des données Plan
- 12. 1. Introduction • Définitions • Vocabulaire • Type de variables • Liens avec les concepts probabilistes 2. Recueil des données 3. Statistique descriptive univariée • Organiser les données • Présenter les données • Résumer les données Plan
- 13. 1. Introduction • Définitions • Vocabulaire • Type de variables • Liens avec les concepts probabilistes 2. Recueil des données 3. Statistique descriptive univariée • Organiser les données • Présenter les données • Résumer les données 4. Statistique descriptive bivariée • Deux variables qualitatives • Variable quantitative / Variable qualitative • Deux variables quantitatives Plan
- 14. Introductions Définition générale de la statistique • Science qui a pour objectif le recueil, l’analyse et l’interprétation des données observées • Distinction importante entre LA statistique et LES statistiqueS § La statistique fait référence à la science § Les statistiques font référence aux résultats chiffrés (ex : les statistiques du chômage)
- 15. Introductions Définition générale de la statistique • Science qui a pour objectif le recueil, l’analyse et l’interprétation des données observées • Distinction importante entre LA statistique et LES statistiqueS § La statistique fait référence à la science § Les statistiques font référence aux résultats chiffrés (ex : les statistiques du chômage) Démarche générale : 2 étapes consécutives • Le recueil des données • L’analyse et l’interprétation des données § Statistique descriptive : résumer et présenter les données observées de la manière la plus pertinente possible: Indicateurs statistiques, Représentations graphiques § Statistique inférentielle: extrapoler les résultats liés à un échantillon à un population sous-jacente
- 16. Introductions Statistique descriptive Organisation, présentation et analyse des données relatives à une population, un échantillon, en mettant les points importants en évidence. Statistique inférentielle Elle permet de généraliser à de grands ensembles d'éléments les conclusions tirées des résultats obtenus avec des ensembles beaucoup plus restreints appelés échantillons. Echantillon Inférence Population ? La statistique au sens large comprend deux branches.
- 17. Vocabulaire Définition générale de la statistique § Lorsqu’une étude est réalisée sur l’ensemble d’une population, on parle de recensement (ex : recensement ENSMR) § Lorsqu'une étude est réalisée sur une sous-population plus petite, on parle d’échantillon (ex : échantillon de 100 étudiants de ENSMR) § Cet échantillon est extrait de la population par le biais d’uneméthode d’échantillonnage • Echantillonnage aléatoire simple : tirer au hasard et manière indépendante n individus d’unepopulation de N individus. § Un échantillon est constitué d’individus statistiques (ou observationsstatistiques) § Sur ces individus sont mesurés des caractères (âge, poids, couleurs des yeux. . . ) appelés également variables § Deux types de variables : les variables quantitatives et les variables qualitatives constituées de plusieurs modalités
- 18. Vocabulaire Définition générale de la statistique Remarquons qu'un échantillon peut être considéré comme une population en elle-même, quoique beaucoup plus petite que la population dont il est extrait. En tant que population, il peut faire l'objet d'une étude statistique dont les conclusions, sous certaines conditions, sont susceptibles d’être étendues à la population toute entière. (C'est l'objet de la statistique inférentielle.) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Population Ensemble de référence x Individu Elément de la population Echantillon Sous-ensemble de la population.
- 20. Types des variables Variables Quantitatives (quantifiables) • Variables quantitatives discrètes (ne peuvent prendre qu’un nombre limité de valeurs. ex : nombre de personnes dans un foyer) • Variables quantitatives continues (âge, poids, taille,. . . ) Variables Qualitatives (non quantifiables) • Variables qualitatives nominales (Couleurs des yeux : marrons, bleus, verts, gris) • Variables qualitatives ordinales (Appréciation : Mauvais, Passable, Bien, Très bien, Excellent)
- 21. Types des variables Remarque • En réalité, le nombre de mesures possibles pour une variable dépend de la précision de la mesure. • On peut considérer comme continue une variable qui peut prendre un grand nombre de valeurs. • Exemple : Poids, Taille.
- 29. 1. Introduction • Définitions • Vocabulaire • Type de variables • Liens avec les concepts probabilistes 2. Recueil des données 3. Statistique descriptive univariée • Organiser les données • Présenter les données • Résumer les données 4. Statistique descriptive bivariée • Deux variables qualitatives • Variable quantitative / Variable qualitative • Deux variables quantitatives Plan
- 30. • Recueil des observations du phénomène étudié • A travers de déférentes variables (âge du client, Sexe, niveau de satisfaction...) • Données nombreuses ou difficiles à obtenir : § Mise en place de méthodes rationnelles de recueil § Méthodes d’échantillonnage (construire un échantillon représentatif de la population) § Plan d’expérience (comment construire l’expérimentation en vue de répondre correctement à l’objectif de l’étude)
- 35. Recueil des données dans un tableur • 1 individu par ligne • Variables en colonnes • Variables quantitatives : attention aux unités !! • Variables qualitatives : utilise des codages chiffrés plutôt que du texte § 1 = Excellent § 2 = Bon = Passable § 3 = Mauvais • Minimisation des erreurs de codage (Mauvais ≠ mauvais)
- 36. Recueil des données dans un tableur Num. Patient Nom Prénom DDN Taille (cm) Poids (Kg) Sexe Accueil_ télépho nique Accueil_ manip 1 Dupont Pierre 10/07/56 171 76 1 2 3 2 Durand Jean 23/09/78 185 83 1 1 1 … Données formatées pour la plupart des logiciels d’analyse statistique
- 37. Recueil des données dans un tableur • Question : Qu’est-ce qu’on fait de ces données ? • Analyse et interprétation des données : § Statistique descriptive § Statistique inférentielle Important : toute analyse statistique doit répondre à un ou plusieurs objectifs (obj. ppal / objssecondaires). Il est essentiel de construire un plan d’analyse statistique afin de poser les questions relatives à l’étude.
- 38. 1. Introduction • Définitions • Vocabulaire • Type de variables • Liens avec les concepts probabilistes 2. Recueil des données 3. Statistique descriptive univariée • Organiser les données • Présenter les données • Résumer les données 4. Statistique descriptive bivariée • Deux variables qualitatives • Variable quantitative / Variable qualitative • Deux variables quantitatives Plan
- 39. Organiser les données : Tableau de distribution Tableau de distribution – Pour chaque modalité, on définit l’effectif 𝒏𝒊 c’est à dire le nombre d’observations présentant la modalité 𝒙𝒊. Les modalités doivent être mutuellement exclusives ⇒ l’effectif total de l’échantillon étudié est égale à la somme des effectifs de chaque modalité : 𝑛 = '𝑛( ) (*+ avec p le nombre de modalités et n l’effectif total (taille de l’échantillon). Représentation sous forme d’un tableau de distribution de fréquences.
- 40. Organiser les données : Tableau de distribution Niveau (𝑥() Effectifs (𝑛() fréquences (𝑓() A 13 0,5 B 11 0,42 C 2 0,08 total 26 1 Exemple : tableau de répartition des groupes selon les niveau de formation • On appelle fréquence de la modalité 𝑥(, 𝑓( = 12 1 • Un pourcentage est une fréquence exprimée en %, c.à.d 100𝒇𝒊 .
- 41. Organiser les données : Tableau de distribution Fréquences cumulées croissantes : 𝐹( = '𝑓 5 ( 5*+ Cet indicateur a un sens pour les variables qualitatives ordinales et les quantitatives discrètes car on peut ordonner les modalités. On appelle 𝑥+, 𝑥6, …, 𝑥5,…, 𝑥) x 1 , . . . ,x i , . . . , x p les p valeurs ordonnées de x (l’indice i correspond alors au rang).
- 48. Présenter: Représentation graphique Variables qualitatives: Diagramme en barre; • Représente la distribution d’une variable à modalités • Les effectifs/pourcentages sont calculés par modalités • Un exemple avec la variable Appréciation constituée de 4 modalités :Mauvais - Passable - Bon - Excellent
- 50. Présenter: Représentation graphique Variables qualitatives: Diagramme circulaire; • Permet de visualiser la répartition des modalités de la variable • Chaque modalité est représentée par une "part" • La surface de chaque "part" est proportionnelle au pourcentage associé à la modalité ou, l’angle α i de la ième modalité : 𝛼( = :; : 360 = 𝑓(360 Exemple avec la variable Appréciation
- 56. Résumer: Les indicateurs de position Le mode Définition • Le mode d’une distribution est la valeur la plus fréquente de celle-ci. • Modalité d’effectif maximal,donc représentée parune barre de hauteurmaximale Exemple : Soit la série {12, 14, 12, 15, 12, 17, 18}. Déterminer le mode de la série.
- 57. Résumer: Les indicateurs de position Le mode Définition • Le mode d’une distribution est la valeur la plus fréquente de celle-ci. • Modalité d’effectif maximal,donc représentée parune barre de hauteurmaximale Exemple : Soit la série {12, 14, 12, 15, 12, 17, 18}. Déterminer le mode de la série.
- 58. Résumer: Les indicateurs de position Le mode Définition • Le mode d’une distribution est la valeur la plus fréquente de celle-ci. • Modalité d’effectif maximal,donc représentée parune barre de hauteurmaximale Remarque • Si les données sont regroupées par classe, on définit la classe modale comme la classe dont la densité d’effectif est la plus élevée et on attribue (arbitrairement) au mode la valeur centrale de cette classe. • Une distribution peut être polymodale
- 59. Résumer: Les indicateurs de position Classe Modale, Le mode: cas d’une variable continue Une classe modale est donc une classe pour laquelle le quotient (effectif/amplitude) est maximal alors que pour des classes d’amplitudes égales ou pour les variables discrètes, les classes modales ou les modes correspondent aux effectifs maxima. Remarque : le quotient effectif/amplitude s’appelle la densité d’effectif de la classe. • Il peut existerplusieurs modesou plusieursclasses modales. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + × + = Δs Δi Δi ai l M o
- 60. Résumer: Les indicateurs de position Classe Modale, Le mode: cas d’une variable continue • L: borne inférieure de la classe modale • ai : amplitude de la classe modale ∆i : différence entre le nombre d’observations (ou la fréquence) de la classe modale et de la classe pré-modale (si les amplitudes sont différentes on prend la densité de fréquence) • ∆s : différence entre le nombre d’observations (ou la fréquence) de la classe modale et de la classe post-modale (si les amplitudes sont différentes on prend la densité de fréquence)
- 62. Résumer: Les indicateurs de position Classe Modale, Le mode: cas d’une variable continue Déterminerla classe modale et Calculerle mode Distribution de l’âge des clients rentrant dans un magasin Exemple:
- 63. Résumer: Les indicateurs de position Classe Modale, Le mode: cas d’une variable continue Déterminerla classe modale et Calculerle mode Distribution de l’âge des clients rentrant dans un magasin Exemple: Classes Effectifs Fréquence% [10;15[ 10 12.5 [15;25[ 18 22.5 [25;30[ 15 18.75 [30;50[ 30 0,37.5 [50;55[ 7 8.75 Total 80 100
- 64. Résumer: Les indicateurs de position Classe Modale, Le mode: cas d’une variable continue Déterminerla classe modale et Calculerle mode Distribution de l’âge des clients rentrant dans un magasin Exemple: Classes Effectifs fréquence Amplitude densité d'effectif [10;15[ 10 12.5 5 2 [15;25[ 18 22.5 10 1,8 [25;30[ 15 18.75 5 3 [30;50[ 30 37.5 20 1,5 7 8.75 5 1,4 Total 80 100
- 65. Résumer: Les indicateurs de position Moyenne Moyenne arithmétique Moyenne arithmétique pondérée Attention : la moyenne arithmétique est sensible aux valeurs extrêmes dans le cadre de petits échantillons (n < 30). Soient {𝑤+, 𝑤6, . . . , 𝑤:} un ensemble de poids ∈ R+ 𝑋 A = ∑ 𝑥( : (*+ 𝑛 𝑋 A = ∑ 𝑤(𝑥( : (*+ ∑ 𝑤( : (*+
- 70. Résumer: Les indicateurs de position Moyenne Exemple : On a demandé à un groupe de 220 élèves de 18 à 22 ans combien d'heures ils passent devant Facebook chaque semaine pendant les vacances. Leurs réponses ont été consignées dans le tableau suivant. À l'aide de cette information, calculez la moyenne et l'écart-type des heures pendant lesquellesles 220 élèves passent devant Facebook. Nombre d'heures passées devant Facebook Heures Effectif (ni) [10,14[ 2 [14,20[ 12 [20,24[ 23 [24,30[ 60 [30,34[ 77 [34,40[ 38 [40,44[ 8 220
- 71. Résumer: Les indicateurs de position Moyenne Nombre d'heures passées devant Facebook Heures Point milieu (ci) Effectif (ni) Ni x ci [10,14[ 12 2 24 [14,20[ 17 12 204 [20,24[ 22 23 506 [24,30[ 27 60 1 620 [30,34[ 32 77 2 464 [34,40[ 37 38 1 406 [40,44[ 42 8 336 220 6 560 𝑋 A = 29.82
- 72. Résumer: Les indicateurs de position Médiane Définition • Indicateur insensible aux valeurs extrêmes (utilisation dans le cas de petits échantillons n < 30) • Idée maîtresse : 50% des observations ont une valeur inférieure ou égale à la médiane et 50% des observations ont une valeur supérieure ou égale à la médiane • Le calcul de la médiane est fonction de la parité du nombre d’observations Remarque : la médiane est insensible aux valeurs extrêmes.
- 73. Résumer: Les indicateurs de position Médiane La médiane estla valeurdu caractère étudié qui partage en deux parties égales l’effectif total 50 % de l’effectif total 50 % de l’effectif total Effectif correspondant à la médiane de la série
- 74. Résumer: Les indicateurs de position Médiane Calcul de la médiane dans le cas impair Exemple: Soit la série statistique : {3, 2, 6, 5, 4}. Calculer la médiane de la série. 𝑛 + 1 2 1. On ordonne de manière croissante la série de données 2. La médiane est égale à la valeur du rang ou n est le nombre d’observations 2
- 75. Résumer: Les indicateurs de position Médiane Calcul de la médiane dans le cas impair Exemple: Soit la série statistique : 𝑛 + 1 2 1. On ordonne de manière croissante la série de données 2. La médiane est égale à la valeur du rang ou n est le nombre d’observations 2 13 - 15 - 12 - 9 - 7 - 17 - 18 Calculer la médiane de la série.
- 76. Résumer: Les indicateurs de position Médiane Calcul de la médiane dans le cas impair Exemple: Soit la série statistique : 𝑛 + 1 2 1. On ordonne de manière croissante la série de données 2. La médiane est égale à la valeur du rang ou n est le nombre d’observations 2 On ordonne la série de manière croissante : 13 - 15 - 12 - 9 - 7 - 17 - 18 7 - 9 - 12 - 13 - 15 - 17 - 18 Valeurs Rangs 1 2 3 4 5 6 7 Calculer la médiane de la série.
- 77. Résumer: Les indicateurs de position Médiane Calcul de la médiane dans le cas impair Exemple: Soit la série statistique : {13, 15, 12, 9, 7,17,18}. Calculer la médiane de la série. 𝑛 + 1 2 1. On ordonne de manière croissante la série de données 2. La médiane est égale à la valeur du rang ou n est le nombre d’observations 2 On ordonne la série de manière croissante : Valeur 7 9 12 13 15 17 18 rang 1 2 3 4 5 6 7 La médiane correspond à la valeur de rang IJ+ 6 = 4 Médiane = 13
- 79. Résumer: Les indicateurs de position Médiane Calcul de la médiane dans le cas pair 1. On ordonne de manière croissante la série de données 2. La médiane est égale à la moyenne de la valeur au rang et de la valeur au rang 𝑛 + 2 2 𝑛 2 On ordonne la série de manière croissante : La médiane correspond à la valeur de rang K 6 et de la valeur de rang KJ6 6 = 5 Médiane Me= +LJ+M 6 = 𝟏𝟒 Exemple: Soit la série statistique : {13, 15, 12, 9, 7,17,18,20}. Calculer la médiane de la série. Valeur 7 9 12 13 15 17 18 20 rang 1 2 3 4 5 6 7 8
- 80. Résumer: Les indicateurs de position Médiane Remarque Quand la série est regroupée par classes, on détermine la médiane par interpolation linéaire à partir de la courbe des effectifs ou des fréquencescumulées. a Eff Effcum N L Md médiane classe prcdt × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = − 2
- 81. Résumer: Les indicateurs de position Médiane Durée en h Nombre d'élèvesECC ECD FréquencesFCC FCD [0,4[ 40 40 620 0,065 0,065 1 [4;8[ 80 120 580 0,129 0,194 0,935 [8;12[ 160 280 500 0,258 0,452 0,806 [12;20[ 200 480 340 0,323 0,774 0,548 [20;28[ 140 620 140 0,226 1,000 0,226 620 1 Exemple: Déterminer la médiane
- 82. Résumer: Les indicateurs de position Médiane Exemple: Déterminer la médiane x i Effectifs ( n i ) Simples Cumulées Croissantes Cumulées décroissantes ] 1000 -1500 ] 6 6 65 ] 1500 - 2000 ] 12 18 59 ] 2000 - 2500 ] 25 43 47 ] 2 500 - 3000] 17 60 22 ] 3000 - 3500 ] 5 65 5 65
- 84. Résumer: Les indicateurs de position Quartiles Calcul de la médiane dans le cas pair • Les quartiles sont les valeurs qui partagent la série ordonnée en 4 groupes de même effectif • 1er quartile (Q1) : 25% des observations ont une valeur inférieure ou égale à Q1. Réciproquement, 75% des observations ont une valeur supérieure ou égale à Q1. • 3ème quartile (Q3) 75% des observations ont une valeur inférieure ou égale à Q3. Réciproquement, 25% des observations ont une valeur supérieure ou égale à Q3.
- 85. Résumer: Les indicateurs de position Indicateurs de position - Récapitulatif Mode • Avantages § Bon indicateur dans le cas de distributions asymétriques § Bon indicateur de population hétérogène § Insensible aux valeurs extrêmes • Inconvénients § se prête mal aux calculs statistiques § Sensible aux variations d’amplitude de classes Moyenne • Avantages § Se prête facilement aux calculs et tests statistiques § Bon indicateur si distribution symétrique et dispersion faible • Inconvénients § Sensible aux valeurs extrêmes § Représente mal une population hétérogène (polymodale)
- 86. Résumer: Les indicateurs de position Indicateurs de position - Récapitulatif Médiane • Avantages § Moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne § Bon indicateur si distribution asymétrique • Inconvénients § se prête mal aux calculs statistiques § Classement peut être long si les valeurs sont nombreuse
- 88. Résumer: Les indicateurs de dispersion Indicateurs de position - Récapitulatif Voici les scores sur 20 (échelles d’intervalles) de deux groupes A et B Groupe A : 10 - 12 - 8 - 9 - 11 Groupe B : 3 - 17 - 2 - 18 - 19 - 1 Ces deux groupes ont pour moyenne : 10 10 11 12 9 8 Groupe A 1 2 3 17 18 19 Dispersion D i s p e r s i o n Groupe B LA MOYENNE (indice de tendance centrale) NE DIT RIEN DE LA DISPERSION DES VALEURS Deux outils vont être associés à la moyenne pour donner à voir la dispersion des données : La variance et l’écart type.
- 89. Résumer: Les indicateurs de dispersion Ecart-type Variance Ecart-type Remarque : La dimension de la variance est le carré de celle de la variable ⇒ difficile d’utiliser la variance comme norme de dispersion car changement d’unité. 𝑆QRS 6 = ∑ (𝑥(−𝑋 A)6 : (*+ 𝑛 𝑆QRS = 𝑆QRS 6
- 92. Résumer: Les indicateurs de dispersion Ecart-type Nombre d'heures passées devant Facebook Heures Point milieu (ci) Effectif (ni) Ni x ci (x -m )2 ni(x - m)2 [10,14[ 12 2 24 317,6 635,2 [14,20[ 17 12 204 164,4 1 972,8 [20,24[ 22 23 506 61,2 1 407,6 [24,30[ 27 60 1 620 8,0 480,0 [30,34[ 32 77 2 464 4,8 369,6 [34,40[ 37 38 1 406 51,6 1 960,8 [40,44[ 42 8 336 148,4 1 187,2 220 6 560 8 013,2 𝑋 A = 29.82 𝑆QRS = 6.035
- 93. Résumer: Les indicateurs de position Comment résumer une variable quantitative ? • Si la taille de l’échantillon est ⩾ 30 : moyenne ± écart-type • Si la taille de l’échantillon est < 30 : médiane - (Q1-Q3)
- 94. 1. Introduction • Définitions • Vocabulaire • Type de variables • Liens avec les concepts probabilistes 2. Recueil des données 3. Statistique descriptive univariée • Organiser les données • Présenter les données • Résumer les données 4. Statistique descriptive bivariée • Deux variables qualitatives • Variable quantitative / Variable qualitative • Deux variables quantitatives Plan
- 95. Motivation • Pour approfondir l’analyse, il est souvent utile de croiser certaines variables entre elles : § Croiser le niveau de satisfaction avec le sexe (les femmes sont-elles plus satisfaites que les hommes par rapport à ce produit ?) § Croiser l’âge avec le sexe (quelle est la moyenne d’âge chez les hommes ? Chez les femmes ?) § Croiser l’âge avec le poids (l’âge est-il corrélé au poids ? ) • Les représentations statistiques diffèrent en fonction du type de variables croisées : § qualitative/qualitative § qualitative/quantitative § quantitative/quantitative • L’analyse descriptive bivariée prépare l’inférence statistique : § Liaison entre variables § Corrélation entre variables
- 96. Motivation : Afin d'étudier la répartition des terres agricoles d'une région, on a noté un certain nombre de renseignements sur chaque exploitation, notamment : • la taille (surface, en hectares), • l'âge du chef d'exploitation, • le type de culture pratiquée, • le nombre de personnes employées à temps plein sur l'exploitation Exemple Introductif
- 97. Motivation : Exemple Introductif N° Exploitation Taille (ha) Age du chef d'exploitation (années) Culture dominante Nombre de personnes employées 1 50 50 blé 2 2 50.5 45 vigne 4 3 35 38 orge 3 4 62.1 25 blé 6 5 20 65 vigne 1 6 10 57 vigne 1 ... ... ... ... ... 198 56 45 blé 2
- 98. Motivation : Exemple Introductif Nous pouvons maintenant décrire chacun des caractères, un par un : • Taille • Age • Culture • Employés
- 100. Deux variables qualitatives : Présentation des données Considérons • X = {x1 , x2 , . . . , xl } • Y = {y1 , y2 , . . . , ym } deux variables qualitatives ayant respectivement l et m modalités. Exemple: - Niveau de satisfaction : Mauvais, Passable, Bon, Excellent. - Sexe : Masculin, Féminin Tableau de contingence • Basé sur l’effectif et la fréquence de chaque croisement de modalité • Notions supplémentaires : fréquences lignes et fréquences colonnes (conditionnelles) • Permet, d’une manière descriptive, d’étudier le "lien" entre deux variables qualitatives
- 102. Présentation des données - Fréquences conditionnelles lignes Fréquence conditionnelle ligne : Fréquence de la modalité yj parmi les individus présentant la modalité xi 𝑓 5/( = 𝑛(5 𝑛(. Deux variables qualitatives
- 103. Présentation des données - Fréquences conditionnelles lignes Fréquence conditionnelle colonne : Fréquence de la modalité xi parmi les individus présentant la modalité yj 𝑓(/5 = 𝑛(5 𝑛.5 Deux variables qualitatives
- 105. Présentation des données - Exemple Croisement du niveau de satisfaction et du sexe • Effectifs : Parmi 280 individus, 30 hommes ont noté « mauvais » Deux variables qualitatives
- 106. Présentation des données - Exemple Croisement du niveau de satisfaction et du sexe • Effectifs : Parmi 280 individus, 30 hommes ont noté « mauvais » • % : Parmi 280 individus, 11% sont des hommes qui ont noté « mauvais » Deux variables qualitatives
- 107. Présentation des données - Exemple Croisement du niveau de satisfaction et du sexe • Effectifs : Parmi 280 individus, 30 hommes ont noté « mauvais » • % : Parmi 280 individus, 11% sont des hommes qui ont noté « mauvais » • %ligne : Parmi 40 individus qui ont noté « mauvais », 75% étaient des hommes (30/40) Mauvais Deux variables qualitatives
- 108. Présentation des données - Exemple Croisement du niveau de satisfaction et du sexe • Effectifs : Parmi 280 individus, 30 hommes ont noté « mauvais » • % : Parmi 280 individus, 11% sont des hommes qui ont noté « mauvais » • %ligne : Parmi 40 individus qui ont noté « mauvais », 75% étaient des hommes (30/40) Mauvais • %colonne : Parmi 150 hommes, 20% ont noté « mauvais » (30/150) Deux variables qualitatives
- 115. 115 Considérons: • Variables quantitatives : X ∈ R et Y ∈ R Deux variables quantitatives
- 116. 116 Deux variables quantitatives Présentation des données Covariance Pour avoir une idée sur la variation simultanée de X et Y on peut utiliser la covariance : 𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 1 𝑛 '(𝑥( − 𝑋 A)(𝑦( − 𝑌 A) : (*+ y x xiyi n y x − = ∑ 1 ) , cov( Equivalent à écrire : La covariance est : • Positive signifie que X et Y ont tendance à varier dans le même sens, • Négative signifie que X et Y ont tendance à varier en sens contraire.
- 117. 117 Deux variables quantitatives Présentation des données - Exemple 158 6 948= = x 28 6 168= = y Nombre de visites de prospection xi Nombre de commandes yi 𝒙𝒊 − 𝑿 ] 𝒚𝒊 − 𝒀 ] 152 155 160 155 162 164 26 27 28 28 29 30 -6 -3 2 3 4 6 -2 -1 0 0 1 2 33 . 18 6 110 )² ( 1 ) ( = = − = ∑ i x xi N x V ∑ = = − = i y yi N y V 67 . 1 6 10 )² ( 1 ) ( Y-a-t-il une liaison entre les deux le nombrede Visites de prospection et le nombre de commandes?
- 118. 118 Deux variables quantitatives Présentation des données - Exemple Nombre de visites de prospection xi Nombre de commandes yi 𝒙𝒊 − 𝑿 ] 𝒚𝒊 − 𝒀 ] 152 155 160 155 162 164 26 27 28 28 29 30 -6 -3 2 3 4 6 -2 -1 0 0 1 2 25,5 26 26,5 27 27,5 28 28,5 29 29,5 30 30,5 1 5 0 1 5 2 1 5 4 1 5 6 1 5 8 1 6 0 1 6 2 1 6 4 1 6 6 NOMBRE DE COMMANDES YI NOMBRE DE VISITES DE PROSPECTION XI NOMBRE DE COMMANDES EN FONCTION DU NOMBRE DE VISITES DE PROSPECTION Y-a-t-il une liaison entre les deux le nombrede Visites de prospection et le nombre de commandes?
- 119. 119 Deux variables quantitatives Présentation des données - Exemple Nombre de visites de prospection xi Nombre de commandes yi 𝒙𝒊 − 𝑿 ] 𝒚𝒊 − 𝒀 ] 152 155 160 155 162 164 26 27 28 28 29 30 -6 -3 2 3 4 6 -2 -1 0 0 1 2 158 6 948= = x 28 6 168= = y 𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 =5,166666667 33 . 18 6 110 )² ( 1 ) ( = = − = ∑ i x xi N x V ∑ = = − = i y yi N y V 67 . 1 6 10 )² ( 1 ) ( Y-a-t-il une liaison entre les deux le nombrede Visites de prospection et le nombre de commandes?
- 121. 121 Deux variables quantitatives • Le coefficient de corrélation linéaire a pour objet de mesurer l'intensité de la liaison linéaire entre les deux variables X et Y : ) ( ) ( ) , cov( y x y x r σ σ = • Cette définition montre quele coefficient de corrélation possédé le même signe que la covariance sa valeur est comprise entre -1 et 1 Coefficient de corrélation linéaire : Pour pouvoir parler de forte liaison entre x et y il faut que la valeur absolue de r atteigne au moins 0.87 Remarque
- 122. 122 Deux variables quantitatives • Le coefficient de corrélation linéaire a pour objet de mesurer l'intensité de la liaison linéaire entre les deux variables X et Y : ) ( ) ( ) , cov( y x y x r σ σ = • Cette définition montre quele coefficient de corrélation possédé le même signe que la covariance sa valeur est comprise entre -1 et 1 Coefficient de corrélation linéaire : Pour pouvoir parler de forte liaison entre x et y il faut que la valeur absolue de r atteigne au moins 0.87 Remarque Attention : l’absence de relation linéaire entre deux variables ne permet de conclure à l’absence de relation ⇒ (exponentiel, puissance, . . . ) ⇒ Coefficient de corrélation de Spearman.
- 123. 123 Deux variables quantitatives Présentation des données - Exemple Nombre de visites de prospection xi Nombre de commandes yi 𝒙𝒊 − 𝑿 ] 𝒚𝒊 − 𝒀 ] 152 155 160 155 162 164 26 27 28 28 29 30 -6 -3 2 3 4 6 -2 -1 0 0 1 2 158 6 948= = x 28 6 168= = y 𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 =5,166666667 33 . 18 6 110 )² ( 1 ) ( = = − = ∑ i x xi N x V ∑ = = − = i y yi N y V 67 . 1 6 10 )² ( 1 ) ( Y-a-t-il une liaison entre les deux le nombrede Visites de prospection et le nombre de commandes? Calculer le coefficient de corrélation:
- 124. 124 Deux variables quantitatives Présentation des données - Exemple Nombre de visites de prospection xi Nombre de commandes yi 𝒙𝒊 − 𝑿 ] 𝒚𝒊 − 𝒀 ] 152 155 160 155 162 164 26 27 28 28 29 30 -6 -3 2 3 4 6 -2 -1 0 0 1 2 158 6 948= = x 28 6 168= = y 𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 =5,166666667 33 . 18 6 110 )² ( 1 ) ( = = − = ∑ i x xi N x V ∑ = = − = i y yi N y V 67 . 1 6 10 )² ( 1 ) ( Y-a-t-il une liaison entre les deux le nombrede Visites de prospection et le nombre de commandes? r = 0.93 doncx et y sontfortement corrélés, ainsi plus le nombrede visites augmente, plus le nombrede commandes augmente
- 125. Démarche générale de la statistique • Recueil des données • Statistique descriptive § Indicateurs statistiques § Représentations graphiques § Choisis en fonction du type de variables • Statistique inférentielle • Extrapolation de résultats calculés sur un échantillon à une population sous-jacente (estimation, tests statistiques, modélisations) • Basée sur le calcul de probabilités 125 Conclusion